Theorem lcosslsp 49755

Description: Lemma for lspeqlco 49756. (Contributed by AV, 20-Apr-2019.)

Hypothesis

Ref	Expression
lspeqvlco.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)

Assertion

Ref	Expression
lcosslsp	⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) → (𝑀 LinCo 𝑉) ⊆ ((LSpan‘𝑀)‘𝑉))

Proof of Theorem lcosslsp

Dummy variables 𝑠 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ellcoellss 49752	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑠 ∈ (LSubSp‘𝑀) ∧ 𝑉 ⊆ 𝑠) → ∀𝑦 ∈ (𝑀 LinCo 𝑉)𝑦 ∈ 𝑠)
2	1	3exp 1137	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ LMod → (𝑠 ∈ (LSubSp‘𝑀) → (𝑉 ⊆ 𝑠 → ∀𝑦 ∈ (𝑀 LinCo 𝑉)𝑦 ∈ 𝑠)))
3	2	ad2antrr 739	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀 LinCo 𝑉)) → (𝑠 ∈ (LSubSp‘𝑀) → (𝑉 ⊆ 𝑠 → ∀𝑦 ∈ (𝑀 LinCo 𝑉)𝑦 ∈ 𝑠)))
4	3	imp 412	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀 LinCo 𝑉)) ∧ 𝑠 ∈ (LSubSp‘𝑀)) → (𝑉 ⊆ 𝑠 → ∀𝑦 ∈ (𝑀 LinCo 𝑉)𝑦 ∈ 𝑠))
5		elequ1 2154	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝑦 ∈ 𝑠 ↔ 𝑥 ∈ 𝑠))
6	5	rspcv 3576	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑀 LinCo 𝑉) → (∀𝑦 ∈ (𝑀 LinCo 𝑉)𝑦 ∈ 𝑠 → 𝑥 ∈ 𝑠))
7	6	ad2antlr 740	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀 LinCo 𝑉)) ∧ 𝑠 ∈ (LSubSp‘𝑀)) → (∀𝑦 ∈ (𝑀 LinCo 𝑉)𝑦 ∈ 𝑠 → 𝑥 ∈ 𝑠))
8	4, 7	syld 48	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀 LinCo 𝑉)) ∧ 𝑠 ∈ (LSubSp‘𝑀)) → (𝑉 ⊆ 𝑠 → 𝑥 ∈ 𝑠))
9	8	ralrimiva 3158	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀 LinCo 𝑉)) → ∀𝑠 ∈ (LSubSp‘𝑀)(𝑉 ⊆ 𝑠 → 𝑥 ∈ 𝑠))
10		vex 3458	. . . . . 6 ⊢ 𝑥 ∈ V
11	10	elintrab 4923	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ∩ {𝑠 ∈ (LSubSp‘𝑀) ∣ 𝑉 ⊆ 𝑠} ↔ ∀𝑠 ∈ (LSubSp‘𝑀)(𝑉 ⊆ 𝑠 → 𝑥 ∈ 𝑠))
12	9, 11	sylibr 237	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀 LinCo 𝑉)) → 𝑥 ∈ ∩ {𝑠 ∈ (LSubSp‘𝑀) ∣ 𝑉 ⊆ 𝑠})
13		simpll 779	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀 LinCo 𝑉)) → 𝑀 ∈ LMod)
14		elpwi 4567	. . . . . 6 ⊢ (𝑉 ∈ 𝒫 𝐵 → 𝑉 ⊆ 𝐵)
15	14	ad2antlr 740	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀 LinCo 𝑉)) → 𝑉 ⊆ 𝐵)
16		lspeqvlco.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
17		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (LSubSp‘𝑀) = (LSubSp‘𝑀)
18		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (LSpan‘𝑀) = (LSpan‘𝑀)
19	16, 17, 18	lspval 21280	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵) → ((LSpan‘𝑀)‘𝑉) = ∩ {𝑠 ∈ (LSubSp‘𝑀) ∣ 𝑉 ⊆ 𝑠})
20	13, 15, 19	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀 LinCo 𝑉)) → ((LSpan‘𝑀)‘𝑉) = ∩ {𝑠 ∈ (LSubSp‘𝑀) ∣ 𝑉 ⊆ 𝑠})
21	12, 20	eleqtrrd 2867	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀 LinCo 𝑉)) → 𝑥 ∈ ((LSpan‘𝑀)‘𝑉))
22	21	ex 418	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) → (𝑥 ∈ (𝑀 LinCo 𝑉) → 𝑥 ∈ ((LSpan‘𝑀)‘𝑉)))
23	22	ssrdv 3919	1 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) → (𝑀 LinCo 𝑉) ⊆ ((LSpan‘𝑀)‘𝑉))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ∀wral 3080  {crab 3416   ⊆ wss 3900  𝒫 cpw 4560  ∩ cint 4910  ‘cfv 6558  (class class class)co 7443  Basecbs 17416  LModclmod 21165  LSubSpclss 21236  LSpanclspn 21276   LinCo clinco 49722

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775  ax-cnex 11283  ax-resscn 11284  ax-1cn 11285  ax-icn 11286  ax-addcl 11287  ax-addrcl 11288  ax-mulcl 11289  ax-mulrcl 11290  ax-mulcom 11291  ax-addass 11292  ax-mulass 11293  ax-distr 11294  ax-i2m1 11295  ax-1ne0 11296  ax-1rid 11297  ax-rnegex 11298  ax-rrecex 11299  ax-cnre 11300  ax-pre-lttri 11301  ax-pre-lttrn 11302  ax-pre-ltadd 11303  ax-pre-mulgt0 11304

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6322  df-ord 6383  df-on 6384  df-lim 6385  df-suc 6386  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-isom 6567  df-riota 7400  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-mpo 7448  df-om 7902  df-1st 8025  df-2nd 8026  df-supp 8205  df-frecs 8327  df-wrecs 8358  df-recs 8407  df-rdg 8446  df-1o 8504  df-er 8745  df-map 8877  df-en 9002  df-dom 9003  df-sdom 9004  df-fin 9005  df-fsupp 9382  df-oi 9531  df-card 10047  df-pnf 11372  df-mnf 11373  df-xr 11374  df-ltxr 11375  df-le 11376  df-sub 11570  df-neg 11571  df-nn 12363  df-2 12432  df-n0 12634  df-z 12721  df-uz 12993  df-fz 13667  df-fzo 13816  df-seq 14172  df-hash 14502  df-sets 17371  df-slot 17389  df-ndx 17401  df-base 17417  df-ress 17438  df-plusg 17470  df-0g 17641  df-gsum 17642  df-mgm 18845  df-sgrp 18937  df-mnd 18953  df-submnd 19008  df-grp 19176  df-minusg 19177  df-sbg 19178  df-subg 19362  df-cntz 19561  df-cmn 20026  df-abl 20027  df-mgp 20391  df-ur 20438  df-ring 20491  df-lmod 21167  df-lss 21237  df-lsp 21277  df-linc 49723  df-lco 49724

This theorem is used by:  lspeqlco  49756