Theorem lspcl 20927

Description: The span of a set of vectors is a subspace. (spancl 31411 analog.) (Contributed by NM, 9-Dec-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lspval.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lspval.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lspval.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lspcl	⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ⊆ 𝑉) → (𝑁‘𝑈) ∈ 𝑆)

Proof of Theorem lspcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lspval.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
2		lspval.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
3		lspval.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
4	1, 2, 3	lspf 20925	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑁:𝒫 𝑉⟶𝑆)
5	1	fvexi 6848	. . . 4 ⊢ 𝑉 ∈ V
6	5	elpw2 5279	. . 3 ⊢ (𝑈 ∈ 𝒫 𝑉 ↔ 𝑈 ⊆ 𝑉)
7	6	biimpri 228	. 2 ⊢ (𝑈 ⊆ 𝑉 → 𝑈 ∈ 𝒫 𝑉)
8		ffvelcdm 7026	. 2 ⊢ ((𝑁:𝒫 𝑉⟶𝑆 ∧ 𝑈 ∈ 𝒫 𝑉) → (𝑁‘𝑈) ∈ 𝑆)
9	4, 7, 8	syl2an 596	1 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ⊆ 𝑉) → (𝑁‘𝑈) ∈ 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ⊆ wss 3901  𝒫 cpw 4554  ⟶wf 6488  ‘cfv 6492  Basecbs 17136  LModclmod 20811  LSubSpclss 20882  LSpanclspn 20922

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-int 4903  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-nn 12146  df-2 12208  df-sets 17091  df-slot 17109  df-ndx 17121  df-base 17137  df-plusg 17190  df-0g 17361  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-grp 18866  df-minusg 18867  df-sbg 18868  df-mgp 20076  df-ur 20117  df-ring 20170  df-lmod 20813  df-lss 20883  df-lsp 20923

This theorem is referenced by:  lspsncl  20928  lspprcl  20929  lsptpcl  20930  lspssv  20934  lspidm  20937  lspsnvsi  20955  lsp0  20960  lspun0  20962  lsslsp  20966  lsslspOLD  20967  lmhmlsp  21001  lsmsp  21038  lsmsp2  21039  lspvadd  21048  lspsolvlem  21097  lspsolv  21098  lsppratlem2  21103  lsppratlem3  21104  islbs2  21109  islbs3  21110  lbsextlem2  21114  rspcl  21190  obselocv  21683  frlmsslsp  21751  islinds3  21789  0ellsp  33450  lsmidl  33482  lbslsat  33773  lsatdim  33774  drngdimgt0  33775  lindsunlem  33781  lbsdiflsp0  33783  dimkerim  33784  fldextrspunlem1  33832  lindsadd  37810  lindsenlbs  37812  islshpsm  39236  lssats  39268  dvh4dimlem  41699  islssfgi  43310  lmhmfgsplit  43324