Theorem mapdpglem23 41091

Description: Lemma for mapdpg 41103. Baer p. 45, line 10: "and so y' meets all our requirements." Our ℎ is Baer's y'. (Contributed by NM, 20-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mapdpglem.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
mapdpglem.m	⊢ 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
mapdpglem.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
mapdpglem.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
mapdpglem.s	⊢ − = (-g‘𝑈)
mapdpglem.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
mapdpglem.c	⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
mapdpglem.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
mapdpglem.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
mapdpglem.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
mapdpglem1.p	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝐶)
mapdpglem2.j	⊢ 𝐽 = (LSpan‘𝐶)
mapdpglem3.f	⊢ 𝐹 = (Base‘𝐶)
mapdpglem3.te	⊢ (𝜑 → 𝑡 ∈ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) ⊕ (𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))))
mapdpglem3.a	⊢ 𝐴 = (Scalar‘𝑈)
mapdpglem3.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
mapdpglem3.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝐶)
mapdpglem3.r	⊢ 𝑅 = (-g‘𝐶)
mapdpglem3.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
mapdpglem3.e	⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐺}))
mapdpglem4.q	⊢ 𝑄 = (0g‘𝑈)
mapdpglem.ne	⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
mapdpglem4.jt	⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{𝑡}))
mapdpglem4.z	⊢ 0 = (0g‘𝐴)
mapdpglem4.g4	⊢ (𝜑 → 𝑔 ∈ 𝐵)
mapdpglem4.z4	⊢ (𝜑 → 𝑧 ∈ (𝑀‘(𝑁‘{𝑌})))
mapdpglem4.t4	⊢ (𝜑 → 𝑡 = ((𝑔 · 𝐺)𝑅𝑧))
mapdpglem4.xn	⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 𝑄)
mapdpglem12.yn	⊢ (𝜑 → 𝑌 ≠ 𝑄)
mapdpglem17.ep	⊢ 𝐸 = (((invr‘𝐴)‘𝑔) · 𝑧)

Assertion

Ref	Expression
mapdpglem23	⊢ (𝜑 → ∃ℎ ∈ 𝐹 ((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{ℎ}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐺𝑅ℎ)})))

Distinct variable groups:   𝑡, −   𝑡,𝐶   𝑡,𝐽   𝑡,𝑀   𝑡,𝑁   𝑡,𝑋   𝑡,𝑌   𝐵,𝑔   𝑧,𝑔,𝐶   𝑔,𝐹   𝑔,𝐺,𝑧   𝑔,𝐽,𝑧   𝑔,𝑀,𝑧   𝑔,𝑁,𝑧   𝑅,𝑔,𝑧   · ,𝑔,𝑧   𝑔,𝑌,𝑧,𝑡   ℎ,𝐸   ℎ,𝐹   ℎ,𝐺   ℎ,𝐽   ℎ,𝑀   ℎ,𝑁   𝑅,ℎ   − ,ℎ   ℎ,𝑋   ℎ,𝑌

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑧,𝑡,𝑔,ℎ)   𝐴(𝑧,𝑡,𝑔,ℎ)   𝐵(𝑧,𝑡,ℎ)   𝐶(ℎ)   ⊕ (𝑧,𝑡,𝑔,ℎ)   𝑄(𝑧,𝑡,𝑔,ℎ)   𝑅(𝑡)   · (𝑡,ℎ)   𝑈(𝑧,𝑡,𝑔,ℎ)   𝐸(𝑧,𝑡,𝑔)   𝐹(𝑧,𝑡)   𝐺(𝑡)   𝐻(𝑧,𝑡,𝑔,ℎ)   𝐾(𝑧,𝑡,𝑔,ℎ)   − (𝑧,𝑔)   𝑉(𝑧,𝑡,𝑔,ℎ)   𝑊(𝑧,𝑡,𝑔,ℎ)   𝑋(𝑧,𝑔)   0 (𝑧,𝑡,𝑔,ℎ)

