Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lsatcvat3 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem lsatcvat3 37917
Description: A condition implying that a certain subspace is an atom. Part of Lemma 3.2.20 of [PtakPulmannova] p. 68. (atcvat3i 31644 analog.) (Contributed by NM, 11-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lsatcvat3.s 𝑆 = (LSubSpβ€˜π‘Š)
lsatcvat3.p βŠ• = (LSSumβ€˜π‘Š)
lsatcvat3.a 𝐴 = (LSAtomsβ€˜π‘Š)
lsatcvat3.w (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LVec)
lsatcvat3.u (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝑆)
lsatcvat3.q (πœ‘ β†’ 𝑄 ∈ 𝐴)
lsatcvat3.r (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ 𝐴)
lsatcvat3.n (πœ‘ β†’ 𝑄 β‰  𝑅)
lsatcvat3.m (πœ‘ β†’ Β¬ 𝑅 βŠ† π‘ˆ)
lsatcvat3.l (πœ‘ β†’ 𝑄 βŠ† (π‘ˆ βŠ• 𝑅))
Assertion
Ref Expression
lsatcvat3 (πœ‘ β†’ (π‘ˆ ∩ (𝑄 βŠ• 𝑅)) ∈ 𝐴)
Proof of Theorem lsatcvat3
StepHypRef Expression
1 lsatcvat3.s . 2 𝑆 = (LSubSpβ€˜π‘Š)
2 lsatcvat3.p . 2 βŠ• = (LSSumβ€˜π‘Š)
3 lsatcvat3.a . 2 𝐴 = (LSAtomsβ€˜π‘Š)
4 eqid 2732 . 2 ( β‹–L β€˜π‘Š) = ( β‹–L β€˜π‘Š)
5 lsatcvat3.w . 2 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LVec)
6 lveclmod 20716 . . . 4 (π‘Š ∈ LVec β†’ π‘Š ∈ LMod)
75, 6syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LMod)
8 lsatcvat3.u . . 3 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝑆)
9 lsatcvat3.q . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑄 ∈ 𝐴)
101, 3, 7, 9lsatlssel 37862 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑄 ∈ 𝑆)
11 lsatcvat3.r . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ 𝐴)
121, 3, 7, 11lsatlssel 37862 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ 𝑆)
131, 2lsmcl 20693 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑄 ∈ 𝑆 ∧ 𝑅 ∈ 𝑆) β†’ (𝑄 βŠ• 𝑅) ∈ 𝑆)
147, 10, 12, 13syl3anc 1371 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑄 βŠ• 𝑅) ∈ 𝑆)
151lssincl 20575 . . 3 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ (𝑄 βŠ• 𝑅) ∈ 𝑆) β†’ (π‘ˆ ∩ (𝑄 βŠ• 𝑅)) ∈ 𝑆)
167, 8, 14, 15syl3anc 1371 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘ˆ ∩ (𝑄 βŠ• 𝑅)) ∈ 𝑆)
17 lsatcvat3.n . 2 (πœ‘ β†’ 𝑄 β‰  𝑅)
18 lsatcvat3.m . . . . 5 (πœ‘ β†’ Β¬ 𝑅 βŠ† π‘ˆ)
191, 2, 3, 4, 5, 8, 11lcv1 37906 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (Β¬ 𝑅 βŠ† π‘ˆ ↔ π‘ˆ( β‹–L β€˜π‘Š)(π‘ˆ βŠ• 𝑅)))
2018, 19mpbid 231 . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘ˆ( β‹–L β€˜π‘Š)(π‘ˆ βŠ• 𝑅))
21 lmodabl 20518 . . . . . . . . . . 11 (π‘Š ∈ LMod β†’ π‘Š ∈ Abel)
227, 21syl 17 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ Abel)
231lsssssubg 20568 . . . . . . . . . . . 12 (π‘Š ∈ LMod β†’ 𝑆 βŠ† (SubGrpβ€˜π‘Š))
247, 23syl 17 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝑆 βŠ† (SubGrpβ€˜π‘Š))
2524, 10sseldd 3983 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑄 ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š))
2624, 12sseldd 3983 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š))
272lsmcom 19725 . . . . . . . . . 10 ((π‘Š ∈ Abel ∧ 𝑄 ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š) ∧ 𝑅 ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š)) β†’ (𝑄 βŠ• 𝑅) = (𝑅 βŠ• 𝑄))
2822, 25, 26, 27syl3anc 1371 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝑄 βŠ• 𝑅) = (𝑅 βŠ• 𝑄))
2928oveq2d 7424 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘ˆ βŠ• (𝑄 βŠ• 𝑅)) = (π‘ˆ βŠ• (𝑅 βŠ• 𝑄)))
3024, 8sseldd 3983 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š))
312lsmass 19536 . . . . . . . . 9 ((π‘ˆ ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š) ∧ 𝑅 ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š) ∧ 𝑄 ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š)) β†’ ((π‘ˆ βŠ• 𝑅) βŠ• 𝑄) = (π‘ˆ βŠ• (𝑅 βŠ• 𝑄)))
