Theorem mapdval4N 42078

Description: Value of projectivity from vector space H to dual space. TODO: 1. This is shorter than others - make it the official def? (but is not as obvious that it is ⊆ 𝐶) 2. The unneeded direction of lcfl8a 41949 has awkward ∃- add another thm with only one direction of it? 3. Swap 𝑂‘{𝑣} and 𝐿‘𝑓? (Contributed by NM, 31-Jan-2015.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
mapdval4.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
mapdval4.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
mapdval4.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑈)
mapdval4.f	⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
mapdval4.l	⊢ 𝐿 = (LKer‘𝑈)
mapdval4.o	⊢ 𝑂 = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
mapdval4.m	⊢ 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
mapdval4.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
mapdval4.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
mapdval4N	⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝑇) = {𝑓 ∈ 𝐹 ∣ ∃𝑣 ∈ 𝑇 (𝑂‘{𝑣}) = (𝐿‘𝑓)})

Distinct variable groups:   𝑣,𝑓,𝐹   𝑓,𝐾   𝑣,𝐿   𝑣,𝑂   𝑇,𝑓,𝑣   𝑣,𝑈   𝑓,𝑊   𝜑,𝑓,𝑣

Allowed substitution hints:   𝑆(𝑣,𝑓)   𝑈(𝑓)   𝐻(𝑣,𝑓)   𝐾(𝑣)   𝐿(𝑓)   𝑀(𝑣,𝑓)   𝑂(𝑓)   𝑊(𝑣)

