Theorem atantan 27066

Description: The arctangent function is an inverse to tan. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
atantan	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (arctan‘(tan‘𝐴)) = 𝐴)

Proof of Theorem atantan

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cosne0 26672	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (cos‘𝐴) ≠ 0)
2		atandmtan 27063	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) ≠ 0) → (tan‘𝐴) ∈ dom arctan)
3	1, 2	syldan 602	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (tan‘𝐴) ∈ dom arctan)
4		atanval 27027	. . 3 ⊢ ((tan‘𝐴) ∈ dom arctan → (arctan‘(tan‘𝐴)) = ((i / 2) · ((log‘(1 − (i · (tan‘𝐴)))) − (log‘(1 + (i · (tan‘𝐴)))))))
5	3, 4	syl 18	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (arctan‘(tan‘𝐴)) = ((i / 2) · ((log‘(1 − (i · (tan‘𝐴)))) − (log‘(1 + (i · (tan‘𝐴)))))))
6		ax-1cn 11159	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℂ
7		ax-icn 11160	. . . . . . . 8 ⊢ i ∈ ℂ
8		tancl 16186	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) ≠ 0) → (tan‘𝐴) ∈ ℂ)
9	1, 8	syldan 602	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (tan‘𝐴) ∈ ℂ)
10		mulcl 11185	. . . . . . . 8 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ (tan‘𝐴) ∈ ℂ) → (i · (tan‘𝐴)) ∈ ℂ)
11	7, 9, 10	sylancr 598	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (i · (tan‘𝐴)) ∈ ℂ)
12		addcl 11183	. . . . . . 7 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (i · (tan‘𝐴)) ∈ ℂ) → (1 + (i · (tan‘𝐴))) ∈ ℂ)
13	6, 11, 12	sylancr 598	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (1 + (i · (tan‘𝐴))) ∈ ℂ)
14		atandm2 27020	. . . . . . . 8 ⊢ ((tan‘𝐴) ∈ dom arctan ↔ ((tan‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (1 − (i · (tan‘𝐴))) ≠ 0 ∧ (1 + (i · (tan‘𝐴))) ≠ 0))
15	3, 14	sylib 221	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → ((tan‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (1 − (i · (tan‘𝐴))) ≠ 0 ∧ (1 + (i · (tan‘𝐴))) ≠ 0))
16	15	simp3d 1162	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (1 + (i · (tan‘𝐴))) ≠ 0)
17	13, 16	logcld 26713	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (log‘(1 + (i · (tan‘𝐴)))) ∈ ℂ)
18		subcl 11457	. . . . . . 7 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (i · (tan‘𝐴)) ∈ ℂ) → (1 − (i · (tan‘𝐴))) ∈ ℂ)
19	6, 11, 18	sylancr 598	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (1 − (i · (tan‘𝐴))) ∈ ℂ)
20	15	simp2d 1161	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (1 − (i · (tan‘𝐴))) ≠ 0)
21	19, 20	logcld 26713	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (log‘(1 − (i · (tan‘𝐴)))) ∈ ℂ)
22	17, 21	negsubdi2d 11586	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → -((log‘(1 + (i · (tan‘𝐴)))) − (log‘(1 − (i · (tan‘𝐴))))) = ((log‘(1 − (i · (tan‘𝐴)))) − (log‘(1 + (i · (tan‘𝐴))))))
23		efsub 16157	. . . . . . . . 9 ⊢ (((log‘(1 + (i · (tan‘𝐴)))) ∈ ℂ ∧ (log‘(1 − (i · (tan‘𝐴)))) ∈ ℂ) → (exp‘((log‘(1 + (i · (tan‘𝐴)))) − (log‘(1 − (i · (tan‘𝐴)))))) = ((exp‘(log‘(1 + (i · (tan‘𝐴))))) / (exp‘(log‘(1 − (i · (tan‘𝐴)))))))
24	17, 21, 23	syl2anc 595	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (exp‘((log‘(1 + (i · (tan‘𝐴)))) − (log‘(1 − (i · (tan‘𝐴)))))) = ((exp‘(log‘(1 + (i · (tan‘𝐴))))) / (exp‘(log‘(1 − (i · (tan‘𝐴)))))))
25		coscl 16184	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘𝐴) ∈ ℂ)
26	25	adantr 485	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (cos‘𝐴) ∈ ℂ)
27		sincl 16183	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘𝐴) ∈ ℂ)
28	27	adantr 485	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (sin‘𝐴) ∈ ℂ)
29		mulcl 11185	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) ∈ ℂ) → (i · (sin‘𝐴)) ∈ ℂ)
30	7, 28, 29	sylancr 598	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (i · (sin‘𝐴)) ∈ ℂ)
31	26, 30, 26, 1	divdird 12030	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴))) / (cos‘𝐴)) = (((cos‘𝐴) / (cos‘𝐴)) + ((i · (sin‘𝐴)) / (cos‘𝐴))))
32	26, 1	dividd 11990	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → ((cos‘𝐴) / (cos‘𝐴)) = 1)
33	7	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → i ∈ ℂ)
34	33, 28, 26, 1	divassd 12027	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → ((i · (sin‘𝐴)) / (cos‘𝐴)) = (i · ((sin‘𝐴) / (cos‘𝐴))))
35		tanval 16185	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) ≠ 0) → (tan‘𝐴) = ((sin‘𝐴) / (cos‘𝐴)))
