Theorem lsm4 19934

Description: Commutative/associative law for subgroup sum. (Contributed by NM, 26-Sep-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
lsmcom.s	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
lsm4	⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑄 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑅 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ (𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))) → ((𝑄 ⊕ 𝑅) ⊕ (𝑇 ⊕ 𝑈)) = ((𝑄 ⊕ 𝑇) ⊕ (𝑅 ⊕ 𝑈)))

Proof of Theorem lsm4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1154	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑄 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑅 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ (𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))) → 𝐺 ∈ Abel)
2		simp2r 1219	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑄 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑅 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ (𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))) → 𝑅 ∈ (SubGrp‘𝐺))
3		simp3l 1220	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑄 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑅 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ (𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))) → 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺))
4		lsmcom.s	. . . . . . 7 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝐺)
5	4	lsmcom 19932	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑅 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → (𝑅 ⊕ 𝑇) = (𝑇 ⊕ 𝑅))
6	1, 2, 3, 5	syl3anc 1398	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑄 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑅 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ (𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))) → (𝑅 ⊕ 𝑇) = (𝑇 ⊕ 𝑅))
7	6	oveq2d 7426	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑄 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑅 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ (𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))) → (𝑄 ⊕ (𝑅 ⊕ 𝑇)) = (𝑄 ⊕ (𝑇 ⊕ 𝑅)))
8		simp2l 1218	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑄 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑅 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ (𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))) → 𝑄 ∈ (SubGrp‘𝐺))
9	4	lsmass 19743	. . . . 5 ⊢ ((𝑄 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑅 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → ((𝑄 ⊕ 𝑅) ⊕ 𝑇) = (𝑄 ⊕ (𝑅 ⊕ 𝑇)))
10	8, 2, 3, 9	syl3anc 1398	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑄 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑅 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ (𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))) → ((𝑄 ⊕ 𝑅) ⊕ 𝑇) = (𝑄 ⊕ (𝑅 ⊕ 𝑇)))
11	4	lsmass 19743	. . . . 5 ⊢ ((𝑄 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑅 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → ((𝑄 ⊕ 𝑇) ⊕ 𝑅) = (𝑄 ⊕ (𝑇 ⊕ 𝑅)))
12	8, 3, 2, 11	syl3anc 1398	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑄 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑅 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ (𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))) → ((𝑄 ⊕ 𝑇) ⊕ 𝑅) = (𝑄 ⊕ (𝑇 ⊕ 𝑅)))
13	7, 10, 12	3eqtr4d 2808	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑄 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑅 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ (𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))) → ((𝑄 ⊕ 𝑅) ⊕ 𝑇) = ((𝑄 ⊕ 𝑇) ⊕ 𝑅))
14	13	oveq1d 7425	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑄 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑅 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ (𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))) → (((𝑄 ⊕ 𝑅) ⊕ 𝑇) ⊕ 𝑈) = (((𝑄 ⊕ 𝑇) ⊕ 𝑅) ⊕ 𝑈))
15	4	lsmsubg2 19933	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑄 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑅 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → (𝑄 ⊕ 𝑅) ∈ (SubGrp‘𝐺))
16	1, 8, 2, 15	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑄 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑅 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ (𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))) → (𝑄 ⊕ 𝑅) ∈ (SubGrp‘𝐺))
17		simp3r 1221	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑄 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑅 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ (𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))) → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))
18	4	lsmass 19743	. . 3 ⊢ (((𝑄 ⊕ 𝑅) ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → (((𝑄 ⊕ 𝑅) ⊕ 𝑇) ⊕ 𝑈) = ((𝑄 ⊕ 𝑅) ⊕ (𝑇 ⊕ 𝑈)))
19	16, 3, 17, 18	syl3anc 1398	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑄 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑅 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ (𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))) → (((𝑄 ⊕ 𝑅) ⊕ 𝑇) ⊕ 𝑈) = ((𝑄 ⊕ 𝑅) ⊕ (𝑇 ⊕ 𝑈)))
20	4	lsmsubg2 19933	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑄 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → (𝑄 ⊕ 𝑇) ∈ (SubGrp‘𝐺))
21	1, 8, 3, 20	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑄 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑅 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ (𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))) → (𝑄 ⊕ 𝑇) ∈ (SubGrp‘𝐺))
22	4	lsmass 19743	. . 3 ⊢ (((𝑄 ⊕ 𝑇) ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑅 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → (((𝑄 ⊕ 𝑇) ⊕ 𝑅) ⊕ 𝑈) = ((𝑄 ⊕ 𝑇) ⊕ (𝑅 ⊕ 𝑈)))
23	21, 2, 17, 22	syl3anc 1398	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑄 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑅 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ (𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))) → (((𝑄 ⊕ 𝑇) ⊕ 𝑅) ⊕ 𝑈) = ((𝑄 ⊕ 𝑇) ⊕ (𝑅 ⊕ 𝑈)))
24	14, 19, 23	3eqtr3d 2806	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑄 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑅 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ (𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))) → ((𝑄 ⊕ 𝑅) ⊕ (𝑇 ⊕ 𝑈)) = ((𝑄 ⊕ 𝑇) ⊕ (𝑅 ⊕ 𝑈)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 400   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  SubGrpcsubg 19190  LSSumclsm 19708  Abelcabl 19855

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11160  ax-resscn 11161  ax-1cn 11162  ax-icn 11163  ax-addcl 11164  ax-addrcl 11165  ax-mulcl 11166  ax-mulrcl 11167  ax-mulcom 11168  ax-addass 11169  ax-mulass 11170  ax-distr 11171  ax-i2m1 11172  ax-1ne0 11173  ax-1rid 11174  ax-rnegex 11175  ax-rrecex 11176  ax-cnre 11177  ax-pre-lttri 11178  ax-pre-lttrn 11179  ax-pre-ltadd 11180  ax-pre-mulgt0 11181

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11447  df-neg 11448  df-nn 12238  df-2 12307  df-sets 17228  df-slot 17246  df-ndx 17258  df-base 17274  df-ress 17295  df-plusg 17327  df-0g 17498  df-mgm 18702  df-sgrp 18781  df-mnd 18797  df-submnd 18846  df-grp 19007  df-minusg 19008  df-subg 19193  df-cntz 19391  df-lsm 19710  df-cmn 19856  df-abl 19857

This theorem is used by:  dihjatcclem1  42220