Theorem pncan2d 11701

Description: Cancellation law for subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
pncan2d	⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐴) = 𝐵)

Proof of Theorem pncan2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		pncand.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		pncan2 11594	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐴) = 𝐵)
4	1, 2, 3	syl2anc 596	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐴) = 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  (class class class)co 7446  ℂcc 11228   + caddc 11233   − cmin 11571

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pow 5332  ax-pr 5396  ax-un 7778  ax-resscn 11287  ax-1cn 11288  ax-icn 11289  ax-addcl 11290  ax-addrcl 11291  ax-mulcl 11292  ax-mulrcl 11293  ax-mulcom 11294  ax-addass 11295  ax-mulass 11296  ax-distr 11297  ax-i2m1 11298  ax-1ne0 11299  ax-1rid 11300  ax-rnegex 11301  ax-rrecex 11302  ax-cnre 11303  ax-pre-lttri 11304  ax-pre-lttrn 11305  ax-pre-ltadd 11306

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-id 5551  df-po 5564  df-so 5565  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-iota 6515  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7403  df-ov 7449  df-oprab 7450  df-mpo 7451  df-er 8748  df-en 9005  df-dom 9006  df-sdom 9007  df-pnf 11375  df-mnf 11376  df-ltxr 11378  df-sub 11573

This theorem is used by:  xov1plusxeqvd  13659  fzocatel  13894  expaddzlem  14278  hashf1lem2  14631  imval2  15350  clim2ser  15854  serf0  15880  fsumrev2  15980  geolim2  16072  mertenslem2  16086  bpolydiflem  16252  addmulmodb  16467  dvdsadd2b  16508  sadadd3  16663  mulgdirlem  19347  cnsubrg  21766  coe1tmmul2fv  22630  coe1pwmulfv  22632  reperflem  25171  reconnlem2  25180  ioorcl2  25926  uniioombllem3  25939  lhop1lem  26366  dvfsumabs  26376  ftc1lem1  26388  itgparts  26400  itgsubstlem  26401  coe1mul3  26450  coemulhi  26606  abelthlem6  26796  efif1olem4  26906  efopn  27019  dcubic2  27205  birthdaylem2  27313  lgamcvg2  27415  chtdif  27518  2sqmod  27796  dchrisumlem1  27849  dchrisumlem2  27850  dchrisum0lem1b  27875  pntrlog2bndlem1  27937  pntrlog2bndlem2  27938  axsegconlem9  29536  axpaschlem  29551  cycpmco2lem3  33765  cycpmco2lem4  33766  cycpmco2lem5  33767  cycpmco2lem6  33768  cycpmco2  33770  archiabllem1a  33828  nn0constr  34476  constraddcl  34477  constrreinvcl  34487  probdif  35135  ballotlemsi  35230  knoppndvlem14  37582  knoppndvlem16  37584  bj-bary1lem1  38437  ftc1anc  38824  sticksstones12  43411  bcle2d  43432  readdrcl2d  43536  lsubrotld  43538  sumcubes  43574  jm2.27c  44218  jm3.1lem2  44229  radcnvrat  45501  binomcxplemdvbinom  45540  binomcxplemnotnn0  45543  mccllem  46824  ioodvbdlimc1lem2  47157  stirlinglem5  47303  fourierdlem7  47339  fourierdlem19  47351  fourierdlem26  47358  fourierdlem42  47374  fourierdlem63  47394  fourierdlem65  47396  fourierdlem79  47410  fourierdlem89  47420  fourierdlem90  47421  fourierdlem91  47422  fourierdlem101  47432  fourierdlem112  47443  qndenserrnbllem  47519  submodaddmod  48632  zplusmodne  48634  ppivalnnnprmge6  48926