Proof of Theorem mapdpglem23

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mapdpglem.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		mapdpglem.m	. . . 4 ⊢ 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
3		mapdpglem.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
4		eqid 2727	. . . 4 ⊢ (LSubSp‘𝑈) = (LSubSp‘𝑈)
5		mapdpglem.c	. . . 4 ⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
6		eqid 2727	. . . 4 ⊢ (LSubSp‘𝐶) = (LSubSp‘𝐶)
7		mapdpglem.k	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
8	1, 3, 7	dvhlmod 40507	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LMod)
9		mapdpglem.y	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
10		mapdpglem.v	. . . . . 6 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
11		mapdpglem.n	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
12	10, 4, 11	lspsncl 20843	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{𝑌}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
13	8, 9, 12	syl2anc 583	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
14	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 13	mapdcl2 41053	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) ∈ (LSubSp‘𝐶))
15		mapdpglem.s	. . . 4 ⊢ − = (-g‘𝑈)
16		mapdpglem.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
17		mapdpglem1.p	. . . 4 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝐶)
18		mapdpglem2.j	. . . 4 ⊢ 𝐽 = (LSpan‘𝐶)
19		mapdpglem3.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (Base‘𝐶)
20		mapdpglem3.te	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑡 ∈ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) ⊕ (𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))))
21		mapdpglem3.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (Scalar‘𝑈)
22		mapdpglem3.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
23		mapdpglem3.t	. . . 4 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝐶)
24		mapdpglem3.r	. . . 4 ⊢ 𝑅 = (-g‘𝐶)
25		mapdpglem3.g	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
26		mapdpglem3.e	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐺}))
27		mapdpglem4.q	. . . 4 ⊢ 𝑄 = (0g‘𝑈)
28		mapdpglem.ne	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
29		mapdpglem4.jt	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{𝑡}))
30		mapdpglem4.z	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝐴)
31		mapdpglem4.g4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑔 ∈ 𝐵)
32		mapdpglem4.z4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑧 ∈ (𝑀‘(𝑁‘{𝑌})))
33		mapdpglem4.t4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑡 = ((𝑔 · 𝐺)𝑅𝑧))
34		mapdpglem4.xn	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 𝑄)
35		mapdpglem12.yn	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ≠ 𝑄)
36		mapdpglem17.ep	. . . 4 ⊢ 𝐸 = (((invr‘𝐴)‘𝑔) · 𝑧)
37	1, 2, 3, 10, 15, 11, 5, 7, 16, 9, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36	mapdpglem19 41087	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (𝑀‘(𝑁‘{𝑌})))
38	19, 6	lssel 20803	. . 3 ⊢ (((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) ∈ (LSubSp‘𝐶) ∧ 𝐸 ∈ (𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))) → 𝐸 ∈ 𝐹)
39	14, 37, 38	syl2anc 583	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝐹)
40	1, 2, 3, 10, 15, 11, 5, 7, 16, 9, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36	mapdpglem20 41088	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{𝐸}))
41	1, 2, 3, 10, 15, 11, 5, 7, 16, 9, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36	mapdpglem22 41090	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐺𝑅𝐸)}))
42		sneq 4634	. . . . . 6 ⊢ (ℎ = 𝐸 → {ℎ} = {𝐸})
43	42	fveq2d 6895	. . . . 5 ⊢ (ℎ = 𝐸 → (𝐽‘{ℎ}) = (𝐽‘{𝐸}))
44	43	eqeq2d 2738	. . . 4 ⊢ (ℎ = 𝐸 → ((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{ℎ}) ↔ (𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{𝐸})))
45		oveq2 7422	. . . . . . 7 ⊢ (ℎ = 𝐸 → (𝐺𝑅ℎ) = (𝐺𝑅𝐸))
46	45	sneqd 4636	. . . . . 6 ⊢ (ℎ = 𝐸 → {(𝐺𝑅ℎ)} = {(𝐺𝑅𝐸)})
47	46	fveq2d 6895	. . . . 5 ⊢ (ℎ = 𝐸 → (𝐽‘{(𝐺𝑅ℎ)}) = (𝐽‘{(𝐺𝑅𝐸)}))
48	47	eqeq2d 2738	. . . 4 ⊢ (ℎ = 𝐸 → ((𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐺𝑅ℎ)}) ↔ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐺𝑅𝐸)})))
49	44, 48	anbi12d 630	. . 3 ⊢ (ℎ = 𝐸 → (((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{ℎ}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐺𝑅ℎ)})) ↔ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{𝐸}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐺𝑅𝐸)}))))
50	49	rspcev 3607	. 2 ⊢ ((𝐸 ∈ 𝐹 ∧ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{𝐸}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐺𝑅𝐸)}))) → ∃ℎ ∈ 𝐹 ((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{ℎ}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐺𝑅ℎ)})))
51	39, 40, 41, 50	syl12anc 836	1 ⊢ (𝜑 → ∃ℎ ∈ 𝐹 ((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{ℎ}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐺𝑅ℎ)})))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   ≠ wne 2935  ∃wrex 3065  {csn 4624  ‘cfv 6542  (class class class)co 7414  Basecbs 17165  Scalarcsca 17221   ·_𝑠 cvsca 17222  0_gc0g 17406  -_gcsg 18877  LSSumclsm 19573  inv_rcinvr 20308  LModclmod 20725  LSubSpclss 20797  LSpanclspn 20837  HLchlt 38746  LHypclh 39381  DVecHcdvh 40475  LCDualclcd 40983  mapdcmpd 41021

