Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mapdpglem2a Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mapdpglem2a 40126
Description: Lemma for mapdpg 40158. (Contributed by NM, 20-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mapdpglem.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
mapdpglem.m 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
mapdpglem.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
mapdpglem.v 𝑉 = (Base‘𝑈)
mapdpglem.s = (-g𝑈)
mapdpglem.n 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
mapdpglem.c 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
mapdpglem.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
mapdpglem.x (𝜑𝑋𝑉)
mapdpglem.y (𝜑𝑌𝑉)
mapdpglem1.p = (LSSum‘𝐶)
mapdpglem2.j 𝐽 = (LSpan‘𝐶)
mapdpglem3.f 𝐹 = (Base‘𝐶)
mapdpglem3.te (𝜑𝑡 ∈ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) (𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))))
Assertion
Ref Expression
mapdpglem2a (𝜑𝑡𝐹)
Distinct variable groups:   𝑡,   𝑡,𝐶   𝑡,𝐽   𝑡,𝑀   𝑡,𝑁   𝑡,𝑋   𝑡,𝑌
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑡)   (𝑡)   𝑈(𝑡)   𝐹(𝑡)   𝐻(𝑡)   𝐾(𝑡)   𝑉(𝑡)   𝑊(𝑡)

Proof of Theorem mapdpglem2a
StepHypRef Expression
1 mapdpglem.h . . . 4 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2 mapdpglem.c . . . 4 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
3 mapdpglem.k . . . 4 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
41, 2, 3lcdlmod 40044 . . 3 (𝜑𝐶 ∈ LMod)
5 mapdpglem.m . . . 4 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
6 mapdpglem.u . . . 4 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
7 eqid 2736 . . . 4 (LSubSp‘𝑈) = (LSubSp‘𝑈)
8 eqid 2736 . . . 4 (LSubSp‘𝐶) = (LSubSp‘𝐶)
91, 6, 3dvhlmod 39562 . . . . 5 (𝜑𝑈 ∈ LMod)
10 mapdpglem.x . . . . 5 (𝜑𝑋𝑉)
11 mapdpglem.v . . . . . 6 𝑉 = (Base‘𝑈)
12 mapdpglem.n . . . . . 6 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
1311, 7, 12lspsncl 20434 . . . . 5 ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
149, 10, 13syl2anc 584 . . . 4 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
151, 5, 6, 7, 2, 8, 3, 14mapdcl2 40108 . . 3 (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) ∈ (LSubSp‘𝐶))
16 mapdpglem.y . . . . 5 (𝜑𝑌𝑉)
1711, 7, 12lspsncl 20434 . . . . 5 ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑌𝑉) → (𝑁‘{𝑌}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
189, 16, 17syl2anc 584 . . . 4 (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
191, 5, 6, 7, 2, 8, 3, 18mapdcl2 40108 . . 3 (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) ∈ (LSubSp‘𝐶))
20 mapdpglem1.p . . . 4 = (LSSum‘𝐶)
218, 20lsmcl 20540 . . 3 ((𝐶 ∈ LMod ∧ (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) ∈ (LSubSp‘𝐶) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) ∈ (LSubSp‘𝐶)) → ((𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) (𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))) ∈ (LSubSp‘𝐶))
224, 15, 19, 21syl3anc 1371 . 2 (𝜑 → ((𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) (𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))) ∈ (LSubSp‘𝐶))
23 mapdpglem3.te . 2 (𝜑𝑡 ∈ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) (𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))))
24 mapdpglem3.f . . 3 𝐹 = (Base‘𝐶)
2524, 8lssel 20394 . 2 ((((𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) (𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))) ∈ (LSubSp‘𝐶) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) (𝑀‘(𝑁‘{𝑌})))) → 𝑡𝐹)
