Theorem atantan 26861

Description: The arctangent function is an inverse to tan. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
atantan	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (arctan‘(tan‘𝐴)) = 𝐴)

Proof of Theorem atantan

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cosne0 26466	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (cos‘𝐴) ≠ 0)
2		atandmtan 26858	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) ≠ 0) → (tan‘𝐴) ∈ dom arctan)
3	1, 2	syldan 591	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (tan‘𝐴) ∈ dom arctan)
4		atanval 26822	. . 3 ⊢ ((tan‘𝐴) ∈ dom arctan → (arctan‘(tan‘𝐴)) = ((i / 2) · ((log‘(1 − (i · (tan‘𝐴)))) − (log‘(1 + (i · (tan‘𝐴)))))))
5	3, 4	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (arctan‘(tan‘𝐴)) = ((i / 2) · ((log‘(1 − (i · (tan‘𝐴)))) − (log‘(1 + (i · (tan‘𝐴)))))))
6		ax-1cn 11071	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℂ
7		ax-icn 11072	. . . . . . . 8 ⊢ i ∈ ℂ
8		tancl 16040	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) ≠ 0) → (tan‘𝐴) ∈ ℂ)
9	1, 8	syldan 591	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (tan‘𝐴) ∈ ℂ)
10		mulcl 11097	. . . . . . . 8 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ (tan‘𝐴) ∈ ℂ) → (i · (tan‘𝐴)) ∈ ℂ)
11	7, 9, 10	sylancr 587	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (i · (tan‘𝐴)) ∈ ℂ)
12		addcl 11095	. . . . . . 7 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (i · (tan‘𝐴)) ∈ ℂ) → (1 + (i · (tan‘𝐴))) ∈ ℂ)
13	6, 11, 12	sylancr 587	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (1 + (i · (tan‘𝐴))) ∈ ℂ)
14		atandm2 26815	. . . . . . . 8 ⊢ ((tan‘𝐴) ∈ dom arctan ↔ ((tan‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (1 − (i · (tan‘𝐴))) ≠ 0 ∧ (1 + (i · (tan‘𝐴))) ≠ 0))
15	3, 14	sylib 218	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → ((tan‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (1 − (i · (tan‘𝐴))) ≠ 0 ∧ (1 + (i · (tan‘𝐴))) ≠ 0))
16	15	simp3d 1144	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (1 + (i · (tan‘𝐴))) ≠ 0)
17	13, 16	logcld 26507	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (log‘(1 + (i · (tan‘𝐴)))) ∈ ℂ)
18		subcl 11366	. . . . . . 7 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (i · (tan‘𝐴)) ∈ ℂ) → (1 − (i · (tan‘𝐴))) ∈ ℂ)
19	6, 11, 18	sylancr 587	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (1 − (i · (tan‘𝐴))) ∈ ℂ)
20	15	simp2d 1143	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (1 − (i · (tan‘𝐴))) ≠ 0)
21	19, 20	logcld 26507	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (log‘(1 − (i · (tan‘𝐴)))) ∈ ℂ)
22	17, 21	negsubdi2d 11495	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → -((log‘(1 + (i · (tan‘𝐴)))) − (log‘(1 − (i · (tan‘𝐴))))) = ((log‘(1 − (i · (tan‘𝐴)))) − (log‘(1 + (i · (tan‘𝐴))))))
23		efsub 16011	. . . . . . . . 9 ⊢ (((log‘(1 + (i · (tan‘𝐴)))) ∈ ℂ ∧ (log‘(1 − (i · (tan‘𝐴)))) ∈ ℂ) → (exp‘((log‘(1 + (i · (tan‘𝐴)))) − (log‘(1 − (i · (tan‘𝐴)))))) = ((exp‘(log‘(1 + (i · (tan‘𝐴))))) / (exp‘(log‘(1 − (i · (tan‘𝐴)))))))
24	17, 21, 23	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (exp‘((log‘(1 + (i · (tan‘𝐴)))) − (log‘(1 − (i · (tan‘𝐴)))))) = ((exp‘(log‘(1 + (i · (tan‘𝐴))))) / (exp‘(log‘(1 − (i · (tan‘𝐴)))))))
25		coscl 16038	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘𝐴) ∈ ℂ)
26	25	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (cos‘𝐴) ∈ ℂ)
27		sincl 16037	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘𝐴) ∈ ℂ)
28	27	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (sin‘𝐴) ∈ ℂ)
29		mulcl 11097	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) ∈ ℂ) → (i · (sin‘𝐴)) ∈ ℂ)
30	7, 28, 29	sylancr 587	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (i · (sin‘𝐴)) ∈ ℂ)
31	26, 30, 26, 1	divdird 11942	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴))) / (cos‘𝐴)) = (((cos‘𝐴) / (cos‘𝐴)) + ((i · (sin‘𝐴)) / (cos‘𝐴))))
32	26, 1	dividd 11902	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → ((cos‘𝐴) / (cos‘𝐴)) = 1)
33	7	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → i ∈ ℂ)
34	33, 28, 26, 1	divassd 11939	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → ((i · (sin‘𝐴)) / (cos‘𝐴)) = (i · ((sin‘𝐴) / (cos‘𝐴))))
35		tanval 16039	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) ≠ 0) → (tan‘𝐴) = ((sin‘𝐴) / (cos‘𝐴)))
