Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lcfrvalsnN Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lcfrvalsnN 40868
Description: Reconstruction from the dual space span of a singleton. (Contributed by NM, 19-Feb-2015.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
lcfrvalsn.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
lcfrvalsn.o = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
lcfrvalsn.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
lcfrvalsn.f 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
lcfrvalsn.l 𝐿 = (LKer‘𝑈)
lcfrvalsn.d 𝐷 = (LDual‘𝑈)
lcfrvalsn.n 𝑁 = (LSpan‘𝐷)
lcfrvalsn.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
lcfrvalsn.g (𝜑𝐺𝐹)
lcfrvalsn.q 𝑄 = 𝑓𝑅 ( ‘(𝐿𝑓))
lcfrvalsn.r 𝑅 = (𝑁‘{𝐺})
Assertion
Ref Expression
lcfrvalsnN (𝜑𝑄 = ( ‘(𝐿𝐺)))
Distinct variable groups:   ,𝑓   𝑓,𝐺   𝑅,𝑓   𝑓,𝐿   𝜑,𝑓
Allowed substitution hints:   𝐷(𝑓)   𝑄(𝑓)   𝑈(𝑓)   𝐹(𝑓)   𝐻(𝑓)   𝐾(𝑓)   𝑁(𝑓)   𝑊(𝑓)

Proof of Theorem lcfrvalsnN
Dummy variables 𝑥 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lcfrvalsn.q . 2 𝑄 = 𝑓𝑅 ( ‘(𝐿𝑓))
2 eliun 4991 . . . 4 (𝑥 𝑓𝑅 ( ‘(𝐿𝑓)) ↔ ∃𝑓𝑅 𝑥 ∈ ( ‘(𝐿𝑓)))
3 lcfrvalsn.r . . . . . . . 8 𝑅 = (𝑁‘{𝐺})
43eleq2i 2817 . . . . . . 7 (𝑓𝑅𝑓 ∈ (𝑁‘{𝐺}))
5 lcfrvalsn.k . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
65adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑓 ∈ (𝑁‘{𝐺})) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
7 eqid 2724 . . . . . . . . . . 11 (Base‘𝑈) = (Base‘𝑈)
8 lcfrvalsn.f . . . . . . . . . . 11 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
9 lcfrvalsn.l . . . . . . . . . . 11 𝐿 = (LKer‘𝑈)
10 lcfrvalsn.h . . . . . . . . . . . . 13 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
11 lcfrvalsn.u . . . . . . . . . . . . 13 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
1210, 11, 5dvhlmod 40437 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑈 ∈ LMod)
1312adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑓 ∈ (𝑁‘{𝐺})) → 𝑈 ∈ LMod)
14 lcfrvalsn.d . . . . . . . . . . . . . . 15 𝐷 = (LDual‘𝑈)
1514, 12lduallmod 38479 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐷 ∈ LMod)
16 eqid 2724 . . . . . . . . . . . . . . 15 (Base‘𝐷) = (Base‘𝐷)
17 lcfrvalsn.g . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐺𝐹)
188, 14, 16, 12, 17ldualelvbase 38453 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐺 ∈ (Base‘𝐷))
19 eqid 2724 . . . . . . . . . . . . . . 15 (LSubSp‘𝐷) = (LSubSp‘𝐷)
20 lcfrvalsn.n . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑁 = (LSpan‘𝐷)
2116, 19, 20lspsncl 20809 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐷 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ (Base‘𝐷)) → (𝑁‘{𝐺}) ∈ (LSubSp‘𝐷))
2215, 18, 21syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑁‘{𝐺}) ∈ (LSubSp‘𝐷))
2316, 19lssel 20769 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁‘{𝐺}) ∈ (LSubSp‘𝐷) ∧ 𝑓 ∈ (𝑁‘{𝐺})) → 𝑓 ∈ (Base‘𝐷))
2422, 23sylan 579 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑓 ∈ (𝑁‘{𝐺})) → 𝑓 ∈ (Base‘𝐷))
258, 14, 16, 12ldualvbase 38452 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (Base‘𝐷) = 𝐹)
2625adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑓 ∈ (𝑁‘{𝐺})) → (Base‘𝐷) = 𝐹)
