Theorem lcfrlem6 40413

Description: Lemma for lcfr 40451. Closure of vector sum with colinear vectors. TODO: Move down 𝑁 definition so top hypotheses can be shared. (Contributed by NM, 10-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lcfrlem6.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
lcfrlem6.o	⊢ ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
lcfrlem6.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
lcfrlem6.p	⊢ + = (+g‘𝑈)
lcfrlem6.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
lcfrlem6.l	⊢ 𝐿 = (LKer‘𝑈)
lcfrlem6.d	⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑈)
lcfrlem6.q	⊢ 𝑄 = (LSubSp‘𝐷)
lcfrlem6.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
lcfrlem6.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑄)
lcfrlem6.e	⊢ 𝐸 = ∪ 𝑔 ∈ 𝐺 ( ⊥ ‘(𝐿‘𝑔))
lcfrlem6.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐸)
lcfrlem6.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐸)
lcfrlem6.en	⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌}))

Assertion

Ref	Expression
lcfrlem6	⊢ (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐸)

Distinct variable groups:   + ,𝑔   𝑈,𝑔   𝑔,𝑋   𝑔,𝑌   𝜑,𝑔

Allowed substitution hints:   𝐷(𝑔)   𝑄(𝑔)   𝐸(𝑔)   𝐺(𝑔)   𝐻(𝑔)   𝐾(𝑔)   𝐿(𝑔)   𝑁(𝑔)   ⊥ (𝑔)   𝑊(𝑔)

Proof of Theorem lcfrlem6

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lcfrlem6.x	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐸)
2		lcfrlem6.e	. . . . . 6 ⊢ 𝐸 = ∪ 𝑔 ∈ 𝐺 ( ⊥ ‘(𝐿‘𝑔))
3	1, 2	eleqtrdi 2843	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ∪ 𝑔 ∈ 𝐺 ( ⊥ ‘(𝐿‘𝑔)))
4		eliun 5001	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ ∪ 𝑔 ∈ 𝐺 ( ⊥ ‘(𝐿‘𝑔)) ↔ ∃𝑔 ∈ 𝐺 𝑋 ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝑔)))
5	3, 4	sylib 217	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∃𝑔 ∈ 𝐺 𝑋 ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝑔)))
6		lcfrlem6.h	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
7		lcfrlem6.u	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
8		lcfrlem6.k	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
9	6, 7, 8	dvhlmod 39976	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LMod)
10	9	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐺) → 𝑈 ∈ LMod)
11	10	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐺) ∧ 𝑋 ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝑔))) → 𝑈 ∈ LMod)
12	8	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐺) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
13		eqid 2732	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘𝑈) = (Base‘𝑈)
14		eqid 2732	. . . . . . . . . 10 ⊢ (LFnl‘𝑈) = (LFnl‘𝑈)
15		lcfrlem6.l	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐿 = (LKer‘𝑈)
16		lcfrlem6.g	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑄)
17		eqid 2732	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (Base‘𝐷) = (Base‘𝐷)
18		lcfrlem6.q	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑄 = (LSubSp‘𝐷)
19	17, 18	lssel 20547	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑄 ∧ 𝑔 ∈ 𝐺) → 𝑔 ∈ (Base‘𝐷))
20	16, 19	sylan 580	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐺) → 𝑔 ∈ (Base‘𝐷))
21		lcfrlem6.d	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑈)
22	14, 21, 17, 9	ldualvbase 37991	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐷) = (LFnl‘𝑈))
23	22	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐺) → (Base‘𝐷) = (LFnl‘𝑈))
24	20, 23	eleqtrd 2835	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐺) → 𝑔 ∈ (LFnl‘𝑈))
25	13, 14, 15, 10, 24	lkrssv 37961	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐺) → (𝐿‘𝑔) ⊆ (Base‘𝑈))
26		eqid 2732	. . . . . . . . . 10 ⊢ (LSubSp‘𝑈) = (LSubSp‘𝑈)
27		lcfrlem6.o	. . . . . . . . . 10 ⊢ ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
28	6, 7, 13, 26, 27	dochlss 40220	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐿‘𝑔) ⊆ (Base‘𝑈)) → ( ⊥ ‘(𝐿‘𝑔)) ∈ (LSubSp‘𝑈))
29	12, 25, 28	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐺) → ( ⊥ ‘(𝐿‘𝑔)) ∈ (LSubSp‘𝑈))
30	29	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐺) ∧ 𝑋 ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝑔))) → ( ⊥ ‘(𝐿‘𝑔)) ∈ (LSubSp‘𝑈))
31		simpr 485	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐺) ∧ 𝑋 ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝑔))) → 𝑋 ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝑔)))
32		lcfrlem6.en	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌}))
33	32	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐺) → (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌}))
34	33	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐺) ∧ (𝑁‘{𝑋}) ⊆ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝑔))) → (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌}))
35		simpr 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐺) ∧ (𝑁‘{𝑋}) ⊆ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝑔))) → (𝑁‘{𝑋}) ⊆ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝑔)))
36	34, 35	eqsstrrd 4021	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐺) ∧ (𝑁‘{𝑋}) ⊆ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝑔))) → (𝑁‘{𝑌}) ⊆ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝑔)))
37	36	ex 413	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐺) → ((𝑁‘{𝑋}) ⊆ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝑔)) → (𝑁‘{𝑌}) ⊆ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝑔))))
38		lcfrlem6.n	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
39	6, 27, 7, 13, 15, 21, 18, 2, 8, 16, 1	lcfrlem4 40411	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘𝑈))
40	39	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐺) → 𝑋 ∈ (Base‘𝑈))
41	13, 26, 38, 10, 29, 40	lspsnel5 20605	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐺) → (𝑋 ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝑔)) ↔ (𝑁‘{𝑋}) ⊆ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝑔))))
42		lcfrlem6.y	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐸)
43	6, 27, 7, 13, 15, 21, 18, 2, 8, 16, 42	lcfrlem4 40411	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (Base‘𝑈))
44	43	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐺) → 𝑌 ∈ (Base‘𝑈))
45	13, 26, 38, 10, 29, 44	lspsnel5 20605	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐺) → (𝑌 ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝑔)) ↔ (𝑁‘{𝑌}) ⊆ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝑔))))
46	37, 41, 45	3imtr4d 293	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐺) → (𝑋 ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝑔)) → 𝑌 ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝑔))))
47	46	imp 407	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐺) ∧ 𝑋 ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝑔))) → 𝑌 ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝑔)))
48		lcfrlem6.p	. . . . . . . 8 ⊢ + = (+g‘𝑈)
49	48, 26	lssvacl 20564	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑈 ∈ LMod ∧ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝑔)) ∈ (LSubSp‘𝑈)) ∧ (𝑋 ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝑔)) ∧ 𝑌 ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝑔)))) → (𝑋 + 𝑌) ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝑔)))
50	11, 30, 31, 47, 49	syl22anc 837	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐺) ∧ 𝑋 ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝑔))) → (𝑋 + 𝑌) ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝑔)))
51	50	ex 413	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐺) → (𝑋 ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝑔)) → (𝑋 + 𝑌) ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝑔))))
52	51	reximdva 3168	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∃𝑔 ∈ 𝐺 𝑋 ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝑔)) → ∃𝑔 ∈ 𝐺 (𝑋 + 𝑌) ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝑔))))
53	5, 52	mpd 15	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑔 ∈ 𝐺 (𝑋 + 𝑌) ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝑔)))
54		eliun 5001	. . 3 ⊢ ((𝑋 + 𝑌) ∈ ∪ 𝑔 ∈ 𝐺 ( ⊥ ‘(𝐿‘𝑔)) ↔ ∃𝑔 ∈ 𝐺 (𝑋 + 𝑌) ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝑔)))
55	53, 54	sylibr 233	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) ∈ ∪ 𝑔 ∈ 𝐺 ( ⊥ ‘(𝐿‘𝑔)))
56	55, 2	eleqtrrdi 2844	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐸)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ∃wrex 3070   ⊆ wss 3948  {csn 4628  ∪ ciun 4997  ‘cfv 6543  (class class class)co 7408  Basecbs 17143  +_gcplusg 17196  LModclmod 20470  LSubSpclss 20541  LSpanclspn 20581  LFnlclfn 37922  LKerclk 37950  LDualcld 37988  HLchlt 38215  LHypclh 38850  DVecHcdvh 39944  ocHcoch 40213

