Theorem lsm4 19461

Description: Commutative/associative law for subgroup sum. (Contributed by NM, 26-Sep-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
lsmcom.s	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
lsm4	⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑄 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑅 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ (𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))) → ((𝑄 ⊕ 𝑅) ⊕ (𝑇 ⊕ 𝑈)) = ((𝑄 ⊕ 𝑇) ⊕ (𝑅 ⊕ 𝑈)))

Proof of Theorem lsm4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1135	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑄 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑅 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ (𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))) → 𝐺 ∈ Abel)
2		simp2r 1199	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑄 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑅 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ (𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))) → 𝑅 ∈ (SubGrp‘𝐺))
3		simp3l 1200	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑄 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑅 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ (𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))) → 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺))
4		lsmcom.s	. . . . . . 7 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝐺)
5	4	lsmcom 19459	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑅 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → (𝑅 ⊕ 𝑇) = (𝑇 ⊕ 𝑅))
6	1, 2, 3, 5	syl3anc 1370	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑄 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑅 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ (𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))) → (𝑅 ⊕ 𝑇) = (𝑇 ⊕ 𝑅))
7	6	oveq2d 7291	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑄 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑅 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ (𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))) → (𝑄 ⊕ (𝑅 ⊕ 𝑇)) = (𝑄 ⊕ (𝑇 ⊕ 𝑅)))
8		simp2l 1198	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑄 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑅 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ (𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))) → 𝑄 ∈ (SubGrp‘𝐺))
9	4	lsmass 19275	. . . . 5 ⊢ ((𝑄 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑅 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → ((𝑄 ⊕ 𝑅) ⊕ 𝑇) = (𝑄 ⊕ (𝑅 ⊕ 𝑇)))
10	8, 2, 3, 9	syl3anc 1370	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑄 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑅 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ (𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))) → ((𝑄 ⊕ 𝑅) ⊕ 𝑇) = (𝑄 ⊕ (𝑅 ⊕ 𝑇)))
11	4	lsmass 19275	. . . . 5 ⊢ ((𝑄 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑅 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → ((𝑄 ⊕ 𝑇) ⊕ 𝑅) = (𝑄 ⊕ (𝑇 ⊕ 𝑅)))
12	8, 3, 2, 11	syl3anc 1370	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑄 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑅 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ (𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))) → ((𝑄 ⊕ 𝑇) ⊕ 𝑅) = (𝑄 ⊕ (𝑇 ⊕ 𝑅)))
13	7, 10, 12	3eqtr4d 2788	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑄 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑅 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ (𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))) → ((𝑄 ⊕ 𝑅) ⊕ 𝑇) = ((𝑄 ⊕ 𝑇) ⊕ 𝑅))
14	13	oveq1d 7290	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑄 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑅 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ (𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))) → (((𝑄 ⊕ 𝑅) ⊕ 𝑇) ⊕ 𝑈) = (((𝑄 ⊕ 𝑇) ⊕ 𝑅) ⊕ 𝑈))
15	4	lsmsubg2 19460	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑄 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑅 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → (𝑄 ⊕ 𝑅) ∈ (SubGrp‘𝐺))
16	1, 8, 2, 15	syl3anc 1370	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑄 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑅 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ (𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))) → (𝑄 ⊕ 𝑅) ∈ (SubGrp‘𝐺))
17		simp3r 1201	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑄 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑅 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ (𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))) → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))
18	4	lsmass 19275	. . 3 ⊢ (((𝑄 ⊕ 𝑅) ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → (((𝑄 ⊕ 𝑅) ⊕ 𝑇) ⊕ 𝑈) = ((𝑄 ⊕ 𝑅) ⊕ (𝑇 ⊕ 𝑈)))
19	16, 3, 17, 18	syl3anc 1370	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑄 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑅 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ (𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))) → (((𝑄 ⊕ 𝑅) ⊕ 𝑇) ⊕ 𝑈) = ((𝑄 ⊕ 𝑅) ⊕ (𝑇 ⊕ 𝑈)))
20	4	lsmsubg2 19460	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑄 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → (𝑄 ⊕ 𝑇) ∈ (SubGrp‘𝐺))
21	1, 8, 3, 20	syl3anc 1370	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑄 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑅 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ (𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))) → (𝑄 ⊕ 𝑇) ∈ (SubGrp‘𝐺))
22	4	lsmass 19275	. . 3 ⊢ (((𝑄 ⊕ 𝑇) ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑅 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → (((𝑄 ⊕ 𝑇) ⊕ 𝑅) ⊕ 𝑈) = ((𝑄 ⊕ 𝑇) ⊕ (𝑅 ⊕ 𝑈)))
23	21, 2, 17, 22	syl3anc 1370	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑄 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑅 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ (𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))) → (((𝑄 ⊕ 𝑇) ⊕ 𝑅) ⊕ 𝑈) = ((𝑄 ⊕ 𝑇) ⊕ (𝑅 ⊕ 𝑈)))
24	14, 19, 23	3eqtr3d 2786	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑄 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑅 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ (𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))) → ((𝑄 ⊕ 𝑅) ⊕ (𝑇 ⊕ 𝑈)) = ((𝑄 ⊕ 𝑇) ⊕ (𝑅 ⊕ 𝑈)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  SubGrpcsubg 18749  LSSumclsm 19239  Abelcabl 19387

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-2 12036  df-sets 16865  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-ress 16942  df-plusg 16975  df-0g 17152  df-mgm 18326  df-sgrp 18375  df-mnd 18386  df-submnd 18431  df-grp 18580  df-minusg 18581  df-subg 18752  df-cntz 18923  df-lsm 19241  df-cmn 19388  df-abl 19389

This theorem is referenced by:  dihjatcclem1  39432