Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lcfrvalsnN Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lcfrvalsnN 38723
Description: Reconstruction from the dual space span of a singleton. (Contributed by NM, 19-Feb-2015.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
lcfrvalsn.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
lcfrvalsn.o = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
lcfrvalsn.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
lcfrvalsn.f 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
lcfrvalsn.l 𝐿 = (LKer‘𝑈)
lcfrvalsn.d 𝐷 = (LDual‘𝑈)
lcfrvalsn.n 𝑁 = (LSpan‘𝐷)
lcfrvalsn.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
lcfrvalsn.g (𝜑𝐺𝐹)
lcfrvalsn.q 𝑄 = 𝑓𝑅 ( ‘(𝐿𝑓))
lcfrvalsn.r 𝑅 = (𝑁‘{𝐺})
Assertion
Ref Expression
lcfrvalsnN (𝜑𝑄 = ( ‘(𝐿𝐺)))
Distinct variable groups:   ,𝑓   𝑓,𝐺   𝑅,𝑓   𝑓,𝐿   𝜑,𝑓
Allowed substitution hints:   𝐷(𝑓)   𝑄(𝑓)   𝑈(𝑓)   𝐹(𝑓)   𝐻(𝑓)   𝐾(𝑓)   𝑁(𝑓)   𝑊(𝑓)

Proof of Theorem lcfrvalsnN
Dummy variables 𝑥 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lcfrvalsn.q . 2 𝑄 = 𝑓𝑅 ( ‘(𝐿𝑓))
2 eliun 4896 . . . 4 (𝑥 𝑓𝑅 ( ‘(𝐿𝑓)) ↔ ∃𝑓𝑅 𝑥 ∈ ( ‘(𝐿𝑓)))
3 lcfrvalsn.r . . . . . . . 8 𝑅 = (𝑁‘{𝐺})
43eleq2i 2903 . . . . . . 7 (𝑓𝑅𝑓 ∈ (𝑁‘{𝐺}))
5 lcfrvalsn.k . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
65adantr 484 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑓 ∈ (𝑁‘{𝐺})) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
7 eqid 2821 . . . . . . . . . . 11 (Base‘𝑈) = (Base‘𝑈)
8 lcfrvalsn.f . . . . . . . . . . 11 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
9 lcfrvalsn.l . . . . . . . . . . 11 𝐿 = (LKer‘𝑈)
10 lcfrvalsn.h . . . . . . . . . . . . 13 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
11 lcfrvalsn.u . . . . . . . . . . . . 13 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
1210, 11, 5dvhlmod 38292 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑈 ∈ LMod)
1312adantr 484 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑓 ∈ (𝑁‘{𝐺})) → 𝑈 ∈ LMod)
14 lcfrvalsn.d . . . . . . . . . . . . . . 15 𝐷 = (LDual‘𝑈)
1514, 12lduallmod 36335 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐷 ∈ LMod)
16 eqid 2821 . . . . . . . . . . . . . . 15 (Base‘𝐷) = (Base‘𝐷)
17 lcfrvalsn.g . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐺𝐹)
188, 14, 16, 12, 17ldualelvbase 36309 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐺 ∈ (Base‘𝐷))
19 eqid 2821 . . . . . . . . . . . . . . 15 (LSubSp‘𝐷) = (LSubSp‘𝐷)
20 lcfrvalsn.n . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑁 = (LSpan‘𝐷)
2116, 19, 20lspsncl 19725 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐷 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ (Base‘𝐷)) → (𝑁‘{𝐺}) ∈ (LSubSp‘𝐷))
2215, 18, 21syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑁‘{𝐺}) ∈ (LSubSp‘𝐷))
2316, 19lssel 19685 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁‘{𝐺}) ∈ (LSubSp‘𝐷) ∧ 𝑓 ∈ (𝑁‘{𝐺})) → 𝑓 ∈ (Base‘𝐷))
2422, 23sylan 583 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑓 ∈ (𝑁‘{𝐺})) → 𝑓 ∈ (Base‘𝐷))
258, 14, 16, 12ldualvbase 36308 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (Base‘𝐷) = 𝐹)
2625adantr 484 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑓 ∈ (𝑁‘{𝐺})) → (Base‘𝐷) = 𝐹)
2724, 26eleqtrd 2914 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑓 ∈ (𝑁‘{𝐺})) → 𝑓𝐹)
287, 8, 9, 13, 27lkrssv 36278 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑓 ∈ (𝑁‘{𝐺})) → (𝐿𝑓) ⊆ (Base‘𝑈))
29 eqid 2821 . . . . . . . . . . . . . . 15 (Scalar‘𝐷) = (Scalar‘𝐷)
