Theorem pncan2d 11505

Description: Cancellation law for subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
pncan2d	⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐴) = 𝐵)

Proof of Theorem pncan2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		pncand.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		pncan2 11398	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐴) = 𝐵)
4	1, 2, 3	syl2anc 590	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐴) = 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  (class class class)co 7363  ℂcc 11034   + caddc 11039   − cmin 11375

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-resscn 11093  ax-1cn 11094  ax-icn 11095  ax-addcl 11096  ax-addrcl 11097  ax-mulcl 11098  ax-mulrcl 11099  ax-mulcom 11100  ax-addass 11101  ax-mulass 11102  ax-distr 11103  ax-i2m1 11104  ax-1ne0 11105  ax-1rid 11106  ax-rnegex 11107  ax-rrecex 11108  ax-cnre 11109  ax-pre-lttri 11110  ax-pre-lttrn 11111  ax-pre-ltadd 11112

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3065  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-id 5520  df-po 5533  df-so 5534  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7320  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-er 8640  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-pnf 11179  df-mnf 11180  df-ltxr 11182  df-sub 11377

This theorem is referenced by:  xov1plusxeqvd  13449  fzocatel  13682  expaddzlem  14065  hashf1lem2  14416  imval2  15111  clim2ser  15615  serf0  15641  fsumrev2  15742  geolim2  15834  mertenslem2  15848  bpolydiflem  16017  addmulmodb  16232  dvdsadd2b  16273  sadadd3  16428  mulgdirlem  19079  cnsubrg  21409  coe1tmmul2fv  22271  coe1pwmulfv  22273  reperflem  24809  reconnlem2  24818  ioorcl2  25564  uniioombllem3  25577  lhop1lem  26005  dvfsumabs  26015  ftc1lem1  26027  itgparts  26039  itgsubstlem  26040  coe1mul3  26089  coemulhi  26244  abelthlem6  26426  efif1olem4  26534  efopn  26647  dcubic2  26833  birthdaylem2  26941  lgamcvg2  27043  chtdif  27146  lgsquadlem1  27368  2sqmod  27424  dchrisumlem1  27477  dchrisumlem2  27478  dchrisum0lem1b  27503  pntrlog2bndlem1  27565  pntrlog2bndlem2  27566  axsegconlem9  29019  axpaschlem  29034  cycpmco2lem3  33216  cycpmco2lem4  33217  cycpmco2lem5  33218  cycpmco2lem6  33219  cycpmco2  33221  archiabllem1a  33279  nn0constr  33952  constraddcl  33953  constrreinvcl  33963  probdif  34611  ballotlemsi  34706  knoppndvlem14  36838  knoppndvlem16  36840  bj-bary1lem1  37678  ftc1anc  38075  sticksstones12  42650  bcle2d  42671  readdrcl2d  42757  lsubrotld  42761  sumcubes  42797  jm2.27c  43459  jm3.1lem2  43470  radcnvrat  44765  binomcxplemdvbinom  44804  binomcxplemnotnn0  44807  mccllem  46049  ioodvbdlimc1lem2  46382  stirlinglem5  46528  fourierdlem7  46564  fourierdlem19  46576  fourierdlem26  46583  fourierdlem42  46599  fourierdlem63  46619  fourierdlem65  46621  fourierdlem79  46635  fourierdlem89  46645  fourierdlem90  46646  fourierdlem91  46647  fourierdlem101  46657  fourierdlem112  46668  qndenserrnbllem  46744  submodaddmod  47817  zplusmodne  47819  ppivalnnnprmge6  48111