Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mapdpglem2a Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mapdpglem2a 40187
Description: Lemma for mapdpg 40219. (Contributed by NM, 20-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mapdpglem.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
mapdpglem.m 𝑀 = ((mapdβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
mapdpglem.u π‘ˆ = ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
mapdpglem.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘ˆ)
mapdpglem.s βˆ’ = (-gβ€˜π‘ˆ)
mapdpglem.n 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘ˆ)
mapdpglem.c 𝐢 = ((LCDualβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
mapdpglem.k (πœ‘ β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
mapdpglem.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
mapdpglem.y (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝑉)
mapdpglem1.p βŠ• = (LSSumβ€˜πΆ)
mapdpglem2.j 𝐽 = (LSpanβ€˜πΆ)
mapdpglem3.f 𝐹 = (Baseβ€˜πΆ)
mapdpglem3.te (πœ‘ β†’ 𝑑 ∈ ((π‘€β€˜(π‘β€˜{𝑋})) βŠ• (π‘€β€˜(π‘β€˜{π‘Œ}))))
Assertion
Ref Expression
mapdpglem2a (πœ‘ β†’ 𝑑 ∈ 𝐹)
Distinct variable groups:   𝑑, βˆ’   𝑑,𝐢   𝑑,𝐽   𝑑,𝑀   𝑑,𝑁   𝑑,𝑋   𝑑,π‘Œ
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑑)   βŠ• (𝑑)   π‘ˆ(𝑑)   𝐹(𝑑)   𝐻(𝑑)   𝐾(𝑑)   𝑉(𝑑)   π‘Š(𝑑)

Proof of Theorem mapdpglem2a
StepHypRef Expression
1 mapdpglem.h . . . 4 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
2 mapdpglem.c . . . 4 𝐢 = ((LCDualβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
3 mapdpglem.k . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
41, 2, 3lcdlmod 40105 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ LMod)
5 mapdpglem.m . . . 4 𝑀 = ((mapdβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
6 mapdpglem.u . . . 4 π‘ˆ = ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
7 eqid 2733 . . . 4 (LSubSpβ€˜π‘ˆ) = (LSubSpβ€˜π‘ˆ)
8 eqid 2733 . . . 4 (LSubSpβ€˜πΆ) = (LSubSpβ€˜πΆ)
91, 6, 3dvhlmod 39623 . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ LMod)
10 mapdpglem.x . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
11 mapdpglem.v . . . . . 6 𝑉 = (Baseβ€˜π‘ˆ)
12 mapdpglem.n . . . . . 6 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘ˆ)
1311, 7, 12lspsncl 20482 . . . . 5 ((π‘ˆ ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (π‘β€˜{𝑋}) ∈ (LSubSpβ€˜π‘ˆ))
149, 10, 13syl2anc 585 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{𝑋}) ∈ (LSubSpβ€˜π‘ˆ))
151, 5, 6, 7, 2, 8, 3, 14mapdcl2 40169 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜(π‘β€˜{𝑋})) ∈ (LSubSpβ€˜πΆ))
16 mapdpglem.y . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝑉)
1711, 7, 12lspsncl 20482 . . . . 5 ((π‘ˆ ∈ LMod ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ (π‘β€˜{π‘Œ}) ∈ (LSubSpβ€˜π‘ˆ))
189, 16, 17syl2anc 585 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{π‘Œ}) ∈ (LSubSpβ€˜π‘ˆ))
191, 5, 6, 7, 2, 8, 3, 18mapdcl2 40169 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜(π‘β€˜{π‘Œ})) ∈ (LSubSpβ€˜πΆ))
