Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mapdval4N Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mapdval4N 40033
Description: Value of projectivity from vector space H to dual space. TODO: 1. This is shorter than others - make it the official def? (but is not as obvious that it is 𝐶) 2. The unneeded direction of lcfl8a 39904 has awkward - add another thm with only one direction of it? 3. Swap 𝑂‘{𝑣} and 𝐿𝑓? (Contributed by NM, 31-Jan-2015.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
mapdval4.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
mapdval4.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
mapdval4.s 𝑆 = (LSubSp‘𝑈)
mapdval4.f 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
mapdval4.l 𝐿 = (LKer‘𝑈)
mapdval4.o 𝑂 = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
mapdval4.m 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
mapdval4.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
mapdval4.t (𝜑𝑇𝑆)
Assertion
Ref Expression
mapdval4N (𝜑 → (𝑀𝑇) = {𝑓𝐹 ∣ ∃𝑣𝑇 (𝑂‘{𝑣}) = (𝐿𝑓)})
Distinct variable groups:   𝑣,𝑓,𝐹   𝑓,𝐾   𝑣,𝐿   𝑣,𝑂   𝑇,𝑓,𝑣   𝑣,𝑈   𝑓,𝑊   𝜑,𝑓,𝑣
Allowed substitution hints:   𝑆(𝑣,𝑓)   𝑈(𝑓)   𝐻(𝑣,𝑓)   𝐾(𝑣)   𝐿(𝑓)   𝑀(𝑣,𝑓)   𝑂(𝑓)   𝑊(𝑣)

Proof of Theorem mapdval4N
Dummy variables 𝑔 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mapdval4.h . . 3 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2 mapdval4.u . . 3 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
3 mapdval4.s . . 3 𝑆 = (LSubSp‘𝑈)
4 eqid 2737 . . 3 (LSpan‘𝑈) = (LSpan‘𝑈)
5 mapdval4.f . . 3 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
6 mapdval4.l . . 3 𝐿 = (LKer‘𝑈)
7 mapdval4.o . . 3 𝑂 = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
8 mapdval4.m . . 3 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
9 mapdval4.k . . 3 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
10 mapdval4.t . . 3 (𝜑𝑇𝑆)
11 eqid 2737 . . 3 {𝑔𝐹 ∣ (𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝑔))) = (𝐿𝑔)} = {𝑔𝐹 ∣ (𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝑔))) = (𝐿𝑔)}
121, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11mapdval2N 40031 . 2 (𝜑 → (𝑀𝑇) = {𝑓 ∈ {𝑔𝐹 ∣ (𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝑔))) = (𝐿𝑔)} ∣ ∃𝑣𝑇 (𝑂‘(𝐿𝑓)) = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑣})})
1311lcfl1lem 39892 . . . . . 6 (𝑓 ∈ {𝑔𝐹 ∣ (𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝑔))) = (𝐿𝑔)} ↔ (𝑓𝐹 ∧ (𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝑓))) = (𝐿𝑓)))
1413anbi1i 624 . . . . 5 ((𝑓 ∈ {𝑔𝐹 ∣ (𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝑔))) = (𝐿𝑔)} ∧ ∃𝑣𝑇 (𝑂‘(𝐿𝑓)) = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑣})) ↔ ((𝑓𝐹 ∧ (𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝑓))) = (𝐿𝑓)) ∧ ∃𝑣𝑇 (𝑂‘(𝐿𝑓)) = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑣})))
15 anass 469 . . . . 5 (((𝑓𝐹 ∧ (𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝑓))) = (𝐿𝑓)) ∧ ∃𝑣𝑇 (𝑂‘(𝐿𝑓)) = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑣})) ↔ (𝑓𝐹 ∧ ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝑓))) = (𝐿𝑓) ∧ ∃𝑣𝑇 (𝑂‘(𝐿𝑓)) = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑣}))))
