Theorem mapdval4N 42826

Description: Value of projectivity from vector space H to dual space. TODO: 1. This is shorter than others - make it the official def? (but is not as obvious that it is ⊆ 𝐶) 2. The unneeded direction of lcfl8a 42697 has awkward ∃- add another thm with only one direction of it? 3. Swap 𝑂‘{𝑣} and 𝐿‘𝑓? (Contributed by NM, 31-Jan-2015.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
mapdval4.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
mapdval4.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
mapdval4.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑈)
mapdval4.f	⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
mapdval4.l	⊢ 𝐿 = (LKer‘𝑈)
mapdval4.o	⊢ 𝑂 = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
mapdval4.m	⊢ 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
mapdval4.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
mapdval4.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
mapdval4N	⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝑇) = {𝑓 ∈ 𝐹 ∣ ∃𝑣 ∈ 𝑇 (𝑂‘{𝑣}) = (𝐿‘𝑓)})

Distinct variable groups:   𝑣,𝑓,𝐹   𝑓,𝐾   𝑣,𝐿   𝑣,𝑂   𝑇,𝑓,𝑣   𝑣,𝑈   𝑓,𝑊   𝜑,𝑓,𝑣

Allowed substitution hints:   𝑆(𝑣, 𝑓)   𝑈(𝑓)   𝐻(𝑣, 𝑓)   𝐾(𝑣)   𝐿(𝑓)   𝑀(𝑣, 𝑓)   𝑂(𝑓)   𝑊(𝑣)

