Theorem lssvancl1 20896

Description: Non-closure: if one vector belongs to a subspace but another does not, their sum does not belong. Useful for obtaining a new vector not in a subspace. TODO: notice similarity to lspindp3 21091. Can it be used along with lspsnne1 21072, lspsnne2 21073 to shorten this proof? (Contributed by NM, 14-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lssvancl.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lssvancl.p	⊢ + = (+g‘𝑊)
lssvancl.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lssvancl.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
lssvancl.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)
lssvancl.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑈)
lssvancl.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
lssvancl.n	⊢ (𝜑 → ¬ 𝑌 ∈ 𝑈)

Assertion

Ref	Expression
lssvancl1	⊢ (𝜑 → ¬ (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝑈)

Proof of Theorem lssvancl1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lssvancl.n	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑌 ∈ 𝑈)
2		lssvancl.w	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
3		lmodabl 20860	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Abel)
4	2, 3	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Abel)
5		lssvancl.u	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)
6		lssvancl.x	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑈)
7		lssvancl.v	. . . . . . 7 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
8		lssvancl.s	. . . . . . 7 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
9	7, 8	lssel 20888	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → 𝑋 ∈ 𝑉)
10	5, 6, 9	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
11		lssvancl.y	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
12		lssvancl.p	. . . . . 6 ⊢ + = (+g‘𝑊)
13		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (-g‘𝑊) = (-g‘𝑊)
14	7, 12, 13	ablpncan2 19744	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Abel ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → ((𝑋 + 𝑌)(-g‘𝑊)𝑋) = 𝑌)
15	4, 10, 11, 14	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 + 𝑌)(-g‘𝑊)𝑋) = 𝑌)
16	15	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝑈) → ((𝑋 + 𝑌)(-g‘𝑊)𝑋) = 𝑌)
17	2	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝑈) → 𝑊 ∈ LMod)
18	5	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝑈) → 𝑈 ∈ 𝑆)
19		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝑈) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝑈)
20	6	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝑈) → 𝑋 ∈ 𝑈)
21	13, 8	lssvsubcl 20895	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ ((𝑋 + 𝑌) ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 ∈ 𝑈)) → ((𝑋 + 𝑌)(-g‘𝑊)𝑋) ∈ 𝑈)
22	17, 18, 19, 20, 21	syl22anc 838	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝑈) → ((𝑋 + 𝑌)(-g‘𝑊)𝑋) ∈ 𝑈)
23	16, 22	eqeltrrd 2837	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝑈) → 𝑌 ∈ 𝑈)
24	1, 23	mtand 815	1 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝑈)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  Basecbs 17136  +_gcplusg 17177  -_gcsg 18865  Abelcabl 19710  LModclmod 20811  LSubSpclss 20882

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-nn 12146  df-2 12208  df-sets 17091  df-slot 17109  df-ndx 17121  df-base 17137  df-plusg 17190  df-0g 17361  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-grp 18866  df-minusg 18867  df-sbg 18868  df-cmn 19711  df-abl 19712  df-mgp 20076  df-ur 20117  df-ring 20170  df-lmod 20813  df-lss 20883

This theorem is referenced by:  lssvancl2  20897  dvh3dim2  41708  dvh3dim3N  41709  hdmap11lem2  42102