Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mapdpglem23 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mapdpglem23 41029
Description: Lemma for mapdpg 41041. Baer p. 45, line 10: "and so y' meets all our requirements." Our is Baer's y'. (Contributed by NM, 20-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mapdpglem.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
mapdpglem.m 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
mapdpglem.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
mapdpglem.v 𝑉 = (Base‘𝑈)
mapdpglem.s = (-g𝑈)
mapdpglem.n 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
mapdpglem.c 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
mapdpglem.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
mapdpglem.x (𝜑𝑋𝑉)
mapdpglem.y (𝜑𝑌𝑉)
mapdpglem1.p = (LSSum‘𝐶)
mapdpglem2.j 𝐽 = (LSpan‘𝐶)
mapdpglem3.f 𝐹 = (Base‘𝐶)
mapdpglem3.te (𝜑𝑡 ∈ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) (𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))))
mapdpglem3.a 𝐴 = (Scalar‘𝑈)
mapdpglem3.b 𝐵 = (Base‘𝐴)
mapdpglem3.t · = ( ·𝑠𝐶)
mapdpglem3.r 𝑅 = (-g𝐶)
mapdpglem3.g (𝜑𝐺𝐹)
mapdpglem3.e (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐺}))
mapdpglem4.q 𝑄 = (0g𝑈)
mapdpglem.ne (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
mapdpglem4.jt (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 𝑌)})) = (𝐽‘{𝑡}))
mapdpglem4.z 0 = (0g𝐴)
mapdpglem4.g4 (𝜑𝑔𝐵)
mapdpglem4.z4 (𝜑𝑧 ∈ (𝑀‘(𝑁‘{𝑌})))
mapdpglem4.t4 (𝜑𝑡 = ((𝑔 · 𝐺)𝑅𝑧))
mapdpglem4.xn (𝜑𝑋𝑄)
mapdpglem12.yn (𝜑𝑌𝑄)
mapdpglem17.ep 𝐸 = (((invr𝐴)‘𝑔) · 𝑧)
Assertion
Ref Expression
mapdpglem23 (𝜑 → ∃𝐹 ((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐺𝑅)})))
Distinct variable groups:   𝑡,   𝑡,𝐶   𝑡,𝐽   𝑡,𝑀   𝑡,𝑁   𝑡,𝑋   𝑡,𝑌   𝐵,𝑔   𝑧,𝑔,𝐶   𝑔,𝐹   𝑔,𝐺,𝑧   𝑔,𝐽,𝑧   𝑔,𝑀,𝑧   𝑔,𝑁,𝑧   𝑅,𝑔,𝑧   · ,𝑔,𝑧   𝑔,𝑌,𝑧,𝑡   ,𝐸   ,𝐹   ,𝐺   ,𝐽   ,𝑀   ,𝑁   𝑅,   ,   ,𝑋   ,𝑌
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑧,𝑡,𝑔,)   𝐴(𝑧,𝑡,𝑔,)   𝐵(𝑧,𝑡,)   𝐶()   (𝑧,𝑡,𝑔,)   𝑄(𝑧,𝑡,𝑔,)   𝑅(𝑡)   · (𝑡,)   𝑈(𝑧,𝑡,𝑔,)   𝐸(𝑧,𝑡,𝑔)   𝐹(𝑧,𝑡)   𝐺(𝑡)   𝐻(𝑧,𝑡,𝑔,)   𝐾(𝑧,𝑡,𝑔,)   (𝑧,𝑔)   𝑉(𝑧,𝑡,𝑔,)   𝑊(𝑧,𝑡,𝑔,)   𝑋(𝑧,𝑔)   0 (𝑧,𝑡,𝑔,)

Proof of Theorem mapdpglem23
StepHypRef Expression
1 mapdpglem.h . . . 4 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2 mapdpglem.m . . . 4 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
3 mapdpglem.u . . . 4 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
4 eqid 2731 . . . 4 (LSubSp‘𝑈) = (LSubSp‘𝑈)
5 mapdpglem.c . . . 4 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
6 eqid 2731 . . . 4 (LSubSp‘𝐶) = (LSubSp‘𝐶)
7 mapdpglem.k . . . 4 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
81, 3, 7dvhlmod 40445 . . . . 5 (𝜑𝑈 ∈ LMod)
9 mapdpglem.y . . . . 5 (𝜑𝑌𝑉)
10 mapdpglem.v . . . . . 6 𝑉 = (Base‘𝑈)
11 mapdpglem.n . . . . . 6 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
1210, 4, 11lspsncl 20820 . . . . 5 ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑌𝑉) → (𝑁‘{𝑌}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
