Theorem lssvancl1 20827

Description: Non-closure: if one vector belongs to a subspace but another does not, their sum does not belong. Useful for obtaining a new vector not in a subspace. TODO: notice similarity to lspindp3 21022. Can it be used along with lspsnne1 21003, lspsnne2 21004 to shorten this proof? (Contributed by NM, 14-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lssvancl.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lssvancl.p	⊢ + = (+g‘𝑊)
lssvancl.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lssvancl.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
lssvancl.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)
lssvancl.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑈)
lssvancl.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
lssvancl.n	⊢ (𝜑 → ¬ 𝑌 ∈ 𝑈)

Assertion

Ref	Expression
lssvancl1	⊢ (𝜑 → ¬ (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝑈)

Proof of Theorem lssvancl1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lssvancl.n	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑌 ∈ 𝑈)
2		lssvancl.w	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
3		lmodabl 20791	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Abel)
4	2, 3	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Abel)
5		lssvancl.u	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)
6		lssvancl.x	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑈)
7		lssvancl.v	. . . . . . 7 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
8		lssvancl.s	. . . . . . 7 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
9	7, 8	lssel 20819	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → 𝑋 ∈ 𝑉)
10	5, 6, 9	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
11		lssvancl.y	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
12		lssvancl.p	. . . . . 6 ⊢ + = (+g‘𝑊)
13		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ (-g‘𝑊) = (-g‘𝑊)
14	7, 12, 13	ablpncan2 19721	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Abel ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → ((𝑋 + 𝑌)(-g‘𝑊)𝑋) = 𝑌)
15	4, 10, 11, 14	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 + 𝑌)(-g‘𝑊)𝑋) = 𝑌)
16	15	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝑈) → ((𝑋 + 𝑌)(-g‘𝑊)𝑋) = 𝑌)
17	2	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝑈) → 𝑊 ∈ LMod)
18	5	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝑈) → 𝑈 ∈ 𝑆)
19		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝑈) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝑈)
20	6	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝑈) → 𝑋 ∈ 𝑈)
21	13, 8	lssvsubcl 20826	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ ((𝑋 + 𝑌) ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 ∈ 𝑈)) → ((𝑋 + 𝑌)(-g‘𝑊)𝑋) ∈ 𝑈)
22	17, 18, 19, 20, 21	syl22anc 838	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝑈) → ((𝑋 + 𝑌)(-g‘𝑊)𝑋) ∈ 𝑈)
23	16, 22	eqeltrrd 2829	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝑈) → 𝑌 ∈ 𝑈)
24	1, 23	mtand 815	1 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝑈)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369  Basecbs 17155  +_gcplusg 17196  -_gcsg 18843  Abelcabl 19687  LModclmod 20742  LSubSpclss 20813

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-er 8648  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-nn 12163  df-2 12225  df-sets 17110  df-slot 17128  df-ndx 17140  df-base 17156  df-plusg 17209  df-0g 17380  df-mgm 18543  df-sgrp 18622  df-mnd 18638  df-grp 18844  df-minusg 18845  df-sbg 18846  df-cmn 19688  df-abl 19689  df-mgp 20026  df-ur 20067  df-ring 20120  df-lmod 20744  df-lss 20814

This theorem is referenced by:  lssvancl2  20828  dvh3dim2  41415  dvh3dim3N  41416  hdmap11lem2  41809