Theorem pncan2d 11559

Description: Cancellation law for subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
pncan2d	⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐴) = 𝐵)

Proof of Theorem pncan2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		pncand.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		pncan2 11452	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐴) = 𝐵)
4	1, 2, 3	syl2anc 595	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐴) = 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1563   ∈ wcel 2145  (class class class)co 7400  ℂcc 11086   + caddc 11091   − cmin 11429

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-sep 5250  ax-nul 5260  ax-pow 5326  ax-pr 5394  ax-un 7722  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5546  df-po 5559  df-so 5560  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-er 8682  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-ltxr 11236  df-sub 11431

This theorem is referenced by:  xov1plusxeqvd  13513  fzocatel  13746  expaddzlem  14129  hashf1lem2  14481  imval2  15190  clim2ser  15694  serf0  15720  fsumrev2  15821  geolim2  15913  mertenslem2  15927  bpolydiflem  16096  addmulmodb  16311  dvdsadd2b  16352  sadadd3  16507  mulgdirlem  19159  cnsubrg  21534  coe1tmmul2fv  22396  coe1pwmulfv  22398  reperflem  24933  reconnlem2  24942  ioorcl2  25688  uniioombllem3  25701  lhop1lem  26129  dvfsumabs  26139  ftc1lem1  26151  itgparts  26163  itgsubstlem  26164  coe1mul3  26213  coemulhi  26368  abelthlem6  26553  efif1olem4  26664  efopn  26777  dcubic2  26963  birthdaylem2  27071  lgamcvg2  27173  chtdif  27276  lgsquadlem1  27498  2sqmod  27554  dchrisumlem1  27607  dchrisumlem2  27608  dchrisum0lem1b  27633  pntrlog2bndlem1  27695  pntrlog2bndlem2  27696  axsegconlem9  29180  axpaschlem  29195  cycpmco2lem3  33356  cycpmco2lem4  33357  cycpmco2lem5  33358  cycpmco2lem6  33359  cycpmco2  33361  archiabllem1a  33419  nn0constr  34063  constraddcl  34064  constrreinvcl  34074  probdif  34722  ballotlemsi  34817  knoppndvlem14  36971  knoppndvlem16  36973  bj-bary1lem1  37810  ftc1anc  38207  sticksstones12  42782  bcle2d  42803  readdrcl2d  42889  lsubrotld  42893  sumcubes  42929  jm2.27c  43591  jm3.1lem2  43602  radcnvrat  44883  binomcxplemdvbinom  44922  binomcxplemnotnn0  44925  mccllem  46172  ioodvbdlimc1lem2  46505  stirlinglem5  46651  fourierdlem7  46687  fourierdlem19  46699  fourierdlem26  46706  fourierdlem42  46722  fourierdlem63  46742  fourierdlem65  46744  fourierdlem79  46758  fourierdlem89  46768  fourierdlem90  46769  fourierdlem91  46770  fourierdlem101  46780  fourierdlem112  46791  qndenserrnbllem  46867  submodaddmod  47940  zplusmodne  47942  ppivalnnnprmge6  48234