Theorem pncan2d 11343

Description: Cancellation law for subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
pncan2d	⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐴) = 𝐵)

Proof of Theorem pncan2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		pncand.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		pncan2 11237	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐴) = 𝐵)
4	1, 2, 3	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐴) = 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2107  (class class class)co 7284  ℂcc 10878   + caddc 10883   − cmin 11214

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2710  ax-sep 5224  ax-nul 5231  ax-pow 5289  ax-pr 5353  ax-un 7597  ax-resscn 10937  ax-1cn 10938  ax-icn 10939  ax-addcl 10940  ax-addrcl 10941  ax-mulcl 10942  ax-mulrcl 10943  ax-mulcom 10944  ax-addass 10945  ax-mulass 10946  ax-distr 10947  ax-i2m1 10948  ax-1ne0 10949  ax-1rid 10950  ax-rnegex 10951  ax-rrecex 10952  ax-cnre 10953  ax-pre-lttri 10954  ax-pre-lttrn 10955  ax-pre-ltadd 10956

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2817  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3070  df-rex 3071  df-reu 3073  df-rab 3074  df-v 3435  df-sbc 3718  df-csb 3834  df-dif 3891  df-un 3893  df-in 3895  df-ss 3905  df-nul 4258  df-if 4461  df-pw 4536  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4841  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5159  df-id 5490  df-po 5504  df-so 5505  df-xp 5596  df-rel 5597  df-cnv 5598  df-co 5599  df-dm 5600  df-rn 5601  df-res 5602  df-ima 5603  df-iota 6395  df-fun 6439  df-fn 6440  df-f 6441  df-f1 6442  df-fo 6443  df-f1o 6444  df-fv 6445  df-riota 7241  df-ov 7287  df-oprab 7288  df-mpo 7289  df-er 8507  df-en 8743  df-dom 8744  df-sdom 8745  df-pnf 11020  df-mnf 11021  df-ltxr 11023  df-sub 11216

This theorem is referenced by:  xov1plusxeqvd  13239  fzocatel  13460  expaddzlem  13835  hashf1lem2  14179  imval2  14871  clim2ser  15375  serf0  15401  fsumrev2  15503  geolim2  15592  mertenslem2  15606  bpolydiflem  15773  dvdsadd2b  16024  sadadd3  16177  mulgdirlem  18743  cnsubrg  20667  coe1tmmul2fv  21458  coe1pwmulfv  21460  reperflem  23990  reconnlem2  23999  ioorcl2  24745  uniioombllem3  24758  lhop1lem  25186  dvfsumabs  25196  ftc1lem1  25208  itgparts  25220  itgsubstlem  25221  coe1mul3  25273  coemulhi  25424  abelthlem6  25604  efif1olem4  25710  efopn  25822  dcubic2  26003  birthdaylem2  26111  lgamcvg2  26213  chtdif  26316  lgsquadlem1  26537  2sqmod  26593  dchrisumlem1  26646  dchrisumlem2  26647  dchrisum0lem1b  26672  pntrlog2bndlem1  26734  pntrlog2bndlem2  26735  axsegconlem9  27302  axpaschlem  27317  cycpmco2lem3  31404  cycpmco2lem4  31405  cycpmco2lem5  31406  cycpmco2lem6  31407  cycpmco2  31409  archiabllem1a  31454  probdif  32396  ballotlemsi  32490  knoppndvlem14  34714  knoppndvlem16  34716  bj-bary1lem1  35491  ftc1anc  35867  sticksstones12  40121  lsubrotld  40313  jm2.27c  40836  jm3.1lem2  40847  radcnvrat  41939  binomcxplemdvbinom  41978  binomcxplemnotnn0  41981  mccllem  43145  ioodvbdlimc1lem2  43480  stirlinglem5  43626  fourierdlem7  43662  fourierdlem19  43674  fourierdlem26  43681  fourierdlem42  43697  fourierdlem63  43717  fourierdlem65  43719  fourierdlem79  43733  fourierdlem89  43743  fourierdlem90  43744  fourierdlem91  43745  fourierdlem101  43755  fourierdlem112  43766  qndenserrnbllem  43842