Proof of Theorem mapdval4N

Dummy variables 𝑔 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mapdval4.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		mapdval4.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
3		mapdval4.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑈)
4		eqid 2736	. . 3 ⊢ (LSpan‘𝑈) = (LSpan‘𝑈)
5		mapdval4.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
6		mapdval4.l	. . 3 ⊢ 𝐿 = (LKer‘𝑈)
7		mapdval4.o	. . 3 ⊢ 𝑂 = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
8		mapdval4.m	. . 3 ⊢ 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
9		mapdval4.k	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
10		mapdval4.t	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝑆)
11		eqid 2736	. . 3 ⊢ {𝑔 ∈ 𝐹 ∣ (𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑔))) = (𝐿‘𝑔)} = {𝑔 ∈ 𝐹 ∣ (𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑔))) = (𝐿‘𝑔)}
12	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11	mapdval2N 42076	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝑇) = {𝑓 ∈ {𝑔 ∈ 𝐹 ∣ (𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑔))) = (𝐿‘𝑔)} ∣ ∃𝑣 ∈ 𝑇 (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑣})})
13	11	lcfl1lem 41937	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 ∈ {𝑔 ∈ 𝐹 ∣ (𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑔))) = (𝐿‘𝑔)} ↔ (𝑓 ∈ 𝐹 ∧ (𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓)))
14	13	anbi1i 625	. . . . 5 ⊢ ((𝑓 ∈ {𝑔 ∈ 𝐹 ∣ (𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑔))) = (𝐿‘𝑔)} ∧ ∃𝑣 ∈ 𝑇 (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑣})) ↔ ((𝑓 ∈ 𝐹 ∧ (𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓)) ∧ ∃𝑣 ∈ 𝑇 (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑣})))
15		anass 468	. . . . 5 ⊢ (((𝑓 ∈ 𝐹 ∧ (𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓)) ∧ ∃𝑣 ∈ 𝑇 (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑣})) ↔ (𝑓 ∈ 𝐹 ∧ ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓) ∧ ∃𝑣 ∈ 𝑇 (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑣}))))
16	14, 15	bitri 275	. . . 4 ⊢ ((𝑓 ∈ {𝑔 ∈ 𝐹 ∣ (𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑔))) = (𝐿‘𝑔)} ∧ ∃𝑣 ∈ 𝑇 (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑣})) ↔ (𝑓 ∈ 𝐹 ∧ ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓) ∧ ∃𝑣 ∈ 𝑇 (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑣}))))
17		r19.42v 3169	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑣 ∈ 𝑇 ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑣})) ↔ ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓) ∧ ∃𝑣 ∈ 𝑇 (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑣})))
18		simprr 773	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐹) ∧ 𝑣 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑣}))) → (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑣}))
19	18	fveq2d 6844	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐹) ∧ 𝑣 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑣}))) → (𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑓))) = (𝑂‘((LSpan‘𝑈)‘{𝑣})))
20		simprl 771	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐹) ∧ 𝑣 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑣}))) → (𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓))
21		eqid 2736	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘𝑈) = (Base‘𝑈)
22	9	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐹) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
23	22	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐹) ∧ 𝑣 ∈ 𝑇) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
24	23	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐹) ∧ 𝑣 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑣}))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
25	10	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐹) → 𝑇 ∈ 𝑆)
26	21, 3	lssel 20932	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑇 ∈ 𝑆 ∧ 𝑣 ∈ 𝑇) → 𝑣 ∈ (Base‘𝑈))
27	25, 26	sylan 581	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐹) ∧ 𝑣 ∈ 𝑇) → 𝑣 ∈ (Base‘𝑈))
28	27	snssd 4730	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐹) ∧ 𝑣 ∈ 𝑇) → {𝑣} ⊆ (Base‘𝑈))
29	28	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐹) ∧ 𝑣 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑣}))) → {𝑣} ⊆ (Base‘𝑈))
30	1, 2, 7, 21, 4, 24, 29	dochocsp 41825	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐹) ∧ 𝑣 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑣}))) → (𝑂‘((LSpan‘𝑈)‘{𝑣})) = (𝑂‘{𝑣}))
31	19, 20, 30	3eqtr3rd 2780	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐹) ∧ 𝑣 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑣}))) → (𝑂‘{𝑣}) = (𝐿‘𝑓))
32	27	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐹) ∧ 𝑣 ∈ 𝑇) ∧ (𝑂‘{𝑣}) = (𝐿‘𝑓)) → 𝑣 ∈ (Base‘𝑈))
33		simpr 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐹) ∧ 𝑣 ∈ 𝑇) ∧ (𝑂‘{𝑣}) = (𝐿‘𝑓)) → (𝑂‘{𝑣}) = (𝐿‘𝑓))
34	33	eqcomd 2742	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐹) ∧ 𝑣 ∈ 𝑇) ∧ (𝑂‘{𝑣}) = (𝐿‘𝑓)) → (𝐿‘𝑓) = (𝑂‘{𝑣}))
35		sneq 4577	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑤 = 𝑣 → {𝑤} = {𝑣})
36	35	fveq2d 6844	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑤 = 𝑣 → (𝑂‘{𝑤}) = (𝑂‘{𝑣}))
37	36	rspceeqv 3587	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑣 ∈ (Base‘𝑈) ∧ (𝐿‘𝑓) = (𝑂‘{𝑣})) → ∃𝑤 ∈ (Base‘𝑈)(𝐿‘𝑓) = (𝑂‘{𝑤}))
38	32, 34, 37	syl2anc 585	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐹) ∧ 𝑣 ∈ 𝑇) ∧ (𝑂‘{𝑣}) = (𝐿‘𝑓)) → ∃𝑤 ∈ (Base‘𝑈)(𝐿‘𝑓) = (𝑂‘{𝑤}))
39	23	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐹) ∧ 𝑣 ∈ 𝑇) ∧ (𝑂‘{𝑣}) = (𝐿‘𝑓)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
40		simpllr 776	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐹) ∧ 𝑣 ∈ 𝑇) ∧ (𝑂‘{𝑣}) = (𝐿‘𝑓)) → 𝑓 ∈ 𝐹)
41	1, 7, 2, 21, 5, 6, 39, 40	lcfl8a 41949	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐹) ∧ 𝑣 ∈ 𝑇) ∧ (𝑂‘{𝑣}) = (𝐿‘𝑓)) → ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓) ↔ ∃𝑤 ∈ (Base‘𝑈)(𝐿‘𝑓) = (𝑂‘{𝑤})))
42	38, 41	mpbird 257	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐹) ∧ 𝑣 ∈ 𝑇) ∧ (𝑂‘{𝑣}) = (𝐿‘𝑓)) → (𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓))
43	1, 2, 7, 21, 4, 23, 27	dochocsn 41827	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐹) ∧ 𝑣 ∈ 𝑇) → (𝑂‘(𝑂‘{𝑣})) = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑣}))
44		fveq2 6840	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑂‘{𝑣}) = (𝐿‘𝑓) → (𝑂‘(𝑂‘{𝑣})) = (𝑂‘(𝐿‘𝑓)))
45	43, 44	sylan9req 2792	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐹) ∧ 𝑣 ∈ 𝑇) ∧ (𝑂‘{𝑣}) = (𝐿‘𝑓)) → ((LSpan‘𝑈)‘{𝑣}) = (𝑂‘(𝐿‘𝑓)))
46	45	eqcomd 2742	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐹) ∧ 𝑣 ∈ 𝑇) ∧ (𝑂‘{𝑣}) = (𝐿‘𝑓)) → (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑣}))
47	42, 46	jca 511	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐹) ∧ 𝑣 ∈ 𝑇) ∧ (𝑂‘{𝑣}) = (𝐿‘𝑓)) → ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑣})))
48	31, 47	impbida 801	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐹) ∧ 𝑣 ∈ 𝑇) → (((𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑣})) ↔ (𝑂‘{𝑣}) = (𝐿‘𝑓)))
49	48	rexbidva 3159	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐹) → (∃𝑣 ∈ 𝑇 ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑣})) ↔ ∃𝑣 ∈ 𝑇 (𝑂‘{𝑣}) = (𝐿‘𝑓)))
50	17, 49	bitr3id 285	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐹) → (((𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓) ∧ ∃𝑣 ∈ 𝑇 (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑣})) ↔ ∃𝑣 ∈ 𝑇 (𝑂‘{𝑣}) = (𝐿‘𝑓)))
51	50	pm5.32da 579	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑓 ∈ 𝐹 ∧ ((𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓) ∧ ∃𝑣 ∈ 𝑇 (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑣}))) ↔ (𝑓 ∈ 𝐹 ∧ ∃𝑣 ∈ 𝑇 (𝑂‘{𝑣}) = (𝐿‘𝑓))))
52	16, 51	bitrid 283	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑓 ∈ {𝑔 ∈ 𝐹 ∣ (𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑔))) = (𝐿‘𝑔)} ∧ ∃𝑣 ∈ 𝑇 (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑣})) ↔ (𝑓 ∈ 𝐹 ∧ ∃𝑣 ∈ 𝑇 (𝑂‘{𝑣}) = (𝐿‘𝑓))))
53	52	rabbidva2 3391	. 2 ⊢ (𝜑 → {𝑓 ∈ {𝑔 ∈ 𝐹 ∣ (𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑔))) = (𝐿‘𝑔)} ∣ ∃𝑣 ∈ 𝑇 (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑣})} = {𝑓 ∈ 𝐹 ∣ ∃𝑣 ∈ 𝑇 (𝑂‘{𝑣}) = (𝐿‘𝑓)})
54	12, 53	eqtrd 2771	1 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝑇) = {𝑓 ∈ 𝐹 ∣ ∃𝑣 ∈ 𝑇 (𝑂‘{𝑣}) = (𝐿‘𝑓)})

