Theorem lssvancl2 19264

Description: Non-closure: if one vector belongs to a subspace but another does not, their sum does not belong. Useful for obtaining a new vector not in a subspace. (Contributed by NM, 20-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lssvancl.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lssvancl.p	⊢ + = (+g‘𝑊)
lssvancl.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lssvancl.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
lssvancl.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)
lssvancl.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑈)
lssvancl.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
lssvancl.n	⊢ (𝜑 → ¬ 𝑌 ∈ 𝑈)

Assertion

Ref	Expression
lssvancl2	⊢ (𝜑 → ¬ (𝑌 + 𝑋) ∈ 𝑈)

Proof of Theorem lssvancl2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lssvancl.w	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
2		lssvancl.u	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)
3		lssvancl.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑈)
4		lssvancl.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
5		lssvancl.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
6	4, 5	lssel 19256	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → 𝑋 ∈ 𝑉)
7	2, 3, 6	syl2anc 580	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
8		lssvancl.y	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
9		lssvancl.p	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝑊)
10	4, 9	lmodcom 19227	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑋 + 𝑌) = (𝑌 + 𝑋))
11	1, 7, 8, 10	syl3anc 1491	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) = (𝑌 + 𝑋))
12		lssvancl.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑌 ∈ 𝑈)
13	4, 9, 5, 1, 2, 3, 8, 12	lssvancl1 19263	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝑈)
14	11, 13	eqneltrrd 2898	1 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝑌 + 𝑋) ∈ 𝑈)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   = wceq 1653   ∈ wcel 2157  ‘cfv 6101  (class class class)co 6878  Basecbs 16184  +_gcplusg 16267  LModclmod 19181  LSubSpclss 19250

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2777  ax-rep 4964  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5097  ax-un 7183  ax-cnex 10280  ax-resscn 10281  ax-1cn 10282  ax-icn 10283  ax-addcl 10284  ax-addrcl 10285  ax-mulcl 10286  ax-mulrcl 10287  ax-mulcom 10288  ax-addass 10289  ax-mulass 10290  ax-distr 10291  ax-i2m1 10292  ax-1ne0 10293  ax-1rid 10294  ax-rnegex 10295  ax-rrecex 10296  ax-cnre 10297  ax-pre-lttri 10298  ax-pre-lttrn 10299  ax-pre-ltadd 10300  ax-pre-mulgt0 10301

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2786  df-cleq 2792  df-clel 2795  df-nfc 2930  df-ne 2972  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rmo 3097  df-rab 3098  df-v 3387  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4116  df-if 4278  df-pw 4351  df-sn 4369  df-pr 4371  df-tp 4373  df-op 4375  df-uni 4629  df-iun 4712  df-br 4844  df-opab 4906  df-mpt 4923  df-tr 4946  df-id 5220  df-eprel 5225  df-po 5233  df-so 5234  df-fr 5271  df-we 5273  df-xp 5318  df-rel 5319  df-cnv 5320  df-co 5321  df-dm 5322  df-rn 5323  df-res 5324  df-ima 5325  df-pred 5898  df-ord 5944  df-on 5945  df-lim 5946  df-suc 5947  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-riota 6839  df-ov 6881  df-oprab 6882  df-mpt2 6883  df-om 7300  df-1st 7401  df-2nd 7402  df-wrecs 7645  df-recs 7707  df-rdg 7745  df-er 7982  df-en 8196  df-dom 8197  df-sdom 8198  df-pnf 10365  df-mnf 10366  df-xr 10367  df-ltxr 10368  df-le 10369  df-sub 10558  df-neg 10559  df-nn 11313  df-2 11376  df-ndx 16187  df-slot 16188  df-base 16190  df-sets 16191  df-plusg 16280  df-0g 16417  df-mgm 17557  df-sgrp 17599  df-mnd 17610  df-grp 17741  df-minusg 17742  df-sbg 17743  df-cmn 18510  df-abl 18511  df-mgp 18806  df-ur 18818  df-ring 18865  df-lmod 19183  df-lss 19251

This theorem is referenced by:  dvh3dim2  37469  dvh3dim3N  37470  hdmap11lem2  37863  hdmaprnlem3N  37871