2724, 26eleqtrd 2827 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑓 ∈ (𝑁‘{𝐺})) → 𝑓𝐹)
287, 8, 9, 13, 27lkrssv 38422 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑓 ∈ (𝑁‘{𝐺})) → (𝐿𝑓) ⊆ (Base‘𝑈))
29 eqid 2724 . . . . . . . . . . . . . . 15 (Scalar‘𝐷) = (Scalar‘𝐷)
30 eqid 2724 . . . . . . . . . . . . . . 15 (Base‘(Scalar‘𝐷)) = (Base‘(Scalar‘𝐷))
31 eqid 2724 . . . . . . . . . . . . . . 15 ( ·𝑠𝐷) = ( ·𝑠𝐷)
3229, 30, 16, 31, 20lspsnel 20835 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐷 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ (Base‘𝐷)) → (𝑓 ∈ (𝑁‘{𝐺}) ↔ ∃𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐷))𝑓 = (𝑘( ·𝑠𝐷)𝐺)))
3315, 18, 32syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑓 ∈ (𝑁‘{𝐺}) ↔ ∃𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐷))𝑓 = (𝑘( ·𝑠𝐷)𝐺)))
34 eqid 2724 . . . . . . . . . . . . . . 15 (Scalar‘𝑈) = (Scalar‘𝑈)
35 eqid 2724 . . . . . . . . . . . . . . 15 (Base‘(Scalar‘𝑈)) = (Base‘(Scalar‘𝑈))
3634, 35, 14, 29, 30, 12ldualsbase 38459 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (Base‘(Scalar‘𝐷)) = (Base‘(Scalar‘𝑈)))
3736rexeqdv 3318 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (∃𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐷))𝑓 = (𝑘( ·𝑠𝐷)𝐺) ↔ ∃𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈))𝑓 = (𝑘( ·𝑠𝐷)𝐺)))
3833, 37bitrd 279 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑓 ∈ (𝑁‘{𝐺}) ↔ ∃𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈))𝑓 = (𝑘( ·𝑠𝐷)𝐺)))
3938biimpa 476 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑓 ∈ (𝑁‘{𝐺})) → ∃𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈))𝑓 = (𝑘( ·𝑠𝐷)𝐺))
4010, 11, 5dvhlvec 40436 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑈 ∈ LVec)
4140adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑓 ∈ (𝑁‘{𝐺})) → 𝑈 ∈ LVec)
4217adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑓 ∈ (𝑁‘{𝐺})) → 𝐺𝐹)
4334, 35, 8, 9, 14, 31, 41, 42, 27lkrss2N 38495 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑓 ∈ (𝑁‘{𝐺})) → ((𝐿𝐺) ⊆ (𝐿𝑓) ↔ ∃𝑘 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈))𝑓 = (𝑘( ·𝑠𝐷)𝐺)))
4439, 43mpbird 257 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑓 ∈ (𝑁‘{𝐺})) → (𝐿𝐺) ⊆ (𝐿𝑓))
45 lcfrvalsn.o . . . . . . . . . . 11 = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
4610, 11, 7, 45dochss 40692 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐿𝑓) ⊆ (Base‘𝑈) ∧ (𝐿𝐺) ⊆ (𝐿𝑓)) → ( ‘(𝐿𝑓)) ⊆ ( ‘(𝐿𝐺)))
476, 28, 44, 46syl3anc 1368 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑓 ∈ (𝑁‘{𝐺})) → ( ‘(𝐿𝑓)) ⊆ ( ‘(𝐿𝐺)))
4847sseld 3973 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑓 ∈ (𝑁‘{𝐺})) → (𝑥 ∈ ( ‘(𝐿𝑓)) → 𝑥 ∈ ( ‘(𝐿𝐺))))
4948ex 412 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑓 ∈ (𝑁‘{𝐺}) → (𝑥 ∈ ( ‘(𝐿𝑓)) → 𝑥 ∈ ( ‘(𝐿𝐺)))))
504, 49biimtrid 241 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑓𝑅 → (𝑥 ∈ ( ‘(𝐿𝑓)) → 𝑥 ∈ ( ‘(𝐿𝐺)))))
5150rexlimdv 3145 . . . . 5 (𝜑 → (∃𝑓𝑅 𝑥 ∈ ( ‘(𝐿𝑓)) → 𝑥 ∈ ( ‘(𝐿𝐺))))
5216, 20lspsnid 20825 . . . . . . . . 9 ((𝐷 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ (Base‘𝐷)) → 𝐺 ∈ (𝑁‘{𝐺}))
5315, 18, 52syl2anc 583 . . . . . . . 8 (𝜑𝐺 ∈ (𝑁‘{𝐺}))
