Theorem lcfrvalsnN 40868

Description: Reconstruction from the dual space span of a singleton. (Contributed by NM, 19-Feb-2015.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
lcfrvalsn.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
lcfrvalsn.o	⊢ ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
lcfrvalsn.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
lcfrvalsn.f	⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
lcfrvalsn.l	⊢ 𝐿 = (LKer‘𝑈)
lcfrvalsn.d	⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑈)
lcfrvalsn.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝐷)
lcfrvalsn.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
lcfrvalsn.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
lcfrvalsn.q	⊢ 𝑄 = ∪ 𝑓 ∈ 𝑅 ( ⊥ ‘(𝐿‘𝑓))
lcfrvalsn.r	⊢ 𝑅 = (𝑁‘{𝐺})

Assertion

Ref	Expression
lcfrvalsnN	⊢ (𝜑 → 𝑄 = ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)))

Distinct variable groups:   ⊥ ,𝑓   𝑓,𝐺   𝑅,𝑓   𝑓,𝐿   𝜑,𝑓

Allowed substitution hints:   𝐷(𝑓)   𝑄(𝑓)   𝑈(𝑓)   𝐹(𝑓)   𝐻(𝑓)   𝐾(𝑓)   𝑁(𝑓)   𝑊(𝑓)

Proof of Theorem lcfrvalsnN

Dummy variables 𝑥 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lcfrvalsn.q	. 2 ⊢ 𝑄 = ∪ 𝑓 ∈ 𝑅 ( ⊥ ‘(𝐿‘𝑓))
2		eliun 4991	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ∪ 𝑓 ∈ 𝑅 ( ⊥ ‘(𝐿‘𝑓)) ↔ ∃𝑓 ∈ 𝑅 𝑥 ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝑓)))
3		lcfrvalsn.r	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑅 = (𝑁‘{𝐺})
4	3	eleq2i 2817	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 ∈ 𝑅 ↔ 𝑓 ∈ (𝑁‘{𝐺}))
5		lcfrvalsn.k	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
6	5	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝑁‘{𝐺})) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
7		eqid 2724	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Base‘𝑈) = (Base‘𝑈)
8		lcfrvalsn.f	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
9		lcfrvalsn.l	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐿 = (LKer‘𝑈)
10		lcfrvalsn.h	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
11		lcfrvalsn.u	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
12	10, 11, 5	dvhlmod 40437	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LMod)
13	12	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝑁‘{𝐺})) → 𝑈 ∈ LMod)
14		lcfrvalsn.d	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑈)
15	14, 12	lduallmod 38479	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ LMod)
16		eqid 2724	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (Base‘𝐷) = (Base‘𝐷)
17		lcfrvalsn.g	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
18	8, 14, 16, 12, 17	ldualelvbase 38453	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (Base‘𝐷))
19		eqid 2724	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (LSubSp‘𝐷) = (LSubSp‘𝐷)
20		lcfrvalsn.n	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝐷)
21	16, 19, 20	lspsncl 20809	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐷 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ (Base‘𝐷)) → (𝑁‘{𝐺}) ∈ (LSubSp‘𝐷))
22	15, 18, 21	syl2anc 583	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝐺}) ∈ (LSubSp‘𝐷))
23	16, 19	lssel 20769	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑁‘{𝐺}) ∈ (LSubSp‘𝐷) ∧ 𝑓 ∈ (𝑁‘{𝐺})) → 𝑓 ∈ (Base‘𝐷))
24	22, 23	sylan 579	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝑁‘{𝐺})) → 𝑓 ∈ (Base‘𝐷))
25	8, 14, 16, 12	ldualvbase 38452	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐷) = 𝐹)
26	25	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝑁‘{𝐺})) → (Base‘𝐷) = 𝐹)
27	24, 26	eleqtrd 2827	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝑁‘{𝐺})) → 𝑓 ∈ 𝐹)
28	7, 8, 9, 13, 27	lkrssv 38422	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝑁‘{𝐺})) → (𝐿‘𝑓) ⊆ (Base‘𝑈))
29		eqid 2724	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (Scalar‘𝐷) = (Scalar‘𝐷)
30		eqid 2724	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝐷)) = (Base‘(Scalar‘𝐷))
31		eqid 2724	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝐷) = ( ·𝑠 ‘𝐷)
32	29, 30, 16, 31, 20	lspsnel 20835	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐷 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ (Base‘𝐷)) → (𝑓 ∈ (𝑁‘{𝐺}) ↔ ∃𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐷))𝑓 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝐷)𝐺)))
33	15, 18, 32	syl2anc 583	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑓 ∈ (𝑁‘{𝐺}) ↔ ∃𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐷))𝑓 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝐷)𝐺)))
34		eqid 2724	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (Scalar‘𝑈) = (Scalar‘𝑈)
35		eqid 2724	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑈)) = (Base‘(Scalar‘𝑈))
