Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lcfrlem16 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lcfrlem16 41161
Description: Lemma for lcfr 41188. (Contributed by NM, 8-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lcf1o.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
lcf1o.o = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
lcf1o.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
lcf1o.v 𝑉 = (Base‘𝑈)
lcf1o.a + = (+g𝑈)
lcf1o.t · = ( ·𝑠𝑈)
lcf1o.s 𝑆 = (Scalar‘𝑈)
lcf1o.r 𝑅 = (Base‘𝑆)
lcf1o.z 0 = (0g𝑈)
lcf1o.f 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
lcf1o.l 𝐿 = (LKer‘𝑈)
lcf1o.d 𝐷 = (LDual‘𝑈)
lcf1o.q 𝑄 = (0g𝐷)
lcf1o.c 𝐶 = {𝑓𝐹 ∣ ( ‘( ‘(𝐿𝑓))) = (𝐿𝑓)}
lcf1o.j 𝐽 = (𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ↦ (𝑣𝑉 ↦ (𝑘𝑅𝑤 ∈ ( ‘{𝑥})𝑣 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑥)))))
lcflo.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
lcfrlem16.p 𝑃 = (LSubSp‘𝐷)
lcfrlem16.g (𝜑𝐺𝑃)
lcfrlem16.gs (𝜑𝐺𝐶)
lcfrlem16.m 𝐸 = 𝑔𝐺 ( ‘(𝐿𝑔))
lcfrlem16.x (𝜑𝑋 ∈ (𝐸 ∖ { 0 }))
Assertion
Ref Expression
lcfrlem16 (𝜑 → (𝐽𝑋) ∈ 𝐺)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑤,   𝑥, 0   𝑥,𝑣,𝑉   𝑥, ·   𝑣,𝑘,𝑤,𝑥,𝑋   𝑥, +   𝑥,𝑅   𝑓,𝑘,𝑣,𝑤, +   𝑓,𝐹,𝑘   𝑔,𝑘,𝐺   𝑓,𝑔,𝐽,𝑘   𝑓,𝐿,𝑘   ,𝑓,𝑘,𝑣   𝑅,𝑓,𝑘,𝑣   𝑆,𝑘   · ,𝑓,𝑘,𝑣,𝑤   𝑈,𝑘   𝑓,𝑉,𝑔,𝑥   𝑓,𝑋   𝑣,𝑔,𝑤,𝑥,𝑋   𝜑,𝑔,𝑘
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑤,𝑣,𝑓)   𝐶(𝑥,𝑤,𝑣,𝑓,𝑔,𝑘)   𝐷(𝑥,𝑤,𝑣,𝑓,𝑔,𝑘)   𝑃(𝑥,𝑤,𝑣,𝑓,𝑔,𝑘)   + (𝑔)   𝑄(𝑥,𝑤,𝑣,𝑓,𝑔,𝑘)   𝑅(𝑤,𝑔)   𝑆(𝑥,𝑤,𝑣,𝑓,𝑔)   · (𝑔)   𝑈(𝑥,𝑤,𝑣,𝑓,𝑔)   𝐸(𝑥,𝑤,𝑣,𝑓,𝑔,𝑘)   𝐹(𝑥,𝑤,𝑣,𝑔)   𝐺(𝑥,𝑤,𝑣,𝑓)   𝐻(𝑥,𝑤,𝑣,𝑓,𝑔,𝑘)   𝐽(𝑥,𝑤,𝑣)   𝐾(𝑥,𝑤,𝑣,𝑓,𝑔,𝑘)   𝐿(𝑥,𝑤,𝑣,𝑔)   (𝑔)   𝑉(𝑤,𝑘)   𝑊(𝑥,𝑤,𝑣,𝑓,𝑔,𝑘)   0 (𝑤,𝑣,𝑓,𝑔,𝑘)

Proof of Theorem lcfrlem16
StepHypRef Expression
1 lcfrlem16.x . . . . 5 (𝜑𝑋 ∈ (𝐸 ∖ { 0 }))
21eldifad 3956 . . . 4 (𝜑𝑋𝐸)
3 lcfrlem16.m . . . 4 𝐸 = 𝑔𝐺 ( ‘(𝐿𝑔))
42, 3eleqtrdi 2835 . . 3 (𝜑𝑋 𝑔𝐺 ( ‘(𝐿𝑔)))
5 eliun 5001 . . 3 (𝑋 𝑔𝐺 ( ‘(𝐿𝑔)) ↔ ∃𝑔𝐺 𝑋 ∈ ( ‘(𝐿𝑔)))
64, 5sylib 217 . 2 (𝜑 → ∃𝑔𝐺 𝑋 ∈ ( ‘(𝐿𝑔)))
7 lcf1o.s . . . . 5 𝑆 = (Scalar‘𝑈)
8 lcf1o.r . . . . 5 𝑅 = (Base‘𝑆)
9 lcf1o.f . . . . 5 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
10 lcf1o.l . . . . 5 𝐿 = (LKer‘𝑈)
11 lcf1o.d . . . . 5 𝐷 = (LDual‘𝑈)
12 eqid 2725 . . . . 5 ( ·𝑠𝐷) = ( ·𝑠𝐷)
13 lcf1o.h . . . . . . 7 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
14 lcf1o.u . . . . . . 7 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
