Theorem lsubrotld 42275

Description: Rotate the variables left in an equation with subtraction on the left, converting it into an addition.

EDITORIAL: The label for this theorem is questionable. Do not move until it would have 7 uses: current additional uses: (none). (Contributed by SN, 21-Aug-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
lsubrotld.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
lsubrotld.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
lsubrotld.1	⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) = 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
lsubrotld	⊢ (𝜑 → (𝐵 + 𝐶) = 𝐴)

Proof of Theorem lsubrotld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lsubrotld.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
2		lsubrotld.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) = 𝐶)
3		lsubrotld.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
4	3, 1	subcld 11602	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ)
5	2, 4	eqeltrrd 2834	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
6	1, 5	addcld 11262	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵 + 𝐶) ∈ ℂ)
7	1, 5	pncan2d 11604	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 + 𝐶) − 𝐵) = 𝐶)
8	7, 2	eqtr4d 2772	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 + 𝐶) − 𝐵) = (𝐴 − 𝐵))
9	6, 3, 1, 8	subcan2d 11644	1 ⊢ (𝜑 → (𝐵 + 𝐶) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2107  (class class class)co 7413  ℂcc 11135   + caddc 11140   − cmin 11474

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-sep 5276  ax-nul 5286  ax-pow 5345  ax-pr 5412  ax-un 7737  ax-resscn 11194  ax-1cn 11195  ax-icn 11196  ax-addcl 11197  ax-addrcl 11198  ax-mulcl 11199  ax-mulrcl 11200  ax-mulcom 11201  ax-addass 11202  ax-mulass 11203  ax-distr 11204  ax-i2m1 11205  ax-1ne0 11206  ax-1rid 11207  ax-rnegex 11208  ax-rrecex 11209  ax-cnre 11210  ax-pre-lttri 11211  ax-pre-lttrn 11212  ax-pre-ltadd 11213

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-reu 3364  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4888  df-br 5124  df-opab 5186  df-mpt 5206  df-id 5558  df-po 5572  df-so 5573  df-xp 5671  df-rel 5672  df-cnv 5673  df-co 5674  df-dm 5675  df-rn 5676  df-res 5677  df-ima 5678  df-iota 6494  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-er 8727  df-en 8968  df-dom 8969  df-sdom 8970  df-pnf 11279  df-mnf 11280  df-ltxr 11282  df-sub 11476

This theorem is referenced by:  rsubrotld  42276  lsubswap23d  42277