Theorem lcfrlem4 40720

Description: Lemma for lcfr 40760. (Contributed by NM, 10-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lcfrlem4.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
lcfrlem4.o	⊢ ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
lcfrlem4.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
lcfrlem4.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
lcfrlem4.l	⊢ 𝐿 = (LKer‘𝑈)
lcfrlem4.d	⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑈)
lcfrlem4.q	⊢ 𝑄 = (LSubSp‘𝐷)
lcfrlem4.e	⊢ 𝐸 = ∪ 𝑔 ∈ 𝐺 ( ⊥ ‘(𝐿‘𝑔))
lcfrlem4.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
lcfrlem4.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑄)
lcfrlem4.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐸)

Assertion

Ref	Expression
lcfrlem4	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)

Distinct variable groups:   𝑔,𝑉   𝜑,𝑔

Allowed substitution hints:   𝐷(𝑔)   𝑄(𝑔)   𝑈(𝑔)   𝐸(𝑔)   𝐺(𝑔)   𝐻(𝑔)   𝐾(𝑔)   𝐿(𝑔)   ⊥ (𝑔)   𝑊(𝑔)   𝑋(𝑔)

Proof of Theorem lcfrlem4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lcfrlem4.k	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
2	1	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐺) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
3		lcfrlem4.v	. . . . . 6 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
4		eqid 2731	. . . . . 6 ⊢ (LFnl‘𝑈) = (LFnl‘𝑈)
5		lcfrlem4.l	. . . . . 6 ⊢ 𝐿 = (LKer‘𝑈)
6		lcfrlem4.h	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
7		lcfrlem4.u	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
8	6, 7, 1	dvhlmod 40285	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LMod)
9	8	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐺) → 𝑈 ∈ LMod)
10		lcfrlem4.g	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑄)
11		eqid 2731	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝐷) = (Base‘𝐷)
12		lcfrlem4.q	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑄 = (LSubSp‘𝐷)
13	11, 12	lssel 20693	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑄 ∧ 𝑔 ∈ 𝐺) → 𝑔 ∈ (Base‘𝐷))
14	10, 13	sylan 579	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐺) → 𝑔 ∈ (Base‘𝐷))
15		lcfrlem4.d	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑈)
16	4, 15, 11, 8	ldualvbase 38300	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐷) = (LFnl‘𝑈))
17	16	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐺) → (Base‘𝐷) = (LFnl‘𝑈))
18	14, 17	eleqtrd 2834	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐺) → 𝑔 ∈ (LFnl‘𝑈))
19	3, 4, 5, 9, 18	lkrssv 38270	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐺) → (𝐿‘𝑔) ⊆ 𝑉)
20		lcfrlem4.o	. . . . . 6 ⊢ ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
21	6, 7, 3, 20	dochssv 40530	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐿‘𝑔) ⊆ 𝑉) → ( ⊥ ‘(𝐿‘𝑔)) ⊆ 𝑉)
22	2, 19, 21	syl2anc 583	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 ∈ 𝐺) → ( ⊥ ‘(𝐿‘𝑔)) ⊆ 𝑉)
23	22	ralrimiva 3145	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑔 ∈ 𝐺 ( ⊥ ‘(𝐿‘𝑔)) ⊆ 𝑉)
24		iunss 5048	. . 3 ⊢ (∪ 𝑔 ∈ 𝐺 ( ⊥ ‘(𝐿‘𝑔)) ⊆ 𝑉 ↔ ∀𝑔 ∈ 𝐺 ( ⊥ ‘(𝐿‘𝑔)) ⊆ 𝑉)
25	23, 24	sylibr 233	. 2 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑔 ∈ 𝐺 ( ⊥ ‘(𝐿‘𝑔)) ⊆ 𝑉)
26		lcfrlem4.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐸)
27		lcfrlem4.e	. . 3 ⊢ 𝐸 = ∪ 𝑔 ∈ 𝐺 ( ⊥ ‘(𝐿‘𝑔))
28	26, 27	eleqtrdi 2842	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ∪ 𝑔 ∈ 𝐺 ( ⊥ ‘(𝐿‘𝑔)))
29	25, 28	sseldd 3983	1 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  ∀wral 3060   ⊆ wss 3948  ∪ ciun 4997  ‘cfv 6543  Basecbs 17149  LModclmod 20615  LSubSpclss 20687  LFnlclfn 38231  LKerclk 38259  LDualcld 38297  HLchlt 38524  LHypclh 39159  DVecHcdvh 40253  ocHcoch 40522

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11170  ax-resscn 11171  ax-1cn 11172  ax-icn 11173  ax-addcl 11174  ax-addrcl 11175  ax-mulcl 11176  ax-mulrcl 11177  ax-mulcom 11178  ax-addass 11179  ax-mulass 11180  ax-distr 11181  ax-i2m1 11182  ax-1ne0 11183  ax-1rid 11184  ax-rnegex 11185  ax-rrecex 11186  ax-cnre 11187  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189  ax-pre-ltadd 11190  ax-pre-mulgt0 11191  ax-riotaBAD 38127

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7674  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-tpos 8215  df-undef 8262  df-frecs 8270  df-wrecs 8301  df-recs 8375  df-rdg 8414  df-1o 8470  df-er 8707  df-map 8826  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-nn 12218  df-2 12280  df-3 12281  df-4 12282  df-5 12283  df-6 12284  df-n0 12478  df-z 12564  df-uz 12828  df-fz 13490  df-struct 17085  df-sets 17102  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-ress 17179  df-plusg 17215  df-mulr 17216  df-sca 17218  df-vsca 17219  df-0g 17392  df-proset 18253  df-poset 18271  df-plt 18288  df-lub 18304  df-glb 18305  df-join 18306  df-meet 18307  df-p0 18383  df-p1 18384  df-lat 18390  df-clat 18457  df-mgm 18566  df-sgrp 18645  df-mnd 18661  df-submnd 18707  df-grp 18859  df-minusg 18860  df-sbg 18861  df-subg 19040  df-cntz 19223  df-lsm 19546  df-cmn 19692  df-abl 19693  df-mgp 20030  df-rng 20048  df-ur 20077  df-ring 20130  df-oppr 20226  df-dvdsr 20249  df-unit 20250  df-invr 20280  df-dvr 20293  df-drng 20503  df-lmod 20617  df-lss 20688  df-lsp 20728  df-lvec 20859  df-lfl 38232  df-lkr 38260  df-ldual 38298  df-oposet 38350  df-ol 38352  df-oml 38353  df-covers 38440  df-ats 38441  df-atl 38472  df-cvlat 38496  df-hlat 38525  df-llines 38673  df-lplanes 38674  df-lvols 38675  df-lines 38676  df-psubsp 38678  df-pmap 38679  df-padd 38971  df-lhyp 39163  df-laut 39164  df-ldil 39279  df-ltrn 39280  df-trl 39334  df-tendo 39930  df-edring 39932  df-disoa 40204  df-dvech 40254  df-dib 40314  df-dic 40348  df-dih 40404  df-doch 40523

This theorem is referenced by:  lcfrlem6  40722  lcfrlem7  40723  lcfrlem38  40755  lcfrlem40  40757  lcfrlem42  40759