Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mapdval4N Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mapdval4N 40589
Description: Value of projectivity from vector space H to dual space. TODO: 1. This is shorter than others - make it the official def? (but is not as obvious that it is βŠ† 𝐢) 2. The unneeded direction of lcfl8a 40460 has awkward βˆƒ- add another thm with only one direction of it? 3. Swap π‘‚β€˜{𝑣} and πΏβ€˜π‘“? (Contributed by NM, 31-Jan-2015.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
mapdval4.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
mapdval4.u π‘ˆ = ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
mapdval4.s 𝑆 = (LSubSpβ€˜π‘ˆ)
mapdval4.f 𝐹 = (LFnlβ€˜π‘ˆ)
mapdval4.l 𝐿 = (LKerβ€˜π‘ˆ)
mapdval4.o 𝑂 = ((ocHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
mapdval4.m 𝑀 = ((mapdβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
mapdval4.k (πœ‘ β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
mapdval4.t (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ 𝑆)
Assertion
Ref Expression
mapdval4N (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜π‘‡) = {𝑓 ∈ 𝐹 ∣ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑇 (π‘‚β€˜{𝑣}) = (πΏβ€˜π‘“)})
Distinct variable groups:   𝑣,𝑓,𝐹   𝑓,𝐾   𝑣,𝐿   𝑣,𝑂   𝑇,𝑓,𝑣   𝑣,π‘ˆ   𝑓,π‘Š   πœ‘,𝑓,𝑣
Allowed substitution hints:   𝑆(𝑣,𝑓)   π‘ˆ(𝑓)   𝐻(𝑣,𝑓)   𝐾(𝑣)   𝐿(𝑓)   𝑀(𝑣,𝑓)   𝑂(𝑓)   π‘Š(𝑣)

Proof of Theorem mapdval4N
Dummy variables 𝑔 𝑀 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mapdval4.h . . 3 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
2 mapdval4.u . . 3 π‘ˆ = ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
3 mapdval4.s . . 3 𝑆 = (LSubSpβ€˜π‘ˆ)
4 eqid 2732 . . 3 (LSpanβ€˜π‘ˆ) = (LSpanβ€˜π‘ˆ)
5 mapdval4.f . . 3 𝐹 = (LFnlβ€˜π‘ˆ)
6 mapdval4.l . . 3 𝐿 = (LKerβ€˜π‘ˆ)
7 mapdval4.o . . 3 𝑂 = ((ocHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
8 mapdval4.m . . 3 𝑀 = ((mapdβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
9 mapdval4.k . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
10 mapdval4.t . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ 𝑆)
11 eqid 2732 . . 3 {𝑔 ∈ 𝐹 ∣ (π‘‚β€˜(π‘‚β€˜(πΏβ€˜π‘”))) = (πΏβ€˜π‘”)} = {𝑔 ∈ 𝐹 ∣ (π‘‚β€˜(π‘‚β€˜(πΏβ€˜π‘”))) = (πΏβ€˜π‘”)}
121, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11mapdval2N 40587 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜π‘‡) = {𝑓 ∈ {𝑔 ∈ 𝐹 ∣ (π‘‚β€˜(π‘‚β€˜(πΏβ€˜π‘”))) = (πΏβ€˜π‘”)} ∣ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑇 (π‘‚β€˜(πΏβ€˜π‘“)) = ((LSpanβ€˜π‘ˆ)β€˜{𝑣})})
