Theorem pncan2d 11573

Description: Cancellation law for subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
pncan2d	⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐴) = 𝐵)

Proof of Theorem pncan2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		pncand.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		pncan2 11467	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐴) = 𝐵)
4	1, 2, 3	syl2anc 585	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐴) = 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  (class class class)co 7409  ℂcc 11108   + caddc 11113   − cmin 11444

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-po 5589  df-so 5590  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-ltxr 11253  df-sub 11446

This theorem is referenced by:  xov1plusxeqvd  13475  fzocatel  13696  expaddzlem  14071  hashf1lem2  14417  imval2  15098  clim2ser  15601  serf0  15627  fsumrev2  15728  geolim2  15817  mertenslem2  15831  bpolydiflem  15998  dvdsadd2b  16249  sadadd3  16402  mulgdirlem  18985  cnsubrg  21005  coe1tmmul2fv  21800  coe1pwmulfv  21802  reperflem  24334  reconnlem2  24343  ioorcl2  25089  uniioombllem3  25102  lhop1lem  25530  dvfsumabs  25540  ftc1lem1  25552  itgparts  25564  itgsubstlem  25565  coe1mul3  25617  coemulhi  25768  abelthlem6  25948  efif1olem4  26054  efopn  26166  dcubic2  26349  birthdaylem2  26457  lgamcvg2  26559  chtdif  26662  lgsquadlem1  26883  2sqmod  26939  dchrisumlem1  26992  dchrisumlem2  26993  dchrisum0lem1b  27018  pntrlog2bndlem1  27080  pntrlog2bndlem2  27081  axsegconlem9  28183  axpaschlem  28198  cycpmco2lem3  32287  cycpmco2lem4  32288  cycpmco2lem5  32289  cycpmco2lem6  32290  cycpmco2  32292  archiabllem1a  32337  probdif  33419  ballotlemsi  33513  knoppndvlem14  35401  knoppndvlem16  35403  bj-bary1lem1  36192  ftc1anc  36569  sticksstones12  40974  lsubrotld  41190  sumcubes  41211  jm2.27c  41746  jm3.1lem2  41757  radcnvrat  43073  binomcxplemdvbinom  43112  binomcxplemnotnn0  43115  mccllem  44313  ioodvbdlimc1lem2  44648  stirlinglem5  44794  fourierdlem7  44830  fourierdlem19  44842  fourierdlem26  44849  fourierdlem42  44865  fourierdlem63  44885  fourierdlem65  44887  fourierdlem79  44901  fourierdlem89  44911  fourierdlem90  44912  fourierdlem91  44913  fourierdlem101  44923  fourierdlem112  44934  qndenserrnbllem  45010