15 lcflo.k . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
1613, 14, 15dvhlvec 40712 . . . . . 6 (𝜑𝑈 ∈ LVec)
17163ad2ant1 1130 . . . . 5 ((𝜑𝑔𝐺𝑋 ∈ ( ‘(𝐿𝑔))) → 𝑈 ∈ LVec)
18 lcfrlem16.g . . . . . . . 8 (𝜑𝐺𝑃)
19 eqid 2725 . . . . . . . . 9 (Base‘𝐷) = (Base‘𝐷)
20 lcfrlem16.p . . . . . . . . 9 𝑃 = (LSubSp‘𝐷)
2119, 20lssel 20833 . . . . . . . 8 ((𝐺𝑃𝑔𝐺) → 𝑔 ∈ (Base‘𝐷))
2218, 21sylan 578 . . . . . . 7 ((𝜑𝑔𝐺) → 𝑔 ∈ (Base‘𝐷))
2313, 14, 15dvhlmod 40713 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑈 ∈ LMod)
249, 11, 19, 23ldualvbase 38728 . . . . . . . 8 (𝜑 → (Base‘𝐷) = 𝐹)
2524adantr 479 . . . . . . 7 ((𝜑𝑔𝐺) → (Base‘𝐷) = 𝐹)
2622, 25eleqtrd 2827 . . . . . 6 ((𝜑𝑔𝐺) → 𝑔𝐹)
27263adant3 1129 . . . . 5 ((𝜑𝑔𝐺𝑋 ∈ ( ‘(𝐿𝑔))) → 𝑔𝐹)
28 lcf1o.o . . . . . . 7 = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
29 lcf1o.v . . . . . . 7 𝑉 = (Base‘𝑈)
30 lcf1o.a . . . . . . 7 + = (+g𝑈)
31 lcf1o.t . . . . . . 7 · = ( ·𝑠𝑈)
32 lcf1o.z . . . . . . 7 0 = (0g𝑈)
33 lcf1o.q . . . . . . 7 𝑄 = (0g𝐷)
34 lcf1o.c . . . . . . 7 𝐶 = {𝑓𝐹 ∣ ( ‘( ‘(𝐿𝑓))) = (𝐿𝑓)}
35 lcf1o.j . . . . . . 7 𝐽 = (𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ↦ (𝑣𝑉 ↦ (𝑘𝑅𝑤 ∈ ( ‘{𝑥})𝑣 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑥)))))
3615adantr 479 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑔𝐺) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
3723adantr 479 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑔𝐺) → 𝑈 ∈ LMod)
3829, 9, 10, 37, 26lkrssv 38698 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑔𝐺) → (𝐿𝑔) ⊆ 𝑉)
3913, 14, 29, 28dochssv 40958 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐿𝑔) ⊆ 𝑉) → ( ‘(𝐿𝑔)) ⊆ 𝑉)
4036, 38, 39syl2anc 582 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑔𝐺) → ( ‘(𝐿𝑔)) ⊆ 𝑉)
4140ralrimiva 3135 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ∀𝑔𝐺 ( ‘(𝐿𝑔)) ⊆ 𝑉)
42 iunss 5049 . . . . . . . . . . 11 ( 𝑔𝐺 ( ‘(𝐿𝑔)) ⊆ 𝑉 ↔ ∀𝑔𝐺 ( ‘(𝐿𝑔)) ⊆ 𝑉)
4341, 42sylibr 233 . . . . . . . . . 10 (𝜑 𝑔𝐺 ( ‘(𝐿𝑔)) ⊆ 𝑉)
443, 43eqsstrid 4025 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐸𝑉)
4544ssdifd 4137 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐸 ∖ { 0 }) ⊆ (𝑉 ∖ { 0 }))
4645, 1sseldd 3977 . . . . . . 7 (𝜑𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
4713, 28, 14, 29, 30, 31, 7, 8, 32, 9, 10, 11, 33, 34, 35, 15, 46lcfrlem10 41155 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐽𝑋) ∈ 𝐹)
