Theorem pncan2d 11589

Description: Cancellation law for subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
pncan2d	⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐴) = 𝐵)

Proof of Theorem pncan2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		pncand.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		pncan2 11482	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐴) = 𝐵)
4	1, 2, 3	syl2anc 596	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐴) = 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  (class class class)co 7423  ℂcc 11116   + caddc 11121   − cmin 11459

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-resscn 11175  ax-1cn 11176  ax-icn 11177  ax-addcl 11178  ax-addrcl 11179  ax-mulcl 11180  ax-mulrcl 11181  ax-mulcom 11182  ax-addass 11183  ax-mulass 11184  ax-distr 11185  ax-i2m1 11186  ax-1ne0 11187  ax-1rid 11188  ax-rnegex 11189  ax-rrecex 11190  ax-cnre 11191  ax-pre-lttri 11192  ax-pre-lttrn 11193  ax-pre-ltadd 11194

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-id 5561  df-po 5574  df-so 5575  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7380  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-er 8703  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-ltxr 11266  df-sub 11461

This theorem is used by:  xov1plusxeqvd  13543  fzocatel  13777  expaddzlem  14161  hashf1lem2  14513  imval2  15228  clim2ser  15732  serf0  15758  fsumrev2  15859  geolim2  15951  mertenslem2  15965  bpolydiflem  16133  addmulmodb  16348  dvdsadd2b  16389  sadadd3  16544  mulgdirlem  19202  cnsubrg  21614  coe1tmmul2fv  22476  coe1pwmulfv  22478  reperflem  25013  reconnlem2  25022  ioorcl2  25768  uniioombllem3  25781  lhop1lem  26209  dvfsumabs  26219  ftc1lem1  26231  itgparts  26243  itgsubstlem  26244  coe1mul3  26293  coemulhi  26448  abelthlem6  26636  efif1olem4  26747  efopn  26860  dcubic2  27046  birthdaylem2  27154  lgamcvg2  27256  chtdif  27359  lgsquadlem1  27581  2sqmod  27637  dchrisumlem1  27690  dchrisumlem2  27691  dchrisum0lem1b  27716  pntrlog2bndlem1  27778  pntrlog2bndlem2  27779  axsegconlem9  29312  axpaschlem  29327  cycpmco2lem3  33479  cycpmco2lem4  33480  cycpmco2lem5  33481  cycpmco2lem6  33482  cycpmco2  33484  archiabllem1a  33542  nn0constr  34182  constraddcl  34183  constrreinvcl  34193  probdif  34842  ballotlemsi  34937  knoppndvlem14  37155  knoppndvlem16  37157  bj-bary1lem1  37996  ftc1anc  38393  sticksstones12  42966  bcle2d  42987  readdrcl2d  43075  lsubrotld  43079  sumcubes  43115  jm2.27c  43775  jm3.1lem2  43786  radcnvrat  45065  binomcxplemdvbinom  45104  binomcxplemnotnn0  45107  mccllem  46354  ioodvbdlimc1lem2  46687  stirlinglem5  46833  fourierdlem7  46869  fourierdlem19  46881  fourierdlem26  46888  fourierdlem42  46904  fourierdlem63  46924  fourierdlem65  46926  fourierdlem79  46940  fourierdlem89  46950  fourierdlem90  46951  fourierdlem91  46952  fourierdlem101  46962  fourierdlem112  46973  qndenserrnbllem  47049  submodaddmod  48125  zplusmodne  48127  ppivalnnnprmge6  48419