Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dochspss Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dochspss 38550
 Description: The span of a set of vectors is included in their double orthocomplement. (Contributed by NM, 26-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dochsp.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dochsp.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
dochsp.o = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
dochsp.v 𝑉 = (Base‘𝑈)
dochsp.n 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
dochsp.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
dochsp.x (𝜑𝑋𝑉)
Assertion
Ref Expression
dochspss (𝜑 → (𝑁𝑋) ⊆ ( ‘( 𝑋)))

Proof of Theorem dochspss
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dochsp.k . . 3 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
2 dochsp.h . . . 4 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
3 dochsp.u . . . 4 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
4 eqid 2820 . . . 4 ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
5 eqid 2820 . . . 4 (LSubSp‘𝑈) = (LSubSp‘𝑈)
62, 3, 4, 5dihsslss 38448 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ⊆ (LSubSp‘𝑈))
7 rabss2 4033 . . 3 (ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ⊆ (LSubSp‘𝑈) → {𝑧 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ∣ 𝑋𝑧} ⊆ {𝑧 ∈ (LSubSp‘𝑈) ∣ 𝑋𝑧})
8 intss 4873 . . 3 ({𝑧 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ∣ 𝑋𝑧} ⊆ {𝑧 ∈ (LSubSp‘𝑈) ∣ 𝑋𝑧} → {𝑧 ∈ (LSubSp‘𝑈) ∣ 𝑋𝑧} ⊆ {𝑧 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ∣ 𝑋𝑧})
91, 6, 7, 84syl 19 . 2 (𝜑 {𝑧 ∈ (LSubSp‘𝑈) ∣ 𝑋𝑧} ⊆ {𝑧 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ∣ 𝑋𝑧})
102, 3, 1dvhlmod 38282 . . 3 (𝜑𝑈 ∈ LMod)
11 dochsp.x . . 3 (𝜑𝑋𝑉)
12 dochsp.v . . . 4 𝑉 = (Base‘𝑈)
13 dochsp.n . . . 4 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
1412, 5, 13lspval 19723 . . 3 ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) → (𝑁𝑋) = {𝑧 ∈ (LSubSp‘𝑈) ∣ 𝑋𝑧})
1510, 11, 14syl2anc 586 . 2 (𝜑 → (𝑁𝑋) = {𝑧 ∈ (LSubSp‘𝑈) ∣ 𝑋𝑧})
16 dochsp.o . . 3 = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
172, 4, 3, 12, 16, 1, 11doch2val2 38536 . 2 (𝜑 → ( ‘( 𝑋)) = {𝑧 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ∣ 𝑋𝑧})
189, 15, 173sstr4d 3993 1 (𝜑 → (𝑁𝑋) ⊆ ( ‘( 𝑋)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  {crab 3129   ⊆ wss 3913  ∩ cint 4852  ran crn 5532  ‘cfv 6331  Basecbs 16462  LModclmod 19610  LSubSpclss 19679  LSpanclspn 19719  HLchlt 36522  LHypclh 37156  DVecHcdvh 38250  DIsoHcdih 38400  ocHcoch 38519 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2792  ax-rep 5166  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5242  ax-pr 5306  ax-un 7439  ax-cnex 10571  ax-resscn 10572  ax-1cn 10573  ax-icn 10574  ax-addcl 10575  ax-addrcl 10576  ax-mulcl 10577  ax-mulrcl 10578  ax-mulcom 10579  ax-addass 10580  ax-mulass 10581  ax-distr 10582  ax-i2m1 10583  ax-1ne0 10584  ax-1rid 10585  ax-rnegex 10586  ax-rrecex 10587  ax-cnre 10588  ax-pre-lttri 10589  ax-pre-lttrn 10590  ax-pre-ltadd 10591  ax-pre-mulgt0 10592  ax-riotaBAD 36125 This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2799  df-cleq 2813  df-clel 2891  df-nfc 2959  df-ne 3007  df-nel 3111  df-ral 3130  df-rex 3131  df-reu 3132  df-rmo 3133  df-rab 3134  df-v 3475  df-sbc 3753  df-csb 3861  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3932  df-nul 4270  df-if 4444  df-pw 4517  df-sn 4544  df-pr 4546  df-tp 4548  df-op 4550  df-uni 4815  df-int 4853  df-iun 4897  df-iin 4898  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-tr 5149  df-id 5436  df-eprel 5441  df-po 5450  df-so 5451  df-fr 5490  df-we 5492  df-xp 5537  df-rel 5538  df-cnv 5539  df-co 5540  df-dm 5541  df-rn 5542  df-res 5543  df-ima 5544  df-pred 6124  df-ord 6170  df-on 6171  df-lim 6172  df-suc 6173  df-iota 6290  df-fun 6333  df-fn 6334  df-f 6335  df-f1 6336  df-fo 6337  df-f1o 6338  df-fv 6339  df-riota 7091  df-ov 7136  df-oprab 7137  df-mpo 7138  df-om 7559  df-1st 7667  df-2nd 7668  df-tpos 7870  df-undef 7917  df-wrecs 7925  df-recs 7986  df-rdg 8024  df-1o 8080  df-oadd 8084  df-er 8267  df-map 8386  df-en 8488  df-dom 8489  df-sdom 8490  df-fin 8491  df-pnf 10655  df-mnf 10656  df-xr 10657  df-ltxr 10658  df-le 10659  df-sub 10850  df-neg 10851  df-nn 11617  df-2 11679  df-3 11680  df-4 11681  df-5 11682  df-6 11683  df-n0 11877  df-z 11961  df-uz 12223  df-fz 12877  df-struct 16464  df-ndx 16465  df-slot 16466  df-base 16468  df-sets 16469  df-ress 16470  df-plusg 16557  df-mulr 16558  df-sca 16560  df-vsca 16561  df-0g 16694  df-proset 17517  df-poset 17535  df-plt 17547  df-lub 17563  df-glb 17564  df-join 17565  df-meet 17566  df-p0 17628  df-p1 17629  df-lat 17635  df-clat 17697  df-mgm 17831  df-sgrp 17880  df-mnd 17891  df-submnd 17936  df-grp 18085  df-minusg 18086  df-sbg 18087  df-subg 18255  df-cntz 18426  df-lsm 18740  df-cmn 18887  df-abl 18888  df-mgp 19219  df-ur 19231  df-ring 19278  df-oppr 19352  df-dvdsr 19370  df-unit 19371  df-invr 19401  df-dvr 19412  df-drng 19480  df-lmod 19612  df-lss 19680  df-lsp 19720  df-lvec 19851  df-lsatoms 36148  df-oposet 36348  df-ol 36350  df-oml 36351  df-covers 36438  df-ats 36439  df-atl 36470  df-cvlat 36494  df-hlat 36523  df-llines 36670  df-lplanes 36671  df-lvols 36672  df-lines 36673  df-psubsp 36675  df-pmap 36676  df-padd 36968  df-lhyp 37160  df-laut 37161  df-ldil 37276  df-ltrn 37277  df-trl 37331  df-tendo 37927  df-edring 37929  df-disoa 38201  df-dvech 38251  df-dib 38311  df-dic 38345  df-dih 38401  df-doch 38520 This theorem is referenced by:  dochocsp  38551  djhspss  38578
 Copyright terms: Public domain W3C validator