Theorem lssvancl1 21220

Description: Non-closure: if one vector belongs to a subspace but another does not, their sum does not belong. Useful for obtaining a new vector not in a subspace. TODO: notice similarity to lspindp3 21414. Can it be used along with lspsnne1 21395, lspsnne2 21396 to shorten this proof? (Contributed by NM, 14-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lssvancl.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lssvancl.p	⊢ + = (+g‘𝑊)
lssvancl.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lssvancl.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
lssvancl.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)
lssvancl.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑈)
lssvancl.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
lssvancl.n	⊢ (𝜑 → ¬ 𝑌 ∈ 𝑈)

Assertion

Ref	Expression
lssvancl1	⊢ (𝜑 → ¬ (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝑈)

Proof of Theorem lssvancl1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lssvancl.n	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑌 ∈ 𝑈)
2		lssvancl.w	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
3		lmodabl 21184	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Abel)
4	2, 3	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Abel)
5		lssvancl.u	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)
6		lssvancl.x	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑈)
7		lssvancl.v	. . . . . . 7 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
8		lssvancl.s	. . . . . . 7 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
9	7, 8	lssel 21212	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → 𝑋 ∈ 𝑉)
10	5, 6, 9	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
11		lssvancl.y	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
12		lssvancl.p	. . . . . 6 ⊢ + = (+g‘𝑊)
13		eqid 2761	. . . . . 6 ⊢ (-g‘𝑊) = (-g‘𝑊)
14	7, 12, 13	ablpncan2 20029	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Abel ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → ((𝑋 + 𝑌)(-g‘𝑊)𝑋) = 𝑌)
15	4, 10, 11, 14	syl3anc 1398	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 + 𝑌)(-g‘𝑊)𝑋) = 𝑌)
16	15	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝑈) → ((𝑋 + 𝑌)(-g‘𝑊)𝑋) = 𝑌)
17	2	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝑈) → 𝑊 ∈ LMod)
18	5	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝑈) → 𝑈 ∈ 𝑆)
19		simpr 490	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝑈) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝑈)
20	6	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝑈) → 𝑋 ∈ 𝑈)
21	13, 8	lssvsubcl 21219	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ ((𝑋 + 𝑌) ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 ∈ 𝑈)) → ((𝑋 + 𝑌)(-g‘𝑊)𝑋) ∈ 𝑈)
22	17, 18, 19, 20, 21	syl22anc 852	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝑈) → ((𝑋 + 𝑌)(-g‘𝑊)𝑋) ∈ 𝑈)
23	16, 22	eqeltrrd 2862	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝑈) → 𝑌 ∈ 𝑈)
24	1, 23	mtand 828	1 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝑈)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  Basecbs 17387  +_gcplusg 17428  -_gcsg 19146  Abelcabl 19995  LModclmod 21135  LSubSpclss 21206

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-er 8717  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-nn 12336  df-2 12405  df-sets 17342  df-slot 17360  df-ndx 17372  df-base 17388  df-plusg 17441  df-0g 17612  df-mgm 18816  df-sgrp 18908  df-mnd 18924  df-grp 19147  df-minusg 19148  df-sbg 19149  df-cmn 19996  df-abl 19997  df-mgp 20361  df-ur 20408  df-ring 20461  df-lmod 21137  df-lss 21207

This theorem is used by:  lssvancl2  21221  dvh3dim2  42505  dvh3dim3N  42506  hdmap11lem2  42899