MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pncan2d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pncan2d 10997
Description: Cancellation law for subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
negidd.1 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
Assertion
Ref Expression
pncan2d (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐴) = 𝐵)

Proof of Theorem pncan2d
StepHypRef Expression
1 negidd.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
2 pncand.2 . 2 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
3 pncan2 10891 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐴) = 𝐵)
41, 2, 3syl2anc 587 1 (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐴) = 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1538  wcel 2115  (class class class)co 7149  cc 10533   + caddc 10538  cmin 10868
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7455  ax-resscn 10592  ax-1cn 10593  ax-icn 10594  ax-addcl 10595  ax-addrcl 10596  ax-mulcl 10597  ax-mulrcl 10598  ax-mulcom 10599  ax-addass 10600  ax-mulass 10601  ax-distr 10602  ax-i2m1 10603  ax-1ne0 10604  ax-1rid 10605  ax-rnegex 10606  ax-rrecex 10607  ax-cnre 10608  ax-pre-lttri 10609  ax-pre-lttrn 10610  ax-pre-ltadd 10611
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-op 4557  df-uni 4825  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-id 5447  df-po 5461  df-so 5462  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-riota 7107  df-ov 7152  df-oprab 7153  df-mpo 7154  df-er 8285  df-en 8506  df-dom 8507  df-sdom 8508  df-pnf 10675  df-mnf 10676  df-ltxr 10678  df-sub 10870
This theorem is referenced by:  xov1plusxeqvd  12885  fzocatel  13105  expaddzlem  13477  hashf1lem2  13819  imval2  14510  clim2ser  15011  serf0  15037  fsumrev2  15137  geolim2  15227  mertenslem2  15241  bpolydiflem  15408  dvdsadd2b  15656  sadadd3  15808  mulgdirlem  18258  coe1tmmul2fv  20446  coe1pwmulfv  20448  cnsubrg  20605  reperflem  23426  reconnlem2  23435  ioorcl2  24179  uniioombllem3  24192  lhop1lem  24619  dvfsumabs  24629  ftc1lem1  24641  itgparts  24653  itgsubstlem  24654  coe1mul3  24703  coemulhi  24854  abelthlem6  25034  efif1olem4  25140  efopn  25252  dcubic2  25433  birthdaylem2  25541  lgamcvg2  25643  chtdif  25746  lgsquadlem1  25967  2sqmod  26023  dchrisumlem1  26076  dchrisumlem2  26077  dchrisum0lem1b  26102  pntrlog2bndlem1  26164  pntrlog2bndlem2  26165  axsegconlem9  26722  axpaschlem  26737  cycpmco2lem3  30802  cycpmco2lem4  30803  cycpmco2lem5  30804  cycpmco2lem6  30805  cycpmco2  30807  archiabllem1a  30852  probdif  31735  ballotlemsi  31829  knoppndvlem14  33921  knoppndvlem16  33923  bj-bary1lem1  34670  ftc1anc  35083  jm2.27c  39864  jm3.1lem2  39875  radcnvrat  40938  binomcxplemdvbinom  40977  binomcxplemnotnn0  40980  mccllem  42165  ioodvbdlimc1lem2  42500  stirlinglem5  42646  fourierdlem7  42682  fourierdlem19  42694  fourierdlem26  42701  fourierdlem42  42717  fourierdlem63  42737  fourierdlem65  42739  fourierdlem79  42753  fourierdlem89  42763  fourierdlem90  42764  fourierdlem91  42765  fourierdlem101  42775  fourierdlem112  42786  qndenserrnbllem  42862
  Copyright terms: Public domain W3C validator