Theorem pncan2d 11535

Description: Cancellation law for subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
pncan2d	⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐴) = 𝐵)

Proof of Theorem pncan2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		pncand.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		pncan2 11428	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐴) = 𝐵)
4	1, 2, 3	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐴) = 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  (class class class)co 7387  ℂcc 11066   + caddc 11071   − cmin 11405

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-id 5533  df-po 5546  df-so 5547  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-ltxr 11213  df-sub 11407

This theorem is referenced by:  xov1plusxeqvd  13459  fzocatel  13690  expaddzlem  14070  hashf1lem2  14421  imval2  15117  clim2ser  15621  serf0  15647  fsumrev2  15748  geolim2  15837  mertenslem2  15851  bpolydiflem  16020  addmulmodb  16235  dvdsadd2b  16276  sadadd3  16431  mulgdirlem  19037  cnsubrg  21344  coe1tmmul2fv  22164  coe1pwmulfv  22166  reperflem  24707  reconnlem2  24716  ioorcl2  25473  uniioombllem3  25486  lhop1lem  25918  dvfsumabs  25929  ftc1lem1  25942  itgparts  25954  itgsubstlem  25955  coe1mul3  26004  coemulhi  26159  abelthlem6  26346  efif1olem4  26454  efopn  26567  dcubic2  26754  birthdaylem2  26862  lgamcvg2  26965  chtdif  27068  lgsquadlem1  27291  2sqmod  27347  dchrisumlem1  27400  dchrisumlem2  27401  dchrisum0lem1b  27426  pntrlog2bndlem1  27488  pntrlog2bndlem2  27489  axsegconlem9  28852  axpaschlem  28867  cycpmco2lem3  33085  cycpmco2lem4  33086  cycpmco2lem5  33087  cycpmco2lem6  33088  cycpmco2  33090  archiabllem1a  33145  nn0constr  33751  constraddcl  33752  constrreinvcl  33762  probdif  34411  ballotlemsi  34506  knoppndvlem14  36513  knoppndvlem16  36515  bj-bary1lem1  37299  ftc1anc  37695  sticksstones12  42146  bcle2d  42167  readdrcl2d  42261  lsubrotld  42265  sumcubes  42301  jm2.27c  42996  jm3.1lem2  43007  radcnvrat  44303  binomcxplemdvbinom  44342  binomcxplemnotnn0  44345  mccllem  45595  ioodvbdlimc1lem2  45930  stirlinglem5  46076  fourierdlem7  46112  fourierdlem19  46124  fourierdlem26  46131  fourierdlem42  46147  fourierdlem63  46167  fourierdlem65  46169  fourierdlem79  46183  fourierdlem89  46193  fourierdlem90  46194  fourierdlem91  46195  fourierdlem101  46205  fourierdlem112  46216  qndenserrnbllem  46292  submodaddmod  47342  zplusmodne  47344