Theorem lsubrotld 41987

Description: Rotate the variables left in an equation with subtraction on the left, converting it into an addition. (Contributed by SN, 21-Aug-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
lsubrotld.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
lsubrotld.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
lsubrotld.1	⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) = 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
lsubrotld	⊢ (𝜑 → (𝐵 + 𝐶) = 𝐴)

Proof of Theorem lsubrotld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lsubrotld.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
2		lsubrotld.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) = 𝐶)
3		lsubrotld.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
4	3, 1	subcld 11603	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ)
5	2, 4	eqeltrrd 2826	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
6	1, 5	addcld 11265	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵 + 𝐶) ∈ ℂ)
7	1, 5	pncan2d 11605	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 + 𝐶) − 𝐵) = 𝐶)
8	7, 2	eqtr4d 2768	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 + 𝐶) − 𝐵) = (𝐴 − 𝐵))
9	6, 3, 1, 8	subcan2d 11645	1 ⊢ (𝜑 → (𝐵 + 𝐶) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  (class class class)co 7419  ℂcc 11138   + caddc 11143   − cmin 11476

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-resscn 11197  ax-1cn 11198  ax-icn 11199  ax-addcl 11200  ax-addrcl 11201  ax-mulcl 11202  ax-mulrcl 11203  ax-mulcom 11204  ax-addass 11205  ax-mulass 11206  ax-distr 11207  ax-i2m1 11208  ax-1ne0 11209  ax-1rid 11210  ax-rnegex 11211  ax-rrecex 11212  ax-cnre 11213  ax-pre-lttri 11214  ax-pre-lttrn 11215  ax-pre-ltadd 11216

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5576  df-po 5590  df-so 5591  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11282  df-mnf 11283  df-ltxr 11285  df-sub 11478

This theorem is referenced by: (None)