1614, 15bitri 274 . . . 4 ((𝑓 ∈ {𝑔𝐹 ∣ (𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝑔))) = (𝐿𝑔)} ∧ ∃𝑣𝑇 (𝑂‘(𝐿𝑓)) = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑣})) ↔ (𝑓𝐹 ∧ ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝑓))) = (𝐿𝑓) ∧ ∃𝑣𝑇 (𝑂‘(𝐿𝑓)) = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑣}))))
17 r19.42v 3185 . . . . . 6 (∃𝑣𝑇 ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝑓))) = (𝐿𝑓) ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑣})) ↔ ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝑓))) = (𝐿𝑓) ∧ ∃𝑣𝑇 (𝑂‘(𝐿𝑓)) = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑣})))
18 simprr 771 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑓𝐹) ∧ 𝑣𝑇) ∧ ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝑓))) = (𝐿𝑓) ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑣}))) → (𝑂‘(𝐿𝑓)) = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑣}))
1918fveq2d 6843 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑓𝐹) ∧ 𝑣𝑇) ∧ ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝑓))) = (𝐿𝑓) ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑣}))) → (𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝑓))) = (𝑂‘((LSpan‘𝑈)‘{𝑣})))
20 simprl 769 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑓𝐹) ∧ 𝑣𝑇) ∧ ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝑓))) = (𝐿𝑓) ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑣}))) → (𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝑓))) = (𝐿𝑓))
21 eqid 2737 . . . . . . . . . 10 (Base‘𝑈) = (Base‘𝑈)
229adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑓𝐹) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
2322adantr 481 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑓𝐹) ∧ 𝑣𝑇) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
2423adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑓𝐹) ∧ 𝑣𝑇) ∧ ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝑓))) = (𝐿𝑓) ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑣}))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
2510adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑓𝐹) → 𝑇𝑆)
2621, 3lssel 20351 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑇𝑆𝑣𝑇) → 𝑣 ∈ (Base‘𝑈))
2725, 26sylan 580 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑓𝐹) ∧ 𝑣𝑇) → 𝑣 ∈ (Base‘𝑈))
2827snssd 4767 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑓𝐹) ∧ 𝑣𝑇) → {𝑣} ⊆ (Base‘𝑈))
2928adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑓𝐹) ∧ 𝑣𝑇) ∧ ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝑓))) = (𝐿𝑓) ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑣}))) → {𝑣} ⊆ (Base‘𝑈))
301, 2, 7, 21, 4, 24, 29dochocsp 39780 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑓𝐹) ∧ 𝑣𝑇) ∧ ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝑓))) = (𝐿𝑓) ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑣}))) → (𝑂‘((LSpan‘𝑈)‘{𝑣})) = (𝑂‘{𝑣}))
3119, 20, 303eqtr3rd 2786 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑓𝐹) ∧ 𝑣𝑇) ∧ ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝑓))) = (𝐿𝑓) ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑣}))) → (𝑂‘{𝑣}) = (𝐿𝑓))
