Theorem pncan2d 11542

Description: Cancellation law for subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
pncan2d	⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐴) = 𝐵)

Proof of Theorem pncan2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		pncand.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		pncan2 11435	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐴) = 𝐵)
4	1, 2, 3	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐴) = 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  (class class class)co 7390  ℂcc 11073   + caddc 11078   − cmin 11412

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5536  df-po 5549  df-so 5550  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-ltxr 11220  df-sub 11414

This theorem is referenced by:  xov1plusxeqvd  13466  fzocatel  13697  expaddzlem  14077  hashf1lem2  14428  imval2  15124  clim2ser  15628  serf0  15654  fsumrev2  15755  geolim2  15844  mertenslem2  15858  bpolydiflem  16027  addmulmodb  16242  dvdsadd2b  16283  sadadd3  16438  mulgdirlem  19044  cnsubrg  21351  coe1tmmul2fv  22171  coe1pwmulfv  22173  reperflem  24714  reconnlem2  24723  ioorcl2  25480  uniioombllem3  25493  lhop1lem  25925  dvfsumabs  25936  ftc1lem1  25949  itgparts  25961  itgsubstlem  25962  coe1mul3  26011  coemulhi  26166  abelthlem6  26353  efif1olem4  26461  efopn  26574  dcubic2  26761  birthdaylem2  26869  lgamcvg2  26972  chtdif  27075  lgsquadlem1  27298  2sqmod  27354  dchrisumlem1  27407  dchrisumlem2  27408  dchrisum0lem1b  27433  pntrlog2bndlem1  27495  pntrlog2bndlem2  27496  axsegconlem9  28859  axpaschlem  28874  cycpmco2lem3  33092  cycpmco2lem4  33093  cycpmco2lem5  33094  cycpmco2lem6  33095  cycpmco2  33097  archiabllem1a  33152  nn0constr  33758  constraddcl  33759  constrreinvcl  33769  probdif  34418  ballotlemsi  34513  knoppndvlem14  36520  knoppndvlem16  36522  bj-bary1lem1  37306  ftc1anc  37702  sticksstones12  42153  bcle2d  42174  readdrcl2d  42268  lsubrotld  42272  sumcubes  42308  jm2.27c  43003  jm3.1lem2  43014  radcnvrat  44310  binomcxplemdvbinom  44349  binomcxplemnotnn0  44352  mccllem  45602  ioodvbdlimc1lem2  45937  stirlinglem5  46083  fourierdlem7  46119  fourierdlem19  46131  fourierdlem26  46138  fourierdlem42  46154  fourierdlem63  46174  fourierdlem65  46176  fourierdlem79  46190  fourierdlem89  46200  fourierdlem90  46201  fourierdlem91  46202  fourierdlem101  46212  fourierdlem112  46223  qndenserrnbllem  46299  submodaddmod  47346  zplusmodne  47348