Theorem lcfrvalsnN 37679

Description: Reconstruction from the dual space span of a singleton. (Contributed by NM, 19-Feb-2015.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
lcfrvalsn.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
lcfrvalsn.o	⊢ ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
lcfrvalsn.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
lcfrvalsn.f	⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
lcfrvalsn.l	⊢ 𝐿 = (LKer‘𝑈)
lcfrvalsn.d	⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑈)
lcfrvalsn.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝐷)
lcfrvalsn.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
lcfrvalsn.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
lcfrvalsn.q	⊢ 𝑄 = ∪ 𝑓 ∈ 𝑅 ( ⊥ ‘(𝐿‘𝑓))
lcfrvalsn.r	⊢ 𝑅 = (𝑁‘{𝐺})

Assertion

Ref	Expression
lcfrvalsnN	⊢ (𝜑 → 𝑄 = ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)))

Distinct variable groups:   ⊥ ,𝑓   𝑓,𝐺   𝑅,𝑓   𝑓,𝐿   𝜑,𝑓

Allowed substitution hints:   𝐷(𝑓)   𝑄(𝑓)   𝑈(𝑓)   𝐹(𝑓)   𝐻(𝑓)   𝐾(𝑓)   𝑁(𝑓)   𝑊(𝑓)

Proof of Theorem lcfrvalsnN

Dummy variables 𝑥 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lcfrvalsn.q	. 2 ⊢ 𝑄 = ∪ 𝑓 ∈ 𝑅 ( ⊥ ‘(𝐿‘𝑓))
2		eliun 4757	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ∪ 𝑓 ∈ 𝑅 ( ⊥ ‘(𝐿‘𝑓)) ↔ ∃𝑓 ∈ 𝑅 𝑥 ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝑓)))
3		lcfrvalsn.r	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑅 = (𝑁‘{𝐺})
4	3	eleq2i 2850	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 ∈ 𝑅 ↔ 𝑓 ∈ (𝑁‘{𝐺}))
5		lcfrvalsn.k	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
6	5	adantr 474	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝑁‘{𝐺})) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
7		eqid 2777	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Base‘𝑈) = (Base‘𝑈)
8		lcfrvalsn.f	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
9		lcfrvalsn.l	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐿 = (LKer‘𝑈)
10		lcfrvalsn.h	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
11		lcfrvalsn.u	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
12	10, 11, 5	dvhlmod 37248	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LMod)
13	12	adantr 474	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝑁‘{𝐺})) → 𝑈 ∈ LMod)
14		lcfrvalsn.d	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑈)
15	14, 12	lduallmod 35291	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ LMod)
16		eqid 2777	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (Base‘𝐷) = (Base‘𝐷)
17		lcfrvalsn.g	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
18	8, 14, 16, 12, 17	ldualelvbase 35265	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (Base‘𝐷))
19		eqid 2777	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (LSubSp‘𝐷) = (LSubSp‘𝐷)
20		lcfrvalsn.n	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝐷)
21	16, 19, 20	lspsncl 19372	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐷 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ (Base‘𝐷)) → (𝑁‘{𝐺}) ∈ (LSubSp‘𝐷))
22	15, 18, 21	syl2anc 579	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝐺}) ∈ (LSubSp‘𝐷))
23	16, 19	lssel 19330	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑁‘{𝐺}) ∈ (LSubSp‘𝐷) ∧ 𝑓 ∈ (𝑁‘{𝐺})) → 𝑓 ∈ (Base‘𝐷))
24	22, 23	sylan 575	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝑁‘{𝐺})) → 𝑓 ∈ (Base‘𝐷))
25	8, 14, 16, 12	ldualvbase 35264	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐷) = 𝐹)
26	25	adantr 474	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝑁‘{𝐺})) → (Base‘𝐷) = 𝐹)
27	24, 26	eleqtrd 2860	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝑁‘{𝐺})) → 𝑓 ∈ 𝐹)
28	7, 8, 9, 13, 27	lkrssv 35234	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝑁‘{𝐺})) → (𝐿‘𝑓) ⊆ (Base‘𝑈))
29		eqid 2777	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (Scalar‘𝐷) = (Scalar‘𝐷)
30		eqid 2777	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝐷)) = (Base‘(Scalar‘𝐷))
31		eqid 2777	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝐷) = ( ·𝑠 ‘𝐷)
32	29, 30, 16, 31, 20	lspsnel 19398	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐷 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ (Base‘𝐷)) → (𝑓 ∈ (𝑁‘{𝐺}) ↔ ∃𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐷))𝑓 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝐷)𝐺)))
33	15, 18, 32	syl2anc 579	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑓 ∈ (𝑁‘{𝐺}) ↔ ∃𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐷))𝑓 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝐷)𝐺)))
34		eqid 2777	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (Scalar‘𝑈) = (Scalar‘𝑈)
35		eqid 2777	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑈)) = (Base‘(Scalar‘𝑈))
