Theorem pncan2d 11498

Description: Cancellation law for subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
pncan2d	⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐴) = 𝐵)

Proof of Theorem pncan2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		pncand.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		pncan2 11391	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐴) = 𝐵)
4	1, 2, 3	syl2anc 585	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐴) = 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7360  ℂcc 11027   + caddc 11032   − cmin 11368

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5519  df-po 5532  df-so 5533  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-er 8636  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-ltxr 11175  df-sub 11370

This theorem is referenced by:  xov1plusxeqvd  13442  fzocatel  13675  expaddzlem  14058  hashf1lem2  14409  imval2  15104  clim2ser  15608  serf0  15634  fsumrev2  15735  geolim2  15827  mertenslem2  15841  bpolydiflem  16010  addmulmodb  16225  dvdsadd2b  16266  sadadd3  16421  mulgdirlem  19072  cnsubrg  21417  coe1tmmul2fv  22253  coe1pwmulfv  22255  reperflem  24794  reconnlem2  24803  ioorcl2  25549  uniioombllem3  25562  lhop1lem  25990  dvfsumabs  26000  ftc1lem1  26012  itgparts  26024  itgsubstlem  26025  coe1mul3  26074  coemulhi  26229  abelthlem6  26414  efif1olem4  26522  efopn  26635  dcubic2  26821  birthdaylem2  26929  lgamcvg2  27032  chtdif  27135  lgsquadlem1  27357  2sqmod  27413  dchrisumlem1  27466  dchrisumlem2  27467  dchrisum0lem1b  27492  pntrlog2bndlem1  27554  pntrlog2bndlem2  27555  axsegconlem9  29008  axpaschlem  29023  cycpmco2lem3  33204  cycpmco2lem4  33205  cycpmco2lem5  33206  cycpmco2lem6  33207  cycpmco2  33209  archiabllem1a  33267  nn0constr  33921  constraddcl  33922  constrreinvcl  33932  probdif  34580  ballotlemsi  34675  knoppndvlem14  36801  knoppndvlem16  36803  bj-bary1lem1  37641  ftc1anc  38036  sticksstones12  42611  bcle2d  42632  readdrcl2d  42719  lsubrotld  42723  sumcubes  42759  jm2.27c  43453  jm3.1lem2  43464  radcnvrat  44759  binomcxplemdvbinom  44798  binomcxplemnotnn0  44801  mccllem  46045  ioodvbdlimc1lem2  46378  stirlinglem5  46524  fourierdlem7  46560  fourierdlem19  46572  fourierdlem26  46579  fourierdlem42  46595  fourierdlem63  46615  fourierdlem65  46617  fourierdlem79  46631  fourierdlem89  46641  fourierdlem90  46642  fourierdlem91  46643  fourierdlem101  46653  fourierdlem112  46664  qndenserrnbllem  46740  submodaddmod  47807  zplusmodne  47809  ppivalnnnprmge6  48101