30 eqid 2821 . . . . . . . . . . . . . . 15 (Base‘(Scalar‘𝐷)) = (Base‘(Scalar‘𝐷))
31 eqid 2821 . . . . . . . . . . . . . . 15 ( ·𝑠𝐷) = ( ·𝑠𝐷)
3229, 30, 16, 31, 20lspsnel 19751 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐷 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ (Base‘𝐷)) → (𝑓 ∈ (𝑁‘{𝐺}) ↔ ∃𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐷))𝑓 = (𝑘( ·𝑠𝐷)𝐺)))
3315, 18, 32syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑓 ∈ (𝑁‘{𝐺}) ↔ ∃𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐷))𝑓 = (𝑘( ·𝑠𝐷)𝐺)))
34 eqid 2821 . . . . . . . . . . . . . . 15 (Scalar‘𝑈) = (Scalar‘𝑈)
35 eqid 2821 . . . . . . . . . . . . . . 15 (Base‘(Scalar‘𝑈)) = (Base‘(Scalar‘𝑈))
3634, 35, 14, 29, 30, 12ldualsbase 36315 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (Base‘(Scalar‘𝐷)) = (Base‘(Scalar‘𝑈)))
3736rexeqdv 3397 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (∃𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐷))𝑓 = (𝑘( ·𝑠𝐷)𝐺) ↔ ∃𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈))𝑓 = (𝑘( ·𝑠𝐷)𝐺)))
3833, 37bitrd 282 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑓 ∈ (𝑁‘{𝐺}) ↔ ∃𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈))𝑓 = (𝑘( ·𝑠𝐷)𝐺)))
3938biimpa 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑓 ∈ (𝑁‘{𝐺})) → ∃𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈))𝑓 = (𝑘( ·𝑠𝐷)𝐺))
4010, 11, 5dvhlvec 38291 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑈 ∈ LVec)
4140adantr 484 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑓 ∈ (𝑁‘{𝐺})) → 𝑈 ∈ LVec)
4217adantr 484 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑓 ∈ (𝑁‘{𝐺})) → 𝐺𝐹)
4334, 35, 8, 9, 14, 31, 41, 42, 27lkrss2N 36351 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑓 ∈ (𝑁‘{𝐺})) → ((𝐿𝐺) ⊆ (𝐿𝑓) ↔ ∃𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈))𝑓 = (𝑘( ·𝑠𝐷)𝐺)))
4439, 43mpbird 260 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑓 ∈ (𝑁‘{𝐺})) → (𝐿𝐺) ⊆ (𝐿𝑓))
45 lcfrvalsn.o . . . . . . . . . . 11 = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
4610, 11, 7, 45dochss 38547 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐿𝑓) ⊆ (Base‘𝑈) ∧ (𝐿𝐺) ⊆ (𝐿𝑓)) → ( ‘(𝐿𝑓)) ⊆ ( ‘(𝐿𝐺)))
476, 28, 44, 46syl3anc 1368 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑓 ∈ (𝑁‘{𝐺})) → ( ‘(𝐿𝑓)) ⊆ ( ‘(𝐿𝐺)))
4847sseld 3942 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑓 ∈ (𝑁‘{𝐺})) → (𝑥 ∈ ( ‘(𝐿𝑓)) → 𝑥 ∈ ( ‘(𝐿𝐺))))
4948ex 416 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑓 ∈ (𝑁‘{𝐺}) → (𝑥 ∈ ( ‘(𝐿𝑓)) → 𝑥 ∈ ( ‘(𝐿𝐺)))))
504, 49syl5bi 245 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑓𝑅 → (𝑥 ∈ ( ‘(𝐿𝑓)) → 𝑥 ∈ ( ‘(𝐿𝐺)))))
5150rexlimdv 3269 . . . . 5 (𝜑 → (∃𝑓𝑅 𝑥 ∈ ( ‘(𝐿𝑓)) → 𝑥 ∈ ( ‘(𝐿𝐺))))
5216, 20lspsnid 19741 . . . . . . . . 9 ((𝐷 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ (Base‘𝐷)) → 𝐺 ∈ (𝑁‘{𝐺}))
5315, 18, 52syl2anc 587 . . . . . . . 8 (𝜑𝐺 ∈ (𝑁‘{𝐺}))
5453, 3eleqtrrdi 2923 . . . . . . 7 (𝜑𝐺𝑅)
55 2fveq3 6648 . . . . . . . . 9 (𝑓 = 𝐺 → ( ‘(𝐿𝑓)) = ( ‘(𝐿𝐺)))
5655eleq2d 2897 . . . . . . . 8 (𝑓 = 𝐺 → (𝑥 ∈ ( ‘(𝐿𝑓)) ↔ 𝑥 ∈ ( ‘(𝐿𝐺))))
5756rspcev 3600 . . . . . . 7 ((𝐺𝑅𝑥 ∈ ( ‘(𝐿𝐺))) → ∃𝑓𝑅 𝑥 ∈ ( ‘(𝐿𝑓)))
5854, 57sylan 583 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ( ‘(𝐿𝐺))) → ∃𝑓𝑅 𝑥 ∈ ( ‘(𝐿𝑓)))
5958ex 416 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ ( ‘(𝐿𝐺)) → ∃𝑓𝑅 𝑥 ∈ ( ‘(𝐿𝑓))))
6051, 59impbid 215 . . . 4 (𝜑 → (∃𝑓𝑅 𝑥 ∈ ( ‘(𝐿𝑓)) ↔ 𝑥 ∈ ( ‘(𝐿𝐺))))
612, 60syl5bb 286 . . 3 (𝜑 → (𝑥 𝑓𝑅 ( ‘(𝐿𝑓)) ↔ 𝑥 ∈ ( ‘(𝐿𝐺))))
