Theorem pncan2d 10800

Description: Cancellation law for subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
pncan2d	⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐴) = 𝐵)

Proof of Theorem pncan2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		pncand.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		pncan2 10693	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐴) = 𝐵)
4	1, 2, 3	syl2anc 576	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐴) = 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1507   ∈ wcel 2050  (class class class)co 6976  ℂcc 10333   + caddc 10338   − cmin 10670

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2750  ax-sep 5060  ax-nul 5067  ax-pow 5119  ax-pr 5186  ax-un 7279  ax-resscn 10392  ax-1cn 10393  ax-icn 10394  ax-addcl 10395  ax-addrcl 10396  ax-mulcl 10397  ax-mulrcl 10398  ax-mulcom 10399  ax-addass 10400  ax-mulass 10401  ax-distr 10402  ax-i2m1 10403  ax-1ne0 10404  ax-1rid 10405  ax-rnegex 10406  ax-rrecex 10407  ax-cnre 10408  ax-pre-lttri 10409  ax-pre-lttrn 10410  ax-pre-ltadd 10411

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2584  df-clab 2759  df-cleq 2771  df-clel 2846  df-nfc 2918  df-ne 2968  df-nel 3074  df-ral 3093  df-rex 3094  df-reu 3095  df-rab 3097  df-v 3417  df-sbc 3682  df-csb 3787  df-dif 3832  df-un 3834  df-in 3836  df-ss 3843  df-nul 4179  df-if 4351  df-pw 4424  df-sn 4442  df-pr 4444  df-op 4448  df-uni 4713  df-br 4930  df-opab 4992  df-mpt 5009  df-id 5312  df-po 5326  df-so 5327  df-xp 5413  df-rel 5414  df-cnv 5415  df-co 5416  df-dm 5417  df-rn 5418  df-res 5419  df-ima 5420  df-iota 6152  df-fun 6190  df-fn 6191  df-f 6192  df-f1 6193  df-fo 6194  df-f1o 6195  df-fv 6196  df-riota 6937  df-ov 6979  df-oprab 6980  df-mpo 6981  df-er 8089  df-en 8307  df-dom 8308  df-sdom 8309  df-pnf 10476  df-mnf 10477  df-ltxr 10479  df-sub 10672

This theorem is referenced by:  xov1plusxeqvd  12700  fzocatel  12916  expaddzlem  13287  hashf1lem2  13627  swrdccat2  13851  imval2  14371  clim2ser  14872  serf0  14898  fsumrev2  14997  geolim2  15087  mertenslem2  15101  bpolydiflem  15268  dvdsadd2b  15516  sadadd3  15670  mulgdirlem  18042  coe1tmmul2fv  20149  coe1pwmulfv  20151  cnsubrg  20307  reperflem  23129  reconnlem2  23138  ioorcl2  23876  uniioombllem3  23889  lhop1lem  24313  dvfsumabs  24323  ftc1lem1  24335  itgparts  24347  itgsubstlem  24348  coe1mul3  24396  coemulhi  24547  abelthlem6  24727  efif1olem4  24830  efopn  24942  dcubic2  25123  birthdaylem2  25232  lgamcvg2  25334  chtdif  25437  lgsquadlem1  25658  2sqmod  25714  dchrisumlem1  25767  dchrisumlem2  25768  dchrisum0lem1b  25793  pntrlog2bndlem1  25855  pntrlog2bndlem2  25856  axsegconlem9  26414  axpaschlem  26429  archiabllem1a  30492  probdif  31330  ballotlemsi  31424  knoppndvlem14  33390  knoppndvlem16  33392  bj-bary1lem1  34046  ftc1anc  34422  jm2.27c  39006  jm3.1lem2  39017  radcnvrat  40068  binomcxplemdvbinom  40107  binomcxplemnotnn0  40110  mccllem  41315  ioodvbdlimc1lem2  41653  stirlinglem5  41800  fourierdlem7  41836  fourierdlem19  41848  fourierdlem26  41855  fourierdlem42  41871  fourierdlem63  41891  fourierdlem65  41893  fourierdlem79  41907  fourierdlem89  41917  fourierdlem90  41918  fourierdlem91  41919  fourierdlem101  41929  fourierdlem112  41940  qndenserrnbllem  42016