Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mapdval4N Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mapdval4N 41615
Description: Value of projectivity from vector space H to dual space. TODO: 1. This is shorter than others - make it the official def? (but is not as obvious that it is 𝐶) 2. The unneeded direction of lcfl8a 41486 has awkward - add another thm with only one direction of it? 3. Swap 𝑂‘{𝑣} and 𝐿𝑓? (Contributed by NM, 31-Jan-2015.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
mapdval4.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
mapdval4.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
mapdval4.s 𝑆 = (LSubSp‘𝑈)
mapdval4.f 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
mapdval4.l 𝐿 = (LKer‘𝑈)
mapdval4.o 𝑂 = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
mapdval4.m 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
mapdval4.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
mapdval4.t (𝜑𝑇𝑆)
Assertion
Ref Expression
mapdval4N (𝜑 → (𝑀𝑇) = {𝑓𝐹 ∣ ∃𝑣𝑇 (𝑂‘{𝑣}) = (𝐿𝑓)})
Distinct variable groups:   𝑣,𝑓,𝐹   𝑓,𝐾   𝑣,𝐿   𝑣,𝑂   𝑇,𝑓,𝑣   𝑣,𝑈   𝑓,𝑊   𝜑,𝑓,𝑣
Allowed substitution hints:   𝑆(𝑣,𝑓)   𝑈(𝑓)   𝐻(𝑣,𝑓)   𝐾(𝑣)   𝐿(𝑓)   𝑀(𝑣,𝑓)   𝑂(𝑓)   𝑊(𝑣)

Proof of Theorem mapdval4N
Dummy variables 𝑔 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mapdval4.h . . 3 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2 mapdval4.u . . 3 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
3 mapdval4.s . . 3 𝑆 = (LSubSp‘𝑈)
4 eqid 2735 . . 3 (LSpan‘𝑈) = (LSpan‘𝑈)
5 mapdval4.f . . 3 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
6 mapdval4.l . . 3 𝐿 = (LKer‘𝑈)
7 mapdval4.o . . 3 𝑂 = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
8 mapdval4.m . . 3 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
9 mapdval4.k . . 3 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
10 mapdval4.t . . 3 (𝜑𝑇𝑆)
11 eqid 2735 . . 3 {𝑔𝐹 ∣ (𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝑔))) = (𝐿𝑔)} = {𝑔𝐹 ∣ (𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝑔))) = (𝐿𝑔)}
121, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11mapdval2N 41613 . 2 (𝜑 → (𝑀𝑇) = {𝑓 ∈ {𝑔𝐹 ∣ (𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝑔))) = (𝐿𝑔)} ∣ ∃𝑣𝑇 (𝑂‘(𝐿𝑓)) = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑣})})
1311lcfl1lem 41474 . . . . . 6 (𝑓 ∈ {𝑔𝐹 ∣ (𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝑔))) = (𝐿𝑔)} ↔ (𝑓𝐹 ∧ (𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝑓))) = (𝐿𝑓)))
1413anbi1i 624 . . . . 5 ((𝑓 ∈ {𝑔𝐹 ∣ (𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝑔))) = (𝐿𝑔)} ∧ ∃𝑣𝑇 (𝑂‘(𝐿𝑓)) = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑣})) ↔ ((𝑓𝐹 ∧ (𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝑓))) = (𝐿𝑓)) ∧ ∃𝑣𝑇 (𝑂‘(𝐿𝑓)) = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑣})))
15 anass 468 . . . . 5 (((𝑓𝐹 ∧ (𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝑓))) = (𝐿𝑓)) ∧ ∃𝑣𝑇 (𝑂‘(𝐿𝑓)) = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑣})) ↔ (𝑓𝐹 ∧ ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝑓))) = (𝐿𝑓) ∧ ∃𝑣𝑇 (𝑂‘(𝐿𝑓)) = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑣}))))
1614, 15bitri 275 . . . 4 ((𝑓 ∈ {𝑔𝐹 ∣ (𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝑔))) = (𝐿𝑔)} ∧ ∃𝑣𝑇 (𝑂‘(𝐿𝑓)) = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑣})) ↔ (𝑓𝐹 ∧ ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝑓))) = (𝐿𝑓) ∧ ∃𝑣𝑇 (𝑂‘(𝐿𝑓)) = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑣}))))
17 r19.42v 3189 . . . . . 6 (∃𝑣𝑇 ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝑓))) = (𝐿𝑓) ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑣})) ↔ ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝑓))) = (𝐿𝑓) ∧ ∃𝑣𝑇 (𝑂‘(𝐿𝑓)) = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑣})))
