Theorem lcfrvalsnN 41543

Description: Reconstruction from the dual space span of a singleton. (Contributed by NM, 19-Feb-2015.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
lcfrvalsn.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
lcfrvalsn.o	⊢ ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
lcfrvalsn.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
lcfrvalsn.f	⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
lcfrvalsn.l	⊢ 𝐿 = (LKer‘𝑈)
lcfrvalsn.d	⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑈)
lcfrvalsn.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝐷)
lcfrvalsn.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
lcfrvalsn.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
lcfrvalsn.q	⊢ 𝑄 = ∪ 𝑓 ∈ 𝑅 ( ⊥ ‘(𝐿‘𝑓))
lcfrvalsn.r	⊢ 𝑅 = (𝑁‘{𝐺})

Assertion

Ref	Expression
lcfrvalsnN	⊢ (𝜑 → 𝑄 = ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)))

Distinct variable groups:   ⊥ ,𝑓   𝑓,𝐺   𝑅,𝑓   𝑓,𝐿   𝜑,𝑓

Allowed substitution hints:   𝐷(𝑓)   𝑄(𝑓)   𝑈(𝑓)   𝐹(𝑓)   𝐻(𝑓)   𝐾(𝑓)   𝑁(𝑓)   𝑊(𝑓)

Proof of Theorem lcfrvalsnN

Dummy variables 𝑥 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lcfrvalsn.q	. 2 ⊢ 𝑄 = ∪ 𝑓 ∈ 𝑅 ( ⊥ ‘(𝐿‘𝑓))
2		eliun 4995	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ∪ 𝑓 ∈ 𝑅 ( ⊥ ‘(𝐿‘𝑓)) ↔ ∃𝑓 ∈ 𝑅 𝑥 ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝑓)))
3		lcfrvalsn.r	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑅 = (𝑁‘{𝐺})
4	3	eleq2i 2833	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 ∈ 𝑅 ↔ 𝑓 ∈ (𝑁‘{𝐺}))
5		lcfrvalsn.k	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
6	5	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝑁‘{𝐺})) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
7		eqid 2737	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Base‘𝑈) = (Base‘𝑈)
8		lcfrvalsn.f	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
9		lcfrvalsn.l	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐿 = (LKer‘𝑈)
10		lcfrvalsn.h	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
11		lcfrvalsn.u	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
12	10, 11, 5	dvhlmod 41112	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LMod)
13	12	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝑁‘{𝐺})) → 𝑈 ∈ LMod)
14		lcfrvalsn.d	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑈)
15	14, 12	lduallmod 39154	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ LMod)
16		eqid 2737	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (Base‘𝐷) = (Base‘𝐷)
17		lcfrvalsn.g	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
18	8, 14, 16, 12, 17	ldualelvbase 39128	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (Base‘𝐷))
19		eqid 2737	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (LSubSp‘𝐷) = (LSubSp‘𝐷)
20		lcfrvalsn.n	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝐷)
21	16, 19, 20	lspsncl 20975	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐷 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ (Base‘𝐷)) → (𝑁‘{𝐺}) ∈ (LSubSp‘𝐷))
22	15, 18, 21	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝐺}) ∈ (LSubSp‘𝐷))
23	16, 19	lssel 20935	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑁‘{𝐺}) ∈ (LSubSp‘𝐷) ∧ 𝑓 ∈ (𝑁‘{𝐺})) → 𝑓 ∈ (Base‘𝐷))
24	22, 23	sylan 580	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝑁‘{𝐺})) → 𝑓 ∈ (Base‘𝐷))
25	8, 14, 16, 12	ldualvbase 39127	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐷) = 𝐹)
26	25	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝑁‘{𝐺})) → (Base‘𝐷) = 𝐹)
27	24, 26	eleqtrd 2843	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝑁‘{𝐺})) → 𝑓 ∈ 𝐹)
28	7, 8, 9, 13, 27	lkrssv 39097	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝑁‘{𝐺})) → (𝐿‘𝑓) ⊆ (Base‘𝑈))
29		eqid 2737	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (Scalar‘𝐷) = (Scalar‘𝐷)
30		eqid 2737	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝐷)) = (Base‘(Scalar‘𝐷))
31		eqid 2737	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝐷) = ( ·𝑠 ‘𝐷)
32	29, 30, 16, 31, 20	ellspsn 21001	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐷 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ (Base‘𝐷)) → (𝑓 ∈ (𝑁‘{𝐺}) ↔ ∃𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐷))𝑓 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝐷)𝐺)))
33	15, 18, 32	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑓 ∈ (𝑁‘{𝐺}) ↔ ∃𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐷))𝑓 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝐷)𝐺)))
34		eqid 2737	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (Scalar‘𝑈) = (Scalar‘𝑈)
35		eqid 2737	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑈)) = (Base‘(Scalar‘𝑈))
36	34, 35, 14, 29, 30, 12	ldualsbase 39134	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (Base‘(Scalar‘𝐷)) = (Base‘(Scalar‘𝑈)))
37	36	rexeqdv 3327	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (∃𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐷))𝑓 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝐷)𝐺) ↔ ∃𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈))𝑓 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝐷)𝐺)))
38	33, 37	bitrd 279	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑓 ∈ (𝑁‘{𝐺}) ↔ ∃𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈))𝑓 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝐷)𝐺)))
39	38	biimpa 476	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝑁‘{𝐺})) → ∃𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈))𝑓 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝐷)𝐺))
40	10, 11, 5	dvhlvec 41111	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LVec)
41	40	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝑁‘{𝐺})) → 𝑈 ∈ LVec)
42	17	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝑁‘{𝐺})) → 𝐺 ∈ 𝐹)
43	34, 35, 8, 9, 14, 31, 41, 42, 27	lkrss2N 39170	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝑁‘{𝐺})) → ((𝐿‘𝐺) ⊆ (𝐿‘𝑓) ↔ ∃𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈))𝑓 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝐷)𝐺)))
44	39, 43	mpbird 257	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝑁‘{𝐺})) → (𝐿‘𝐺) ⊆ (𝐿‘𝑓))
45		lcfrvalsn.o	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
46	10, 11, 7, 45	dochss 41367	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐿‘𝑓) ⊆ (Base‘𝑈) ∧ (𝐿‘𝐺) ⊆ (𝐿‘𝑓)) → ( ⊥ ‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)))
47	6, 28, 44, 46	syl3anc 1373	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝑁‘{𝐺})) → ( ⊥ ‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)))
48	47	sseld 3982	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝑁‘{𝐺})) → (𝑥 ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝑓)) → 𝑥 ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺))))
49	48	ex 412	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑓 ∈ (𝑁‘{𝐺}) → (𝑥 ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝑓)) → 𝑥 ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)))))
50	4, 49	biimtrid 242	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑓 ∈ 𝑅 → (𝑥 ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝑓)) → 𝑥 ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)))))
51	50	rexlimdv 3153	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∃𝑓 ∈ 𝑅 𝑥 ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝑓)) → 𝑥 ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺))))
52	16, 20	lspsnid 20991	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐷 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ (Base‘𝐷)) → 𝐺 ∈ (𝑁‘{𝐺}))
53	15, 18, 52	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (𝑁‘{𝐺}))
54	53, 3	eleqtrrdi 2852	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑅)
55		2fveq3 6911	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓 = 𝐺 → ( ⊥ ‘(𝐿‘𝑓)) = ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)))
56	55	eleq2d 2827	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 = 𝐺 → (𝑥 ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝑓)) ↔ 𝑥 ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺))))
57	56	rspcev 3622	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑅 ∧ 𝑥 ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺))) → ∃𝑓 ∈ 𝑅 𝑥 ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝑓)))
58	54, 57	sylan 580	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺))) → ∃𝑓 ∈ 𝑅 𝑥 ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝑓)))
59	58	ex 412	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) → ∃𝑓 ∈ 𝑅 𝑥 ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝑓))))
60	51, 59	impbid 212	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∃𝑓 ∈ 𝑅 𝑥 ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝑓)) ↔ 𝑥 ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺))))
61	2, 60	bitrid 283	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ∪ 𝑓 ∈ 𝑅 ( ⊥ ‘(𝐿‘𝑓)) ↔ 𝑥 ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺))))
62	61	eqrdv 2735	. 2 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑓 ∈ 𝑅 ( ⊥ ‘(𝐿‘𝑓)) = ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)))
63	1, 62	eqtrid 2789	1 ⊢ (𝜑 → 𝑄 = ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ∃wrex 3070   ⊆ wss 3951  {csn 4626  ∪ ciun 4991  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  Basecbs 17247  Scalarcsca 17300   ·_𝑠 cvsca 17301  LModclmod 20858  LSubSpclss 20929  LSpanclspn 20969  LVecclvec 21101  LFnlclfn 39058  LKerclk 39086  LDualcld 39124  HLchlt 39351  LHypclh 39986  DVecHcdvh 41080  ocHcoch 41349

