Theorem pncan2d 11507

Description: Cancellation law for subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
pncan2d	⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐴) = 𝐵)

Proof of Theorem pncan2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		pncand.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		pncan2 11400	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐴) = 𝐵)
4	1, 2, 3	syl2anc 585	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐴) = 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7367  ℂcc 11036   + caddc 11041   − cmin 11377

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-id 5526  df-po 5539  df-so 5540  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-ltxr 11184  df-sub 11379

This theorem is referenced by:  xov1plusxeqvd  13451  fzocatel  13684  expaddzlem  14067  hashf1lem2  14418  imval2  15113  clim2ser  15617  serf0  15643  fsumrev2  15744  geolim2  15836  mertenslem2  15850  bpolydiflem  16019  addmulmodb  16234  dvdsadd2b  16275  sadadd3  16430  mulgdirlem  19081  cnsubrg  21407  coe1tmmul2fv  22243  coe1pwmulfv  22245  reperflem  24784  reconnlem2  24793  ioorcl2  25539  uniioombllem3  25552  lhop1lem  25980  dvfsumabs  25990  ftc1lem1  26002  itgparts  26014  itgsubstlem  26015  coe1mul3  26064  coemulhi  26219  abelthlem6  26401  efif1olem4  26509  efopn  26622  dcubic2  26808  birthdaylem2  26916  lgamcvg2  27018  chtdif  27121  lgsquadlem1  27343  2sqmod  27399  dchrisumlem1  27452  dchrisumlem2  27453  dchrisum0lem1b  27478  pntrlog2bndlem1  27540  pntrlog2bndlem2  27541  axsegconlem9  28994  axpaschlem  29009  cycpmco2lem3  33189  cycpmco2lem4  33190  cycpmco2lem5  33191  cycpmco2lem6  33192  cycpmco2  33194  archiabllem1a  33252  nn0constr  33905  constraddcl  33906  constrreinvcl  33916  probdif  34564  ballotlemsi  34659  knoppndvlem14  36785  knoppndvlem16  36787  bj-bary1lem1  37625  ftc1anc  38022  sticksstones12  42597  bcle2d  42618  readdrcl2d  42705  lsubrotld  42709  sumcubes  42745  jm2.27c  43435  jm3.1lem2  43446  radcnvrat  44741  binomcxplemdvbinom  44780  binomcxplemnotnn0  44783  mccllem  46027  ioodvbdlimc1lem2  46360  stirlinglem5  46506  fourierdlem7  46542  fourierdlem19  46554  fourierdlem26  46561  fourierdlem42  46577  fourierdlem63  46597  fourierdlem65  46599  fourierdlem79  46613  fourierdlem89  46623  fourierdlem90  46624  fourierdlem91  46625  fourierdlem101  46635  fourierdlem112  46646  qndenserrnbllem  46722  submodaddmod  47795  zplusmodne  47797  ppivalnnnprmge6  48089