Theorem pncan2d 11317

Description: Cancellation law for subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
pncan2d	⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐴) = 𝐵)

Proof of Theorem pncan2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		pncand.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		pncan2 11211	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐴) = 𝐵)
4	1, 2, 3	syl2anc 583	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐴) = 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2109  (class class class)co 7268  ℂcc 10853   + caddc 10858   − cmin 11188

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1801  ax-4 1815  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2014  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2140  ax-11 2157  ax-12 2174  ax-ext 2710  ax-sep 5226  ax-nul 5233  ax-pow 5291  ax-pr 5355  ax-un 7579  ax-resscn 10912  ax-1cn 10913  ax-icn 10914  ax-addcl 10915  ax-addrcl 10916  ax-mulcl 10917  ax-mulrcl 10918  ax-mulcom 10919  ax-addass 10920  ax-mulass 10921  ax-distr 10922  ax-i2m1 10923  ax-1ne0 10924  ax-1rid 10925  ax-rnegex 10926  ax-rrecex 10927  ax-cnre 10928  ax-pre-lttri 10929  ax-pre-lttrn 10930  ax-pre-ltadd 10931

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1786  df-nf 1790  df-sb 2071  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2817  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3070  df-rex 3071  df-reu 3072  df-rab 3074  df-v 3432  df-sbc 3720  df-csb 3837  df-dif 3894  df-un 3896  df-in 3898  df-ss 3908  df-nul 4262  df-if 4465  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-op 4573  df-uni 4845  df-br 5079  df-opab 5141  df-mpt 5162  df-id 5488  df-po 5502  df-so 5503  df-xp 5594  df-rel 5595  df-cnv 5596  df-co 5597  df-dm 5598  df-rn 5599  df-res 5600  df-ima 5601  df-iota 6388  df-fun 6432  df-fn 6433  df-f 6434  df-f1 6435  df-fo 6436  df-f1o 6437  df-fv 6438  df-riota 7225  df-ov 7271  df-oprab 7272  df-mpo 7273  df-er 8472  df-en 8708  df-dom 8709  df-sdom 8710  df-pnf 10995  df-mnf 10996  df-ltxr 10998  df-sub 11190

This theorem is referenced by:  xov1plusxeqvd  13212  fzocatel  13432  expaddzlem  13807  hashf1lem2  14151  imval2  14843  clim2ser  15347  serf0  15373  fsumrev2  15475  geolim2  15564  mertenslem2  15578  bpolydiflem  15745  dvdsadd2b  15996  sadadd3  16149  mulgdirlem  18715  cnsubrg  20639  coe1tmmul2fv  21430  coe1pwmulfv  21432  reperflem  23962  reconnlem2  23971  ioorcl2  24717  uniioombllem3  24730  lhop1lem  25158  dvfsumabs  25168  ftc1lem1  25180  itgparts  25192  itgsubstlem  25193  coe1mul3  25245  coemulhi  25396  abelthlem6  25576  efif1olem4  25682  efopn  25794  dcubic2  25975  birthdaylem2  26083  lgamcvg2  26185  chtdif  26288  lgsquadlem1  26509  2sqmod  26565  dchrisumlem1  26618  dchrisumlem2  26619  dchrisum0lem1b  26644  pntrlog2bndlem1  26706  pntrlog2bndlem2  26707  axsegconlem9  27274  axpaschlem  27289  cycpmco2lem3  31374  cycpmco2lem4  31375  cycpmco2lem5  31376  cycpmco2lem6  31377  cycpmco2  31379  archiabllem1a  31424  probdif  32366  ballotlemsi  32460  knoppndvlem14  34684  knoppndvlem16  34686  bj-bary1lem1  35461  ftc1anc  35837  sticksstones12  40094  lsubrotld  40286  jm2.27c  40809  jm3.1lem2  40820  radcnvrat  41885  binomcxplemdvbinom  41924  binomcxplemnotnn0  41927  mccllem  43092  ioodvbdlimc1lem2  43427  stirlinglem5  43573  fourierdlem7  43609  fourierdlem19  43621  fourierdlem26  43628  fourierdlem42  43644  fourierdlem63  43664  fourierdlem65  43666  fourierdlem79  43680  fourierdlem89  43690  fourierdlem90  43691  fourierdlem91  43692  fourierdlem101  43702  fourierdlem112  43713  qndenserrnbllem  43789