Proof of Theorem mapdval4N

Dummy variables 𝑔 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mapdval4.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		mapdval4.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
3		mapdval4.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑈)
4		eqid 2760	. . 3 ⊢ (LSpan‘𝑈) = (LSpan‘𝑈)
5		mapdval4.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
6		mapdval4.l	. . 3 ⊢ 𝐿 = (LKer‘𝑈)
7		mapdval4.o	. . 3 ⊢ 𝑂 = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
8		mapdval4.m	. . 3 ⊢ 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
9		mapdval4.k	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
10		mapdval4.t	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝑆)
11		eqid 2760	. . 3 ⊢ {𝑔 ∈ 𝐹 ∣ (𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑔))) = (𝐿‘𝑔)} = {𝑔 ∈ 𝐹 ∣ (𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑔))) = (𝐿‘𝑔)}
12	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11	mapdval2N 42824	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝑇) = {𝑓 ∈ {𝑔 ∈ 𝐹 ∣ (𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑔))) = (𝐿‘𝑔)} ∣ ∃𝑣 ∈ 𝑇 (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑣})})
13	11	lcfl1lem 42685	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 ∈ {𝑔 ∈ 𝐹 ∣ (𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑔))) = (𝐿‘𝑔)} ↔ (𝑓 ∈ 𝐹 ∧ (𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓)))
14	13	anbi1i 636	. . . . 5 ⊢ ((𝑓 ∈ {𝑔 ∈ 𝐹 ∣ (𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑔))) = (𝐿‘𝑔)} ∧ ∃𝑣 ∈ 𝑇 (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑣})) ↔ ((𝑓 ∈ 𝐹 ∧ (𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓)) ∧ ∃𝑣 ∈ 𝑇 (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑣})))
15		anass 474	. . . . 5 ⊢ (((𝑓 ∈ 𝐹 ∧ (𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓)) ∧ ∃𝑣 ∈ 𝑇 (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑣})) ↔ (𝑓 ∈ 𝐹 ∧ ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓) ∧ ∃𝑣 ∈ 𝑇 (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑣}))))
16	14, 15	bitri 278	. . . 4 ⊢ ((𝑓 ∈ {𝑔 ∈ 𝐹 ∣ (𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑔))) = (𝐿‘𝑔)} ∧ ∃𝑣 ∈ 𝑇 (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑣})) ↔ (𝑓 ∈ 𝐹 ∧ ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓) ∧ ∃𝑣 ∈ 𝑇 (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑣}))))
17		r19.42v 3194	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑣 ∈ 𝑇 ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑣})) ↔ ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓) ∧ ∃𝑣 ∈ 𝑇 (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑣})))
18		simprr 785	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐹) ∧ 𝑣 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑣}))) → (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑣}))
19	18	fveq2d 6894	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐹) ∧ 𝑣 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑣}))) → (𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑓))) = (𝑂‘((LSpan‘𝑈)‘{𝑣})))
20		simprl 783	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐹) ∧ 𝑣 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑣}))) → (𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓))
21		eqid 2760	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘𝑈) = (Base‘𝑈)
22	9	adantr 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐹) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
23	22	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐹) ∧ 𝑣 ∈ 𝑇) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
24	23	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐹) ∧ 𝑣 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑣}))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
25	10	adantr 486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐹) → 𝑇 ∈ 𝑆)
26	21, 3	lssel 21221	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑇 ∈ 𝑆 ∧ 𝑣 ∈ 𝑇) → 𝑣 ∈ (Base‘𝑈))
27	25, 26	sylan 592	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐹) ∧ 𝑣 ∈ 𝑇) → 𝑣 ∈ (Base‘𝑈))
28	27	snssd 4743	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐹) ∧ 𝑣 ∈ 𝑇) → {𝑣} ⊆ (Base‘𝑈))
29	28	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐹) ∧ 𝑣 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑣}))) → {𝑣} ⊆ (Base‘𝑈))
30	1, 2, 7, 21, 4, 24, 29	dochocsp 42573	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐹) ∧ 𝑣 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑣}))) → (𝑂‘((LSpan‘𝑈)‘{𝑣})) = (𝑂‘{𝑣}))
31	19, 20, 30	3eqtr3rd 2804	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐹) ∧ 𝑣 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑣}))) → (𝑂‘{𝑣}) = (𝐿‘𝑓))
32	27	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐹) ∧ 𝑣 ∈ 𝑇) ∧ (𝑂‘{𝑣}) = (𝐿‘𝑓)) → 𝑣 ∈ (Base‘𝑈))
33		simpr 490	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐹) ∧ 𝑣 ∈ 𝑇) ∧ (𝑂‘{𝑣}) = (𝐿‘𝑓)) → (𝑂‘{𝑣}) = (𝐿‘𝑓))
34	33	eqcomd 2766	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐹) ∧ 𝑣 ∈ 𝑇) ∧ (𝑂‘{𝑣}) = (𝐿‘𝑓)) → (𝐿‘𝑓) = (𝑂‘{𝑣}))
35		sneq 4590	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑤 = 𝑣 → {𝑤} = {𝑣})
36	35	fveq2d 6894	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑤 = 𝑣 → (𝑂‘{𝑤}) = (𝑂‘{𝑣}))
37	36	rspceeqv 3598	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑣 ∈ (Base‘𝑈) ∧ (𝐿‘𝑓) = (𝑂‘{𝑣})) → ∃𝑤 ∈ (Base‘𝑈)(𝐿‘𝑓) = (𝑂‘{𝑤}))
38	32, 34, 37	syl2anc 596	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐹) ∧ 𝑣 ∈ 𝑇) ∧ (𝑂‘{𝑣}) = (𝐿‘𝑓)) → ∃𝑤 ∈ (Base‘𝑈)(𝐿‘𝑓) = (𝑂‘{𝑤}))
39	23	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐹) ∧ 𝑣 ∈ 𝑇) ∧ (𝑂‘{𝑣}) = (𝐿‘𝑓)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
40		simpllr 788	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐹) ∧ 𝑣 ∈ 𝑇) ∧ (𝑂‘{𝑣}) = (𝐿‘𝑓)) → 𝑓 ∈ 𝐹)
41	1, 7, 2, 21, 5, 6, 39, 40	lcfl8a 42697	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐹) ∧ 𝑣 ∈ 𝑇) ∧ (𝑂‘{𝑣}) = (𝐿‘𝑓)) → ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓) ↔ ∃𝑤 ∈ (Base‘𝑈)(𝐿‘𝑓) = (𝑂‘{𝑤})))
42	38, 41	mpbird 260	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐹) ∧ 𝑣 ∈ 𝑇) ∧ (𝑂‘{𝑣}) = (𝐿‘𝑓)) → (𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓))
43	1, 2, 7, 21, 4, 23, 27	dochocsn 42575	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐹) ∧ 𝑣 ∈ 𝑇) → (𝑂‘(𝑂‘{𝑣})) = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑣}))
44		fveq2 6890	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑂‘{𝑣}) = (𝐿‘𝑓) → (𝑂‘(𝑂‘{𝑣})) = (𝑂‘(𝐿‘𝑓)))
45	43, 44	sylan9req 2816	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐹) ∧ 𝑣 ∈ 𝑇) ∧ (𝑂‘{𝑣}) = (𝐿‘𝑓)) → ((LSpan‘𝑈)‘{𝑣}) = (𝑂‘(𝐿‘𝑓)))
46	45	eqcomd 2766	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐹) ∧ 𝑣 ∈ 𝑇) ∧ (𝑂‘{𝑣}) = (𝐿‘𝑓)) → (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑣}))
47	42, 46	jca 521	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐹) ∧ 𝑣 ∈ 𝑇) ∧ (𝑂‘{𝑣}) = (𝐿‘𝑓)) → ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑣})))
48	31, 47	impbida 813	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐹) ∧ 𝑣 ∈ 𝑇) → (((𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑣})) ↔ (𝑂‘{𝑣}) = (𝐿‘𝑓)))
49	48	rexbidva 3184	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐹) → (∃𝑣 ∈ 𝑇 ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑣})) ↔ ∃𝑣 ∈ 𝑇 (𝑂‘{𝑣}) = (𝐿‘𝑓)))
50	17, 49	bitr3id 288	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐹) → (((𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓) ∧ ∃𝑣 ∈ 𝑇 (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑣})) ↔ ∃𝑣 ∈ 𝑇 (𝑂‘{𝑣}) = (𝐿‘𝑓)))
51	50	pm5.32da 590	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑓 ∈ 𝐹 ∧ ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓) ∧ ∃𝑣 ∈ 𝑇 (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑣}))) ↔ (𝑓 ∈ 𝐹 ∧ ∃𝑣 ∈ 𝑇 (𝑂‘{𝑣}) = (𝐿‘𝑓))))
52	16, 51	bitrid 286	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑓 ∈ {𝑔 ∈ 𝐹 ∣ (𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑔))) = (𝐿‘𝑔)} ∧ ∃𝑣 ∈ 𝑇 (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑣})) ↔ (𝑓 ∈ 𝐹 ∧ ∃𝑣 ∈ 𝑇 (𝑂‘{𝑣}) = (𝐿‘𝑓))))
53	52	rabbidva2 3414	. 2 ⊢ (𝜑 → {𝑓 ∈ {𝑔 ∈ 𝐹 ∣ (𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑔))) = (𝐿‘𝑔)} ∣ ∃𝑣 ∈ 𝑇 (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑣})} = {𝑓 ∈ 𝐹 ∣ ∃𝑣 ∈ 𝑇 (𝑂‘{𝑣}) = (𝐿‘𝑓)})
54	12, 53	eqtrd 2795	1 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝑇) = {𝑓 ∈ 𝐹 ∣ ∃𝑣 ∈ 𝑇 (𝑂‘{𝑣}) = (𝐿‘𝑓)})