1311lcfl1lem 40448 . . . . . 6 (𝑓 ∈ {𝑔 ∈ 𝐹 ∣ (π‘‚β€˜(π‘‚β€˜(πΏβ€˜π‘”))) = (πΏβ€˜π‘”)} ↔ (𝑓 ∈ 𝐹 ∧ (π‘‚β€˜(π‘‚β€˜(πΏβ€˜π‘“))) = (πΏβ€˜π‘“)))
1413anbi1i 624 . . . . 5 ((𝑓 ∈ {𝑔 ∈ 𝐹 ∣ (π‘‚β€˜(π‘‚β€˜(πΏβ€˜π‘”))) = (πΏβ€˜π‘”)} ∧ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑇 (π‘‚β€˜(πΏβ€˜π‘“)) = ((LSpanβ€˜π‘ˆ)β€˜{𝑣})) ↔ ((𝑓 ∈ 𝐹 ∧ (π‘‚β€˜(π‘‚β€˜(πΏβ€˜π‘“))) = (πΏβ€˜π‘“)) ∧ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑇 (π‘‚β€˜(πΏβ€˜π‘“)) = ((LSpanβ€˜π‘ˆ)β€˜{𝑣})))
15 anass 469 . . . . 5 (((𝑓 ∈ 𝐹 ∧ (π‘‚β€˜(π‘‚β€˜(πΏβ€˜π‘“))) = (πΏβ€˜π‘“)) ∧ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑇 (π‘‚β€˜(πΏβ€˜π‘“)) = ((LSpanβ€˜π‘ˆ)β€˜{𝑣})) ↔ (𝑓 ∈ 𝐹 ∧ ((π‘‚β€˜(π‘‚β€˜(πΏβ€˜π‘“))) = (πΏβ€˜π‘“) ∧ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑇 (π‘‚β€˜(πΏβ€˜π‘“)) = ((LSpanβ€˜π‘ˆ)β€˜{𝑣}))))
1614, 15bitri 274 . . . 4 ((𝑓 ∈ {𝑔 ∈ 𝐹 ∣ (π‘‚β€˜(π‘‚β€˜(πΏβ€˜π‘”))) = (πΏβ€˜π‘”)} ∧ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑇 (π‘‚β€˜(πΏβ€˜π‘“)) = ((LSpanβ€˜π‘ˆ)β€˜{𝑣})) ↔ (𝑓 ∈ 𝐹 ∧ ((π‘‚β€˜(π‘‚β€˜(πΏβ€˜π‘“))) = (πΏβ€˜π‘“) ∧ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑇 (π‘‚β€˜(πΏβ€˜π‘“)) = ((LSpanβ€˜π‘ˆ)β€˜{𝑣}))))
17 r19.42v 3190 . . . . . 6 (βˆƒπ‘£ ∈ 𝑇 ((π‘‚β€˜(π‘‚β€˜(πΏβ€˜π‘“))) = (πΏβ€˜π‘“) ∧ (π‘‚β€˜(πΏβ€˜π‘“)) = ((LSpanβ€˜π‘ˆ)β€˜{𝑣})) ↔ ((π‘‚β€˜(π‘‚β€˜(πΏβ€˜π‘“))) = (πΏβ€˜π‘“) ∧ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑇 (π‘‚β€˜(πΏβ€˜π‘“)) = ((LSpanβ€˜π‘ˆ)β€˜{𝑣})))
18 simprr 771 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐹) ∧ 𝑣 ∈ 𝑇) ∧ ((π‘‚β€˜(π‘‚β€˜(πΏβ€˜π‘“))) = (πΏβ€˜π‘“) ∧ (π‘‚β€˜(πΏβ€˜π‘“)) = ((LSpanβ€˜π‘ˆ)β€˜{𝑣}))) β†’ (π‘‚β€˜(πΏβ€˜π‘“)) = ((LSpanβ€˜π‘ˆ)β€˜{𝑣}))
1918fveq2d 6895 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐹) ∧ 𝑣 ∈ 𝑇) ∧ ((π‘‚β€˜(π‘‚β€˜(πΏβ€˜π‘“))) = (πΏβ€˜π‘“) ∧ (π‘‚β€˜(πΏβ€˜π‘“)) = ((LSpanβ€˜π‘ˆ)β€˜{𝑣}))) β†’ (π‘‚β€˜(π‘‚β€˜(πΏβ€˜π‘“))) = (π‘‚β€˜((LSpanβ€˜π‘ˆ)β€˜{𝑣})))
20 simprl 769 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐹) ∧ 𝑣 ∈ 𝑇) ∧ ((π‘‚β€˜(π‘‚β€˜(πΏβ€˜π‘“))) = (πΏβ€˜π‘“) ∧ (π‘‚β€˜(πΏβ€˜π‘“)) = ((LSpanβ€˜π‘ˆ)β€˜{𝑣}))) β†’ (π‘‚β€˜(π‘‚β€˜(πΏβ€˜π‘“))) = (πΏβ€˜π‘“))
21 eqid 2732 . . . . . . . . . 10 (Baseβ€˜π‘ˆ) = (Baseβ€˜π‘ˆ)
229adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐹) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
2322adantr 481 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐹) ∧ 𝑣 ∈ 𝑇) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
