MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lssvancl1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lssvancl1 20961
Description: Non-closure: if one vector belongs to a subspace but another does not, their sum does not belong. Useful for obtaining a new vector not in a subspace. TODO: notice similarity to lspindp3 21156. Can it be used along with lspsnne1 21137, lspsnne2 21138 to shorten this proof? (Contributed by NM, 14-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lssvancl.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
lssvancl.p + = (+g𝑊)
lssvancl.s 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lssvancl.w (𝜑𝑊 ∈ LMod)
lssvancl.u (𝜑𝑈𝑆)
lssvancl.x (𝜑𝑋𝑈)
lssvancl.y (𝜑𝑌𝑉)
lssvancl.n (𝜑 → ¬ 𝑌𝑈)
Assertion
Ref Expression
lssvancl1 (𝜑 → ¬ (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝑈)

Proof of Theorem lssvancl1
StepHypRef Expression
1 lssvancl.n . 2 (𝜑 → ¬ 𝑌𝑈)
2 lssvancl.w . . . . . 6 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
3 lmodabl 20924 . . . . . 6 (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Abel)
42, 3syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑊 ∈ Abel)
5 lssvancl.u . . . . . 6 (𝜑𝑈𝑆)
6 lssvancl.x . . . . . 6 (𝜑𝑋𝑈)
7 lssvancl.v . . . . . . 7 𝑉 = (Base‘𝑊)
8 lssvancl.s . . . . . . 7 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
97, 8lssel 20953 . . . . . 6 ((𝑈𝑆𝑋𝑈) → 𝑋𝑉)
105, 6, 9syl2anc 584 . . . . 5 (𝜑𝑋𝑉)
11 lssvancl.y . . . . 5 (𝜑𝑌𝑉)
12 lssvancl.p . . . . . 6 + = (+g𝑊)
13 eqid 2735 . . . . . 6 (-g𝑊) = (-g𝑊)
147, 12, 13ablpncan2 19848 . . . . 5 ((𝑊 ∈ Abel ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) → ((𝑋 + 𝑌)(-g𝑊)𝑋) = 𝑌)
154, 10, 11, 14syl3anc 1370 . . . 4 (𝜑 → ((𝑋 + 𝑌)(-g𝑊)𝑋) = 𝑌)
1615adantr 480 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝑈) → ((𝑋 + 𝑌)(-g𝑊)𝑋) = 𝑌)
172adantr 480 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝑈) → 𝑊 ∈ LMod)
185adantr 480 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝑈) → 𝑈𝑆)
19 simpr 484 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝑈) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝑈)
206adantr 480 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝑈) → 𝑋𝑈)
2113, 8lssvsubcl 20960 . . . 4 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) ∧ ((𝑋 + 𝑌) ∈ 𝑈𝑋𝑈)) → ((𝑋 + 𝑌)(-g𝑊)𝑋) ∈ 𝑈)
2217, 18, 19, 20, 21syl22anc 839 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝑈) → ((𝑋 + 𝑌)(-g𝑊)𝑋) ∈ 𝑈)
2316, 22eqeltrrd 2840 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝑈) → 𝑌𝑈)
241, 23mtand 816 1 (𝜑 → ¬ (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝑈)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  cfv 6563  (class class class)co 7431  Basecbs 17245  +gcplusg 17298  -gcsg 18966  Abelcabl 19814  LModclmod 20875  LSubSpclss 20947
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-plusg 17311  df-0g 17488  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-grp 18967  df-minusg 18968  df-sbg 18969  df-cmn 19815  df-abl 19816  df-mgp 20153  df-ur 20200  df-ring 20253  df-lmod 20877  df-lss 20948
This theorem is referenced by:  lssvancl2  20962  dvh3dim2  41431  dvh3dim3N  41432  hdmap11lem2  41825
  Copyright terms: Public domain W3C validator