Theorem atantan 26912

Description: The arctangent function is an inverse to tan. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
atantan	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (arctan‘(tan‘𝐴)) = 𝐴)

Proof of Theorem atantan

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cosne0 26518	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (cos‘𝐴) ≠ 0)
2		atandmtan 26909	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) ≠ 0) → (tan‘𝐴) ∈ dom arctan)
3	1, 2	syldan 597	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (tan‘𝐴) ∈ dom arctan)
4		atanval 26873	. . 3 ⊢ ((tan‘𝐴) ∈ dom arctan → (arctan‘(tan‘𝐴)) = ((i / 2) · ((log‘(1 − (i · (tan‘𝐴)))) − (log‘(1 + (i · (tan‘𝐴)))))))
5	3, 4	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (arctan‘(tan‘𝐴)) = ((i / 2) · ((log‘(1 − (i · (tan‘𝐴)))) − (log‘(1 + (i · (tan‘𝐴)))))))
6		ax-1cn 11094	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℂ
7		ax-icn 11095	. . . . . . . 8 ⊢ i ∈ ℂ
8		tancl 16094	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) ≠ 0) → (tan‘𝐴) ∈ ℂ)
9	1, 8	syldan 597	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (tan‘𝐴) ∈ ℂ)
10		mulcl 11120	. . . . . . . 8 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ (tan‘𝐴) ∈ ℂ) → (i · (tan‘𝐴)) ∈ ℂ)
11	7, 9, 10	sylancr 593	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (i · (tan‘𝐴)) ∈ ℂ)
12		addcl 11118	. . . . . . 7 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (i · (tan‘𝐴)) ∈ ℂ) → (1 + (i · (tan‘𝐴))) ∈ ℂ)
13	6, 11, 12	sylancr 593	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (1 + (i · (tan‘𝐴))) ∈ ℂ)
14		atandm2 26866	. . . . . . . 8 ⊢ ((tan‘𝐴) ∈ dom arctan ↔ ((tan‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (1 − (i · (tan‘𝐴))) ≠ 0 ∧ (1 + (i · (tan‘𝐴))) ≠ 0))
15	3, 14	sylib 219	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → ((tan‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (1 − (i · (tan‘𝐴))) ≠ 0 ∧ (1 + (i · (tan‘𝐴))) ≠ 0))
16	15	simp3d 1150	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (1 + (i · (tan‘𝐴))) ≠ 0)
17	13, 16	logcld 26559	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (log‘(1 + (i · (tan‘𝐴)))) ∈ ℂ)
18		subcl 11390	. . . . . . 7 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (i · (tan‘𝐴)) ∈ ℂ) → (1 − (i · (tan‘𝐴))) ∈ ℂ)
19	6, 11, 18	sylancr 593	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (1 − (i · (tan‘𝐴))) ∈ ℂ)
20	15	simp2d 1149	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (1 − (i · (tan‘𝐴))) ≠ 0)
21	19, 20	logcld 26559	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (log‘(1 − (i · (tan‘𝐴)))) ∈ ℂ)
22	17, 21	negsubdi2d 11519	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → -((log‘(1 + (i · (tan‘𝐴)))) − (log‘(1 − (i · (tan‘𝐴))))) = ((log‘(1 − (i · (tan‘𝐴)))) − (log‘(1 + (i · (tan‘𝐴))))))
23		efsub 16065	. . . . . . . . 9 ⊢ (((log‘(1 + (i · (tan‘𝐴)))) ∈ ℂ ∧ (log‘(1 − (i · (tan‘𝐴)))) ∈ ℂ) → (exp‘((log‘(1 + (i · (tan‘𝐴)))) − (log‘(1 − (i · (tan‘𝐴)))))) = ((exp‘(log‘(1 + (i · (tan‘𝐴))))) / (exp‘(log‘(1 − (i · (tan‘𝐴)))))))
24	17, 21, 23	syl2anc 590	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (exp‘((log‘(1 + (i · (tan‘𝐴)))) − (log‘(1 − (i · (tan‘𝐴)))))) = ((exp‘(log‘(1 + (i · (tan‘𝐴))))) / (exp‘(log‘(1 − (i · (tan‘𝐴)))))))
25		coscl 16092	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘𝐴) ∈ ℂ)
26	25	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (cos‘𝐴) ∈ ℂ)
27		sincl 16091	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘𝐴) ∈ ℂ)
28	27	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (sin‘𝐴) ∈ ℂ)
29		mulcl 11120	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) ∈ ℂ) → (i · (sin‘𝐴)) ∈ ℂ)
