Theorem pncan2d 11572

Description: Cancellation law for subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
pncan2d	⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐴) = 𝐵)

Proof of Theorem pncan2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		pncand.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		pncan2 11465	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐴) = 𝐵)
4	1, 2, 3	syl2anc 595	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐴) = 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  (class class class)co 7412  ℂcc 11099   + caddc 11104   − cmin 11442

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-resscn 11158  ax-1cn 11159  ax-icn 11160  ax-addcl 11161  ax-addrcl 11162  ax-mulcl 11163  ax-mulrcl 11164  ax-mulcom 11165  ax-addass 11166  ax-mulass 11167  ax-distr 11168  ax-i2m1 11169  ax-1ne0 11170  ax-1rid 11171  ax-rnegex 11172  ax-rrecex 11173  ax-cnre 11174  ax-pre-lttri 11175  ax-pre-lttrn 11176  ax-pre-ltadd 11177

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-id 5558  df-po 5571  df-so 5572  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-er 8695  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-ltxr 11249  df-sub 11444

This theorem is referenced by:  xov1plusxeqvd  13526  fzocatel  13760  expaddzlem  14143  hashf1lem2  14495  imval2  15204  clim2ser  15708  serf0  15734  fsumrev2  15835  geolim2  15927  mertenslem2  15941  bpolydiflem  16109  addmulmodb  16324  dvdsadd2b  16365  sadadd3  16520  mulgdirlem  19172  cnsubrg  21558  coe1tmmul2fv  22420  coe1pwmulfv  22422  reperflem  24957  reconnlem2  24966  ioorcl2  25712  uniioombllem3  25725  lhop1lem  26153  dvfsumabs  26163  ftc1lem1  26175  itgparts  26187  itgsubstlem  26188  coe1mul3  26237  coemulhi  26392  abelthlem6  26580  efif1olem4  26691  efopn  26804  dcubic2  26990  birthdaylem2  27098  lgamcvg2  27200  chtdif  27303  lgsquadlem1  27525  2sqmod  27581  dchrisumlem1  27634  dchrisumlem2  27635  dchrisum0lem1b  27660  pntrlog2bndlem1  27722  pntrlog2bndlem2  27723  axsegconlem9  29256  axpaschlem  29271  cycpmco2lem3  33429  cycpmco2lem4  33430  cycpmco2lem5  33431  cycpmco2lem6  33432  cycpmco2  33434  archiabllem1a  33492  nn0constr  34132  constraddcl  34133  constrreinvcl  34143  probdif  34791  ballotlemsi  34886  knoppndvlem14  37095  knoppndvlem16  37097  bj-bary1lem1  37936  ftc1anc  38333  sticksstones12  42906  bcle2d  42927  readdrcl2d  43015  lsubrotld  43019  sumcubes  43055  jm2.27c  43717  jm3.1lem2  43728  radcnvrat  45007  binomcxplemdvbinom  45046  binomcxplemnotnn0  45049  mccllem  46296  ioodvbdlimc1lem2  46629  stirlinglem5  46775  fourierdlem7  46811  fourierdlem19  46823  fourierdlem26  46830  fourierdlem42  46846  fourierdlem63  46866  fourierdlem65  46868  fourierdlem79  46882  fourierdlem89  46892  fourierdlem90  46893  fourierdlem91  46894  fourierdlem101  46904  fourierdlem112  46915  qndenserrnbllem  46991  submodaddmod  48067  zplusmodne  48069  ppivalnnnprmge6  48361