36	1, 35	syldan 602	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (tan‘𝐴) = ((sin‘𝐴) / (cos‘𝐴)))
37	36	oveq2d 7428	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (i · (tan‘𝐴)) = (i · ((sin‘𝐴) / (cos‘𝐴))))
38	34, 37	eqtr4d 2801	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → ((i · (sin‘𝐴)) / (cos‘𝐴)) = (i · (tan‘𝐴)))
39	32, 38	oveq12d 7430	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (((cos‘𝐴) / (cos‘𝐴)) + ((i · (sin‘𝐴)) / (cos‘𝐴))) = (1 + (i · (tan‘𝐴))))
40	31, 39	eqtrd 2798	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴))) / (cos‘𝐴)) = (1 + (i · (tan‘𝐴))))
41		efival 16209	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(i · 𝐴)) = ((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴))))
42	41	adantr 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (exp‘(i · 𝐴)) = ((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴))))
43	42	oveq1d 7427	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → ((exp‘(i · 𝐴)) / (cos‘𝐴)) = (((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴))) / (cos‘𝐴)))
44		eflog 26719	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((1 + (i · (tan‘𝐴))) ∈ ℂ ∧ (1 + (i · (tan‘𝐴))) ≠ 0) → (exp‘(log‘(1 + (i · (tan‘𝐴))))) = (1 + (i · (tan‘𝐴))))
45	13, 16, 44	syl2anc 595	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (exp‘(log‘(1 + (i · (tan‘𝐴))))) = (1 + (i · (tan‘𝐴))))
46	40, 43, 45	3eqtr4d 2808	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → ((exp‘(i · 𝐴)) / (cos‘𝐴)) = (exp‘(log‘(1 + (i · (tan‘𝐴))))))
47	26, 30, 26, 1	divsubdird 12031	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (((cos‘𝐴) − (i · (sin‘𝐴))) / (cos‘𝐴)) = (((cos‘𝐴) / (cos‘𝐴)) − ((i · (sin‘𝐴)) / (cos‘𝐴))))
48	32, 38	oveq12d 7430	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (((cos‘𝐴) / (cos‘𝐴)) − ((i · (sin‘𝐴)) / (cos‘𝐴))) = (1 − (i · (tan‘𝐴))))
49	47, 48	eqtrd 2798	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (((cos‘𝐴) − (i · (sin‘𝐴))) / (cos‘𝐴)) = (1 − (i · (tan‘𝐴))))
50		negcl 11458	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -𝐴 ∈ ℂ)
51	50	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → -𝐴 ∈ ℂ)
52		efival 16209	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (-𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(i · -𝐴)) = ((cos‘-𝐴) + (i · (sin‘-𝐴))))
53	51, 52	syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (exp‘(i · -𝐴)) = ((cos‘-𝐴) + (i · (sin‘-𝐴))))
54		cosneg 16204	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘-𝐴) = (cos‘𝐴))
55	54	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (cos‘-𝐴) = (cos‘𝐴))
56		sinneg 16203	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘-𝐴) = -(sin‘𝐴))
57	56	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (sin‘-𝐴) = -(sin‘𝐴))
58	57	oveq2d 7428	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (i · (sin‘-𝐴)) = (i · -(sin‘𝐴)))
59		mulneg2 11652	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) ∈ ℂ) → (i · -(sin‘𝐴)) = -(i · (sin‘𝐴)))
60	7, 28, 59	sylancr 598	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (i · -(sin‘𝐴)) = -(i · (sin‘𝐴)))
61	58, 60	eqtrd 2798	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (i · (sin‘-𝐴)) = -(i · (sin‘𝐴)))
62	55, 61	oveq12d 7430	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → ((cos‘-𝐴) + (i · (sin‘-𝐴))) = ((cos‘𝐴) + -(i · (sin‘𝐴))))
63	53, 62	eqtrd 2798	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (exp‘(i · -𝐴)) = ((cos‘𝐴) + -(i · (sin‘𝐴))))
64		simpl 487	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → 𝐴 ∈ ℂ)
65		mulneg2 11652	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (i · -𝐴) = -(i · 𝐴))
66	7, 64, 65	sylancr 598	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (i · -𝐴) = -(i · 𝐴))
67	66	fveq2d 6887	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (exp‘(i · -𝐴)) = (exp‘-(i · 𝐴)))
68	26, 30	negsubd 11576	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → ((cos‘𝐴) + -(i · (sin‘𝐴))) = ((cos‘𝐴) − (i · (sin‘𝐴))))
69	63, 67, 68	3eqtr3d 2806	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (exp‘-(i · 𝐴)) = ((cos‘𝐴) − (i · (sin‘𝐴))))
70	69	oveq1d 7427	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → ((exp‘-(i · 𝐴)) / (cos‘𝐴)) = (((cos‘𝐴) − (i · (sin‘𝐴))) / (cos‘𝐴)))
71		eflog 26719	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((1 − (i · (tan‘𝐴))) ∈ ℂ ∧ (1 − (i · (tan‘𝐴))) ≠ 0) → (exp‘(log‘(1 − (i · (tan‘𝐴))))) = (1 − (i · (tan‘𝐴))))
