Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mapdval4N Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mapdval4N 40503
Description: Value of projectivity from vector space H to dual space. TODO: 1. This is shorter than others - make it the official def? (but is not as obvious that it is βŠ† 𝐢) 2. The unneeded direction of lcfl8a 40374 has awkward βˆƒ- add another thm with only one direction of it? 3. Swap π‘‚β€˜{𝑣} and πΏβ€˜π‘“? (Contributed by NM, 31-Jan-2015.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
mapdval4.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
mapdval4.u π‘ˆ = ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
mapdval4.s 𝑆 = (LSubSpβ€˜π‘ˆ)
mapdval4.f 𝐹 = (LFnlβ€˜π‘ˆ)
mapdval4.l 𝐿 = (LKerβ€˜π‘ˆ)
mapdval4.o 𝑂 = ((ocHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
mapdval4.m 𝑀 = ((mapdβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
mapdval4.k (πœ‘ β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
mapdval4.t (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ 𝑆)
Assertion
Ref Expression
mapdval4N (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜π‘‡) = {𝑓 ∈ 𝐹 ∣ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑇 (π‘‚β€˜{𝑣}) = (πΏβ€˜π‘“)})
Distinct variable groups:   𝑣,𝑓,𝐹   𝑓,𝐾   𝑣,𝐿   𝑣,𝑂   𝑇,𝑓,𝑣   𝑣,π‘ˆ   𝑓,π‘Š   πœ‘,𝑓,𝑣
Allowed substitution hints:   𝑆(𝑣,𝑓)   π‘ˆ(𝑓)   𝐻(𝑣,𝑓)   𝐾(𝑣)   𝐿(𝑓)   𝑀(𝑣,𝑓)   𝑂(𝑓)   π‘Š(𝑣)

Proof of Theorem mapdval4N
Dummy variables 𝑔 𝑀 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mapdval4.h . . 3 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
2 mapdval4.u . . 3 π‘ˆ = ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
3 mapdval4.s . . 3 𝑆 = (LSubSpβ€˜π‘ˆ)
4 eqid 2733 . . 3 (LSpanβ€˜π‘ˆ) = (LSpanβ€˜π‘ˆ)
5 mapdval4.f . . 3 𝐹 = (LFnlβ€˜π‘ˆ)
6 mapdval4.l . . 3 𝐿 = (LKerβ€˜π‘ˆ)
7 mapdval4.o . . 3 𝑂 = ((ocHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
8 mapdval4.m . . 3 𝑀 = ((mapdβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
9 mapdval4.k . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
10 mapdval4.t . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ 𝑆)
11 eqid 2733 . . 3 {𝑔 ∈ 𝐹 ∣ (π‘‚β€˜(π‘‚β€˜(πΏβ€˜π‘”))) = (πΏβ€˜π‘”)} = {𝑔 ∈ 𝐹 ∣ (π‘‚β€˜(π‘‚β€˜(πΏβ€˜π‘”))) = (πΏβ€˜π‘”)}
121, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11mapdval2N 40501 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜π‘‡) = {𝑓 ∈ {𝑔 ∈ 𝐹 ∣ (π‘‚β€˜(π‘‚β€˜(πΏβ€˜π‘”))) = (πΏβ€˜π‘”)} ∣ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑇 (π‘‚β€˜(πΏβ€˜π‘“)) = ((LSpanβ€˜π‘ˆ)β€˜{𝑣})})
