Theorem pncan2d 11498

Description: Cancellation law for subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
pncan2d	⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐴) = 𝐵)

Proof of Theorem pncan2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		pncand.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		pncan2 11391	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐴) = 𝐵)
4	1, 2, 3	syl2anc 585	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐴) = 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7360  ℂcc 11028   + caddc 11033   − cmin 11368

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7682  ax-resscn 11087  ax-1cn 11088  ax-icn 11089  ax-addcl 11090  ax-addrcl 11091  ax-mulcl 11092  ax-mulrcl 11093  ax-mulcom 11094  ax-addass 11095  ax-mulass 11096  ax-distr 11097  ax-i2m1 11098  ax-1ne0 11099  ax-1rid 11100  ax-rnegex 11101  ax-rrecex 11102  ax-cnre 11103  ax-pre-lttri 11104  ax-pre-lttrn 11105  ax-pre-ltadd 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-reu 3352  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-id 5520  df-po 5533  df-so 5534  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-ltxr 11175  df-sub 11370

This theorem is referenced by:  xov1plusxeqvd  13418  fzocatel  13649  expaddzlem  14032  hashf1lem2  14383  imval2  15078  clim2ser  15582  serf0  15608  fsumrev2  15709  geolim2  15798  mertenslem2  15812  bpolydiflem  15981  addmulmodb  16196  dvdsadd2b  16237  sadadd3  16392  mulgdirlem  19039  cnsubrg  21386  coe1tmmul2fv  22224  coe1pwmulfv  22226  reperflem  24767  reconnlem2  24776  ioorcl2  25533  uniioombllem3  25546  lhop1lem  25978  dvfsumabs  25989  ftc1lem1  26002  itgparts  26014  itgsubstlem  26015  coe1mul3  26064  coemulhi  26219  abelthlem6  26406  efif1olem4  26514  efopn  26627  dcubic2  26814  birthdaylem2  26922  lgamcvg2  27025  chtdif  27128  lgsquadlem1  27351  2sqmod  27407  dchrisumlem1  27460  dchrisumlem2  27461  dchrisum0lem1b  27486  pntrlog2bndlem1  27548  pntrlog2bndlem2  27549  axsegconlem9  28981  axpaschlem  28996  cycpmco2lem3  33191  cycpmco2lem4  33192  cycpmco2lem5  33193  cycpmco2lem6  33194  cycpmco2  33196  archiabllem1a  33254  nn0constr  33899  constraddcl  33900  constrreinvcl  33910  probdif  34558  ballotlemsi  34653  knoppndvlem14  36700  knoppndvlem16  36702  bj-bary1lem1  37487  ftc1anc  37873  sticksstones12  42449  bcle2d  42470  readdrcl2d  42564  lsubrotld  42568  sumcubes  42604  jm2.27c  43285  jm3.1lem2  43296  radcnvrat  44591  binomcxplemdvbinom  44630  binomcxplemnotnn0  44633  mccllem  45879  ioodvbdlimc1lem2  46212  stirlinglem5  46358  fourierdlem7  46394  fourierdlem19  46406  fourierdlem26  46413  fourierdlem42  46429  fourierdlem63  46449  fourierdlem65  46451  fourierdlem79  46465  fourierdlem89  46475  fourierdlem90  46476  fourierdlem91  46477  fourierdlem101  46487  fourierdlem112  46498  qndenserrnbllem  46574  submodaddmod  47623  zplusmodne  47625