Theorem lspssid 21006

Description: A set of vectors is a subset of its span. (spanss2 31377 analog.) (Contributed by NM, 6-Feb-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lspss.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lspss.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lspssid	⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ⊆ 𝑉) → 𝑈 ⊆ (𝑁‘𝑈))

Proof of Theorem lspssid

Dummy variable 𝑡 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssintub 4990	. 2 ⊢ 𝑈 ⊆ ∩ {𝑡 ∈ (LSubSp‘𝑊) ∣ 𝑈 ⊆ 𝑡}
2		lspss.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
3		eqid 2740	. . 3 ⊢ (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
4		lspss.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
5	2, 3, 4	lspval 20996	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ⊆ 𝑉) → (𝑁‘𝑈) = ∩ {𝑡 ∈ (LSubSp‘𝑊) ∣ 𝑈 ⊆ 𝑡})
6	1, 5	sseqtrrid 4062	1 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ⊆ 𝑉) → 𝑈 ⊆ (𝑁‘𝑈))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  {crab 3443   ⊆ wss 3976  ∩ cint 4970  ‘cfv 6573  Basecbs 17258  LModclmod 20880  LSubSpclss 20952  LSpanclspn 20992

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-0g 17501  df-mgm 18678  df-sgrp 18757  df-mnd 18773  df-grp 18976  df-lmod 20882  df-lss 20953  df-lsp 20993

This theorem is referenced by:  lspun  21008  lspsnid  21014  lsslsp  21036  lsslspOLD  21037  lmhmlsp  21071  lsmsp  21108  lsmssspx  21110  lspvadd  21118  lspsolvlem  21167  lspsolv  21168  lsppratlem3  21174  lsppratlem4  21175  islbs3  21180  lbsextlem2  21184  lbsextlem4  21186  rspssid  21269  ocvlsp  21717  obselocv  21771  frlmsslsp  21839  lindff1  21863  islinds3  21877  mxidlprm  33463  lbslsat  33629  lindsunlem  33637  dimkerim  33640  lindsenlbs  37575  dochocsp  41336  djhunssN  41366  islssfg2  43028