2423adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐹) ∧ 𝑣 ∈ 𝑇) ∧ ((π‘‚β€˜(π‘‚β€˜(πΏβ€˜π‘“))) = (πΏβ€˜π‘“) ∧ (π‘‚β€˜(πΏβ€˜π‘“)) = ((LSpanβ€˜π‘ˆ)β€˜{𝑣}))) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
2510adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐹) β†’ 𝑇 ∈ 𝑆)
2621, 3lssel 20553 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑇 ∈ 𝑆 ∧ 𝑣 ∈ 𝑇) β†’ 𝑣 ∈ (Baseβ€˜π‘ˆ))
2725, 26sylan 580 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐹) ∧ 𝑣 ∈ 𝑇) β†’ 𝑣 ∈ (Baseβ€˜π‘ˆ))
2827snssd 4812 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐹) ∧ 𝑣 ∈ 𝑇) β†’ {𝑣} βŠ† (Baseβ€˜π‘ˆ))
2928adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐹) ∧ 𝑣 ∈ 𝑇) ∧ ((π‘‚β€˜(π‘‚β€˜(πΏβ€˜π‘“))) = (πΏβ€˜π‘“) ∧ (π‘‚β€˜(πΏβ€˜π‘“)) = ((LSpanβ€˜π‘ˆ)β€˜{𝑣}))) β†’ {𝑣} βŠ† (Baseβ€˜π‘ˆ))
301, 2, 7, 21, 4, 24, 29dochocsp 40336 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐹) ∧ 𝑣 ∈ 𝑇) ∧ ((π‘‚β€˜(π‘‚β€˜(πΏβ€˜π‘“))) = (πΏβ€˜π‘“) ∧ (π‘‚β€˜(πΏβ€˜π‘“)) = ((LSpanβ€˜π‘ˆ)β€˜{𝑣}))) β†’ (π‘‚β€˜((LSpanβ€˜π‘ˆ)β€˜{𝑣})) = (π‘‚β€˜{𝑣}))
3119, 20, 303eqtr3rd 2781 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐹) ∧ 𝑣 ∈ 𝑇) ∧ ((π‘‚β€˜(π‘‚β€˜(πΏβ€˜π‘“))) = (πΏβ€˜π‘“) ∧ (π‘‚β€˜(πΏβ€˜π‘“)) = ((LSpanβ€˜π‘ˆ)β€˜{𝑣}))) β†’ (π‘‚β€˜{𝑣}) = (πΏβ€˜π‘“))
3227adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐹) ∧ 𝑣 ∈ 𝑇) ∧ (π‘‚β€˜{𝑣}) = (πΏβ€˜π‘“)) β†’ 𝑣 ∈ (Baseβ€˜π‘ˆ))
33 simpr 485 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐹) ∧ 𝑣 ∈ 𝑇) ∧ (π‘‚β€˜{𝑣}) = (πΏβ€˜π‘“)) β†’ (π‘‚β€˜{𝑣}) = (πΏβ€˜π‘“))
3433eqcomd 2738 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐹) ∧ 𝑣 ∈ 𝑇) ∧ (π‘‚β€˜{𝑣}) = (πΏβ€˜π‘“)) β†’ (πΏβ€˜π‘“) = (π‘‚β€˜{𝑣}))
35 sneq 4638 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 = 𝑣 β†’ {𝑀} = {𝑣})
3635fveq2d 6895 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 = 𝑣 β†’ (π‘‚β€˜{𝑀}) = (π‘‚β€˜{𝑣}))
3736rspceeqv 3633 . . . . . . . . . . 11 ((𝑣 ∈ (Baseβ€˜π‘ˆ) ∧ (πΏβ€˜π‘“) = (π‘‚β€˜{𝑣})) β†’ βˆƒπ‘€ ∈ (Baseβ€˜π‘ˆ)(πΏβ€˜π‘“) = (π‘‚β€˜{𝑀}))
3832, 34, 37syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐹) ∧ 𝑣 ∈ 𝑇) ∧ (π‘‚β€˜{𝑣}) = (πΏβ€˜π‘“)) β†’ βˆƒπ‘€ ∈ (Baseβ€˜π‘ˆ)(πΏβ€˜π‘“) = (π‘‚β€˜{𝑀}))
3923adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐹) ∧ 𝑣 ∈ 𝑇) ∧ (π‘‚β€˜{𝑣}) = (πΏβ€˜π‘“)) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
40 simpllr 774 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐹) ∧ 𝑣 ∈ 𝑇) ∧ (π‘‚β€˜{𝑣}) = (πΏβ€˜π‘“)) β†’ 𝑓 ∈ 𝐹)
