Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lcfrlem6 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lcfrlem6 40931
Description: Lemma for lcfr 40969. Closure of vector sum with colinear vectors. TODO: Move down 𝑁 definition so top hypotheses can be shared. (Contributed by NM, 10-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lcfrlem6.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
lcfrlem6.o βŠ₯ = ((ocHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
lcfrlem6.u π‘ˆ = ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
lcfrlem6.p + = (+gβ€˜π‘ˆ)
lcfrlem6.n 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘ˆ)
lcfrlem6.l 𝐿 = (LKerβ€˜π‘ˆ)
lcfrlem6.d 𝐷 = (LDualβ€˜π‘ˆ)
lcfrlem6.q 𝑄 = (LSubSpβ€˜π·)
lcfrlem6.k (πœ‘ β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
lcfrlem6.g (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ 𝑄)
lcfrlem6.e 𝐸 = βˆͺ 𝑔 ∈ 𝐺 ( βŠ₯ β€˜(πΏβ€˜π‘”))
lcfrlem6.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐸)
lcfrlem6.y (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝐸)
lcfrlem6.en (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{𝑋}) = (π‘β€˜{π‘Œ}))
Assertion
Ref Expression
lcfrlem6 (πœ‘ β†’ (𝑋 + π‘Œ) ∈ 𝐸)
Distinct variable groups:   + ,𝑔   π‘ˆ,𝑔   𝑔,𝑋   𝑔,π‘Œ   πœ‘,𝑔
Allowed substitution hints:   𝐷(𝑔)   𝑄(𝑔)   𝐸(𝑔)   𝐺(𝑔)   𝐻(𝑔)   𝐾(𝑔)   𝐿(𝑔)   𝑁(𝑔)   βŠ₯ (𝑔)   π‘Š(𝑔)

Proof of Theorem lcfrlem6
StepHypRef Expression
1 lcfrlem6.x . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐸)
2 lcfrlem6.e . . . . . 6 𝐸 = βˆͺ 𝑔 ∈ 𝐺 ( βŠ₯ β€˜(πΏβ€˜π‘”))
31, 2eleqtrdi 2837 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ βˆͺ 𝑔 ∈ 𝐺 ( βŠ₯ β€˜(πΏβ€˜π‘”)))
4 eliun 4994 . . . . 5 (𝑋 ∈ βˆͺ 𝑔 ∈ 𝐺 ( βŠ₯ β€˜(πΏβ€˜π‘”)) ↔ βˆƒπ‘” ∈ 𝐺 𝑋 ∈ ( βŠ₯ β€˜(πΏβ€˜π‘”)))
53, 4sylib 217 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘” ∈ 𝐺 𝑋 ∈ ( βŠ₯ β€˜(πΏβ€˜π‘”)))
6 lcfrlem6.h . . . . . . . . . 10 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
7 lcfrlem6.u . . . . . . . . . 10 π‘ˆ = ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
8 lcfrlem6.k . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
96, 7, 8dvhlmod 40494 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ LMod)
109adantr 480 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝐺) β†’ π‘ˆ ∈ LMod)
1110adantr 480 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝐺) ∧ 𝑋 ∈ ( βŠ₯ β€˜(πΏβ€˜π‘”))) β†’ π‘ˆ ∈ LMod)
128adantr 480 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝐺) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
13 eqid 2726 . . . . . . . . . 10 (Baseβ€˜π‘ˆ) = (Baseβ€˜π‘ˆ)
14 eqid 2726 . . . . . . . . . 10 (LFnlβ€˜π‘ˆ) = (LFnlβ€˜π‘ˆ)
15 lcfrlem6.l . . . . . . . . . 10 𝐿 = (LKerβ€˜π‘ˆ)
16 lcfrlem6.g . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ 𝑄)
17 eqid 2726 . . . . . . . . . . . . 13 (Baseβ€˜π·) = (Baseβ€˜π·)
18 lcfrlem6.q . . . . . . . . . . . . 13 𝑄 = (LSubSpβ€˜π·)
1917, 18lssel 20784 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐺 ∈ 𝑄 ∧ 𝑔 ∈ 𝐺) β†’ 𝑔 ∈ (Baseβ€˜π·))
2016, 19sylan 579 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝐺) β†’ 𝑔 ∈ (Baseβ€˜π·))