6261eqrdv 2819 . 2 (𝜑 𝑓𝑅 ( ‘(𝐿𝑓)) = ( ‘(𝐿𝐺)))
631, 62syl5eq 2868 1 (𝜑𝑄 = ( ‘(𝐿𝐺)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399   = wceq 1538  wcel 2115  wrex 3127  wss 3910  {csn 4540   ciun 4892  cfv 6328  (class class class)co 7130  Basecbs 16462  Scalarcsca 16547   ·𝑠 cvsca 16548  LModclmod 19610  LSubSpclss 19679  LSpanclspn 19719  LVecclvec 19850  LFnlclfn 36239  LKerclk 36267  LDualcld 36305  HLchlt 36532  LHypclh 37166  DVecHcdvh 38260  ocHcoch 38529
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2178  ax-ext 2793  ax-rep 5163  ax-sep 5176  ax-nul 5183  ax-pow 5239  ax-pr 5303  ax-un 7436  ax-cnex 10570  ax-resscn 10571  ax-1cn 10572  ax-icn 10573  ax-addcl 10574  ax-addrcl 10575  ax-mulcl 10576  ax-mulrcl 10577  ax-mulcom 10578  ax-addass 10579  ax-mulass 10580  ax-distr 10581  ax-i2m1 10582  ax-1ne0 10583  ax-1rid 10584  ax-rnegex 10585  ax-rrecex 10586  ax-cnre 10587  ax-pre-lttri 10588  ax-pre-lttrn 10589  ax-pre-ltadd 10590  ax-pre-mulgt0 10591  ax-riotaBAD 36135
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2623  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2892  df-nfc 2960  df-ne 3008  df-nel 3112  df-ral 3131  df-rex 3132  df-reu 3133  df-rmo 3134  df-rab 3135  df-v 3473  df-sbc 3750  df-csb 3858  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4267  df-if 4441  df-pw 4514  df-sn 4541  df-pr 4543  df-tp 4545  df-op 4547  df-uni 4812  df-int 4850  df-iun 4894  df-iin 4895  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5120  df-tr 5146  df-id 5433  df-eprel 5438  df-po 5447  df-so 5448  df-fr 5487  df-we 5489  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-pred 6121  df-ord 6167  df-on 6168  df-lim 6169  df-suc 6170  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7088  df-ov 7133  df-oprab 7134  df-mpo 7135  df-of 7384  df-om 7556  df-1st 7664  df-2nd 7665  df-tpos 7867  df-undef 7914  df-wrecs 7922  df-recs 7983  df-rdg 8021  df-1o 8077  df-oadd 8081  df-er 8264  df-map 8383  df-en 8485  df-dom 8486  df-sdom 8487  df-fin 8488  df-pnf 10654  df-mnf 10655  df-xr 10656  df-ltxr 10657  df-le 10658  df-sub 10849  df-neg 10850  df-nn 11616  df-2 11678  df-3 11679  df-4 11680  df-5 11681  df-6 11682  df-n0 11876  df-z 11960  df-uz 12222  df-fz 12876  df-struct 16464  df-ndx 16465  df-slot 16466  df-base 16468  df-sets 16469  df-ress 16470  df-plusg 16557  df-mulr 16558  df-sca 16560  df-vsca 16561  df-0g 16694  df-proset 17517  df-poset 17535  df-plt 17547  df-lub 17563  df-glb 17564  df-join 17565  df-meet 17566  df-p0 17628  df-p1 17629  df-lat 17635  df-clat 17697  df-mgm 17831  df-sgrp 17880  df-mnd 17891  df-submnd 17936  df-grp 18085  df-minusg 18086  df-sbg 18087  df-subg 18255  df-cntz 18426  df-lsm 18740  df-cmn 18887  df-abl 18888  df-mgp 19219  df-ur 19231  df-ring 19278  df-oppr 19352  df-dvdsr 19370  df-unit 19371  df-invr 19401  df-dvr 19412  df-drng 19480  df-lmod 19612  df-lss 19680  df-lsp 19720  df-lvec 19851  df-lshyp 36159  df-lfl 36240  df-lkr 36268  df-ldual 36306  df-oposet 36358  df-ol 36360  df-oml 36361  df-covers 36448  df-ats 36449  df-atl 36480  df-cvlat 36504  df-hlat 36533  df-llines 36680  df-lplanes 36681  df-lvols 36682  df-lines 36683  df-psubsp 36685  df-pmap 36686  df-padd 36978  df-lhyp 37170  df-laut 37171  df-ldil 37286  df-ltrn 37287  df-trl 37341  df-tendo 37937  df-edring 37939  df-disoa 38211  df-dvech 38261  df-dib 38321  df-dic 38355  df-dih 38411  df-doch 38530
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator