Theorem pncan2d 11481

Description: Cancellation law for subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
pncan2d	⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐴) = 𝐵)

Proof of Theorem pncan2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		pncand.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		pncan2 11374	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐴) = 𝐵)
4	1, 2, 3	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐴) = 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  (class class class)co 7352  ℂcc 11011   + caddc 11016   − cmin 11351

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674  ax-resscn 11070  ax-1cn 11071  ax-icn 11072  ax-addcl 11073  ax-addrcl 11074  ax-mulcl 11075  ax-mulrcl 11076  ax-mulcom 11077  ax-addass 11078  ax-mulass 11079  ax-distr 11080  ax-i2m1 11081  ax-1ne0 11082  ax-1rid 11083  ax-rnegex 11084  ax-rrecex 11085  ax-cnre 11086  ax-pre-lttri 11087  ax-pre-lttrn 11088  ax-pre-ltadd 11089

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-op 4582  df-uni 4859  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-id 5514  df-po 5527  df-so 5528  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7309  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-er 8628  df-en 8876  df-dom 8877  df-sdom 8878  df-pnf 11155  df-mnf 11156  df-ltxr 11158  df-sub 11353

This theorem is referenced by:  xov1plusxeqvd  13400  fzocatel  13631  expaddzlem  14014  hashf1lem2  14365  imval2  15060  clim2ser  15564  serf0  15590  fsumrev2  15691  geolim2  15780  mertenslem2  15794  bpolydiflem  15963  addmulmodb  16178  dvdsadd2b  16219  sadadd3  16374  mulgdirlem  19020  cnsubrg  21366  coe1tmmul2fv  22193  coe1pwmulfv  22195  reperflem  24735  reconnlem2  24744  ioorcl2  25501  uniioombllem3  25514  lhop1lem  25946  dvfsumabs  25957  ftc1lem1  25970  itgparts  25982  itgsubstlem  25983  coe1mul3  26032  coemulhi  26187  abelthlem6  26374  efif1olem4  26482  efopn  26595  dcubic2  26782  birthdaylem2  26890  lgamcvg2  26993  chtdif  27096  lgsquadlem1  27319  2sqmod  27375  dchrisumlem1  27428  dchrisumlem2  27429  dchrisum0lem1b  27454  pntrlog2bndlem1  27516  pntrlog2bndlem2  27517  axsegconlem9  28905  axpaschlem  28920  cycpmco2lem3  33104  cycpmco2lem4  33105  cycpmco2lem5  33106  cycpmco2lem6  33107  cycpmco2  33109  archiabllem1a  33167  nn0constr  33795  constraddcl  33796  constrreinvcl  33806  probdif  34454  ballotlemsi  34549  knoppndvlem14  36590  knoppndvlem16  36592  bj-bary1lem1  37376  ftc1anc  37762  sticksstones12  42272  bcle2d  42293  readdrcl2d  42392  lsubrotld  42396  sumcubes  42432  jm2.27c  43125  jm3.1lem2  43136  radcnvrat  44432  binomcxplemdvbinom  44471  binomcxplemnotnn0  44474  mccllem  45722  ioodvbdlimc1lem2  46055  stirlinglem5  46201  fourierdlem7  46237  fourierdlem19  46249  fourierdlem26  46256  fourierdlem42  46272  fourierdlem63  46292  fourierdlem65  46294  fourierdlem79  46308  fourierdlem89  46318  fourierdlem90  46319  fourierdlem91  46320  fourierdlem101  46330  fourierdlem112  46341  qndenserrnbllem  46417  submodaddmod  47466  zplusmodne  47468