MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lt0ne0d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lt0ne0d 11720
Description: Something less than zero is not zero. Deduction form. (Contributed by David Moews, 28-Feb-2017.)
Hypothesis
Ref Expression
lt0ne0d.1 (𝜑𝐴 < 0)
Assertion
Ref Expression
lt0ne0d (𝜑𝐴 ≠ 0)

Proof of Theorem lt0ne0d
StepHypRef Expression
1 lt0ne0d.1 . 2 (𝜑𝐴 < 0)
2 0re 11157 . . . . 5 0 ∈ ℝ
32ltnri 11264 . . . 4 ¬ 0 < 0
4 breq1 5108 . . . 4 (𝐴 = 0 → (𝐴 < 0 ↔ 0 < 0))
53, 4mtbiri 326 . . 3 (𝐴 = 0 → ¬ 𝐴 < 0)
65necon2ai 2973 . 2 (𝐴 < 0 → 𝐴 ≠ 0)
71, 6syl 17 1 (𝜑𝐴 ≠ 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1541  wne 2943   class class class wbr 5105  0cc0 11051   < clt 11189
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-addrcl 11112  ax-rnegex 11122  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-id 5531  df-po 5545  df-so 5546  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-ltxr 11194
This theorem is referenced by:  nnne0  12187  mul2lt0rlt0  13017  mbfmulc2lem  25011  coseq00topi  25859  argimlt0  25968  atantan  26273  bcm1n  31698  sgnmul  33142  sgnsub  33144  sgn0bi  33147  sgnmulsgn  33149  signsvfnn  33198  sn-nnne0  40903  reclt0d  43611  requad1  45804
  Copyright terms: Public domain W3C validator