5453, 3eleqtrrdi 2836 . . . . . . 7 (𝜑𝐺𝑅)
55 2fveq3 6886 . . . . . . . . 9 (𝑓 = 𝐺 → ( ‘(𝐿𝑓)) = ( ‘(𝐿𝐺)))
5655eleq2d 2811 . . . . . . . 8 (𝑓 = 𝐺 → (𝑥 ∈ ( ‘(𝐿𝑓)) ↔ 𝑥 ∈ ( ‘(𝐿𝐺))))
5756rspcev 3604 . . . . . . 7 ((𝐺𝑅𝑥 ∈ ( ‘(𝐿𝐺))) → ∃𝑓𝑅 𝑥 ∈ ( ‘(𝐿𝑓)))
5854, 57sylan 579 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ( ‘(𝐿𝐺))) → ∃𝑓𝑅 𝑥 ∈ ( ‘(𝐿𝑓)))
5958ex 412 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ ( ‘(𝐿𝐺)) → ∃𝑓𝑅 𝑥 ∈ ( ‘(𝐿𝑓))))
6051, 59impbid 211 . . . 4 (𝜑 → (∃𝑓𝑅 𝑥 ∈ ( ‘(𝐿𝑓)) ↔ 𝑥 ∈ ( ‘(𝐿𝐺))))
612, 60bitrid 283 . . 3 (𝜑 → (𝑥 𝑓𝑅 ( ‘(𝐿𝑓)) ↔ 𝑥 ∈ ( ‘(𝐿𝐺))))
6261eqrdv 2722 . 2 (𝜑 𝑓𝑅 ( ‘(𝐿𝑓)) = ( ‘(𝐿𝐺)))
631, 62eqtrid 2776 1 (𝜑𝑄 = ( ‘(𝐿𝐺)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 395   = wceq 1533  wcel 2098  wrex 3062  wss 3940  {csn 4620   ciun 4987  cfv 6533  (class class class)co 7401  Basecbs 17140  Scalarcsca 17196   ·𝑠 cvsca 17197  LModclmod 20691  LSubSpclss 20763  LSpanclspn 20803  LVecclvec 20935  LFnlclfn 38383  LKerclk 38411  LDualcld 38449  HLchlt 38676  LHypclh 39311  DVecHcdvh 40405  ocHcoch 40674
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5275  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-cnex 11161  ax-resscn 11162  ax-1cn 11163  ax-icn 11164  ax-addcl 11165  ax-addrcl 11166  ax-mulcl 11167  ax-mulrcl 11168  ax-mulcom 11169  ax-addass 11170  ax-mulass 11171  ax-distr 11172  ax-i2m1 11173  ax-1ne0 11174  ax-1rid 11175  ax-rnegex 11176  ax-rrecex 11177  ax-cnre 11178  ax-pre-lttri 11179  ax-pre-lttrn 11180  ax-pre-ltadd 11181  ax-pre-mulgt0 11182  ax-riotaBAD 38279
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-tp 4625  df-op 4627  df-uni 4900  df-int 4941  df-iun 4989  df-iin 4990  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-of 7663  df-om 7849  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-tpos 8206  df-undef 8253  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-er 8698  df-map 8817  df-en 8935  df-dom 8936  df-sdom 8937  df-fin 8938  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-fz 13481  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-sca 17209  df-vsca 17210  df-0g 17383  df-proset 18247  df-poset 18265  df-plt 18282  df-lub 18298  df-glb 18299  df-join 18300  df-meet 18301  df-p0 18377  df-p1 18378  df-lat 18384  df-clat 18451  df-mgm 18560  df-sgrp 18639  df-mnd 18655  df-submnd 18701  df-grp 18853  df-minusg 18854  df-sbg 18855  df-subg 19035  df-cntz 19218  df-lsm 19541  df-cmn 19687  df-abl 19688  df-mgp 20025  df-rng 20043  df-ur 20072  df-ring 20125  df-oppr 20221  df-dvdsr 20244  df-unit 20245  df-invr 20275  df-dvr 20288  df-drng 20574  df-lmod 20693  df-lss 20764  df-lsp 20804  df-lvec 20936  df-lshyp 38303  df-lfl 38384  df-lkr 38412  df-ldual 38450  df-oposet 38502  df-ol 38504  df-oml 38505  df-covers 38592  df-ats 38593  df-atl 38624  df-cvlat 38648  df-hlat 38677  df-llines 38825  df-lplanes 38826  df-lvols 38827  df-lines 38828  df-psubsp 38830  df-pmap 38831  df-padd 39123  df-lhyp 39315  df-laut 39316  df-ldil 39431  df-ltrn 39432  df-trl 39486  df-tendo 40082  df-edring 40084  df-disoa 40356  df-dvech 40406  df-dib 40466  df-dic 40500  df-dih 40556  df-doch 40675
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator