Theorem mapdval4N 39573

Description: Value of projectivity from vector space H to dual space. TODO: 1. This is shorter than others - make it the official def? (but is not as obvious that it is ⊆ 𝐶) 2. The unneeded direction of lcfl8a 39444 has awkward ∃- add another thm with only one direction of it? 3. Swap 𝑂‘{𝑣} and 𝐿‘𝑓? (Contributed by NM, 31-Jan-2015.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
mapdval4.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
mapdval4.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
mapdval4.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑈)
mapdval4.f	⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
mapdval4.l	⊢ 𝐿 = (LKer‘𝑈)
mapdval4.o	⊢ 𝑂 = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
mapdval4.m	⊢ 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
mapdval4.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
mapdval4.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
mapdval4N	⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝑇) = {𝑓 ∈ 𝐹 ∣ ∃𝑣 ∈ 𝑇 (𝑂‘{𝑣}) = (𝐿‘𝑓)})

Distinct variable groups:   𝑣,𝑓,𝐹   𝑓,𝐾   𝑣,𝐿   𝑣,𝑂   𝑇,𝑓,𝑣   𝑣,𝑈   𝑓,𝑊   𝜑,𝑓,𝑣

Allowed substitution hints:   𝑆(𝑣,𝑓)   𝑈(𝑓)   𝐻(𝑣,𝑓)   𝐾(𝑣)   𝐿(𝑓)   𝑀(𝑣,𝑓)   𝑂(𝑓)   𝑊(𝑣)

