Theorem pncan2d 10988

Description: Cancellation law for subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
pncan2d	⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐴) = 𝐵)

Proof of Theorem pncan2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		pncand.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		pncan2 10882	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐴) = 𝐵)
4	1, 2, 3	syl2anc 587	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐴) = 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  (class class class)co 7135  ℂcc 10524   + caddc 10529   − cmin 10859

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-uni 4801  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-id 5425  df-po 5438  df-so 5439  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-ltxr 10669  df-sub 10861

This theorem is referenced by:  xov1plusxeqvd  12876  fzocatel  13096  expaddzlem  13468  hashf1lem2  13810  imval2  14502  clim2ser  15003  serf0  15029  fsumrev2  15129  geolim2  15219  mertenslem2  15233  bpolydiflem  15400  dvdsadd2b  15648  sadadd3  15800  mulgdirlem  18250  cnsubrg  20151  coe1tmmul2fv  20907  coe1pwmulfv  20909  reperflem  23423  reconnlem2  23432  ioorcl2  24176  uniioombllem3  24189  lhop1lem  24616  dvfsumabs  24626  ftc1lem1  24638  itgparts  24650  itgsubstlem  24651  coe1mul3  24700  coemulhi  24851  abelthlem6  25031  efif1olem4  25137  efopn  25249  dcubic2  25430  birthdaylem2  25538  lgamcvg2  25640  chtdif  25743  lgsquadlem1  25964  2sqmod  26020  dchrisumlem1  26073  dchrisumlem2  26074  dchrisum0lem1b  26099  pntrlog2bndlem1  26161  pntrlog2bndlem2  26162  axsegconlem9  26719  axpaschlem  26734  cycpmco2lem3  30820  cycpmco2lem4  30821  cycpmco2lem5  30822  cycpmco2lem6  30823  cycpmco2  30825  archiabllem1a  30870  probdif  31788  ballotlemsi  31882  knoppndvlem14  33977  knoppndvlem16  33979  bj-bary1lem1  34725  ftc1anc  35138  jm2.27c  39948  jm3.1lem2  39959  radcnvrat  41018  binomcxplemdvbinom  41057  binomcxplemnotnn0  41060  mccllem  42239  ioodvbdlimc1lem2  42574  stirlinglem5  42720  fourierdlem7  42756  fourierdlem19  42768  fourierdlem26  42775  fourierdlem42  42791  fourierdlem63  42811  fourierdlem65  42813  fourierdlem79  42827  fourierdlem89  42837  fourierdlem90  42838  fourierdlem91  42839  fourierdlem101  42849  fourierdlem112  42860  qndenserrnbllem  42936