20 mapdpglem1.p . . . 4 βŠ• = (LSSumβ€˜πΆ)
218, 20lsmcl 20588 . . 3 ((𝐢 ∈ LMod ∧ (π‘€β€˜(π‘β€˜{𝑋})) ∈ (LSubSpβ€˜πΆ) ∧ (π‘€β€˜(π‘β€˜{π‘Œ})) ∈ (LSubSpβ€˜πΆ)) β†’ ((π‘€β€˜(π‘β€˜{𝑋})) βŠ• (π‘€β€˜(π‘β€˜{π‘Œ}))) ∈ (LSubSpβ€˜πΆ))
224, 15, 19, 21syl3anc 1372 . 2 (πœ‘ β†’ ((π‘€β€˜(π‘β€˜{𝑋})) βŠ• (π‘€β€˜(π‘β€˜{π‘Œ}))) ∈ (LSubSpβ€˜πΆ))
23 mapdpglem3.te . 2 (πœ‘ β†’ 𝑑 ∈ ((π‘€β€˜(π‘β€˜{𝑋})) βŠ• (π‘€β€˜(π‘β€˜{π‘Œ}))))
24 mapdpglem3.f . . 3 𝐹 = (Baseβ€˜πΆ)
2524, 8lssel 20442 . 2 ((((π‘€β€˜(π‘β€˜{𝑋})) βŠ• (π‘€β€˜(π‘β€˜{π‘Œ}))) ∈ (LSubSpβ€˜πΆ) ∧ 𝑑 ∈ ((π‘€β€˜(π‘β€˜{𝑋})) βŠ• (π‘€β€˜(π‘β€˜{π‘Œ})))) β†’ 𝑑 ∈ 𝐹)
2622, 23, 25syl2anc 585 1 (πœ‘ β†’ 𝑑 ∈ 𝐹)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  {csn 4590  β€˜cfv 6500  (class class class)co 7361  Basecbs 17091  -gcsg 18758  LSSumclsm 19424  LModclmod 20365  LSubSpclss 20436  LSpanclspn 20476  HLchlt 37862  LHypclh 38497  DVecHcdvh 39591  LCDualclcd 40099  mapdcmpd 40137
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136  ax-riotaBAD 37465
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-tp 4595  df-op 4597  df-uni 4870  df-int 4912  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-of 7621  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-tpos 8161  df-undef 8208  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-1o 8416  df-er 8654  df-map 8773  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-fin 8893  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-nn 12162  df-2 12224  df-3 12225  df-4 12226  df-5 12227  df-6 12228  df-n0 12422  df-z 12508  df-uz 12772  df-fz 13434  df-struct 17027  df-sets 17044  df-slot 17062  df-ndx 17074  df-base 17092  df-ress 17121  df-plusg 17154  df-mulr 17155  df-sca 17157  df-vsca 17158  df-0g 17331  df-mre 17474  df-mrc 17475  df-acs 17477  df-proset 18192  df-poset 18210  df-plt 18227  df-lub 18243  df-glb 18244  df-join 18245  df-meet 18246  df-p0 18322  df-p1 18323  df-lat 18329  df-clat 18396  df-mgm 18505  df-sgrp 18554  df-mnd 18565  df-submnd 18610  df-grp 18759  df-minusg 18760  df-sbg 18761  df-subg 18933  df-cntz 19105  df-oppg 19132  df-lsm 19426  df-cmn 19572  df-abl 19573  df-mgp 19905  df-ur 19922  df-ring 19974  df-oppr 20057  df-dvdsr 20078  df-unit 20079  df-invr 20109  df-dvr 20120  df-drng 20221  df-lmod 20367  df-lss 20437  df-lsp 20477  df-lvec 20608  df-lsatoms 37488  df-lshyp 37489  df-lcv 37531  df-lfl 37570  df-lkr 37598  df-ldual 37636  df-oposet 37688  df-ol 37690  df-oml 37691  df-covers 37778  df-ats 37779  df-atl 37810  df-cvlat 37834  df-hlat 37863  df-llines 38011  df-lplanes 38012  df-lvols 38013  df-lines 38014  df-psubsp 38016  df-pmap 38017  df-padd 38309  df-lhyp 38501  df-laut 38502  df-ldil 38617  df-ltrn 38618  df-trl 38672  df-tgrp 39256  df-tendo 39268  df-edring 39270  df-dveca 39516  df-disoa 39542  df-dvech 39592  df-dib 39652  df-dic 39686  df-dih 39742  df-doch 39861  df-djh 39908  df-lcdual 40100  df-mapd 40138
This theorem is referenced by:  mapdpglem5N  40190  mapdpglem22  40206
  Copyright terms: Public domain W3C validator