Theorem mapdval4N 40095

Description: Value of projectivity from vector space H to dual space. TODO: 1. This is shorter than others - make it the official def? (but is not as obvious that it is ⊆ 𝐶) 2. The unneeded direction of lcfl8a 39966 has awkward ∃- add another thm with only one direction of it? 3. Swap 𝑂‘{𝑣} and 𝐿‘𝑓? (Contributed by NM, 31-Jan-2015.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
mapdval4.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
mapdval4.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
mapdval4.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑈)
mapdval4.f	⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
mapdval4.l	⊢ 𝐿 = (LKer‘𝑈)
mapdval4.o	⊢ 𝑂 = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
mapdval4.m	⊢ 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
mapdval4.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
mapdval4.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
mapdval4N	⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝑇) = {𝑓 ∈ 𝐹 ∣ ∃𝑣 ∈ 𝑇 (𝑂‘{𝑣}) = (𝐿‘𝑓)})

Distinct variable groups:   𝑣,𝑓,𝐹   𝑓,𝐾   𝑣,𝐿   𝑣,𝑂   𝑇,𝑓,𝑣   𝑣,𝑈   𝑓,𝑊   𝜑,𝑓,𝑣

Allowed substitution hints:   𝑆(𝑣,𝑓)   𝑈(𝑓)   𝐻(𝑣,𝑓)   𝐾(𝑣)   𝐿(𝑓)   𝑀(𝑣,𝑓)   𝑂(𝑓)   𝑊(𝑣)