72	19, 20, 71	syl2anc 595	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (exp‘(log‘(1 − (i · (tan‘𝐴))))) = (1 − (i · (tan‘𝐴))))
73	49, 70, 72	3eqtr4d 2808	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → ((exp‘-(i · 𝐴)) / (cos‘𝐴)) = (exp‘(log‘(1 − (i · (tan‘𝐴))))))
74	46, 73	oveq12d 7430	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (((exp‘(i · 𝐴)) / (cos‘𝐴)) / ((exp‘-(i · 𝐴)) / (cos‘𝐴))) = ((exp‘(log‘(1 + (i · (tan‘𝐴))))) / (exp‘(log‘(1 − (i · (tan‘𝐴)))))))
75		mulcl 11185	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
76	7, 64, 75	sylancr 598	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
77		efcl 16137	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((i · 𝐴) ∈ ℂ → (exp‘(i · 𝐴)) ∈ ℂ)
78	76, 77	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (exp‘(i · 𝐴)) ∈ ℂ)
79	76	negcld 11557	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → -(i · 𝐴) ∈ ℂ)
80		efcl 16137	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (-(i · 𝐴) ∈ ℂ → (exp‘-(i · 𝐴)) ∈ ℂ)
81	79, 80	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (exp‘-(i · 𝐴)) ∈ ℂ)
82		efne0 16153	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (-(i · 𝐴) ∈ ℂ → (exp‘-(i · 𝐴)) ≠ 0)
83	79, 82	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (exp‘-(i · 𝐴)) ≠ 0)
84	78, 81, 26, 83, 1	divcan7d 12020	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (((exp‘(i · 𝐴)) / (cos‘𝐴)) / ((exp‘-(i · 𝐴)) / (cos‘𝐴))) = ((exp‘(i · 𝐴)) / (exp‘-(i · 𝐴))))
85		efsub 16157	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((i · 𝐴) ∈ ℂ ∧ -(i · 𝐴) ∈ ℂ) → (exp‘((i · 𝐴) − -(i · 𝐴))) = ((exp‘(i · 𝐴)) / (exp‘-(i · 𝐴))))
86	76, 79, 85	syl2anc 595	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (exp‘((i · 𝐴) − -(i · 𝐴))) = ((exp‘(i · 𝐴)) / (exp‘-(i · 𝐴))))
87	76, 76	subnegd 11577	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → ((i · 𝐴) − -(i · 𝐴)) = ((i · 𝐴) + (i · 𝐴)))
88	76	2timesd 12488	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (2 · (i · 𝐴)) = ((i · 𝐴) + (i · 𝐴)))
89	87, 88	eqtr4d 2801	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → ((i · 𝐴) − -(i · 𝐴)) = (2 · (i · 𝐴)))
90	89	fveq2d 6887	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (exp‘((i · 𝐴) − -(i · 𝐴))) = (exp‘(2 · (i · 𝐴))))
91	84, 86, 90	3eqtr2d 2804	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (((exp‘(i · 𝐴)) / (cos‘𝐴)) / ((exp‘-(i · 𝐴)) / (cos‘𝐴))) = (exp‘(2 · (i · 𝐴))))
92	24, 74, 91	3eqtr2d 2804	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (exp‘((log‘(1 + (i · (tan‘𝐴)))) − (log‘(1 − (i · (tan‘𝐴)))))) = (exp‘(2 · (i · 𝐴))))
93	92	fveq2d 6887	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (log‘(exp‘((log‘(1 + (i · (tan‘𝐴)))) − (log‘(1 − (i · (tan‘𝐴))))))) = (log‘(exp‘(2 · (i · 𝐴)))))
94	64	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) ∧ (ℜ‘𝐴) < 0) → 𝐴 ∈ ℂ)
95	94	renegd 15262	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) ∧ (ℜ‘𝐴) < 0) → (ℜ‘-𝐴) = -(ℜ‘𝐴))
96	94	recld 15247	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) ∧ (ℜ‘𝐴) < 0) → (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ)
97	96	renegcld 11642	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) ∧ (ℜ‘𝐴) < 0) → -(ℜ‘𝐴) ∈ ℝ)
98		simpr 489	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) ∧ (ℜ‘𝐴) < 0) → (ℜ‘𝐴) < 0)
99	96	lt0neg1d 11784	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) ∧ (ℜ‘𝐴) < 0) → ((ℜ‘𝐴) < 0 ↔ 0 < -(ℜ‘𝐴)))
100	98, 99	mpbid 235	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) ∧ (ℜ‘𝐴) < 0) → 0 < -(ℜ‘𝐴))
101		eliooord 13433	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)) → (-(π / 2) < (ℜ‘𝐴) ∧ (ℜ‘𝐴) < (π / 2)))
102	101	adantl 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (-(π / 2) < (ℜ‘𝐴) ∧ (ℜ‘𝐴) < (π / 2)))
103	102	simpld 499	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → -(π / 2) < (ℜ‘𝐴))
104	103	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) ∧ (ℜ‘𝐴) < 0) → -(π / 2) < (ℜ‘𝐴))
105		halfpire 26607	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (π / 2) ∈ ℝ
106		ltnegcon1 11716	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((π / 2) ∈ ℝ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ) → (-(π / 2) < (ℜ‘𝐴) ↔ -(ℜ‘𝐴) < (π / 2)))
107	105, 96, 106	sylancr 598	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) ∧ (ℜ‘𝐴) < 0) → (-(π / 2) < (ℜ‘𝐴) ↔ -(ℜ‘𝐴) < (π / 2)))
