Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lsatcvat3 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem lsatcvat3 38580
Description: A condition implying that a certain subspace is an atom. Part of Lemma 3.2.20 of [PtakPulmannova] p. 68. (atcvat3i 32250 analog.) (Contributed by NM, 11-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lsatcvat3.s 𝑆 = (LSubSpβ€˜π‘Š)
lsatcvat3.p βŠ• = (LSSumβ€˜π‘Š)
lsatcvat3.a 𝐴 = (LSAtomsβ€˜π‘Š)
lsatcvat3.w (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LVec)
lsatcvat3.u (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝑆)
lsatcvat3.q (πœ‘ β†’ 𝑄 ∈ 𝐴)
lsatcvat3.r (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ 𝐴)
lsatcvat3.n (πœ‘ β†’ 𝑄 β‰  𝑅)
lsatcvat3.m (πœ‘ β†’ Β¬ 𝑅 βŠ† π‘ˆ)
lsatcvat3.l (πœ‘ β†’ 𝑄 βŠ† (π‘ˆ βŠ• 𝑅))
Assertion
Ref Expression
lsatcvat3 (πœ‘ β†’ (π‘ˆ ∩ (𝑄 βŠ• 𝑅)) ∈ 𝐴)
Proof of Theorem lsatcvat3
StepHypRef Expression
1 lsatcvat3.s . 2 𝑆 = (LSubSpβ€˜π‘Š)
2 lsatcvat3.p . 2 βŠ• = (LSSumβ€˜π‘Š)
3 lsatcvat3.a . 2 𝐴 = (LSAtomsβ€˜π‘Š)
4 eqid 2725 . 2 ( β‹–L β€˜π‘Š) = ( β‹–L β€˜π‘Š)
5 lsatcvat3.w . 2 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LVec)
6 lveclmod 20995 . . . 4 (π‘Š ∈ LVec β†’ π‘Š ∈ LMod)
75, 6syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LMod)
8 lsatcvat3.u . . 3 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝑆)
9 lsatcvat3.q . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑄 ∈ 𝐴)
101, 3, 7, 9lsatlssel 38525 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑄 ∈ 𝑆)
11 lsatcvat3.r . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ 𝐴)
121, 3, 7, 11lsatlssel 38525 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ 𝑆)
131, 2lsmcl 20972 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑄 ∈ 𝑆 ∧ 𝑅 ∈ 𝑆) β†’ (𝑄 βŠ• 𝑅) ∈ 𝑆)
147, 10, 12, 13syl3anc 1368 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑄 βŠ• 𝑅) ∈ 𝑆)
151lssincl 20853 . . 3 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ (𝑄 βŠ• 𝑅) ∈ 𝑆) β†’ (π‘ˆ ∩ (𝑄 βŠ• 𝑅)) ∈ 𝑆)
167, 8, 14, 15syl3anc 1368 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘ˆ ∩ (𝑄 βŠ• 𝑅)) ∈ 𝑆)
17 lsatcvat3.n . 2 (πœ‘ β†’ 𝑄 β‰  𝑅)
18 lsatcvat3.m . . . . 5 (πœ‘ β†’ Β¬ 𝑅 βŠ† π‘ˆ)
191, 2, 3, 4, 5, 8, 11lcv1 38569 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (Β¬ 𝑅 βŠ† π‘ˆ ↔ π‘ˆ( β‹–L β€˜π‘Š)(π‘ˆ βŠ• 𝑅)))
2018, 19mpbid 231 . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘ˆ( β‹–L β€˜π‘Š)(π‘ˆ βŠ• 𝑅))
21 lmodabl 20796 . . . . . . . . . . 11 (π‘Š ∈ LMod β†’ π‘Š ∈ Abel)
227, 21syl 17 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ Abel)
231lsssssubg 20846 . . . . . . . . . . . 12 (π‘Š ∈ LMod β†’ 𝑆 βŠ† (SubGrpβ€˜π‘Š))
247, 23syl 17 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝑆 βŠ† (SubGrpβ€˜π‘Š))
2524, 10sseldd 3973 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑄 ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š))
2624, 12sseldd 3973 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š))
272lsmcom 19817 . . . . . . . . . 10 ((π‘Š ∈ Abel ∧ 𝑄 ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š) ∧ 𝑅 ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š)) β†’ (𝑄 βŠ• 𝑅) = (𝑅 βŠ• 𝑄))
2822, 25, 26, 27syl3anc 1368 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝑄 βŠ• 𝑅) = (𝑅 βŠ• 𝑄))
2928oveq2d 7432 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘ˆ βŠ• (𝑄 βŠ• 𝑅)) = (π‘ˆ βŠ• (𝑅 βŠ• 𝑄)))
3024, 8sseldd 3973 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š))
312lsmass 19628 . . . . . . . . 9 ((π‘ˆ ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š) ∧ 𝑅 ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š) ∧ 𝑄 ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š)) β†’ ((π‘ˆ βŠ• 𝑅) βŠ• 𝑄) = (π‘ˆ βŠ• (𝑅 βŠ• 𝑄)))
3230, 26, 25, 31syl3anc 1368 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((π‘ˆ βŠ• 𝑅) βŠ• 𝑄) = (π‘ˆ βŠ• (𝑅 βŠ• 𝑄)))