18 simprr 773 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑓𝐹) ∧ 𝑣𝑇) ∧ ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝑓))) = (𝐿𝑓) ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑣}))) → (𝑂‘(𝐿𝑓)) = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑣}))
1918fveq2d 6911 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑓𝐹) ∧ 𝑣𝑇) ∧ ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝑓))) = (𝐿𝑓) ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑣}))) → (𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝑓))) = (𝑂‘((LSpan‘𝑈)‘{𝑣})))
20 simprl 771 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑓𝐹) ∧ 𝑣𝑇) ∧ ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝑓))) = (𝐿𝑓) ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑣}))) → (𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝑓))) = (𝐿𝑓))
21 eqid 2735 . . . . . . . . . 10 (Base‘𝑈) = (Base‘𝑈)
229adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑓𝐹) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
2322adantr 480 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑓𝐹) ∧ 𝑣𝑇) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
2423adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑓𝐹) ∧ 𝑣𝑇) ∧ ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝑓))) = (𝐿𝑓) ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑣}))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
2510adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑓𝐹) → 𝑇𝑆)
2621, 3lssel 20953 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑇𝑆𝑣𝑇) → 𝑣 ∈ (Base‘𝑈))
2725, 26sylan 580 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑓𝐹) ∧ 𝑣𝑇) → 𝑣 ∈ (Base‘𝑈))
2827snssd 4814 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑓𝐹) ∧ 𝑣𝑇) → {𝑣} ⊆ (Base‘𝑈))
2928adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑓𝐹) ∧ 𝑣𝑇) ∧ ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝑓))) = (𝐿𝑓) ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑣}))) → {𝑣} ⊆ (Base‘𝑈))
301, 2, 7, 21, 4, 24, 29dochocsp 41362 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑓𝐹) ∧ 𝑣𝑇) ∧ ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝑓))) = (𝐿𝑓) ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑣}))) → (𝑂‘((LSpan‘𝑈)‘{𝑣})) = (𝑂‘{𝑣}))
3119, 20, 303eqtr3rd 2784 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑓𝐹) ∧ 𝑣𝑇) ∧ ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝑓))) = (𝐿𝑓) ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑣}))) → (𝑂‘{𝑣}) = (𝐿𝑓))
3227adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑓𝐹) ∧ 𝑣𝑇) ∧ (𝑂‘{𝑣}) = (𝐿𝑓)) → 𝑣 ∈ (Base‘𝑈))
33 simpr 484 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑓𝐹) ∧ 𝑣𝑇) ∧ (𝑂‘{𝑣}) = (𝐿𝑓)) → (𝑂‘{𝑣}) = (𝐿𝑓))
3433eqcomd 2741 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑓𝐹) ∧ 𝑣𝑇) ∧ (𝑂‘{𝑣}) = (𝐿𝑓)) → (𝐿𝑓) = (𝑂‘{𝑣}))
35 sneq 4641 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑤 = 𝑣 → {𝑤} = {𝑣})
3635fveq2d 6911 . . . . . . . . . . . 12 (𝑤 = 𝑣 → (𝑂‘{𝑤}) = (𝑂‘{𝑣}))
3736rspceeqv 3645 . . . . . . . . . . 11 ((𝑣 ∈ (Base‘𝑈) ∧ (𝐿𝑓) = (𝑂‘{𝑣})) → ∃𝑤 ∈ (Base‘𝑈)(𝐿𝑓) = (𝑂‘{𝑤}))
3832, 34, 37syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑓𝐹) ∧ 𝑣𝑇) ∧ (𝑂‘{𝑣}) = (𝐿𝑓)) → ∃𝑤 ∈ (Base‘𝑈)(𝐿𝑓) = (𝑂‘{𝑤}))
3923adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑓𝐹) ∧ 𝑣𝑇) ∧ (𝑂‘{𝑣}) = (𝐿𝑓)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
40 simpllr 776 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑓𝐹) ∧ 𝑣𝑇) ∧ (𝑂‘{𝑣}) = (𝐿𝑓)) → 𝑓𝐹)
411, 7, 2, 21, 5, 6, 39, 40lcfl8a 41486 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑓𝐹) ∧ 𝑣𝑇) ∧ (𝑂‘{𝑣}) = (𝐿𝑓)) → ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝑓))) = (𝐿𝑓) ↔ ∃𝑤 ∈ (Base‘𝑈)(𝐿𝑓) = (𝑂‘{𝑤})))
4238, 41mpbird 257 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑓𝐹) ∧ 𝑣𝑇) ∧ (𝑂‘{𝑣}) = (𝐿𝑓)) → (𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝑓))) = (𝐿𝑓))
