Theorem lcfrlem6 41060

Description: Lemma for lcfr 41098. Closure of vector sum with colinear vectors. TODO: Move down 𝑁 definition so top hypotheses can be shared. (Contributed by NM, 10-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lcfrlem6.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
lcfrlem6.o	⊢ ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
lcfrlem6.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
lcfrlem6.p	⊢ + = (+g‘𝑈)
lcfrlem6.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
lcfrlem6.l	⊢ 𝐿 = (LKer‘𝑈)
lcfrlem6.d	⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑈)
lcfrlem6.q	⊢ 𝑄 = (LSubSp‘𝐷)
lcfrlem6.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
lcfrlem6.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑄)
lcfrlem6.e	⊢ 𝐸 = ∪ 𝑔 ∈ 𝐺 ( ⊥ ‘(𝐿‘𝑔))
lcfrlem6.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐸)
lcfrlem6.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐸)
lcfrlem6.en	⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌}))

Assertion

Ref	Expression
lcfrlem6	⊢ (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐸)

Distinct variable groups:   + ,𝑔   𝑈,𝑔   𝑔,𝑋   𝑔,𝑌   𝜑,𝑔

Allowed substitution hints:   𝐷(𝑔)   𝑄(𝑔)   𝐸(𝑔)   𝐺(𝑔)   𝐻(𝑔)   𝐾(𝑔)   𝐿(𝑔)   𝑁(𝑔)   ⊥ (𝑔)   𝑊(𝑔)

