Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lcfrlem6 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lcfrlem6 41549
Description: Lemma for lcfr 41587. Closure of vector sum with colinear vectors. TODO: Move down 𝑁 definition so top hypotheses can be shared. (Contributed by NM, 10-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lcfrlem6.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
lcfrlem6.o = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
lcfrlem6.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
lcfrlem6.p + = (+g𝑈)
lcfrlem6.n 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
lcfrlem6.l 𝐿 = (LKer‘𝑈)
lcfrlem6.d 𝐷 = (LDual‘𝑈)
lcfrlem6.q 𝑄 = (LSubSp‘𝐷)
lcfrlem6.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
lcfrlem6.g (𝜑𝐺𝑄)
lcfrlem6.e 𝐸 = 𝑔𝐺 ( ‘(𝐿𝑔))
lcfrlem6.x (𝜑𝑋𝐸)
lcfrlem6.y (𝜑𝑌𝐸)
lcfrlem6.en (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌}))
Assertion
Ref Expression
lcfrlem6 (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐸)
Distinct variable groups:   + ,𝑔   𝑈,𝑔   𝑔,𝑋   𝑔,𝑌   𝜑,𝑔
Allowed substitution hints:   𝐷(𝑔)   𝑄(𝑔)   𝐸(𝑔)   𝐺(𝑔)   𝐻(𝑔)   𝐾(𝑔)   𝐿(𝑔)   𝑁(𝑔)   (𝑔)   𝑊(𝑔)

Proof of Theorem lcfrlem6
StepHypRef Expression
1 lcfrlem6.x . . . . . 6 (𝜑𝑋𝐸)
2 lcfrlem6.e . . . . . 6 𝐸 = 𝑔𝐺 ( ‘(𝐿𝑔))
31, 2eleqtrdi 2851 . . . . 5 (𝜑𝑋 𝑔𝐺 ( ‘(𝐿𝑔)))
4 eliun 4995 . . . . 5 (𝑋 𝑔𝐺 ( ‘(𝐿𝑔)) ↔ ∃𝑔𝐺 𝑋 ∈ ( ‘(𝐿𝑔)))
53, 4sylib 218 . . . 4 (𝜑 → ∃𝑔𝐺 𝑋 ∈ ( ‘(𝐿𝑔)))
6 lcfrlem6.h . . . . . . . . . 10 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
7 lcfrlem6.u . . . . . . . . . 10 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
8 lcfrlem6.k . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
96, 7, 8dvhlmod 41112 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑈 ∈ LMod)
109adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑔𝐺) → 𝑈 ∈ LMod)
1110adantr 480 . . . . . . 7 (((𝜑𝑔𝐺) ∧ 𝑋 ∈ ( ‘(𝐿𝑔))) → 𝑈 ∈ LMod)
128adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑔𝐺) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
13 eqid 2737 . . . . . . . . . 10 (Base‘𝑈) = (Base‘𝑈)
14 eqid 2737 . . . . . . . . . 10 (LFnl‘𝑈) = (LFnl‘𝑈)
15 lcfrlem6.l . . . . . . . . . 10 𝐿 = (LKer‘𝑈)
16 lcfrlem6.g . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐺𝑄)
17 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . 13 (Base‘𝐷) = (Base‘𝐷)
18 lcfrlem6.q . . . . . . . . . . . . 13 𝑄 = (LSubSp‘𝐷)
1917, 18lssel 20935 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐺𝑄𝑔𝐺) → 𝑔 ∈ (Base‘𝐷))
2016, 19sylan 580 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑔𝐺) → 𝑔 ∈ (Base‘𝐷))
21 lcfrlem6.d . . . . . . . . . . . . 13 𝐷 = (LDual‘𝑈)
2214, 21, 17, 9ldualvbase 39127 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (Base‘𝐷) = (LFnl‘𝑈))
2322adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑔𝐺) → (Base‘𝐷) = (LFnl‘𝑈))
2420, 23eleqtrd 2843 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑔𝐺) → 𝑔 ∈ (LFnl‘𝑈))
2513, 14, 15, 10, 24lkrssv 39097 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑔𝐺) → (𝐿𝑔) ⊆ (Base‘𝑈))
26 eqid 2737 . . . . . . . . . 10 (LSubSp‘𝑈) = (LSubSp‘𝑈)
27 lcfrlem6.o . . . . . . . . . 10 = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
286, 7, 13, 26, 27dochlss 41356 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐿𝑔) ⊆ (Base‘𝑈)) → ( ‘(𝐿𝑔)) ∈ (LSubSp‘𝑈))
2912, 25, 28syl2anc 584 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑔𝐺) → ( ‘(𝐿𝑔)) ∈ (LSubSp‘𝑈))
3029adantr 480 . . . . . . 7 (((𝜑𝑔𝐺) ∧ 𝑋 ∈ ( ‘(𝐿𝑔))) → ( ‘(𝐿𝑔)) ∈ (LSubSp‘𝑈))
31 simpr 484 . . . . . . 7 (((𝜑𝑔𝐺) ∧ 𝑋 ∈ ( ‘(𝐿𝑔))) → 𝑋 ∈ ( ‘(𝐿𝑔)))
32 lcfrlem6.en . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌}))
3332adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑔𝐺) → (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌}))
3433adantr 480 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑔𝐺) ∧ (𝑁‘{𝑋}) ⊆ ( ‘(𝐿𝑔))) → (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌}))
