Theorem lt0ne0d 11743

Description: Something less than zero is not zero. Deduction form. (Contributed by David Moews, 28-Feb-2017.)

Hypothesis

Ref	Expression
lt0ne0d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 0)

Assertion

Ref	Expression
lt0ne0d	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)

Proof of Theorem lt0ne0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lt0ne0d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 0)
2		0re 11176	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℝ
3	2	ltnri 11283	. . . 4 ⊢ ¬ 0 < 0
4		breq1 5110	. . . 4 ⊢ (𝐴 = 0 → (𝐴 < 0 ↔ 0 < 0))
5	3, 4	mtbiri 327	. . 3 ⊢ (𝐴 = 0 → ¬ 𝐴 < 0)
6	5	necon2ai 2954	. 2 ⊢ (𝐴 < 0 → 𝐴 ≠ 0)
7	1, 6	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ≠ wne 2925   class class class wbr 5107  0cc0 11068   < clt 11208

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-addrcl 11129  ax-rnegex 11139  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-id 5533  df-po 5546  df-so 5547  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-ltxr 11213

This theorem is referenced by:  nnne0  12220  mul2lt0rlt0  13055  mbfmulc2lem  25548  coseq00topi  26411  argimlt0  26522  atantan  26833  bcm1n  32718  sgnmul  32760  sgnsub  32762  sgn0bi  32765  sgnmulsgn  32767  cos9thpiminplylem1  33772  signsvfnn  34577  sn-nnne0  42448  sn-reclt0d  42469  mulltgt0d  42470  mullt0b1d  42471  mullt0b2d  42472  sn-mullt0d  42473  reclt0d  45383  requad1  47620