Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lsatcvat3 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem lsatcvat3 38435
Description: A condition implying that a certain subspace is an atom. Part of Lemma 3.2.20 of [PtakPulmannova] p. 68. (atcvat3i 32158 analog.) (Contributed by NM, 11-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lsatcvat3.s 𝑆 = (LSubSpβ€˜π‘Š)
lsatcvat3.p βŠ• = (LSSumβ€˜π‘Š)
lsatcvat3.a 𝐴 = (LSAtomsβ€˜π‘Š)
lsatcvat3.w (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LVec)
lsatcvat3.u (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝑆)
lsatcvat3.q (πœ‘ β†’ 𝑄 ∈ 𝐴)
lsatcvat3.r (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ 𝐴)
lsatcvat3.n (πœ‘ β†’ 𝑄 β‰  𝑅)
lsatcvat3.m (πœ‘ β†’ Β¬ 𝑅 βŠ† π‘ˆ)
lsatcvat3.l (πœ‘ β†’ 𝑄 βŠ† (π‘ˆ βŠ• 𝑅))
Assertion
Ref Expression
lsatcvat3 (πœ‘ β†’ (π‘ˆ ∩ (𝑄 βŠ• 𝑅)) ∈ 𝐴)
Proof of Theorem lsatcvat3
StepHypRef Expression
1 lsatcvat3.s . 2 𝑆 = (LSubSpβ€˜π‘Š)
2 lsatcvat3.p . 2 βŠ• = (LSSumβ€˜π‘Š)
3 lsatcvat3.a . 2 𝐴 = (LSAtomsβ€˜π‘Š)
4 eqid 2726 . 2 ( β‹–L β€˜π‘Š) = ( β‹–L β€˜π‘Š)
5 lsatcvat3.w . 2 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LVec)
6 lveclmod 20954 . . . 4 (π‘Š ∈ LVec β†’ π‘Š ∈ LMod)
75, 6syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LMod)
8 lsatcvat3.u . . 3 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝑆)
9 lsatcvat3.q . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑄 ∈ 𝐴)
101, 3, 7, 9lsatlssel 38380 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑄 ∈ 𝑆)
11 lsatcvat3.r . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ 𝐴)
121, 3, 7, 11lsatlssel 38380 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ 𝑆)
131, 2lsmcl 20931 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑄 ∈ 𝑆 ∧ 𝑅 ∈ 𝑆) β†’ (𝑄 βŠ• 𝑅) ∈ 𝑆)
147, 10, 12, 13syl3anc 1368 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑄 βŠ• 𝑅) ∈ 𝑆)
151lssincl 20812 . . 3 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ (𝑄 βŠ• 𝑅) ∈ 𝑆) β†’ (π‘ˆ ∩ (𝑄 βŠ• 𝑅)) ∈ 𝑆)
167, 8, 14, 15syl3anc 1368 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘ˆ ∩ (𝑄 βŠ• 𝑅)) ∈ 𝑆)
17 lsatcvat3.n . 2 (πœ‘ β†’ 𝑄 β‰  𝑅)
18 lsatcvat3.m . . . . 5 (πœ‘ β†’ Β¬ 𝑅 βŠ† π‘ˆ)
191, 2, 3, 4, 5, 8, 11lcv1 38424 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (Β¬ 𝑅 βŠ† π‘ˆ ↔ π‘ˆ( β‹–L β€˜π‘Š)(π‘ˆ βŠ• 𝑅)))
2018, 19mpbid 231 . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘ˆ( β‹–L β€˜π‘Š)(π‘ˆ βŠ• 𝑅))
21 lmodabl 20755 . . . . . . . . . . 11 (π‘Š ∈ LMod β†’ π‘Š ∈ Abel)
227, 21syl 17 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ Abel)
231lsssssubg 20805 . . . . . . . . . . . 12 (π‘Š ∈ LMod β†’ 𝑆 βŠ† (SubGrpβ€˜π‘Š))
247, 23syl 17 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝑆 βŠ† (SubGrpβ€˜π‘Š))
2524, 10sseldd 3978 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑄 ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š))
2624, 12sseldd 3978 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š))
272lsmcom 19778 . . . . . . . . . 10 ((π‘Š ∈ Abel ∧ 𝑄 ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š) ∧ 𝑅 ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š)) β†’ (𝑄 βŠ• 𝑅) = (𝑅 βŠ• 𝑄))
2822, 25, 26, 27syl3anc 1368 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝑄 βŠ• 𝑅) = (𝑅 βŠ• 𝑄))
2928oveq2d 7421 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘ˆ βŠ• (𝑄 βŠ• 𝑅)) = (π‘ˆ βŠ• (𝑅 βŠ• 𝑄)))
3024, 8sseldd 3978 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š))
312lsmass 19589 . . . . . . . . 9 ((π‘ˆ ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š) ∧ 𝑅 ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š) ∧ 𝑄 ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š)) β†’ ((π‘ˆ βŠ• 𝑅) βŠ• 𝑄) = (π‘ˆ βŠ• (𝑅 βŠ• 𝑄)))
