Theorem pncan2d 11601

Description: Cancellation law for subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
pncan2d	⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐴) = 𝐵)

Proof of Theorem pncan2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		pncand.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		pncan2 11494	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐴) = 𝐵)
4	1, 2, 3	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐴) = 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  (class class class)co 7410  ℂcc 11132   + caddc 11137   − cmin 11471

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-resscn 11191  ax-1cn 11192  ax-icn 11193  ax-addcl 11194  ax-addrcl 11195  ax-mulcl 11196  ax-mulrcl 11197  ax-mulcom 11198  ax-addass 11199  ax-mulass 11200  ax-distr 11201  ax-i2m1 11202  ax-1ne0 11203  ax-1rid 11204  ax-rnegex 11205  ax-rrecex 11206  ax-cnre 11207  ax-pre-lttri 11208  ax-pre-lttrn 11209  ax-pre-ltadd 11210

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-id 5553  df-po 5566  df-so 5567  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-er 8724  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11276  df-mnf 11277  df-ltxr 11279  df-sub 11473

This theorem is referenced by:  xov1plusxeqvd  13520  fzocatel  13750  expaddzlem  14128  hashf1lem2  14479  imval2  15175  clim2ser  15676  serf0  15702  fsumrev2  15803  geolim2  15892  mertenslem2  15906  bpolydiflem  16075  addmulmodb  16290  dvdsadd2b  16330  sadadd3  16485  mulgdirlem  19093  cnsubrg  21400  coe1tmmul2fv  22220  coe1pwmulfv  22222  reperflem  24763  reconnlem2  24772  ioorcl2  25530  uniioombllem3  25543  lhop1lem  25975  dvfsumabs  25986  ftc1lem1  25999  itgparts  26011  itgsubstlem  26012  coe1mul3  26061  coemulhi  26216  abelthlem6  26403  efif1olem4  26511  efopn  26624  dcubic2  26811  birthdaylem2  26919  lgamcvg2  27022  chtdif  27125  lgsquadlem1  27348  2sqmod  27404  dchrisumlem1  27457  dchrisumlem2  27458  dchrisum0lem1b  27483  pntrlog2bndlem1  27545  pntrlog2bndlem2  27546  axsegconlem9  28909  axpaschlem  28924  cycpmco2lem3  33144  cycpmco2lem4  33145  cycpmco2lem5  33146  cycpmco2lem6  33147  cycpmco2  33149  archiabllem1a  33194  nn0constr  33800  constraddcl  33801  constrreinvcl  33811  probdif  34457  ballotlemsi  34552  knoppndvlem14  36548  knoppndvlem16  36550  bj-bary1lem1  37334  ftc1anc  37730  sticksstones12  42176  bcle2d  42197  readdrcl2d  42290  lsubrotld  42294  sumcubes  42329  jm2.27c  42998  jm3.1lem2  43009  radcnvrat  44305  binomcxplemdvbinom  44344  binomcxplemnotnn0  44347  mccllem  45593  ioodvbdlimc1lem2  45928  stirlinglem5  46074  fourierdlem7  46110  fourierdlem19  46122  fourierdlem26  46129  fourierdlem42  46145  fourierdlem63  46165  fourierdlem65  46167  fourierdlem79  46181  fourierdlem89  46191  fourierdlem90  46192  fourierdlem91  46193  fourierdlem101  46203  fourierdlem112  46214  qndenserrnbllem  46290  submodaddmod  47337  zplusmodne  47339