36	34, 35, 14, 29, 30, 12	ldualsbase 35271	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (Base‘(Scalar‘𝐷)) = (Base‘(Scalar‘𝑈)))
37	36	rexeqdv 3340	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (∃𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐷))𝑓 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝐷)𝐺) ↔ ∃𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈))𝑓 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝐷)𝐺)))
38	33, 37	bitrd 271	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑓 ∈ (𝑁‘{𝐺}) ↔ ∃𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈))𝑓 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝐷)𝐺)))
39	38	biimpa 470	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝑁‘{𝐺})) → ∃𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈))𝑓 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝐷)𝐺))
40	10, 11, 5	dvhlvec 37247	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LVec)
41	40	adantr 474	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝑁‘{𝐺})) → 𝑈 ∈ LVec)
42	17	adantr 474	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝑁‘{𝐺})) → 𝐺 ∈ 𝐹)
43	34, 35, 8, 9, 14, 31, 41, 42, 27	lkrss2N 35307	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝑁‘{𝐺})) → ((𝐿‘𝐺) ⊆ (𝐿‘𝑓) ↔ ∃𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈))𝑓 = (𝑘( ·𝑠 ‘𝐷)𝐺)))
44	39, 43	mpbird 249	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝑁‘{𝐺})) → (𝐿‘𝐺) ⊆ (𝐿‘𝑓))
45		lcfrvalsn.o	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
46	10, 11, 7, 45	dochss 37503	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐿‘𝑓) ⊆ (Base‘𝑈) ∧ (𝐿‘𝐺) ⊆ (𝐿‘𝑓)) → ( ⊥ ‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)))
47	6, 28, 44, 46	syl3anc 1439	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝑁‘{𝐺})) → ( ⊥ ‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)))
48	47	sseld 3819	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝑁‘{𝐺})) → (𝑥 ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝑓)) → 𝑥 ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺))))
49	48	ex 403	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑓 ∈ (𝑁‘{𝐺}) → (𝑥 ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝑓)) → 𝑥 ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)))))
50	4, 49	syl5bi 234	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑓 ∈ 𝑅 → (𝑥 ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝑓)) → 𝑥 ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)))))
51	50	rexlimdv 3211	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∃𝑓 ∈ 𝑅 𝑥 ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝑓)) → 𝑥 ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺))))
52	16, 20	lspsnid 19388	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐷 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ (Base‘𝐷)) → 𝐺 ∈ (𝑁‘{𝐺}))
53	15, 18, 52	syl2anc 579	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (𝑁‘{𝐺}))
54	53, 3	syl6eleqr 2869	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑅)
55		2fveq3 6451	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓 = 𝐺 → ( ⊥ ‘(𝐿‘𝑓)) = ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)))
56	55	eleq2d 2844	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 = 𝐺 → (𝑥 ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝑓)) ↔ 𝑥 ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺))))
57	56	rspcev 3510	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑅 ∧ 𝑥 ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺))) → ∃𝑓 ∈ 𝑅 𝑥 ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝑓)))
58	54, 57	sylan 575	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺))) → ∃𝑓 ∈ 𝑅 𝑥 ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝑓)))
59	58	ex 403	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) → ∃𝑓 ∈ 𝑅 𝑥 ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝑓))))
60	51, 59	impbid 204	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∃𝑓 ∈ 𝑅 𝑥 ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝑓)) ↔ 𝑥 ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺))))
61	2, 60	syl5bb 275	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ∪ 𝑓 ∈ 𝑅 ( ⊥ ‘(𝐿‘𝑓)) ↔ 𝑥 ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺))))
62	61	eqrdv 2775	. 2 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑓 ∈ 𝑅 ( ⊥ ‘(𝐿‘𝑓)) = ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)))
63	1, 62	syl5eq 2825	1 ⊢ (𝜑 → 𝑄 = ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 386   = wceq 1601   ∈ wcel 2106  ∃wrex 3090   ⊆ wss 3791  {csn 4397  ∪ ciun 4753  ‘cfv 6135  (class class class)co 6922  Basecbs 16255  Scalarcsca 16341   ·_𝑠 cvsca 16342  LModclmod 19255  LSubSpclss 19324  LSpanclspn 19366  LVecclvec 19497  LFnlclfn 35195  LKerclk 35223  LDualcld 35261  HLchlt 35488  LHypclh 36122  DVecHcdvh 37216  ocHcoch 37485