3230, 26, 25, 31syl3anc 1368 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((π‘ˆ βŠ• 𝑅) βŠ• 𝑄) = (π‘ˆ βŠ• (𝑅 βŠ• 𝑄)))
3329, 32eqtr4d 2769 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘ˆ βŠ• (𝑄 βŠ• 𝑅)) = ((π‘ˆ βŠ• 𝑅) βŠ• 𝑄))
341, 2lsmcl 20931 . . . . . . . . . 10 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ 𝑅 ∈ 𝑆) β†’ (π‘ˆ βŠ• 𝑅) ∈ 𝑆)
357, 8, 12, 34syl3anc 1368 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (π‘ˆ βŠ• 𝑅) ∈ 𝑆)
3624, 35sseldd 3978 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘ˆ βŠ• 𝑅) ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š))
37 lsatcvat3.l . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑄 βŠ† (π‘ˆ βŠ• 𝑅))
382lsmless2 19581 . . . . . . . 8 (((π‘ˆ βŠ• 𝑅) ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š) ∧ (π‘ˆ βŠ• 𝑅) ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š) ∧ 𝑄 βŠ† (π‘ˆ βŠ• 𝑅)) β†’ ((π‘ˆ βŠ• 𝑅) βŠ• 𝑄) βŠ† ((π‘ˆ βŠ• 𝑅) βŠ• (π‘ˆ βŠ• 𝑅)))
3936, 36, 37, 38syl3anc 1368 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((π‘ˆ βŠ• 𝑅) βŠ• 𝑄) βŠ† ((π‘ˆ βŠ• 𝑅) βŠ• (π‘ˆ βŠ• 𝑅)))
4033, 39eqsstrd 4015 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘ˆ βŠ• (𝑄 βŠ• 𝑅)) βŠ† ((π‘ˆ βŠ• 𝑅) βŠ• (π‘ˆ βŠ• 𝑅)))
412lsmidm 19583 . . . . . . 7 ((π‘ˆ βŠ• 𝑅) ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š) β†’ ((π‘ˆ βŠ• 𝑅) βŠ• (π‘ˆ βŠ• 𝑅)) = (π‘ˆ βŠ• 𝑅))
4236, 41syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((π‘ˆ βŠ• 𝑅) βŠ• (π‘ˆ βŠ• 𝑅)) = (π‘ˆ βŠ• 𝑅))
4340, 42sseqtrd 4017 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘ˆ βŠ• (𝑄 βŠ• 𝑅)) βŠ† (π‘ˆ βŠ• 𝑅))
4424, 14sseldd 3978 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑄 βŠ• 𝑅) ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š))
452lsmub2 19578 . . . . . . 7 ((𝑄 ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š) ∧ 𝑅 ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š)) β†’ 𝑅 βŠ† (𝑄 βŠ• 𝑅))
4625, 26, 45syl2anc 583 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑅 βŠ† (𝑄 βŠ• 𝑅))
472lsmless2 19581 . . . . . 6 ((π‘ˆ ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š) ∧ (𝑄 βŠ• 𝑅) ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š) ∧ 𝑅 βŠ† (𝑄 βŠ• 𝑅)) β†’ (π‘ˆ βŠ• 𝑅) βŠ† (π‘ˆ βŠ• (𝑄 βŠ• 𝑅)))
4830, 44, 46, 47syl3anc 1368 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘ˆ βŠ• 𝑅) βŠ† (π‘ˆ βŠ• (𝑄 βŠ• 𝑅)))
4943, 48eqssd 3994 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘ˆ βŠ• (𝑄 βŠ• 𝑅)) = (π‘ˆ βŠ• 𝑅))
5020, 49breqtrrd 5169 . . 3 (πœ‘ β†’ π‘ˆ( β‹–L β€˜π‘Š)(π‘ˆ βŠ• (𝑄 βŠ• 𝑅)))
511, 2, 4, 7, 8, 14, 50lcvexchlem4 38420 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘ˆ ∩ (𝑄 βŠ• 𝑅))( β‹–L β€˜π‘Š)(𝑄 βŠ• 𝑅))
521, 2, 3, 4, 5, 16, 9, 11, 17, 51lsatcvat2 38434 1 (πœ‘ β†’ (π‘ˆ ∩ (𝑄 βŠ• 𝑅)) ∈ 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2934   ∩ cin 3942   βŠ† wss 3943   class class class wbr 5141  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  SubGrpcsubg 19047  LSSumclsm 19554  Abelcabl 19701  LModclmod 20706  LSubSpclss 20778  LVecclvec 20950  LSAtomsclsa 38357   β‹–L clcv 38401
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-tpos 8212  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-ress 17183  df-plusg 17219  df-mulr 17220  df-0g 17396  df-mre 17539  df-mrc 17540  df-acs 17542  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-submnd 18714  df-grp 18866  df-minusg 18867  df-sbg 18868  df-subg 19050  df-cntz 19233  df-oppg 19262  df-lsm 19556  df-cmn 19702  df-abl 19703  df-mgp 20040  df-rng 20058  df-ur 20087  df-ring 20140  df-oppr 20236  df-dvdsr 20259  df-unit 20260  df-invr 20290  df-drng 20589  df-lmod 20708  df-lss 20779  df-lsp 20819  df-lvec 20951  df-lsatoms 38359  df-lcv 38402
This theorem is referenced by:  l1cvat  38438
  Copyright terms: Public domain W3C validator