Theorem lt0ne0d 11709

Description: Something less than zero is not zero. Deduction form. (Contributed by David Moews, 28-Feb-2017.)

Hypothesis

Ref	Expression
lt0ne0d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 0)

Assertion

Ref	Expression
lt0ne0d	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)

Proof of Theorem lt0ne0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lt0ne0d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 0)
2		0re 11140	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℝ
3	2	ltnri 11249	. . . 4 ⊢ ¬ 0 < 0
4		breq1 5089	. . . 4 ⊢ (𝐴 = 0 → (𝐴 < 0 ↔ 0 < 0))
5	3, 4	mtbiri 327	. . 3 ⊢ (𝐴 = 0 → ¬ 𝐴 < 0)
6	5	necon2ai 2962	. 2 ⊢ (𝐴 < 0 → 𝐴 ≠ 0)
7	1, 6	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ≠ wne 2933   class class class wbr 5086  0cc0 11032   < clt 11173

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5303  ax-pr 5371  ax-un 7683  ax-resscn 11089  ax-1cn 11090  ax-addrcl 11093  ax-rnegex 11103  ax-cnre 11105  ax-pre-lttri 11106  ax-pre-lttrn 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5520  df-po 5533  df-so 5534  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-pnf 11175  df-mnf 11176  df-ltxr 11178

This theorem is referenced by:  nnne0  12205  mul2lt0rlt0  13040  mbfmulc2lem  25627  coseq00topi  26482  argimlt0  26593  atantan  26903  bcm1n  32886  sgnmul  32926  sgnsub  32928  sgn0bi  32931  sgnmulsgn  32933  cos9thpiminplylem1  33945  signsvfnn  34749  sn-nnne0  42922  sn-reclt0d  42943  mulltgt0d  42944  mullt0b1d  42945  mullt0b2d  42946  sn-mullt0d  42947  reclt0d  45837  requad1  48113