Proof of Theorem mapdval4N

Dummy variables 𝑔 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mapdval4.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		mapdval4.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
3		mapdval4.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑈)
4		eqid 2738	. . 3 ⊢ (LSpan‘𝑈) = (LSpan‘𝑈)
5		mapdval4.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
6		mapdval4.l	. . 3 ⊢ 𝐿 = (LKer‘𝑈)
7		mapdval4.o	. . 3 ⊢ 𝑂 = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
8		mapdval4.m	. . 3 ⊢ 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
9		mapdval4.k	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
10		mapdval4.t	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝑆)
11		eqid 2738	. . 3 ⊢ {𝑔 ∈ 𝐹 ∣ (𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑔))) = (𝐿‘𝑔)} = {𝑔 ∈ 𝐹 ∣ (𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑔))) = (𝐿‘𝑔)}
12	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11	mapdval2N 39571	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝑇) = {𝑓 ∈ {𝑔 ∈ 𝐹 ∣ (𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑔))) = (𝐿‘𝑔)} ∣ ∃𝑣 ∈ 𝑇 (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑣})})
13	11	lcfl1lem 39432	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 ∈ {𝑔 ∈ 𝐹 ∣ (𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑔))) = (𝐿‘𝑔)} ↔ (𝑓 ∈ 𝐹 ∧ (𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓)))
14	13	anbi1i 623	. . . . 5 ⊢ ((𝑓 ∈ {𝑔 ∈ 𝐹 ∣ (𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑔))) = (𝐿‘𝑔)} ∧ ∃𝑣 ∈ 𝑇 (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑣})) ↔ ((𝑓 ∈ 𝐹 ∧ (𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓)) ∧ ∃𝑣 ∈ 𝑇 (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑣})))
15		anass 468	. . . . 5 ⊢ (((𝑓 ∈ 𝐹 ∧ (𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓)) ∧ ∃𝑣 ∈ 𝑇 (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑣})) ↔ (𝑓 ∈ 𝐹 ∧ ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓) ∧ ∃𝑣 ∈ 𝑇 (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑣}))))
16	14, 15	bitri 274	. . . 4 ⊢ ((𝑓 ∈ {𝑔 ∈ 𝐹 ∣ (𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑔))) = (𝐿‘𝑔)} ∧ ∃𝑣 ∈ 𝑇 (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑣})) ↔ (𝑓 ∈ 𝐹 ∧ ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓) ∧ ∃𝑣 ∈ 𝑇 (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑣}))))
17		r19.42v 3276	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑣 ∈ 𝑇 ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑣})) ↔ ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓) ∧ ∃𝑣 ∈ 𝑇 (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑣})))
18		simprr 769	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐹) ∧ 𝑣 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑣}))) → (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑣}))
19	18	fveq2d 6760	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐹) ∧ 𝑣 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑣}))) → (𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑓))) = (𝑂‘((LSpan‘𝑈)‘{𝑣})))
20		simprl 767	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐹) ∧ 𝑣 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑣}))) → (𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓))
21		eqid 2738	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘𝑈) = (Base‘𝑈)
22	9	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐹) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
23	22	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐹) ∧ 𝑣 ∈ 𝑇) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
24	23	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐹) ∧ 𝑣 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑣}))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
25	10	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐹) → 𝑇 ∈ 𝑆)
26	21, 3	lssel 20114	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑇 ∈ 𝑆 ∧ 𝑣 ∈ 𝑇) → 𝑣 ∈ (Base‘𝑈))
27	25, 26	sylan 579	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐹) ∧ 𝑣 ∈ 𝑇) → 𝑣 ∈ (Base‘𝑈))
28	27	snssd 4739	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐹) ∧ 𝑣 ∈ 𝑇) → {𝑣} ⊆ (Base‘𝑈))
29	28	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐹) ∧ 𝑣 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑣}))) → {𝑣} ⊆ (Base‘𝑈))
30	1, 2, 7, 21, 4, 24, 29	dochocsp 39320	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐹) ∧ 𝑣 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑣}))) → (𝑂‘((LSpan‘𝑈)‘{𝑣})) = (𝑂‘{𝑣}))
31	19, 20, 30	3eqtr3rd 2787	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐹) ∧ 𝑣 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑣}))) → (𝑂‘{𝑣}) = (𝐿‘𝑓))
32	27	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐹) ∧ 𝑣 ∈ 𝑇) ∧ (𝑂‘{𝑣}) = (𝐿‘𝑓)) → 𝑣 ∈ (Base‘𝑈))
33		simpr 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐹) ∧ 𝑣 ∈ 𝑇) ∧ (𝑂‘{𝑣}) = (𝐿‘𝑓)) → (𝑂‘{𝑣}) = (𝐿‘𝑓))
34	33	eqcomd 2744	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐹) ∧ 𝑣 ∈ 𝑇) ∧ (𝑂‘{𝑣}) = (𝐿‘𝑓)) → (𝐿‘𝑓) = (𝑂‘{𝑣}))
35		sneq 4568	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑤 = 𝑣 → {𝑤} = {𝑣})
36	35	fveq2d 6760	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑤 = 𝑣 → (𝑂‘{𝑤}) = (𝑂‘{𝑣}))
37	36	rspceeqv 3567	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑣 ∈ (Base‘𝑈) ∧ (𝐿‘𝑓) = (𝑂‘{𝑣})) → ∃𝑤 ∈ (Base‘𝑈)(𝐿‘𝑓) = (𝑂‘{𝑤}))
38	32, 34, 37	syl2anc 583	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐹) ∧ 𝑣 ∈ 𝑇) ∧ (𝑂‘{𝑣}) = (𝐿‘𝑓)) → ∃𝑤 ∈ (Base‘𝑈)(𝐿‘𝑓) = (𝑂‘{𝑤}))
39	23	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐹) ∧ 𝑣 ∈ 𝑇) ∧ (𝑂‘{𝑣}) = (𝐿‘𝑓)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
40		simpllr 772	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐹) ∧ 𝑣 ∈ 𝑇) ∧ (𝑂‘{𝑣}) = (𝐿‘𝑓)) → 𝑓 ∈ 𝐹)
41	1, 7, 2, 21, 5, 6, 39, 40	lcfl8a 39444	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐹) ∧ 𝑣 ∈ 𝑇) ∧ (𝑂‘{𝑣}) = (𝐿‘𝑓)) → ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓) ↔ ∃𝑤 ∈ (Base‘𝑈)(𝐿‘𝑓) = (𝑂‘{𝑤})))
42	38, 41	mpbird 256	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐹) ∧ 𝑣 ∈ 𝑇) ∧ (𝑂‘{𝑣}) = (𝐿‘𝑓)) → (𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓))
43	1, 2, 7, 21, 4, 23, 27	dochocsn 39322	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐹) ∧ 𝑣 ∈ 𝑇) → (𝑂‘(𝑂‘{𝑣})) = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑣}))
44		fveq2 6756	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑂‘{𝑣}) = (𝐿‘𝑓) → (𝑂‘(𝑂‘{𝑣})) = (𝑂‘(𝐿‘𝑓)))
45	43, 44	sylan9req 2800	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐹) ∧ 𝑣 ∈ 𝑇) ∧ (𝑂‘{𝑣}) = (𝐿‘𝑓)) → ((LSpan‘𝑈)‘{𝑣}) = (𝑂‘(𝐿‘𝑓)))
46	45	eqcomd 2744	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐹) ∧ 𝑣 ∈ 𝑇) ∧ (𝑂‘{𝑣}) = (𝐿‘𝑓)) → (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑣}))
47	42, 46	jca 511	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐹) ∧ 𝑣 ∈ 𝑇) ∧ (𝑂‘{𝑣}) = (𝐿‘𝑓)) → ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑣})))
48	31, 47	impbida 797	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐹) ∧ 𝑣 ∈ 𝑇) → (((𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑣})) ↔ (𝑂‘{𝑣}) = (𝐿‘𝑓)))
49	48	rexbidva 3224	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐹) → (∃𝑣 ∈ 𝑇 ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑣})) ↔ ∃𝑣 ∈ 𝑇 (𝑂‘{𝑣}) = (𝐿‘𝑓)))
50	17, 49	bitr3id 284	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐹) → (((𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓) ∧ ∃𝑣 ∈ 𝑇 (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑣})) ↔ ∃𝑣 ∈ 𝑇 (𝑂‘{𝑣}) = (𝐿‘𝑓)))
51	50	pm5.32da 578	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑓 ∈ 𝐹 ∧ ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓) ∧ ∃𝑣 ∈ 𝑇 (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑣}))) ↔ (𝑓 ∈ 𝐹 ∧ ∃𝑣 ∈ 𝑇 (𝑂‘{𝑣}) = (𝐿‘𝑓))))
52	16, 51	syl5bb 282	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑓 ∈ {𝑔 ∈ 𝐹 ∣ (𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑔))) = (𝐿‘𝑔)} ∧ ∃𝑣 ∈ 𝑇 (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑣})) ↔ (𝑓 ∈ 𝐹 ∧ ∃𝑣 ∈ 𝑇 (𝑂‘{𝑣}) = (𝐿‘𝑓))))
53	52	rabbidva2 3400	. 2 ⊢ (𝜑 → {𝑓 ∈ {𝑔 ∈ 𝐹 ∣ (𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑔))) = (𝐿‘𝑔)} ∣ ∃𝑣 ∈ 𝑇 (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑣})} = {𝑓 ∈ 𝐹 ∣ ∃𝑣 ∈ 𝑇 (𝑂‘{𝑣}) = (𝐿‘𝑓)})
54	12, 53	eqtrd 2778	1 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝑇) = {𝑓 ∈ 𝐹 ∣ ∃𝑣 ∈ 𝑇 (𝑂‘{𝑣}) = (𝐿‘𝑓)})

