MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pncan2d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pncan2d 11515
Description: Cancellation law for subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
negidd.1 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
Assertion
Ref Expression
pncan2d (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐴) = 𝐵)

Proof of Theorem pncan2d
StepHypRef Expression
1 negidd.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
2 pncand.2 . 2 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
3 pncan2 11409 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐴) = 𝐵)
41, 2, 3syl2anc 585 1 (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐴) = 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1542  wcel 2107  (class class class)co 7358  cc 11050   + caddc 11055  cmin 11386
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-resscn 11109  ax-1cn 11110  ax-icn 11111  ax-addcl 11112  ax-addrcl 11113  ax-mulcl 11114  ax-mulrcl 11115  ax-mulcom 11116  ax-addass 11117  ax-mulass 11118  ax-distr 11119  ax-i2m1 11120  ax-1ne0 11121  ax-1rid 11122  ax-rnegex 11123  ax-rrecex 11124  ax-cnre 11125  ax-pre-lttri 11126  ax-pre-lttrn 11127  ax-pre-ltadd 11128
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-reu 3355  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-id 5532  df-po 5546  df-so 5547  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-er 8649  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-pnf 11192  df-mnf 11193  df-ltxr 11195  df-sub 11388
This theorem is referenced by:  xov1plusxeqvd  13416  fzocatel  13637  expaddzlem  14012  hashf1lem2  14356  imval2  15037  clim2ser  15540  serf0  15566  fsumrev2  15668  geolim2  15757  mertenslem2  15771  bpolydiflem  15938  dvdsadd2b  16189  sadadd3  16342  mulgdirlem  18908  cnsubrg  20860  coe1tmmul2fv  21652  coe1pwmulfv  21654  reperflem  24184  reconnlem2  24193  ioorcl2  24939  uniioombllem3  24952  lhop1lem  25380  dvfsumabs  25390  ftc1lem1  25402  itgparts  25414  itgsubstlem  25415  coe1mul3  25467  coemulhi  25618  abelthlem6  25798  efif1olem4  25904  efopn  26016  dcubic2  26197  birthdaylem2  26305  lgamcvg2  26407  chtdif  26510  lgsquadlem1  26731  2sqmod  26787  dchrisumlem1  26840  dchrisumlem2  26841  dchrisum0lem1b  26866  pntrlog2bndlem1  26928  pntrlog2bndlem2  26929  axsegconlem9  27877  axpaschlem  27892  cycpmco2lem3  31980  cycpmco2lem4  31981  cycpmco2lem5  31982  cycpmco2lem6  31983  cycpmco2  31985  archiabllem1a  32030  probdif  33023  ballotlemsi  33117  knoppndvlem14  34991  knoppndvlem16  34993  bj-bary1lem1  35785  ftc1anc  36162  sticksstones12  40569  lsubrotld  40795  jm2.27c  41334  jm3.1lem2  41345  radcnvrat  42601  binomcxplemdvbinom  42640  binomcxplemnotnn0  42643  mccllem  43845  ioodvbdlimc1lem2  44180  stirlinglem5  44326  fourierdlem7  44362  fourierdlem19  44374  fourierdlem26  44381  fourierdlem42  44397  fourierdlem63  44417  fourierdlem65  44419  fourierdlem79  44433  fourierdlem89  44443  fourierdlem90  44444  fourierdlem91  44445  fourierdlem101  44455  fourierdlem112  44466  qndenserrnbllem  44542
  Copyright terms: Public domain W3C validator