21 lcfrlem6.d . . . . . . . . . . . . 13 𝐷 = (LDualβ€˜π‘ˆ)
2214, 21, 17, 9ldualvbase 38509 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (Baseβ€˜π·) = (LFnlβ€˜π‘ˆ))
2322adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝐺) β†’ (Baseβ€˜π·) = (LFnlβ€˜π‘ˆ))
2420, 23eleqtrd 2829 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝐺) β†’ 𝑔 ∈ (LFnlβ€˜π‘ˆ))
2513, 14, 15, 10, 24lkrssv 38479 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝐺) β†’ (πΏβ€˜π‘”) βŠ† (Baseβ€˜π‘ˆ))
26 eqid 2726 . . . . . . . . . 10 (LSubSpβ€˜π‘ˆ) = (LSubSpβ€˜π‘ˆ)
27 lcfrlem6.o . . . . . . . . . 10 βŠ₯ = ((ocHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
286, 7, 13, 26, 27dochlss 40738 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (πΏβ€˜π‘”) βŠ† (Baseβ€˜π‘ˆ)) β†’ ( βŠ₯ β€˜(πΏβ€˜π‘”)) ∈ (LSubSpβ€˜π‘ˆ))
2912, 25, 28syl2anc 583 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝐺) β†’ ( βŠ₯ β€˜(πΏβ€˜π‘”)) ∈ (LSubSpβ€˜π‘ˆ))
3029adantr 480 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝐺) ∧ 𝑋 ∈ ( βŠ₯ β€˜(πΏβ€˜π‘”))) β†’ ( βŠ₯ β€˜(πΏβ€˜π‘”)) ∈ (LSubSpβ€˜π‘ˆ))
31 simpr 484 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝐺) ∧ 𝑋 ∈ ( βŠ₯ β€˜(πΏβ€˜π‘”))) β†’ 𝑋 ∈ ( βŠ₯ β€˜(πΏβ€˜π‘”)))
32 lcfrlem6.en . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{𝑋}) = (π‘β€˜{π‘Œ}))
3332adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝐺) β†’ (π‘β€˜{𝑋}) = (π‘β€˜{π‘Œ}))
3433adantr 480 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝐺) ∧ (π‘β€˜{𝑋}) βŠ† ( βŠ₯ β€˜(πΏβ€˜π‘”))) β†’ (π‘β€˜{𝑋}) = (π‘β€˜{π‘Œ}))
35 simpr 484 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝐺) ∧ (π‘β€˜{𝑋}) βŠ† ( βŠ₯ β€˜(πΏβ€˜π‘”))) β†’ (π‘β€˜{𝑋}) βŠ† ( βŠ₯ β€˜(πΏβ€˜π‘”)))
3634, 35eqsstrrd 4016 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝐺) ∧ (π‘β€˜{𝑋}) βŠ† ( βŠ₯ β€˜(πΏβ€˜π‘”))) β†’ (π‘β€˜{π‘Œ}) βŠ† ( βŠ₯ β€˜(πΏβ€˜π‘”)))
3736ex 412 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝐺) β†’ ((π‘β€˜{𝑋}) βŠ† ( βŠ₯ β€˜(πΏβ€˜π‘”)) β†’ (π‘β€˜{π‘Œ}) βŠ† ( βŠ₯ β€˜(πΏβ€˜π‘”))))
38 lcfrlem6.n . . . . . . . . . 10 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘ˆ)
396, 27, 7, 13, 15, 21, 18, 2, 8, 16, 1lcfrlem4 40929 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜π‘ˆ))
4039adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝐺) β†’ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜π‘ˆ))
4113, 26, 38, 10, 29, 40lspsnel5 20842 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝐺) β†’ (𝑋 ∈ ( βŠ₯ β€˜(πΏβ€˜π‘”)) ↔ (π‘β€˜{𝑋}) βŠ† ( βŠ₯ β€˜(πΏβ€˜π‘”))))
42 lcfrlem6.y . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝐸)
436, 27, 7, 13, 15, 21, 18, 2, 8, 16, 42lcfrlem4 40929 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ (Baseβ€˜π‘ˆ))
4443adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝐺) β†’ π‘Œ ∈ (Baseβ€˜π‘ˆ))
4513, 26, 38, 10, 29, 44lspsnel5 20842 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝐺) β†’ (π‘Œ ∈ ( βŠ₯ β€˜(πΏβ€˜π‘”)) ↔ (π‘β€˜{π‘Œ}) βŠ† ( βŠ₯ β€˜(πΏβ€˜π‘”))))
4637, 41, 453imtr4d 294 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝐺) β†’ (𝑋 ∈ ( βŠ₯ β€˜(πΏβ€˜π‘”)) β†’ π‘Œ ∈ ( βŠ₯ β€˜(πΏβ€˜π‘”))))
