Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lsatcvat3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lsatcvat3 37543
Description: A condition implying that a certain subspace is an atom. Part of Lemma 3.2.20 of [PtakPulmannova] p. 68. (atcvat3i 31380 analog.) (Contributed by NM, 11-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lsatcvat3.s 𝑆 = (LSubSpβ€˜π‘Š)
lsatcvat3.p βŠ• = (LSSumβ€˜π‘Š)
lsatcvat3.a 𝐴 = (LSAtomsβ€˜π‘Š)
lsatcvat3.w (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LVec)
lsatcvat3.u (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝑆)
lsatcvat3.q (πœ‘ β†’ 𝑄 ∈ 𝐴)
lsatcvat3.r (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ 𝐴)
lsatcvat3.n (πœ‘ β†’ 𝑄 β‰  𝑅)
lsatcvat3.m (πœ‘ β†’ Β¬ 𝑅 βŠ† π‘ˆ)
lsatcvat3.l (πœ‘ β†’ 𝑄 βŠ† (π‘ˆ βŠ• 𝑅))
Assertion
Ref Expression
lsatcvat3 (πœ‘ β†’ (π‘ˆ ∩ (𝑄 βŠ• 𝑅)) ∈ 𝐴)

Proof of Theorem lsatcvat3
StepHypRef Expression
1 lsatcvat3.s . 2 𝑆 = (LSubSpβ€˜π‘Š)
2 lsatcvat3.p . 2 βŠ• = (LSSumβ€˜π‘Š)
3 lsatcvat3.a . 2 𝐴 = (LSAtomsβ€˜π‘Š)
4 eqid 2737 . 2 ( β‹–L β€˜π‘Š) = ( β‹–L β€˜π‘Š)
5 lsatcvat3.w . 2 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LVec)
6 lveclmod 20583 . . . 4 (π‘Š ∈ LVec β†’ π‘Š ∈ LMod)
75, 6syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LMod)
8 lsatcvat3.u . . 3 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝑆)
9 lsatcvat3.q . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑄 ∈ 𝐴)
101, 3, 7, 9lsatlssel 37488 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑄 ∈ 𝑆)
11 lsatcvat3.r . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ 𝐴)
121, 3, 7, 11lsatlssel 37488 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ 𝑆)
131, 2lsmcl 20560 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑄 ∈ 𝑆 ∧ 𝑅 ∈ 𝑆) β†’ (𝑄 βŠ• 𝑅) ∈ 𝑆)
147, 10, 12, 13syl3anc 1372 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑄 βŠ• 𝑅) ∈ 𝑆)
151lssincl 20442 . . 3 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ (𝑄 βŠ• 𝑅) ∈ 𝑆) β†’ (π‘ˆ ∩ (𝑄 βŠ• 𝑅)) ∈ 𝑆)
167, 8, 14, 15syl3anc 1372 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘ˆ ∩ (𝑄 βŠ• 𝑅)) ∈ 𝑆)
17 lsatcvat3.n . 2 (πœ‘ β†’ 𝑄 β‰  𝑅)
18 lsatcvat3.m . . . . 5 (πœ‘ β†’ Β¬ 𝑅 βŠ† π‘ˆ)
191, 2, 3, 4, 5, 8, 11lcv1 37532 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (Β¬ 𝑅 βŠ† π‘ˆ ↔ π‘ˆ( β‹–L β€˜π‘Š)(π‘ˆ βŠ• 𝑅)))
2018, 19mpbid 231 . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘ˆ( β‹–L β€˜π‘Š)(π‘ˆ βŠ• 𝑅))
21 lmodabl 20385 . . . . . . . . . . 11 (π‘Š ∈ LMod β†’ π‘Š ∈ Abel)
227, 21syl 17 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ Abel)
231lsssssubg 20435 . . . . . . . . . . . 12 (π‘Š ∈ LMod β†’ 𝑆 βŠ† (SubGrpβ€˜π‘Š))
247, 23syl 17 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝑆 βŠ† (SubGrpβ€˜π‘Š))
2524, 10sseldd 3950 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑄 ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š))
2624, 12sseldd 3950 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š))
272lsmcom 19643 . . . . . . . . . 10 ((π‘Š ∈ Abel ∧ 𝑄 ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š) ∧ 𝑅 ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š)) β†’ (𝑄 βŠ• 𝑅) = (𝑅 βŠ• 𝑄))
2822, 25, 26, 27syl3anc 1372 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝑄 βŠ• 𝑅) = (𝑅 βŠ• 𝑄))
2928oveq2d 7378 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘ˆ βŠ• (𝑄 βŠ• 𝑅)) = (π‘ˆ βŠ• (𝑅 βŠ• 𝑄)))
3024, 8sseldd 3950 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š))
312lsmass 19458 . . . . . . . . 9 ((π‘ˆ ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š) ∧ 𝑅 ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š) ∧ 𝑄 ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š)) β†’ ((π‘ˆ βŠ• 𝑅) βŠ• 𝑄) = (π‘ˆ βŠ• (𝑅 βŠ• 𝑄)))
3230, 26, 25, 31syl3anc 1372 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((π‘ˆ βŠ• 𝑅) βŠ• 𝑄) = (π‘ˆ βŠ• (𝑅 βŠ• 𝑄)))
