Theorem lt0ne0d 11891

Description: Something less than zero is not zero. Deduction form. (Contributed by David Moews, 28-Feb-2017.)

Hypothesis

Ref	Expression
lt0ne0d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 0)

Assertion

Ref	Expression
lt0ne0d	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)

Proof of Theorem lt0ne0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lt0ne0d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 0)
2		0re 11320	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℝ
3	2	ltnri 11429	. . . 4 ⊢ ¬ 0 < 0
4		breq1 5108	. . . 4 ⊢ (𝐴 = 0 → (𝐴 < 0 ↔ 0 < 0))
5	3, 4	mtbiri 330	. . 3 ⊢ (𝐴 = 0 → ¬ 𝐴 < 0)
6	5	necon2ai 2987	. 2 ⊢ (𝐴 < 0 → 𝐴 ≠ 0)
7	1, 6	syl 18	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1569   ≠ wne 2958   class class class wbr 5105  0cc0 11210   < clt 11353

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-sep 5251  ax-nul 5262  ax-pow 5330  ax-pr 5394  ax-un 7758  ax-resscn 11267  ax-1cn 11268  ax-addrcl 11271  ax-rnegex 11281  ax-cnre 11283  ax-pre-lttri 11284  ax-pre-lttrn 11285

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3416  df-v 3455  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-ss 3900  df-dif 4049  df-in 4093  df-un 4153  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4838  df-uni 4870  df-br 5106  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-id 5549  df-po 5562  df-so 5563  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-iota 6500  df-fun 6548  df-fn 6549  df-f 6550  df-f1 6551  df-fo 6552  df-f1o 6553  df-fv 6554  df-er 8728  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11355  df-mnf 11356  df-ltxr 11358

This theorem is used by:  nnne0  12382  mul2lt0rlt0  13234  sgn0bi  15268  sgnsub  15271  sgnmul  15272  sgnmulsgn  15274  mbfmulc2lem  25980  coseq00topi  26843  argimlt0  26953  atantan  27263  bcm1n  33440  cos9thpiminplylem1  34467  signsvfnn  35268  sn-nnne0  43664  sn-reclt0d  43685  mulltgt0d  43686  mullt0b1d  43687  mullt0b2d  43688  sn-mullt0d  43689  reclt0d  46537  requad1  48859