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-riotaBAD 37818

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-of 7669  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-tpos 8210  df-undef 8257  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-1o 8465  df-er 8702  df-map 8821  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-n0 12472  df-z 12558  df-uz 12822  df-fz 13484  df-struct 17079  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-ress 17173  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-sca 17212  df-vsca 17213  df-0g 17386  df-proset 18247  df-poset 18265  df-plt 18282  df-lub 18298  df-glb 18299  df-join 18300  df-meet 18301  df-p0 18377  df-p1 18378  df-lat 18384  df-clat 18451  df-mgm 18560  df-sgrp 18609  df-mnd 18625  df-submnd 18671  df-grp 18821  df-minusg 18822  df-sbg 18823  df-subg 19002  df-cntz 19180  df-lsm 19503  df-cmn 19649  df-abl 19650  df-mgp 19987  df-ur 20004  df-ring 20057  df-oppr 20149  df-dvdsr 20170  df-unit 20171  df-invr 20201  df-dvr 20214  df-drng 20358  df-lmod 20472  df-lss 20542  df-lsp 20582  df-lvec 20713  df-lfl 37923  df-lkr 37951  df-ldual 37989  df-oposet 38041  df-ol 38043  df-oml 38044  df-covers 38131  df-ats 38132  df-atl 38163  df-cvlat 38187  df-hlat 38216  df-llines 38364  df-lplanes 38365  df-lvols 38366  df-lines 38367  df-psubsp 38369  df-pmap 38370  df-padd 38662  df-lhyp 38854  df-laut 38855  df-ldil 38970  df-ltrn 38971  df-trl 39025  df-tendo 39621  df-edring 39623  df-disoa 39895  df-dvech 39945  df-dib 40005  df-dic 40039  df-dih 40095  df-doch 40214

This theorem is referenced by:  lcfrlem41  40449