4746imp 406 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝐺) ∧ 𝑋 ∈ ( βŠ₯ β€˜(πΏβ€˜π‘”))) β†’ π‘Œ ∈ ( βŠ₯ β€˜(πΏβ€˜π‘”)))
48 lcfrlem6.p . . . . . . . 8 + = (+gβ€˜π‘ˆ)
4948, 26lssvacl 20790 . . . . . . 7 (((π‘ˆ ∈ LMod ∧ ( βŠ₯ β€˜(πΏβ€˜π‘”)) ∈ (LSubSpβ€˜π‘ˆ)) ∧ (𝑋 ∈ ( βŠ₯ β€˜(πΏβ€˜π‘”)) ∧ π‘Œ ∈ ( βŠ₯ β€˜(πΏβ€˜π‘”)))) β†’ (𝑋 + π‘Œ) ∈ ( βŠ₯ β€˜(πΏβ€˜π‘”)))
5011, 30, 31, 47, 49syl22anc 836 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝐺) ∧ 𝑋 ∈ ( βŠ₯ β€˜(πΏβ€˜π‘”))) β†’ (𝑋 + π‘Œ) ∈ ( βŠ₯ β€˜(πΏβ€˜π‘”)))
5150ex 412 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑔 ∈ 𝐺) β†’ (𝑋 ∈ ( βŠ₯ β€˜(πΏβ€˜π‘”)) β†’ (𝑋 + π‘Œ) ∈ ( βŠ₯ β€˜(πΏβ€˜π‘”))))
5251reximdva 3162 . . . 4 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘” ∈ 𝐺 𝑋 ∈ ( βŠ₯ β€˜(πΏβ€˜π‘”)) β†’ βˆƒπ‘” ∈ 𝐺 (𝑋 + π‘Œ) ∈ ( βŠ₯ β€˜(πΏβ€˜π‘”))))
535, 52mpd 15 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘” ∈ 𝐺 (𝑋 + π‘Œ) ∈ ( βŠ₯ β€˜(πΏβ€˜π‘”)))
54 eliun 4994 . . 3 ((𝑋 + π‘Œ) ∈ βˆͺ 𝑔 ∈ 𝐺 ( βŠ₯ β€˜(πΏβ€˜π‘”)) ↔ βˆƒπ‘” ∈ 𝐺 (𝑋 + π‘Œ) ∈ ( βŠ₯ β€˜(πΏβ€˜π‘”)))
5553, 54sylibr 233 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑋 + π‘Œ) ∈ βˆͺ 𝑔 ∈ 𝐺 ( βŠ₯ β€˜(πΏβ€˜π‘”)))
5655, 2eleqtrrdi 2838 1 (πœ‘ β†’ (𝑋 + π‘Œ) ∈ 𝐸)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆƒwrex 3064   βŠ† wss 3943  {csn 4623  βˆͺ ciun 4990  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  Basecbs 17153  +gcplusg 17206  LModclmod 20706  LSubSpclss 20778  LSpanclspn 20818  LFnlclfn 38440  LKerclk 38468  LDualcld 38506  HLchlt 38733  LHypclh 39368  DVecHcdvh 40462  ocHcoch 40731
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-riotaBAD 38336
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7667  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-tpos 8212  df-undef 8259  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-fz 13491  df-struct 17089  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-ress 17183  df-plusg 17219  df-mulr 17220  df-sca 17222  df-vsca 17223  df-0g 17396  df-proset 18260  df-poset 18278  df-plt 18295  df-lub 18311  df-glb 18312  df-join 18313  df-meet 18314  df-p0 18390  df-p1 18391  df-lat 18397  df-clat 18464  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-submnd 18714  df-grp 18866  df-minusg 18867  df-sbg 18868  df-subg 19050  df-cntz 19233  df-lsm 19556  df-cmn 19702  df-abl 19703  df-mgp 20040  df-rng 20058  df-ur 20087  df-ring 20140  df-oppr 20236  df-dvdsr 20259  df-unit 20260  df-invr 20290  df-dvr 20303  df-drng 20589  df-lmod 20708  df-lss 20779  df-lsp 20819  df-lvec 20951  df-lfl 38441  df-lkr 38469  df-ldual 38507  df-oposet 38559  df-ol 38561  df-oml 38562  df-covers 38649  df-ats 38650  df-atl 38681  df-cvlat 38705  df-hlat 38734  df-llines 38882  df-lplanes 38883  df-lvols 38884  df-lines 38885  df-psubsp 38887  df-pmap 38888  df-padd 39180  df-lhyp 39372  df-laut 39373  df-ldil 39488  df-ltrn 39489  df-trl 39543  df-tendo 40139  df-edring 40141  df-disoa 40413  df-dvech 40463  df-dib 40523  df-dic 40557  df-dih 40613  df-doch 40732
This theorem is referenced by:  lcfrlem41  40967
  Copyright terms: Public domain W3C validator