Proof of Theorem mapdval4N

Dummy variables 𝑔 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mapdval4.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		mapdval4.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
3		mapdval4.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑈)
4		eqid 2736	. . 3 ⊢ (LSpan‘𝑈) = (LSpan‘𝑈)
5		mapdval4.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
6		mapdval4.l	. . 3 ⊢ 𝐿 = (LKer‘𝑈)
7		mapdval4.o	. . 3 ⊢ 𝑂 = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
8		mapdval4.m	. . 3 ⊢ 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
9		mapdval4.k	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
10		mapdval4.t	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝑆)
11		eqid 2736	. . 3 ⊢ {𝑔 ∈ 𝐹 ∣ (𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑔))) = (𝐿‘𝑔)} = {𝑔 ∈ 𝐹 ∣ (𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑔))) = (𝐿‘𝑔)}
12	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11	mapdval2N 40093	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝑇) = {𝑓 ∈ {𝑔 ∈ 𝐹 ∣ (𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑔))) = (𝐿‘𝑔)} ∣ ∃𝑣 ∈ 𝑇 (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑣})})
13	11	lcfl1lem 39954	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 ∈ {𝑔 ∈ 𝐹 ∣ (𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑔))) = (𝐿‘𝑔)} ↔ (𝑓 ∈ 𝐹 ∧ (𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓)))
14	13	anbi1i 624	. . . . 5 ⊢ ((𝑓 ∈ {𝑔 ∈ 𝐹 ∣ (𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑔))) = (𝐿‘𝑔)} ∧ ∃𝑣 ∈ 𝑇 (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑣})) ↔ ((𝑓 ∈ 𝐹 ∧ (𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓)) ∧ ∃𝑣 ∈ 𝑇 (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑣})))
15		anass 469	. . . . 5 ⊢ (((𝑓 ∈ 𝐹 ∧ (𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓)) ∧ ∃𝑣 ∈ 𝑇 (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑣})) ↔ (𝑓 ∈ 𝐹 ∧ ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓) ∧ ∃𝑣 ∈ 𝑇 (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑣}))))
16	14, 15	bitri 274	. . . 4 ⊢ ((𝑓 ∈ {𝑔 ∈ 𝐹 ∣ (𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑔))) = (𝐿‘𝑔)} ∧ ∃𝑣 ∈ 𝑇 (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑣})) ↔ (𝑓 ∈ 𝐹 ∧ ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓) ∧ ∃𝑣 ∈ 𝑇 (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑣}))))
17		r19.42v 3187	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑣 ∈ 𝑇 ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑣})) ↔ ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓) ∧ ∃𝑣 ∈ 𝑇 (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑣})))
18		simprr 771	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐹) ∧ 𝑣 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑣}))) → (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑣}))
19	18	fveq2d 6846	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐹) ∧ 𝑣 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑣}))) → (𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑓))) = (𝑂‘((LSpan‘𝑈)‘{𝑣})))
20		simprl 769	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐹) ∧ 𝑣 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑣}))) → (𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓))
21		eqid 2736	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘𝑈) = (Base‘𝑈)
22	9	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐹) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
23	22	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐹) ∧ 𝑣 ∈ 𝑇) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
24	23	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐹) ∧ 𝑣 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑣}))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
25	10	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐹) → 𝑇 ∈ 𝑆)
26	21, 3	lssel 20398	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑇 ∈ 𝑆 ∧ 𝑣 ∈ 𝑇) → 𝑣 ∈ (Base‘𝑈))
27	25, 26	sylan 580	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐹) ∧ 𝑣 ∈ 𝑇) → 𝑣 ∈ (Base‘𝑈))
28	27	snssd 4769	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐹) ∧ 𝑣 ∈ 𝑇) → {𝑣} ⊆ (Base‘𝑈))
29	28	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐹) ∧ 𝑣 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑣}))) → {𝑣} ⊆ (Base‘𝑈))
30	1, 2, 7, 21, 4, 24, 29	dochocsp 39842	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐹) ∧ 𝑣 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑣}))) → (𝑂‘((LSpan‘𝑈)‘{𝑣})) = (𝑂‘{𝑣}))
31	19, 20, 30	3eqtr3rd 2785	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐹) ∧ 𝑣 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑣}))) → (𝑂‘{𝑣}) = (𝐿‘𝑓))
32	27	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐹) ∧ 𝑣 ∈ 𝑇) ∧ (𝑂‘{𝑣}) = (𝐿‘𝑓)) → 𝑣 ∈ (Base‘𝑈))
33		simpr 485	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐹) ∧ 𝑣 ∈ 𝑇) ∧ (𝑂‘{𝑣}) = (𝐿‘𝑓)) → (𝑂‘{𝑣}) = (𝐿‘𝑓))
34	33	eqcomd 2742	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐹) ∧ 𝑣 ∈ 𝑇) ∧ (𝑂‘{𝑣}) = (𝐿‘𝑓)) → (𝐿‘𝑓) = (𝑂‘{𝑣}))
35		sneq 4596	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑤 = 𝑣 → {𝑤} = {𝑣})
36	35	fveq2d 6846	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑤 = 𝑣 → (𝑂‘{𝑤}) = (𝑂‘{𝑣}))
37	36	rspceeqv 3595	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑣 ∈ (Base‘𝑈) ∧ (𝐿‘𝑓) = (𝑂‘{𝑣})) → ∃𝑤 ∈ (Base‘𝑈)(𝐿‘𝑓) = (𝑂‘{𝑤}))
38	32, 34, 37	syl2anc 584	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐹) ∧ 𝑣 ∈ 𝑇) ∧ (𝑂‘{𝑣}) = (𝐿‘𝑓)) → ∃𝑤 ∈ (Base‘𝑈)(𝐿‘𝑓) = (𝑂‘{𝑤}))
39	23	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐹) ∧ 𝑣 ∈ 𝑇) ∧ (𝑂‘{𝑣}) = (𝐿‘𝑓)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
40		simpllr 774	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐹) ∧ 𝑣 ∈ 𝑇) ∧ (𝑂‘{𝑣}) = (𝐿‘𝑓)) → 𝑓 ∈ 𝐹)
41	1, 7, 2, 21, 5, 6, 39, 40	lcfl8a 39966	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐹) ∧ 𝑣 ∈ 𝑇) ∧ (𝑂‘{𝑣}) = (𝐿‘𝑓)) → ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓) ↔ ∃𝑤 ∈ (Base‘𝑈)(𝐿‘𝑓) = (𝑂‘{𝑤})))
42	38, 41	mpbird 256	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐹) ∧ 𝑣 ∈ 𝑇) ∧ (𝑂‘{𝑣}) = (𝐿‘𝑓)) → (𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓))
43	1, 2, 7, 21, 4, 23, 27	dochocsn 39844	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐹) ∧ 𝑣 ∈ 𝑇) → (𝑂‘(𝑂‘{𝑣})) = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑣}))
44		fveq2 6842	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑂‘{𝑣}) = (𝐿‘𝑓) → (𝑂‘(𝑂‘{𝑣})) = (𝑂‘(𝐿‘𝑓)))
45	43, 44	sylan9req 2797	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐹) ∧ 𝑣 ∈ 𝑇) ∧ (𝑂‘{𝑣}) = (𝐿‘𝑓)) → ((LSpan‘𝑈)‘{𝑣}) = (𝑂‘(𝐿‘𝑓)))
46	45	eqcomd 2742	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐹) ∧ 𝑣 ∈ 𝑇) ∧ (𝑂‘{𝑣}) = (𝐿‘𝑓)) → (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑣}))
47	42, 46	jca 512	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐹) ∧ 𝑣 ∈ 𝑇) ∧ (𝑂‘{𝑣}) = (𝐿‘𝑓)) → ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑣})))
48	31, 47	impbida 799	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐹) ∧ 𝑣 ∈ 𝑇) → (((𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑣})) ↔ (𝑂‘{𝑣}) = (𝐿‘𝑓)))
49	48	rexbidva 3173	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐹) → (∃𝑣 ∈ 𝑇 ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑣})) ↔ ∃𝑣 ∈ 𝑇 (𝑂‘{𝑣}) = (𝐿‘𝑓)))
50	17, 49	bitr3id 284	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐹) → (((𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓) ∧ ∃𝑣 ∈ 𝑇 (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑣})) ↔ ∃𝑣 ∈ 𝑇 (𝑂‘{𝑣}) = (𝐿‘𝑓)))
51	50	pm5.32da 579	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑓 ∈ 𝐹 ∧ ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓) ∧ ∃𝑣 ∈ 𝑇 (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑣}))) ↔ (𝑓 ∈ 𝐹 ∧ ∃𝑣 ∈ 𝑇 (𝑂‘{𝑣}) = (𝐿‘𝑓))))
52	16, 51	bitrid 282	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑓 ∈ {𝑔 ∈ 𝐹 ∣ (𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑔))) = (𝐿‘𝑔)} ∧ ∃𝑣 ∈ 𝑇 (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑣})) ↔ (𝑓 ∈ 𝐹 ∧ ∃𝑣 ∈ 𝑇 (𝑂‘{𝑣}) = (𝐿‘𝑓))))
53	52	rabbidva2 3409	. 2 ⊢ (𝜑 → {𝑓 ∈ {𝑔 ∈ 𝐹 ∣ (𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑔))) = (𝐿‘𝑔)} ∣ ∃𝑣 ∈ 𝑇 (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑣})} = {𝑓 ∈ 𝐹 ∣ ∃𝑣 ∈ 𝑇 (𝑂‘{𝑣}) = (𝐿‘𝑓)})
54	12, 53	eqtrd 2776	1 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝑇) = {𝑓 ∈ 𝐹 ∣ ∃𝑣 ∈ 𝑇 (𝑂‘{𝑣}) = (𝐿‘𝑓)})