Proof of Theorem lcfrlem6

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lcfrlem6.x	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐸)
2		lcfrlem6.e	. . . . . 6 ⊢ 𝐸 = ∪ 𝑔 ∈ 𝐺 ( ⊥ ‘(𝐿‘𝑔))
3	1, 2	eleqtrdi 2839	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ∪ 𝑔 ∈ 𝐺 ( ⊥ ‘(𝐿‘𝑔)))
4		eliun 5004	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ ∪ 𝑔 ∈ 𝐺 ( ⊥ ‘(𝐿‘𝑔)) ↔ ∃𝑔 ∈ 𝐺 𝑋 ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝑔)))
5	3, 4	sylib 217	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∃𝑔 ∈ 𝐺 𝑋 ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝑔)))
6		lcfrlem6.h	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
7		lcfrlem6.u	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
8		lcfrlem6.k	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
9	6, 7, 8	dvhlmod 40623	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LMod)
10	9	adantr 479	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐺) → 𝑈 ∈ LMod)
11	10	adantr 479	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐺) ∧ 𝑋 ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝑔))) → 𝑈 ∈ LMod)
12	8	adantr 479	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐺) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
13		eqid 2728	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘𝑈) = (Base‘𝑈)
14		eqid 2728	. . . . . . . . . 10 ⊢ (LFnl‘𝑈) = (LFnl‘𝑈)
15		lcfrlem6.l	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐿 = (LKer‘𝑈)
16		lcfrlem6.g	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑄)
17		eqid 2728	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (Base‘𝐷) = (Base‘𝐷)
18		lcfrlem6.q	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑄 = (LSubSp‘𝐷)
19	17, 18	lssel 20835	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑄 ∧ 𝑔 ∈ 𝐺) → 𝑔 ∈ (Base‘𝐷))
20	16, 19	sylan 578	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐺) → 𝑔 ∈ (Base‘𝐷))
21		lcfrlem6.d	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑈)
22	14, 21, 17, 9	ldualvbase 38638	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐷) = (LFnl‘𝑈))
23	22	adantr 479	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐺) → (Base‘𝐷) = (LFnl‘𝑈))
24	20, 23	eleqtrd 2831	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐺) → 𝑔 ∈ (LFnl‘𝑈))
25	13, 14, 15, 10, 24	lkrssv 38608	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐺) → (𝐿‘𝑔) ⊆ (Base‘𝑈))
26		eqid 2728	. . . . . . . . . 10 ⊢ (LSubSp‘𝑈) = (LSubSp‘𝑈)
27		lcfrlem6.o	. . . . . . . . . 10 ⊢ ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
28	6, 7, 13, 26, 27	dochlss 40867	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐿‘𝑔) ⊆ (Base‘𝑈)) → ( ⊥ ‘(𝐿‘𝑔)) ∈ (LSubSp‘𝑈))
29	12, 25, 28	syl2anc 582	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐺) → ( ⊥ ‘(𝐿‘𝑔)) ∈ (LSubSp‘𝑈))
30	29	adantr 479	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐺) ∧ 𝑋 ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝑔))) → ( ⊥ ‘(𝐿‘𝑔)) ∈ (LSubSp‘𝑈))
31		simpr 483	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐺) ∧ 𝑋 ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝑔))) → 𝑋 ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝑔)))
32		lcfrlem6.en	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌}))
33	32	adantr 479	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐺) → (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌}))
34	33	adantr 479	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐺) ∧ (𝑁‘{𝑋}) ⊆ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝑔))) → (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌}))
35		simpr 483	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐺) ∧ (𝑁‘{𝑋}) ⊆ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝑔))) → (𝑁‘{𝑋}) ⊆ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝑔)))
36	34, 35	eqsstrrd 4021	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐺) ∧ (𝑁‘{𝑋}) ⊆ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝑔))) → (𝑁‘{𝑌}) ⊆ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝑔)))
37	36	ex 411	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐺) → ((𝑁‘{𝑋}) ⊆ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝑔)) → (𝑁‘{𝑌}) ⊆ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝑔))))
38		lcfrlem6.n	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
39	6, 27, 7, 13, 15, 21, 18, 2, 8, 16, 1	lcfrlem4 41058	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘𝑈))
40	39	adantr 479	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐺) → 𝑋 ∈ (Base‘𝑈))
41	13, 26, 38, 10, 29, 40	lspsnel5 20893	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐺) → (𝑋 ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝑔)) ↔ (𝑁‘{𝑋}) ⊆ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝑔))))
42		lcfrlem6.y	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐸)
43	6, 27, 7, 13, 15, 21, 18, 2, 8, 16, 42	lcfrlem4 41058	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (Base‘𝑈))
44	43	adantr 479	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐺) → 𝑌 ∈ (Base‘𝑈))
45	13, 26, 38, 10, 29, 44	lspsnel5 20893	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐺) → (𝑌 ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝑔)) ↔ (𝑁‘{𝑌}) ⊆ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝑔))))
46	37, 41, 45	3imtr4d 293	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐺) → (𝑋 ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝑔)) → 𝑌 ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝑔))))
47	46	imp 405	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐺) ∧ 𝑋 ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝑔))) → 𝑌 ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝑔)))
48		lcfrlem6.p	. . . . . . . 8 ⊢ + = (+g‘𝑈)
49	48, 26	lssvacl 20841	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑈 ∈ LMod ∧ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝑔)) ∈ (LSubSp‘𝑈)) ∧ (𝑋 ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝑔)) ∧ 𝑌 ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝑔)))) → (𝑋 + 𝑌) ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝑔)))
50	11, 30, 31, 47, 49	syl22anc 837	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐺) ∧ 𝑋 ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝑔))) → (𝑋 + 𝑌) ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝑔)))
51	50	ex 411	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐺) → (𝑋 ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝑔)) → (𝑋 + 𝑌) ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝑔))))
52	51	reximdva 3165	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∃𝑔 ∈ 𝐺 𝑋 ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝑔)) → ∃𝑔 ∈ 𝐺 (𝑋 + 𝑌) ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝑔))))
53	5, 52	mpd 15	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑔 ∈ 𝐺 (𝑋 + 𝑌) ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝑔)))
54		eliun 5004	. . 3 ⊢ ((𝑋 + 𝑌) ∈ ∪ 𝑔 ∈ 𝐺 ( ⊥ ‘(𝐿‘𝑔)) ↔ ∃𝑔 ∈ 𝐺 (𝑋 + 𝑌) ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝑔)))
55	53, 54	sylibr 233	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) ∈ ∪ 𝑔 ∈ 𝐺 ( ⊥ ‘(𝐿‘𝑔)))
56	55, 2	eleqtrrdi 2840	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐸)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ∃wrex 3067   ⊆ wss 3949  {csn 4632  ∪ ciun 5000  ‘cfv 6553  (class class class)co 7426  Basecbs 17189  +_gcplusg 17242  LModclmod 20757  LSubSpclss 20829  LSpanclspn 20869  LFnlclfn 38569  LKerclk 38597  LDualcld 38635  HLchlt 38862  LHypclh 39497  DVecHcdvh 40591  ocHcoch 40860