48473ad2ant1 1130 . . . . 5 ((𝜑𝑔𝐺𝑋 ∈ ( ‘(𝐿𝑔))) → (𝐽𝑋) ∈ 𝐹)
49 eqid 2725 . . . . . . 7 (LSAtoms‘𝑈) = (LSAtoms‘𝑈)
50153ad2ant1 1130 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑔𝐺𝑋 ∈ ( ‘(𝐿𝑔))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
51 simp3 1135 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑔𝐺𝑋 ∈ ( ‘(𝐿𝑔))) → 𝑋 ∈ ( ‘(𝐿𝑔)))
52 eldifsni 4795 . . . . . . . . . . 11 (𝑋 ∈ (𝐸 ∖ { 0 }) → 𝑋0 )
531, 52syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑋0 )
54533ad2ant1 1130 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑔𝐺𝑋 ∈ ( ‘(𝐿𝑔))) → 𝑋0 )
55 eldifsn 4792 . . . . . . . . 9 (𝑋 ∈ (( ‘(𝐿𝑔)) ∖ { 0 }) ↔ (𝑋 ∈ ( ‘(𝐿𝑔)) ∧ 𝑋0 ))
5651, 54, 55sylanbrc 581 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑔𝐺𝑋 ∈ ( ‘(𝐿𝑔))) → 𝑋 ∈ (( ‘(𝐿𝑔)) ∖ { 0 }))
5713, 28, 14, 29, 32, 9, 10, 50, 27, 56, 49dochsnkrlem2 41073 . . . . . . 7 ((𝜑𝑔𝐺𝑋 ∈ ( ‘(𝐿𝑔))) → ( ‘(𝐿𝑔)) ∈ (LSAtoms‘𝑈))
5813, 28, 14, 29, 30, 31, 7, 8, 32, 9, 10, 11, 33, 34, 35, 15, 46lcfrlem15 41160 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑋 ∈ ( ‘(𝐿‘(𝐽𝑋))))
59 eldifsn 4792 . . . . . . . . . 10 (𝑋 ∈ (( ‘(𝐿‘(𝐽𝑋))) ∖ { 0 }) ↔ (𝑋 ∈ ( ‘(𝐿‘(𝐽𝑋))) ∧ 𝑋0 ))
6058, 53, 59sylanbrc 581 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑋 ∈ (( ‘(𝐿‘(𝐽𝑋))) ∖ { 0 }))
6113, 28, 14, 29, 32, 9, 10, 15, 47, 60, 49dochsnkrlem2 41073 . . . . . . . 8 (𝜑 → ( ‘(𝐿‘(𝐽𝑋))) ∈ (LSAtoms‘𝑈))
62613ad2ant1 1130 . . . . . . 7 ((𝜑𝑔𝐺𝑋 ∈ ( ‘(𝐿𝑔))) → ( ‘(𝐿‘(𝐽𝑋))) ∈ (LSAtoms‘𝑈))
63583ad2ant1 1130 . . . . . . 7 ((𝜑𝑔𝐺𝑋 ∈ ( ‘(𝐿𝑔))) → 𝑋 ∈ ( ‘(𝐿‘(𝐽𝑋))))
6432, 49, 17, 57, 62, 54, 51, 63lsat2el 38609 . . . . . 6 ((𝜑𝑔𝐺𝑋 ∈ ( ‘(𝐿𝑔))) → ( ‘(𝐿𝑔)) = ( ‘(𝐿‘(𝐽𝑋))))
65 eqid 2725 . . . . . . 7 ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
66 lcfrlem16.gs . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐺𝐶)
67663ad2ant1 1130 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑔𝐺𝑋 ∈ ( ‘(𝐿𝑔))) → 𝐺𝐶)
68 simp2 1134 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑔𝐺𝑋 ∈ ( ‘(𝐿𝑔))) → 𝑔𝐺)
6967, 68sseldd 3977 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑔𝐺𝑋 ∈ ( ‘(𝐿𝑔))) → 𝑔𝐶)
7013, 65, 28, 14, 9, 10, 34, 50, 27lcfl5 41099 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑔𝐺𝑋 ∈ ( ‘(𝐿𝑔))) → (𝑔𝐶 ↔ (𝐿𝑔) ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)))
7169, 70mpbid 231 . . . . . . 7 ((𝜑𝑔𝐺𝑋 ∈ ( ‘(𝐿𝑔))) → (𝐿𝑔) ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊))