108	104, 107	mpbid 235	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) ∧ (ℜ‘𝐴) < 0) → -(ℜ‘𝐴) < (π / 2))
109		0xr 11257	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 0 ∈ ℝ*
110	105	rexri 11268	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (π / 2) ∈ ℝ*
111		elioo2 13414	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ (π / 2) ∈ ℝ*) → (-(ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2)) ↔ (-(ℜ‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 < -(ℜ‘𝐴) ∧ -(ℜ‘𝐴) < (π / 2))))
112	109, 110, 111	mp2an 704	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (-(ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2)) ↔ (-(ℜ‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 < -(ℜ‘𝐴) ∧ -(ℜ‘𝐴) < (π / 2)))
113	97, 100, 108, 112	syl3anbrc 1362	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) ∧ (ℜ‘𝐴) < 0) → -(ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2)))
114	95, 113	eqeltrd 2863	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) ∧ (ℜ‘𝐴) < 0) → (ℜ‘-𝐴) ∈ (0(,)(π / 2)))
115		tanregt0 26682	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((-𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘-𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → 0 < (ℜ‘(tan‘-𝐴)))
116	51, 114, 115	syl2an2r 697	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) ∧ (ℜ‘𝐴) < 0) → 0 < (ℜ‘(tan‘-𝐴)))
117		tanneg 16205	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) ≠ 0) → (tan‘-𝐴) = -(tan‘𝐴))
118	1, 117	syldan 602	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (tan‘-𝐴) = -(tan‘𝐴))
119	118	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) ∧ (ℜ‘𝐴) < 0) → (tan‘-𝐴) = -(tan‘𝐴))
120	119	fveq2d 6887	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) ∧ (ℜ‘𝐴) < 0) → (ℜ‘(tan‘-𝐴)) = (ℜ‘-(tan‘𝐴)))
121	9	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) ∧ (ℜ‘𝐴) < 0) → (tan‘𝐴) ∈ ℂ)
122	121	renegd 15262	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) ∧ (ℜ‘𝐴) < 0) → (ℜ‘-(tan‘𝐴)) = -(ℜ‘(tan‘𝐴)))
123	120, 122	eqtrd 2798	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) ∧ (ℜ‘𝐴) < 0) → (ℜ‘(tan‘-𝐴)) = -(ℜ‘(tan‘𝐴)))
124	116, 123	breqtrd 5138	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) ∧ (ℜ‘𝐴) < 0) → 0 < -(ℜ‘(tan‘𝐴)))
125	9	recld 15247	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (ℜ‘(tan‘𝐴)) ∈ ℝ)
126	125	adantr 485	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) ∧ (ℜ‘𝐴) < 0) → (ℜ‘(tan‘𝐴)) ∈ ℝ)
127	126	lt0neg1d 11784	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) ∧ (ℜ‘𝐴) < 0) → ((ℜ‘(tan‘𝐴)) < 0 ↔ 0 < -(ℜ‘(tan‘𝐴))))
128	124, 127	mpbird 260	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) ∧ (ℜ‘𝐴) < 0) → (ℜ‘(tan‘𝐴)) < 0)
129	128	lt0ne0d 11780	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) ∧ (ℜ‘𝐴) < 0) → (ℜ‘(tan‘𝐴)) ≠ 0)
130		atanlogsub 27059	. . . . . . . . 9 ⊢ (((tan‘𝐴) ∈ dom arctan ∧ (ℜ‘(tan‘𝐴)) ≠ 0) → ((log‘(1 + (i · (tan‘𝐴)))) − (log‘(1 − (i · (tan‘𝐴))))) ∈ ran log)
131	3, 129, 130	syl2an2r 697	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) ∧ (ℜ‘𝐴) < 0) → ((log‘(1 + (i · (tan‘𝐴)))) − (log‘(1 − (i · (tan‘𝐴))))) ∈ ran log)
132		1re 11209	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1 ∈ ℝ
133		ioossre 13435	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (-1(,)1) ⊆ ℝ
134	7	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) ∧ (ℜ‘𝐴) = 0) → i ∈ ℂ)
135	11	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) ∧ (ℜ‘𝐴) = 0) → (i · (tan‘𝐴)) ∈ ℂ)
136		ine0 11650	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ i ≠ 0
137	136	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) ∧ (ℜ‘𝐴) = 0) → i ≠ 0)
138		ixi 11844	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (i · i) = -1
139	138	oveq1i 7422	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((i · i) · (tan‘𝐴)) = (-1 · (tan‘𝐴))
140	9	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) ∧ (ℜ‘𝐴) = 0) → (tan‘𝐴) ∈ ℂ)
141	140	mulm1d 11667	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) ∧ (ℜ‘𝐴) = 0) → (-1 · (tan‘𝐴)) = -(tan‘𝐴))
142	118	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) ∧ (ℜ‘𝐴) = 0) → (tan‘-𝐴) = -(tan‘𝐴))
143	141, 142	eqtr4d 2801	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) ∧ (ℜ‘𝐴) = 0) → (-1 · (tan‘𝐴)) = (tan‘-𝐴))
144	139, 143	eqtrid 2810	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) ∧ (ℜ‘𝐴) = 0) → ((i · i) · (tan‘𝐴)) = (tan‘-𝐴))
