Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lsatcvat3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lsatcvat3 39052
Description: A condition implying that a certain subspace is an atom. Part of Lemma 3.2.20 of [PtakPulmannova] p. 68. (atcvat3i 32332 analog.) (Contributed by NM, 11-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lsatcvat3.s 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lsatcvat3.p = (LSSum‘𝑊)
lsatcvat3.a 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
lsatcvat3.w (𝜑𝑊 ∈ LVec)
lsatcvat3.u (𝜑𝑈𝑆)
lsatcvat3.q (𝜑𝑄𝐴)
lsatcvat3.r (𝜑𝑅𝐴)
lsatcvat3.n (𝜑𝑄𝑅)
lsatcvat3.m (𝜑 → ¬ 𝑅𝑈)
lsatcvat3.l (𝜑𝑄 ⊆ (𝑈 𝑅))
Assertion
Ref Expression
lsatcvat3 (𝜑 → (𝑈 ∩ (𝑄 𝑅)) ∈ 𝐴)

Proof of Theorem lsatcvat3
StepHypRef Expression
1 lsatcvat3.s . 2 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
2 lsatcvat3.p . 2 = (LSSum‘𝑊)
3 lsatcvat3.a . 2 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
4 eqid 2730 . 2 ( ⋖L𝑊) = ( ⋖L𝑊)
5 lsatcvat3.w . 2 (𝜑𝑊 ∈ LVec)
6 lveclmod 21020 . . . 4 (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
75, 6syl 17 . . 3 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
8 lsatcvat3.u . . 3 (𝜑𝑈𝑆)
9 lsatcvat3.q . . . . 5 (𝜑𝑄𝐴)
101, 3, 7, 9lsatlssel 38997 . . . 4 (𝜑𝑄𝑆)
11 lsatcvat3.r . . . . 5 (𝜑𝑅𝐴)
121, 3, 7, 11lsatlssel 38997 . . . 4 (𝜑𝑅𝑆)
131, 2lsmcl 20997 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑄𝑆𝑅𝑆) → (𝑄 𝑅) ∈ 𝑆)
147, 10, 12, 13syl3anc 1373 . . 3 (𝜑 → (𝑄 𝑅) ∈ 𝑆)
151lssincl 20878 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆 ∧ (𝑄 𝑅) ∈ 𝑆) → (𝑈 ∩ (𝑄 𝑅)) ∈ 𝑆)
167, 8, 14, 15syl3anc 1373 . 2 (𝜑 → (𝑈 ∩ (𝑄 𝑅)) ∈ 𝑆)
17 lsatcvat3.n . 2 (𝜑𝑄𝑅)
18 lsatcvat3.m . . . . 5 (𝜑 → ¬ 𝑅𝑈)
191, 2, 3, 4, 5, 8, 11lcv1 39041 . . . . 5 (𝜑 → (¬ 𝑅𝑈𝑈( ⋖L𝑊)(𝑈 𝑅)))
2018, 19mpbid 232 . . . 4 (𝜑𝑈( ⋖L𝑊)(𝑈 𝑅))
21 lmodabl 20822 . . . . . . . . . . 11 (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Abel)
227, 21syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑊 ∈ Abel)
231lsssssubg 20871 . . . . . . . . . . . 12 (𝑊 ∈ LMod → 𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝑊))
247, 23syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝑊))
2524, 10sseldd 3950 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑄 ∈ (SubGrp‘𝑊))
2624, 12sseldd 3950 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑅 ∈ (SubGrp‘𝑊))
272lsmcom 19795 . . . . . . . . . 10 ((𝑊 ∈ Abel ∧ 𝑄 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ 𝑅 ∈ (SubGrp‘𝑊)) → (𝑄 𝑅) = (𝑅 𝑄))
2822, 25, 26, 27syl3anc 1373 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑄 𝑅) = (𝑅 𝑄))
2928oveq2d 7406 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑈 (𝑄 𝑅)) = (𝑈 (𝑅 𝑄)))
3024, 8sseldd 3950 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊))
312lsmass 19606 . . . . . . . . 9 ((𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ 𝑅 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ 𝑄 ∈ (SubGrp‘𝑊)) → ((𝑈 𝑅) 𝑄) = (𝑈 (𝑅 𝑄)))
3230, 26, 25, 31syl3anc 1373 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑈 𝑅) 𝑄) = (𝑈 (𝑅 𝑄)))
