Theorem lsm4 20021

Description: Commutative/associative law for subgroup sum. (Contributed by NM, 26-Sep-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
lsmcom.s	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
lsm4	⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑄 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑅 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ (𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))) → ((𝑄 ⊕ 𝑅) ⊕ (𝑇 ⊕ 𝑈)) = ((𝑄 ⊕ 𝑇) ⊕ (𝑅 ⊕ 𝑈)))

Proof of Theorem lsm4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1154	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑄 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑅 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ (𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))) → 𝐺 ∈ Abel)
2		simp2r 1219	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑄 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑅 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ (𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))) → 𝑅 ∈ (SubGrp‘𝐺))
3		simp3l 1220	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑄 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑅 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ (𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))) → 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺))
4		lsmcom.s	. . . . . . 7 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝐺)
5	4	lsmcom 20019	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑅 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → (𝑅 ⊕ 𝑇) = (𝑇 ⊕ 𝑅))
6	1, 2, 3, 5	syl3anc 1398	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑄 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑅 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ (𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))) → (𝑅 ⊕ 𝑇) = (𝑇 ⊕ 𝑅))
7	6	oveq2d 7425	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑄 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑅 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ (𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))) → (𝑄 ⊕ (𝑅 ⊕ 𝑇)) = (𝑄 ⊕ (𝑇 ⊕ 𝑅)))
8		simp2l 1218	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑄 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑅 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ (𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))) → 𝑄 ∈ (SubGrp‘𝐺))
9	4	lsmass 19830	. . . . 5 ⊢ ((𝑄 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑅 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → ((𝑄 ⊕ 𝑅) ⊕ 𝑇) = (𝑄 ⊕ (𝑅 ⊕ 𝑇)))
10	8, 2, 3, 9	syl3anc 1398	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑄 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑅 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ (𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))) → ((𝑄 ⊕ 𝑅) ⊕ 𝑇) = (𝑄 ⊕ (𝑅 ⊕ 𝑇)))
11	4	lsmass 19830	. . . . 5 ⊢ ((𝑄 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑅 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → ((𝑄 ⊕ 𝑇) ⊕ 𝑅) = (𝑄 ⊕ (𝑇 ⊕ 𝑅)))
12	8, 3, 2, 11	syl3anc 1398	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑄 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑅 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ (𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))) → ((𝑄 ⊕ 𝑇) ⊕ 𝑅) = (𝑄 ⊕ (𝑇 ⊕ 𝑅)))
13	7, 10, 12	3eqtr4d 2805	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑄 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑅 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ (𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))) → ((𝑄 ⊕ 𝑅) ⊕ 𝑇) = ((𝑄 ⊕ 𝑇) ⊕ 𝑅))
14	13	oveq1d 7424	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑄 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑅 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ (𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))) → (((𝑄 ⊕ 𝑅) ⊕ 𝑇) ⊕ 𝑈) = (((𝑄 ⊕ 𝑇) ⊕ 𝑅) ⊕ 𝑈))
15	4	lsmsubg2 20020	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑄 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑅 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → (𝑄 ⊕ 𝑅) ∈ (SubGrp‘𝐺))
16	1, 8, 2, 15	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑄 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑅 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ (𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))) → (𝑄 ⊕ 𝑅) ∈ (SubGrp‘𝐺))
17		simp3r 1221	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑄 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑅 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ (𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))) → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))
18	4	lsmass 19830	. . 3 ⊢ (((𝑄 ⊕ 𝑅) ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → (((𝑄 ⊕ 𝑅) ⊕ 𝑇) ⊕ 𝑈) = ((𝑄 ⊕ 𝑅) ⊕ (𝑇 ⊕ 𝑈)))
19	16, 3, 17, 18	syl3anc 1398	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑄 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑅 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ (𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))) → (((𝑄 ⊕ 𝑅) ⊕ 𝑇) ⊕ 𝑈) = ((𝑄 ⊕ 𝑅) ⊕ (𝑇 ⊕ 𝑈)))
20	4	lsmsubg2 20020	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑄 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → (𝑄 ⊕ 𝑇) ∈ (SubGrp‘𝐺))
21	1, 8, 3, 20	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑄 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑅 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ (𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))) → (𝑄 ⊕ 𝑇) ∈ (SubGrp‘𝐺))
22	4	lsmass 19830	. . 3 ⊢ (((𝑄 ⊕ 𝑇) ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑅 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → (((𝑄 ⊕ 𝑇) ⊕ 𝑅) ⊕ 𝑈) = ((𝑄 ⊕ 𝑇) ⊕ (𝑅 ⊕ 𝑈)))
23	21, 2, 17, 22	syl3anc 1398	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑄 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑅 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ (𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))) → (((𝑄 ⊕ 𝑇) ⊕ 𝑅) ⊕ 𝑈) = ((𝑄 ⊕ 𝑇) ⊕ (𝑅 ⊕ 𝑈)))
24	14, 19, 23	3eqtr3d 2803	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑄 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑅 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ (𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))) → ((𝑄 ⊕ 𝑅) ⊕ (𝑇 ⊕ 𝑈)) = ((𝑄 ⊕ 𝑇) ⊕ (𝑅 ⊕ 𝑈)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ‘cfv 6528  (class class class)co 7409  SubGrpcsubg 19277  LSSumclsm 19795  Abelcabl 19942

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7735  ax-cnex 11213  ax-resscn 11214  ax-1cn 11215  ax-icn 11216  ax-addcl 11217  ax-addrcl 11218  ax-mulcl 11219  ax-mulrcl 11220  ax-mulcom 11221  ax-addass 11222  ax-mulass 11223  ax-distr 11224  ax-i2m1 11225  ax-1ne0 11226  ax-1rid 11227  ax-rnegex 11228  ax-rrecex 11229  ax-cnre 11230  ax-pre-lttri 11231  ax-pre-lttrn 11232  ax-pre-ltadd 11233  ax-pre-mulgt0 11234

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5543  df-eprel 5548  df-po 5556  df-so 5557  df-fr 5601  df-we 5603  df-xp 5654  df-rel 5655  df-cnv 5656  df-co 5657  df-dm 5658  df-rn 5659  df-res 5660  df-ima 5661  df-pred 6294  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6530  df-fn 6531  df-f 6532  df-f1 6533  df-fo 6534  df-f1o 6535  df-fv 6536  df-riota 7366  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-er 8696  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-pnf 11302  df-mnf 11303  df-xr 11304  df-ltxr 11305  df-le 11306  df-sub 11500  df-neg 11501  df-nn 12291  df-2 12360  df-sets 17289  df-slot 17307  df-ndx 17319  df-base 17335  df-ress 17356  df-plusg 17388  df-0g 17559  df-mgm 18763  df-sgrp 18855  df-mnd 18871  df-submnd 18926  df-grp 19094  df-minusg 19095  df-subg 19280  df-cntz 19478  df-lsm 19797  df-cmn 19943  df-abl 19944

This theorem is used by:  dihjatcclem1  42389