36	1, 35	syldan 591	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (tan‘𝐴) = ((sin‘𝐴) / (cos‘𝐴)))
37	36	oveq2d 7368	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (i · (tan‘𝐴)) = (i · ((sin‘𝐴) / (cos‘𝐴))))
38	34, 37	eqtr4d 2771	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → ((i · (sin‘𝐴)) / (cos‘𝐴)) = (i · (tan‘𝐴)))
39	32, 38	oveq12d 7370	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (((cos‘𝐴) / (cos‘𝐴)) + ((i · (sin‘𝐴)) / (cos‘𝐴))) = (1 + (i · (tan‘𝐴))))
40	31, 39	eqtrd 2768	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴))) / (cos‘𝐴)) = (1 + (i · (tan‘𝐴))))
41		efival 16063	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(i · 𝐴)) = ((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴))))
42	41	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (exp‘(i · 𝐴)) = ((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴))))
43	42	oveq1d 7367	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → ((exp‘(i · 𝐴)) / (cos‘𝐴)) = (((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴))) / (cos‘𝐴)))
44		eflog 26513	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((1 + (i · (tan‘𝐴))) ∈ ℂ ∧ (1 + (i · (tan‘𝐴))) ≠ 0) → (exp‘(log‘(1 + (i · (tan‘𝐴))))) = (1 + (i · (tan‘𝐴))))
45	13, 16, 44	syl2anc 584	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (exp‘(log‘(1 + (i · (tan‘𝐴))))) = (1 + (i · (tan‘𝐴))))
46	40, 43, 45	3eqtr4d 2778	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → ((exp‘(i · 𝐴)) / (cos‘𝐴)) = (exp‘(log‘(1 + (i · (tan‘𝐴))))))
47	26, 30, 26, 1	divsubdird 11943	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (((cos‘𝐴) − (i · (sin‘𝐴))) / (cos‘𝐴)) = (((cos‘𝐴) / (cos‘𝐴)) − ((i · (sin‘𝐴)) / (cos‘𝐴))))
48	32, 38	oveq12d 7370	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (((cos‘𝐴) / (cos‘𝐴)) − ((i · (sin‘𝐴)) / (cos‘𝐴))) = (1 − (i · (tan‘𝐴))))
49	47, 48	eqtrd 2768	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (((cos‘𝐴) − (i · (sin‘𝐴))) / (cos‘𝐴)) = (1 − (i · (tan‘𝐴))))
50		negcl 11367	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -𝐴 ∈ ℂ)
51	50	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → -𝐴 ∈ ℂ)
52		efival 16063	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (-𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(i · -𝐴)) = ((cos‘-𝐴) + (i · (sin‘-𝐴))))
53	51, 52	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (exp‘(i · -𝐴)) = ((cos‘-𝐴) + (i · (sin‘-𝐴))))
54		cosneg 16058	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘-𝐴) = (cos‘𝐴))
55	54	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (cos‘-𝐴) = (cos‘𝐴))
56		sinneg 16057	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘-𝐴) = -(sin‘𝐴))
57	56	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (sin‘-𝐴) = -(sin‘𝐴))
58	57	oveq2d 7368	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (i · (sin‘-𝐴)) = (i · -(sin‘𝐴)))
59		mulneg2 11561	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) ∈ ℂ) → (i · -(sin‘𝐴)) = -(i · (sin‘𝐴)))
60	7, 28, 59	sylancr 587	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (i · -(sin‘𝐴)) = -(i · (sin‘𝐴)))
61	58, 60	eqtrd 2768	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (i · (sin‘-𝐴)) = -(i · (sin‘𝐴)))
62	55, 61	oveq12d 7370	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → ((cos‘-𝐴) + (i · (sin‘-𝐴))) = ((cos‘𝐴) + -(i · (sin‘𝐴))))
63	53, 62	eqtrd 2768	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (exp‘(i · -𝐴)) = ((cos‘𝐴) + -(i · (sin‘𝐴))))
64		simpl 482	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → 𝐴 ∈ ℂ)
65		mulneg2 11561	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (i · -𝐴) = -(i · 𝐴))
66	7, 64, 65	sylancr 587	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (i · -𝐴) = -(i · 𝐴))
67	66	fveq2d 6832	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (exp‘(i · -𝐴)) = (exp‘-(i · 𝐴)))
68	26, 30	negsubd 11485	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → ((cos‘𝐴) + -(i · (sin‘𝐴))) = ((cos‘𝐴) − (i · (sin‘𝐴))))
69	63, 67, 68	3eqtr3d 2776	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (exp‘-(i · 𝐴)) = ((cos‘𝐴) − (i · (sin‘𝐴))))
70	69	oveq1d 7367	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → ((exp‘-(i · 𝐴)) / (cos‘𝐴)) = (((cos‘𝐴) − (i · (sin‘𝐴))) / (cos‘𝐴)))
71		eflog 26513	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((1 − (i · (tan‘𝐴))) ∈ ℂ ∧ (1 − (i · (tan‘𝐴))) ≠ 0) → (exp‘(log‘(1 − (i · (tan‘𝐴))))) = (1 − (i · (tan‘𝐴))))