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-riotaBAD 38954

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-tpos 8251  df-undef 8298  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-map 8868  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-fz 13548  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-0g 17486  df-proset 18340  df-poset 18359  df-plt 18375  df-lub 18391  df-glb 18392  df-join 18393  df-meet 18394  df-p0 18470  df-p1 18471  df-lat 18477  df-clat 18544  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-submnd 18797  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-sbg 18956  df-subg 19141  df-cntz 19335  df-lsm 19654  df-cmn 19800  df-abl 19801  df-mgp 20138  df-rng 20150  df-ur 20179  df-ring 20232  df-oppr 20334  df-dvdsr 20357  df-unit 20358  df-invr 20388  df-dvr 20401  df-nzr 20513  df-rlreg 20694  df-domn 20695  df-drng 20731  df-lmod 20860  df-lss 20930  df-lsp 20970  df-lvec 21102  df-lshyp 38978  df-lfl 39059  df-lkr 39087  df-ldual 39125  df-oposet 39177  df-ol 39179  df-oml 39180  df-covers 39267  df-ats 39268  df-atl 39299  df-cvlat 39323  df-hlat 39352  df-llines 39500  df-lplanes 39501  df-lvols 39502  df-lines 39503  df-psubsp 39505  df-pmap 39506  df-padd 39798  df-lhyp 39990  df-laut 39991  df-ldil 40106  df-ltrn 40107  df-trl 40161  df-tendo 40757  df-edring 40759  df-disoa 41031  df-dvech 41081  df-dib 41141  df-dic 41175  df-dih 41231  df-doch 41350

This theorem is referenced by: (None)