145	134, 134, 140	mulassd 11233	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) ∧ (ℜ‘𝐴) = 0) → ((i · i) · (tan‘𝐴)) = (i · (i · (tan‘𝐴))))
146	138	oveq1i 7422	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((i · i) · 𝐴) = (-1 · 𝐴)
147	64	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) ∧ (ℜ‘𝐴) = 0) → 𝐴 ∈ ℂ)
148	147	mulm1d 11667	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) ∧ (ℜ‘𝐴) = 0) → (-1 · 𝐴) = -𝐴)
149	146, 148	eqtrid 2810	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) ∧ (ℜ‘𝐴) = 0) → ((i · i) · 𝐴) = -𝐴)
150	134, 134, 147	mulassd 11233	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) ∧ (ℜ‘𝐴) = 0) → ((i · i) · 𝐴) = (i · (i · 𝐴)))
151	149, 150	eqtr3d 2800	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) ∧ (ℜ‘𝐴) = 0) → -𝐴 = (i · (i · 𝐴)))
152	151	fveq2d 6887	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) ∧ (ℜ‘𝐴) = 0) → (tan‘-𝐴) = (tan‘(i · (i · 𝐴))))
153	144, 145, 152	3eqtr3d 2806	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) ∧ (ℜ‘𝐴) = 0) → (i · (i · (tan‘𝐴))) = (tan‘(i · (i · 𝐴))))
154	134, 135, 137, 153	mvllmuld 12048	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) ∧ (ℜ‘𝐴) = 0) → (i · (tan‘𝐴)) = ((tan‘(i · (i · 𝐴))) / i))
155	76	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) ∧ (ℜ‘𝐴) = 0) → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
156		reim 15162	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘𝐴) = (ℑ‘(i · 𝐴)))
157	156	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (ℜ‘𝐴) = (ℑ‘(i · 𝐴)))
158	157	eqeq1d 2765	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → ((ℜ‘𝐴) = 0 ↔ (ℑ‘(i · 𝐴)) = 0))
159	158	biimpa 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) ∧ (ℜ‘𝐴) = 0) → (ℑ‘(i · 𝐴)) = 0)
160	155, 159	reim0bd 15253	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) ∧ (ℜ‘𝐴) = 0) → (i · 𝐴) ∈ ℝ)
161		tanhbnd 16218	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((i · 𝐴) ∈ ℝ → ((tan‘(i · (i · 𝐴))) / i) ∈ (-1(,)1))
162	160, 161	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) ∧ (ℜ‘𝐴) = 0) → ((tan‘(i · (i · 𝐴))) / i) ∈ (-1(,)1))
163	154, 162	eqeltrd 2863	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) ∧ (ℜ‘𝐴) = 0) → (i · (tan‘𝐴)) ∈ (-1(,)1))
164	133, 163	sselid 3936	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) ∧ (ℜ‘𝐴) = 0) → (i · (tan‘𝐴)) ∈ ℝ)
165		readdcl 11184	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ (i · (tan‘𝐴)) ∈ ℝ) → (1 + (i · (tan‘𝐴))) ∈ ℝ)
166	132, 164, 165	sylancr 598	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) ∧ (ℜ‘𝐴) = 0) → (1 + (i · (tan‘𝐴))) ∈ ℝ)
167		df-neg 11445	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ -1 = (0 − 1)
168		eliooord 13433	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((i · (tan‘𝐴)) ∈ (-1(,)1) → (-1 < (i · (tan‘𝐴)) ∧ (i · (tan‘𝐴)) < 1))
169	163, 168	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) ∧ (ℜ‘𝐴) = 0) → (-1 < (i · (tan‘𝐴)) ∧ (i · (tan‘𝐴)) < 1))
170	169	simpld 499	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) ∧ (ℜ‘𝐴) = 0) → -1 < (i · (tan‘𝐴)))
171	167, 170	eqbrtrrid 5148	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) ∧ (ℜ‘𝐴) = 0) → (0 − 1) < (i · (tan‘𝐴)))
172		0red 11212	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) ∧ (ℜ‘𝐴) = 0) → 0 ∈ ℝ)
173	132	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) ∧ (ℜ‘𝐴) = 0) → 1 ∈ ℝ)
174	172, 173, 164	ltsubadd2d 11813	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) ∧ (ℜ‘𝐴) = 0) → ((0 − 1) < (i · (tan‘𝐴)) ↔ 0 < (1 + (i · (tan‘𝐴)))))
175	171, 174	mpbid 235	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) ∧ (ℜ‘𝐴) = 0) → 0 < (1 + (i · (tan‘𝐴))))
176	166, 175	elrpd 13058	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) ∧ (ℜ‘𝐴) = 0) → (1 + (i · (tan‘𝐴))) ∈ ℝ+)
177	176	relogcld 26766	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) ∧ (ℜ‘𝐴) = 0) → (log‘(1 + (i · (tan‘𝐴)))) ∈ ℝ)
178	169	simprd 500	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) ∧ (ℜ‘𝐴) = 0) → (i · (tan‘𝐴)) < 1)
179		difrp 13057	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((i · (tan‘𝐴)) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((i · (tan‘𝐴)) < 1 ↔ (1 − (i · (tan‘𝐴))) ∈ ℝ+))
180	164, 132, 179	sylancl 597	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) ∧ (ℜ‘𝐴) = 0) → ((i · (tan‘𝐴)) < 1 ↔ (1 − (i · (tan‘𝐴))) ∈ ℝ+))
