Theorem pncan2d 11622

Description: Cancellation law for subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
pncan2d	⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐴) = 𝐵)

Proof of Theorem pncan2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		pncand.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		pncan2 11515	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐴) = 𝐵)
4	1, 2, 3	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐴) = 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  (class class class)co 7431  ℂcc 11153   + caddc 11158   − cmin 11492

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-po 5592  df-so 5593  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-ltxr 11300  df-sub 11494

This theorem is referenced by:  xov1plusxeqvd  13538  fzocatel  13768  expaddzlem  14146  hashf1lem2  14495  imval2  15190  clim2ser  15691  serf0  15717  fsumrev2  15818  geolim2  15907  mertenslem2  15921  bpolydiflem  16090  addmulmodb  16303  dvdsadd2b  16343  sadadd3  16498  mulgdirlem  19123  cnsubrg  21445  coe1tmmul2fv  22281  coe1pwmulfv  22283  reperflem  24840  reconnlem2  24849  ioorcl2  25607  uniioombllem3  25620  lhop1lem  26052  dvfsumabs  26063  ftc1lem1  26076  itgparts  26088  itgsubstlem  26089  coe1mul3  26138  coemulhi  26293  abelthlem6  26480  efif1olem4  26587  efopn  26700  dcubic2  26887  birthdaylem2  26995  lgamcvg2  27098  chtdif  27201  lgsquadlem1  27424  2sqmod  27480  dchrisumlem1  27533  dchrisumlem2  27534  dchrisum0lem1b  27559  pntrlog2bndlem1  27621  pntrlog2bndlem2  27622  axsegconlem9  28940  axpaschlem  28955  cycpmco2lem3  33148  cycpmco2lem4  33149  cycpmco2lem5  33150  cycpmco2lem6  33151  cycpmco2  33153  archiabllem1a  33198  probdif  34422  ballotlemsi  34517  knoppndvlem14  36526  knoppndvlem16  36528  bj-bary1lem1  37312  ftc1anc  37708  sticksstones12  42159  bcle2d  42180  readdrcl2d  42308  lsubrotld  42312  sumcubes  42347  jm2.27c  43019  jm3.1lem2  43030  radcnvrat  44333  binomcxplemdvbinom  44372  binomcxplemnotnn0  44375  mccllem  45612  ioodvbdlimc1lem2  45947  stirlinglem5  46093  fourierdlem7  46129  fourierdlem19  46141  fourierdlem26  46148  fourierdlem42  46164  fourierdlem63  46184  fourierdlem65  46186  fourierdlem79  46200  fourierdlem89  46210  fourierdlem90  46211  fourierdlem91  46212  fourierdlem101  46222  fourierdlem112  46233  qndenserrnbllem  46309  submodaddmod  47343  zplusmodne  47345