Theorem lcfrvalsnN 41498

Description: Reconstruction from the dual space span of a singleton. (Contributed by NM, 19-Feb-2015.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
lcfrvalsn.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
lcfrvalsn.o	⊢ ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
lcfrvalsn.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
lcfrvalsn.f	⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
lcfrvalsn.l	⊢ 𝐿 = (LKer‘𝑈)
lcfrvalsn.d	⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑈)
lcfrvalsn.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝐷)
lcfrvalsn.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
lcfrvalsn.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
lcfrvalsn.q	⊢ 𝑄 = ∪ 𝑓 ∈ 𝑅 ( ⊥ ‘(𝐿‘𝑓))
lcfrvalsn.r	⊢ 𝑅 = (𝑁‘{𝐺})

Assertion

Ref	Expression
lcfrvalsnN	⊢ (𝜑 → 𝑄 = ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)))

Distinct variable groups:   ⊥ ,𝑓   𝑓,𝐺   𝑅,𝑓   𝑓,𝐿   𝜑,𝑓

Allowed substitution hints:   𝐷(𝑓)   𝑄(𝑓)   𝑈(𝑓)   𝐹(𝑓)   𝐻(𝑓)   𝐾(𝑓)   𝑁(𝑓)   𝑊(𝑓)

Proof of Theorem lcfrvalsnN

Dummy variables 𝑥 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lcfrvalsn.q	. 2 ⊢ 𝑄 = ∪ 𝑓 ∈ 𝑅 ( ⊥ ‘(𝐿‘𝑓))
2		eliun 5019	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ∪ 𝑓 ∈ 𝑅 ( ⊥ ‘(𝐿‘𝑓)) ↔ ∃𝑓 ∈ 𝑅 𝑥 ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝑓)))
3		lcfrvalsn.r	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑅 = (𝑁‘{𝐺})
4	3	eleq2i 2836	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 ∈ 𝑅 ↔ 𝑓 ∈ (𝑁‘{𝐺}))
5		lcfrvalsn.k	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
6	5	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝑁‘{𝐺})) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
7		eqid 2740	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Base‘𝑈) = (Base‘𝑈)
8		lcfrvalsn.f	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
9		lcfrvalsn.l	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐿 = (LKer‘𝑈)
10		lcfrvalsn.h	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
11		lcfrvalsn.u	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
12	10, 11, 5	dvhlmod 41067	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LMod)
13	12	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝑁‘{𝐺})) → 𝑈 ∈ LMod)
14		lcfrvalsn.d	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑈)
15	14, 12	lduallmod 39109	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ LMod)
16		eqid 2740	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (Base‘𝐷) = (Base‘𝐷)
17		lcfrvalsn.g	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
18	8, 14, 16, 12, 17	ldualelvbase 39083	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (Base‘𝐷))
19		eqid 2740	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (LSubSp‘𝐷) = (LSubSp‘𝐷)
20		lcfrvalsn.n	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝐷)
21	16, 19, 20	lspsncl 20998	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐷 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ (Base‘𝐷)) → (𝑁‘{𝐺}) ∈ (LSubSp‘𝐷))
22	15, 18, 21	syl2anc 583	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝐺}) ∈ (LSubSp‘𝐷))
23	16, 19	lssel 20958	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑁‘{𝐺}) ∈ (LSubSp‘𝐷) ∧ 𝑓 ∈ (𝑁‘{𝐺})) → 𝑓 ∈ (Base‘𝐷))
24	22, 23	sylan 579	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝑁‘{𝐺})) → 𝑓 ∈ (Base‘𝐷))
25	8, 14, 16, 12	ldualvbase 39082	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐷) = 𝐹)
26	25	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝑁‘{𝐺})) → (Base‘𝐷) = 𝐹)
27	24, 26	eleqtrd 2846	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝑁‘{𝐺})) → 𝑓 ∈ 𝐹)
28	7, 8, 9, 13, 27	lkrssv 39052	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝑁‘{𝐺})) → (𝐿‘𝑓) ⊆ (Base‘𝑈))
29		eqid 2740	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (Scalar‘𝐷) = (Scalar‘𝐷)
30		eqid 2740	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝐷)) = (Base‘(Scalar‘𝐷))
31		eqid 2740	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝐷) = ( ·𝑠 ‘𝐷)
32	29, 30, 16, 31, 20	ellspsn 21024	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐷 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ (Base‘𝐷)) → (𝑓 ∈ (𝑁‘{𝐺}) ↔ ∃𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐷))𝑓 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝐷)𝐺)))
33	15, 18, 32	syl2anc 583	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑓 ∈ (𝑁‘{𝐺}) ↔ ∃𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐷))𝑓 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝐷)𝐺)))
34		eqid 2740	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (Scalar‘𝑈) = (Scalar‘𝑈)
35		eqid 2740	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑈)) = (Base‘(Scalar‘𝑈))
36	34, 35, 14, 29, 30, 12	ldualsbase 39089	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (Base‘(Scalar‘𝐷)) = (Base‘(Scalar‘𝑈)))
37	36	rexeqdv 3335	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (∃𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐷))𝑓 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝐷)𝐺) ↔ ∃𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈))𝑓 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝐷)𝐺)))
38	33, 37	bitrd 279	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑓 ∈ (𝑁‘{𝐺}) ↔ ∃𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈))𝑓 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝐷)𝐺)))
39	38	biimpa 476	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝑁‘{𝐺})) → ∃𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈))𝑓 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝐷)𝐺))
40	10, 11, 5	dvhlvec 41066	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LVec)
41	40	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝑁‘{𝐺})) → 𝑈 ∈ LVec)
42	17	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝑁‘{𝐺})) → 𝐺 ∈ 𝐹)
43	34, 35, 8, 9, 14, 31, 41, 42, 27	lkrss2N 39125	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝑁‘{𝐺})) → ((𝐿‘𝐺) ⊆ (𝐿‘𝑓) ↔ ∃𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈))𝑓 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝐷)𝐺)))
44	39, 43	mpbird 257	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝑁‘{𝐺})) → (𝐿‘𝐺) ⊆ (𝐿‘𝑓))
45		lcfrvalsn.o	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
46	10, 11, 7, 45	dochss 41322	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐿‘𝑓) ⊆ (Base‘𝑈) ∧ (𝐿‘𝐺) ⊆ (𝐿‘𝑓)) → ( ⊥ ‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)))
47	6, 28, 44, 46	syl3anc 1371	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝑁‘{𝐺})) → ( ⊥ ‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)))
48	47	sseld 4007	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝑁‘{𝐺})) → (𝑥 ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝑓)) → 𝑥 ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺))))
49	48	ex 412	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑓 ∈ (𝑁‘{𝐺}) → (𝑥 ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝑓)) → 𝑥 ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)))))
50	4, 49	biimtrid 242	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑓 ∈ 𝑅 → (𝑥 ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝑓)) → 𝑥 ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)))))
51	50	rexlimdv 3159	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∃𝑓 ∈ 𝑅 𝑥 ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝑓)) → 𝑥 ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺))))
52	16, 20	lspsnid 21014	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐷 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ (Base‘𝐷)) → 𝐺 ∈ (𝑁‘{𝐺}))
53	15, 18, 52	syl2anc 583	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (𝑁‘{𝐺}))
54	53, 3	eleqtrrdi 2855	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑅)
55		2fveq3 6925	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓 = 𝐺 → ( ⊥ ‘(𝐿‘𝑓)) = ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)))
56	55	eleq2d 2830	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 = 𝐺 → (𝑥 ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝑓)) ↔ 𝑥 ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺))))
57	56	rspcev 3635	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑅 ∧ 𝑥 ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺))) → ∃𝑓 ∈ 𝑅 𝑥 ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝑓)))
58	54, 57	sylan 579	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺))) → ∃𝑓 ∈ 𝑅 𝑥 ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝑓)))
59	58	ex 412	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) → ∃𝑓 ∈ 𝑅 𝑥 ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝑓))))
60	51, 59	impbid 212	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∃𝑓 ∈ 𝑅 𝑥 ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝑓)) ↔ 𝑥 ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺))))
61	2, 60	bitrid 283	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ∪ 𝑓 ∈ 𝑅 ( ⊥ ‘(𝐿‘𝑓)) ↔ 𝑥 ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺))))
62	61	eqrdv 2738	. 2 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑓 ∈ 𝑅 ( ⊥ ‘(𝐿‘𝑓)) = ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)))
63	1, 62	eqtrid 2792	1 ⊢ (𝜑 → 𝑄 = ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  ∃wrex 3076   ⊆ wss 3976  {csn 4648  ∪ ciun 5015  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  Basecbs 17258  Scalarcsca 17314   ·_𝑠 cvsca 17315  LModclmod 20880  LSubSpclss 20952  LSpanclspn 20992  LVecclvec 21124  LFnlclfn 39013  LKerclk 39041  LDualcld 39079  HLchlt 39306  LHypclh 39941  DVecHcdvh 41035  ocHcoch 41304

