Theorem mapdval4N 42955

Description: Value of projectivity from vector space H to dual space. TODO: 1. This is shorter than others - make it the official def? (but is not as obvious that it is ⊆ 𝐶) 2. The unneeded direction of lcfl8a 42826 has awkward ∃- add another thm with only one direction of it? 3. Swap 𝑂‘{𝑣} and 𝐿‘𝑓? (Contributed by NM, 31-Jan-2015.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
mapdval4.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
mapdval4.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
mapdval4.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑈)
mapdval4.f	⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
mapdval4.l	⊢ 𝐿 = (LKer‘𝑈)
mapdval4.o	⊢ 𝑂 = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
mapdval4.m	⊢ 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
mapdval4.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
mapdval4.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
mapdval4N	⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝑇) = {𝑓 ∈ 𝐹 ∣ ∃𝑣 ∈ 𝑇 (𝑂‘{𝑣}) = (𝐿‘𝑓)})

Distinct variable groups:   𝑣,𝑓,𝐹   𝑓,𝐾   𝑣,𝐿   𝑣,𝑂   𝑇,𝑓,𝑣   𝑣,𝑈   𝑓,𝑊   𝜑,𝑓,𝑣

Allowed substitution hints:   𝑆(𝑣, 𝑓)   𝑈(𝑓)   𝐻(𝑣, 𝑓)   𝐾(𝑣)   𝐿(𝑓)   𝑀(𝑣, 𝑓)   𝑂(𝑓)   𝑊(𝑣)

