Theorem lssvancl2 21041

Description: Non-closure: if one vector belongs to a subspace but another does not, their sum does not belong. Useful for obtaining a new vector not in a subspace. (Contributed by NM, 20-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lssvancl.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lssvancl.p	⊢ + = (+g‘𝑊)
lssvancl.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lssvancl.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
lssvancl.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)
lssvancl.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑈)
lssvancl.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
lssvancl.n	⊢ (𝜑 → ¬ 𝑌 ∈ 𝑈)

Assertion

Ref	Expression
lssvancl2	⊢ (𝜑 → ¬ (𝑌 + 𝑋) ∈ 𝑈)

Proof of Theorem lssvancl2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lssvancl.w	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
2		lssvancl.u	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)
3		lssvancl.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑈)
4		lssvancl.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
5		lssvancl.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
6	4, 5	lssel 21032	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → 𝑋 ∈ 𝑉)
7	2, 3, 6	syl2anc 595	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
8		lssvancl.y	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
9		lssvancl.p	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝑊)
10	4, 9	lmodcom 21003	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑋 + 𝑌) = (𝑌 + 𝑋))
11	1, 7, 8, 10	syl3anc 1396	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) = (𝑌 + 𝑋))
12		lssvancl.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑌 ∈ 𝑈)
13	4, 9, 5, 1, 2, 3, 8, 12	lssvancl1 21040	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝑈)
14	11, 13	eqneltrrd 2890	1 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝑌 + 𝑋) ∈ 𝑈)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  ‘cfv 6533  (class class class)co 7408  Basecbs 17265  +_gcplusg 17306  LModclmod 20955  LSubSpclss 21026

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5258  ax-nul 5268  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7730  ax-cnex 11152  ax-resscn 11153  ax-1cn 11154  ax-icn 11155  ax-addcl 11156  ax-addrcl 11157  ax-mulcl 11158  ax-mulrcl 11159  ax-mulcom 11160  ax-addass 11161  ax-mulass 11162  ax-distr 11163  ax-i2m1 11164  ax-1ne0 11165  ax-1rid 11166  ax-rnegex 11167  ax-rrecex 11168  ax-cnre 11169  ax-pre-lttri 11170  ax-pre-lttrn 11171  ax-pre-ltadd 11172  ax-pre-mulgt0 11173

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11241  df-mnf 11242  df-xr 11243  df-ltxr 11244  df-le 11245  df-sub 11439  df-neg 11440  df-nn 12230  df-2 12299  df-sets 17220  df-slot 17238  df-ndx 17250  df-base 17266  df-plusg 17319  df-0g 17490  df-mgm 18694  df-sgrp 18773  df-mnd 18789  df-grp 18999  df-minusg 19000  df-sbg 19001  df-cmn 19848  df-abl 19849  df-mgp 20213  df-ur 20260  df-ring 20313  df-lmod 20957  df-lss 21027

This theorem is referenced by:  dvh3dim2  42107  dvh3dim3N  42108  hdmap11lem2  42501  hdmaprnlem3N  42509