MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lt0ne0d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lt0ne0d 11780
Description: Something less than zero is not zero. Deduction form. (Contributed by David Moews, 28-Feb-2017.)
Hypothesis
Ref Expression
lt0ne0d.1 (𝜑𝐴 < 0)
Assertion
Ref Expression
lt0ne0d (𝜑𝐴 ≠ 0)

Proof of Theorem lt0ne0d
StepHypRef Expression
1 lt0ne0d.1 . 2 (𝜑𝐴 < 0)
2 0re 11217 . . . . 5 0 ∈ ℝ
32ltnri 11324 . . . 4 ¬ 0 < 0
4 breq1 5144 . . . 4 (𝐴 = 0 → (𝐴 < 0 ↔ 0 < 0))
53, 4mtbiri 327 . . 3 (𝐴 = 0 → ¬ 𝐴 < 0)
65necon2ai 2964 . 2 (𝐴 < 0 → 𝐴 ≠ 0)
71, 6syl 17 1 (𝜑𝐴 ≠ 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1533  wne 2934   class class class wbr 5141  0cc0 11109   < clt 11249
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-addrcl 11170  ax-rnegex 11180  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-po 5581  df-so 5582  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-ltxr 11254
This theorem is referenced by:  nnne0  12247  mul2lt0rlt0  13079  mbfmulc2lem  25526  coseq00topi  26387  argimlt0  26497  atantan  26805  bcm1n  32510  sgnmul  34070  sgnsub  34072  sgn0bi  34075  sgnmulsgn  34077  signsvfnn  34126  sn-nnne0  41881  reclt0d  44651  requad1  46844
  Copyright terms: Public domain W3C validator