Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lsatcvat3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lsatcvat3 36306
Description: A condition implying that a certain subspace is an atom. Part of Lemma 3.2.20 of [PtakPulmannova] p. 68. (atcvat3i 30177 analog.) (Contributed by NM, 11-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lsatcvat3.s 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lsatcvat3.p = (LSSum‘𝑊)
lsatcvat3.a 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
lsatcvat3.w (𝜑𝑊 ∈ LVec)
lsatcvat3.u (𝜑𝑈𝑆)
lsatcvat3.q (𝜑𝑄𝐴)
lsatcvat3.r (𝜑𝑅𝐴)
lsatcvat3.n (𝜑𝑄𝑅)
lsatcvat3.m (𝜑 → ¬ 𝑅𝑈)
lsatcvat3.l (𝜑𝑄 ⊆ (𝑈 𝑅))
Assertion
Ref Expression
lsatcvat3 (𝜑 → (𝑈 ∩ (𝑄 𝑅)) ∈ 𝐴)

Proof of Theorem lsatcvat3
StepHypRef Expression
1 lsatcvat3.s . 2 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
2 lsatcvat3.p . 2 = (LSSum‘𝑊)
3 lsatcvat3.a . 2 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
4 eqid 2822 . 2 ( ⋖L𝑊) = ( ⋖L𝑊)
5 lsatcvat3.w . 2 (𝜑𝑊 ∈ LVec)
6 lveclmod 19869 . . . 4 (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
75, 6syl 17 . . 3 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
8 lsatcvat3.u . . 3 (𝜑𝑈𝑆)
9 lsatcvat3.q . . . . 5 (𝜑𝑄𝐴)
101, 3, 7, 9lsatlssel 36251 . . . 4 (𝜑𝑄𝑆)
11 lsatcvat3.r . . . . 5 (𝜑𝑅𝐴)
121, 3, 7, 11lsatlssel 36251 . . . 4 (𝜑𝑅𝑆)
131, 2lsmcl 19846 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑄𝑆𝑅𝑆) → (𝑄 𝑅) ∈ 𝑆)
147, 10, 12, 13syl3anc 1368 . . 3 (𝜑 → (𝑄 𝑅) ∈ 𝑆)
151lssincl 19728 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆 ∧ (𝑄 𝑅) ∈ 𝑆) → (𝑈 ∩ (𝑄 𝑅)) ∈ 𝑆)
167, 8, 14, 15syl3anc 1368 . 2 (𝜑 → (𝑈 ∩ (𝑄 𝑅)) ∈ 𝑆)
17 lsatcvat3.n . 2 (𝜑𝑄𝑅)
18 lsatcvat3.m . . . . 5 (𝜑 → ¬ 𝑅𝑈)
191, 2, 3, 4, 5, 8, 11lcv1 36295 . . . . 5 (𝜑 → (¬ 𝑅𝑈𝑈( ⋖L𝑊)(𝑈 𝑅)))
2018, 19mpbid 235 . . . 4 (𝜑𝑈( ⋖L𝑊)(𝑈 𝑅))
21 lmodabl 19672 . . . . . . . . . . 11 (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Abel)
227, 21syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑊 ∈ Abel)
231lsssssubg 19721 . . . . . . . . . . . 12 (𝑊 ∈ LMod → 𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝑊))
247, 23syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝑊))
2524, 10sseldd 3943 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑄 ∈ (SubGrp‘𝑊))
2624, 12sseldd 3943 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑅 ∈ (SubGrp‘𝑊))
272lsmcom 18969 . . . . . . . . . 10 ((𝑊 ∈ Abel ∧ 𝑄 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ 𝑅 ∈ (SubGrp‘𝑊)) → (𝑄 𝑅) = (𝑅 𝑄))
2822, 25, 26, 27syl3anc 1368 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑄 𝑅) = (𝑅 𝑄))
2928oveq2d 7156 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑈 (𝑄 𝑅)) = (𝑈 (𝑅 𝑄)))
3024, 8sseldd 3943 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊))
312lsmass 18786 . . . . . . . . 9 ((𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ 𝑅 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ 𝑄 ∈ (SubGrp‘𝑊)) → ((𝑈 𝑅) 𝑄) = (𝑈 (𝑅 𝑄)))
3230, 26, 25, 31syl3anc 1368 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑈 𝑅) 𝑄) = (𝑈 (𝑅 𝑄)))
3329, 32eqtr4d 2860 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑈 (𝑄 𝑅)) = ((𝑈 𝑅) 𝑄))
341, 2lsmcl 19846 . . . . . . . . . 10 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆𝑅𝑆) → (𝑈 𝑅) ∈ 𝑆)
357, 8, 12, 34syl3anc 1368 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑈 𝑅) ∈ 𝑆)
3624, 35sseldd 3943 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑈 𝑅) ∈ (SubGrp‘𝑊))
37 lsatcvat3.l . . . . . . . 8 (𝜑𝑄 ⊆ (𝑈 𝑅))