3227adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑓𝐹) ∧ 𝑣𝑇) ∧ (𝑂‘{𝑣}) = (𝐿𝑓)) → 𝑣 ∈ (Base‘𝑈))
33 simpr 485 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑓𝐹) ∧ 𝑣𝑇) ∧ (𝑂‘{𝑣}) = (𝐿𝑓)) → (𝑂‘{𝑣}) = (𝐿𝑓))
3433eqcomd 2743 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑓𝐹) ∧ 𝑣𝑇) ∧ (𝑂‘{𝑣}) = (𝐿𝑓)) → (𝐿𝑓) = (𝑂‘{𝑣}))
35 sneq 4594 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑤 = 𝑣 → {𝑤} = {𝑣})
3635fveq2d 6843 . . . . . . . . . . . 12 (𝑤 = 𝑣 → (𝑂‘{𝑤}) = (𝑂‘{𝑣}))
3736rspceeqv 3593 . . . . . . . . . . 11 ((𝑣 ∈ (Base‘𝑈) ∧ (𝐿𝑓) = (𝑂‘{𝑣})) → ∃𝑤 ∈ (Base‘𝑈)(𝐿𝑓) = (𝑂‘{𝑤}))
3832, 34, 37syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑓𝐹) ∧ 𝑣𝑇) ∧ (𝑂‘{𝑣}) = (𝐿𝑓)) → ∃𝑤 ∈ (Base‘𝑈)(𝐿𝑓) = (𝑂‘{𝑤}))
3923adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑓𝐹) ∧ 𝑣𝑇) ∧ (𝑂‘{𝑣}) = (𝐿𝑓)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
40 simpllr 774 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑓𝐹) ∧ 𝑣𝑇) ∧ (𝑂‘{𝑣}) = (𝐿𝑓)) → 𝑓𝐹)
411, 7, 2, 21, 5, 6, 39, 40lcfl8a 39904 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑓𝐹) ∧ 𝑣𝑇) ∧ (𝑂‘{𝑣}) = (𝐿𝑓)) → ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝑓))) = (𝐿𝑓) ↔ ∃𝑤 ∈ (Base‘𝑈)(𝐿𝑓) = (𝑂‘{𝑤})))
4238, 41mpbird 256 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑓𝐹) ∧ 𝑣𝑇) ∧ (𝑂‘{𝑣}) = (𝐿𝑓)) → (𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝑓))) = (𝐿𝑓))
431, 2, 7, 21, 4, 23, 27dochocsn 39782 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑓𝐹) ∧ 𝑣𝑇) → (𝑂‘(𝑂‘{𝑣})) = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑣}))
44 fveq2 6839 . . . . . . . . . . 11 ((𝑂‘{𝑣}) = (𝐿𝑓) → (𝑂‘(𝑂‘{𝑣})) = (𝑂‘(𝐿𝑓)))
4543, 44sylan9req 2798 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑓𝐹) ∧ 𝑣𝑇) ∧ (𝑂‘{𝑣}) = (𝐿𝑓)) → ((LSpan‘𝑈)‘{𝑣}) = (𝑂‘(𝐿𝑓)))
4645eqcomd 2743 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑓𝐹) ∧ 𝑣𝑇) ∧ (𝑂‘{𝑣}) = (𝐿𝑓)) → (𝑂‘(𝐿𝑓)) = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑣}))
4742, 46jca 512 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑓𝐹) ∧ 𝑣𝑇) ∧ (𝑂‘{𝑣}) = (𝐿𝑓)) → ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝑓))) = (𝐿𝑓) ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑣})))
4831, 47impbida 799 . . . . . . 7 (((𝜑𝑓𝐹) ∧ 𝑣𝑇) → (((𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝑓))) = (𝐿𝑓) ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑣})) ↔ (𝑂‘{𝑣}) = (𝐿𝑓)))
4948rexbidva 3171 . . . . . 6 ((𝜑𝑓𝐹) → (∃𝑣𝑇 ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝑓))) = (𝐿𝑓) ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑣})) ↔ ∃𝑣𝑇 (𝑂‘{𝑣}) = (𝐿𝑓)))
5017, 49bitr3id 284 . . . . 5 ((𝜑𝑓𝐹) → (((𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝑓))) = (𝐿𝑓) ∧ ∃𝑣𝑇 (𝑂‘(𝐿𝑓)) = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑣})) ↔ ∃𝑣𝑇 (𝑂‘{𝑣}) = (𝐿𝑓)))
5150pm5.32da 579 . . . 4 (𝜑 → ((𝑓𝐹 ∧ ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝑓))) = (𝐿𝑓) ∧ ∃𝑣𝑇 (𝑂‘(𝐿𝑓)) = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑣}))) ↔ (𝑓𝐹 ∧ ∃𝑣𝑇 (𝑂‘{𝑣}) = (𝐿𝑓))))
