Theorem lcfrlem4 42351

Description: Lemma for lcfr 42391. (Contributed by NM, 10-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lcfrlem4.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
lcfrlem4.o	⊢ ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
lcfrlem4.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
lcfrlem4.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
lcfrlem4.l	⊢ 𝐿 = (LKer‘𝑈)
lcfrlem4.d	⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑈)
lcfrlem4.q	⊢ 𝑄 = (LSubSp‘𝐷)
lcfrlem4.e	⊢ 𝐸 = ∪ 𝑔 ∈ 𝐺 ( ⊥ ‘(𝐿‘𝑔))
lcfrlem4.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
lcfrlem4.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑄)
lcfrlem4.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐸)

Assertion

Ref	Expression
lcfrlem4	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)

Distinct variable groups:   𝑔,𝑉   𝜑,𝑔

Allowed substitution hints:   𝐷(𝑔)   𝑄(𝑔)   𝑈(𝑔)   𝐸(𝑔)   𝐺(𝑔)   𝐻(𝑔)   𝐾(𝑔)   𝐿(𝑔)   ⊥ (𝑔)   𝑊(𝑔)   𝑋(𝑔)

Proof of Theorem lcfrlem4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lcfrlem4.k	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
2	1	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐺) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
3		lcfrlem4.v	. . . . . 6 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
4		eqid 2766	. . . . . 6 ⊢ (LFnl‘𝑈) = (LFnl‘𝑈)
5		lcfrlem4.l	. . . . . 6 ⊢ 𝐿 = (LKer‘𝑈)
6		lcfrlem4.h	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
7		lcfrlem4.u	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
8	6, 7, 1	dvhlmod 41916	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LMod)
9	8	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐺) → 𝑈 ∈ LMod)
10		lcfrlem4.g	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑄)
11		eqid 2766	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝐷) = (Base‘𝐷)
12		lcfrlem4.q	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑄 = (LSubSp‘𝐷)
13	11, 12	lssel 21073	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑄 ∧ 𝑔 ∈ 𝐺) → 𝑔 ∈ (Base‘𝐷))
14	10, 13	sylan 592	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐺) → 𝑔 ∈ (Base‘𝐷))
15		lcfrlem4.d	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑈)
16	4, 15, 11, 8	ldualvbase 39932	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐷) = (LFnl‘𝑈))
17	16	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐺) → (Base‘𝐷) = (LFnl‘𝑈))
18	14, 17	eleqtrd 2868	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐺) → 𝑔 ∈ (LFnl‘𝑈))
19	3, 4, 5, 9, 18	lkrssv 39902	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐺) → (𝐿‘𝑔) ⊆ 𝑉)
20		lcfrlem4.o	. . . . . 6 ⊢ ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
21	6, 7, 3, 20	dochssv 42161	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐿‘𝑔) ⊆ 𝑉) → ( ⊥ ‘(𝐿‘𝑔)) ⊆ 𝑉)
22	2, 19, 21	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐺) → ( ⊥ ‘(𝐿‘𝑔)) ⊆ 𝑉)
23	22	ralrimiva 3160	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑔 ∈ 𝐺 ( ⊥ ‘(𝐿‘𝑔)) ⊆ 𝑉)
24		iunss 5012	. . 3 ⊢ (∪ 𝑔 ∈ 𝐺 ( ⊥ ‘(𝐿‘𝑔)) ⊆ 𝑉 ↔ ∀𝑔 ∈ 𝐺 ( ⊥ ‘(𝐿‘𝑔)) ⊆ 𝑉)
25	23, 24	sylibr 237	. 2 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑔 ∈ 𝐺 ( ⊥ ‘(𝐿‘𝑔)) ⊆ 𝑉)
26		lcfrlem4.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐸)
27		lcfrlem4.e	. . 3 ⊢ 𝐸 = ∪ 𝑔 ∈ 𝐺 ( ⊥ ‘(𝐿‘𝑔))
28	26, 27	eleqtrdi 2876	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ∪ 𝑔 ∈ 𝐺 ( ⊥ ‘(𝐿‘𝑔)))
29	25, 28	sseldd 3941	1 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ∀wral 3082   ⊆ wss 3908  ∪ ciun 4959  ‘cfv 6540  Basecbs 17279  LModclmod 20996  LSubSpclss 21067  LFnlclfn 39863  LKerclk 39891  LDualcld 39929  HLchlt 40156  LHypclh 40790  DVecHcdvh 41884  ocHcoch 42153

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-rep 5241  ax-sep 5260  ax-nul 5272  ax-pow 5339  ax-pr 5407  ax-un 7738  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-riotaBAD 39759

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4593  df-pr 4595  df-tp 4597  df-op 4599  df-uni 4876  df-int 4916  df-iun 4961  df-iin 4962  df-br 5113  df-opab 5177  df-mpt 5196  df-tr 5222  df-id 5559  df-eprel 5564  df-po 5572  df-so 5573  df-fr 5617  df-we 5619  df-xp 5670  df-rel 5671  df-cnv 5672  df-co 5673  df-dm 5674  df-rn 5675  df-res 5676  df-ima 5677  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-of 7680  df-om 7865  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-tpos 8224  df-undef 8271  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-1o 8455  df-er 8696  df-map 8828  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11453  df-neg 11454  df-nn 12244  df-2 12313  df-3 12314  df-4 12315  df-5 12316  df-6 12317  df-n0 12515  df-z 12602  df-uz 12873  df-fz 13546  df-struct 17217  df-sets 17234  df-slot 17252  df-ndx 17264  df-base 17280  df-ress 17301  df-plusg 17333  df-mulr 17334  df-sca 17336  df-vsca 17337  df-0g 17504  df-proset 18360  df-poset 18379  df-plt 18394  df-lub 18410  df-glb 18411  df-join 18412  df-meet 18413  df-p0 18489  df-p1 18490  df-lat 18498  df-clat 18565  df-mgm 18708  df-sgrp 18787  df-mnd 18803  df-submnd 18852  df-grp 19013  df-minusg 19014  df-sbg 19015  df-subg 19199  df-cntz 19397  df-lsm 19716  df-cmn 19862  df-abl 19863  df-mgp 20227  df-rng 20241  df-ur 20274  df-ring 20327  df-oppr 20430  df-dvdsr 20450  df-unit 20451  df-invr 20481  df-dvr 20494  df-drng 20844  df-lmod 20998  df-lss 21068  df-lsp 21108  df-lvec 21239  df-lfl 39864  df-lkr 39892  df-ldual 39930  df-oposet 39982  df-ol 39984  df-oml 39985  df-covers 40072  df-ats 40073  df-atl 40104  df-cvlat 40128  df-hlat 40157  df-llines 40304  df-lplanes 40305  df-lvols 40306  df-lines 40307  df-psubsp 40309  df-pmap 40310  df-padd 40602  df-lhyp 40794  df-laut 40795  df-ldil 40910  df-ltrn 40911  df-trl 40965  df-tendo 41561  df-edring 41563  df-disoa 41835  df-dvech 41885  df-dib 41945  df-dic 41979  df-dih 42035  df-doch 42154

This theorem is used by:  lcfrlem6  42353  lcfrlem7  42354  lcfrlem38  42386  lcfrlem40  42388  lcfrlem42  42390