72	19, 20, 71	syl2anc 584	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (exp‘(log‘(1 − (i · (tan‘𝐴))))) = (1 − (i · (tan‘𝐴))))
73	49, 70, 72	3eqtr4d 2778	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → ((exp‘-(i · 𝐴)) / (cos‘𝐴)) = (exp‘(log‘(1 − (i · (tan‘𝐴))))))
74	46, 73	oveq12d 7370	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (((exp‘(i · 𝐴)) / (cos‘𝐴)) / ((exp‘-(i · 𝐴)) / (cos‘𝐴))) = ((exp‘(log‘(1 + (i · (tan‘𝐴))))) / (exp‘(log‘(1 − (i · (tan‘𝐴)))))))
75		mulcl 11097	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
76	7, 64, 75	sylancr 587	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
77		efcl 15991	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((i · 𝐴) ∈ ℂ → (exp‘(i · 𝐴)) ∈ ℂ)
78	76, 77	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (exp‘(i · 𝐴)) ∈ ℂ)
79	76	negcld 11466	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → -(i · 𝐴) ∈ ℂ)
80		efcl 15991	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (-(i · 𝐴) ∈ ℂ → (exp‘-(i · 𝐴)) ∈ ℂ)
81	79, 80	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (exp‘-(i · 𝐴)) ∈ ℂ)
82		efne0 16007	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (-(i · 𝐴) ∈ ℂ → (exp‘-(i · 𝐴)) ≠ 0)
83	79, 82	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (exp‘-(i · 𝐴)) ≠ 0)
84	78, 81, 26, 83, 1	divcan7d 11932	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (((exp‘(i · 𝐴)) / (cos‘𝐴)) / ((exp‘-(i · 𝐴)) / (cos‘𝐴))) = ((exp‘(i · 𝐴)) / (exp‘-(i · 𝐴))))
85		efsub 16011	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((i · 𝐴) ∈ ℂ ∧ -(i · 𝐴) ∈ ℂ) → (exp‘((i · 𝐴) − -(i · 𝐴))) = ((exp‘(i · 𝐴)) / (exp‘-(i · 𝐴))))
86	76, 79, 85	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (exp‘((i · 𝐴) − -(i · 𝐴))) = ((exp‘(i · 𝐴)) / (exp‘-(i · 𝐴))))
87	76, 76	subnegd 11486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → ((i · 𝐴) − -(i · 𝐴)) = ((i · 𝐴) + (i · 𝐴)))
88	76	2timesd 12371	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (2 · (i · 𝐴)) = ((i · 𝐴) + (i · 𝐴)))
89	87, 88	eqtr4d 2771	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → ((i · 𝐴) − -(i · 𝐴)) = (2 · (i · 𝐴)))
90	89	fveq2d 6832	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (exp‘((i · 𝐴) − -(i · 𝐴))) = (exp‘(2 · (i · 𝐴))))
91	84, 86, 90	3eqtr2d 2774	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (((exp‘(i · 𝐴)) / (cos‘𝐴)) / ((exp‘-(i · 𝐴)) / (cos‘𝐴))) = (exp‘(2 · (i · 𝐴))))
92	24, 74, 91	3eqtr2d 2774	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (exp‘((log‘(1 + (i · (tan‘𝐴)))) − (log‘(1 − (i · (tan‘𝐴)))))) = (exp‘(2 · (i · 𝐴))))
93	92	fveq2d 6832	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (log‘(exp‘((log‘(1 + (i · (tan‘𝐴)))) − (log‘(1 − (i · (tan‘𝐴))))))) = (log‘(exp‘(2 · (i · 𝐴)))))
94	64	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) ∧ (ℜ‘𝐴) < 0) → 𝐴 ∈ ℂ)
95	94	renegd 15118	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) ∧ (ℜ‘𝐴) < 0) → (ℜ‘-𝐴) = -(ℜ‘𝐴))
96	94	recld 15103	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) ∧ (ℜ‘𝐴) < 0) → (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ)
97	96	renegcld 11551	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) ∧ (ℜ‘𝐴) < 0) → -(ℜ‘𝐴) ∈ ℝ)
98		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) ∧ (ℜ‘𝐴) < 0) → (ℜ‘𝐴) < 0)
99	96	lt0neg1d 11693	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) ∧ (ℜ‘𝐴) < 0) → ((ℜ‘𝐴) < 0 ↔ 0 < -(ℜ‘𝐴)))
100	98, 99	mpbid 232	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) ∧ (ℜ‘𝐴) < 0) → 0 < -(ℜ‘𝐴))
101		eliooord 13307	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)) → (-(π / 2) < (ℜ‘𝐴) ∧ (ℜ‘𝐴) < (π / 2)))
102	101	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (-(π / 2) < (ℜ‘𝐴) ∧ (ℜ‘𝐴) < (π / 2)))
103	102	simpld 494	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → -(π / 2) < (ℜ‘𝐴))
104	103	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) ∧ (ℜ‘𝐴) < 0) → -(π / 2) < (ℜ‘𝐴))
105		halfpire 26401	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (π / 2) ∈ ℝ
106		ltnegcon1 11625	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((π / 2) ∈ ℝ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ) → (-(π / 2) < (ℜ‘𝐴) ↔ -(ℜ‘𝐴) < (π / 2)))
107	105, 96, 106	sylancr 587	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) ∧ (ℜ‘𝐴) < 0) → (-(π / 2) < (ℜ‘𝐴) ↔ -(ℜ‘𝐴) < (π / 2)))
108	104, 107	mpbid 232	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) ∧ (ℜ‘𝐴) < 0) → -(ℜ‘𝐴) < (π / 2))