36	34, 35, 14, 29, 30, 12	ldualsbase 38459	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (Base‘(Scalar‘𝐷)) = (Base‘(Scalar‘𝑈)))
37	36	rexeqdv 3318	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (∃𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐷))𝑓 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝐷)𝐺) ↔ ∃𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈))𝑓 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝐷)𝐺)))
38	33, 37	bitrd 279	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑓 ∈ (𝑁‘{𝐺}) ↔ ∃𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈))𝑓 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝐷)𝐺)))
39	38	biimpa 476	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝑁‘{𝐺})) → ∃𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈))𝑓 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝐷)𝐺))
40	10, 11, 5	dvhlvec 40436	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LVec)
41	40	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝑁‘{𝐺})) → 𝑈 ∈ LVec)
42	17	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝑁‘{𝐺})) → 𝐺 ∈ 𝐹)
43	34, 35, 8, 9, 14, 31, 41, 42, 27	lkrss2N 38495	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝑁‘{𝐺})) → ((𝐿‘𝐺) ⊆ (𝐿‘𝑓) ↔ ∃𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈))𝑓 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝐷)𝐺)))
44	39, 43	mpbird 257	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝑁‘{𝐺})) → (𝐿‘𝐺) ⊆ (𝐿‘𝑓))
45		lcfrvalsn.o	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
46	10, 11, 7, 45	dochss 40692	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐿‘𝑓) ⊆ (Base‘𝑈) ∧ (𝐿‘𝐺) ⊆ (𝐿‘𝑓)) → ( ⊥ ‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)))
47	6, 28, 44, 46	syl3anc 1368	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝑁‘{𝐺})) → ( ⊥ ‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)))
48	47	sseld 3973	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝑁‘{𝐺})) → (𝑥 ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝑓)) → 𝑥 ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺))))
49	48	ex 412	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑓 ∈ (𝑁‘{𝐺}) → (𝑥 ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝑓)) → 𝑥 ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)))))
50	4, 49	biimtrid 241	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑓 ∈ 𝑅 → (𝑥 ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝑓)) → 𝑥 ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)))))
51	50	rexlimdv 3145	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∃𝑓 ∈ 𝑅 𝑥 ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝑓)) → 𝑥 ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺))))
52	16, 20	lspsnid 20825	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐷 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ (Base‘𝐷)) → 𝐺 ∈ (𝑁‘{𝐺}))
53	15, 18, 52	syl2anc 583	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (𝑁‘{𝐺}))
54	53, 3	eleqtrrdi 2836	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑅)
55		2fveq3 6886	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓 = 𝐺 → ( ⊥ ‘(𝐿‘𝑓)) = ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)))
56	55	eleq2d 2811	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 = 𝐺 → (𝑥 ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝑓)) ↔ 𝑥 ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺))))
57	56	rspcev 3604	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑅 ∧ 𝑥 ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺))) → ∃𝑓 ∈ 𝑅 𝑥 ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝑓)))
58	54, 57	sylan 579	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺))) → ∃𝑓 ∈ 𝑅 𝑥 ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝑓)))
59	58	ex 412	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) → ∃𝑓 ∈ 𝑅 𝑥 ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝑓))))
60	51, 59	impbid 211	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∃𝑓 ∈ 𝑅 𝑥 ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝑓)) ↔ 𝑥 ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺))))
61	2, 60	bitrid 283	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ∪ 𝑓 ∈ 𝑅 ( ⊥ ‘(𝐿‘𝑓)) ↔ 𝑥 ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺))))
62	61	eqrdv 2722	. 2 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑓 ∈ 𝑅 ( ⊥ ‘(𝐿‘𝑓)) = ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)))
63	1, 62	eqtrid 2776	1 ⊢ (𝜑 → 𝑄 = ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ∃wrex 3062   ⊆ wss 3940  {csn 4620  ∪ ciun 4987  ‘cfv 6533  (class class class)co 7401  Basecbs 17140  Scalarcsca 17196   ·_𝑠 cvsca 17197  LModclmod 20691  LSubSpclss 20763  LSpanclspn 20803  LVecclvec 20935  LFnlclfn 38383  LKerclk 38411  LDualcld 38449  HLchlt 38676  LHypclh 39311  DVecHcdvh 40405  ocHcoch 40674

