Theorem idlsrgmnd 33574

Description: The ideals of a ring form a monoid. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-Jun-2024.)

Hypothesis

Ref	Expression
idlsrgmnd.1	⊢ 𝑆 = (IDLsrg‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
idlsrgmnd	⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑆 ∈ Mnd)

Proof of Theorem idlsrgmnd

Dummy variables 𝑖 𝑗 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		idlsrgmnd.1	. . 3 ⊢ 𝑆 = (IDLsrg‘𝑅)
2		eqid 2737	. . 3 ⊢ (LIdeal‘𝑅) = (LIdeal‘𝑅)
3	1, 2	idlsrgbas 33564	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (LIdeal‘𝑅) = (Base‘𝑆))
4		eqid 2737	. . 3 ⊢ (LSSum‘𝑅) = (LSSum‘𝑅)
5	1, 4	idlsrgplusg 33565	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (LSSum‘𝑅) = (+g‘𝑆))
6		eqid 2737	. . 3 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
7		eqid 2737	. . 3 ⊢ (RSpan‘𝑅) = (RSpan‘𝑅)
8		simp1 1137	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑗 ∈ (LIdeal‘𝑅)) → 𝑅 ∈ Ring)
9		simp2 1138	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑗 ∈ (LIdeal‘𝑅)) → 𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅))
10		simp3 1139	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑗 ∈ (LIdeal‘𝑅)) → 𝑗 ∈ (LIdeal‘𝑅))
11	6, 4, 7, 8, 9, 10	lsmidl 33461	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑗 ∈ (LIdeal‘𝑅)) → (𝑖(LSSum‘𝑅)𝑗) ∈ (LIdeal‘𝑅))
12	2	lidlsubg 21221	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅)) → 𝑖 ∈ (SubGrp‘𝑅))
13	12	3ad2antr1 1190	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑗 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑘 ∈ (LIdeal‘𝑅))) → 𝑖 ∈ (SubGrp‘𝑅))
14	2	lidlsubg 21221	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑗 ∈ (LIdeal‘𝑅)) → 𝑗 ∈ (SubGrp‘𝑅))
15	14	3ad2antr2 1191	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑗 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑘 ∈ (LIdeal‘𝑅))) → 𝑗 ∈ (SubGrp‘𝑅))
16	2	lidlsubg 21221	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑘 ∈ (LIdeal‘𝑅)) → 𝑘 ∈ (SubGrp‘𝑅))
17	16	3ad2antr3 1192	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑗 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑘 ∈ (LIdeal‘𝑅))) → 𝑘 ∈ (SubGrp‘𝑅))
18	4	lsmass 19644	. . 3 ⊢ ((𝑖 ∈ (SubGrp‘𝑅) ∧ 𝑗 ∈ (SubGrp‘𝑅) ∧ 𝑘 ∈ (SubGrp‘𝑅)) → ((𝑖(LSSum‘𝑅)𝑗)(LSSum‘𝑅)𝑘) = (𝑖(LSSum‘𝑅)(𝑗(LSSum‘𝑅)𝑘)))
19	13, 15, 17, 18	syl3anc 1374	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑗 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑘 ∈ (LIdeal‘𝑅))) → ((𝑖(LSSum‘𝑅)𝑗)(LSSum‘𝑅)𝑘) = (𝑖(LSSum‘𝑅)(𝑗(LSSum‘𝑅)𝑘)))
20		eqid 2737	. . 3 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
21	2, 20	lidl0 21228	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → {(0g‘𝑅)} ∈ (LIdeal‘𝑅))
22	20, 4	lsm02 19647	. . 3 ⊢ (𝑖 ∈ (SubGrp‘𝑅) → ({(0g‘𝑅)} (LSSum‘𝑅)𝑖) = 𝑖)
23	12, 22	syl 17	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅)) → ({(0g‘𝑅)} (LSSum‘𝑅)𝑖) = 𝑖)
24	20, 4	lsm01 19646	. . 3 ⊢ (𝑖 ∈ (SubGrp‘𝑅) → (𝑖(LSSum‘𝑅){(0g‘𝑅)}) = 𝑖)
25	12, 24	syl 17	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅)) → (𝑖(LSSum‘𝑅){(0g‘𝑅)}) = 𝑖)
26	3, 5, 11, 19, 21, 23, 25	ismndd 18724	1 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑆 ∈ Mnd)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  {csn 4568  ‘cfv 6499  (class class class)co 7367  Basecbs 17179  0_gc0g 17402  Mndcmnd 18702  SubGrpcsubg 19096  LSSumclsm 19609  Ringcrg 20214  LIdealclidl 21204  RSpancrsp 21205  IDLsrgcidlsrg 33560

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5308  ax-pr 5376  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6266  df-ord 6327  df-on 6328  df-lim 6329  df-suc 6330  df-iota 6455  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-4 12246  df-5 12247  df-6 12248  df-7 12249  df-8 12250  df-9 12251  df-n0 12438  df-z 12525  df-dec 12645  df-uz 12789  df-fz 13462  df-struct 17117  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-ress 17201  df-plusg 17233  df-mulr 17234  df-sca 17236  df-vsca 17237  df-ip 17238  df-tset 17239  df-ple 17240  df-0g 17404  df-mgm 18608  df-sgrp 18687  df-mnd 18703  df-submnd 18752  df-grp 18912  df-minusg 18913  df-sbg 18914  df-subg 19099  df-cntz 19292  df-lsm 19611  df-cmn 19757  df-abl 19758  df-mgp 20122  df-rng 20134  df-ur 20163  df-ring 20216  df-subrg 20547  df-lmod 20857  df-lss 20927  df-lsp 20967  df-sra 21168  df-rgmod 21169  df-lidl 21206  df-rsp 21207  df-idlsrg 33561

This theorem is referenced by:  idlsrgcmnd  33575