109		0xr 11166	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 0 ∈ ℝ*
110	105	rexri 11177	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (π / 2) ∈ ℝ*
111		elioo2 13288	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ (π / 2) ∈ ℝ*) → (-(ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2)) ↔ (-(ℜ‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 < -(ℜ‘𝐴) ∧ -(ℜ‘𝐴) < (π / 2))))
112	109, 110, 111	mp2an 692	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (-(ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2)) ↔ (-(ℜ‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 < -(ℜ‘𝐴) ∧ -(ℜ‘𝐴) < (π / 2)))
113	97, 100, 108, 112	syl3anbrc 1344	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) ∧ (ℜ‘𝐴) < 0) → -(ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2)))
114	95, 113	eqeltrd 2833	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) ∧ (ℜ‘𝐴) < 0) → (ℜ‘-𝐴) ∈ (0(,)(π / 2)))
115		tanregt0 26476	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((-𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘-𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → 0 < (ℜ‘(tan‘-𝐴)))
116	51, 114, 115	syl2an2r 685	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) ∧ (ℜ‘𝐴) < 0) → 0 < (ℜ‘(tan‘-𝐴)))
117		tanneg 16059	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) ≠ 0) → (tan‘-𝐴) = -(tan‘𝐴))
118	1, 117	syldan 591	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (tan‘-𝐴) = -(tan‘𝐴))
119	118	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) ∧ (ℜ‘𝐴) < 0) → (tan‘-𝐴) = -(tan‘𝐴))
120	119	fveq2d 6832	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) ∧ (ℜ‘𝐴) < 0) → (ℜ‘(tan‘-𝐴)) = (ℜ‘-(tan‘𝐴)))
121	9	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) ∧ (ℜ‘𝐴) < 0) → (tan‘𝐴) ∈ ℂ)
122	121	renegd 15118	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) ∧ (ℜ‘𝐴) < 0) → (ℜ‘-(tan‘𝐴)) = -(ℜ‘(tan‘𝐴)))
123	120, 122	eqtrd 2768	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) ∧ (ℜ‘𝐴) < 0) → (ℜ‘(tan‘-𝐴)) = -(ℜ‘(tan‘𝐴)))
124	116, 123	breqtrd 5119	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) ∧ (ℜ‘𝐴) < 0) → 0 < -(ℜ‘(tan‘𝐴)))
125	9	recld 15103	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (ℜ‘(tan‘𝐴)) ∈ ℝ)
126	125	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) ∧ (ℜ‘𝐴) < 0) → (ℜ‘(tan‘𝐴)) ∈ ℝ)
127	126	lt0neg1d 11693	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) ∧ (ℜ‘𝐴) < 0) → ((ℜ‘(tan‘𝐴)) < 0 ↔ 0 < -(ℜ‘(tan‘𝐴))))
128	124, 127	mpbird 257	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) ∧ (ℜ‘𝐴) < 0) → (ℜ‘(tan‘𝐴)) < 0)
129	128	lt0ne0d 11689	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) ∧ (ℜ‘𝐴) < 0) → (ℜ‘(tan‘𝐴)) ≠ 0)
130		atanlogsub 26854	. . . . . . . . 9 ⊢ (((tan‘𝐴) ∈ dom arctan ∧ (ℜ‘(tan‘𝐴)) ≠ 0) → ((log‘(1 + (i · (tan‘𝐴)))) − (log‘(1 − (i · (tan‘𝐴))))) ∈ ran log)
131	3, 129, 130	syl2an2r 685	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) ∧ (ℜ‘𝐴) < 0) → ((log‘(1 + (i · (tan‘𝐴)))) − (log‘(1 − (i · (tan‘𝐴))))) ∈ ran log)
132		1re 11119	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1 ∈ ℝ
133		ioossre 13309	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (-1(,)1) ⊆ ℝ
134	7	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) ∧ (ℜ‘𝐴) = 0) → i ∈ ℂ)
135	11	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) ∧ (ℜ‘𝐴) = 0) → (i · (tan‘𝐴)) ∈ ℂ)
136		ine0 11559	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ i ≠ 0
137	136	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) ∧ (ℜ‘𝐴) = 0) → i ≠ 0)
138		ixi 11753	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (i · i) = -1
139	138	oveq1i 7362	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((i · i) · (tan‘𝐴)) = (-1 · (tan‘𝐴))
140	9	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) ∧ (ℜ‘𝐴) = 0) → (tan‘𝐴) ∈ ℂ)
141	140	mulm1d 11576	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) ∧ (ℜ‘𝐴) = 0) → (-1 · (tan‘𝐴)) = -(tan‘𝐴))
142	118	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) ∧ (ℜ‘𝐴) = 0) → (tan‘-𝐴) = -(tan‘𝐴))
143	141, 142	eqtr4d 2771	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) ∧ (ℜ‘𝐴) = 0) → (-1 · (tan‘𝐴)) = (tan‘-𝐴))
144	139, 143	eqtrid 2780	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) ∧ (ℜ‘𝐴) = 0) → ((i · i) · (tan‘𝐴)) = (tan‘-𝐴))
145	134, 134, 140	mulassd 11142	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) ∧ (ℜ‘𝐴) = 0) → ((i · i) · (tan‘𝐴)) = (i · (i · (tan‘𝐴))))
