Theorem lsm4 19376

Description: Commutative/associative law for subgroup sum. (Contributed by NM, 26-Sep-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
lsmcom.s	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
lsm4	⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑄 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑅 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ (𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))) → ((𝑄 ⊕ 𝑅) ⊕ (𝑇 ⊕ 𝑈)) = ((𝑄 ⊕ 𝑇) ⊕ (𝑅 ⊕ 𝑈)))

Proof of Theorem lsm4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1134	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑄 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑅 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ (𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))) → 𝐺 ∈ Abel)
2		simp2r 1198	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑄 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑅 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ (𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))) → 𝑅 ∈ (SubGrp‘𝐺))
3		simp3l 1199	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑄 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑅 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ (𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))) → 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺))
4		lsmcom.s	. . . . . . 7 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝐺)
5	4	lsmcom 19374	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑅 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → (𝑅 ⊕ 𝑇) = (𝑇 ⊕ 𝑅))
6	1, 2, 3, 5	syl3anc 1369	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑄 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑅 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ (𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))) → (𝑅 ⊕ 𝑇) = (𝑇 ⊕ 𝑅))
7	6	oveq2d 7271	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑄 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑅 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ (𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))) → (𝑄 ⊕ (𝑅 ⊕ 𝑇)) = (𝑄 ⊕ (𝑇 ⊕ 𝑅)))
8		simp2l 1197	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑄 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑅 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ (𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))) → 𝑄 ∈ (SubGrp‘𝐺))
9	4	lsmass 19190	. . . . 5 ⊢ ((𝑄 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑅 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → ((𝑄 ⊕ 𝑅) ⊕ 𝑇) = (𝑄 ⊕ (𝑅 ⊕ 𝑇)))
10	8, 2, 3, 9	syl3anc 1369	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑄 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑅 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ (𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))) → ((𝑄 ⊕ 𝑅) ⊕ 𝑇) = (𝑄 ⊕ (𝑅 ⊕ 𝑇)))
11	4	lsmass 19190	. . . . 5 ⊢ ((𝑄 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑅 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → ((𝑄 ⊕ 𝑇) ⊕ 𝑅) = (𝑄 ⊕ (𝑇 ⊕ 𝑅)))
12	8, 3, 2, 11	syl3anc 1369	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑄 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑅 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ (𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))) → ((𝑄 ⊕ 𝑇) ⊕ 𝑅) = (𝑄 ⊕ (𝑇 ⊕ 𝑅)))
13	7, 10, 12	3eqtr4d 2788	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑄 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑅 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ (𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))) → ((𝑄 ⊕ 𝑅) ⊕ 𝑇) = ((𝑄 ⊕ 𝑇) ⊕ 𝑅))
14	13	oveq1d 7270	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑄 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑅 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ (𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))) → (((𝑄 ⊕ 𝑅) ⊕ 𝑇) ⊕ 𝑈) = (((𝑄 ⊕ 𝑇) ⊕ 𝑅) ⊕ 𝑈))
15	4	lsmsubg2 19375	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑄 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑅 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → (𝑄 ⊕ 𝑅) ∈ (SubGrp‘𝐺))
16	1, 8, 2, 15	syl3anc 1369	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑄 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑅 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ (𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))) → (𝑄 ⊕ 𝑅) ∈ (SubGrp‘𝐺))
17		simp3r 1200	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑄 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑅 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ (𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))) → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))
18	4	lsmass 19190	. . 3 ⊢ (((𝑄 ⊕ 𝑅) ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → (((𝑄 ⊕ 𝑅) ⊕ 𝑇) ⊕ 𝑈) = ((𝑄 ⊕ 𝑅) ⊕ (𝑇 ⊕ 𝑈)))
19	16, 3, 17, 18	syl3anc 1369	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑄 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑅 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ (𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))) → (((𝑄 ⊕ 𝑅) ⊕ 𝑇) ⊕ 𝑈) = ((𝑄 ⊕ 𝑅) ⊕ (𝑇 ⊕ 𝑈)))
20	4	lsmsubg2 19375	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑄 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → (𝑄 ⊕ 𝑇) ∈ (SubGrp‘𝐺))
21	1, 8, 3, 20	syl3anc 1369	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑄 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑅 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ (𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))) → (𝑄 ⊕ 𝑇) ∈ (SubGrp‘𝐺))
22	4	lsmass 19190	. . 3 ⊢ (((𝑄 ⊕ 𝑇) ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑅 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → (((𝑄 ⊕ 𝑇) ⊕ 𝑅) ⊕ 𝑈) = ((𝑄 ⊕ 𝑇) ⊕ (𝑅 ⊕ 𝑈)))
23	21, 2, 17, 22	syl3anc 1369	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑄 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑅 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ (𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))) → (((𝑄 ⊕ 𝑇) ⊕ 𝑅) ⊕ 𝑈) = ((𝑄 ⊕ 𝑇) ⊕ (𝑅 ⊕ 𝑈)))
24	14, 19, 23	3eqtr3d 2786	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑄 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑅 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ (𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))) → ((𝑄 ⊕ 𝑅) ⊕ (𝑇 ⊕ 𝑈)) = ((𝑄 ⊕ 𝑇) ⊕ (𝑅 ⊕ 𝑈)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  SubGrpcsubg 18664  LSSumclsm 19154  Abelcabl 19302

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-2 11966  df-sets 16793  df-slot 16811  df-ndx 16823  df-base 16841  df-ress 16868  df-plusg 16901  df-0g 17069  df-mgm 18241  df-sgrp 18290  df-mnd 18301  df-submnd 18346  df-grp 18495  df-minusg 18496  df-subg 18667  df-cntz 18838  df-lsm 19156  df-cmn 19303  df-abl 19304

This theorem is referenced by:  dihjatcclem1  39359