35 simpr 484 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑔𝐺) ∧ (𝑁‘{𝑋}) ⊆ ( ‘(𝐿𝑔))) → (𝑁‘{𝑋}) ⊆ ( ‘(𝐿𝑔)))
3634, 35eqsstrrd 4019 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑔𝐺) ∧ (𝑁‘{𝑋}) ⊆ ( ‘(𝐿𝑔))) → (𝑁‘{𝑌}) ⊆ ( ‘(𝐿𝑔)))
3736ex 412 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑔𝐺) → ((𝑁‘{𝑋}) ⊆ ( ‘(𝐿𝑔)) → (𝑁‘{𝑌}) ⊆ ( ‘(𝐿𝑔))))
38 lcfrlem6.n . . . . . . . . . 10 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
396, 27, 7, 13, 15, 21, 18, 2, 8, 16, 1lcfrlem4 41547 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑋 ∈ (Base‘𝑈))
4039adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑔𝐺) → 𝑋 ∈ (Base‘𝑈))
4113, 26, 38, 10, 29, 40ellspsn5b 20993 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑔𝐺) → (𝑋 ∈ ( ‘(𝐿𝑔)) ↔ (𝑁‘{𝑋}) ⊆ ( ‘(𝐿𝑔))))
42 lcfrlem6.y . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑌𝐸)
436, 27, 7, 13, 15, 21, 18, 2, 8, 16, 42lcfrlem4 41547 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑌 ∈ (Base‘𝑈))
4443adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑔𝐺) → 𝑌 ∈ (Base‘𝑈))
4513, 26, 38, 10, 29, 44ellspsn5b 20993 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑔𝐺) → (𝑌 ∈ ( ‘(𝐿𝑔)) ↔ (𝑁‘{𝑌}) ⊆ ( ‘(𝐿𝑔))))
4637, 41, 453imtr4d 294 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑔𝐺) → (𝑋 ∈ ( ‘(𝐿𝑔)) → 𝑌 ∈ ( ‘(𝐿𝑔))))
4746imp 406 . . . . . . 7 (((𝜑𝑔𝐺) ∧ 𝑋 ∈ ( ‘(𝐿𝑔))) → 𝑌 ∈ ( ‘(𝐿𝑔)))
48 lcfrlem6.p . . . . . . . 8 + = (+g𝑈)
4948, 26lssvacl 20941 . . . . . . 7 (((𝑈 ∈ LMod ∧ ( ‘(𝐿𝑔)) ∈ (LSubSp‘𝑈)) ∧ (𝑋 ∈ ( ‘(𝐿𝑔)) ∧ 𝑌 ∈ ( ‘(𝐿𝑔)))) → (𝑋 + 𝑌) ∈ ( ‘(𝐿𝑔)))
5011, 30, 31, 47, 49syl22anc 839 . . . . . 6 (((𝜑𝑔𝐺) ∧ 𝑋 ∈ ( ‘(𝐿𝑔))) → (𝑋 + 𝑌) ∈ ( ‘(𝐿𝑔)))
5150ex 412 . . . . 5 ((𝜑𝑔𝐺) → (𝑋 ∈ ( ‘(𝐿𝑔)) → (𝑋 + 𝑌) ∈ ( ‘(𝐿𝑔))))
5251reximdva 3168 . . . 4 (𝜑 → (∃𝑔𝐺 𝑋 ∈ ( ‘(𝐿𝑔)) → ∃𝑔𝐺 (𝑋 + 𝑌) ∈ ( ‘(𝐿𝑔))))
535, 52mpd 15 . . 3 (𝜑 → ∃𝑔𝐺 (𝑋 + 𝑌) ∈ ( ‘(𝐿𝑔)))
54 eliun 4995 . . 3 ((𝑋 + 𝑌) ∈ 𝑔𝐺 ( ‘(𝐿𝑔)) ↔ ∃𝑔𝐺 (𝑋 + 𝑌) ∈ ( ‘(𝐿𝑔)))
5553, 54sylibr 234 . 2 (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝑔𝐺 ( ‘(𝐿𝑔)))
5655, 2eleqtrrdi 2852 1 (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐸)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  wrex 3070  wss 3951  {csn 4626   ciun 4991  cfv 6561  (class class class)co 7431  Basecbs 17247  +gcplusg 17297  LModclmod 20858  LSubSpclss 20929  LSpanclspn 20969  LFnlclfn 39058  LKerclk 39086  LDualcld 39124  HLchlt 39351  LHypclh 39986  DVecHcdvh 41080  ocHcoch 41349
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-riotaBAD 38954
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-tpos 8251  df-undef 8298  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-map 8868  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-fz 13548  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-0g 17486  df-proset 18340  df-poset 18359  df-plt 18375  df-lub 18391  df-glb 18392  df-join 18393  df-meet 18394  df-p0 18470  df-p1 18471  df-lat 18477  df-clat 18544  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-submnd 18797  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-sbg 18956  df-subg 19141  df-cntz 19335  df-lsm 19654  df-cmn 19800  df-abl 19801  df-mgp 20138  df-rng 20150  df-ur 20179  df-ring 20232  df-oppr 20334  df-dvdsr 20357  df-unit 20358  df-invr 20388  df-dvr 20401  df-drng 20731  df-lmod 20860  df-lss 20930  df-lsp 20970  df-lvec 21102  df-lfl 39059  df-lkr 39087  df-ldual 39125  df-oposet 39177  df-ol 39179  df-oml 39180  df-covers 39267  df-ats 39268  df-atl 39299  df-cvlat 39323  df-hlat 39352  df-llines 39500  df-lplanes 39501  df-lvols 39502  df-lines 39503  df-psubsp 39505  df-pmap 39506  df-padd 39798  df-lhyp 39990  df-laut 39991  df-ldil 40106  df-ltrn 40107  df-trl 40161  df-tendo 40757  df-edring 40759  df-disoa 41031  df-dvech 41081  df-dib 41141  df-dic 41175  df-dih 41231  df-doch 41350
This theorem is referenced by:  lcfrlem41  41585
  Copyright terms: Public domain W3C validator