Theorem pncan2d 11264

Description: Cancellation law for subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
pncan2d	⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐴) = 𝐵)

Proof of Theorem pncan2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		pncand.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		pncan2 11158	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐴) = 𝐵)
4	1, 2, 3	syl2anc 583	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐴) = 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  (class class class)co 7255  ℂcc 10800   + caddc 10805   − cmin 11135

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-id 5480  df-po 5494  df-so 5495  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-ltxr 10945  df-sub 11137

This theorem is referenced by:  xov1plusxeqvd  13159  fzocatel  13379  expaddzlem  13754  hashf1lem2  14098  imval2  14790  clim2ser  15294  serf0  15320  fsumrev2  15422  geolim2  15511  mertenslem2  15525  bpolydiflem  15692  dvdsadd2b  15943  sadadd3  16096  mulgdirlem  18649  cnsubrg  20570  coe1tmmul2fv  21359  coe1pwmulfv  21361  reperflem  23887  reconnlem2  23896  ioorcl2  24641  uniioombllem3  24654  lhop1lem  25082  dvfsumabs  25092  ftc1lem1  25104  itgparts  25116  itgsubstlem  25117  coe1mul3  25169  coemulhi  25320  abelthlem6  25500  efif1olem4  25606  efopn  25718  dcubic2  25899  birthdaylem2  26007  lgamcvg2  26109  chtdif  26212  lgsquadlem1  26433  2sqmod  26489  dchrisumlem1  26542  dchrisumlem2  26543  dchrisum0lem1b  26568  pntrlog2bndlem1  26630  pntrlog2bndlem2  26631  axsegconlem9  27196  axpaschlem  27211  cycpmco2lem3  31297  cycpmco2lem4  31298  cycpmco2lem5  31299  cycpmco2lem6  31300  cycpmco2  31302  archiabllem1a  31347  probdif  32287  ballotlemsi  32381  knoppndvlem14  34632  knoppndvlem16  34634  bj-bary1lem1  35409  ftc1anc  35785  sticksstones12  40042  lsubrotld  40227  jm2.27c  40745  jm3.1lem2  40756  radcnvrat  41821  binomcxplemdvbinom  41860  binomcxplemnotnn0  41863  mccllem  43028  ioodvbdlimc1lem2  43363  stirlinglem5  43509  fourierdlem7  43545  fourierdlem19  43557  fourierdlem26  43564  fourierdlem42  43580  fourierdlem63  43600  fourierdlem65  43602  fourierdlem79  43616  fourierdlem89  43626  fourierdlem90  43627  fourierdlem91  43628  fourierdlem101  43638  fourierdlem112  43649  qndenserrnbllem  43725