1311lcfl1lem 40362 . . . . . 6 (𝑓 ∈ {𝑔 ∈ 𝐹 ∣ (π‘‚β€˜(π‘‚β€˜(πΏβ€˜π‘”))) = (πΏβ€˜π‘”)} ↔ (𝑓 ∈ 𝐹 ∧ (π‘‚β€˜(π‘‚β€˜(πΏβ€˜π‘“))) = (πΏβ€˜π‘“)))
1413anbi1i 625 . . . . 5 ((𝑓 ∈ {𝑔 ∈ 𝐹 ∣ (π‘‚β€˜(π‘‚β€˜(πΏβ€˜π‘”))) = (πΏβ€˜π‘”)} ∧ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑇 (π‘‚β€˜(πΏβ€˜π‘“)) = ((LSpanβ€˜π‘ˆ)β€˜{𝑣})) ↔ ((𝑓 ∈ 𝐹 ∧ (π‘‚β€˜(π‘‚β€˜(πΏβ€˜π‘“))) = (πΏβ€˜π‘“)) ∧ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑇 (π‘‚β€˜(πΏβ€˜π‘“)) = ((LSpanβ€˜π‘ˆ)β€˜{𝑣})))
15 anass 470 . . . . 5 (((𝑓 ∈ 𝐹 ∧ (π‘‚β€˜(π‘‚β€˜(πΏβ€˜π‘“))) = (πΏβ€˜π‘“)) ∧ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑇 (π‘‚β€˜(πΏβ€˜π‘“)) = ((LSpanβ€˜π‘ˆ)β€˜{𝑣})) ↔ (𝑓 ∈ 𝐹 ∧ ((π‘‚β€˜(π‘‚β€˜(πΏβ€˜π‘“))) = (πΏβ€˜π‘“) ∧ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑇 (π‘‚β€˜(πΏβ€˜π‘“)) = ((LSpanβ€˜π‘ˆ)β€˜{𝑣}))))
1614, 15bitri 275 . . . 4 ((𝑓 ∈ {𝑔 ∈ 𝐹 ∣ (π‘‚β€˜(π‘‚β€˜(πΏβ€˜π‘”))) = (πΏβ€˜π‘”)} ∧ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑇 (π‘‚β€˜(πΏβ€˜π‘“)) = ((LSpanβ€˜π‘ˆ)β€˜{𝑣})) ↔ (𝑓 ∈ 𝐹 ∧ ((π‘‚β€˜(π‘‚β€˜(πΏβ€˜π‘“))) = (πΏβ€˜π‘“) ∧ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑇 (π‘‚β€˜(πΏβ€˜π‘“)) = ((LSpanβ€˜π‘ˆ)β€˜{𝑣}))))
17 r19.42v 3191 . . . . . 6 (βˆƒπ‘£ ∈ 𝑇 ((π‘‚β€˜(π‘‚β€˜(πΏβ€˜π‘“))) = (πΏβ€˜π‘“) ∧ (π‘‚β€˜(πΏβ€˜π‘“)) = ((LSpanβ€˜π‘ˆ)β€˜{𝑣})) ↔ ((π‘‚β€˜(π‘‚β€˜(πΏβ€˜π‘“))) = (πΏβ€˜π‘“) ∧ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑇 (π‘‚β€˜(πΏβ€˜π‘“)) = ((LSpanβ€˜π‘ˆ)β€˜{𝑣})))
18 simprr 772 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐹) ∧ 𝑣 ∈ 𝑇) ∧ ((π‘‚β€˜(π‘‚β€˜(πΏβ€˜π‘“))) = (πΏβ€˜π‘“) ∧ (π‘‚β€˜(πΏβ€˜π‘“)) = ((LSpanβ€˜π‘ˆ)β€˜{𝑣}))) β†’ (π‘‚β€˜(πΏβ€˜π‘“)) = ((LSpanβ€˜π‘ˆ)β€˜{𝑣}))
1918fveq2d 6896 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐹) ∧ 𝑣 ∈ 𝑇) ∧ ((π‘‚β€˜(π‘‚β€˜(πΏβ€˜π‘“))) = (πΏβ€˜π‘“) ∧ (π‘‚β€˜(πΏβ€˜π‘“)) = ((LSpanβ€˜π‘ˆ)β€˜{𝑣}))) β†’ (π‘‚β€˜(π‘‚β€˜(πΏβ€˜π‘“))) = (π‘‚β€˜((LSpanβ€˜π‘ˆ)β€˜{𝑣})))
20 simprl 770 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐹) ∧ 𝑣 ∈ 𝑇) ∧ ((π‘‚β€˜(π‘‚β€˜(πΏβ€˜π‘“))) = (πΏβ€˜π‘“) ∧ (π‘‚β€˜(πΏβ€˜π‘“)) = ((LSpanβ€˜π‘ˆ)β€˜{𝑣}))) β†’ (π‘‚β€˜(π‘‚β€˜(πΏβ€˜π‘“))) = (πΏβ€˜π‘“))
21 eqid 2733 . . . . . . . . . 10 (Baseβ€˜π‘ˆ) = (Baseβ€˜π‘ˆ)
229adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐹) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
2322adantr 482 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐹) ∧ 𝑣 ∈ 𝑇) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