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7748  ax-cnex 11204  ax-resscn 11205  ax-1cn 11206  ax-icn 11207  ax-addcl 11208  ax-addrcl 11209  ax-mulcl 11210  ax-mulrcl 11211  ax-mulcom 11212  ax-addass 11213  ax-mulass 11214  ax-distr 11215  ax-i2m1 11216  ax-1ne0 11217  ax-1rid 11218  ax-rnegex 11219  ax-rrecex 11220  ax-cnre 11221  ax-pre-lttri 11222  ax-pre-lttrn 11223  ax-pre-ltadd 11224  ax-pre-mulgt0 11225  ax-riotaBAD 38465

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-tp 4637  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-iin 5003  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-of 7692  df-om 7879  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-tpos 8240  df-undef 8287  df-frecs 8295  df-wrecs 8326  df-recs 8400  df-rdg 8439  df-1o 8495  df-er 8733  df-map 8855  df-en 8973  df-dom 8974  df-sdom 8975  df-fin 8976  df-pnf 11290  df-mnf 11291  df-xr 11292  df-ltxr 11293  df-le 11294  df-sub 11486  df-neg 11487  df-nn 12253  df-2 12315  df-3 12316  df-4 12317  df-5 12318  df-6 12319  df-n0 12513  df-z 12599  df-uz 12863  df-fz 13527  df-struct 17125  df-sets 17142  df-slot 17160  df-ndx 17172  df-base 17190  df-ress 17219  df-plusg 17255  df-mulr 17256  df-sca 17258  df-vsca 17259  df-0g 17432  df-proset 18296  df-poset 18314  df-plt 18331  df-lub 18347  df-glb 18348  df-join 18349  df-meet 18350  df-p0 18426  df-p1 18427  df-lat 18433  df-clat 18500  df-mgm 18609  df-sgrp 18688  df-mnd 18704  df-submnd 18750  df-grp 18907  df-minusg 18908  df-sbg 18909  df-subg 19092  df-cntz 19282  df-lsm 19605  df-cmn 19751  df-abl 19752  df-mgp 20089  df-rng 20107  df-ur 20136  df-ring 20189  df-oppr 20287  df-dvdsr 20310  df-unit 20311  df-invr 20341  df-dvr 20354  df-drng 20640  df-lmod 20759  df-lss 20830  df-lsp 20870  df-lvec 21002  df-lfl 38570  df-lkr 38598  df-ldual 38636  df-oposet 38688  df-ol 38690  df-oml 38691  df-covers 38778  df-ats 38779  df-atl 38810  df-cvlat 38834  df-hlat 38863  df-llines 39011  df-lplanes 39012  df-lvols 39013  df-lines 39014  df-psubsp 39016  df-pmap 39017  df-padd 39309  df-lhyp 39501  df-laut 39502  df-ldil 39617  df-ltrn 39618  df-trl 39672  df-tendo 40268  df-edring 40270  df-disoa 40542  df-dvech 40592  df-dib 40652  df-dic 40686  df-dih 40742  df-doch 40861

This theorem is referenced by:  lcfrlem41  41096