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ∃wrex 3073  {crab 3407   ⊆ wss 3910  {csn 4586  ‘cfv 6496  Basecbs 17083  LSubSpclss 20392  LSpanclspn 20432  LFnlclfn 37519  LKerclk 37547  HLchlt 37812  LHypclh 38447  DVecHcdvh 39541  ocHcoch 39810  mapdcmpd 40087

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-riotaBAD 37415

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-tpos 8157  df-undef 8204  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-er 8648  df-map 8767  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-fz 13425  df-struct 17019  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-sca 17149  df-vsca 17150  df-0g 17323  df-proset 18184  df-poset 18202  df-plt 18219  df-lub 18235  df-glb 18236  df-join 18237  df-meet 18238  df-p0 18314  df-p1 18315  df-lat 18321  df-clat 18388  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-submnd 18602  df-grp 18751  df-minusg 18752  df-sbg 18753  df-subg 18925  df-cntz 19097  df-lsm 19418  df-cmn 19564  df-abl 19565  df-mgp 19897  df-ur 19914  df-ring 19966  df-oppr 20049  df-dvdsr 20070  df-unit 20071  df-invr 20101  df-dvr 20112  df-drng 20187  df-lmod 20324  df-lss 20393  df-lsp 20433  df-lvec 20564  df-lsatoms 37438  df-lshyp 37439  df-lfl 37520  df-lkr 37548  df-oposet 37638  df-ol 37640  df-oml 37641  df-covers 37728  df-ats 37729  df-atl 37760  df-cvlat 37784  df-hlat 37813  df-llines 37961  df-lplanes 37962  df-lvols 37963  df-lines 37964  df-psubsp 37966  df-pmap 37967  df-padd 38259  df-lhyp 38451  df-laut 38452  df-ldil 38567  df-ltrn 38568  df-trl 38622  df-tgrp 39206  df-tendo 39218  df-edring 39220  df-dveca 39466  df-disoa 39492  df-dvech 39542  df-dib 39602  df-dic 39636  df-dih 39692  df-doch 39811  df-djh 39858  df-mapd 40088

This theorem is referenced by:  mapdval5N  40096  mapd1dim2lem1N  40107