Theorem lt0ne0d 11796

Description: Something less than zero is not zero. Deduction form. (Contributed by David Moews, 28-Feb-2017.)

Hypothesis

Ref	Expression
lt0ne0d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 0)

Assertion

Ref	Expression
lt0ne0d	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)

Proof of Theorem lt0ne0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lt0ne0d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 0)
2		0re 11227	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℝ
3	2	ltnri 11336	. . . 4 ⊢ ¬ 0 < 0
4		breq1 5114	. . . 4 ⊢ (𝐴 = 0 → (𝐴 < 0 ↔ 0 < 0))
5	3, 4	mtbiri 330	. . 3 ⊢ (𝐴 = 0 → ¬ 𝐴 < 0)
6	5	necon2ai 2989	. 2 ⊢ (𝐴 < 0 → 𝐴 ≠ 0)
7	1, 6	syl 18	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ≠ wne 2960   class class class wbr 5111  0cc0 11117   < clt 11260

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-resscn 11174  ax-1cn 11175  ax-addrcl 11178  ax-rnegex 11188  ax-cnre 11190  ax-pre-lttri 11191  ax-pre-lttrn 11192

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-id 5558  df-po 5571  df-so 5572  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-er 8700  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-pnf 11262  df-mnf 11263  df-ltxr 11265

This theorem is used by:  nnne0  12287  mul2lt0rlt0  13138  sgn0bi  15166  sgnsub  15169  sgnmul  15170  sgnmulsgn  15172  mbfmulc2lem  25859  coseq00topi  26720  argimlt0  26831  atantan  27141  bcm1n  33212  cos9thpiminplylem1  34238  signsvfnn  35040  sn-nnne0  43294  sn-reclt0d  43315  mulltgt0d  43316  mullt0b1d  43317  mullt0b2d  43318  sn-mullt0d  43319  reclt0d  46162  requad1  48447