146	138	oveq1i 7362	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((i · i) · 𝐴) = (-1 · 𝐴)
147	64	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) ∧ (ℜ‘𝐴) = 0) → 𝐴 ∈ ℂ)
148	147	mulm1d 11576	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) ∧ (ℜ‘𝐴) = 0) → (-1 · 𝐴) = -𝐴)
149	146, 148	eqtrid 2780	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) ∧ (ℜ‘𝐴) = 0) → ((i · i) · 𝐴) = -𝐴)
150	134, 134, 147	mulassd 11142	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) ∧ (ℜ‘𝐴) = 0) → ((i · i) · 𝐴) = (i · (i · 𝐴)))
151	149, 150	eqtr3d 2770	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) ∧ (ℜ‘𝐴) = 0) → -𝐴 = (i · (i · 𝐴)))
152	151	fveq2d 6832	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) ∧ (ℜ‘𝐴) = 0) → (tan‘-𝐴) = (tan‘(i · (i · 𝐴))))
153	144, 145, 152	3eqtr3d 2776	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) ∧ (ℜ‘𝐴) = 0) → (i · (i · (tan‘𝐴))) = (tan‘(i · (i · 𝐴))))
154	134, 135, 137, 153	mvllmuld 11960	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) ∧ (ℜ‘𝐴) = 0) → (i · (tan‘𝐴)) = ((tan‘(i · (i · 𝐴))) / i))
155	76	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) ∧ (ℜ‘𝐴) = 0) → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
156		reim 15018	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘𝐴) = (ℑ‘(i · 𝐴)))
157	156	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (ℜ‘𝐴) = (ℑ‘(i · 𝐴)))
158	157	eqeq1d 2735	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → ((ℜ‘𝐴) = 0 ↔ (ℑ‘(i · 𝐴)) = 0))
159	158	biimpa 476	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) ∧ (ℜ‘𝐴) = 0) → (ℑ‘(i · 𝐴)) = 0)
160	155, 159	reim0bd 15109	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) ∧ (ℜ‘𝐴) = 0) → (i · 𝐴) ∈ ℝ)
161		tanhbnd 16072	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((i · 𝐴) ∈ ℝ → ((tan‘(i · (i · 𝐴))) / i) ∈ (-1(,)1))
162	160, 161	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) ∧ (ℜ‘𝐴) = 0) → ((tan‘(i · (i · 𝐴))) / i) ∈ (-1(,)1))
163	154, 162	eqeltrd 2833	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) ∧ (ℜ‘𝐴) = 0) → (i · (tan‘𝐴)) ∈ (-1(,)1))
164	133, 163	sselid 3928	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) ∧ (ℜ‘𝐴) = 0) → (i · (tan‘𝐴)) ∈ ℝ)
165		readdcl 11096	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ (i · (tan‘𝐴)) ∈ ℝ) → (1 + (i · (tan‘𝐴))) ∈ ℝ)
166	132, 164, 165	sylancr 587	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) ∧ (ℜ‘𝐴) = 0) → (1 + (i · (tan‘𝐴))) ∈ ℝ)
167		df-neg 11354	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ -1 = (0 − 1)
168		eliooord 13307	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((i · (tan‘𝐴)) ∈ (-1(,)1) → (-1 < (i · (tan‘𝐴)) ∧ (i · (tan‘𝐴)) < 1))
169	163, 168	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) ∧ (ℜ‘𝐴) = 0) → (-1 < (i · (tan‘𝐴)) ∧ (i · (tan‘𝐴)) < 1))
170	169	simpld 494	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) ∧ (ℜ‘𝐴) = 0) → -1 < (i · (tan‘𝐴)))
171	167, 170	eqbrtrrid 5129	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) ∧ (ℜ‘𝐴) = 0) → (0 − 1) < (i · (tan‘𝐴)))
172		0red 11122	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) ∧ (ℜ‘𝐴) = 0) → 0 ∈ ℝ)
173	132	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) ∧ (ℜ‘𝐴) = 0) → 1 ∈ ℝ)
174	172, 173, 164	ltsubadd2d 11722	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) ∧ (ℜ‘𝐴) = 0) → ((0 − 1) < (i · (tan‘𝐴)) ↔ 0 < (1 + (i · (tan‘𝐴)))))
175	171, 174	mpbid 232	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) ∧ (ℜ‘𝐴) = 0) → 0 < (1 + (i · (tan‘𝐴))))
176	166, 175	elrpd 12933	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) ∧ (ℜ‘𝐴) = 0) → (1 + (i · (tan‘𝐴))) ∈ ℝ+)
177	176	relogcld 26560	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) ∧ (ℜ‘𝐴) = 0) → (log‘(1 + (i · (tan‘𝐴)))) ∈ ℝ)
178	169	simprd 495	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) ∧ (ℜ‘𝐴) = 0) → (i · (tan‘𝐴)) < 1)
179		difrp 12932	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((i · (tan‘𝐴)) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((i · (tan‘𝐴)) < 1 ↔ (1 − (i · (tan‘𝐴))) ∈ ℝ+))
180	164, 132, 179	sylancl 586	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) ∧ (ℜ‘𝐴) = 0) → ((i · (tan‘𝐴)) < 1 ↔ (1 − (i · (tan‘𝐴))) ∈ ℝ+))
181	178, 180	mpbid 232	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) ∧ (ℜ‘𝐴) = 0) → (1 − (i · (tan‘𝐴))) ∈ ℝ+)
