Theorem lcfrvalsnN 40004

Description: Reconstruction from the dual space span of a singleton. (Contributed by NM, 19-Feb-2015.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
lcfrvalsn.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
lcfrvalsn.o	⊢ ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
lcfrvalsn.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
lcfrvalsn.f	⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
lcfrvalsn.l	⊢ 𝐿 = (LKer‘𝑈)
lcfrvalsn.d	⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑈)
lcfrvalsn.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝐷)
lcfrvalsn.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
lcfrvalsn.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
lcfrvalsn.q	⊢ 𝑄 = ∪ 𝑓 ∈ 𝑅 ( ⊥ ‘(𝐿‘𝑓))
lcfrvalsn.r	⊢ 𝑅 = (𝑁‘{𝐺})

Assertion

Ref	Expression
lcfrvalsnN	⊢ (𝜑 → 𝑄 = ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)))

Distinct variable groups:   ⊥ ,𝑓   𝑓,𝐺   𝑅,𝑓   𝑓,𝐿   𝜑,𝑓

Allowed substitution hints:   𝐷(𝑓)   𝑄(𝑓)   𝑈(𝑓)   𝐹(𝑓)   𝐻(𝑓)   𝐾(𝑓)   𝑁(𝑓)   𝑊(𝑓)

Proof of Theorem lcfrvalsnN

Dummy variables 𝑥 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lcfrvalsn.q	. 2 ⊢ 𝑄 = ∪ 𝑓 ∈ 𝑅 ( ⊥ ‘(𝐿‘𝑓))
2		eliun 4958	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ∪ 𝑓 ∈ 𝑅 ( ⊥ ‘(𝐿‘𝑓)) ↔ ∃𝑓 ∈ 𝑅 𝑥 ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝑓)))
3		lcfrvalsn.r	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑅 = (𝑁‘{𝐺})
4	3	eleq2i 2829	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 ∈ 𝑅 ↔ 𝑓 ∈ (𝑁‘{𝐺}))
5		lcfrvalsn.k	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
6	5	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝑁‘{𝐺})) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
7		eqid 2736	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Base‘𝑈) = (Base‘𝑈)
8		lcfrvalsn.f	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
9		lcfrvalsn.l	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐿 = (LKer‘𝑈)
10		lcfrvalsn.h	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
11		lcfrvalsn.u	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
12	10, 11, 5	dvhlmod 39573	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LMod)
13	12	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝑁‘{𝐺})) → 𝑈 ∈ LMod)
14		lcfrvalsn.d	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑈)
15	14, 12	lduallmod 37615	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ LMod)
16		eqid 2736	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (Base‘𝐷) = (Base‘𝐷)
17		lcfrvalsn.g	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
18	8, 14, 16, 12, 17	ldualelvbase 37589	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (Base‘𝐷))
19		eqid 2736	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (LSubSp‘𝐷) = (LSubSp‘𝐷)
20		lcfrvalsn.n	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝐷)
21	16, 19, 20	lspsncl 20438	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐷 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ (Base‘𝐷)) → (𝑁‘{𝐺}) ∈ (LSubSp‘𝐷))
22	15, 18, 21	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝐺}) ∈ (LSubSp‘𝐷))
23	16, 19	lssel 20398	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑁‘{𝐺}) ∈ (LSubSp‘𝐷) ∧ 𝑓 ∈ (𝑁‘{𝐺})) → 𝑓 ∈ (Base‘𝐷))
24	22, 23	sylan 580	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝑁‘{𝐺})) → 𝑓 ∈ (Base‘𝐷))
25	8, 14, 16, 12	ldualvbase 37588	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐷) = 𝐹)
26	25	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝑁‘{𝐺})) → (Base‘𝐷) = 𝐹)
27	24, 26	eleqtrd 2840	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝑁‘{𝐺})) → 𝑓 ∈ 𝐹)
28	7, 8, 9, 13, 27	lkrssv 37558	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝑁‘{𝐺})) → (𝐿‘𝑓) ⊆ (Base‘𝑈))
29		eqid 2736	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (Scalar‘𝐷) = (Scalar‘𝐷)
30		eqid 2736	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝐷)) = (Base‘(Scalar‘𝐷))
31		eqid 2736	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝐷) = ( ·𝑠 ‘𝐷)
32	29, 30, 16, 31, 20	lspsnel 20464	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐷 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ (Base‘𝐷)) → (𝑓 ∈ (𝑁‘{𝐺}) ↔ ∃𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐷))𝑓 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝐷)𝐺)))
33	15, 18, 32	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑓 ∈ (𝑁‘{𝐺}) ↔ ∃𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐷))𝑓 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝐷)𝐺)))
34		eqid 2736	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (Scalar‘𝑈) = (Scalar‘𝑈)
35		eqid 2736	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑈)) = (Base‘(Scalar‘𝑈))
36	34, 35, 14, 29, 30, 12	ldualsbase 37595	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (Base‘(Scalar‘𝐷)) = (Base‘(Scalar‘𝑈)))
37	36	rexeqdv 3314	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (∃𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐷))𝑓 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝐷)𝐺) ↔ ∃𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈))𝑓 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝐷)𝐺)))
38	33, 37	bitrd 278	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑓 ∈ (𝑁‘{𝐺}) ↔ ∃𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈))𝑓 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝐷)𝐺)))
39	38	biimpa 477	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝑁‘{𝐺})) → ∃𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈))𝑓 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝐷)𝐺))
40	10, 11, 5	dvhlvec 39572	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LVec)
41	40	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝑁‘{𝐺})) → 𝑈 ∈ LVec)
42	17	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝑁‘{𝐺})) → 𝐺 ∈ 𝐹)
43	34, 35, 8, 9, 14, 31, 41, 42, 27	lkrss2N 37631	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝑁‘{𝐺})) → ((𝐿‘𝐺) ⊆ (𝐿‘𝑓) ↔ ∃𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈))𝑓 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝐷)𝐺)))
44	39, 43	mpbird 256	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝑁‘{𝐺})) → (𝐿‘𝐺) ⊆ (𝐿‘𝑓))
45		lcfrvalsn.o	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
46	10, 11, 7, 45	dochss 39828	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐿‘𝑓) ⊆ (Base‘𝑈) ∧ (𝐿‘𝐺) ⊆ (𝐿‘𝑓)) → ( ⊥ ‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)))
47	6, 28, 44, 46	syl3anc 1371	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝑁‘{𝐺})) → ( ⊥ ‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)))
48	47	sseld 3943	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝑁‘{𝐺})) → (𝑥 ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝑓)) → 𝑥 ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺))))
49	48	ex 413	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑓 ∈ (𝑁‘{𝐺}) → (𝑥 ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝑓)) → 𝑥 ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)))))
50	4, 49	biimtrid 241	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑓 ∈ 𝑅 → (𝑥 ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝑓)) → 𝑥 ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)))))
51	50	rexlimdv 3150	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∃𝑓 ∈ 𝑅 𝑥 ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝑓)) → 𝑥 ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺))))
52	16, 20	lspsnid 20454	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐷 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ (Base‘𝐷)) → 𝐺 ∈ (𝑁‘{𝐺}))
53	15, 18, 52	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (𝑁‘{𝐺}))
54	53, 3	eleqtrrdi 2849	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑅)
55		2fveq3 6847	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓 = 𝐺 → ( ⊥ ‘(𝐿‘𝑓)) = ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)))
56	55	eleq2d 2823	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 = 𝐺 → (𝑥 ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝑓)) ↔ 𝑥 ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺))))
57	56	rspcev 3581	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑅 ∧ 𝑥 ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺))) → ∃𝑓 ∈ 𝑅 𝑥 ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝑓)))
58	54, 57	sylan 580	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺))) → ∃𝑓 ∈ 𝑅 𝑥 ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝑓)))
59	58	ex 413	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) → ∃𝑓 ∈ 𝑅 𝑥 ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝑓))))
60	51, 59	impbid 211	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∃𝑓 ∈ 𝑅 𝑥 ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝑓)) ↔ 𝑥 ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺))))
61	2, 60	bitrid 282	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ∪ 𝑓 ∈ 𝑅 ( ⊥ ‘(𝐿‘𝑓)) ↔ 𝑥 ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺))))
62	61	eqrdv 2734	. 2 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑓 ∈ 𝑅 ( ⊥ ‘(𝐿‘𝑓)) = ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)))
63	1, 62	eqtrid 2788	1 ⊢ (𝜑 → 𝑄 = ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ∃wrex 3073   ⊆ wss 3910  {csn 4586  ∪ ciun 4954  ‘cfv 6496  (class class class)co 7357  Basecbs 17083  Scalarcsca 17136   ·_𝑠 cvsca 17137  LModclmod 20322  LSubSpclss 20392  LSpanclspn 20432  LVecclvec 20563  LFnlclfn 37519  LKerclk 37547  LDualcld 37585  HLchlt 37812  LHypclh 38447  DVecHcdvh 39541  ocHcoch 39810