181	178, 180	mpbid 235	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) ∧ (ℜ‘𝐴) = 0) → (1 − (i · (tan‘𝐴))) ∈ ℝ+)
182	181	relogcld 26766	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) ∧ (ℜ‘𝐴) = 0) → (log‘(1 − (i · (tan‘𝐴)))) ∈ ℝ)
183	177, 182	resubcld 11643	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) ∧ (ℜ‘𝐴) = 0) → ((log‘(1 + (i · (tan‘𝐴)))) − (log‘(1 − (i · (tan‘𝐴))))) ∈ ℝ)
184		relogrn 26704	. . . . . . . . 9 ⊢ (((log‘(1 + (i · (tan‘𝐴)))) − (log‘(1 − (i · (tan‘𝐴))))) ∈ ℝ → ((log‘(1 + (i · (tan‘𝐴)))) − (log‘(1 − (i · (tan‘𝐴))))) ∈ ran log)
185	183, 184	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) ∧ (ℜ‘𝐴) = 0) → ((log‘(1 + (i · (tan‘𝐴)))) − (log‘(1 − (i · (tan‘𝐴))))) ∈ ran log)
186	64	adantr 485	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → 𝐴 ∈ ℂ)
187	186	recld 15247	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ)
188		simpr 489	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → 0 < (ℜ‘𝐴))
189	102	simprd 500	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (ℜ‘𝐴) < (π / 2))
190	189	adantr 485	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (ℜ‘𝐴) < (π / 2))
191		elioo2 13414	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ (π / 2) ∈ ℝ*) → ((ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2)) ↔ ((ℜ‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 < (ℜ‘𝐴) ∧ (ℜ‘𝐴) < (π / 2))))
192	109, 110, 191	mp2an 704	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2)) ↔ ((ℜ‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 < (ℜ‘𝐴) ∧ (ℜ‘𝐴) < (π / 2)))
193	187, 188, 190, 192	syl3anbrc 1362	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2)))
194		tanregt0 26682	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → 0 < (ℜ‘(tan‘𝐴)))
195	64, 193, 194	syl2an2r 697	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → 0 < (ℜ‘(tan‘𝐴)))
196	195	gt0ne0d 11779	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (ℜ‘(tan‘𝐴)) ≠ 0)
197	3, 196, 130	syl2an2r 697	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → ((log‘(1 + (i · (tan‘𝐴)))) − (log‘(1 − (i · (tan‘𝐴))))) ∈ ran log)
198		recl 15163	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ)
199	198	adantr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ)
200		0re 11211	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ ℝ
201		lttri4 11295	. . . . . . . . 9 ⊢ (((ℜ‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → ((ℜ‘𝐴) < 0 ∨ (ℜ‘𝐴) = 0 ∨ 0 < (ℜ‘𝐴)))
202	199, 200, 201	sylancl 597	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → ((ℜ‘𝐴) < 0 ∨ (ℜ‘𝐴) = 0 ∨ 0 < (ℜ‘𝐴)))
203	131, 185, 197, 202	mpjao3dan 1459	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → ((log‘(1 + (i · (tan‘𝐴)))) − (log‘(1 − (i · (tan‘𝐴))))) ∈ ran log)
204		logef 26724	. . . . . . 7 ⊢ (((log‘(1 + (i · (tan‘𝐴)))) − (log‘(1 − (i · (tan‘𝐴))))) ∈ ran log → (log‘(exp‘((log‘(1 + (i · (tan‘𝐴)))) − (log‘(1 − (i · (tan‘𝐴))))))) = ((log‘(1 + (i · (tan‘𝐴)))) − (log‘(1 − (i · (tan‘𝐴))))))
205	203, 204	syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (log‘(exp‘((log‘(1 + (i · (tan‘𝐴)))) − (log‘(1 − (i · (tan‘𝐴))))))) = ((log‘(1 + (i · (tan‘𝐴)))) − (log‘(1 − (i · (tan‘𝐴))))))
206		2cn 12317	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℂ
207		mulcl 11185	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ (i · 𝐴) ∈ ℂ) → (2 · (i · 𝐴)) ∈ ℂ)
208	206, 76, 207	sylancr 598	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (2 · (i · 𝐴)) ∈ ℂ)
209		picn 26599	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ π ∈ ℂ
210		2ne0 12348	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ≠ 0
211		divneg 11907	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((π ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) → -(π / 2) = (-π / 2))
212	209, 206, 210, 211	mp3an 1490	. . . . . . . . . . 11 ⊢ -(π / 2) = (-π / 2)
213	212, 103	eqbrtrrid 5148	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (-π / 2) < (ℜ‘𝐴))
214		pire 26597	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ π ∈ ℝ
215	214	renegcli 11520	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ -π ∈ ℝ
216	215	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → -π ∈ ℝ)
217		2re 12316	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℝ
218	217	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → 2 ∈ ℝ)
219		2pos 12346	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 < 2