182	181	relogcld 26560	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) ∧ (ℜ‘𝐴) = 0) → (log‘(1 − (i · (tan‘𝐴)))) ∈ ℝ)
183	177, 182	resubcld 11552	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) ∧ (ℜ‘𝐴) = 0) → ((log‘(1 + (i · (tan‘𝐴)))) − (log‘(1 − (i · (tan‘𝐴))))) ∈ ℝ)
184		relogrn 26498	. . . . . . . . 9 ⊢ (((log‘(1 + (i · (tan‘𝐴)))) − (log‘(1 − (i · (tan‘𝐴))))) ∈ ℝ → ((log‘(1 + (i · (tan‘𝐴)))) − (log‘(1 − (i · (tan‘𝐴))))) ∈ ran log)
185	183, 184	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) ∧ (ℜ‘𝐴) = 0) → ((log‘(1 + (i · (tan‘𝐴)))) − (log‘(1 − (i · (tan‘𝐴))))) ∈ ran log)
186	64	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → 𝐴 ∈ ℂ)
187	186	recld 15103	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ)
188		simpr 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → 0 < (ℜ‘𝐴))
189	102	simprd 495	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (ℜ‘𝐴) < (π / 2))
190	189	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (ℜ‘𝐴) < (π / 2))
191		elioo2 13288	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ (π / 2) ∈ ℝ*) → ((ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2)) ↔ ((ℜ‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 < (ℜ‘𝐴) ∧ (ℜ‘𝐴) < (π / 2))))
192	109, 110, 191	mp2an 692	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2)) ↔ ((ℜ‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 < (ℜ‘𝐴) ∧ (ℜ‘𝐴) < (π / 2)))
193	187, 188, 190, 192	syl3anbrc 1344	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2)))
194		tanregt0 26476	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → 0 < (ℜ‘(tan‘𝐴)))
195	64, 193, 194	syl2an2r 685	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → 0 < (ℜ‘(tan‘𝐴)))
196	195	gt0ne0d 11688	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (ℜ‘(tan‘𝐴)) ≠ 0)
197	3, 196, 130	syl2an2r 685	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → ((log‘(1 + (i · (tan‘𝐴)))) − (log‘(1 − (i · (tan‘𝐴))))) ∈ ran log)
198		recl 15019	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ)
199	198	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ)
200		0re 11121	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ ℝ
201		lttri4 11204	. . . . . . . . 9 ⊢ (((ℜ‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → ((ℜ‘𝐴) < 0 ∨ (ℜ‘𝐴) = 0 ∨ 0 < (ℜ‘𝐴)))
202	199, 200, 201	sylancl 586	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → ((ℜ‘𝐴) < 0 ∨ (ℜ‘𝐴) = 0 ∨ 0 < (ℜ‘𝐴)))
203	131, 185, 197, 202	mpjao3dan 1434	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → ((log‘(1 + (i · (tan‘𝐴)))) − (log‘(1 − (i · (tan‘𝐴))))) ∈ ran log)
204		logef 26518	. . . . . . 7 ⊢ (((log‘(1 + (i · (tan‘𝐴)))) − (log‘(1 − (i · (tan‘𝐴))))) ∈ ran log → (log‘(exp‘((log‘(1 + (i · (tan‘𝐴)))) − (log‘(1 − (i · (tan‘𝐴))))))) = ((log‘(1 + (i · (tan‘𝐴)))) − (log‘(1 − (i · (tan‘𝐴))))))
205	203, 204	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (log‘(exp‘((log‘(1 + (i · (tan‘𝐴)))) − (log‘(1 − (i · (tan‘𝐴))))))) = ((log‘(1 + (i · (tan‘𝐴)))) − (log‘(1 − (i · (tan‘𝐴))))))
206		2cn 12207	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℂ
207		mulcl 11097	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ (i · 𝐴) ∈ ℂ) → (2 · (i · 𝐴)) ∈ ℂ)
208	206, 76, 207	sylancr 587	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (2 · (i · 𝐴)) ∈ ℂ)
209		picn 26395	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ π ∈ ℂ
210		2ne0 12236	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ≠ 0
211		divneg 11820	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((π ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) → -(π / 2) = (-π / 2))
212	209, 206, 210, 211	mp3an 1463	. . . . . . . . . . 11 ⊢ -(π / 2) = (-π / 2)
213	212, 103	eqbrtrrid 5129	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (-π / 2) < (ℜ‘𝐴))
214		pire 26394	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ π ∈ ℝ
215	214	renegcli 11429	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ -π ∈ ℝ
216	215	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → -π ∈ ℝ)
217		2re 12206	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℝ
218	217	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → 2 ∈ ℝ)
219		2pos 12235	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 < 2
220	219	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → 0 < 2)
221		ltdivmul 12004	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((-π ∈ ℝ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((-π / 2) < (ℜ‘𝐴) ↔ -π < (2 · (ℜ‘𝐴))))
