Theorem pncan2d 11652

Description: Cancellation law for subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
pncan2d	⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐴) = 𝐵)

Proof of Theorem pncan2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		pncand.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		pncan2 11545	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐴) = 𝐵)
4	1, 2, 3	syl2anc 596	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐴) = 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  (class class class)co 7412  ℂcc 11179   + caddc 11184   − cmin 11522

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740  ax-resscn 11238  ax-1cn 11239  ax-icn 11240  ax-addcl 11241  ax-addrcl 11242  ax-mulcl 11243  ax-mulrcl 11244  ax-mulcom 11245  ax-addass 11246  ax-mulass 11247  ax-distr 11248  ax-i2m1 11249  ax-1ne0 11250  ax-1rid 11251  ax-rnegex 11252  ax-rrecex 11253  ax-cnre 11254  ax-pre-lttri 11255  ax-pre-lttrn 11256  ax-pre-ltadd 11257

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5546  df-po 5559  df-so 5560  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-er 8701  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-ltxr 11329  df-sub 11524

This theorem is used by:  xov1plusxeqvd  13610  fzocatel  13844  expaddzlem  14228  hashf1lem2  14581  imval2  15298  clim2ser  15802  serf0  15828  fsumrev2  15928  geolim2  16020  mertenslem2  16034  bpolydiflem  16200  addmulmodb  16415  dvdsadd2b  16456  sadadd3  16611  mulgdirlem  19295  cnsubrg  21713  coe1tmmul2fv  22577  coe1pwmulfv  22579  reperflem  25118  reconnlem2  25127  ioorcl2  25873  uniioombllem3  25886  lhop1lem  26313  dvfsumabs  26323  ftc1lem1  26335  itgparts  26347  itgsubstlem  26348  coe1mul3  26397  coemulhi  26553  abelthlem6  26745  efif1olem4  26855  efopn  26968  dcubic2  27154  birthdaylem2  27262  lgamcvg2  27364  chtdif  27467  2sqmod  27745  dchrisumlem1  27798  dchrisumlem2  27799  dchrisum0lem1b  27824  pntrlog2bndlem1  27886  pntrlog2bndlem2  27887  axsegconlem9  29485  axpaschlem  29500  cycpmco2lem3  33671  cycpmco2lem4  33672  cycpmco2lem5  33673  cycpmco2lem6  33674  cycpmco2  33676  archiabllem1a  33734  nn0constr  34375  constraddcl  34376  constrreinvcl  34386  probdif  35035  ballotlemsi  35130  knoppndvlem14  37361  knoppndvlem16  37363  bj-bary1lem1  38200  ftc1anc  38587  sticksstones12  43176  bcle2d  43197  readdrcl2d  43300  lsubrotld  43302  sumcubes  43338  jm2.27c  43967  jm3.1lem2  43978  radcnvrat  45257  binomcxplemdvbinom  45296  binomcxplemnotnn0  45299  mccllem  46553  ioodvbdlimc1lem2  46886  stirlinglem5  47032  fourierdlem7  47068  fourierdlem19  47080  fourierdlem26  47087  fourierdlem42  47103  fourierdlem63  47123  fourierdlem65  47125  fourierdlem79  47139  fourierdlem89  47149  fourierdlem90  47150  fourierdlem91  47151  fourierdlem101  47161  fourierdlem112  47172  qndenserrnbllem  47248  submodaddmod  48361  zplusmodne  48363  ppivalnnnprmge6  48655