Theorem lspssid 20898

Description: A set of vectors is a subset of its span. (spanss2 31281 analog.) (Contributed by NM, 6-Feb-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lspss.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lspss.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lspssid	⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ⊆ 𝑉) → 𝑈 ⊆ (𝑁‘𝑈))

Proof of Theorem lspssid

Dummy variable 𝑡 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssintub 4933	. 2 ⊢ 𝑈 ⊆ ∩ {𝑡 ∈ (LSubSp‘𝑊) ∣ 𝑈 ⊆ 𝑡}
2		lspss.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
3		eqid 2730	. . 3 ⊢ (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
4		lspss.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
5	2, 3, 4	lspval 20888	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ⊆ 𝑉) → (𝑁‘𝑈) = ∩ {𝑡 ∈ (LSubSp‘𝑊) ∣ 𝑈 ⊆ 𝑡})
6	1, 5	sseqtrrid 3993	1 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ⊆ 𝑉) → 𝑈 ⊆ (𝑁‘𝑈))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  {crab 3408   ⊆ wss 3917  ∩ cint 4913  ‘cfv 6514  Basecbs 17186  LModclmod 20773  LSubSpclss 20844  LSpanclspn 20884

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-int 4914  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5536  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-0g 17411  df-mgm 18574  df-sgrp 18653  df-mnd 18669  df-grp 18875  df-lmod 20775  df-lss 20845  df-lsp 20885

This theorem is referenced by:  lspun  20900  lspsnid  20906  lsslsp  20928  lsslspOLD  20929  lmhmlsp  20963  lsmsp  21000  lsmssspx  21002  lspvadd  21010  lspsolvlem  21059  lspsolv  21060  lsppratlem3  21066  lsppratlem4  21067  islbs3  21072  lbsextlem2  21076  lbsextlem4  21078  rspssid  21153  ocvlsp  21592  obselocv  21644  frlmsslsp  21712  lindff1  21736  islinds3  21750  mxidlprm  33448  lbslsat  33619  lindsunlem  33627  dimkerim  33630  lindsenlbs  37616  dochocsp  41380  djhunssN  41410  islssfg2  43067