3230, 26, 25, 31syl3anc 1371 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((π‘ˆ βŠ• 𝑅) βŠ• 𝑄) = (π‘ˆ βŠ• (𝑅 βŠ• 𝑄)))
3329, 32eqtr4d 2775 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘ˆ βŠ• (𝑄 βŠ• 𝑅)) = ((π‘ˆ βŠ• 𝑅) βŠ• 𝑄))
341, 2lsmcl 20693 . . . . . . . . . 10 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ 𝑅 ∈ 𝑆) β†’ (π‘ˆ βŠ• 𝑅) ∈ 𝑆)
357, 8, 12, 34syl3anc 1371 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (π‘ˆ βŠ• 𝑅) ∈ 𝑆)
3624, 35sseldd 3983 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘ˆ βŠ• 𝑅) ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š))
37 lsatcvat3.l . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑄 βŠ† (π‘ˆ βŠ• 𝑅))
382lsmless2 19528 . . . . . . . 8 (((π‘ˆ βŠ• 𝑅) ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š) ∧ (π‘ˆ βŠ• 𝑅) ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š) ∧ 𝑄 βŠ† (π‘ˆ βŠ• 𝑅)) β†’ ((π‘ˆ βŠ• 𝑅) βŠ• 𝑄) βŠ† ((π‘ˆ βŠ• 𝑅) βŠ• (π‘ˆ βŠ• 𝑅)))
3936, 36, 37, 38syl3anc 1371 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((π‘ˆ βŠ• 𝑅) βŠ• 𝑄) βŠ† ((π‘ˆ βŠ• 𝑅) βŠ• (π‘ˆ βŠ• 𝑅)))
4033, 39eqsstrd 4020 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘ˆ βŠ• (𝑄 βŠ• 𝑅)) βŠ† ((π‘ˆ βŠ• 𝑅) βŠ• (π‘ˆ βŠ• 𝑅)))
412lsmidm 19530 . . . . . . 7 ((π‘ˆ βŠ• 𝑅) ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š) β†’ ((π‘ˆ βŠ• 𝑅) βŠ• (π‘ˆ βŠ• 𝑅)) = (π‘ˆ βŠ• 𝑅))
4236, 41syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((π‘ˆ βŠ• 𝑅) βŠ• (π‘ˆ βŠ• 𝑅)) = (π‘ˆ βŠ• 𝑅))
4340, 42sseqtrd 4022 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘ˆ βŠ• (𝑄 βŠ• 𝑅)) βŠ† (π‘ˆ βŠ• 𝑅))
4424, 14sseldd 3983 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑄 βŠ• 𝑅) ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š))
452lsmub2 19525 . . . . . . 7 ((𝑄 ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š) ∧ 𝑅 ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š)) β†’ 𝑅 βŠ† (𝑄 βŠ• 𝑅))
4625, 26, 45syl2anc 584 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑅 βŠ† (𝑄 βŠ• 𝑅))
472lsmless2 19528 . . . . . 6 ((π‘ˆ ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š) ∧ (𝑄 βŠ• 𝑅) ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š) ∧ 𝑅 βŠ† (𝑄 βŠ• 𝑅)) β†’ (π‘ˆ βŠ• 𝑅) βŠ† (π‘ˆ βŠ• (𝑄 βŠ• 𝑅)))
4830, 44, 46, 47syl3anc 1371 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘ˆ βŠ• 𝑅) βŠ† (π‘ˆ βŠ• (𝑄 βŠ• 𝑅)))
4943, 48eqssd 3999 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘ˆ βŠ• (𝑄 βŠ• 𝑅)) = (π‘ˆ βŠ• 𝑅))
5020, 49breqtrrd 5176 . . 3 (πœ‘ β†’ π‘ˆ( β‹–L β€˜π‘Š)(π‘ˆ βŠ• (𝑄 βŠ• 𝑅)))
511, 2, 4, 7, 8, 14, 50lcvexchlem4 37902 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘ˆ ∩ (𝑄 βŠ• 𝑅))( β‹–L β€˜π‘Š)(𝑄 βŠ• 𝑅))
521, 2, 3, 4, 5, 16, 9, 11, 17, 51lsatcvat2 37916 1 (πœ‘ β†’ (π‘ˆ ∩ (𝑄 βŠ• 𝑅)) ∈ 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940   ∩ cin 3947   βŠ† wss 3948   class class class wbr 5148  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7408  SubGrpcsubg 18999  LSSumclsm 19501  Abelcabl 19648  LModclmod 20470  LSubSpclss 20541  LVecclvec 20712  LSAtomsclsa 37839   β‹–L clcv 37883
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-tpos 8210  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-1o 8465  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-ress 17173  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-0g 17386  df-mre 17529  df-mrc 17530  df-acs 17532  df-mgm 18560  df-sgrp 18609  df-mnd 18625  df-submnd 18671  df-grp 18821  df-minusg 18822  df-sbg 18823  df-subg 19002  df-cntz 19180  df-oppg 19209  df-lsm 19503  df-cmn 19649  df-abl 19650  df-mgp 19987  df-ur 20004  df-ring 20057  df-oppr 20149  df-dvdsr 20170  df-unit 20171  df-invr 20201  df-drng 20358  df-lmod 20472  df-lss 20542  df-lsp 20582  df-lvec 20713  df-lsatoms 37841  df-lcv 37884
This theorem is referenced by:  l1cvat  37920
  Copyright terms: Public domain W3C validator