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ∃wrex 3086  {crab 3412   ⊆ wss 3896  {csn 4584  ‘cfv 6543  Basecbs 17396  LSubSpclss 21215  LSpanclspn 21255  LFnlclfn 40251  LKerclk 40279  HLchlt 40544  LHypclh 41178  DVecHcdvh 42272  ocHcoch 42541  mapdcmpd 42818

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7755  ax-cnex 11263  ax-resscn 11264  ax-1cn 11265  ax-icn 11266  ax-addcl 11267  ax-addrcl 11268  ax-mulcl 11269  ax-mulrcl 11270  ax-mulcom 11271  ax-addass 11272  ax-mulass 11273  ax-distr 11274  ax-i2m1 11275  ax-1ne0 11276  ax-1rid 11277  ax-rnegex 11278  ax-rrecex 11279  ax-cnre 11280  ax-pre-lttri 11281  ax-pre-lttrn 11282  ax-pre-ltadd 11283  ax-pre-mulgt0 11284  ax-riotaBAD 40147

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-iin 4953  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6307  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6497  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7381  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7882  df-1st 8005  df-2nd 8006  df-tpos 8251  df-undef 8298  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8387  df-rdg 8426  df-1o 8484  df-er 8725  df-map 8857  df-en 8982  df-dom 8983  df-sdom 8984  df-fin 8985  df-pnf 11352  df-mnf 11353  df-xr 11354  df-ltxr 11355  df-le 11356  df-sub 11550  df-neg 11551  df-nn 12343  df-2 12412  df-3 12413  df-4 12414  df-5 12415  df-6 12416  df-n0 12614  df-z 12701  df-uz 12973  df-fz 13647  df-struct 17334  df-sets 17351  df-slot 17369  df-ndx 17381  df-base 17397  df-ress 17418  df-plusg 17450  df-mulr 17451  df-sca 17453  df-vsca 17454  df-0g 17621  df-proset 18477  df-poset 18496  df-plt 18511  df-lub 18527  df-glb 18528  df-join 18529  df-meet 18530  df-p0 18606  df-p1 18607  df-lat 18615  df-clat 18682  df-mgm 18825  df-sgrp 18917  df-mnd 18933  df-submnd 18988  df-grp 19156  df-minusg 19157  df-sbg 19158  df-subg 19342  df-cntz 19540  df-lsm 19859  df-cmn 20005  df-abl 20006  df-mgp 20370  df-rng 20384  df-ur 20417  df-ring 20470  df-oppr 20576  df-dvdsr 20596  df-unit 20597  df-invr 20627  df-dvr 20640  df-drng 20991  df-lmod 21146  df-lss 21216  df-lsp 21256  df-lvec 21387  df-lsatoms 40170  df-lshyp 40171  df-lfl 40252  df-lkr 40280  df-oposet 40370  df-ol 40372  df-oml 40373  df-covers 40460  df-ats 40461  df-atl 40492  df-cvlat 40516  df-hlat 40545  df-llines 40692  df-lplanes 40693  df-lvols 40694  df-lines 40695  df-psubsp 40697  df-pmap 40698  df-padd 40990  df-lhyp 41182  df-laut 41183  df-ldil 41298  df-ltrn 41299  df-trl 41353  df-tgrp 41937  df-tendo 41949  df-edring 41951  df-dveca 42197  df-disoa 42223  df-dvech 42273  df-dib 42333  df-dic 42367  df-dih 42423  df-doch 42542  df-djh 42589  df-mapd 42819

This theorem is used by:  mapdval5N  42827  mapd1dim2lem1N  42838