Theorem climeq 15734

Description: Two functions that are eventually equal to one another have the same limit. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Nov-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 31-Jan-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
climeq.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
climeq.2	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑉)
climeq.3	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑊)
climeq.5	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
climeq.6	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) = (𝐺‘𝑘))

Assertion

Ref	Expression
climeq	⊢ (𝜑 → (𝐹 ⇝ 𝐴 ↔ 𝐺 ⇝ 𝐴))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝐹   𝑘,𝐺   𝜑,𝑘   𝑘,𝑍

Allowed substitution hints:   𝑀(𝑘)   𝑉(𝑘)   𝑊(𝑘)

Proof of Theorem climeq

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		climeq.1	. . 3 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
2		climeq.5	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
3		climeq.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑉)
4		climeq.6	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) = (𝐺‘𝑘))
5	1, 2, 3, 4	clim2 15671	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ⇝ 𝐴 ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑦)((𝐺‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐺‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑥))))
6		climeq.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑊)
7		eqidd 2762	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐺‘𝑘) = (𝐺‘𝑘))
8	1, 2, 6, 7	clim2 15671	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ⇝ 𝐴 ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑦)((𝐺‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐺‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑥))))
9	5, 8	bitr4d 285	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ⇝ 𝐴 ↔ 𝐺 ⇝ 𝐴))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3077  ∃wrex 3087   class class class wbr 5103  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  ℂcc 11198   < clt 11343   − cmin 11541  ℤcz 12693  ℤ_≥cuz 12965  ℝ⁺crp 13120  abscabs 15401   ⇝ cli 15651

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5546  df-po 5559  df-so 5560  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-ov 7423  df-er 8717  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-neg 11544  df-z 12694  df-uz 12966  df-clim 15655

This theorem is used by:  climmpt  15738  climres  15742  climshft  15743  climshft2  15749  isumclim3  15925  iprodclim3  16167  logtayl  26988  dfef2  27298  climexp  46616  climeldmeq  46674  climfveq  46678  climfveqf  46689  climeqf  46697  stirlinglem14  47096  fourierdlem112  47227  vonioolem1  47689