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5275  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-cnex 11161  ax-resscn 11162  ax-1cn 11163  ax-icn 11164  ax-addcl 11165  ax-addrcl 11166  ax-mulcl 11167  ax-mulrcl 11168  ax-mulcom 11169  ax-addass 11170  ax-mulass 11171  ax-distr 11172  ax-i2m1 11173  ax-1ne0 11174  ax-1rid 11175  ax-rnegex 11176  ax-rrecex 11177  ax-cnre 11178  ax-pre-lttri 11179  ax-pre-lttrn 11180  ax-pre-ltadd 11181  ax-pre-mulgt0 11182  ax-riotaBAD 38279

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-tp 4625  df-op 4627  df-uni 4900  df-int 4941  df-iun 4989  df-iin 4990  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-of 7663  df-om 7849  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-tpos 8206  df-undef 8253  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-er 8698  df-map 8817  df-en 8935  df-dom 8936  df-sdom 8937  df-fin 8938  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-fz 13481  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-sca 17209  df-vsca 17210  df-0g 17383  df-proset 18247  df-poset 18265  df-plt 18282  df-lub 18298  df-glb 18299  df-join 18300  df-meet 18301  df-p0 18377  df-p1 18378  df-lat 18384  df-clat 18451  df-mgm 18560  df-sgrp 18639  df-mnd 18655  df-submnd 18701  df-grp 18853  df-minusg 18854  df-sbg 18855  df-subg 19035  df-cntz 19218  df-lsm 19541  df-cmn 19687  df-abl 19688  df-mgp 20025  df-rng 20043  df-ur 20072  df-ring 20125  df-oppr 20221  df-dvdsr 20244  df-unit 20245  df-invr 20275  df-dvr 20288  df-drng 20574  df-lmod 20693  df-lss 20764  df-lsp 20804  df-lvec 20936  df-lshyp 38303  df-lfl 38384  df-lkr 38412  df-ldual 38450  df-oposet 38502  df-ol 38504  df-oml 38505  df-covers 38592  df-ats 38593  df-atl 38624  df-cvlat 38648  df-hlat 38677  df-llines 38825  df-lplanes 38826  df-lvols 38827  df-lines 38828  df-psubsp 38830  df-pmap 38831  df-padd 39123  df-lhyp 39315  df-laut 39316  df-ldil 39431  df-ltrn 39432  df-trl 39486  df-tendo 40082  df-edring 40084  df-disoa 40356  df-dvech 40406  df-dib 40466  df-dic 40500  df-dih 40556  df-doch 40675

This theorem is referenced by: (None)