MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lspssid Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lspssid 19733
Description: A set of vectors is a subset of its span. (spanss2 29107 analog.) (Contributed by NM, 6-Feb-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lspss.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
lspss.n 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
lspssid ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑉) → 𝑈 ⊆ (𝑁𝑈))

Proof of Theorem lspssid
Dummy variable 𝑡 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssintub 4870 . 2 𝑈 {𝑡 ∈ (LSubSp‘𝑊) ∣ 𝑈𝑡}
2 lspss.v . . 3 𝑉 = (Base‘𝑊)
3 eqid 2820 . . 3 (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
4 lspss.n . . 3 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
52, 3, 4lspval 19723 . 2 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑉) → (𝑁𝑈) = {𝑡 ∈ (LSubSp‘𝑊) ∣ 𝑈𝑡})
61, 5sseqtrrid 3999 1 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑉) → 𝑈 ⊆ (𝑁𝑈))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 398   = wceq 1537  wcel 2114  {crab 3129  wss 3913   cint 4852  cfv 6331  Basecbs 16462  LModclmod 19610  LSubSpclss 19679  LSpanclspn 19719
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2792  ax-rep 5166  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5242  ax-pr 5306
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2799  df-cleq 2813  df-clel 2891  df-nfc 2959  df-ne 3007  df-ral 3130  df-rex 3131  df-reu 3132  df-rmo 3133  df-rab 3134  df-v 3475  df-sbc 3753  df-csb 3861  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4270  df-if 4444  df-pw 4517  df-sn 4544  df-pr 4546  df-op 4550  df-uni 4815  df-int 4853  df-iun 4897  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-id 5436  df-xp 5537  df-rel 5538  df-cnv 5539  df-co 5540  df-dm 5541  df-rn 5542  df-res 5543  df-ima 5544  df-iota 6290  df-fun 6333  df-fn 6334  df-f 6335  df-f1 6336  df-fo 6337  df-f1o 6338  df-fv 6339  df-riota 7091  df-ov 7136  df-0g 16694  df-mgm 17831  df-sgrp 17880  df-mnd 17891  df-grp 18085  df-lmod 19612  df-lss 19680  df-lsp 19720
This theorem is referenced by:  lspun  19735  lspsnid  19741  lsslsp  19763  lmhmlsp  19797  lsmsp  19834  lsmssspx  19836  lspvadd  19844  lspsolvlem  19890  lspsolv  19891  lsppratlem3  19897  lsppratlem4  19898  islbs3  19903  lbsextlem2  19907  lbsextlem4  19909  rspssid  19972  ocvlsp  20796  obselocv  20848  frlmsslsp  20916  lindff1  20940  islinds3  20954  mxidlprm  30988  lbslsat  31025  lindsunlem  31031  dimkerim  31034  lindsenlbs  34928  dochocsp  38551  djhunssN  38581  islssfg2  39808
  Copyright terms: Public domain W3C validator