Proof of Theorem mapdval4N

Dummy variables 𝑔 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mapdval4.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		mapdval4.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
3		mapdval4.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑈)
4		eqid 2763	. . 3 ⊢ (LSpan‘𝑈) = (LSpan‘𝑈)
5		mapdval4.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
6		mapdval4.l	. . 3 ⊢ 𝐿 = (LKer‘𝑈)
7		mapdval4.o	. . 3 ⊢ 𝑂 = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
8		mapdval4.m	. . 3 ⊢ 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
9		mapdval4.k	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
10		mapdval4.t	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝑆)
11		eqid 2763	. . 3 ⊢ {𝑔 ∈ 𝐹 ∣ (𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑔))) = (𝐿‘𝑔)} = {𝑔 ∈ 𝐹 ∣ (𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑔))) = (𝐿‘𝑔)}
12	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11	mapdval2N 42953	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝑇) = {𝑓 ∈ {𝑔 ∈ 𝐹 ∣ (𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑔))) = (𝐿‘𝑔)} ∣ ∃𝑣 ∈ 𝑇 (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑣})})
13	11	lcfl1lem 42814	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 ∈ {𝑔 ∈ 𝐹 ∣ (𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑔))) = (𝐿‘𝑔)} ↔ (𝑓 ∈ 𝐹 ∧ (𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓)))
14	13	anbi1i 636	. . . . 5 ⊢ ((𝑓 ∈ {𝑔 ∈ 𝐹 ∣ (𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑔))) = (𝐿‘𝑔)} ∧ ∃𝑣 ∈ 𝑇 (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑣})) ↔ ((𝑓 ∈ 𝐹 ∧ (𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓)) ∧ ∃𝑣 ∈ 𝑇 (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑣})))
15		anass 474	. . . . 5 ⊢ (((𝑓 ∈ 𝐹 ∧ (𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓)) ∧ ∃𝑣 ∈ 𝑇 (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑣})) ↔ (𝑓 ∈ 𝐹 ∧ ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓) ∧ ∃𝑣 ∈ 𝑇 (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑣}))))
16	14, 15	bitri 278	. . . 4 ⊢ ((𝑓 ∈ {𝑔 ∈ 𝐹 ∣ (𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑔))) = (𝐿‘𝑔)} ∧ ∃𝑣 ∈ 𝑇 (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑣})) ↔ (𝑓 ∈ 𝐹 ∧ ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓) ∧ ∃𝑣 ∈ 𝑇 (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑣}))))
17		r19.42v 3198	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑣 ∈ 𝑇 ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑣})) ↔ ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓) ∧ ∃𝑣 ∈ 𝑇 (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑣})))
18		simprr 785	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐹) ∧ 𝑣 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑣}))) → (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑣}))
19	18	fveq2d 6920	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐹) ∧ 𝑣 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑣}))) → (𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑓))) = (𝑂‘((LSpan‘𝑈)‘{𝑣})))
20		simprl 783	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐹) ∧ 𝑣 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑣}))) → (𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓))
21		eqid 2763	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘𝑈) = (Base‘𝑈)
22	9	adantr 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐹) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
23	22	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐹) ∧ 𝑣 ∈ 𝑇) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
24	23	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐹) ∧ 𝑣 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑣}))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
25	10	adantr 486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐹) → 𝑇 ∈ 𝑆)
26	21, 3	lssel 21263	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑇 ∈ 𝑆 ∧ 𝑣 ∈ 𝑇) → 𝑣 ∈ (Base‘𝑈))
27	25, 26	sylan 592	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐹) ∧ 𝑣 ∈ 𝑇) → 𝑣 ∈ (Base‘𝑈))
28	27	snssd 4749	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐹) ∧ 𝑣 ∈ 𝑇) → {𝑣} ⊆ (Base‘𝑈))
29	28	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐹) ∧ 𝑣 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑣}))) → {𝑣} ⊆ (Base‘𝑈))
30	1, 2, 7, 21, 4, 24, 29	dochocsp 42702	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐹) ∧ 𝑣 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑣}))) → (𝑂‘((LSpan‘𝑈)‘{𝑣})) = (𝑂‘{𝑣}))
31	19, 20, 30	3eqtr3rd 2807	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐹) ∧ 𝑣 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑣}))) → (𝑂‘{𝑣}) = (𝐿‘𝑓))
32	27	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐹) ∧ 𝑣 ∈ 𝑇) ∧ (𝑂‘{𝑣}) = (𝐿‘𝑓)) → 𝑣 ∈ (Base‘𝑈))
33		simpr 490	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐹) ∧ 𝑣 ∈ 𝑇) ∧ (𝑂‘{𝑣}) = (𝐿‘𝑓)) → (𝑂‘{𝑣}) = (𝐿‘𝑓))
34	33	eqcomd 2769	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐹) ∧ 𝑣 ∈ 𝑇) ∧ (𝑂‘{𝑣}) = (𝐿‘𝑓)) → (𝐿‘𝑓) = (𝑂‘{𝑣}))
35		sneq 4594	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑤 = 𝑣 → {𝑤} = {𝑣})
36	35	fveq2d 6920	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑤 = 𝑣 → (𝑂‘{𝑤}) = (𝑂‘{𝑣}))
37	36	rspceeqv 3602	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑣 ∈ (Base‘𝑈) ∧ (𝐿‘𝑓) = (𝑂‘{𝑣})) → ∃𝑤 ∈ (Base‘𝑈)(𝐿‘𝑓) = (𝑂‘{𝑤}))
38	32, 34, 37	syl2anc 596	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐹) ∧ 𝑣 ∈ 𝑇) ∧ (𝑂‘{𝑣}) = (𝐿‘𝑓)) → ∃𝑤 ∈ (Base‘𝑈)(𝐿‘𝑓) = (𝑂‘{𝑤}))
39	23	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐹) ∧ 𝑣 ∈ 𝑇) ∧ (𝑂‘{𝑣}) = (𝐿‘𝑓)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
40		simpllr 788	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐹) ∧ 𝑣 ∈ 𝑇) ∧ (𝑂‘{𝑣}) = (𝐿‘𝑓)) → 𝑓 ∈ 𝐹)
41	1, 7, 2, 21, 5, 6, 39, 40	lcfl8a 42826	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐹) ∧ 𝑣 ∈ 𝑇) ∧ (𝑂‘{𝑣}) = (𝐿‘𝑓)) → ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓) ↔ ∃𝑤 ∈ (Base‘𝑈)(𝐿‘𝑓) = (𝑂‘{𝑤})))
42	38, 41	mpbird 260	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐹) ∧ 𝑣 ∈ 𝑇) ∧ (𝑂‘{𝑣}) = (𝐿‘𝑓)) → (𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓))
43	1, 2, 7, 21, 4, 23, 27	dochocsn 42704	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐹) ∧ 𝑣 ∈ 𝑇) → (𝑂‘(𝑂‘{𝑣})) = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑣}))
44		fveq2 6916	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑂‘{𝑣}) = (𝐿‘𝑓) → (𝑂‘(𝑂‘{𝑣})) = (𝑂‘(𝐿‘𝑓)))
45	43, 44	sylan9req 2819	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐹) ∧ 𝑣 ∈ 𝑇) ∧ (𝑂‘{𝑣}) = (𝐿‘𝑓)) → ((LSpan‘𝑈)‘{𝑣}) = (𝑂‘(𝐿‘𝑓)))
46	45	eqcomd 2769	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐹) ∧ 𝑣 ∈ 𝑇) ∧ (𝑂‘{𝑣}) = (𝐿‘𝑓)) → (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑣}))
47	42, 46	jca 521	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐹) ∧ 𝑣 ∈ 𝑇) ∧ (𝑂‘{𝑣}) = (𝐿‘𝑓)) → ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑣})))
48	31, 47	impbida 813	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐹) ∧ 𝑣 ∈ 𝑇) → (((𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑣})) ↔ (𝑂‘{𝑣}) = (𝐿‘𝑓)))
49	48	rexbidva 3188	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐹) → (∃𝑣 ∈ 𝑇 ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑣})) ↔ ∃𝑣 ∈ 𝑇 (𝑂‘{𝑣}) = (𝐿‘𝑓)))
50	17, 49	bitr3id 288	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐹) → (((𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓) ∧ ∃𝑣 ∈ 𝑇 (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑣})) ↔ ∃𝑣 ∈ 𝑇 (𝑂‘{𝑣}) = (𝐿‘𝑓)))
51	50	pm5.32da 590	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑓 ∈ 𝐹 ∧ ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓) ∧ ∃𝑣 ∈ 𝑇 (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑣}))) ↔ (𝑓 ∈ 𝐹 ∧ ∃𝑣 ∈ 𝑇 (𝑂‘{𝑣}) = (𝐿‘𝑓))))
52	16, 51	bitrid 286	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑓 ∈ {𝑔 ∈ 𝐹 ∣ (𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑔))) = (𝐿‘𝑔)} ∧ ∃𝑣 ∈ 𝑇 (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑣})) ↔ (𝑓 ∈ 𝐹 ∧ ∃𝑣 ∈ 𝑇 (𝑂‘{𝑣}) = (𝐿‘𝑓))))
53	52	rabbidva2 3418	. 2 ⊢ (𝜑 → {𝑓 ∈ {𝑔 ∈ 𝐹 ∣ (𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑔))) = (𝐿‘𝑔)} ∣ ∃𝑣 ∈ 𝑇 (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑣})} = {𝑓 ∈ 𝐹 ∣ ∃𝑣 ∈ 𝑇 (𝑂‘{𝑣}) = (𝐿‘𝑓)})
54	12, 53	eqtrd 2798	1 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝑇) = {𝑓 ∈ 𝐹 ∣ ∃𝑣 ∈ 𝑇 (𝑂‘{𝑣}) = (𝐿‘𝑓)})