222	216, 199, 218, 220, 221	syl112anc 1376	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → ((-π / 2) < (ℜ‘𝐴) ↔ -π < (2 · (ℜ‘𝐴))))
223	213, 222	mpbid 232	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → -π < (2 · (ℜ‘𝐴)))
224		immul2 15046	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ (i · 𝐴) ∈ ℂ) → (ℑ‘(2 · (i · 𝐴))) = (2 · (ℑ‘(i · 𝐴))))
225	217, 76, 224	sylancr 587	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (ℑ‘(2 · (i · 𝐴))) = (2 · (ℑ‘(i · 𝐴))))
226	157	oveq2d 7368	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (2 · (ℜ‘𝐴)) = (2 · (ℑ‘(i · 𝐴))))
227	225, 226	eqtr4d 2771	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (ℑ‘(2 · (i · 𝐴))) = (2 · (ℜ‘𝐴)))
228	223, 227	breqtrrd 5121	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → -π < (ℑ‘(2 · (i · 𝐴))))
229		remulcl 11098	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ) → (2 · (ℜ‘𝐴)) ∈ ℝ)
230	217, 199, 229	sylancr 587	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (2 · (ℜ‘𝐴)) ∈ ℝ)
231	214	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → π ∈ ℝ)
232		ltmuldiv2 12003	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((ℜ‘𝐴) ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((2 · (ℜ‘𝐴)) < π ↔ (ℜ‘𝐴) < (π / 2)))
233	199, 231, 218, 220, 232	syl112anc 1376	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → ((2 · (ℜ‘𝐴)) < π ↔ (ℜ‘𝐴) < (π / 2)))
234	189, 233	mpbird 257	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (2 · (ℜ‘𝐴)) < π)
235	230, 231, 234	ltled 11268	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (2 · (ℜ‘𝐴)) ≤ π)
236	227, 235	eqbrtrd 5115	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (ℑ‘(2 · (i · 𝐴))) ≤ π)
237		ellogrn 26496	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 · (i · 𝐴)) ∈ ran log ↔ ((2 · (i · 𝐴)) ∈ ℂ ∧ -π < (ℑ‘(2 · (i · 𝐴))) ∧ (ℑ‘(2 · (i · 𝐴))) ≤ π))
238	208, 228, 236, 237	syl3anbrc 1344	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (2 · (i · 𝐴)) ∈ ran log)
239		logef 26518	. . . . . . 7 ⊢ ((2 · (i · 𝐴)) ∈ ran log → (log‘(exp‘(2 · (i · 𝐴)))) = (2 · (i · 𝐴)))
240	238, 239	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (log‘(exp‘(2 · (i · 𝐴)))) = (2 · (i · 𝐴)))
241	93, 205, 240	3eqtr3d 2776	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → ((log‘(1 + (i · (tan‘𝐴)))) − (log‘(1 − (i · (tan‘𝐴))))) = (2 · (i · 𝐴)))
242	241	negeqd 11361	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → -((log‘(1 + (i · (tan‘𝐴)))) − (log‘(1 − (i · (tan‘𝐴))))) = -(2 · (i · 𝐴)))
243	22, 242	eqtr3d 2770	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → ((log‘(1 − (i · (tan‘𝐴)))) − (log‘(1 + (i · (tan‘𝐴))))) = -(2 · (i · 𝐴)))
244	243	oveq2d 7368	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → ((i / 2) · ((log‘(1 − (i · (tan‘𝐴)))) − (log‘(1 + (i · (tan‘𝐴)))))) = ((i / 2) · -(2 · (i · 𝐴))))
245		halfcl 12354	. . . . 5 ⊢ (i ∈ ℂ → (i / 2) ∈ ℂ)
246	7, 245	mp1i 13	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (i / 2) ∈ ℂ)
247	206	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → 2 ∈ ℂ)
248	246, 247, 79	mulassd 11142	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (((i / 2) · 2) · -(i · 𝐴)) = ((i / 2) · (2 · -(i · 𝐴))))
249	7, 206, 210	divcan1i 11872	. . . . 5 ⊢ ((i / 2) · 2) = i
250	249	oveq1i 7362	. . . 4 ⊢ (((i / 2) · 2) · -(i · 𝐴)) = (i · -(i · 𝐴))
251	33, 33, 51	mulassd 11142	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → ((i · i) · -𝐴) = (i · (i · -𝐴)))
252	138	oveq1i 7362	. . . . . 6 ⊢ ((i · i) · -𝐴) = (-1 · -𝐴)
253		mul2neg 11563	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (-1 · -𝐴) = (1 · 𝐴))
254	6, 64, 253	sylancr 587	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (-1 · -𝐴) = (1 · 𝐴))
255		mullid 11118	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (1 · 𝐴) = 𝐴)
256	255	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (1 · 𝐴) = 𝐴)
257	254, 256	eqtrd 2768	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (-1 · -𝐴) = 𝐴)
258	252, 257	eqtrid 2780	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → ((i · i) · -𝐴) = 𝐴)
259	66	oveq2d 7368	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (i · (i · -𝐴)) = (i · -(i · 𝐴)))
260	251, 258, 259	3eqtr3rd 2777	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (i · -(i · 𝐴)) = 𝐴)
261	250, 260	eqtrid 2780	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (((i / 2) · 2) · -(i · 𝐴)) = 𝐴)
