MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lspssid Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lspssid 20876
Description: A set of vectors is a subset of its span. (spanss2 31175 analog.) (Contributed by NM, 6-Feb-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lspss.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
lspss.n 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
lspssid ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ βŠ† 𝑉) β†’ π‘ˆ βŠ† (π‘β€˜π‘ˆ))

Proof of Theorem lspssid
Dummy variable 𝑑 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssintub 4973 . 2 π‘ˆ βŠ† ∩ {𝑑 ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š) ∣ π‘ˆ βŠ† 𝑑}
2 lspss.v . . 3 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
3 eqid 2728 . . 3 (LSubSpβ€˜π‘Š) = (LSubSpβ€˜π‘Š)
4 lspss.n . . 3 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘Š)
52, 3, 4lspval 20866 . 2 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ βŠ† 𝑉) β†’ (π‘β€˜π‘ˆ) = ∩ {𝑑 ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š) ∣ π‘ˆ βŠ† 𝑑})
61, 5sseqtrrid 4035 1 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ βŠ† 𝑉) β†’ π‘ˆ βŠ† (π‘β€˜π‘ˆ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  {crab 3430   βŠ† wss 3949  βˆ© cint 4953  β€˜cfv 6553  Basecbs 17187  LModclmod 20750  LSubSpclss 20822  LSpanclspn 20862
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-id 5580  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-0g 17430  df-mgm 18607  df-sgrp 18686  df-mnd 18702  df-grp 18900  df-lmod 20752  df-lss 20823  df-lsp 20863
This theorem is referenced by:  lspun  20878  lspsnid  20884  lsslsp  20906  lsslspOLD  20907  lmhmlsp  20941  lsmsp  20978  lsmssspx  20980  lspvadd  20988  lspsolvlem  21037  lspsolv  21038  lsppratlem3  21044  lsppratlem4  21045  islbs3  21050  lbsextlem2  21054  lbsextlem4  21056  rspssid  21139  ocvlsp  21615  obselocv  21669  frlmsslsp  21737  lindff1  21761  islinds3  21775  mxidlprm  33208  lbslsat  33347  lindsunlem  33355  dimkerim  33358  lindsenlbs  37121  dochocsp  40884  djhunssN  40914  islssfg2  42526
  Copyright terms: Public domain W3C validator