7213, 28, 14, 29, 30, 31, 7, 8, 32, 9, 10, 11, 33, 34, 35, 15, 46lcfrlem13 41158 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐽𝑋) ∈ (𝐶 ∖ {𝑄}))
7372eldifad 3956 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐽𝑋) ∈ 𝐶)
7413, 65, 28, 14, 9, 10, 34, 15, 47lcfl5 41099 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐽𝑋) ∈ 𝐶 ↔ (𝐿‘(𝐽𝑋)) ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)))
7573, 74mpbid 231 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐿‘(𝐽𝑋)) ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊))
76753ad2ant1 1130 . . . . . . 7 ((𝜑𝑔𝐺𝑋 ∈ ( ‘(𝐿𝑔))) → (𝐿‘(𝐽𝑋)) ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊))
7713, 65, 28, 50, 71, 76doch11 40976 . . . . . 6 ((𝜑𝑔𝐺𝑋 ∈ ( ‘(𝐿𝑔))) → (( ‘(𝐿𝑔)) = ( ‘(𝐿‘(𝐽𝑋))) ↔ (𝐿𝑔) = (𝐿‘(𝐽𝑋))))
7864, 77mpbid 231 . . . . 5 ((𝜑𝑔𝐺𝑋 ∈ ( ‘(𝐿𝑔))) → (𝐿𝑔) = (𝐿‘(𝐽𝑋)))
797, 8, 9, 10, 11, 12, 17, 27, 48, 78eqlkr4 38767 . . . 4 ((𝜑𝑔𝐺𝑋 ∈ ( ‘(𝐿𝑔))) → ∃𝑘𝑅 (𝐽𝑋) = (𝑘( ·𝑠𝐷)𝑔))
80233ad2ant1 1130 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑔𝐺𝑋 ∈ ( ‘(𝐿𝑔))) → 𝑈 ∈ LMod)
8180adantr 479 . . . . . . 7 (((𝜑𝑔𝐺𝑋 ∈ ( ‘(𝐿𝑔))) ∧ 𝑘𝑅) → 𝑈 ∈ LMod)
82183ad2ant1 1130 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑔𝐺𝑋 ∈ ( ‘(𝐿𝑔))) → 𝐺𝑃)
8382adantr 479 . . . . . . 7 (((𝜑𝑔𝐺𝑋 ∈ ( ‘(𝐿𝑔))) ∧ 𝑘𝑅) → 𝐺𝑃)
84 simpr 483 . . . . . . 7 (((𝜑𝑔𝐺𝑋 ∈ ( ‘(𝐿𝑔))) ∧ 𝑘𝑅) → 𝑘𝑅)
85 simpl2 1189 . . . . . . 7 (((𝜑𝑔𝐺𝑋 ∈ ( ‘(𝐿𝑔))) ∧ 𝑘𝑅) → 𝑔𝐺)
867, 8, 11, 12, 20, 81, 83, 84, 85ldualssvscl 38760 . . . . . 6 (((𝜑𝑔𝐺𝑋 ∈ ( ‘(𝐿𝑔))) ∧ 𝑘𝑅) → (𝑘( ·𝑠𝐷)𝑔) ∈ 𝐺)
87 eleq1 2813 . . . . . 6 ((𝐽𝑋) = (𝑘( ·𝑠𝐷)𝑔) → ((𝐽𝑋) ∈ 𝐺 ↔ (𝑘( ·𝑠𝐷)𝑔) ∈ 𝐺))
8886, 87syl5ibrcom 246 . . . . 5 (((𝜑𝑔𝐺𝑋 ∈ ( ‘(𝐿𝑔))) ∧ 𝑘𝑅) → ((𝐽𝑋) = (𝑘( ·𝑠𝐷)𝑔) → (𝐽𝑋) ∈ 𝐺))
8988rexlimdva 3144 . . . 4 ((𝜑𝑔𝐺𝑋 ∈ ( ‘(𝐿𝑔))) → (∃𝑘𝑅 (𝐽𝑋) = (𝑘( ·𝑠𝐷)𝑔) → (𝐽𝑋) ∈ 𝐺))
9079, 89mpd 15 . . 3 ((𝜑𝑔𝐺𝑋 ∈ ( ‘(𝐿𝑔))) → (𝐽𝑋) ∈ 𝐺)
9190rexlimdv3a 3148 . 2 (𝜑 → (∃𝑔𝐺 𝑋 ∈ ( ‘(𝐿𝑔)) → (𝐽𝑋) ∈ 𝐺))
926, 91mpd 15 1 (𝜑 → (𝐽𝑋) ∈ 𝐺)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 394  w3a 1084   = wceq 1533  wcel 2098  wne 2929  wral 3050  wrex 3059  {crab 3418  cdif 3941  wss 3944  {csn 4630   ciun 4997  cmpt 5232  ran crn 5679  cfv 6549  crio 7374  (class class class)co 7419  Basecbs 17183  +gcplusg 17236  Scalarcsca 17239   ·𝑠 cvsca 17240  0gc0g 17424  LModclmod 20755  LSubSpclss 20827  LVecclvec 20999  LSAtomsclsa 38576  LFnlclfn 38659  LKerclk 38687  LDualcld 38725  HLchlt 38952  LHypclh 39587  DVecHcdvh 40681  DIsoHcdih 40831  ocHcoch 40950