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ∃wrex 3090  {crab 3416   ⊆ wss 3900  {csn 4588  ‘cfv 6566  Basecbs 17431  LSubSpclss 21257  LSpanclspn 21297  LFnlclfn 40380  LKerclk 40408  HLchlt 40673  LHypclh 41307  DVecHcdvh 42401  ocHcoch 42670  mapdcmpd 42947

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316  ax-riotaBAD 40276

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4841  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-iin 4959  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-om 7912  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-tpos 8281  df-undef 8328  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-1o 8514  df-er 8755  df-map 8887  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-fin 9015  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-nn 12376  df-2 12445  df-3 12446  df-4 12447  df-5 12448  df-6 12449  df-n0 12647  df-z 12734  df-uz 13006  df-fz 13680  df-struct 17369  df-sets 17386  df-slot 17404  df-ndx 17416  df-base 17432  df-ress 17453  df-plusg 17486  df-mulr 17487  df-sca 17489  df-vsca 17490  df-0g 17662  df-proset 18518  df-poset 18537  df-plt 18552  df-lub 18568  df-glb 18569  df-join 18570  df-meet 18571  df-p0 18647  df-p1 18648  df-lat 18656  df-clat 18723  df-mgm 18866  df-sgrp 18958  df-mnd 18974  df-submnd 19029  df-grp 19197  df-minusg 19198  df-sbg 19199  df-subg 19383  df-cntz 19582  df-lsm 19901  df-cmn 20047  df-abl 20048  df-mgp 20412  df-rng 20426  df-ur 20459  df-ring 20512  df-oppr 20618  df-dvdsr 20638  df-unit 20639  df-invr 20669  df-dvr 20682  df-drng 21033  df-lmod 21188  df-lss 21258  df-lsp 21298  df-lvec 21429  df-lsatoms 40299  df-lshyp 40300  df-lfl 40381  df-lkr 40409  df-oposet 40499  df-ol 40501  df-oml 40502  df-covers 40589  df-ats 40590  df-atl 40621  df-cvlat 40645  df-hlat 40674  df-llines 40821  df-lplanes 40822  df-lvols 40823  df-lines 40824  df-psubsp 40826  df-pmap 40827  df-padd 41119  df-lhyp 41311  df-laut 41312  df-ldil 41427  df-ltrn 41428  df-trl 41482  df-tgrp 42066  df-tendo 42078  df-edring 42080  df-dveca 42326  df-disoa 42352  df-dvech 42402  df-dib 42462  df-dic 42496  df-dih 42552  df-doch 42671  df-djh 42718  df-mapd 42948

This theorem is used by:  mapdval5N  42956  mapd1dim2lem1N  42967