220	219	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → 0 < 2)
221		ltdivmul 12091	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((-π ∈ ℝ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((-π / 2) < (ℜ‘𝐴) ↔ -π < (2 · (ℜ‘𝐴))))
222	216, 199, 218, 220, 221	syl112anc 1401	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → ((-π / 2) < (ℜ‘𝐴) ↔ -π < (2 · (ℜ‘𝐴))))
223	213, 222	mpbid 235	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → -π < (2 · (ℜ‘𝐴)))
224		immul2 15190	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ (i · 𝐴) ∈ ℂ) → (ℑ‘(2 · (i · 𝐴))) = (2 · (ℑ‘(i · 𝐴))))
225	217, 76, 224	sylancr 598	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (ℑ‘(2 · (i · 𝐴))) = (2 · (ℑ‘(i · 𝐴))))
226	157	oveq2d 7428	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (2 · (ℜ‘𝐴)) = (2 · (ℑ‘(i · 𝐴))))
227	225, 226	eqtr4d 2801	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (ℑ‘(2 · (i · 𝐴))) = (2 · (ℜ‘𝐴)))
228	223, 227	breqtrrd 5140	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → -π < (ℑ‘(2 · (i · 𝐴))))
229		remulcl 11186	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ) → (2 · (ℜ‘𝐴)) ∈ ℝ)
230	217, 199, 229	sylancr 598	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (2 · (ℜ‘𝐴)) ∈ ℝ)
231	214	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → π ∈ ℝ)
232		ltmuldiv2 12090	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((ℜ‘𝐴) ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((2 · (ℜ‘𝐴)) < π ↔ (ℜ‘𝐴) < (π / 2)))
233	199, 231, 218, 220, 232	syl112anc 1401	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → ((2 · (ℜ‘𝐴)) < π ↔ (ℜ‘𝐴) < (π / 2)))
234	189, 233	mpbird 260	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (2 · (ℜ‘𝐴)) < π)
235	230, 231, 234	ltled 11359	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (2 · (ℜ‘𝐴)) ≤ π)
236	227, 235	eqbrtrd 5134	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (ℑ‘(2 · (i · 𝐴))) ≤ π)
237		ellogrn 26702	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 · (i · 𝐴)) ∈ ran log ↔ ((2 · (i · 𝐴)) ∈ ℂ ∧ -π < (ℑ‘(2 · (i · 𝐴))) ∧ (ℑ‘(2 · (i · 𝐴))) ≤ π))
238	208, 228, 236, 237	syl3anbrc 1362	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (2 · (i · 𝐴)) ∈ ran log)
239		logef 26724	. . . . . . 7 ⊢ ((2 · (i · 𝐴)) ∈ ran log → (log‘(exp‘(2 · (i · 𝐴)))) = (2 · (i · 𝐴)))
240	238, 239	syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (log‘(exp‘(2 · (i · 𝐴)))) = (2 · (i · 𝐴)))
241	93, 205, 240	3eqtr3d 2806	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → ((log‘(1 + (i · (tan‘𝐴)))) − (log‘(1 − (i · (tan‘𝐴))))) = (2 · (i · 𝐴)))
242	241	negeqd 11452	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → -((log‘(1 + (i · (tan‘𝐴)))) − (log‘(1 − (i · (tan‘𝐴))))) = -(2 · (i · 𝐴)))
243	22, 242	eqtr3d 2800	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → ((log‘(1 − (i · (tan‘𝐴)))) − (log‘(1 + (i · (tan‘𝐴))))) = -(2 · (i · 𝐴)))
244	243	oveq2d 7428	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → ((i / 2) · ((log‘(1 − (i · (tan‘𝐴)))) − (log‘(1 + (i · (tan‘𝐴)))))) = ((i / 2) · -(2 · (i · 𝐴))))
245		halfcl 12471	. . . . 5 ⊢ (i ∈ ℂ → (i / 2) ∈ ℂ)
246	7, 245	mp1i 14	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (i / 2) ∈ ℂ)
247	206	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → 2 ∈ ℂ)
248	246, 247, 79	mulassd 11233	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (((i / 2) · 2) · -(i · 𝐴)) = ((i / 2) · (2 · -(i · 𝐴))))
249	7, 206, 210	divcan1i 11960	. . . . 5 ⊢ ((i / 2) · 2) = i
250	249	oveq1i 7422	. . . 4 ⊢ (((i / 2) · 2) · -(i · 𝐴)) = (i · -(i · 𝐴))
251	33, 33, 51	mulassd 11233	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → ((i · i) · -𝐴) = (i · (i · -𝐴)))
252	138	oveq1i 7422	. . . . . 6 ⊢ ((i · i) · -𝐴) = (-1 · -𝐴)
253		mul2neg 11654	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (-1 · -𝐴) = (1 · 𝐴))
254	6, 64, 253	sylancr 598	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (-1 · -𝐴) = (1 · 𝐴))
255		mullid 11208	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (1 · 𝐴) = 𝐴)
256	255	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (1 · 𝐴) = 𝐴)
257	254, 256	eqtrd 2798	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (-1 · -𝐴) = 𝐴)
258	252, 257	eqtrid 2810	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → ((i · i) · -𝐴) = 𝐴)
259	66	oveq2d 7428	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (i · (i · -𝐴)) = (i · -(i · 𝐴)))
