Theorem pncan2d 11001

Description: Cancellation law for subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
pncan2d	⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐴) = 𝐵)

Proof of Theorem pncan2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		pncand.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		pncan2 10895	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐴) = 𝐵)
4	1, 2, 3	syl2anc 586	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐴) = 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7158  ℂcc 10537   + caddc 10542   − cmin 10872

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463  ax-resscn 10596  ax-1cn 10597  ax-icn 10598  ax-addcl 10599  ax-addrcl 10600  ax-mulcl 10601  ax-mulrcl 10602  ax-mulcom 10603  ax-addass 10604  ax-mulass 10605  ax-distr 10606  ax-i2m1 10607  ax-1ne0 10608  ax-1rid 10609  ax-rnegex 10610  ax-rrecex 10611  ax-cnre 10612  ax-pre-lttri 10613  ax-pre-lttrn 10614  ax-pre-ltadd 10615

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-nel 3126  df-ral 3145  df-rex 3146  df-reu 3147  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-op 4576  df-uni 4841  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-id 5462  df-po 5476  df-so 5477  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-riota 7116  df-ov 7161  df-oprab 7162  df-mpo 7163  df-er 8291  df-en 8512  df-dom 8513  df-sdom 8514  df-pnf 10679  df-mnf 10680  df-ltxr 10682  df-sub 10874

This theorem is referenced by:  xov1plusxeqvd  12887  fzocatel  13104  expaddzlem  13475  hashf1lem2  13817  imval2  14512  clim2ser  15013  serf0  15039  fsumrev2  15139  geolim2  15229  mertenslem2  15243  bpolydiflem  15410  dvdsadd2b  15658  sadadd3  15812  mulgdirlem  18260  coe1tmmul2fv  20448  coe1pwmulfv  20450  cnsubrg  20607  reperflem  23428  reconnlem2  23437  ioorcl2  24175  uniioombllem3  24188  lhop1lem  24612  dvfsumabs  24622  ftc1lem1  24634  itgparts  24646  itgsubstlem  24647  coe1mul3  24695  coemulhi  24846  abelthlem6  25026  efif1olem4  25131  efopn  25243  dcubic2  25424  birthdaylem2  25532  lgamcvg2  25634  chtdif  25737  lgsquadlem1  25958  2sqmod  26014  dchrisumlem1  26067  dchrisumlem2  26068  dchrisum0lem1b  26093  pntrlog2bndlem1  26155  pntrlog2bndlem2  26156  axsegconlem9  26713  axpaschlem  26728  cycpmco2lem3  30772  cycpmco2lem4  30773  cycpmco2lem5  30774  cycpmco2lem6  30775  cycpmco2  30777  archiabllem1a  30822  probdif  31680  ballotlemsi  31774  knoppndvlem14  33866  knoppndvlem16  33868  bj-bary1lem1  34594  ftc1anc  34977  jm2.27c  39611  jm3.1lem2  39622  radcnvrat  40653  binomcxplemdvbinom  40692  binomcxplemnotnn0  40695  mccllem  41885  ioodvbdlimc1lem2  42224  stirlinglem5  42370  fourierdlem7  42406  fourierdlem19  42418  fourierdlem26  42425  fourierdlem42  42441  fourierdlem63  42461  fourierdlem65  42463  fourierdlem79  42477  fourierdlem89  42487  fourierdlem90  42488  fourierdlem91  42489  fourierdlem101  42499  fourierdlem112  42510  qndenserrnbllem  42586