5216, 51bitrid 282 . . 3 (𝜑 → ((𝑓 ∈ {𝑔𝐹 ∣ (𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝑔))) = (𝐿𝑔)} ∧ ∃𝑣𝑇 (𝑂‘(𝐿𝑓)) = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑣})) ↔ (𝑓𝐹 ∧ ∃𝑣𝑇 (𝑂‘{𝑣}) = (𝐿𝑓))))
5352rabbidva2 3407 . 2 (𝜑 → {𝑓 ∈ {𝑔𝐹 ∣ (𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝑔))) = (𝐿𝑔)} ∣ ∃𝑣𝑇 (𝑂‘(𝐿𝑓)) = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑣})} = {𝑓𝐹 ∣ ∃𝑣𝑇 (𝑂‘{𝑣}) = (𝐿𝑓)})
5412, 53eqtrd 2777 1 (𝜑 → (𝑀𝑇) = {𝑓𝐹 ∣ ∃𝑣𝑇 (𝑂‘{𝑣}) = (𝐿𝑓)})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  wrex 3071  {crab 3405  wss 3908  {csn 4584  cfv 6493  Basecbs 17043  LSubSpclss 20345  LSpanclspn 20385  LFnlclfn 37457  LKerclk 37485  HLchlt 37750  LHypclh 38385  DVecHcdvh 39479  ocHcoch 39748  mapdcmpd 40025
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-rep 5240  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7664  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086  ax-riotaBAD 37353
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4864  df-int 4906  df-iun 4954  df-iin 4955  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-tr 5221  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6251  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6445  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7307  df-ov 7354  df-oprab 7355  df-mpo 7356  df-om 7795  df-1st 7913  df-2nd 7914  df-tpos 8149  df-undef 8196  df-frecs 8204  df-wrecs 8235  df-recs 8309  df-rdg 8348  df-1o 8404  df-er 8606  df-map 8725  df-en 8842  df-dom 8843  df-sdom 8844  df-fin 8845  df-pnf 11149  df-mnf 11150  df-xr 11151  df-ltxr 11152  df-le 11153  df-sub 11345  df-neg 11346  df-nn 12112  df-2 12174  df-3 12175  df-4 12176  df-5 12177  df-6 12178  df-n0 12372  df-z 12458  df-uz 12722  df-fz 13379  df-struct 16979  df-sets 16996  df-slot 17014  df-ndx 17026  df-base 17044  df-ress 17073  df-plusg 17106  df-mulr 17107  df-sca 17109  df-vsca 17110  df-0g 17283  df-proset 18144  df-poset 18162  df-plt 18179  df-lub 18195  df-glb 18196  df-join 18197  df-meet 18198  df-p0 18274  df-p1 18275  df-lat 18281  df-clat 18348  df-mgm 18457  df-sgrp 18506  df-mnd 18517  df-submnd 18562  df-grp 18711  df-minusg 18712  df-sbg 18713  df-subg 18884  df-cntz 19056  df-lsm 19377  df-cmn 19523  df-abl 19524  df-mgp 19856  df-ur 19873  df-ring 19920  df-oppr 20002  df-dvdsr 20023  df-unit 20024  df-invr 20054  df-dvr 20065  df-drng 20140  df-lmod 20277  df-lss 20346  df-lsp 20386  df-lvec 20517  df-lsatoms 37376  df-lshyp 37377  df-lfl 37458  df-lkr 37486  df-oposet 37576  df-ol 37578  df-oml 37579  df-covers 37666  df-ats 37667  df-atl 37698  df-cvlat 37722  df-hlat 37751  df-llines 37899  df-lplanes 37900  df-lvols 37901  df-lines 37902  df-psubsp 37904  df-pmap 37905  df-padd 38197  df-lhyp 38389  df-laut 38390  df-ldil 38505  df-ltrn 38506  df-trl 38560  df-tgrp 39144  df-tendo 39156  df-edring 39158  df-dveca 39404  df-disoa 39430  df-dvech 39480  df-dib 39540  df-dic 39574  df-dih 39630  df-doch 39749  df-djh 39796  df-mapd 40026
This theorem is referenced by:  mapdval5N  40034  mapd1dim2lem1N  40045
  Copyright terms: Public domain W3C validator