MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lt0ne0d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lt0ne0d 11817
Description: Something less than zero is not zero. Deduction form. (Contributed by David Moews, 28-Feb-2017.)
Hypothesis
Ref Expression
lt0ne0d.1 (𝜑𝐴 < 0)
Assertion
Ref Expression
lt0ne0d (𝜑𝐴 ≠ 0)

Proof of Theorem lt0ne0d
StepHypRef Expression
1 lt0ne0d.1 . 2 (𝜑𝐴 < 0)
2 0re 11254 . . . . 5 0 ∈ ℝ
32ltnri 11361 . . . 4 ¬ 0 < 0
4 breq1 5155 . . . 4 (𝐴 = 0 → (𝐴 < 0 ↔ 0 < 0))
53, 4mtbiri 326 . . 3 (𝐴 = 0 → ¬ 𝐴 < 0)
65necon2ai 2967 . 2 (𝐴 < 0 → 𝐴 ≠ 0)
71, 6syl 17 1 (𝜑𝐴 ≠ 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1533  wne 2937   class class class wbr 5152  0cc0 11146   < clt 11286
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-addrcl 11207  ax-rnegex 11217  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-id 5580  df-po 5594  df-so 5595  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-er 8731  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-ltxr 11291
This theorem is referenced by:  nnne0  12284  mul2lt0rlt0  13116  mbfmulc2lem  25596  coseq00topi  26457  argimlt0  26567  atantan  26875  bcm1n  32584  sgnmul  34195  sgnsub  34197  sgn0bi  34200  sgnmulsgn  34202  signsvfnn  34251  sn-nnne0  42034  reclt0d  44798  requad1  46991
  Copyright terms: Public domain W3C validator