Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lcosslsp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lcosslsp 47391
Description: Lemma for lspeqlco 47392. (Contributed by AV, 20-Apr-2019.)
Hypothesis
Ref Expression
lspeqvlco.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘€)
Assertion
Ref Expression
lcosslsp ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐡) β†’ (𝑀 LinCo 𝑉) βŠ† ((LSpanβ€˜π‘€)β€˜π‘‰))

Proof of Theorem lcosslsp
Dummy variables 𝑠 π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ellcoellss 47388 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑠 ∈ (LSubSpβ€˜π‘€) ∧ 𝑉 βŠ† 𝑠) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ (𝑀 LinCo 𝑉)𝑦 ∈ 𝑠)
213exp 1116 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ LMod β†’ (𝑠 ∈ (LSubSpβ€˜π‘€) β†’ (𝑉 βŠ† 𝑠 β†’ βˆ€π‘¦ ∈ (𝑀 LinCo 𝑉)𝑦 ∈ 𝑠)))
32ad2antrr 723 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ (𝑀 LinCo 𝑉)) β†’ (𝑠 ∈ (LSubSpβ€˜π‘€) β†’ (𝑉 βŠ† 𝑠 β†’ βˆ€π‘¦ ∈ (𝑀 LinCo 𝑉)𝑦 ∈ 𝑠)))
43imp 406 . . . . . . 7 ((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ (𝑀 LinCo 𝑉)) ∧ 𝑠 ∈ (LSubSpβ€˜π‘€)) β†’ (𝑉 βŠ† 𝑠 β†’ βˆ€π‘¦ ∈ (𝑀 LinCo 𝑉)𝑦 ∈ 𝑠))
5 elequ1 2105 . . . . . . . . 9 (𝑦 = π‘₯ β†’ (𝑦 ∈ 𝑠 ↔ π‘₯ ∈ 𝑠))
65rspcv 3602 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ (𝑀 LinCo 𝑉) β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ (𝑀 LinCo 𝑉)𝑦 ∈ 𝑠 β†’ π‘₯ ∈ 𝑠))
76ad2antlr 724 . . . . . . 7 ((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ (𝑀 LinCo 𝑉)) ∧ 𝑠 ∈ (LSubSpβ€˜π‘€)) β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ (𝑀 LinCo 𝑉)𝑦 ∈ 𝑠 β†’ π‘₯ ∈ 𝑠))
84, 7syld 47 . . . . . 6 ((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ (𝑀 LinCo 𝑉)) ∧ 𝑠 ∈ (LSubSpβ€˜π‘€)) β†’ (𝑉 βŠ† 𝑠 β†’ π‘₯ ∈ 𝑠))
98ralrimiva 3140 . . . . 5 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ (𝑀 LinCo 𝑉)) β†’ βˆ€π‘  ∈ (LSubSpβ€˜π‘€)(𝑉 βŠ† 𝑠 β†’ π‘₯ ∈ 𝑠))
10 vex 3472 . . . . . 6 π‘₯ ∈ V
1110elintrab 4957 . . . . 5 (π‘₯ ∈ ∩ {𝑠 ∈ (LSubSpβ€˜π‘€) ∣ 𝑉 βŠ† 𝑠} ↔ βˆ€π‘  ∈ (LSubSpβ€˜π‘€)(𝑉 βŠ† 𝑠 β†’ π‘₯ ∈ 𝑠))
129, 11sylibr 233 . . . 4 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ (𝑀 LinCo 𝑉)) β†’ π‘₯ ∈ ∩ {𝑠 ∈ (LSubSpβ€˜π‘€) ∣ 𝑉 βŠ† 𝑠})
13 simpll 764 . . . . 5 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ (𝑀 LinCo 𝑉)) β†’ 𝑀 ∈ LMod)
14 elpwi 4604 . . . . . 6 (𝑉 ∈ 𝒫 𝐡 β†’ 𝑉 βŠ† 𝐡)
1514ad2antlr 724 . . . . 5 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ (𝑀 LinCo 𝑉)) β†’ 𝑉 βŠ† 𝐡)
16 lspeqvlco.b . . . . . 6 𝐡 = (Baseβ€˜π‘€)
17 eqid 2726 . . . . . 6 (LSubSpβ€˜π‘€) = (LSubSpβ€˜π‘€)
18 eqid 2726 . . . . . 6 (LSpanβ€˜π‘€) = (LSpanβ€˜π‘€)
1916, 17, 18lspval 20822 . . . . 5 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 βŠ† 𝐡) β†’ ((LSpanβ€˜π‘€)β€˜π‘‰) = ∩ {𝑠 ∈ (LSubSpβ€˜π‘€) ∣ 𝑉 βŠ† 𝑠})
2013, 15, 19syl2anc 583 . . . 4 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ (𝑀 LinCo 𝑉)) β†’ ((LSpanβ€˜π‘€)β€˜π‘‰) = ∩ {𝑠 ∈ (LSubSpβ€˜π‘€) ∣ 𝑉 βŠ† 𝑠})
2112, 20eleqtrrd 2830 . . 3 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ (𝑀 LinCo 𝑉)) β†’ π‘₯ ∈ ((LSpanβ€˜π‘€)β€˜π‘‰))
2221ex 412 . 2 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐡) β†’ (π‘₯ ∈ (𝑀 LinCo 𝑉) β†’ π‘₯ ∈ ((LSpanβ€˜π‘€)β€˜π‘‰)))
2322ssrdv 3983 1 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐡) β†’ (𝑀 LinCo 𝑉) βŠ† ((LSpanβ€˜π‘€)β€˜π‘‰))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3055  {crab 3426   βŠ† wss 3943  π’« cpw 4597  βˆ© cint 4943  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  Basecbs 17153  LModclmod 20706  LSubSpclss 20778  LSpanclspn 20818   LinCo clinco 47358
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8147  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-seq 13973  df-hash 14296  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-ress 17183  df-plusg 17219  df-0g 17396  df-gsum 17397  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-submnd 18714  df-grp 18866  df-minusg 18867  df-sbg 18868  df-subg 19050  df-cntz 19233  df-cmn 19702  df-abl 19703  df-mgp 20040  df-ur 20087  df-ring 20140  df-lmod 20708  df-lss 20779  df-lsp 20819  df-linc 47359  df-lco 47360
This theorem is referenced by:  lspeqlco  47392
  Copyright terms: Public domain W3C validator