411, 7, 2, 21, 5, 6, 39, 40lcfl8a 40460 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐹) ∧ 𝑣 ∈ 𝑇) ∧ (π‘‚β€˜{𝑣}) = (πΏβ€˜π‘“)) β†’ ((π‘‚β€˜(π‘‚β€˜(πΏβ€˜π‘“))) = (πΏβ€˜π‘“) ↔ βˆƒπ‘€ ∈ (Baseβ€˜π‘ˆ)(πΏβ€˜π‘“) = (π‘‚β€˜{𝑀})))
4238, 41mpbird 256 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐹) ∧ 𝑣 ∈ 𝑇) ∧ (π‘‚β€˜{𝑣}) = (πΏβ€˜π‘“)) β†’ (π‘‚β€˜(π‘‚β€˜(πΏβ€˜π‘“))) = (πΏβ€˜π‘“))
431, 2, 7, 21, 4, 23, 27dochocsn 40338 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐹) ∧ 𝑣 ∈ 𝑇) β†’ (π‘‚β€˜(π‘‚β€˜{𝑣})) = ((LSpanβ€˜π‘ˆ)β€˜{𝑣}))
44 fveq2 6891 . . . . . . . . . . 11 ((π‘‚β€˜{𝑣}) = (πΏβ€˜π‘“) β†’ (π‘‚β€˜(π‘‚β€˜{𝑣})) = (π‘‚β€˜(πΏβ€˜π‘“)))
4543, 44sylan9req 2793 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐹) ∧ 𝑣 ∈ 𝑇) ∧ (π‘‚β€˜{𝑣}) = (πΏβ€˜π‘“)) β†’ ((LSpanβ€˜π‘ˆ)β€˜{𝑣}) = (π‘‚β€˜(πΏβ€˜π‘“)))
4645eqcomd 2738 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐹) ∧ 𝑣 ∈ 𝑇) ∧ (π‘‚β€˜{𝑣}) = (πΏβ€˜π‘“)) β†’ (π‘‚β€˜(πΏβ€˜π‘“)) = ((LSpanβ€˜π‘ˆ)β€˜{𝑣}))
4742, 46jca 512 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐹) ∧ 𝑣 ∈ 𝑇) ∧ (π‘‚β€˜{𝑣}) = (πΏβ€˜π‘“)) β†’ ((π‘‚β€˜(π‘‚β€˜(πΏβ€˜π‘“))) = (πΏβ€˜π‘“) ∧ (π‘‚β€˜(πΏβ€˜π‘“)) = ((LSpanβ€˜π‘ˆ)β€˜{𝑣})))
4831, 47impbida 799 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐹) ∧ 𝑣 ∈ 𝑇) β†’ (((π‘‚β€˜(π‘‚β€˜(πΏβ€˜π‘“))) = (πΏβ€˜π‘“) ∧ (π‘‚β€˜(πΏβ€˜π‘“)) = ((LSpanβ€˜π‘ˆ)β€˜{𝑣})) ↔ (π‘‚β€˜{𝑣}) = (πΏβ€˜π‘“)))
4948rexbidva 3176 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐹) β†’ (βˆƒπ‘£ ∈ 𝑇 ((π‘‚β€˜(π‘‚β€˜(πΏβ€˜π‘“))) = (πΏβ€˜π‘“) ∧ (π‘‚β€˜(πΏβ€˜π‘“)) = ((LSpanβ€˜π‘ˆ)β€˜{𝑣})) ↔ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑇 (π‘‚β€˜{𝑣}) = (πΏβ€˜π‘“)))
5017, 49bitr3id 284 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐹) β†’ (((π‘‚β€˜(π‘‚β€˜(πΏβ€˜π‘“))) = (πΏβ€˜π‘“) ∧ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑇 (π‘‚β€˜(πΏβ€˜π‘“)) = ((LSpanβ€˜π‘ˆ)β€˜{𝑣})) ↔ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑇 (π‘‚β€˜{𝑣}) = (πΏβ€˜π‘“)))
5150pm5.32da 579 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝑓 ∈ 𝐹 ∧ ((π‘‚β€˜(π‘‚β€˜(πΏβ€˜π‘“))) = (πΏβ€˜π‘“) ∧ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑇 (π‘‚β€˜(πΏβ€˜π‘“)) = ((LSpanβ€˜π‘ˆ)β€˜{𝑣}))) ↔ (𝑓 ∈ 𝐹 ∧ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑇 (π‘‚β€˜{𝑣}) = (πΏβ€˜π‘“))))
5216, 51bitrid 282 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝑓 ∈ {𝑔 ∈ 𝐹 ∣ (π‘‚β€˜(π‘‚β€˜(πΏβ€˜π‘”))) = (πΏβ€˜π‘”)} ∧ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑇 (π‘‚β€˜(πΏβ€˜π‘“)) = ((LSpanβ€˜π‘ˆ)β€˜{𝑣})) ↔ (𝑓 ∈ 𝐹 ∧ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑇 (π‘‚β€˜{𝑣}) = (πΏβ€˜π‘“))))