138, 9, 12syl2anc 583 . . . 4 (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
141, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 13mapdcl2 40991 . . 3 (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) ∈ (LSubSp‘𝐶))
15 mapdpglem.s . . . 4 = (-g𝑈)
16 mapdpglem.x . . . 4 (𝜑𝑋𝑉)
17 mapdpglem1.p . . . 4 = (LSSum‘𝐶)
18 mapdpglem2.j . . . 4 𝐽 = (LSpan‘𝐶)
19 mapdpglem3.f . . . 4 𝐹 = (Base‘𝐶)
20 mapdpglem3.te . . . 4 (𝜑𝑡 ∈ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) (𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))))
21 mapdpglem3.a . . . 4 𝐴 = (Scalar‘𝑈)
22 mapdpglem3.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐴)
23 mapdpglem3.t . . . 4 · = ( ·𝑠𝐶)
24 mapdpglem3.r . . . 4 𝑅 = (-g𝐶)
25 mapdpglem3.g . . . 4 (𝜑𝐺𝐹)
26 mapdpglem3.e . . . 4 (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐺}))
27 mapdpglem4.q . . . 4 𝑄 = (0g𝑈)
28 mapdpglem.ne . . . 4 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
29 mapdpglem4.jt . . . 4 (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 𝑌)})) = (𝐽‘{𝑡}))
30 mapdpglem4.z . . . 4 0 = (0g𝐴)
31 mapdpglem4.g4 . . . 4 (𝜑𝑔𝐵)
32 mapdpglem4.z4 . . . 4 (𝜑𝑧 ∈ (𝑀‘(𝑁‘{𝑌})))
33 mapdpglem4.t4 . . . 4 (𝜑𝑡 = ((𝑔 · 𝐺)𝑅𝑧))
34 mapdpglem4.xn . . . 4 (𝜑𝑋𝑄)
35 mapdpglem12.yn . . . 4 (𝜑𝑌𝑄)
36 mapdpglem17.ep . . . 4 𝐸 = (((invr𝐴)‘𝑔) · 𝑧)
371, 2, 3, 10, 15, 11, 5, 7, 16, 9, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36mapdpglem19 41025 . . 3 (𝜑𝐸 ∈ (𝑀‘(𝑁‘{𝑌})))
3819, 6lssel 20780 . . 3 (((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) ∈ (LSubSp‘𝐶) ∧ 𝐸 ∈ (𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))) → 𝐸𝐹)
3914, 37, 38syl2anc 583 . 2 (𝜑𝐸𝐹)
401, 2, 3, 10, 15, 11, 5, 7, 16, 9, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36mapdpglem20 41026 . 2 (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{𝐸}))
411, 2, 3, 10, 15, 11, 5, 7, 16, 9, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36mapdpglem22 41028 . 2 (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐺𝑅𝐸)}))
42 sneq 4638 . . . . . 6 ( = 𝐸 → {} = {𝐸})
4342fveq2d 6895 . . . . 5 ( = 𝐸 → (𝐽‘{}) = (𝐽‘{𝐸}))
4443eqeq2d 2742 . . . 4 ( = 𝐸 → ((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{}) ↔ (𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{𝐸})))
45 oveq2 7420 . . . . . . 7 ( = 𝐸 → (𝐺𝑅) = (𝐺𝑅𝐸))
4645sneqd 4640 . . . . . 6 ( = 𝐸 → {(𝐺𝑅)} = {(𝐺𝑅𝐸)})
4746fveq2d 6895 . . . . 5 ( = 𝐸 → (𝐽‘{(𝐺𝑅)}) = (𝐽‘{(𝐺𝑅𝐸)}))
4847eqeq2d 2742 . . . 4 ( = 𝐸 → ((𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐺𝑅)}) ↔ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐺𝑅𝐸)})))
4944, 48anbi12d 630 . . 3 ( = 𝐸 → (((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐺𝑅)})) ↔ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{𝐸}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐺𝑅𝐸)}))))
5049rspcev 3612 . 2 ((𝐸𝐹 ∧ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{𝐸}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐺𝑅𝐸)}))) → ∃𝐹 ((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐺𝑅)})))