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2054  ax-8 2108  ax-9 2115  ax-10 2134  ax-11 2149  ax-12 2162  ax-13 2333  ax-ext 2753  ax-rep 5006  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-cnex 10328  ax-resscn 10329  ax-1cn 10330  ax-icn 10331  ax-addcl 10332  ax-addrcl 10333  ax-mulcl 10334  ax-mulrcl 10335  ax-mulcom 10336  ax-addass 10337  ax-mulass 10338  ax-distr 10339  ax-i2m1 10340  ax-1ne0 10341  ax-1rid 10342  ax-rnegex 10343  ax-rrecex 10344  ax-cnre 10345  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347  ax-pre-ltadd 10348  ax-pre-mulgt0 10349  ax-riotaBAD 35091

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-fal 1615  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2550  df-eu 2586  df-clab 2763  df-cleq 2769  df-clel 2773  df-nfc 2920  df-ne 2969  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rmo 3097  df-rab 3098  df-v 3399  df-sbc 3652  df-csb 3751  df-dif 3794  df-un 3796  df-in 3798  df-ss 3805  df-pss 3807  df-nul 4141  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-tp 4402  df-op 4404  df-uni 4672  df-int 4711  df-iun 4755  df-iin 4756  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-tr 4988  df-id 5261  df-eprel 5266  df-po 5274  df-so 5275  df-fr 5314  df-we 5316  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-pred 5933  df-ord 5979  df-on 5980  df-lim 5981  df-suc 5982  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-of 7174  df-om 7344  df-1st 7445  df-2nd 7446  df-tpos 7634  df-undef 7681  df-wrecs 7689  df-recs 7751  df-rdg 7789  df-1o 7843  df-oadd 7847  df-er 8026  df-map 8142  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-fin 8245  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-xr 10415  df-ltxr 10416  df-le 10417  df-sub 10608  df-neg 10609  df-nn 11375  df-2 11438  df-3 11439  df-4 11440  df-5 11441  df-6 11442  df-n0 11643  df-z 11729  df-uz 11993  df-fz 12644  df-struct 16257  df-ndx 16258  df-slot 16259  df-base 16261  df-sets 16262  df-ress 16263  df-plusg 16351  df-mulr 16352  df-sca 16354  df-vsca 16355  df-0g 16488  df-proset 17314  df-poset 17332  df-plt 17344  df-lub 17360  df-glb 17361  df-join 17362  df-meet 17363  df-p0 17425  df-p1 17426  df-lat 17432  df-clat 17494  df-mgm 17628  df-sgrp 17670  df-mnd 17681  df-submnd 17722  df-grp 17812  df-minusg 17813  df-sbg 17814  df-subg 17975  df-cntz 18133  df-lsm 18435  df-cmn 18581  df-abl 18582  df-mgp 18877  df-ur 18889  df-ring 18936  df-oppr 19010  df-dvdsr 19028  df-unit 19029  df-invr 19059  df-dvr 19070  df-drng 19141  df-lmod 19257  df-lss 19325  df-lsp 19367  df-lvec 19498  df-lshyp 35115  df-lfl 35196  df-lkr 35224  df-ldual 35262  df-oposet 35314  df-ol 35316  df-oml 35317  df-covers 35404  df-ats 35405  df-atl 35436  df-cvlat 35460  df-hlat 35489  df-llines 35636  df-lplanes 35637  df-lvols 35638  df-lines 35639  df-psubsp 35641  df-pmap 35642  df-padd 35934  df-lhyp 36126  df-laut 36127  df-ldil 36242  df-ltrn 36243  df-trl 36297  df-tendo 36893  df-edring 36895  df-disoa 37167  df-dvech 37217  df-dib 37277  df-dic 37311  df-dih 37367  df-doch 37486

This theorem is referenced by: (None)