Theorem pncan2d 11506

Description: Cancellation law for subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
pncan2d	⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐴) = 𝐵)

Proof of Theorem pncan2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		pncand.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		pncan2 11399	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐴) = 𝐵)
4	1, 2, 3	syl2anc 585	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐴) = 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7368  ℂcc 11036   + caddc 11041   − cmin 11376

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5527  df-po 5540  df-so 5541  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-ltxr 11183  df-sub 11378

This theorem is referenced by:  xov1plusxeqvd  13426  fzocatel  13657  expaddzlem  14040  hashf1lem2  14391  imval2  15086  clim2ser  15590  serf0  15616  fsumrev2  15717  geolim2  15806  mertenslem2  15820  bpolydiflem  15989  addmulmodb  16204  dvdsadd2b  16245  sadadd3  16400  mulgdirlem  19047  cnsubrg  21394  coe1tmmul2fv  22232  coe1pwmulfv  22234  reperflem  24775  reconnlem2  24784  ioorcl2  25541  uniioombllem3  25554  lhop1lem  25986  dvfsumabs  25997  ftc1lem1  26010  itgparts  26022  itgsubstlem  26023  coe1mul3  26072  coemulhi  26227  abelthlem6  26414  efif1olem4  26522  efopn  26635  dcubic2  26822  birthdaylem2  26930  lgamcvg2  27033  chtdif  27136  lgsquadlem1  27359  2sqmod  27415  dchrisumlem1  27468  dchrisumlem2  27469  dchrisum0lem1b  27494  pntrlog2bndlem1  27556  pntrlog2bndlem2  27557  axsegconlem9  29010  axpaschlem  29025  cycpmco2lem3  33221  cycpmco2lem4  33222  cycpmco2lem5  33223  cycpmco2lem6  33224  cycpmco2  33226  archiabllem1a  33284  nn0constr  33938  constraddcl  33939  constrreinvcl  33949  probdif  34597  ballotlemsi  34692  knoppndvlem14  36744  knoppndvlem16  36746  bj-bary1lem1  37560  ftc1anc  37946  sticksstones12  42522  bcle2d  42543  readdrcl2d  42637  lsubrotld  42641  sumcubes  42677  jm2.27c  43358  jm3.1lem2  43369  radcnvrat  44664  binomcxplemdvbinom  44703  binomcxplemnotnn0  44706  mccllem  45951  ioodvbdlimc1lem2  46284  stirlinglem5  46430  fourierdlem7  46466  fourierdlem19  46478  fourierdlem26  46485  fourierdlem42  46501  fourierdlem63  46521  fourierdlem65  46523  fourierdlem79  46537  fourierdlem89  46547  fourierdlem90  46548  fourierdlem91  46549  fourierdlem101  46559  fourierdlem112  46570  qndenserrnbllem  46646  submodaddmod  47695  zplusmodne  47697