Theorem lsm4 20074

Description: Commutative/associative law for subgroup sum. (Contributed by NM, 26-Sep-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
lsmcom.s	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
lsm4	⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑄 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑅 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ (𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))) → ((𝑄 ⊕ 𝑅) ⊕ (𝑇 ⊕ 𝑈)) = ((𝑄 ⊕ 𝑇) ⊕ (𝑅 ⊕ 𝑈)))

Proof of Theorem lsm4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1154	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑄 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑅 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ (𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))) → 𝐺 ∈ Abel)
2		simp2r 1219	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑄 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑅 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ (𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))) → 𝑅 ∈ (SubGrp‘𝐺))
3		simp3l 1220	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑄 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑅 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ (𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))) → 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺))
4		lsmcom.s	. . . . . . 7 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝐺)
5	4	lsmcom 20072	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑅 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → (𝑅 ⊕ 𝑇) = (𝑇 ⊕ 𝑅))
6	1, 2, 3, 5	syl3anc 1398	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑄 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑅 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ (𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))) → (𝑅 ⊕ 𝑇) = (𝑇 ⊕ 𝑅))
7	6	oveq2d 7436	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑄 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑅 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ (𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))) → (𝑄 ⊕ (𝑅 ⊕ 𝑇)) = (𝑄 ⊕ (𝑇 ⊕ 𝑅)))
8		simp2l 1218	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑄 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑅 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ (𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))) → 𝑄 ∈ (SubGrp‘𝐺))
9	4	lsmass 19883	. . . . 5 ⊢ ((𝑄 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑅 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → ((𝑄 ⊕ 𝑅) ⊕ 𝑇) = (𝑄 ⊕ (𝑅 ⊕ 𝑇)))
10	8, 2, 3, 9	syl3anc 1398	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑄 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑅 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ (𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))) → ((𝑄 ⊕ 𝑅) ⊕ 𝑇) = (𝑄 ⊕ (𝑅 ⊕ 𝑇)))
11	4	lsmass 19883	. . . . 5 ⊢ ((𝑄 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑅 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → ((𝑄 ⊕ 𝑇) ⊕ 𝑅) = (𝑄 ⊕ (𝑇 ⊕ 𝑅)))
12	8, 3, 2, 11	syl3anc 1398	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑄 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑅 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ (𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))) → ((𝑄 ⊕ 𝑇) ⊕ 𝑅) = (𝑄 ⊕ (𝑇 ⊕ 𝑅)))
13	7, 10, 12	3eqtr4d 2805	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑄 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑅 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ (𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))) → ((𝑄 ⊕ 𝑅) ⊕ 𝑇) = ((𝑄 ⊕ 𝑇) ⊕ 𝑅))
14	13	oveq1d 7435	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑄 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑅 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ (𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))) → (((𝑄 ⊕ 𝑅) ⊕ 𝑇) ⊕ 𝑈) = (((𝑄 ⊕ 𝑇) ⊕ 𝑅) ⊕ 𝑈))
15	4	lsmsubg2 20073	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑄 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑅 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → (𝑄 ⊕ 𝑅) ∈ (SubGrp‘𝐺))
16	1, 8, 2, 15	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑄 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑅 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ (𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))) → (𝑄 ⊕ 𝑅) ∈ (SubGrp‘𝐺))
17		simp3r 1221	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑄 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑅 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ (𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))) → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))
18	4	lsmass 19883	. . 3 ⊢ (((𝑄 ⊕ 𝑅) ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → (((𝑄 ⊕ 𝑅) ⊕ 𝑇) ⊕ 𝑈) = ((𝑄 ⊕ 𝑅) ⊕ (𝑇 ⊕ 𝑈)))
19	16, 3, 17, 18	syl3anc 1398	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑄 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑅 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ (𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))) → (((𝑄 ⊕ 𝑅) ⊕ 𝑇) ⊕ 𝑈) = ((𝑄 ⊕ 𝑅) ⊕ (𝑇 ⊕ 𝑈)))
20	4	lsmsubg2 20073	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑄 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → (𝑄 ⊕ 𝑇) ∈ (SubGrp‘𝐺))
21	1, 8, 3, 20	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑄 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑅 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ (𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))) → (𝑄 ⊕ 𝑇) ∈ (SubGrp‘𝐺))
22	4	lsmass 19883	. . 3 ⊢ (((𝑄 ⊕ 𝑇) ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑅 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → (((𝑄 ⊕ 𝑇) ⊕ 𝑅) ⊕ 𝑈) = ((𝑄 ⊕ 𝑇) ⊕ (𝑅 ⊕ 𝑈)))
23	21, 2, 17, 22	syl3anc 1398	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑄 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑅 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ (𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))) → (((𝑄 ⊕ 𝑇) ⊕ 𝑅) ⊕ 𝑈) = ((𝑄 ⊕ 𝑇) ⊕ (𝑅 ⊕ 𝑈)))
24	14, 19, 23	3eqtr3d 2803	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑄 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑅 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ (𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))) → ((𝑄 ⊕ 𝑅) ⊕ (𝑇 ⊕ 𝑈)) = ((𝑄 ⊕ 𝑇) ⊕ (𝑅 ⊕ 𝑈)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  SubGrpcsubg 19330  LSSumclsm 19848  Abelcabl 19995

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-er 8717  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-nn 12336  df-2 12405  df-sets 17342  df-slot 17360  df-ndx 17372  df-base 17388  df-ress 17409  df-plusg 17441  df-0g 17612  df-mgm 18816  df-sgrp 18908  df-mnd 18924  df-submnd 18979  df-grp 19147  df-minusg 19148  df-subg 19333  df-cntz 19531  df-lsm 19850  df-cmn 19996  df-abl 19997

This theorem is used by:  dihjatcclem1  42476