Theorem lt0ne0d 11826

Description: Something less than zero is not zero. Deduction form. (Contributed by David Moews, 28-Feb-2017.)

Hypothesis

Ref	Expression
lt0ne0d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 0)

Assertion

Ref	Expression
lt0ne0d	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)

Proof of Theorem lt0ne0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lt0ne0d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 0)
2		0re 11261	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℝ
3	2	ltnri 11368	. . . 4 ⊢ ¬ 0 < 0
4		breq1 5151	. . . 4 ⊢ (𝐴 = 0 → (𝐴 < 0 ↔ 0 < 0))
5	3, 4	mtbiri 327	. . 3 ⊢ (𝐴 = 0 → ¬ 𝐴 < 0)
6	5	necon2ai 2968	. 2 ⊢ (𝐴 < 0 → 𝐴 ≠ 0)
7	1, 6	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1537   ≠ wne 2938   class class class wbr 5148  0cc0 11153   < clt 11293

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-addrcl 11214  ax-rnegex 11224  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-po 5597  df-so 5598  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-ltxr 11298

This theorem is referenced by:  nnne0  12298  mul2lt0rlt0  13135  mbfmulc2lem  25696  coseq00topi  26559  argimlt0  26670  atantan  26981  bcm1n  32803  sgnmul  34524  sgnsub  34526  sgn0bi  34529  sgnmulsgn  34531  signsvfnn  34580  sn-nnne0  42455  reclt0d  45337  requad1  47547