2423adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐹) ∧ 𝑣 ∈ 𝑇) ∧ ((π‘‚β€˜(π‘‚β€˜(πΏβ€˜π‘“))) = (πΏβ€˜π‘“) ∧ (π‘‚β€˜(πΏβ€˜π‘“)) = ((LSpanβ€˜π‘ˆ)β€˜{𝑣}))) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
2510adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐹) β†’ 𝑇 ∈ 𝑆)
2621, 3lssel 20548 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑇 ∈ 𝑆 ∧ 𝑣 ∈ 𝑇) β†’ 𝑣 ∈ (Baseβ€˜π‘ˆ))
2725, 26sylan 581 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐹) ∧ 𝑣 ∈ 𝑇) β†’ 𝑣 ∈ (Baseβ€˜π‘ˆ))
2827snssd 4813 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐹) ∧ 𝑣 ∈ 𝑇) β†’ {𝑣} βŠ† (Baseβ€˜π‘ˆ))
2928adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐹) ∧ 𝑣 ∈ 𝑇) ∧ ((π‘‚β€˜(π‘‚β€˜(πΏβ€˜π‘“))) = (πΏβ€˜π‘“) ∧ (π‘‚β€˜(πΏβ€˜π‘“)) = ((LSpanβ€˜π‘ˆ)β€˜{𝑣}))) β†’ {𝑣} βŠ† (Baseβ€˜π‘ˆ))
301, 2, 7, 21, 4, 24, 29dochocsp 40250 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐹) ∧ 𝑣 ∈ 𝑇) ∧ ((π‘‚β€˜(π‘‚β€˜(πΏβ€˜π‘“))) = (πΏβ€˜π‘“) ∧ (π‘‚β€˜(πΏβ€˜π‘“)) = ((LSpanβ€˜π‘ˆ)β€˜{𝑣}))) β†’ (π‘‚β€˜((LSpanβ€˜π‘ˆ)β€˜{𝑣})) = (π‘‚β€˜{𝑣}))
3119, 20, 303eqtr3rd 2782 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐹) ∧ 𝑣 ∈ 𝑇) ∧ ((π‘‚β€˜(π‘‚β€˜(πΏβ€˜π‘“))) = (πΏβ€˜π‘“) ∧ (π‘‚β€˜(πΏβ€˜π‘“)) = ((LSpanβ€˜π‘ˆ)β€˜{𝑣}))) β†’ (π‘‚β€˜{𝑣}) = (πΏβ€˜π‘“))
3227adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐹) ∧ 𝑣 ∈ 𝑇) ∧ (π‘‚β€˜{𝑣}) = (πΏβ€˜π‘“)) β†’ 𝑣 ∈ (Baseβ€˜π‘ˆ))
33 simpr 486 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐹) ∧ 𝑣 ∈ 𝑇) ∧ (π‘‚β€˜{𝑣}) = (πΏβ€˜π‘“)) β†’ (π‘‚β€˜{𝑣}) = (πΏβ€˜π‘“))
3433eqcomd 2739 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐹) ∧ 𝑣 ∈ 𝑇) ∧ (π‘‚β€˜{𝑣}) = (πΏβ€˜π‘“)) β†’ (πΏβ€˜π‘“) = (π‘‚β€˜{𝑣}))
35 sneq 4639 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 = 𝑣 β†’ {𝑀} = {𝑣})
3635fveq2d 6896 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 = 𝑣 β†’ (π‘‚β€˜{𝑀}) = (π‘‚β€˜{𝑣}))
3736rspceeqv 3634 . . . . . . . . . . 11 ((𝑣 ∈ (Baseβ€˜π‘ˆ) ∧ (πΏβ€˜π‘“) = (π‘‚β€˜{𝑣})) β†’ βˆƒπ‘€ ∈ (Baseβ€˜π‘ˆ)(πΏβ€˜π‘“) = (π‘‚β€˜{𝑀}))
3832, 34, 37syl2anc 585 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐹) ∧ 𝑣 ∈ 𝑇) ∧ (π‘‚β€˜{𝑣}) = (πΏβ€˜π‘“)) β†’ βˆƒπ‘€ ∈ (Baseβ€˜π‘ˆ)(πΏβ€˜π‘“) = (π‘‚β€˜{𝑀}))
3923adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐹) ∧ 𝑣 ∈ 𝑇) ∧ (π‘‚β€˜{𝑣}) = (πΏβ€˜π‘“)) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
40 simpllr 775 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐹) ∧ 𝑣 ∈ 𝑇) ∧ (π‘‚β€˜{𝑣}) = (πΏβ€˜π‘“)) β†’ 𝑓 ∈ 𝐹)