3329, 32eqtr4d 2780 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘ˆ βŠ• (𝑄 βŠ• 𝑅)) = ((π‘ˆ βŠ• 𝑅) βŠ• 𝑄))
341, 2lsmcl 20560 . . . . . . . . . 10 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ 𝑅 ∈ 𝑆) β†’ (π‘ˆ βŠ• 𝑅) ∈ 𝑆)
357, 8, 12, 34syl3anc 1372 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (π‘ˆ βŠ• 𝑅) ∈ 𝑆)
3624, 35sseldd 3950 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘ˆ βŠ• 𝑅) ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š))
37 lsatcvat3.l . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑄 βŠ† (π‘ˆ βŠ• 𝑅))
382lsmless2 19450 . . . . . . . 8 (((π‘ˆ βŠ• 𝑅) ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š) ∧ (π‘ˆ βŠ• 𝑅) ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š) ∧ 𝑄 βŠ† (π‘ˆ βŠ• 𝑅)) β†’ ((π‘ˆ βŠ• 𝑅) βŠ• 𝑄) βŠ† ((π‘ˆ βŠ• 𝑅) βŠ• (π‘ˆ βŠ• 𝑅)))
3936, 36, 37, 38syl3anc 1372 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((π‘ˆ βŠ• 𝑅) βŠ• 𝑄) βŠ† ((π‘ˆ βŠ• 𝑅) βŠ• (π‘ˆ βŠ• 𝑅)))
4033, 39eqsstrd 3987 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘ˆ βŠ• (𝑄 βŠ• 𝑅)) βŠ† ((π‘ˆ βŠ• 𝑅) βŠ• (π‘ˆ βŠ• 𝑅)))
412lsmidm 19452 . . . . . . 7 ((π‘ˆ βŠ• 𝑅) ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š) β†’ ((π‘ˆ βŠ• 𝑅) βŠ• (π‘ˆ βŠ• 𝑅)) = (π‘ˆ βŠ• 𝑅))
4236, 41syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((π‘ˆ βŠ• 𝑅) βŠ• (π‘ˆ βŠ• 𝑅)) = (π‘ˆ βŠ• 𝑅))
4340, 42sseqtrd 3989 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘ˆ βŠ• (𝑄 βŠ• 𝑅)) βŠ† (π‘ˆ βŠ• 𝑅))
4424, 14sseldd 3950 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑄 βŠ• 𝑅) ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š))
452lsmub2 19447 . . . . . . 7 ((𝑄 ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š) ∧ 𝑅 ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š)) β†’ 𝑅 βŠ† (𝑄 βŠ• 𝑅))
4625, 26, 45syl2anc 585 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑅 βŠ† (𝑄 βŠ• 𝑅))
472lsmless2 19450 . . . . . 6 ((π‘ˆ ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š) ∧ (𝑄 βŠ• 𝑅) ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š) ∧ 𝑅 βŠ† (𝑄 βŠ• 𝑅)) β†’ (π‘ˆ βŠ• 𝑅) βŠ† (π‘ˆ βŠ• (𝑄 βŠ• 𝑅)))
4830, 44, 46, 47syl3anc 1372 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘ˆ βŠ• 𝑅) βŠ† (π‘ˆ βŠ• (𝑄 βŠ• 𝑅)))
4943, 48eqssd 3966 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘ˆ βŠ• (𝑄 βŠ• 𝑅)) = (π‘ˆ βŠ• 𝑅))
5020, 49breqtrrd 5138 . . 3 (πœ‘ β†’ π‘ˆ( β‹–L β€˜π‘Š)(π‘ˆ βŠ• (𝑄 βŠ• 𝑅)))
511, 2, 4, 7, 8, 14, 50lcvexchlem4 37528 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘ˆ ∩ (𝑄 βŠ• 𝑅))( β‹–L β€˜π‘Š)(𝑄 βŠ• 𝑅))
521, 2, 3, 4, 5, 16, 9, 11, 17, 51lsatcvat2 37542 1 (πœ‘ β†’ (π‘ˆ ∩ (𝑄 βŠ• 𝑅)) ∈ 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2944   ∩ cin 3914   βŠ† wss 3915   class class class wbr 5110  β€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  SubGrpcsubg 18929  LSSumclsm 19423  Abelcabl 19570  LModclmod 20338  LSubSpclss 20408  LVecclvec 20579  LSAtomsclsa 37465   β‹–L clcv 37509
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-iin 4962  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-tpos 8162  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-sets 17043  df-slot 17061  df-ndx 17073  df-base 17091  df-ress 17120  df-plusg 17153  df-mulr 17154  df-0g 17330  df-mre 17473  df-mrc 17474  df-acs 17476  df-mgm 18504  df-sgrp 18553  df-mnd 18564  df-submnd 18609  df-grp 18758  df-minusg 18759  df-sbg 18760  df-subg 18932  df-cntz 19104  df-oppg 19131  df-lsm 19425  df-cmn 19571  df-abl 19572  df-mgp 19904  df-ur 19921  df-ring 19973  df-oppr 20056  df-dvdsr 20077  df-unit 20078  df-invr 20108  df-drng 20201  df-lmod 20340  df-lss 20409  df-lsp 20449  df-lvec 20580  df-lsatoms 37467  df-lcv 37510
This theorem is referenced by:  l1cvat  37546
  Copyright terms: Public domain W3C validator