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7732  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201  ax-riotaBAD 38349

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-of 7677  df-om 7863  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-tpos 8223  df-undef 8270  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8478  df-er 8716  df-map 8836  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-fin 8957  df-pnf 11266  df-mnf 11267  df-xr 11268  df-ltxr 11269  df-le 11270  df-sub 11462  df-neg 11463  df-nn 12229  df-2 12291  df-3 12292  df-4 12293  df-5 12294  df-6 12295  df-n0 12489  df-z 12575  df-uz 12839  df-fz 13503  df-struct 17101  df-sets 17118  df-slot 17136  df-ndx 17148  df-base 17166  df-ress 17195  df-plusg 17231  df-mulr 17232  df-sca 17234  df-vsca 17235  df-0g 17408  df-mre 17551  df-mrc 17552  df-acs 17554  df-proset 18272  df-poset 18290  df-plt 18307  df-lub 18323  df-glb 18324  df-join 18325  df-meet 18326  df-p0 18402  df-p1 18403  df-lat 18409  df-clat 18476  df-mgm 18585  df-sgrp 18664  df-mnd 18680  df-submnd 18726  df-grp 18878  df-minusg 18879  df-sbg 18880  df-subg 19062  df-cntz 19252  df-oppg 19281  df-lsm 19575  df-cmn 19721  df-abl 19722  df-mgp 20059  df-rng 20077  df-ur 20106  df-ring 20159  df-oppr 20255  df-dvdsr 20278  df-unit 20279  df-invr 20309  df-dvr 20322  df-drng 20608  df-lmod 20727  df-lss 20798  df-lsp 20838  df-lvec 20970  df-lsatoms 38372  df-lshyp 38373  df-lcv 38415  df-lfl 38454  df-lkr 38482  df-ldual 38520  df-oposet 38572  df-ol 38574  df-oml 38575  df-covers 38662  df-ats 38663  df-atl 38694  df-cvlat 38718  df-hlat 38747  df-llines 38895  df-lplanes 38896  df-lvols 38897  df-lines 38898  df-psubsp 38900  df-pmap 38901  df-padd 39193  df-lhyp 39385  df-laut 39386  df-ldil 39501  df-ltrn 39502  df-trl 39556  df-tgrp 40140  df-tendo 40152  df-edring 40154  df-dveca 40400  df-disoa 40426  df-dvech 40476  df-dib 40536  df-dic 40570  df-dih 40626  df-doch 40745  df-djh 40792  df-lcdual 40984  df-mapd 41022

This theorem is referenced by:  mapdpglem24  41101