Theorem lcosslsp 45837

Description: Lemma for lspeqlco 45838. (Contributed by AV, 20-Apr-2019.)

Hypothesis

Ref	Expression
lspeqvlco.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)

Assertion

Ref	Expression
lcosslsp	⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) → (𝑀 LinCo 𝑉) ⊆ ((LSpan‘𝑀)‘𝑉))

Proof of Theorem lcosslsp

Dummy variables 𝑠 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ellcoellss 45834	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑠 ∈ (LSubSp‘𝑀) ∧ 𝑉 ⊆ 𝑠) → ∀𝑦 ∈ (𝑀 LinCo 𝑉)𝑦 ∈ 𝑠)
2	1	3exp 1119	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ LMod → (𝑠 ∈ (LSubSp‘𝑀) → (𝑉 ⊆ 𝑠 → ∀𝑦 ∈ (𝑀 LinCo 𝑉)𝑦 ∈ 𝑠)))
3	2	ad2antrr 724	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀 LinCo 𝑉)) → (𝑠 ∈ (LSubSp‘𝑀) → (𝑉 ⊆ 𝑠 → ∀𝑦 ∈ (𝑀 LinCo 𝑉)𝑦 ∈ 𝑠)))
4	3	imp 408	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀 LinCo 𝑉)) ∧ 𝑠 ∈ (LSubSp‘𝑀)) → (𝑉 ⊆ 𝑠 → ∀𝑦 ∈ (𝑀 LinCo 𝑉)𝑦 ∈ 𝑠))
5		elequ1 2111	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝑦 ∈ 𝑠 ↔ 𝑥 ∈ 𝑠))
6	5	rspcv 3562	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑀 LinCo 𝑉) → (∀𝑦 ∈ (𝑀 LinCo 𝑉)𝑦 ∈ 𝑠 → 𝑥 ∈ 𝑠))
7	6	ad2antlr 725	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀 LinCo 𝑉)) ∧ 𝑠 ∈ (LSubSp‘𝑀)) → (∀𝑦 ∈ (𝑀 LinCo 𝑉)𝑦 ∈ 𝑠 → 𝑥 ∈ 𝑠))
8	4, 7	syld 47	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀 LinCo 𝑉)) ∧ 𝑠 ∈ (LSubSp‘𝑀)) → (𝑉 ⊆ 𝑠 → 𝑥 ∈ 𝑠))
9	8	ralrimiva 3140	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀 LinCo 𝑉)) → ∀𝑠 ∈ (LSubSp‘𝑀)(𝑉 ⊆ 𝑠 → 𝑥 ∈ 𝑠))
10		vex 3441	. . . . . 6 ⊢ 𝑥 ∈ V
11	10	elintrab 4898	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ∩ {𝑠 ∈ (LSubSp‘𝑀) ∣ 𝑉 ⊆ 𝑠} ↔ ∀𝑠 ∈ (LSubSp‘𝑀)(𝑉 ⊆ 𝑠 → 𝑥 ∈ 𝑠))
12	9, 11	sylibr 233	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀 LinCo 𝑉)) → 𝑥 ∈ ∩ {𝑠 ∈ (LSubSp‘𝑀) ∣ 𝑉 ⊆ 𝑠})
13		simpll 765	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀 LinCo 𝑉)) → 𝑀 ∈ LMod)
14		elpwi 4546	. . . . . 6 ⊢ (𝑉 ∈ 𝒫 𝐵 → 𝑉 ⊆ 𝐵)
15	14	ad2antlr 725	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀 LinCo 𝑉)) → 𝑉 ⊆ 𝐵)
16		lspeqvlco.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
17		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (LSubSp‘𝑀) = (LSubSp‘𝑀)
18		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (LSpan‘𝑀) = (LSpan‘𝑀)
19	16, 17, 18	lspval 20282	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ⊆ 𝐵) → ((LSpan‘𝑀)‘𝑉) = ∩ {𝑠 ∈ (LSubSp‘𝑀) ∣ 𝑉 ⊆ 𝑠})
20	13, 15, 19	syl2anc 585	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀 LinCo 𝑉)) → ((LSpan‘𝑀)‘𝑉) = ∩ {𝑠 ∈ (LSubSp‘𝑀) ∣ 𝑉 ⊆ 𝑠})
21	12, 20	eleqtrrd 2840	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀 LinCo 𝑉)) → 𝑥 ∈ ((LSpan‘𝑀)‘𝑉))
22	21	ex 414	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) → (𝑥 ∈ (𝑀 LinCo 𝑉) → 𝑥 ∈ ((LSpan‘𝑀)‘𝑉)))
23	22	ssrdv 3932	1 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) → (𝑀 LinCo 𝑉) ⊆ ((LSpan‘𝑀)‘𝑉))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  ∀wral 3062  {crab 3284   ⊆ wss 3892  𝒫 cpw 4539  ∩ cint 4886  ‘cfv 6458  (class class class)co 7307  Basecbs 16957  LModclmod 20168  LSubSpclss 20238  LSpanclspn 20278   LinCo clinco 45804