262		mulneg2 11561	. . . . 5 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ (i · 𝐴) ∈ ℂ) → (2 · -(i · 𝐴)) = -(2 · (i · 𝐴)))
263	206, 76, 262	sylancr 587	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (2 · -(i · 𝐴)) = -(2 · (i · 𝐴)))
264	263	oveq2d 7368	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → ((i / 2) · (2 · -(i · 𝐴))) = ((i / 2) · -(2 · (i · 𝐴))))
265	248, 261, 264	3eqtr3rd 2777	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → ((i / 2) · -(2 · (i · 𝐴))) = 𝐴)
266	5, 244, 265	3eqtrd 2772	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (arctan‘(tan‘𝐴)) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ w3o 1085   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2929   class class class wbr 5093  dom cdm 5619  ran crn 5620  ‘cfv 6486  (class class class)co 7352  ℂcc 11011  ℝcr 11012  0cc0 11013  1c1 11014  ici 11015   + caddc 11016   · cmul 11018  ℝ^*cxr 11152   < clt 11153   ≤ cle 11154   − cmin 11351  -cneg 11352   / cdiv 11781  2c2 12187  ℝ⁺crp 12892  (,)cioo 13247  ℜcre 15006  ℑcim 15007  expce 15970  sincsin 15972  cosccos 15973  tanctan 15974  πcpi 15975  logclog 26491  arctancatan 26802

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5219  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674  ax-inf2 9538  ax-cnex 11069  ax-resscn 11070  ax-1cn 11071  ax-icn 11072  ax-addcl 11073  ax-addrcl 11074  ax-mulcl 11075  ax-mulrcl 11076  ax-mulcom 11077  ax-addass 11078  ax-mulass 11079  ax-distr 11080  ax-i2m1 11081  ax-1ne0 11082  ax-1rid 11083  ax-rnegex 11084  ax-rrecex 11085  ax-cnre 11086  ax-pre-lttri 11087  ax-pre-lttrn 11088  ax-pre-ltadd 11089  ax-pre-mulgt0 11090  ax-pre-sup 11091  ax-addf 11092

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-tp 4580  df-op 4582  df-uni 4859  df-int 4898  df-iun 4943  df-iin 4944  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-tr 5201  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-se 5573  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-isom 6495  df-riota 7309  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-of 7616  df-om 7803  df-1st 7927  df-2nd 7928  df-supp 8097  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8297  df-rdg 8335  df-1o 8391  df-2o 8392  df-er 8628  df-map 8758  df-pm 8759  df-ixp 8828  df-en 8876  df-dom 8877  df-sdom 8878  df-fin 8879  df-fsupp 9253  df-fi 9302  df-sup 9333  df-inf 9334  df-oi 9403  df-card 9839  df-pnf 11155  df-mnf 11156  df-xr 11157  df-ltxr 11158  df-le 11159  df-sub 11353  df-neg 11354  df-div 11782  df-nn 12133  df-2 12195  df-3 12196  df-4 12197  df-5 12198  df-6 12199  df-7 12200  df-8 12201  df-9 12202  df-n0 12389  df-z 12476  df-dec 12595  df-uz 12739  df-q 12849  df-rp 12893  df-xneg 13013  df-xadd 13014  df-xmul 13015  df-ioo 13251  df-ioc 13252  df-ico 13253  df-icc 13254  df-fz 13410  df-fzo 13557  df-fl 13698  df-mod 13776  df-seq 13911  df-exp 13971  df-fac 14183  df-bc 14212  df-hash 14240  df-shft 14976  df-cj 15008  df-re 15009  df-im 15010  df-sqrt 15144  df-abs 15145  df-limsup 15380  df-clim 15397  df-rlim 15398  df-sum 15596  df-ef 15976  df-sin 15978  df-cos 15979  df-tan 15980  df-pi 15981  df-struct 17060  df-sets 17077  df-slot 17095  df-ndx 17107  df-base 17123  df-ress 17144  df-plusg 17176  df-mulr 17177  df-starv 17178  df-sca 17179  df-vsca 17180  df-ip 17181  df-tset 17182  df-ple 17183  df-ds 17185  df-unif 17186  df-hom 17187  df-cco 17188  df-rest 17328  df-topn 17329  df-0g 17347  df-gsum 17348  df-topgen 17349  df-pt 17350  df-prds 17353  df-xrs 17408  df-qtop 17413  df-imas 17414  df-xps 17416  df-mre 17490  df-mrc 17491  df-acs 17493  df-mgm 18550  df-sgrp 18629  df-mnd 18645  df-submnd 18694  df-mulg 18983  df-cntz 19231  df-cmn 19696  df-psmet 21285  df-xmet 21286  df-met 21287  df-bl 21288  df-mopn 21289  df-fbas 21290  df-fg 21291  df-cnfld 21294  df-top 22810  df-topon 22827  df-topsp 22849  df-bases 22862  df-cld 22935  df-ntr 22936  df-cls 22937  df-nei 23014  df-lp 23052  df-perf 23053  df-cn 23143  df-cnp 23144  df-haus 23231  df-tx 23478  df-hmeo 23671  df-fil 23762  df-fm 23854  df-flim 23855  df-flf 23856  df-xms 24236  df-ms 24237  df-tms 24238  df-cncf 24799  df-limc 25795  df-dv 25796  df-log 26493  df-atan 26805

This theorem is referenced by:  atantanb  26862  atan1  26866