Theorem pncan2d 11541

Description: Cancellation law for subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
pncan2d	⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐴) = 𝐵)

Proof of Theorem pncan2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		pncand.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		pncan2 11434	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐴) = 𝐵)
4	1, 2, 3	syl2anc 593	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐴) = 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1559   ∈ wcel 2141  (class class class)co 7392  ℂcc 11068   + caddc 11073   − cmin 11411

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5321  ax-pr 5389  ax-un 7714  ax-resscn 11127  ax-1cn 11128  ax-icn 11129  ax-addcl 11130  ax-addrcl 11131  ax-mulcl 11132  ax-mulrcl 11133  ax-mulcom 11134  ax-addass 11135  ax-mulass 11136  ax-distr 11137  ax-i2m1 11138  ax-1ne0 11139  ax-1rid 11140  ax-rnegex 11141  ax-rrecex 11142  ax-cnre 11143  ax-pre-lttri 11144  ax-pre-lttrn 11145  ax-pre-ltadd 11146

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-id 5540  df-po 5553  df-so 5554  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-iota 6473  df-fun 6519  df-fn 6520  df-f 6521  df-f1 6522  df-fo 6523  df-f1o 6524  df-fv 6525  df-riota 7349  df-ov 7395  df-oprab 7396  df-mpo 7397  df-er 8673  df-en 8924  df-dom 8925  df-sdom 8926  df-pnf 11215  df-mnf 11216  df-ltxr 11218  df-sub 11413

This theorem is referenced by:  xov1plusxeqvd  13499  fzocatel  13732  expaddzlem  14115  hashf1lem2  14466  imval2  15161  clim2ser  15665  serf0  15691  fsumrev2  15792  geolim2  15884  mertenslem2  15898  bpolydiflem  16067  addmulmodb  16282  dvdsadd2b  16323  sadadd3  16478  mulgdirlem  19130  cnsubrg  21459  coe1tmmul2fv  22321  coe1pwmulfv  22323  reperflem  24859  reconnlem2  24868  ioorcl2  25614  uniioombllem3  25627  lhop1lem  26055  dvfsumabs  26065  ftc1lem1  26077  itgparts  26089  itgsubstlem  26090  coe1mul3  26139  coemulhi  26294  abelthlem6  26476  efif1olem4  26587  efopn  26700  dcubic2  26886  birthdaylem2  26994  lgamcvg2  27096  chtdif  27199  lgsquadlem1  27421  2sqmod  27477  dchrisumlem1  27530  dchrisumlem2  27531  dchrisum0lem1b  27556  pntrlog2bndlem1  27618  pntrlog2bndlem2  27619  axsegconlem9  29072  axpaschlem  29087  cycpmco2lem3  33269  cycpmco2lem4  33270  cycpmco2lem5  33271  cycpmco2lem6  33272  cycpmco2  33274  archiabllem1a  33332  nn0constr  34019  constraddcl  34020  constrreinvcl  34030  probdif  34678  ballotlemsi  34773  knoppndvlem14  36927  knoppndvlem16  36929  bj-bary1lem1  37767  ftc1anc  38164  sticksstones12  42739  bcle2d  42760  readdrcl2d  42846  lsubrotld  42850  sumcubes  42886  jm2.27c  43548  jm3.1lem2  43559  radcnvrat  44854  binomcxplemdvbinom  44893  binomcxplemnotnn0  44896  mccllem  46137  ioodvbdlimc1lem2  46470  stirlinglem5  46616  fourierdlem7  46652  fourierdlem19  46664  fourierdlem26  46671  fourierdlem42  46687  fourierdlem63  46707  fourierdlem65  46709  fourierdlem79  46723  fourierdlem89  46733  fourierdlem90  46734  fourierdlem91  46735  fourierdlem101  46745  fourierdlem112  46756  qndenserrnbllem  46832  submodaddmod  47905  zplusmodne  47907  ppivalnnnprmge6  48199