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261  ax-riotaBAD 38909

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-tp 4653  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-iin 5018  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-of 7714  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-tpos 8267  df-undef 8314  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-er 8763  df-map 8886  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-4 12358  df-5 12359  df-6 12360  df-n0 12554  df-z 12640  df-uz 12904  df-fz 13568  df-struct 17194  df-sets 17211  df-slot 17229  df-ndx 17241  df-base 17259  df-ress 17288  df-plusg 17324  df-mulr 17325  df-sca 17327  df-vsca 17328  df-0g 17501  df-proset 18365  df-poset 18383  df-plt 18400  df-lub 18416  df-glb 18417  df-join 18418  df-meet 18419  df-p0 18495  df-p1 18496  df-lat 18502  df-clat 18569  df-mgm 18678  df-sgrp 18757  df-mnd 18773  df-submnd 18819  df-grp 18976  df-minusg 18977  df-sbg 18978  df-subg 19163  df-cntz 19357  df-lsm 19678  df-cmn 19824  df-abl 19825  df-mgp 20162  df-rng 20180  df-ur 20209  df-ring 20262  df-oppr 20360  df-dvdsr 20383  df-unit 20384  df-invr 20414  df-dvr 20427  df-nzr 20539  df-rlreg 20716  df-domn 20717  df-drng 20753  df-lmod 20882  df-lss 20953  df-lsp 20993  df-lvec 21125  df-lshyp 38933  df-lfl 39014  df-lkr 39042  df-ldual 39080  df-oposet 39132  df-ol 39134  df-oml 39135  df-covers 39222  df-ats 39223  df-atl 39254  df-cvlat 39278  df-hlat 39307  df-llines 39455  df-lplanes 39456  df-lvols 39457  df-lines 39458  df-psubsp 39460  df-pmap 39461  df-padd 39753  df-lhyp 39945  df-laut 39946  df-ldil 40061  df-ltrn 40062  df-trl 40116  df-tendo 40712  df-edring 40714  df-disoa 40986  df-dvech 41036  df-dib 41096  df-dic 41130  df-dih 41186  df-doch 41305

This theorem is referenced by: (None)