Theorem lspssid 21075

Description: A set of vectors is a subset of its span. (spanss2 31606 analog.) (Contributed by NM, 6-Feb-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lspss.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lspss.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lspssid	⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ⊆ 𝑉) → 𝑈 ⊆ (𝑁‘𝑈))

Proof of Theorem lspssid

Dummy variable 𝑡 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssintub 4927	. 2 ⊢ 𝑈 ⊆ ∩ {𝑡 ∈ (LSubSp‘𝑊) ∣ 𝑈 ⊆ 𝑡}
2		lspss.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
3		eqid 2765	. . 3 ⊢ (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
4		lspss.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
5	2, 3, 4	lspval 21065	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ⊆ 𝑉) → (𝑁‘𝑈) = ∩ {𝑡 ∈ (LSubSp‘𝑊) ∣ 𝑈 ⊆ 𝑡})
6	1, 5	sseqtrrid 3982	1 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ⊆ 𝑉) → 𝑈 ⊆ (𝑁‘𝑈))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1563   ∈ wcel 2145  {crab 3417   ⊆ wss 3907  ∩ cint 4908  ‘cfv 6525  Basecbs 17259  LModclmod 20950  LSubSpclss 21021  LSpanclspn 21061

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5327  ax-pr 5395

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4869  df-int 4909  df-iun 4954  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5547  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-riota 7357  df-ov 7403  df-0g 17484  df-mgm 18688  df-sgrp 18767  df-mnd 18783  df-grp 18993  df-lmod 20952  df-lss 21022  df-lsp 21062

This theorem is referenced by:  lspun  21077  lspsnid  21083  lsslsp  21105  lmhmlsp  21139  lsmsp  21176  lsmssspx  21178  lspvadd  21186  lspsolvlem  21235  lspsolv  21236  lsppratlem3  21242  lsppratlem4  21243  islbs3  21248  lbsextlem2  21252  lbsextlem4  21254  rspssid  21334  ocvlsp  21786  obselocv  21838  frlmsslsp  21906  lindff1  21930  islinds3  21944  mxidlprm  33670  lbslsat  33923  lindsunlem  33931  dimkerim  33934  lindsenlbs  38126  dochocsp  42015  djhunssN  42045  islssfg2  43660