MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lssvancl2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lssvancl2 20404
Description: Non-closure: if one vector belongs to a subspace but another does not, their sum does not belong. Useful for obtaining a new vector not in a subspace. (Contributed by NM, 20-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lssvancl.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
lssvancl.p + = (+g𝑊)
lssvancl.s 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lssvancl.w (𝜑𝑊 ∈ LMod)
lssvancl.u (𝜑𝑈𝑆)
lssvancl.x (𝜑𝑋𝑈)
lssvancl.y (𝜑𝑌𝑉)
lssvancl.n (𝜑 → ¬ 𝑌𝑈)
Assertion
Ref Expression
lssvancl2 (𝜑 → ¬ (𝑌 + 𝑋) ∈ 𝑈)

Proof of Theorem lssvancl2
StepHypRef Expression
1 lssvancl.w . . 3 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
2 lssvancl.u . . . 4 (𝜑𝑈𝑆)
3 lssvancl.x . . . 4 (𝜑𝑋𝑈)
4 lssvancl.v . . . . 5 𝑉 = (Base‘𝑊)
5 lssvancl.s . . . . 5 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
64, 5lssel 20396 . . . 4 ((𝑈𝑆𝑋𝑈) → 𝑋𝑉)
72, 3, 6syl2anc 584 . . 3 (𝜑𝑋𝑉)
8 lssvancl.y . . 3 (𝜑𝑌𝑉)
9 lssvancl.p . . . 4 + = (+g𝑊)
104, 9lmodcom 20366 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) → (𝑋 + 𝑌) = (𝑌 + 𝑋))
111, 7, 8, 10syl3anc 1371 . 2 (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) = (𝑌 + 𝑋))
12 lssvancl.n . . 3 (𝜑 → ¬ 𝑌𝑈)
134, 9, 5, 1, 2, 3, 8, 12lssvancl1 20403 . 2 (𝜑 → ¬ (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝑈)
1411, 13eqneltrrd 2858 1 (𝜑 → ¬ (𝑌 + 𝑋) ∈ 𝑈)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4   = wceq 1541  wcel 2106  cfv 6496  (class class class)co 7356  Basecbs 17082  +gcplusg 17132  LModclmod 20320  LSubSpclss 20390
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7671  ax-cnex 11106  ax-resscn 11107  ax-1cn 11108  ax-icn 11109  ax-addcl 11110  ax-addrcl 11111  ax-mulcl 11112  ax-mulrcl 11113  ax-mulcom 11114  ax-addass 11115  ax-mulass 11116  ax-distr 11117  ax-i2m1 11118  ax-1ne0 11119  ax-1rid 11120  ax-rnegex 11121  ax-rrecex 11122  ax-cnre 11123  ax-pre-lttri 11124  ax-pre-lttrn 11125  ax-pre-ltadd 11126  ax-pre-mulgt0 11127
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7312  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7802  df-1st 7920  df-2nd 7921  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8316  df-rdg 8355  df-er 8647  df-en 8883  df-dom 8884  df-sdom 8885  df-pnf 11190  df-mnf 11191  df-xr 11192  df-ltxr 11193  df-le 11194  df-sub 11386  df-neg 11387  df-nn 12153  df-2 12215  df-sets 17035  df-slot 17053  df-ndx 17065  df-base 17083  df-plusg 17145  df-0g 17322  df-mgm 18496  df-sgrp 18545  df-mnd 18556  df-grp 18750  df-minusg 18751  df-sbg 18752  df-cmn 19562  df-abl 19563  df-mgp 19895  df-ur 19912  df-ring 19964  df-lmod 20322  df-lss 20391
This theorem is referenced by:  dvh3dim2  39901  dvh3dim3N  39902  hdmap11lem2  40295  hdmaprnlem3N  40303
  Copyright terms: Public domain W3C validator