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  ∃wrex 3064  {crab 3067   ⊆ wss 3883  {csn 4558  ‘cfv 6418  Basecbs 16840  LSubSpclss 20108  LSpanclspn 20148  LFnlclfn 36998  LKerclk 37026  HLchlt 37291  LHypclh 37925  DVecHcdvh 39019  ocHcoch 39288  mapdcmpd 39565

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-riotaBAD 36894

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-iin 4924  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-tpos 8013  df-undef 8060  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-er 8456  df-map 8575  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-4 11968  df-5 11969  df-6 11970  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-fz 13169  df-struct 16776  df-sets 16793  df-slot 16811  df-ndx 16823  df-base 16841  df-ress 16868  df-plusg 16901  df-mulr 16902  df-sca 16904  df-vsca 16905  df-0g 17069  df-proset 17928  df-poset 17946  df-plt 17963  df-lub 17979  df-glb 17980  df-join 17981  df-meet 17982  df-p0 18058  df-p1 18059  df-lat 18065  df-clat 18132  df-mgm 18241  df-sgrp 18290  df-mnd 18301  df-submnd 18346  df-grp 18495  df-minusg 18496  df-sbg 18497  df-subg 18667  df-cntz 18838  df-lsm 19156  df-cmn 19303  df-abl 19304  df-mgp 19636  df-ur 19653  df-ring 19700  df-oppr 19777  df-dvdsr 19798  df-unit 19799  df-invr 19829  df-dvr 19840  df-drng 19908  df-lmod 20040  df-lss 20109  df-lsp 20149  df-lvec 20280  df-lsatoms 36917  df-lshyp 36918  df-lfl 36999  df-lkr 37027  df-oposet 37117  df-ol 37119  df-oml 37120  df-covers 37207  df-ats 37208  df-atl 37239  df-cvlat 37263  df-hlat 37292  df-llines 37439  df-lplanes 37440  df-lvols 37441  df-lines 37442  df-psubsp 37444  df-pmap 37445  df-padd 37737  df-lhyp 37929  df-laut 37930  df-ldil 38045  df-ltrn 38046  df-trl 38100  df-tgrp 38684  df-tendo 38696  df-edring 38698  df-dveca 38944  df-disoa 38970  df-dvech 39020  df-dib 39080  df-dic 39114  df-dih 39170  df-doch 39289  df-djh 39336  df-mapd 39566

This theorem is referenced by:  mapdval5N  39574  mapd1dim2lem1N  39585