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2707  ax-rep 5218  ax-sep 5232  ax-nul 5239  ax-pow 5297  ax-pr 5361  ax-un 7620  ax-cnex 10973  ax-resscn 10974  ax-1cn 10975  ax-icn 10976  ax-addcl 10977  ax-addrcl 10978  ax-mulcl 10979  ax-mulrcl 10980  ax-mulcom 10981  ax-addass 10982  ax-mulass 10983  ax-distr 10984  ax-i2m1 10985  ax-1ne0 10986  ax-1rid 10987  ax-rnegex 10988  ax-rrecex 10989  ax-cnre 10990  ax-pre-lttri 10991  ax-pre-lttrn 10992  ax-pre-ltadd 10993  ax-pre-mulgt0 10994

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3285  df-reu 3286  df-rab 3287  df-v 3439  df-sbc 3722  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4566  df-pr 4568  df-op 4572  df-uni 4845  df-int 4887  df-iun 4933  df-br 5082  df-opab 5144  df-mpt 5165  df-tr 5199  df-id 5500  df-eprel 5506  df-po 5514  df-so 5515  df-fr 5555  df-se 5556  df-we 5557  df-xp 5606  df-rel 5607  df-cnv 5608  df-co 5609  df-dm 5610  df-rn 5611  df-res 5612  df-ima 5613  df-pred 6217  df-ord 6284  df-on 6285  df-lim 6286  df-suc 6287  df-iota 6410  df-fun 6460  df-fn 6461  df-f 6462  df-f1 6463  df-fo 6464  df-f1o 6465  df-fv 6466  df-isom 6467  df-riota 7264  df-ov 7310  df-oprab 7311  df-mpo 7312  df-om 7745  df-1st 7863  df-2nd 7864  df-supp 8009  df-frecs 8128  df-wrecs 8159  df-recs 8233  df-rdg 8272  df-1o 8328  df-er 8529  df-map 8648  df-en 8765  df-dom 8766  df-sdom 8767  df-fin 8768  df-fsupp 9173  df-oi 9313  df-card 9741  df-pnf 11057  df-mnf 11058  df-xr 11059  df-ltxr 11060  df-le 11061  df-sub 11253  df-neg 11254  df-nn 12020  df-2 12082  df-n0 12280  df-z 12366  df-uz 12629  df-fz 13286  df-fzo 13429  df-seq 13768  df-hash 14091  df-sets 16910  df-slot 16928  df-ndx 16940  df-base 16958  df-ress 16987  df-plusg 17020  df-0g 17197  df-gsum 17198  df-mgm 18371  df-sgrp 18420  df-mnd 18431  df-submnd 18476  df-grp 18625  df-minusg 18626  df-sbg 18627  df-subg 18797  df-cntz 18968  df-cmn 19433  df-abl 19434  df-mgp 19766  df-ur 19783  df-ring 19830  df-lmod 20170  df-lss 20239  df-lsp 20279  df-linc 45805  df-lco 45806

This theorem is referenced by:  lspeqlco  45838