Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lsatcvat3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lsatcvat3 39053
Description: A condition implying that a certain subspace is an atom. Part of Lemma 3.2.20 of [PtakPulmannova] p. 68. (atcvat3i 32415 analog.) (Contributed by NM, 11-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lsatcvat3.s 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lsatcvat3.p = (LSSum‘𝑊)
lsatcvat3.a 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
lsatcvat3.w (𝜑𝑊 ∈ LVec)
lsatcvat3.u (𝜑𝑈𝑆)
lsatcvat3.q (𝜑𝑄𝐴)
lsatcvat3.r (𝜑𝑅𝐴)
lsatcvat3.n (𝜑𝑄𝑅)
lsatcvat3.m (𝜑 → ¬ 𝑅𝑈)
lsatcvat3.l (𝜑𝑄 ⊆ (𝑈 𝑅))
Assertion
Ref Expression
lsatcvat3 (𝜑 → (𝑈 ∩ (𝑄 𝑅)) ∈ 𝐴)

Proof of Theorem lsatcvat3
StepHypRef Expression
1 lsatcvat3.s . 2 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
2 lsatcvat3.p . 2 = (LSSum‘𝑊)
3 lsatcvat3.a . 2 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
4 eqid 2737 . 2 ( ⋖L𝑊) = ( ⋖L𝑊)
5 lsatcvat3.w . 2 (𝜑𝑊 ∈ LVec)
6 lveclmod 21105 . . . 4 (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
75, 6syl 17 . . 3 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
8 lsatcvat3.u . . 3 (𝜑𝑈𝑆)
9 lsatcvat3.q . . . . 5 (𝜑𝑄𝐴)
101, 3, 7, 9lsatlssel 38998 . . . 4 (𝜑𝑄𝑆)
11 lsatcvat3.r . . . . 5 (𝜑𝑅𝐴)
121, 3, 7, 11lsatlssel 38998 . . . 4 (𝜑𝑅𝑆)
131, 2lsmcl 21082 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑄𝑆𝑅𝑆) → (𝑄 𝑅) ∈ 𝑆)
147, 10, 12, 13syl3anc 1373 . . 3 (𝜑 → (𝑄 𝑅) ∈ 𝑆)
151lssincl 20963 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆 ∧ (𝑄 𝑅) ∈ 𝑆) → (𝑈 ∩ (𝑄 𝑅)) ∈ 𝑆)
167, 8, 14, 15syl3anc 1373 . 2 (𝜑 → (𝑈 ∩ (𝑄 𝑅)) ∈ 𝑆)
17 lsatcvat3.n . 2 (𝜑𝑄𝑅)
18 lsatcvat3.m . . . . 5 (𝜑 → ¬ 𝑅𝑈)
191, 2, 3, 4, 5, 8, 11lcv1 39042 . . . . 5 (𝜑 → (¬ 𝑅𝑈𝑈( ⋖L𝑊)(𝑈 𝑅)))
2018, 19mpbid 232 . . . 4 (𝜑𝑈( ⋖L𝑊)(𝑈 𝑅))
21 lmodabl 20907 . . . . . . . . . . 11 (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Abel)
227, 21syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑊 ∈ Abel)
231lsssssubg 20956 . . . . . . . . . . . 12 (𝑊 ∈ LMod → 𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝑊))
247, 23syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝑊))
2524, 10sseldd 3984 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑄 ∈ (SubGrp‘𝑊))
2624, 12sseldd 3984 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑅 ∈ (SubGrp‘𝑊))
272lsmcom 19876 . . . . . . . . . 10 ((𝑊 ∈ Abel ∧ 𝑄 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ 𝑅 ∈ (SubGrp‘𝑊)) → (𝑄 𝑅) = (𝑅 𝑄))
2822, 25, 26, 27syl3anc 1373 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑄 𝑅) = (𝑅 𝑄))
2928oveq2d 7447 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑈 (𝑄 𝑅)) = (𝑈 (𝑅 𝑄)))
3024, 8sseldd 3984 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊))
312lsmass 19687 . . . . . . . . 9 ((𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ 𝑅 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ 𝑄 ∈ (SubGrp‘𝑊)) → ((𝑈 𝑅) 𝑄) = (𝑈 (𝑅 𝑄)))