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∃wrex 3061  {crab 3389   ⊆ wss 3889  {csn 4567  ‘cfv 6498  Basecbs 17179  LSubSpclss 20926  LSpanclspn 20966  LFnlclfn 39503  LKerclk 39531  HLchlt 39796  LHypclh 40430  DVecHcdvh 41524  ocHcoch 41793  mapdcmpd 42070

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-riotaBAD 39399

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4851  df-int 4890  df-iun 4935  df-iin 4936  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-tpos 8176  df-undef 8223  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-er 8643  df-map 8775  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-4 12246  df-5 12247  df-6 12248  df-n0 12438  df-z 12525  df-uz 12789  df-fz 13462  df-struct 17117  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-ress 17201  df-plusg 17233  df-mulr 17234  df-sca 17236  df-vsca 17237  df-0g 17404  df-proset 18260  df-poset 18279  df-plt 18294  df-lub 18310  df-glb 18311  df-join 18312  df-meet 18313  df-p0 18389  df-p1 18390  df-lat 18398  df-clat 18465  df-mgm 18608  df-sgrp 18687  df-mnd 18703  df-submnd 18752  df-grp 18912  df-minusg 18913  df-sbg 18914  df-subg 19099  df-cntz 19292  df-lsm 19611  df-cmn 19757  df-abl 19758  df-mgp 20122  df-rng 20134  df-ur 20163  df-ring 20216  df-oppr 20317  df-dvdsr 20337  df-unit 20338  df-invr 20368  df-dvr 20381  df-drng 20708  df-lmod 20857  df-lss 20927  df-lsp 20967  df-lvec 21098  df-lsatoms 39422  df-lshyp 39423  df-lfl 39504  df-lkr 39532  df-oposet 39622  df-ol 39624  df-oml 39625  df-covers 39712  df-ats 39713  df-atl 39744  df-cvlat 39768  df-hlat 39797  df-llines 39944  df-lplanes 39945  df-lvols 39946  df-lines 39947  df-psubsp 39949  df-pmap 39950  df-padd 40242  df-lhyp 40434  df-laut 40435  df-ldil 40550  df-ltrn 40551  df-trl 40605  df-tgrp 41189  df-tendo 41201  df-edring 41203  df-dveca 41449  df-disoa 41475  df-dvech 41525  df-dib 41585  df-dic 41619  df-dih 41675  df-doch 41794  df-djh 41841  df-mapd 42071

This theorem is referenced by:  mapdval5N  42079  mapd1dim2lem1N  42090