3329, 32eqtr4d 2768 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘ˆ βŠ• (𝑄 βŠ• 𝑅)) = ((π‘ˆ βŠ• 𝑅) βŠ• 𝑄))
341, 2lsmcl 20972 . . . . . . . . . 10 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ 𝑅 ∈ 𝑆) β†’ (π‘ˆ βŠ• 𝑅) ∈ 𝑆)
357, 8, 12, 34syl3anc 1368 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (π‘ˆ βŠ• 𝑅) ∈ 𝑆)
3624, 35sseldd 3973 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘ˆ βŠ• 𝑅) ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š))
37 lsatcvat3.l . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑄 βŠ† (π‘ˆ βŠ• 𝑅))
382lsmless2 19620 . . . . . . . 8 (((π‘ˆ βŠ• 𝑅) ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š) ∧ (π‘ˆ βŠ• 𝑅) ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š) ∧ 𝑄 βŠ† (π‘ˆ βŠ• 𝑅)) β†’ ((π‘ˆ βŠ• 𝑅) βŠ• 𝑄) βŠ† ((π‘ˆ βŠ• 𝑅) βŠ• (π‘ˆ βŠ• 𝑅)))
3936, 36, 37, 38syl3anc 1368 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((π‘ˆ βŠ• 𝑅) βŠ• 𝑄) βŠ† ((π‘ˆ βŠ• 𝑅) βŠ• (π‘ˆ βŠ• 𝑅)))
4033, 39eqsstrd 4011 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘ˆ βŠ• (𝑄 βŠ• 𝑅)) βŠ† ((π‘ˆ βŠ• 𝑅) βŠ• (π‘ˆ βŠ• 𝑅)))
412lsmidm 19622 . . . . . . 7 ((π‘ˆ βŠ• 𝑅) ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š) β†’ ((π‘ˆ βŠ• 𝑅) βŠ• (π‘ˆ βŠ• 𝑅)) = (π‘ˆ βŠ• 𝑅))
4236, 41syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((π‘ˆ βŠ• 𝑅) βŠ• (π‘ˆ βŠ• 𝑅)) = (π‘ˆ βŠ• 𝑅))
4340, 42sseqtrd 4013 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘ˆ βŠ• (𝑄 βŠ• 𝑅)) βŠ† (π‘ˆ βŠ• 𝑅))
4424, 14sseldd 3973 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑄 βŠ• 𝑅) ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š))
452lsmub2 19617 . . . . . . 7 ((𝑄 ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š) ∧ 𝑅 ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š)) β†’ 𝑅 βŠ† (𝑄 βŠ• 𝑅))
4625, 26, 45syl2anc 582 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑅 βŠ† (𝑄 βŠ• 𝑅))
472lsmless2 19620 . . . . . 6 ((π‘ˆ ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š) ∧ (𝑄 βŠ• 𝑅) ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š) ∧ 𝑅 βŠ† (𝑄 βŠ• 𝑅)) β†’ (π‘ˆ βŠ• 𝑅) βŠ† (π‘ˆ βŠ• (𝑄 βŠ• 𝑅)))
4830, 44, 46, 47syl3anc 1368 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘ˆ βŠ• 𝑅) βŠ† (π‘ˆ βŠ• (𝑄 βŠ• 𝑅)))
4943, 48eqssd 3990 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘ˆ βŠ• (𝑄 βŠ• 𝑅)) = (π‘ˆ βŠ• 𝑅))
5020, 49breqtrrd 5171 . . 3 (πœ‘ β†’ π‘ˆ( β‹–L β€˜π‘Š)(π‘ˆ βŠ• (𝑄 βŠ• 𝑅)))
511, 2, 4, 7, 8, 14, 50lcvexchlem4 38565 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘ˆ ∩ (𝑄 βŠ• 𝑅))( β‹–L β€˜π‘Š)(𝑄 βŠ• 𝑅))
521, 2, 3, 4, 5, 16, 9, 11, 17, 51lsatcvat2 38579 1 (πœ‘ β†’ (π‘ˆ ∩ (𝑄 βŠ• 𝑅)) ∈ 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2930   ∩ cin 3938   βŠ† wss 3939   class class class wbr 5143  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7416  SubGrpcsubg 19079  LSSumclsm 19593  Abelcabl 19740  LModclmod 20747  LSubSpclss 20819  LVecclvec 20991  LSAtomsclsa 38502   β‹–L clcv 38546
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-1st 7991  df-2nd 7992  df-tpos 8230  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-er 8723  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-fin 8966  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17180  df-ress 17209  df-plusg 17245  df-mulr 17246  df-0g 17422  df-mre 17565  df-mrc 17566  df-acs 17568  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-submnd 18740  df-grp 18897  df-minusg 18898  df-sbg 18899  df-subg 19082  df-cntz 19272  df-oppg 19301  df-lsm 19595  df-cmn 19741  df-abl 19742  df-mgp 20079  df-rng 20097  df-ur 20126  df-ring 20179  df-oppr 20277  df-dvdsr 20300  df-unit 20301  df-invr 20331  df-drng 20630  df-lmod 20749  df-lss 20820  df-lsp 20860  df-lvec 20992  df-lsatoms 38504  df-lcv 38547
This theorem is referenced by:  l1cvat  38583
  Copyright terms: Public domain W3C validator