MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lspssid Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lspssid 19351
Description: A set of vectors is a subset of its span. (spanss2 28755 analog.) (Contributed by NM, 6-Feb-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lspss.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
lspss.n 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
lspssid ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑉) → 𝑈 ⊆ (𝑁𝑈))

Proof of Theorem lspssid
Dummy variable 𝑡 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssintub 4717 . 2 𝑈 {𝑡 ∈ (LSubSp‘𝑊) ∣ 𝑈𝑡}
2 lspss.v . . 3 𝑉 = (Base‘𝑊)
3 eqid 2825 . . 3 (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
4 lspss.n . . 3 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
52, 3, 4lspval 19341 . 2 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑉) → (𝑁𝑈) = {𝑡 ∈ (LSubSp‘𝑊) ∣ 𝑈𝑡})
61, 5syl5sseqr 3879 1 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑉) → 𝑈 ⊆ (𝑁𝑈))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 386   = wceq 1656  wcel 2164  {crab 3121  wss 3798   cint 4699  cfv 6127  Basecbs 16229  LModclmod 19226  LSubSpclss 19295  LSpanclspn 19337
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1894  ax-4 1908  ax-5 2009  ax-6 2075  ax-7 2112  ax-8 2166  ax-9 2173  ax-10 2192  ax-11 2207  ax-12 2220  ax-13 2389  ax-ext 2803  ax-rep 4996  ax-sep 5007  ax-nul 5015  ax-pow 5067  ax-pr 5129
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 879  df-3an 1113  df-tru 1660  df-ex 1879  df-nf 1883  df-sb 2068  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rmo 3125  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-nul 4147  df-if 4309  df-pw 4382  df-sn 4400  df-pr 4402  df-op 4406  df-uni 4661  df-int 4700  df-iun 4744  df-br 4876  df-opab 4938  df-mpt 4955  df-id 5252  df-xp 5352  df-rel 5353  df-cnv 5354  df-co 5355  df-dm 5356  df-rn 5357  df-res 5358  df-ima 5359  df-iota 6090  df-fun 6129  df-fn 6130  df-f 6131  df-f1 6132  df-fo 6133  df-f1o 6134  df-fv 6135  df-riota 6871  df-ov 6913  df-0g 16462  df-mgm 17602  df-sgrp 17644  df-mnd 17655  df-grp 17786  df-lmod 19228  df-lss 19296  df-lsp 19338
This theorem is referenced by:  lspun  19353  lspsnid  19359  lsslsp  19381  lmhmlsp  19415  lsmsp  19452  lsmssspx  19454  lspvadd  19462  lspsolvlem  19509  lspsolv  19510  lsppratlem3  19517  lsppratlem4  19518  islbs3  19523  lbsextlem2  19527  lbsextlem4  19529  rspssid  19591  ocvlsp  20390  obselocv  20442  frlmsslsp  20509  lindff1  20533  islinds3  20547  lindsenlbs  33943  dochocsp  37449  djhunssN  37479  islssfg2  38479
  Copyright terms: Public domain W3C validator