Theorem lspssid 20936

Description: A set of vectors is a subset of its span. (spanss2 31420 analog.) (Contributed by NM, 6-Feb-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lspss.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lspss.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lspssid	⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ⊆ 𝑉) → 𝑈 ⊆ (𝑁‘𝑈))

Proof of Theorem lspssid

Dummy variable 𝑡 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssintub 4921	. 2 ⊢ 𝑈 ⊆ ∩ {𝑡 ∈ (LSubSp‘𝑊) ∣ 𝑈 ⊆ 𝑡}
2		lspss.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
3		eqid 2736	. . 3 ⊢ (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
4		lspss.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
5	2, 3, 4	lspval 20926	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ⊆ 𝑉) → (𝑁‘𝑈) = ∩ {𝑡 ∈ (LSubSp‘𝑊) ∣ 𝑈 ⊆ 𝑡})
6	1, 5	sseqtrrid 3977	1 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ⊆ 𝑉) → 𝑈 ⊆ (𝑁‘𝑈))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  {crab 3399   ⊆ wss 3901  ∩ cint 4902  ‘cfv 6492  Basecbs 17136  LModclmod 20811  LSubSpclss 20882  LSpanclspn 20922

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-int 4903  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-id 5519  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-0g 17361  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-grp 18866  df-lmod 20813  df-lss 20883  df-lsp 20923

This theorem is referenced by:  lspun  20938  lspsnid  20944  lsslsp  20966  lsslspOLD  20967  lmhmlsp  21001  lsmsp  21038  lsmssspx  21040  lspvadd  21048  lspsolvlem  21097  lspsolv  21098  lsppratlem3  21104  lsppratlem4  21105  islbs3  21110  lbsextlem2  21114  lbsextlem4  21116  rspssid  21191  ocvlsp  21631  obselocv  21683  frlmsslsp  21751  lindff1  21775  islinds3  21789  mxidlprm  33551  lbslsat  33773  lindsunlem  33781  dimkerim  33784  lindsenlbs  37812  dochocsp  41635  djhunssN  41665  islssfg2  43309