382lsmless2 18777 . . . . . . . 8 (((𝑈 𝑅) ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ (𝑈 𝑅) ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ 𝑄 ⊆ (𝑈 𝑅)) → ((𝑈 𝑅) 𝑄) ⊆ ((𝑈 𝑅) (𝑈 𝑅)))
3936, 36, 37, 38syl3anc 1368 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑈 𝑅) 𝑄) ⊆ ((𝑈 𝑅) (𝑈 𝑅)))
4033, 39eqsstrd 3980 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑈 (𝑄 𝑅)) ⊆ ((𝑈 𝑅) (𝑈 𝑅)))
412lsmidm 18779 . . . . . . 7 ((𝑈 𝑅) ∈ (SubGrp‘𝑊) → ((𝑈 𝑅) (𝑈 𝑅)) = (𝑈 𝑅))
4236, 41syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑈 𝑅) (𝑈 𝑅)) = (𝑈 𝑅))
4340, 42sseqtrd 3982 . . . . 5 (𝜑 → (𝑈 (𝑄 𝑅)) ⊆ (𝑈 𝑅))
4424, 14sseldd 3943 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑄 𝑅) ∈ (SubGrp‘𝑊))
452lsmub2 18774 . . . . . . 7 ((𝑄 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ 𝑅 ∈ (SubGrp‘𝑊)) → 𝑅 ⊆ (𝑄 𝑅))
4625, 26, 45syl2anc 587 . . . . . 6 (𝜑𝑅 ⊆ (𝑄 𝑅))
472lsmless2 18777 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ (𝑄 𝑅) ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ 𝑅 ⊆ (𝑄 𝑅)) → (𝑈 𝑅) ⊆ (𝑈 (𝑄 𝑅)))
4830, 44, 46, 47syl3anc 1368 . . . . 5 (𝜑 → (𝑈 𝑅) ⊆ (𝑈 (𝑄 𝑅)))
4943, 48eqssd 3959 . . . 4 (𝜑 → (𝑈 (𝑄 𝑅)) = (𝑈 𝑅))
5020, 49breqtrrd 5070 . . 3 (𝜑𝑈( ⋖L𝑊)(𝑈 (𝑄 𝑅)))
511, 2, 4, 7, 8, 14, 50lcvexchlem4 36291 . 2 (𝜑 → (𝑈 ∩ (𝑄 𝑅))( ⋖L𝑊)(𝑄 𝑅))
521, 2, 3, 4, 5, 16, 9, 11, 17, 51lsatcvat2 36305 1 (𝜑 → (𝑈 ∩ (𝑄 𝑅)) ∈ 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4   = wceq 1538  wcel 2114  wne 3011  cin 3907  wss 3908   class class class wbr 5042  cfv 6334  (class class class)co 7140  SubGrpcsubg 18264  LSSumclsm 18750  Abelcabl 18898  LModclmod 19625  LSubSpclss 19694  LVecclvec 19865  LSAtomsclsa 36228  L clcv 36272
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2794  ax-rep 5166  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7446  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2801  df-cleq 2815  df-clel 2894  df-nfc 2962  df-ne 3012  df-nel 3116  df-ral 3135  df-rex 3136  df-reu 3137  df-rmo 3138  df-rab 3139  df-v 3471  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4266  df-if 4440  df-pw 4513  df-sn 4540  df-pr 4542  df-tp 4544  df-op 4546  df-uni 4814  df-int 4852  df-iun 4896  df-iin 4897  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-tr 5149  df-id 5437  df-eprel 5442  df-po 5451  df-so 5452  df-fr 5491  df-we 5493  df-xp 5538  df-rel 5539  df-cnv 5540  df-co 5541  df-dm 5542  df-rn 5543  df-res 5544  df-ima 5545  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6293  df-fun 6336  df-fn 6337  df-f 6338  df-f1 6339  df-fo 6340  df-f1o 6341  df-fv 6342  df-riota 7098  df-ov 7143  df-oprab 7144  df-mpo 7145  df-om 7566  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-tpos 7879  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-oadd 8093  df-er 8276  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-ndx 16477  df-slot 16478  df-base 16480  df-sets 16481  df-ress 16482  df-plusg 16569  df-mulr 16570  df-0g 16706  df-mre 16848  df-mrc 16849  df-acs 16851  df-mgm 17843  df-sgrp 17892  df-mnd 17903  df-submnd 17948  df-grp 18097  df-minusg 18098  df-sbg 18099  df-subg 18267  df-cntz 18438  df-oppg 18465  df-lsm 18752  df-cmn 18899  df-abl 18900  df-mgp 19231  df-ur 19243  df-ring 19290  df-oppr 19367  df-dvdsr 19385  df-unit 19386  df-invr 19416  df-drng 19495  df-lmod 19627  df-lss 19695  df-lsp 19735  df-lvec 19866  df-lsatoms 36230  df-lcv 36273
This theorem is referenced by:  l1cvat  36309
  Copyright terms: Public domain W3C validator