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-cnex 11196  ax-resscn 11197  ax-1cn 11198  ax-icn 11199  ax-addcl 11200  ax-addrcl 11201  ax-mulcl 11202  ax-mulrcl 11203  ax-mulcom 11204  ax-addass 11205  ax-mulass 11206  ax-distr 11207  ax-i2m1 11208  ax-1ne0 11209  ax-1rid 11210  ax-rnegex 11211  ax-rrecex 11212  ax-cnre 11213  ax-pre-lttri 11214  ax-pre-lttrn 11215  ax-pre-ltadd 11216  ax-pre-mulgt0 11217  ax-riotaBAD 38555
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4910  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-of 7685  df-om 7872  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-tpos 8232  df-undef 8279  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-er 8725  df-map 8847  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-pnf 11282  df-mnf 11283  df-xr 11284  df-ltxr 11285  df-le 11286  df-sub 11478  df-neg 11479  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-4 12310  df-5 12311  df-6 12312  df-n0 12506  df-z 12592  df-uz 12856  df-fz 13520  df-struct 17119  df-sets 17136  df-slot 17154  df-ndx 17166  df-base 17184  df-ress 17213  df-plusg 17249  df-mulr 17250  df-sca 17252  df-vsca 17253  df-0g 17426  df-proset 18290  df-poset 18308  df-plt 18325  df-lub 18341  df-glb 18342  df-join 18343  df-meet 18344  df-p0 18420  df-p1 18421  df-lat 18427  df-clat 18494  df-mgm 18603  df-sgrp 18682  df-mnd 18698  df-submnd 18744  df-grp 18901  df-minusg 18902  df-sbg 18903  df-subg 19086  df-cntz 19280  df-lsm 19603  df-cmn 19749  df-abl 19750  df-mgp 20087  df-rng 20105  df-ur 20134  df-ring 20187  df-oppr 20285  df-dvdsr 20308  df-unit 20309  df-invr 20339  df-dvr 20352  df-drng 20638  df-lmod 20757  df-lss 20828  df-lsp 20868  df-lvec 21000  df-lsatoms 38578  df-lshyp 38579  df-lfl 38660  df-lkr 38688  df-ldual 38726  df-oposet 38778  df-ol 38780  df-oml 38781  df-covers 38868  df-ats 38869  df-atl 38900  df-cvlat 38924  df-hlat 38953  df-llines 39101  df-lplanes 39102  df-lvols 39103  df-lines 39104  df-psubsp 39106  df-pmap 39107  df-padd 39399  df-lhyp 39591  df-laut 39592  df-ldil 39707  df-ltrn 39708  df-trl 39762  df-tgrp 40346  df-tendo 40358  df-edring 40360  df-dveca 40606  df-disoa 40632  df-dvech 40682  df-dib 40742  df-dic 40776  df-dih 40832  df-doch 40951  df-djh 40998
This theorem is referenced by:  lcfrlem27  41172  lcfrlem37  41182
  Copyright terms: Public domain W3C validator