Theorem pncan2d 11649

Description: Cancellation law for subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
pncan2d	⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐴) = 𝐵)

Proof of Theorem pncan2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		pncand.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		pncan2 11543	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐴) = 𝐵)
4	1, 2, 3	syl2anc 583	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐴) = 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  (class class class)co 7448  ℂcc 11182   + caddc 11187   − cmin 11520

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-po 5607  df-so 5608  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-ltxr 11329  df-sub 11522

This theorem is referenced by:  xov1plusxeqvd  13558  fzocatel  13780  expaddzlem  14156  hashf1lem2  14505  imval2  15200  clim2ser  15703  serf0  15729  fsumrev2  15830  geolim2  15919  mertenslem2  15933  bpolydiflem  16102  dvdsadd2b  16354  sadadd3  16507  mulgdirlem  19145  cnsubrg  21468  coe1tmmul2fv  22302  coe1pwmulfv  22304  reperflem  24859  reconnlem2  24868  ioorcl2  25626  uniioombllem3  25639  lhop1lem  26072  dvfsumabs  26083  ftc1lem1  26096  itgparts  26108  itgsubstlem  26109  coe1mul3  26158  coemulhi  26313  abelthlem6  26498  efif1olem4  26605  efopn  26718  dcubic2  26905  birthdaylem2  27013  lgamcvg2  27116  chtdif  27219  lgsquadlem1  27442  2sqmod  27498  dchrisumlem1  27551  dchrisumlem2  27552  dchrisum0lem1b  27577  pntrlog2bndlem1  27639  pntrlog2bndlem2  27640  axsegconlem9  28958  axpaschlem  28973  cycpmco2lem3  33121  cycpmco2lem4  33122  cycpmco2lem5  33123  cycpmco2lem6  33124  cycpmco2  33126  archiabllem1a  33171  probdif  34385  ballotlemsi  34479  knoppndvlem14  36491  knoppndvlem16  36493  bj-bary1lem1  37277  ftc1anc  37661  sticksstones12  42115  bcle2d  42136  readdrcl2d  42262  lsubrotld  42266  sumcubes  42301  jm2.27c  42964  jm3.1lem2  42975  radcnvrat  44283  binomcxplemdvbinom  44322  binomcxplemnotnn0  44325  mccllem  45518  ioodvbdlimc1lem2  45853  stirlinglem5  45999  fourierdlem7  46035  fourierdlem19  46047  fourierdlem26  46054  fourierdlem42  46070  fourierdlem63  46090  fourierdlem65  46092  fourierdlem79  46106  fourierdlem89  46116  fourierdlem90  46117  fourierdlem91  46118  fourierdlem101  46128  fourierdlem112  46139  qndenserrnbllem  46215