5139, 40, 41, 50syl12anc 834 1 (𝜑 → ∃𝐹 ((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐺𝑅)})))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1540  wcel 2105  wne 2939  wrex 3069  {csn 4628  cfv 6543  (class class class)co 7412  Basecbs 17151  Scalarcsca 17207   ·𝑠 cvsca 17208  0gc0g 17392  -gcsg 18863  LSSumclsm 19550  invrcinvr 20285  LModclmod 20702  LSubSpclss 20774  LSpanclspn 20814  HLchlt 38684  LHypclh 39319  DVecHcdvh 40413  LCDualclcd 40921  mapdcmpd 40959
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11172  ax-resscn 11173  ax-1cn 11174  ax-icn 11175  ax-addcl 11176  ax-addrcl 11177  ax-mulcl 11178  ax-mulrcl 11179  ax-mulcom 11180  ax-addass 11181  ax-mulass 11182  ax-distr 11183  ax-i2m1 11184  ax-1ne0 11185  ax-1rid 11186  ax-rnegex 11187  ax-rrecex 11188  ax-cnre 11189  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191  ax-pre-ltadd 11192  ax-pre-mulgt0 11193  ax-riotaBAD 38287
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7674  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-tpos 8217  df-undef 8264  df-frecs 8272  df-wrecs 8303  df-recs 8377  df-rdg 8416  df-1o 8472  df-er 8709  df-map 8828  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-xr 11259  df-ltxr 11260  df-le 11261  df-sub 11453  df-neg 11454  df-nn 12220  df-2 12282  df-3 12283  df-4 12284  df-5 12285  df-6 12286  df-n0 12480  df-z 12566  df-uz 12830  df-fz 13492  df-struct 17087  df-sets 17104  df-slot 17122  df-ndx 17134  df-base 17152  df-ress 17181  df-plusg 17217  df-mulr 17218  df-sca 17220  df-vsca 17221  df-0g 17394  df-mre 17537  df-mrc 17538  df-acs 17540  df-proset 18258  df-poset 18276  df-plt 18293  df-lub 18309  df-glb 18310  df-join 18311  df-meet 18312  df-p0 18388  df-p1 18389  df-lat 18395  df-clat 18462  df-mgm 18571  df-sgrp 18650  df-mnd 18666  df-submnd 18712  df-grp 18864  df-minusg 18865  df-sbg 18866  df-subg 19046  df-cntz 19229  df-oppg 19258  df-lsm 19552  df-cmn 19698  df-abl 19699  df-mgp 20036  df-rng 20054  df-ur 20083  df-ring 20136  df-oppr 20232  df-dvdsr 20255  df-unit 20256  df-invr 20286  df-dvr 20299  df-drng 20585  df-lmod 20704  df-lss 20775  df-lsp 20815  df-lvec 20947  df-lsatoms 38310  df-lshyp 38311  df-lcv 38353  df-lfl 38392  df-lkr 38420  df-ldual 38458  df-oposet 38510  df-ol 38512  df-oml 38513  df-covers 38600  df-ats 38601  df-atl 38632  df-cvlat 38656  df-hlat 38685  df-llines 38833  df-lplanes 38834  df-lvols 38835  df-lines 38836  df-psubsp 38838  df-pmap 38839  df-padd 39131  df-lhyp 39323  df-laut 39324  df-ldil 39439  df-ltrn 39440  df-trl 39494  df-tgrp 40078  df-tendo 40090  df-edring 40092  df-dveca 40338  df-disoa 40364  df-dvech 40414  df-dib 40474  df-dic 40508  df-dih 40564  df-doch 40683  df-djh 40730  df-lcdual 40922  df-mapd 40960
This theorem is referenced by:  mapdpglem24  41039
  Copyright terms: Public domain W3C validator