Theorem pncan2d 11675

Description: Cancellation law for subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
pncan2d	⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐴) = 𝐵)

Proof of Theorem pncan2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		pncand.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		pncan2 11568	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐴) = 𝐵)
4	1, 2, 3	syl2anc 596	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐴) = 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  (class class class)co 7421  ℂcc 11202   + caddc 11207   − cmin 11545

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7752  ax-resscn 11261  ax-1cn 11262  ax-icn 11263  ax-addcl 11264  ax-addrcl 11265  ax-mulcl 11266  ax-mulrcl 11267  ax-mulcom 11268  ax-addass 11269  ax-mulass 11270  ax-distr 11271  ax-i2m1 11272  ax-1ne0 11273  ax-1rid 11274  ax-rnegex 11275  ax-rrecex 11276  ax-cnre 11277  ax-pre-lttri 11278  ax-pre-lttrn 11279  ax-pre-ltadd 11280

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-po 5558  df-so 5559  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-iota 6494  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-riota 7378  df-ov 7424  df-oprab 7425  df-mpo 7426  df-er 8721  df-en 8978  df-dom 8979  df-sdom 8980  df-pnf 11349  df-mnf 11350  df-ltxr 11352  df-sub 11547

This theorem is used by:  xov1plusxeqvd  13633  fzocatel  13868  expaddzlem  14252  hashf1lem2  14605  imval2  15324  clim2ser  15828  serf0  15854  fsumrev2  15954  geolim2  16046  mertenslem2  16060  bpolydiflem  16226  addmulmodb  16441  dvdsadd2b  16482  sadadd3  16637  mulgdirlem  19321  cnsubrg  21739  coe1tmmul2fv  22603  coe1pwmulfv  22605  reperflem  25144  reconnlem2  25153  ioorcl2  25899  uniioombllem3  25912  lhop1lem  26339  dvfsumabs  26349  ftc1lem1  26361  itgparts  26373  itgsubstlem  26374  coe1mul3  26423  coemulhi  26579  abelthlem6  26769  efif1olem4  26879  efopn  26992  dcubic2  27178  birthdaylem2  27286  lgamcvg2  27388  chtdif  27491  2sqmod  27769  dchrisumlem1  27822  dchrisumlem2  27823  dchrisum0lem1b  27848  pntrlog2bndlem1  27910  pntrlog2bndlem2  27911  axsegconlem9  29509  axpaschlem  29524  cycpmco2lem3  33736  cycpmco2lem4  33737  cycpmco2lem5  33738  cycpmco2lem6  33739  cycpmco2  33741  archiabllem1a  33799  nn0constr  34440  constraddcl  34441  constrreinvcl  34451  probdif  35099  ballotlemsi  35194  knoppndvlem14  37484  knoppndvlem16  37486  bj-bary1lem1  38326  ftc1anc  38713  sticksstones12  43302  bcle2d  43323  readdrcl2d  43426  lsubrotld  43428  sumcubes  43464  jm2.27c  44108  jm3.1lem2  44119  radcnvrat  45392  binomcxplemdvbinom  45431  binomcxplemnotnn0  45434  mccllem  46703  ioodvbdlimc1lem2  47036  stirlinglem5  47182  fourierdlem7  47218  fourierdlem19  47230  fourierdlem26  47237  fourierdlem42  47253  fourierdlem63  47273  fourierdlem65  47275  fourierdlem79  47289  fourierdlem89  47299  fourierdlem90  47300  fourierdlem91  47301  fourierdlem101  47311  fourierdlem112  47322  qndenserrnbllem  47398  submodaddmod  48511  zplusmodne  48513  ppivalnnnprmge6  48805