Theorem pncan2d 11494

Description: Cancellation law for subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
pncan2d	⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐴) = 𝐵)

Proof of Theorem pncan2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		pncand.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		pncan2 11387	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐴) = 𝐵)
4	1, 2, 3	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐴) = 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  (class class class)co 7358  ℂcc 11024   + caddc 11029   − cmin 11364

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-id 5519  df-po 5532  df-so 5533  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-ltxr 11171  df-sub 11366

This theorem is referenced by:  xov1plusxeqvd  13414  fzocatel  13645  expaddzlem  14028  hashf1lem2  14379  imval2  15074  clim2ser  15578  serf0  15604  fsumrev2  15705  geolim2  15794  mertenslem2  15808  bpolydiflem  15977  addmulmodb  16192  dvdsadd2b  16233  sadadd3  16388  mulgdirlem  19035  cnsubrg  21382  coe1tmmul2fv  22220  coe1pwmulfv  22222  reperflem  24763  reconnlem2  24772  ioorcl2  25529  uniioombllem3  25542  lhop1lem  25974  dvfsumabs  25985  ftc1lem1  25998  itgparts  26010  itgsubstlem  26011  coe1mul3  26060  coemulhi  26215  abelthlem6  26402  efif1olem4  26510  efopn  26623  dcubic2  26810  birthdaylem2  26918  lgamcvg2  27021  chtdif  27124  lgsquadlem1  27347  2sqmod  27403  dchrisumlem1  27456  dchrisumlem2  27457  dchrisum0lem1b  27482  pntrlog2bndlem1  27544  pntrlog2bndlem2  27545  axsegconlem9  28998  axpaschlem  29013  cycpmco2lem3  33210  cycpmco2lem4  33211  cycpmco2lem5  33212  cycpmco2lem6  33213  cycpmco2  33215  archiabllem1a  33273  nn0constr  33918  constraddcl  33919  constrreinvcl  33929  probdif  34577  ballotlemsi  34672  knoppndvlem14  36725  knoppndvlem16  36727  bj-bary1lem1  37512  ftc1anc  37898  sticksstones12  42408  bcle2d  42429  readdrcl2d  42524  lsubrotld  42528  sumcubes  42564  jm2.27c  43245  jm3.1lem2  43256  radcnvrat  44551  binomcxplemdvbinom  44590  binomcxplemnotnn0  44593  mccllem  45839  ioodvbdlimc1lem2  46172  stirlinglem5  46318  fourierdlem7  46354  fourierdlem19  46366  fourierdlem26  46373  fourierdlem42  46389  fourierdlem63  46409  fourierdlem65  46411  fourierdlem79  46425  fourierdlem89  46435  fourierdlem90  46436  fourierdlem91  46437  fourierdlem101  46447  fourierdlem112  46458  qndenserrnbllem  46534  submodaddmod  47583  zplusmodne  47585