Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lcosslsp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lcosslsp 43256
Description: Lemma for lspeqlco 43257. (Contributed by AV, 20-Apr-2019.)
Hypothesis
Ref Expression
lspeqvlco.b 𝐵 = (Base‘𝑀)
Assertion
Ref Expression
lcosslsp ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) → (𝑀 LinCo 𝑉) ⊆ ((LSpan‘𝑀)‘𝑉))

Proof of Theorem lcosslsp
Dummy variables 𝑠 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ellcoellss 43253 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑠 ∈ (LSubSp‘𝑀) ∧ 𝑉𝑠) → ∀𝑦 ∈ (𝑀 LinCo 𝑉)𝑦𝑠)
213exp 1109 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ LMod → (𝑠 ∈ (LSubSp‘𝑀) → (𝑉𝑠 → ∀𝑦 ∈ (𝑀 LinCo 𝑉)𝑦𝑠)))
32ad2antrr 716 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀 LinCo 𝑉)) → (𝑠 ∈ (LSubSp‘𝑀) → (𝑉𝑠 → ∀𝑦 ∈ (𝑀 LinCo 𝑉)𝑦𝑠)))
43imp 397 . . . . . . 7 ((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀 LinCo 𝑉)) ∧ 𝑠 ∈ (LSubSp‘𝑀)) → (𝑉𝑠 → ∀𝑦 ∈ (𝑀 LinCo 𝑉)𝑦𝑠))
5 elequ1 2114 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝑥 → (𝑦𝑠𝑥𝑠))
65rspcv 3507 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (𝑀 LinCo 𝑉) → (∀𝑦 ∈ (𝑀 LinCo 𝑉)𝑦𝑠𝑥𝑠))
76ad2antlr 717 . . . . . . 7 ((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀 LinCo 𝑉)) ∧ 𝑠 ∈ (LSubSp‘𝑀)) → (∀𝑦 ∈ (𝑀 LinCo 𝑉)𝑦𝑠𝑥𝑠))
84, 7syld 47 . . . . . 6 ((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀 LinCo 𝑉)) ∧ 𝑠 ∈ (LSubSp‘𝑀)) → (𝑉𝑠𝑥𝑠))
98ralrimiva 3148 . . . . 5 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀 LinCo 𝑉)) → ∀𝑠 ∈ (LSubSp‘𝑀)(𝑉𝑠𝑥𝑠))
10 vex 3401 . . . . . 6 𝑥 ∈ V
1110elintrab 4724 . . . . 5 (𝑥 {𝑠 ∈ (LSubSp‘𝑀) ∣ 𝑉𝑠} ↔ ∀𝑠 ∈ (LSubSp‘𝑀)(𝑉𝑠𝑥𝑠))
129, 11sylibr 226 . . . 4 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀 LinCo 𝑉)) → 𝑥 {𝑠 ∈ (LSubSp‘𝑀) ∣ 𝑉𝑠})
13 simpll 757 . . . . 5 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀 LinCo 𝑉)) → 𝑀 ∈ LMod)
14 elpwi 4389 . . . . . 6 (𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑉𝐵)
1514ad2antlr 717 . . . . 5 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀 LinCo 𝑉)) → 𝑉𝐵)
16 lspeqvlco.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝑀)
17 eqid 2778 . . . . . 6 (LSubSp‘𝑀) = (LSubSp‘𝑀)
18 eqid 2778 . . . . . 6 (LSpan‘𝑀) = (LSpan‘𝑀)
1916, 17, 18lspval 19381 . . . . 5 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉𝐵) → ((LSpan‘𝑀)‘𝑉) = {𝑠 ∈ (LSubSp‘𝑀) ∣ 𝑉𝑠})
2013, 15, 19syl2anc 579 . . . 4 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀 LinCo 𝑉)) → ((LSpan‘𝑀)‘𝑉) = {𝑠 ∈ (LSubSp‘𝑀) ∣ 𝑉𝑠})
2112, 20eleqtrrd 2862 . . 3 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀 LinCo 𝑉)) → 𝑥 ∈ ((LSpan‘𝑀)‘𝑉))
2221ex 403 . 2 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) → (𝑥 ∈ (𝑀 LinCo 𝑉) → 𝑥 ∈ ((LSpan‘𝑀)‘𝑉)))
2322ssrdv 3827 1 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) → (𝑀 LinCo 𝑉) ⊆ ((LSpan‘𝑀)‘𝑉))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 386   = wceq 1601  wcel 2107  wral 3090  {crab 3094  wss 3792  𝒫 cpw 4379   cint 4712  cfv 6137  (class class class)co 6924  Basecbs 16266  LModclmod 19266  LSubSpclss 19335  LSpanclspn 19377   LinCo clinco 43223
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-rep 5008  ax-sep 5019  ax-nul 5027  ax-pow 5079  ax-pr 5140  ax-un 7228  ax-cnex 10330  ax-resscn 10331  ax-1cn 10332  ax-icn 10333  ax-addcl 10334  ax-addrcl 10335  ax-mulcl 10336  ax-mulrcl 10337  ax-mulcom 10338  ax-addass 10339  ax-mulass 10340  ax-distr 10341  ax-i2m1 10342  ax-1ne0 10343  ax-1rid 10344  ax-rnegex 10345  ax-rrecex 10346  ax-cnre 10347  ax-pre-lttri 10348  ax-pre-lttrn 10349  ax-pre-ltadd 10350  ax-pre-mulgt0 10351
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4674  df-int 4713  df-iun 4757  df-br 4889  df-opab 4951  df-mpt 4968  df-tr 4990  df-id 5263  df-eprel 5268  df-po 5276  df-so 5277  df-fr 5316  df-se 5317  df-we 5318  df-xp 5363  df-rel 5364  df-cnv 5365  df-co 5366  df-dm 5367  df-rn 5368  df-res 5369  df-ima 5370  df-pred 5935  df-ord 5981  df-on 5982  df-lim 5983  df-suc 5984  df-iota 6101  df-fun 6139  df-fn 6140  df-f 6141  df-f1 6142  df-fo 6143  df-f1o 6144  df-fv 6145  df-isom 6146  df-riota 6885  df-ov 6927  df-oprab 6928  df-mpt2 6929  df-om 7346  df-1st 7447  df-2nd 7448  df-supp 7579  df-wrecs 7691  df-recs 7753  df-rdg 7791  df-1o 7845  df-oadd 7849  df-er 8028  df-map 8144  df-en 8244  df-dom 8245  df-sdom 8246  df-fin 8247  df-fsupp 8566  df-oi 8706  df-card 9100  df-pnf 10415  df-mnf 10416  df-xr 10417  df-ltxr 10418  df-le 10419  df-sub 10610  df-neg 10611  df-nn 11380  df-2 11443  df-n0 11648  df-z 11734  df-uz 11998  df-fz 12649  df-fzo 12790  df-seq 13125  df-hash 13442  df-ndx 16269  df-slot 16270  df-base 16272  df-sets 16273  df-ress 16274  df-plusg 16362  df-0g 16499  df-gsum 16500  df-mgm 17639  df-sgrp 17681  df-mnd 17692  df-submnd 17733  df-grp 17823  df-minusg 17824  df-sbg 17825  df-subg 17986  df-cntz 18144  df-cmn 18592  df-abl 18593  df-mgp 18888  df-ur 18900  df-ring 18947  df-lmod 19268  df-lss 19336  df-lsp 19378  df-linc 43224  df-lco 43225
This theorem is referenced by:  lspeqlco  43257
  Copyright terms: Public domain W3C validator