411, 7, 2, 21, 5, 6, 39, 40lcfl8a 40374 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐹) ∧ 𝑣 ∈ 𝑇) ∧ (π‘‚β€˜{𝑣}) = (πΏβ€˜π‘“)) β†’ ((π‘‚β€˜(π‘‚β€˜(πΏβ€˜π‘“))) = (πΏβ€˜π‘“) ↔ βˆƒπ‘€ ∈ (Baseβ€˜π‘ˆ)(πΏβ€˜π‘“) = (π‘‚β€˜{𝑀})))
4238, 41mpbird 257 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐹) ∧ 𝑣 ∈ 𝑇) ∧ (π‘‚β€˜{𝑣}) = (πΏβ€˜π‘“)) β†’ (π‘‚β€˜(π‘‚β€˜(πΏβ€˜π‘“))) = (πΏβ€˜π‘“))
431, 2, 7, 21, 4, 23, 27dochocsn 40252 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐹) ∧ 𝑣 ∈ 𝑇) β†’ (π‘‚β€˜(π‘‚β€˜{𝑣})) = ((LSpanβ€˜π‘ˆ)β€˜{𝑣}))
44 fveq2 6892 . . . . . . . . . . 11 ((π‘‚β€˜{𝑣}) = (πΏβ€˜π‘“) β†’ (π‘‚β€˜(π‘‚β€˜{𝑣})) = (π‘‚β€˜(πΏβ€˜π‘“)))
4543, 44sylan9req 2794 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐹) ∧ 𝑣 ∈ 𝑇) ∧ (π‘‚β€˜{𝑣}) = (πΏβ€˜π‘“)) β†’ ((LSpanβ€˜π‘ˆ)β€˜{𝑣}) = (π‘‚β€˜(πΏβ€˜π‘“)))
4645eqcomd 2739 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐹) ∧ 𝑣 ∈ 𝑇) ∧ (π‘‚β€˜{𝑣}) = (πΏβ€˜π‘“)) β†’ (π‘‚β€˜(πΏβ€˜π‘“)) = ((LSpanβ€˜π‘ˆ)β€˜{𝑣}))
4742, 46jca 513 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐹) ∧ 𝑣 ∈ 𝑇) ∧ (π‘‚β€˜{𝑣}) = (πΏβ€˜π‘“)) β†’ ((π‘‚β€˜(π‘‚β€˜(πΏβ€˜π‘“))) = (πΏβ€˜π‘“) ∧ (π‘‚β€˜(πΏβ€˜π‘“)) = ((LSpanβ€˜π‘ˆ)β€˜{𝑣})))
4831, 47impbida 800 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐹) ∧ 𝑣 ∈ 𝑇) β†’ (((π‘‚β€˜(π‘‚β€˜(πΏβ€˜π‘“))) = (πΏβ€˜π‘“) ∧ (π‘‚β€˜(πΏβ€˜π‘“)) = ((LSpanβ€˜π‘ˆ)β€˜{𝑣})) ↔ (π‘‚β€˜{𝑣}) = (πΏβ€˜π‘“)))
4948rexbidva 3177 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐹) β†’ (βˆƒπ‘£ ∈ 𝑇 ((π‘‚β€˜(π‘‚β€˜(πΏβ€˜π‘“))) = (πΏβ€˜π‘“) ∧ (π‘‚β€˜(πΏβ€˜π‘“)) = ((LSpanβ€˜π‘ˆ)β€˜{𝑣})) ↔ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑇 (π‘‚β€˜{𝑣}) = (πΏβ€˜π‘“)))
5017, 49bitr3id 285 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐹) β†’ (((π‘‚β€˜(π‘‚β€˜(πΏβ€˜π‘“))) = (πΏβ€˜π‘“) ∧ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑇 (π‘‚β€˜(πΏβ€˜π‘“)) = ((LSpanβ€˜π‘ˆ)β€˜{𝑣})) ↔ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑇 (π‘‚β€˜{𝑣}) = (πΏβ€˜π‘“)))
5150pm5.32da 580 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝑓 ∈ 𝐹 ∧ ((π‘‚β€˜(π‘‚β€˜(πΏβ€˜π‘“))) = (πΏβ€˜π‘“) ∧ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑇 (π‘‚β€˜(πΏβ€˜π‘“)) = ((LSpanβ€˜π‘ˆ)β€˜{𝑣}))) ↔ (𝑓 ∈ 𝐹 ∧ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑇 (π‘‚β€˜{𝑣}) = (πΏβ€˜π‘“))))
5216, 51bitrid 283 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝑓 ∈ {𝑔 ∈ 𝐹 ∣ (π‘‚β€˜(π‘‚β€˜(πΏβ€˜π‘”))) = (πΏβ€˜π‘”)} ∧ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑇 (π‘‚β€˜(πΏβ€˜π‘“)) = ((LSpanβ€˜π‘ˆ)β€˜{𝑣})) ↔ (𝑓 ∈ 𝐹 ∧ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑇 (π‘‚β€˜{𝑣}) = (πΏβ€˜π‘“))))