5352rabbidva2 3434 . 2 (πœ‘ β†’ {𝑓 ∈ {𝑔 ∈ 𝐹 ∣ (π‘‚β€˜(π‘‚β€˜(πΏβ€˜π‘”))) = (πΏβ€˜π‘”)} ∣ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑇 (π‘‚β€˜(πΏβ€˜π‘“)) = ((LSpanβ€˜π‘ˆ)β€˜{𝑣})} = {𝑓 ∈ 𝐹 ∣ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑇 (π‘‚β€˜{𝑣}) = (πΏβ€˜π‘“)})
5412, 53eqtrd 2772 1 (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜π‘‡) = {𝑓 ∈ 𝐹 ∣ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑇 (π‘‚β€˜{𝑣}) = (πΏβ€˜π‘“)})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βˆƒwrex 3070  {crab 3432   βŠ† wss 3948  {csn 4628  β€˜cfv 6543  Basecbs 17146  LSubSpclss 20547  LSpanclspn 20587  LFnlclfn 38013  LKerclk 38041  HLchlt 38306  LHypclh 38941  DVecHcdvh 40035  ocHcoch 40304  mapdcmpd 40581
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-riotaBAD 37909
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-tpos 8213  df-undef 8260  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-nn 12215  df-2 12277  df-3 12278  df-4 12279  df-5 12280  df-6 12281  df-n0 12475  df-z 12561  df-uz 12825  df-fz 13487  df-struct 17082  df-sets 17099  df-slot 17117  df-ndx 17129  df-base 17147  df-ress 17176  df-plusg 17212  df-mulr 17213  df-sca 17215  df-vsca 17216  df-0g 17389  df-proset 18250  df-poset 18268  df-plt 18285  df-lub 18301  df-glb 18302  df-join 18303  df-meet 18304  df-p0 18380  df-p1 18381  df-lat 18387  df-clat 18454  df-mgm 18563  df-sgrp 18612  df-mnd 18628  df-submnd 18674  df-grp 18824  df-minusg 18825  df-sbg 18826  df-subg 19005  df-cntz 19183  df-lsm 19506  df-cmn 19652  df-abl 19653  df-mgp 19990  df-ur 20007  df-ring 20060  df-oppr 20154  df-dvdsr 20175  df-unit 20176  df-invr 20206  df-dvr 20219  df-drng 20363  df-lmod 20477  df-lss 20548  df-lsp 20588  df-lvec 20719  df-lsatoms 37932  df-lshyp 37933  df-lfl 38014  df-lkr 38042  df-oposet 38132  df-ol 38134  df-oml 38135  df-covers 38222  df-ats 38223  df-atl 38254  df-cvlat 38278  df-hlat 38307  df-llines 38455  df-lplanes 38456  df-lvols 38457  df-lines 38458  df-psubsp 38460  df-pmap 38461  df-padd 38753  df-lhyp 38945  df-laut 38946  df-ldil 39061  df-ltrn 39062  df-trl 39116  df-tgrp 39700  df-tendo 39712  df-edring 39714  df-dveca 39960  df-disoa 39986  df-dvech 40036  df-dib 40096  df-dic 40130  df-dih 40186  df-doch 40305  df-djh 40352  df-mapd 40582
This theorem is referenced by:  mapdval5N  40590  mapd1dim2lem1N  40601
  Copyright terms: Public domain W3C validator