MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lssvancl1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lssvancl1 20944
Description: Non-closure: if one vector belongs to a subspace but another does not, their sum does not belong. Useful for obtaining a new vector not in a subspace. TODO: notice similarity to lspindp3 21139. Can it be used along with lspsnne1 21120, lspsnne2 21121 to shorten this proof? (Contributed by NM, 14-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lssvancl.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
lssvancl.p + = (+g𝑊)
lssvancl.s 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lssvancl.w (𝜑𝑊 ∈ LMod)
lssvancl.u (𝜑𝑈𝑆)
lssvancl.x (𝜑𝑋𝑈)
lssvancl.y (𝜑𝑌𝑉)
lssvancl.n (𝜑 → ¬ 𝑌𝑈)
Assertion
Ref Expression
lssvancl1 (𝜑 → ¬ (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝑈)

Proof of Theorem lssvancl1
StepHypRef Expression
1 lssvancl.n . 2 (𝜑 → ¬ 𝑌𝑈)
2 lssvancl.w . . . . . 6 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
3 lmodabl 20908 . . . . . 6 (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Abel)
42, 3syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑊 ∈ Abel)
5 lssvancl.u . . . . . 6 (𝜑𝑈𝑆)
6 lssvancl.x . . . . . 6 (𝜑𝑋𝑈)
7 lssvancl.v . . . . . . 7 𝑉 = (Base‘𝑊)
8 lssvancl.s . . . . . . 7 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
97, 8lssel 20936 . . . . . 6 ((𝑈𝑆𝑋𝑈) → 𝑋𝑉)
105, 6, 9syl2anc 584 . . . . 5 (𝜑𝑋𝑉)
11 lssvancl.y . . . . 5 (𝜑𝑌𝑉)
12 lssvancl.p . . . . . 6 + = (+g𝑊)
13 eqid 2736 . . . . . 6 (-g𝑊) = (-g𝑊)
147, 12, 13ablpncan2 19834 . . . . 5 ((𝑊 ∈ Abel ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) → ((𝑋 + 𝑌)(-g𝑊)𝑋) = 𝑌)
154, 10, 11, 14syl3anc 1372 . . . 4 (𝜑 → ((𝑋 + 𝑌)(-g𝑊)𝑋) = 𝑌)
1615adantr 480 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝑈) → ((𝑋 + 𝑌)(-g𝑊)𝑋) = 𝑌)
172adantr 480 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝑈) → 𝑊 ∈ LMod)
185adantr 480 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝑈) → 𝑈𝑆)
19 simpr 484 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝑈) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝑈)
206adantr 480 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝑈) → 𝑋𝑈)
2113, 8lssvsubcl 20943 . . . 4 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) ∧ ((𝑋 + 𝑌) ∈ 𝑈𝑋𝑈)) → ((𝑋 + 𝑌)(-g𝑊)𝑋) ∈ 𝑈)
2217, 18, 19, 20, 21syl22anc 838 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝑈) → ((𝑋 + 𝑌)(-g𝑊)𝑋) ∈ 𝑈)
2316, 22eqeltrrd 2841 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝑈) → 𝑌𝑈)
241, 23mtand 815 1 (𝜑 → ¬ (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝑈)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395   = wceq 1539  wcel 2107  cfv 6560  (class class class)co 7432  Basecbs 17248  +gcplusg 17298  -gcsg 18954  Abelcabl 19800  LModclmod 20859  LSubSpclss 20930
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-om 7889  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-er 8746  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-nn 12268  df-2 12330  df-sets 17202  df-slot 17220  df-ndx 17232  df-base 17249  df-plusg 17311  df-0g 17487  df-mgm 18654  df-sgrp 18733  df-mnd 18749  df-grp 18955  df-minusg 18956  df-sbg 18957  df-cmn 19801  df-abl 19802  df-mgp 20139  df-ur 20180  df-ring 20233  df-lmod 20861  df-lss 20931
This theorem is referenced by:  lssvancl2  20945  dvh3dim2  41451  dvh3dim3N  41452  hdmap11lem2  41845
  Copyright terms: Public domain W3C validator