Theorem pncan2d 11474

Description: Cancellation law for subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
pncan2d	⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐴) = 𝐵)

Proof of Theorem pncan2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		pncand.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		pncan2 11367	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐴) = 𝐵)
4	1, 2, 3	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐴) = 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  (class class class)co 7346  ℂcc 11004   + caddc 11009   − cmin 11344

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-id 5511  df-po 5524  df-so 5525  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-ltxr 11151  df-sub 11346

This theorem is referenced by:  xov1plusxeqvd  13398  fzocatel  13629  expaddzlem  14012  hashf1lem2  14363  imval2  15058  clim2ser  15562  serf0  15588  fsumrev2  15689  geolim2  15778  mertenslem2  15792  bpolydiflem  15961  addmulmodb  16176  dvdsadd2b  16217  sadadd3  16372  mulgdirlem  19018  cnsubrg  21365  coe1tmmul2fv  22193  coe1pwmulfv  22195  reperflem  24735  reconnlem2  24744  ioorcl2  25501  uniioombllem3  25514  lhop1lem  25946  dvfsumabs  25957  ftc1lem1  25970  itgparts  25982  itgsubstlem  25983  coe1mul3  26032  coemulhi  26187  abelthlem6  26374  efif1olem4  26482  efopn  26595  dcubic2  26782  birthdaylem2  26890  lgamcvg2  26993  chtdif  27096  lgsquadlem1  27319  2sqmod  27375  dchrisumlem1  27428  dchrisumlem2  27429  dchrisum0lem1b  27454  pntrlog2bndlem1  27516  pntrlog2bndlem2  27517  axsegconlem9  28904  axpaschlem  28919  cycpmco2lem3  33095  cycpmco2lem4  33096  cycpmco2lem5  33097  cycpmco2lem6  33098  cycpmco2  33100  archiabllem1a  33158  nn0constr  33772  constraddcl  33773  constrreinvcl  33783  probdif  34431  ballotlemsi  34526  knoppndvlem14  36565  knoppndvlem16  36567  bj-bary1lem1  37351  ftc1anc  37747  sticksstones12  42197  bcle2d  42218  readdrcl2d  42312  lsubrotld  42316  sumcubes  42352  jm2.27c  43046  jm3.1lem2  43057  radcnvrat  44353  binomcxplemdvbinom  44392  binomcxplemnotnn0  44395  mccllem  45643  ioodvbdlimc1lem2  45976  stirlinglem5  46122  fourierdlem7  46158  fourierdlem19  46170  fourierdlem26  46177  fourierdlem42  46193  fourierdlem63  46213  fourierdlem65  46215  fourierdlem79  46229  fourierdlem89  46239  fourierdlem90  46240  fourierdlem91  46241  fourierdlem101  46251  fourierdlem112  46262  qndenserrnbllem  46338  submodaddmod  47378  zplusmodne  47380