Theorem pncan2d 11559

Description: Cancellation law for subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
pncan2d	⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐴) = 𝐵)

Proof of Theorem pncan2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		pncand.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		pncan2 11452	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐴) = 𝐵)
4	1, 2, 3	syl2anc 595	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐴) = 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1563   ∈ wcel 2145  (class class class)co 7400  ℂcc 11086   + caddc 11091   − cmin 11429

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5327  ax-pr 5395  ax-un 7722  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4869  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5547  df-po 5560  df-so 5561  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-er 8682  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-ltxr 11236  df-sub 11431

This theorem is referenced by:  xov1plusxeqvd  13516  fzocatel  13749  expaddzlem  14132  hashf1lem2  14483  imval2  15192  clim2ser  15696  serf0  15722  fsumrev2  15823  geolim2  15915  mertenslem2  15929  bpolydiflem  16098  addmulmodb  16313  dvdsadd2b  16354  sadadd3  16509  mulgdirlem  19162  cnsubrg  21537  coe1tmmul2fv  22399  coe1pwmulfv  22401  reperflem  24937  reconnlem2  24946  ioorcl2  25692  uniioombllem3  25705  lhop1lem  26133  dvfsumabs  26143  ftc1lem1  26155  itgparts  26167  itgsubstlem  26168  coe1mul3  26217  coemulhi  26372  abelthlem6  26557  efif1olem4  26668  efopn  26781  dcubic2  26967  birthdaylem2  27075  lgamcvg2  27177  chtdif  27280  lgsquadlem1  27502  2sqmod  27558  dchrisumlem1  27611  dchrisumlem2  27612  dchrisum0lem1b  27637  pntrlog2bndlem1  27699  pntrlog2bndlem2  27700  axsegconlem9  29184  axpaschlem  29199  cycpmco2lem3  33361  cycpmco2lem4  33362  cycpmco2lem5  33363  cycpmco2lem6  33364  cycpmco2  33366  archiabllem1a  33424  nn0constr  34068  constraddcl  34069  constrreinvcl  34079  probdif  34727  ballotlemsi  34822  knoppndvlem14  36976  knoppndvlem16  36978  bj-bary1lem1  37815  ftc1anc  38212  sticksstones12  42787  bcle2d  42808  readdrcl2d  42894  lsubrotld  42898  sumcubes  42934  jm2.27c  43596  jm3.1lem2  43607  radcnvrat  44888  binomcxplemdvbinom  44927  binomcxplemnotnn0  44930  mccllem  46171  ioodvbdlimc1lem2  46504  stirlinglem5  46650  fourierdlem7  46686  fourierdlem19  46698  fourierdlem26  46705  fourierdlem42  46721  fourierdlem63  46741  fourierdlem65  46743  fourierdlem79  46757  fourierdlem89  46767  fourierdlem90  46768  fourierdlem91  46769  fourierdlem101  46779  fourierdlem112  46790  qndenserrnbllem  46866  submodaddmod  47939  zplusmodne  47941  ppivalnnnprmge6  48233