Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lcosslsp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lcosslsp 44778
Description: Lemma for lspeqlco 44779. (Contributed by AV, 20-Apr-2019.)
Hypothesis
Ref Expression
lspeqvlco.b 𝐵 = (Base‘𝑀)
Assertion
Ref Expression
lcosslsp ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) → (𝑀 LinCo 𝑉) ⊆ ((LSpan‘𝑀)‘𝑉))

Proof of Theorem lcosslsp
Dummy variables 𝑠 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ellcoellss 44775 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑠 ∈ (LSubSp‘𝑀) ∧ 𝑉𝑠) → ∀𝑦 ∈ (𝑀 LinCo 𝑉)𝑦𝑠)
213exp 1116 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ LMod → (𝑠 ∈ (LSubSp‘𝑀) → (𝑉𝑠 → ∀𝑦 ∈ (𝑀 LinCo 𝑉)𝑦𝑠)))
32ad2antrr 725 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀 LinCo 𝑉)) → (𝑠 ∈ (LSubSp‘𝑀) → (𝑉𝑠 → ∀𝑦 ∈ (𝑀 LinCo 𝑉)𝑦𝑠)))
43imp 410 . . . . . . 7 ((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀 LinCo 𝑉)) ∧ 𝑠 ∈ (LSubSp‘𝑀)) → (𝑉𝑠 → ∀𝑦 ∈ (𝑀 LinCo 𝑉)𝑦𝑠))
5 elequ1 2122 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝑥 → (𝑦𝑠𝑥𝑠))
65rspcv 3604 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (𝑀 LinCo 𝑉) → (∀𝑦 ∈ (𝑀 LinCo 𝑉)𝑦𝑠𝑥𝑠))
76ad2antlr 726 . . . . . . 7 ((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀 LinCo 𝑉)) ∧ 𝑠 ∈ (LSubSp‘𝑀)) → (∀𝑦 ∈ (𝑀 LinCo 𝑉)𝑦𝑠𝑥𝑠))
84, 7syld 47 . . . . . 6 ((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀 LinCo 𝑉)) ∧ 𝑠 ∈ (LSubSp‘𝑀)) → (𝑉𝑠𝑥𝑠))
98ralrimiva 3177 . . . . 5 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀 LinCo 𝑉)) → ∀𝑠 ∈ (LSubSp‘𝑀)(𝑉𝑠𝑥𝑠))
10 vex 3483 . . . . . 6 𝑥 ∈ V
1110elintrab 4874 . . . . 5 (𝑥 {𝑠 ∈ (LSubSp‘𝑀) ∣ 𝑉𝑠} ↔ ∀𝑠 ∈ (LSubSp‘𝑀)(𝑉𝑠𝑥𝑠))
129, 11sylibr 237 . . . 4 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀 LinCo 𝑉)) → 𝑥 {𝑠 ∈ (LSubSp‘𝑀) ∣ 𝑉𝑠})
13 simpll 766 . . . . 5 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀 LinCo 𝑉)) → 𝑀 ∈ LMod)
14 elpwi 4531 . . . . . 6 (𝑉 ∈ 𝒫 𝐵𝑉𝐵)
1514ad2antlr 726 . . . . 5 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀 LinCo 𝑉)) → 𝑉𝐵)
16 lspeqvlco.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝑀)
17 eqid 2824 . . . . . 6 (LSubSp‘𝑀) = (LSubSp‘𝑀)
18 eqid 2824 . . . . . 6 (LSpan‘𝑀) = (LSpan‘𝑀)
1916, 17, 18lspval 19747 . . . . 5 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉𝐵) → ((LSpan‘𝑀)‘𝑉) = {𝑠 ∈ (LSubSp‘𝑀) ∣ 𝑉𝑠})
2013, 15, 19syl2anc 587 . . . 4 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀 LinCo 𝑉)) → ((LSpan‘𝑀)‘𝑉) = {𝑠 ∈ (LSubSp‘𝑀) ∣ 𝑉𝑠})
2112, 20eleqtrrd 2919 . . 3 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀 LinCo 𝑉)) → 𝑥 ∈ ((LSpan‘𝑀)‘𝑉))
2221ex 416 . 2 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) → (𝑥 ∈ (𝑀 LinCo 𝑉) → 𝑥 ∈ ((LSpan‘𝑀)‘𝑉)))
2322ssrdv 3959 1 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 𝐵) → (𝑀 LinCo 𝑉) ⊆ ((LSpan‘𝑀)‘𝑉))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399   = wceq 1538  wcel 2115  wral 3133  {crab 3137  wss 3919  𝒫 cpw 4522   cint 4862  cfv 6343  (class class class)co 7149  Basecbs 16483  LModclmod 19634  LSubSpclss 19703  LSpanclspn 19743   LinCo clinco 44745
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5176  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7455  ax-cnex 10591  ax-resscn 10592  ax-1cn 10593  ax-icn 10594  ax-addcl 10595  ax-addrcl 10596  ax-mulcl 10597  ax-mulrcl 10598  ax-mulcom 10599  ax-addass 10600  ax-mulass 10601  ax-distr 10602  ax-i2m1 10603  ax-1ne0 10604  ax-1rid 10605  ax-rnegex 10606  ax-rrecex 10607  ax-cnre 10608  ax-pre-lttri 10609  ax-pre-lttrn 10610  ax-pre-ltadd 10611  ax-pre-mulgt0 10612
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4825  df-int 4863  df-iun 4907  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-tr 5159  df-id 5447  df-eprel 5452  df-po 5461  df-so 5462  df-fr 5501  df-se 5502  df-we 5503  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-pred 6135  df-ord 6181  df-on 6182  df-lim 6183  df-suc 6184  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-isom 6352  df-riota 7107  df-ov 7152  df-oprab 7153  df-mpo 7154  df-om 7575  df-1st 7684  df-2nd 7685  df-supp 7827  df-wrecs 7943  df-recs 8004  df-rdg 8042  df-1o 8098  df-oadd 8102  df-er 8285  df-map 8404  df-en 8506  df-dom 8507  df-sdom 8508  df-fin 8509  df-fsupp 8831  df-oi 8971  df-card 9365  df-pnf 10675  df-mnf 10676  df-xr 10677  df-ltxr 10678  df-le 10679  df-sub 10870  df-neg 10871  df-nn 11635  df-2 11697  df-n0 11895  df-z 11979  df-uz 12241  df-fz 12895  df-fzo 13038  df-seq 13374  df-hash 13696  df-ndx 16486  df-slot 16487  df-base 16489  df-sets 16490  df-ress 16491  df-plusg 16578  df-0g 16715  df-gsum 16716  df-mgm 17852  df-sgrp 17901  df-mnd 17912  df-submnd 17957  df-grp 18106  df-minusg 18107  df-sbg 18108  df-subg 18276  df-cntz 18447  df-cmn 18908  df-abl 18909  df-mgp 19240  df-ur 19252  df-ring 19299  df-lmod 19636  df-lss 19704  df-lsp 19744  df-linc 44746  df-lco 44747
This theorem is referenced by:  lspeqlco  44779
  Copyright terms: Public domain W3C validator