3230, 26, 25, 31syl3anc 1373 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑈 𝑅) 𝑄) = (𝑈 (𝑅 𝑄)))
3329, 32eqtr4d 2780 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑈 (𝑄 𝑅)) = ((𝑈 𝑅) 𝑄))
341, 2lsmcl 21082 . . . . . . . . . 10 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆𝑅𝑆) → (𝑈 𝑅) ∈ 𝑆)
357, 8, 12, 34syl3anc 1373 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑈 𝑅) ∈ 𝑆)
3624, 35sseldd 3984 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑈 𝑅) ∈ (SubGrp‘𝑊))
37 lsatcvat3.l . . . . . . . 8 (𝜑𝑄 ⊆ (𝑈 𝑅))
382lsmless2 19679 . . . . . . . 8 (((𝑈 𝑅) ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ (𝑈 𝑅) ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ 𝑄 ⊆ (𝑈 𝑅)) → ((𝑈 𝑅) 𝑄) ⊆ ((𝑈 𝑅) (𝑈 𝑅)))
3936, 36, 37, 38syl3anc 1373 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑈 𝑅) 𝑄) ⊆ ((𝑈 𝑅) (𝑈 𝑅)))
4033, 39eqsstrd 4018 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑈 (𝑄 𝑅)) ⊆ ((𝑈 𝑅) (𝑈 𝑅)))
412lsmidm 19681 . . . . . . 7 ((𝑈 𝑅) ∈ (SubGrp‘𝑊) → ((𝑈 𝑅) (𝑈 𝑅)) = (𝑈 𝑅))
4236, 41syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑈 𝑅) (𝑈 𝑅)) = (𝑈 𝑅))
4340, 42sseqtrd 4020 . . . . 5 (𝜑 → (𝑈 (𝑄 𝑅)) ⊆ (𝑈 𝑅))
4424, 14sseldd 3984 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑄 𝑅) ∈ (SubGrp‘𝑊))
452lsmub2 19676 . . . . . . 7 ((𝑄 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ 𝑅 ∈ (SubGrp‘𝑊)) → 𝑅 ⊆ (𝑄 𝑅))
4625, 26, 45syl2anc 584 . . . . . 6 (𝜑𝑅 ⊆ (𝑄 𝑅))
472lsmless2 19679 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ (𝑄 𝑅) ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ 𝑅 ⊆ (𝑄 𝑅)) → (𝑈 𝑅) ⊆ (𝑈 (𝑄 𝑅)))
4830, 44, 46, 47syl3anc 1373 . . . . 5 (𝜑 → (𝑈 𝑅) ⊆ (𝑈 (𝑄 𝑅)))
4943, 48eqssd 4001 . . . 4 (𝜑 → (𝑈 (𝑄 𝑅)) = (𝑈 𝑅))
5020, 49breqtrrd 5171 . . 3 (𝜑𝑈( ⋖L𝑊)(𝑈 (𝑄 𝑅)))
511, 2, 4, 7, 8, 14, 50lcvexchlem4 39038 . 2 (𝜑 → (𝑈 ∩ (𝑄 𝑅))( ⋖L𝑊)(𝑄 𝑅))
521, 2, 3, 4, 5, 16, 9, 11, 17, 51lsatcvat2 39052 1 (𝜑 → (𝑈 ∩ (𝑄 𝑅)) ∈ 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940  cin 3950  wss 3951   class class class wbr 5143  cfv 6561  (class class class)co 7431  SubGrpcsubg 19138  LSSumclsm 19652  Abelcabl 19799  LModclmod 20858  LSubSpclss 20929  LVecclvec 21101  LSAtomsclsa 38975  L clcv 39019
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-tpos 8251  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-0g 17486  df-mre 17629  df-mrc 17630  df-acs 17632  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-submnd 18797  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-sbg 18956  df-subg 19141  df-cntz 19335  df-oppg 19364  df-lsm 19654  df-cmn 19800  df-abl 19801  df-mgp 20138  df-rng 20150  df-ur 20179  df-ring 20232  df-oppr 20334  df-dvdsr 20357  df-unit 20358  df-invr 20388  df-drng 20731  df-lmod 20860  df-lss 20930  df-lsp 20970  df-lvec 21102  df-lsatoms 38977  df-lcv 39020
This theorem is referenced by:  l1cvat  39056
  Copyright terms: Public domain W3C validator