Theorem lspcl 20931

Description: The span of a set of vectors is a subspace. (spancl 31263 analog.) (Contributed by NM, 9-Dec-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lspval.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lspval.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lspval.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lspcl	⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ⊆ 𝑉) → (𝑁‘𝑈) ∈ 𝑆)

Proof of Theorem lspcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lspval.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
2		lspval.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
3		lspval.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
4	1, 2, 3	lspf 20929	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑁:𝒫 𝑉⟶𝑆)
5	1	fvexi 6889	. . . 4 ⊢ 𝑉 ∈ V
6	5	elpw2 5304	. . 3 ⊢ (𝑈 ∈ 𝒫 𝑉 ↔ 𝑈 ⊆ 𝑉)
7	6	biimpri 228	. 2 ⊢ (𝑈 ⊆ 𝑉 → 𝑈 ∈ 𝒫 𝑉)
8		ffvelcdm 7070	. 2 ⊢ ((𝑁:𝒫 𝑉⟶𝑆 ∧ 𝑈 ∈ 𝒫 𝑉) → (𝑁‘𝑈) ∈ 𝑆)
9	4, 7, 8	syl2an 596	1 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ⊆ 𝑉) → (𝑁‘𝑈) ∈ 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ⊆ wss 3926  𝒫 cpw 4575  ⟶wf 6526  ‘cfv 6530  Basecbs 17226  LModclmod 20815  LSubSpclss 20886  LSpanclspn 20926

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5249  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7727  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-int 4923  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6483  df-fun 6532  df-fn 6533  df-f 6534  df-f1 6535  df-fo 6536  df-f1o 6537  df-fv 6538  df-riota 7360  df-ov 7406  df-oprab 7407  df-mpo 7408  df-om 7860  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-er 8717  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11466  df-neg 11467  df-nn 12239  df-2 12301  df-sets 17181  df-slot 17199  df-ndx 17211  df-base 17227  df-plusg 17282  df-0g 17453  df-mgm 18616  df-sgrp 18695  df-mnd 18711  df-grp 18917  df-minusg 18918  df-sbg 18919  df-mgp 20099  df-ur 20140  df-ring 20193  df-lmod 20817  df-lss 20887  df-lsp 20927

This theorem is referenced by:  lspsncl  20932  lspprcl  20933  lsptpcl  20934  lspssv  20938  lspidm  20941  lspsnvsi  20959  lsp0  20964  lspun0  20966  lsslsp  20970  lsslspOLD  20971  lmhmlsp  21005  lsmsp  21042  lsmsp2  21043  lspvadd  21052  lspsolvlem  21101  lspsolv  21102  lsppratlem2  21107  lsppratlem3  21108  islbs2  21113  islbs3  21114  lbsextlem2  21118  rspcl  21194  obselocv  21686  frlmsslsp  21754  islinds3  21792  0ellsp  33330  lsmidl  33362  lbslsat  33602  lsatdim  33603  drngdimgt0  33604  lindsunlem  33610  lbsdiflsp0  33612  dimkerim  33613  fldextrspunlem1  33662  lindsadd  37583  lindsenlbs  37585  islshpsm  38944  lssats  38976  dvh4dimlem  41408  islssfgi  43043  lmhmfgsplit  43057