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-riotaBAD 37415

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7617  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-tpos 8157  df-undef 8204  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-er 8648  df-map 8767  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-fz 13425  df-struct 17019  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-sca 17149  df-vsca 17150  df-0g 17323  df-proset 18184  df-poset 18202  df-plt 18219  df-lub 18235  df-glb 18236  df-join 18237  df-meet 18238  df-p0 18314  df-p1 18315  df-lat 18321  df-clat 18388  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-submnd 18602  df-grp 18751  df-minusg 18752  df-sbg 18753  df-subg 18925  df-cntz 19097  df-lsm 19418  df-cmn 19564  df-abl 19565  df-mgp 19897  df-ur 19914  df-ring 19966  df-oppr 20049  df-dvdsr 20070  df-unit 20071  df-invr 20101  df-dvr 20112  df-drng 20187  df-lmod 20324  df-lss 20393  df-lsp 20433  df-lvec 20564  df-lshyp 37439  df-lfl 37520  df-lkr 37548  df-ldual 37586  df-oposet 37638  df-ol 37640  df-oml 37641  df-covers 37728  df-ats 37729  df-atl 37760  df-cvlat 37784  df-hlat 37813  df-llines 37961  df-lplanes 37962  df-lvols 37963  df-lines 37964  df-psubsp 37966  df-pmap 37967  df-padd 38259  df-lhyp 38451  df-laut 38452  df-ldil 38567  df-ltrn 38568  df-trl 38622  df-tendo 39218  df-edring 39220  df-disoa 39492  df-dvech 39542  df-dib 39602  df-dic 39636  df-dih 39692  df-doch 39811

This theorem is referenced by: (None)