5352rabbidva2 3435 . 2 (πœ‘ β†’ {𝑓 ∈ {𝑔 ∈ 𝐹 ∣ (π‘‚β€˜(π‘‚β€˜(πΏβ€˜π‘”))) = (πΏβ€˜π‘”)} ∣ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑇 (π‘‚β€˜(πΏβ€˜π‘“)) = ((LSpanβ€˜π‘ˆ)β€˜{𝑣})} = {𝑓 ∈ 𝐹 ∣ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑇 (π‘‚β€˜{𝑣}) = (πΏβ€˜π‘“)})
5412, 53eqtrd 2773 1 (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜π‘‡) = {𝑓 ∈ 𝐹 ∣ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑇 (π‘‚β€˜{𝑣}) = (πΏβ€˜π‘“)})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆƒwrex 3071  {crab 3433   βŠ† wss 3949  {csn 4629  β€˜cfv 6544  Basecbs 17144  LSubSpclss 20542  LSpanclspn 20582  LFnlclfn 37927  LKerclk 37955  HLchlt 38220  LHypclh 38855  DVecHcdvh 39949  ocHcoch 40218  mapdcmpd 40495
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-riotaBAD 37823
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-tpos 8211  df-undef 8258  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-er 8703  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-fz 13485  df-struct 17080  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-sca 17213  df-vsca 17214  df-0g 17387  df-proset 18248  df-poset 18266  df-plt 18283  df-lub 18299  df-glb 18300  df-join 18301  df-meet 18302  df-p0 18378  df-p1 18379  df-lat 18385  df-clat 18452  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-submnd 18672  df-grp 18822  df-minusg 18823  df-sbg 18824  df-subg 19003  df-cntz 19181  df-lsm 19504  df-cmn 19650  df-abl 19651  df-mgp 19988  df-ur 20005  df-ring 20058  df-oppr 20150  df-dvdsr 20171  df-unit 20172  df-invr 20202  df-dvr 20215  df-drng 20359  df-lmod 20473  df-lss 20543  df-lsp 20583  df-lvec 20714  df-lsatoms 37846  df-lshyp 37847  df-lfl 37928  df-lkr 37956  df-oposet 38046  df-ol 38048  df-oml 38049  df-covers 38136  df-ats 38137  df-atl 38168  df-cvlat 38192  df-hlat 38221  df-llines 38369  df-lplanes 38370  df-lvols 38371  df-lines 38372  df-psubsp 38374  df-pmap 38375  df-padd 38667  df-lhyp 38859  df-laut 38860  df-ldil 38975  df-ltrn 38976  df-trl 39030  df-tgrp 39614  df-tendo 39626  df-edring 39628  df-dveca 39874  df-disoa 39900  df-dvech 39950  df-dib 40010  df-dic 40044  df-dih 40100  df-doch 40219  df-djh 40266  df-mapd 40496
This theorem is referenced by:  mapdval5N  40504  mapd1dim2lem1N  40515
  Copyright terms: Public domain W3C validator