431, 2, 7, 21, 4, 23, 27dochocsn 41364 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑓𝐹) ∧ 𝑣𝑇) → (𝑂‘(𝑂‘{𝑣})) = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑣}))
44 fveq2 6907 . . . . . . . . . . 11 ((𝑂‘{𝑣}) = (𝐿𝑓) → (𝑂‘(𝑂‘{𝑣})) = (𝑂‘(𝐿𝑓)))
4543, 44sylan9req 2796 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑓𝐹) ∧ 𝑣𝑇) ∧ (𝑂‘{𝑣}) = (𝐿𝑓)) → ((LSpan‘𝑈)‘{𝑣}) = (𝑂‘(𝐿𝑓)))
4645eqcomd 2741 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑓𝐹) ∧ 𝑣𝑇) ∧ (𝑂‘{𝑣}) = (𝐿𝑓)) → (𝑂‘(𝐿𝑓)) = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑣}))
4742, 46jca 511 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑓𝐹) ∧ 𝑣𝑇) ∧ (𝑂‘{𝑣}) = (𝐿𝑓)) → ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝑓))) = (𝐿𝑓) ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑣})))
4831, 47impbida 801 . . . . . . 7 (((𝜑𝑓𝐹) ∧ 𝑣𝑇) → (((𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝑓))) = (𝐿𝑓) ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑣})) ↔ (𝑂‘{𝑣}) = (𝐿𝑓)))
4948rexbidva 3175 . . . . . 6 ((𝜑𝑓𝐹) → (∃𝑣𝑇 ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝑓))) = (𝐿𝑓) ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑣})) ↔ ∃𝑣𝑇 (𝑂‘{𝑣}) = (𝐿𝑓)))
5017, 49bitr3id 285 . . . . 5 ((𝜑𝑓𝐹) → (((𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝑓))) = (𝐿𝑓) ∧ ∃𝑣𝑇 (𝑂‘(𝐿𝑓)) = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑣})) ↔ ∃𝑣𝑇 (𝑂‘{𝑣}) = (𝐿𝑓)))
5150pm5.32da 579 . . . 4 (𝜑 → ((𝑓𝐹 ∧ ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝑓))) = (𝐿𝑓) ∧ ∃𝑣𝑇 (𝑂‘(𝐿𝑓)) = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑣}))) ↔ (𝑓𝐹 ∧ ∃𝑣𝑇 (𝑂‘{𝑣}) = (𝐿𝑓))))
5216, 51bitrid 283 . . 3 (𝜑 → ((𝑓 ∈ {𝑔𝐹 ∣ (𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝑔))) = (𝐿𝑔)} ∧ ∃𝑣𝑇 (𝑂‘(𝐿𝑓)) = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑣})) ↔ (𝑓𝐹 ∧ ∃𝑣𝑇 (𝑂‘{𝑣}) = (𝐿𝑓))))
5352rabbidva2 3435 . 2 (𝜑 → {𝑓 ∈ {𝑔𝐹 ∣ (𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝑔))) = (𝐿𝑔)} ∣ ∃𝑣𝑇 (𝑂‘(𝐿𝑓)) = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑣})} = {𝑓𝐹 ∣ ∃𝑣𝑇 (𝑂‘{𝑣}) = (𝐿𝑓)})
5412, 53eqtrd 2775 1 (𝜑 → (𝑀𝑇) = {𝑓𝐹 ∣ ∃𝑣𝑇 (𝑂‘{𝑣}) = (𝐿𝑓)})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  wrex 3068  {crab 3433  wss 3963  {csn 4631  cfv 6563  Basecbs 17245  LSubSpclss 20947  LSpanclspn 20987  LFnlclfn 39039  LKerclk 39067  HLchlt 39332  LHypclh 39967  DVecHcdvh 41061  ocHcoch 41330  mapdcmpd 41607
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-riotaBAD 38935
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-tpos 8250  df-undef 8297  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-map 8867  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-fz 13545  df-struct 17181  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-0g 17488  df-proset 18352  df-poset 18371  df-plt 18388  df-lub 18404  df-glb 18405  df-join 18406  df-meet 18407  df-p0 18483  df-p1 18484  df-lat 18490  df-clat 18557  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-submnd 18810  df-grp 18967  df-minusg 18968  df-sbg 18969  df-subg 19154  df-cntz 19348  df-lsm 19669  df-cmn 19815  df-abl 19816  df-mgp 20153  df-rng 20171  df-ur 20200  df-ring 20253  df-oppr 20351  df-dvdsr 20374  df-unit 20375  df-invr 20405  df-dvr 20418  df-drng 20748  df-lmod 20877  df-lss 20948  df-lsp 20988  df-lvec 21120  df-lsatoms 38958  df-lshyp 38959  df-lfl 39040  df-lkr 39068  df-oposet 39158  df-ol 39160  df-oml 39161  df-covers 39248  df-ats 39249  df-atl 39280  df-cvlat 39304  df-hlat 39333  df-llines 39481  df-lplanes 39482  df-lvols 39483  df-lines 39484  df-psubsp 39486  df-pmap 39487  df-padd 39779  df-lhyp 39971  df-laut 39972  df-ldil 40087  df-ltrn 40088  df-trl 40142  df-tgrp 40726  df-tendo 40738  df-edring 40740  df-dveca 40986  df-disoa 41012  df-dvech 41062  df-dib 41122  df-dic 41156  df-dih 41212  df-doch 41331  df-djh 41378  df-mapd 41608
This theorem is referenced by:  mapdval5N  41616  mapd1dim2lem1N  41627
  Copyright terms: Public domain W3C validator