2622, 23, 25syl2anc 584 1 (𝜑𝑡𝐹)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  {csn 4585  cfv 6494  (class class class)co 7354  Basecbs 17080  -gcsg 18747  LSSumclsm 19412  LModclmod 20318  LSubSpclss 20388  LSpanclspn 20428  HLchlt 37801  LHypclh 38436  DVecHcdvh 39530  LCDualclcd 40038  mapdcmpd 40076
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5241  ax-sep 5255  ax-nul 5262  ax-pow 5319  ax-pr 5383  ax-un 7669  ax-cnex 11104  ax-resscn 11105  ax-1cn 11106  ax-icn 11107  ax-addcl 11108  ax-addrcl 11109  ax-mulcl 11110  ax-mulrcl 11111  ax-mulcom 11112  ax-addass 11113  ax-mulass 11114  ax-distr 11115  ax-i2m1 11116  ax-1ne0 11117  ax-1rid 11118  ax-rnegex 11119  ax-rrecex 11120  ax-cnre 11121  ax-pre-lttri 11122  ax-pre-lttrn 11123  ax-pre-ltadd 11124  ax-pre-mulgt0 11125  ax-riotaBAD 37404
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3064  df-rex 3073  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3739  df-csb 3855  df-dif 3912  df-un 3914  df-in 3916  df-ss 3926  df-pss 3928  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-uni 4865  df-int 4907  df-iun 4955  df-iin 4956  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5188  df-tr 5222  df-id 5530  df-eprel 5536  df-po 5544  df-so 5545  df-fr 5587  df-we 5589  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6252  df-ord 6319  df-on 6320  df-lim 6321  df-suc 6322  df-iota 6446  df-fun 6496  df-fn 6497  df-f 6498  df-f1 6499  df-fo 6500  df-f1o 6501  df-fv 6502  df-riota 7310  df-ov 7357  df-oprab 7358  df-mpo 7359  df-of 7614  df-om 7800  df-1st 7918  df-2nd 7919  df-tpos 8154  df-undef 8201  df-frecs 8209  df-wrecs 8240  df-recs 8314  df-rdg 8353  df-1o 8409  df-er 8645  df-map 8764  df-en 8881  df-dom 8882  df-sdom 8883  df-fin 8884  df-pnf 11188  df-mnf 11189  df-xr 11190  df-ltxr 11191  df-le 11192  df-sub 11384  df-neg 11385  df-nn 12151  df-2 12213  df-3 12214  df-4 12215  df-5 12216  df-6 12217  df-n0 12411  df-z 12497  df-uz 12761  df-fz 13422  df-struct 17016  df-sets 17033  df-slot 17051  df-ndx 17063  df-base 17081  df-ress 17110  df-plusg 17143  df-mulr 17144  df-sca 17146  df-vsca 17147  df-0g 17320  df-mre 17463  df-mrc 17464  df-acs 17466  df-proset 18181  df-poset 18199  df-plt 18216  df-lub 18232  df-glb 18233  df-join 18234  df-meet 18235  df-p0 18311  df-p1 18312  df-lat 18318  df-clat 18385  df-mgm 18494  df-sgrp 18543  df-mnd 18554  df-submnd 18599  df-grp 18748  df-minusg 18749  df-sbg 18750  df-subg 18921  df-cntz 19093  df-oppg 19120  df-lsm 19414  df-cmn 19560  df-abl 19561  df-mgp 19893  df-ur 19910  df-ring 19962  df-oppr 20045  df-dvdsr 20066  df-unit 20067  df-invr 20097  df-dvr 20108  df-drng 20183  df-lmod 20320  df-lss 20389  df-lsp 20429  df-lvec 20560  df-lsatoms 37427  df-lshyp 37428  df-lcv 37470  df-lfl 37509  df-lkr 37537  df-ldual 37575  df-oposet 37627  df-ol 37629  df-oml 37630  df-covers 37717  df-ats 37718  df-atl 37749  df-cvlat 37773  df-hlat 37802  df-llines 37950  df-lplanes 37951  df-lvols 37952  df-lines 37953  df-psubsp 37955  df-pmap 37956  df-padd 38248  df-lhyp 38440  df-laut 38441  df-ldil 38556  df-ltrn 38557  df-trl 38611  df-tgrp 39195  df-tendo 39207  df-edring 39209  df-dveca 39455  df-disoa 39481  df-dvech 39531  df-dib 39591  df-dic 39625  df-dih 39681  df-doch 39800  df-djh 39847  df-lcdual 40039  df-mapd 40077
This theorem is referenced by:  mapdpglem5N  40129  mapdpglem22  40145
  Copyright terms: Public domain W3C validator