260	251, 258, 259	3eqtr3rd 2807	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (i · -(i · 𝐴)) = 𝐴)
261	250, 260	eqtrid 2810	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (((i / 2) · 2) · -(i · 𝐴)) = 𝐴)
262		mulneg2 11652	. . . . 5 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ (i · 𝐴) ∈ ℂ) → (2 · -(i · 𝐴)) = -(2 · (i · 𝐴)))
263	206, 76, 262	sylancr 598	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (2 · -(i · 𝐴)) = -(2 · (i · 𝐴)))
264	263	oveq2d 7428	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → ((i / 2) · (2 · -(i · 𝐴))) = ((i / 2) · -(2 · (i · 𝐴))))
265	248, 261, 264	3eqtr3rd 2807	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → ((i / 2) · -(2 · (i · 𝐴))) = 𝐴)
266	5, 244, 265	3eqtrd 2802	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (arctan‘(tan‘𝐴)) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∨ w3o 1102   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958   class class class wbr 5110  dom cdm 5663  ran crn 5664  ‘cfv 6538  (class class class)co 7412  ℂcc 11099  ℝcr 11100  0cc0 11101  1c1 11102  ici 11103   + caddc 11104   · cmul 11106  ℝ^*cxr 11243   < clt 11244   ≤ cle 11245   − cmin 11442  -cneg 11443   / cdiv 11872  2c2 12296  ℝ⁺crp 13017  (,)cioo 13373  ℜcre 15150  ℑcim 15151  expce 16116  sincsin 16118  cosccos 16119  tanctan 16120  πcpi 16121  logclog 26697  arctancatan 27007

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-inf2 9611  ax-cnex 11157  ax-resscn 11158  ax-1cn 11159  ax-icn 11160  ax-addcl 11161  ax-addrcl 11162  ax-mulcl 11163  ax-mulrcl 11164  ax-mulcom 11165  ax-addass 11166  ax-mulass 11167  ax-distr 11168  ax-i2m1 11169  ax-1ne0 11170  ax-1rid 11171  ax-rnegex 11172  ax-rrecex 11173  ax-cnre 11174  ax-pre-lttri 11175  ax-pre-lttrn 11176  ax-pre-ltadd 11177  ax-pre-mulgt0 11178  ax-pre-sup 11179  ax-addf 11180

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-tp 4595  df-op 4597  df-uni 4874  df-int 4914  df-iun 4959  df-iin 4960  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-se 5617  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7676  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-supp 8158  df-frecs 8279  df-wrecs 8310  df-recs 8359  df-rdg 8398  df-1o 8454  df-2o 8455  df-er 8695  df-map 8827  df-pm 8828  df-ixp 8897  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-fin 8948  df-fsupp 9323  df-fi 9372  df-sup 9403  df-inf 9404  df-oi 9473  df-card 9926  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11444  df-neg 11445  df-div 11873  df-nn 12235  df-2 12304  df-3 12305  df-4 12306  df-5 12307  df-6 12308  df-7 12309  df-8 12310  df-9 12311  df-n0 12506  df-z 12593  df-dec 12713  df-uz 12864  df-q 12974  df-rp 13018  df-xneg 13138  df-xadd 13139  df-xmul 13140  df-ioo 13377  df-ioc 13378  df-ico 13379  df-icc 13380  df-fz 13537  df-fzo 13685  df-fl 13827  df-mod 13905  df-seq 14040  df-exp 14100  df-fac 14312  df-bc 14341  df-hash 14369  df-shft 15106  df-cj 15152  df-re 15153  df-im 15154  df-sqrt 15288  df-abs 15289  df-limsup 15524  df-clim 15541  df-rlim 15542  df-sum 15740  df-ef 16122  df-sin 16124  df-cos 16125  df-tan 16126  df-pi 16127  df-struct 17208  df-sets 17225  df-slot 17243  df-ndx 17255  df-base 17271  df-ress 17292  df-plusg 17324  df-mulr 17325  df-starv 17326  df-sca 17327  df-vsca 17328  df-ip 17329  df-tset 17330  df-ple 17331  df-ds 17333  df-unif 17334  df-hom 17335  df-cco 17336  df-rest 17476  df-topn 17477  df-0g 17495  df-gsum 17496  df-topgen 17497  df-pt 17498  df-prds 17501  df-xrs 17557  df-qtop 17562  df-imas 17563  df-xps 17565  df-mre 17639  df-mrc 17640  df-acs 17642  df-mgm 18699  df-sgrp 18778  df-mnd 18794  df-submnd 18843  df-mulg 19135  df-cntz 19388  df-cmn 19853  df-psmet 21495  df-xmet 21496  df-met 21497  df-bl 21498  df-mopn 21499  df-fbas 21500  df-fg 21501  df-cnfld 21504  df-top 23032  df-topon 23049  df-topsp 23071  df-bases 23084  df-cld 23157  df-ntr 23158  df-cls 23159  df-nei 23236  df-lp 23274  df-perf 23275  df-cn 23365  df-cnp 23366  df-haus 23453  df-tx 23700  df-hmeo 23893  df-fil 23984  df-fm 24076  df-flim 24077  df-flf 24078  df-xms 24458  df-ms 24459  df-tms 24460  df-cncf 25018  df-limc 26006  df-dv 26007  df-log 26699  df-atan 27010

This theorem is referenced by:  atantanb  27067  atan1  27071