Theorem rnelshi 32083

Description: The range of a linear operator is a subspace. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Nov-2013.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
rnelsh.1	⊢ 𝑇 ∈ LinOp

Assertion

Ref	Expression
rnelshi	⊢ ran 𝑇 ∈ Sℋ

Proof of Theorem rnelshi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		imadmrn 6027	. 2 ⊢ (𝑇 “ dom 𝑇) = ran 𝑇
2		rnelsh.1	. . 3 ⊢ 𝑇 ∈ LinOp
3	2	lnopfi 31993	. . . . 5 ⊢ 𝑇: ℋ⟶ ℋ
4	3	fdmi 6671	. . . 4 ⊢ dom 𝑇 = ℋ
5		helsh 31269	. . . 4 ⊢ ℋ ∈ Sℋ
6	4, 5	eqeltri 2830	. . 3 ⊢ dom 𝑇 ∈ Sℋ
7	2, 6	imaelshi 32082	. 2 ⊢ (𝑇 “ dom 𝑇) ∈ Sℋ
8	1, 7	eqeltrri 2831	1 ⊢ ran 𝑇 ∈ Sℋ

Syntax hints:   ∈ wcel 2113  dom cdm 5622  ran crn 5623   “ cima 5625   ℋchba 30943   S_ℋ csh 30952  LinOpclo 30971

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-rep 5222  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678  ax-cnex 11080  ax-resscn 11081  ax-1cn 11082  ax-icn 11083  ax-addcl 11084  ax-addrcl 11085  ax-mulcl 11086  ax-mulrcl 11087  ax-mulcom 11088  ax-addass 11089  ax-mulass 11090  ax-distr 11091  ax-i2m1 11092  ax-1ne0 11093  ax-1rid 11094  ax-rnegex 11095  ax-rrecex 11096  ax-cnre 11097  ax-pre-lttri 11098  ax-pre-lttrn 11099  ax-pre-ltadd 11100  ax-hilex 31023  ax-hfvadd 31024  ax-hvass 31026  ax-hv0cl 31027  ax-hvaddid 31028  ax-hfvmul 31029  ax-hvmulid 31030  ax-hvdistr2 31033  ax-hvmul0 31034

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-tr 5204  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8633  df-map 8763  df-en 8882  df-dom 8883  df-sdom 8884  df-pnf 11166  df-mnf 11167  df-ltxr 11169  df-sub 11364  df-neg 11365  df-nn 12144  df-hvsub 30995  df-hlim 30996  df-sh 31231  df-ch 31245  df-lnop 31865

This theorem is referenced by:  hmopidmchi  32175