3329, 32eqtr4d 2768 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑈 (𝑄 𝑅)) = ((𝑈 𝑅) 𝑄))
341, 2lsmcl 20997 . . . . . . . . . 10 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆𝑅𝑆) → (𝑈 𝑅) ∈ 𝑆)
357, 8, 12, 34syl3anc 1373 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑈 𝑅) ∈ 𝑆)
3624, 35sseldd 3950 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑈 𝑅) ∈ (SubGrp‘𝑊))
37 lsatcvat3.l . . . . . . . 8 (𝜑𝑄 ⊆ (𝑈 𝑅))
382lsmless2 19598 . . . . . . . 8 (((𝑈 𝑅) ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ (𝑈 𝑅) ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ 𝑄 ⊆ (𝑈 𝑅)) → ((𝑈 𝑅) 𝑄) ⊆ ((𝑈 𝑅) (𝑈 𝑅)))
3936, 36, 37, 38syl3anc 1373 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑈 𝑅) 𝑄) ⊆ ((𝑈 𝑅) (𝑈 𝑅)))
4033, 39eqsstrd 3984 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑈 (𝑄 𝑅)) ⊆ ((𝑈 𝑅) (𝑈 𝑅)))
412lsmidm 19600 . . . . . . 7 ((𝑈 𝑅) ∈ (SubGrp‘𝑊) → ((𝑈 𝑅) (𝑈 𝑅)) = (𝑈 𝑅))
4236, 41syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑈 𝑅) (𝑈 𝑅)) = (𝑈 𝑅))
4340, 42sseqtrd 3986 . . . . 5 (𝜑 → (𝑈 (𝑄 𝑅)) ⊆ (𝑈 𝑅))
4424, 14sseldd 3950 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑄 𝑅) ∈ (SubGrp‘𝑊))
452lsmub2 19595 . . . . . . 7 ((𝑄 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ 𝑅 ∈ (SubGrp‘𝑊)) → 𝑅 ⊆ (𝑄 𝑅))
4625, 26, 45syl2anc 584 . . . . . 6 (𝜑𝑅 ⊆ (𝑄 𝑅))
472lsmless2 19598 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ (𝑄 𝑅) ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ 𝑅 ⊆ (𝑄 𝑅)) → (𝑈 𝑅) ⊆ (𝑈 (𝑄 𝑅)))
4830, 44, 46, 47syl3anc 1373 . . . . 5 (𝜑 → (𝑈 𝑅) ⊆ (𝑈 (𝑄 𝑅)))
4943, 48eqssd 3967 . . . 4 (𝜑 → (𝑈 (𝑄 𝑅)) = (𝑈 𝑅))
5020, 49breqtrrd 5138 . . 3 (𝜑𝑈( ⋖L𝑊)(𝑈 (𝑄 𝑅)))
511, 2, 4, 7, 8, 14, 50lcvexchlem4 39037 . 2 (𝜑 → (𝑈 ∩ (𝑄 𝑅))( ⋖L𝑊)(𝑄 𝑅))
521, 2, 3, 4, 5, 16, 9, 11, 17, 51lsatcvat2 39051 1 (𝜑 → (𝑈 ∩ (𝑄 𝑅)) ∈ 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4   = wceq 1540  wcel 2109  wne 2926  cin 3916  wss 3917   class class class wbr 5110  cfv 6514  (class class class)co 7390  SubGrpcsubg 19059  LSSumclsm 19571  Abelcabl 19718  LModclmod 20773  LSubSpclss 20844  LVecclvec 21016  LSAtomsclsa 38974  L clcv 39018
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-int 4914  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-tpos 8208  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-2o 8438  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-nn 12194  df-2 12256  df-3 12257  df-sets 17141  df-slot 17159  df-ndx 17171  df-base 17187  df-ress 17208  df-plusg 17240  df-mulr 17241  df-0g 17411  df-mre 17554  df-mrc 17555  df-acs 17557  df-mgm 18574  df-sgrp 18653  df-mnd 18669  df-submnd 18718  df-grp 18875  df-minusg 18876  df-sbg 18877  df-subg 19062  df-cntz 19256  df-oppg 19285  df-lsm 19573  df-cmn 19719  df-abl 19720  df-mgp 20057  df-rng 20069  df-ur 20098  df-ring 20151  df-oppr 20253  df-dvdsr 20273  df-unit 20274  df-invr 20304  df-drng 20647  df-lmod 20775  df-lss 20845  df-lsp 20885  df-lvec 21017  df-lsatoms 38976  df-lcv 39019
This theorem is referenced by:  l1cvat  39055
  Copyright terms: Public domain W3C validator