Theorem lcosslsp 49472

Description: Lemma for lspeqlco 49473. (Contributed by AV, 20-Apr-2019.)

Hypothesis

Ref	Expression
lspeqvlco.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)

Assertion

Ref	Expression
lcosslsp	⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) → (𝑀 LinCo 𝑉) ⊆ ((LSpan‘𝑀)‘𝑉))

Proof of Theorem lcosslsp

Dummy variables 𝑠 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ellcoellss 49469	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑠 ∈ (LSubSp‘𝑀) ∧ 𝑉 ⊆ 𝑠) → ∀𝑦 ∈ (𝑀 LinCo 𝑉)𝑦 ∈ 𝑠)
2	1	3exp 1137	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ LMod → (𝑠 ∈ (LSubSp‘𝑀) → (𝑉 ⊆ 𝑠 → ∀𝑦 ∈ (𝑀 LinCo 𝑉)𝑦 ∈ 𝑠)))
3	2	ad2antrr 739	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀 LinCo 𝑉)) → (𝑠 ∈ (LSubSp‘𝑀) → (𝑉 ⊆ 𝑠 → ∀𝑦 ∈ (𝑀 LinCo 𝑉)𝑦 ∈ 𝑠)))
4	3	imp 412	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀 LinCo 𝑉)) ∧ 𝑠 ∈ (LSubSp‘𝑀)) → (𝑉 ⊆ 𝑠 → ∀𝑦 ∈ (𝑀 LinCo 𝑉)𝑦 ∈ 𝑠))
5		elequ1 2152	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝑦 ∈ 𝑠 ↔ 𝑥 ∈ 𝑠))
6	5	rspcv 3572	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑀 LinCo 𝑉) → (∀𝑦 ∈ (𝑀 LinCo 𝑉)𝑦 ∈ 𝑠 → 𝑥 ∈ 𝑠))
7	6	ad2antlr 740	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀 LinCo 𝑉)) ∧ 𝑠 ∈ (LSubSp‘𝑀)) → (∀𝑦 ∈ (𝑀 LinCo 𝑉)𝑦 ∈ 𝑠 → 𝑥 ∈ 𝑠))
8	4, 7	syld 48	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀 LinCo 𝑉)) ∧ 𝑠 ∈ (LSubSp‘𝑀)) → (𝑉 ⊆ 𝑠 → 𝑥 ∈ 𝑠))
9	8	ralrimiva 3154	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀 LinCo 𝑉)) → ∀𝑠 ∈ (LSubSp‘𝑀)(𝑉 ⊆ 𝑠 → 𝑥 ∈ 𝑠))
10		vex 3454	. . . . . 6 ⊢ 𝑥 ∈ V
11	10	elintrab 4919	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ∩ {𝑠 ∈ (LSubSp‘𝑀) ∣ 𝑉 ⊆ 𝑠} ↔ ∀𝑠 ∈ (LSubSp‘𝑀)(𝑉 ⊆ 𝑠 → 𝑥 ∈ 𝑠))
12	9, 11	sylibr 237	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀 LinCo 𝑉)) → 𝑥 ∈ ∩ {𝑠 ∈ (LSubSp‘𝑀) ∣ 𝑉 ⊆ 𝑠})
13		simpll 779	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀 LinCo 𝑉)) → 𝑀 ∈ LMod)
14		elpwi 4563	. . . . . 6 ⊢ (𝑉 ∈ 𝒫 𝐵 → 𝑉 ⊆ 𝐵)
15	14	ad2antlr 740	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀 LinCo 𝑉)) → 𝑉 ⊆ 𝐵)
16		lspeqvlco.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
17		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ (LSubSp‘𝑀) = (LSubSp‘𝑀)
18		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ (LSpan‘𝑀) = (LSpan‘𝑀)
19	16, 17, 18	lspval 21212	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵) → ((LSpan‘𝑀)‘𝑉) = ∩ {𝑠 ∈ (LSubSp‘𝑀) ∣ 𝑉 ⊆ 𝑠})
20	13, 15, 19	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀 LinCo 𝑉)) → ((LSpan‘𝑀)‘𝑉) = ∩ {𝑠 ∈ (LSubSp‘𝑀) ∣ 𝑉 ⊆ 𝑠})
21	12, 20	eleqtrrd 2863	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀 LinCo 𝑉)) → 𝑥 ∈ ((LSpan‘𝑀)‘𝑉))
22	21	ex 418	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) → (𝑥 ∈ (𝑀 LinCo 𝑉) → 𝑥 ∈ ((LSpan‘𝑀)‘𝑉)))
23	22	ssrdv 3936	1 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) → (𝑀 LinCo 𝑉) ⊆ ((LSpan‘𝑀)‘𝑉))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3076  {crab 3412   ⊆ wss 3898  𝒫 cpw 4556  ∩ cint 4906  ‘cfv 6527  (class class class)co 7408  Basecbs 17349  LModclmod 21097  LSubSpclss 21168  LSpanclspn 21208   LinCo clinco 49439

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7734  ax-cnex 11228  ax-resscn 11229  ax-1cn 11230  ax-icn 11231  ax-addcl 11232  ax-addrcl 11233  ax-mulcl 11234  ax-mulrcl 11235  ax-mulcom 11236  ax-addass 11237  ax-mulass 11238  ax-distr 11239  ax-i2m1 11240  ax-1ne0 11241  ax-1rid 11242  ax-rnegex 11243  ax-rrecex 11244  ax-cnre 11245  ax-pre-lttri 11246  ax-pre-lttrn 11247  ax-pre-ltadd 11248  ax-pre-mulgt0 11249

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-se 5601  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6293  df-ord 6354  df-on 6355  df-lim 6356  df-suc 6357  df-iota 6483  df-fun 6529  df-fn 6530  df-f 6531  df-f1 6532  df-fo 6533  df-f1o 6534  df-fv 6535  df-isom 6536  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7861  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-supp 8156  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8454  df-er 8695  df-map 8827  df-en 8952  df-dom 8953  df-sdom 8954  df-fin 8955  df-fsupp 9332  df-oi 9482  df-card 9992  df-pnf 11317  df-mnf 11318  df-xr 11319  df-ltxr 11320  df-le 11321  df-sub 11515  df-neg 11516  df-nn 12306  df-2 12375  df-n0 12577  df-z 12664  df-uz 12936  df-fz 13610  df-fzo 13758  df-seq 14114  df-hash 14443  df-sets 17304  df-slot 17322  df-ndx 17334  df-base 17350  df-ress 17371  df-plusg 17403  df-0g 17574  df-gsum 17575  df-mgm 18778  df-sgrp 18870  df-mnd 18886  df-submnd 18941  df-grp 19109  df-minusg 19110  df-sbg 19111  df-subg 19295  df-cntz 19493  df-cmn 19958  df-abl 19959  df-mgp 20323  df-ur 20370  df-ring 20423  df-lmod 21099  df-lss 21169  df-lsp 21209  df-linc 49440  df-lco 49441

This theorem is used by:  lspeqlco  49473