Theorem rnelshi 31994

Description: The range of a linear operator is a subspace. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Nov-2013.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
rnelsh.1	⊢ 𝑇 ∈ LinOp

Assertion

Ref	Expression
rnelshi	⊢ ran 𝑇 ∈ Sℋ

Proof of Theorem rnelshi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		imadmrn 6043	. 2 ⊢ (𝑇 “ dom 𝑇) = ran 𝑇
2		rnelsh.1	. . 3 ⊢ 𝑇 ∈ LinOp
3	2	lnopfi 31904	. . . . 5 ⊢ 𝑇: ℋ⟶ ℋ
4	3	fdmi 6701	. . . 4 ⊢ dom 𝑇 = ℋ
5		helsh 31180	. . . 4 ⊢ ℋ ∈ Sℋ
6	4, 5	eqeltri 2825	. . 3 ⊢ dom 𝑇 ∈ Sℋ
7	2, 6	imaelshi 31993	. 2 ⊢ (𝑇 “ dom 𝑇) ∈ Sℋ
8	1, 7	eqeltrri 2826	1 ⊢ ran 𝑇 ∈ Sℋ

Syntax hints:   ∈ wcel 2109  dom cdm 5640  ran crn 5641   “ cima 5643   ℋchba 30854   S_ℋ csh 30863  LinOpclo 30882

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5236  ax-sep 5253  ax-nul 5263  ax-pow 5322  ax-pr 5389  ax-un 7713  ax-cnex 11130  ax-resscn 11131  ax-1cn 11132  ax-icn 11133  ax-addcl 11134  ax-addrcl 11135  ax-mulcl 11136  ax-mulrcl 11137  ax-mulcom 11138  ax-addass 11139  ax-mulass 11140  ax-distr 11141  ax-i2m1 11142  ax-1ne0 11143  ax-1rid 11144  ax-rnegex 11145  ax-rrecex 11146  ax-cnre 11147  ax-pre-lttri 11148  ax-pre-lttrn 11149  ax-pre-ltadd 11150  ax-hilex 30934  ax-hfvadd 30935  ax-hvass 30937  ax-hv0cl 30938  ax-hvaddid 30939  ax-hfvmul 30940  ax-hvmulid 30941  ax-hvdistr2 30944  ax-hvmul0 30945

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3756  df-csb 3865  df-dif 3919  df-un 3921  df-in 3923  df-ss 3933  df-pss 3936  df-nul 4299  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5535  df-eprel 5540  df-po 5548  df-so 5549  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5646  df-rel 5647  df-cnv 5648  df-co 5649  df-dm 5650  df-rn 5651  df-res 5652  df-ima 5653  df-pred 6276  df-ord 6337  df-on 6338  df-lim 6339  df-suc 6340  df-iota 6466  df-fun 6515  df-fn 6516  df-f 6517  df-f1 6518  df-fo 6519  df-f1o 6520  df-fv 6521  df-riota 7346  df-ov 7392  df-oprab 7393  df-mpo 7394  df-om 7845  df-2nd 7971  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8380  df-er 8673  df-map 8803  df-en 8921  df-dom 8922  df-sdom 8923  df-pnf 11216  df-mnf 11217  df-ltxr 11219  df-sub 11413  df-neg 11414  df-nn 12188  df-hvsub 30906  df-hlim 30907  df-sh 31142  df-ch 31156  df-lnop 31776

This theorem is referenced by:  hmopidmchi  32086