Theorem pncan2d 11599

Description: Cancellation law for subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
pncan2d	⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐴) = 𝐵)

Proof of Theorem pncan2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		pncand.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		pncan2 11492	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐴) = 𝐵)
4	1, 2, 3	syl2anc 596	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐴) = 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  (class class class)co 7417  ℂcc 11126   + caddc 11131   − cmin 11469

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-resscn 11185  ax-1cn 11186  ax-icn 11187  ax-addcl 11188  ax-addrcl 11189  ax-mulcl 11190  ax-mulrcl 11191  ax-mulcom 11192  ax-addass 11193  ax-mulass 11194  ax-distr 11195  ax-i2m1 11196  ax-1ne0 11197  ax-1rid 11198  ax-rnegex 11199  ax-rrecex 11200  ax-cnre 11201  ax-pre-lttri 11202  ax-pre-lttrn 11203  ax-pre-ltadd 11204

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-id 5554  df-po 5567  df-so 5568  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7374  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-er 8700  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-pnf 11273  df-mnf 11274  df-ltxr 11276  df-sub 11471

This theorem is used by:  xov1plusxeqvd  13555  fzocatel  13789  expaddzlem  14173  hashf1lem2  14525  imval2  15242  clim2ser  15746  serf0  15772  fsumrev2  15872  geolim2  15964  mertenslem2  15978  bpolydiflem  16146  addmulmodb  16361  dvdsadd2b  16402  sadadd3  16557  mulgdirlem  19234  cnsubrg  21646  coe1tmmul2fv  22510  coe1pwmulfv  22512  reperflem  25051  reconnlem2  25060  ioorcl2  25806  uniioombllem3  25819  lhop1lem  26247  dvfsumabs  26257  ftc1lem1  26269  itgparts  26281  itgsubstlem  26282  coe1mul3  26331  coemulhi  26487  abelthlem6  26679  efif1olem4  26790  efopn  26903  dcubic2  27089  birthdaylem2  27197  lgamcvg2  27299  chtdif  27402  lgsquadlem1  27624  2sqmod  27680  dchrisumlem1  27733  dchrisumlem2  27734  dchrisum0lem1b  27759  pntrlog2bndlem1  27821  pntrlog2bndlem2  27822  axsegconlem9  29390  axpaschlem  29405  cycpmco2lem3  33576  cycpmco2lem4  33577  cycpmco2lem5  33578  cycpmco2lem6  33579  cycpmco2  33581  archiabllem1a  33639  nn0constr  34279  constraddcl  34280  constrreinvcl  34290  probdif  34939  ballotlemsi  35034  knoppndvlem14  37230  knoppndvlem16  37232  bj-bary1lem1  38071  ftc1anc  38458  sticksstones12  43032  bcle2d  43053  readdrcl2d  43156  lsubrotld  43160  sumcubes  43196  jm2.27c  43856  jm3.1lem2  43867  radcnvrat  45146  binomcxplemdvbinom  45185  binomcxplemnotnn0  45188  mccllem  46435  ioodvbdlimc1lem2  46768  stirlinglem5  46914  fourierdlem7  46950  fourierdlem19  46962  fourierdlem26  46969  fourierdlem42  46985  fourierdlem63  47005  fourierdlem65  47007  fourierdlem79  47021  fourierdlem89  47031  fourierdlem90  47032  fourierdlem91  47033  fourierdlem101  47043  fourierdlem112  47054  qndenserrnbllem  47130  submodaddmod  48243  zplusmodne  48245  ppivalnnnprmge6  48537