30	7, 28, 29	sylancr 593	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (i · (sin‘𝐴)) ∈ ℂ)
31	26, 30, 26, 1	divdird 11967	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴))) / (cos‘𝐴)) = (((cos‘𝐴) / (cos‘𝐴)) + ((i · (sin‘𝐴)) / (cos‘𝐴))))
32	26, 1	dividd 11927	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → ((cos‘𝐴) / (cos‘𝐴)) = 1)
33	7	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → i ∈ ℂ)
34	33, 28, 26, 1	divassd 11964	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → ((i · (sin‘𝐴)) / (cos‘𝐴)) = (i · ((sin‘𝐴) / (cos‘𝐴))))
35		tanval 16093	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) ≠ 0) → (tan‘𝐴) = ((sin‘𝐴) / (cos‘𝐴)))
36	1, 35	syldan 597	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (tan‘𝐴) = ((sin‘𝐴) / (cos‘𝐴)))
37	36	oveq2d 7379	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (i · (tan‘𝐴)) = (i · ((sin‘𝐴) / (cos‘𝐴))))
38	34, 37	eqtr4d 2778	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → ((i · (sin‘𝐴)) / (cos‘𝐴)) = (i · (tan‘𝐴)))
39	32, 38	oveq12d 7381	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (((cos‘𝐴) / (cos‘𝐴)) + ((i · (sin‘𝐴)) / (cos‘𝐴))) = (1 + (i · (tan‘𝐴))))
40	31, 39	eqtrd 2775	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴))) / (cos‘𝐴)) = (1 + (i · (tan‘𝐴))))
41		efival 16117	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(i · 𝐴)) = ((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴))))
42	41	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (exp‘(i · 𝐴)) = ((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴))))
43	42	oveq1d 7378	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → ((exp‘(i · 𝐴)) / (cos‘𝐴)) = (((cos‘𝐴) + (i · (sin‘𝐴))) / (cos‘𝐴)))
44		eflog 26565	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((1 + (i · (tan‘𝐴))) ∈ ℂ ∧ (1 + (i · (tan‘𝐴))) ≠ 0) → (exp‘(log‘(1 + (i · (tan‘𝐴))))) = (1 + (i · (tan‘𝐴))))
45	13, 16, 44	syl2anc 590	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (exp‘(log‘(1 + (i · (tan‘𝐴))))) = (1 + (i · (tan‘𝐴))))
46	40, 43, 45	3eqtr4d 2785	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → ((exp‘(i · 𝐴)) / (cos‘𝐴)) = (exp‘(log‘(1 + (i · (tan‘𝐴))))))
47	26, 30, 26, 1	divsubdird 11968	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (((cos‘𝐴) − (i · (sin‘𝐴))) / (cos‘𝐴)) = (((cos‘𝐴) / (cos‘𝐴)) − ((i · (sin‘𝐴)) / (cos‘𝐴))))
48	32, 38	oveq12d 7381	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (((cos‘𝐴) / (cos‘𝐴)) − ((i · (sin‘𝐴)) / (cos‘𝐴))) = (1 − (i · (tan‘𝐴))))
49	47, 48	eqtrd 2775	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (((cos‘𝐴) − (i · (sin‘𝐴))) / (cos‘𝐴)) = (1 − (i · (tan‘𝐴))))
50		negcl 11391	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -𝐴 ∈ ℂ)
51	50	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → -𝐴 ∈ ℂ)
52		efival 16117	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (-𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(i · -𝐴)) = ((cos‘-𝐴) + (i · (sin‘-𝐴))))
53	51, 52	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (exp‘(i · -𝐴)) = ((cos‘-𝐴) + (i · (sin‘-𝐴))))
54		cosneg 16112	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘-𝐴) = (cos‘𝐴))
55	54	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (cos‘-𝐴) = (cos‘𝐴))
56		sinneg 16111	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘-𝐴) = -(sin‘𝐴))
57	56	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (sin‘-𝐴) = -(sin‘𝐴))
58	57	oveq2d 7379	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (i · (sin‘-𝐴)) = (i · -(sin‘𝐴)))
59		mulneg2 11585	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) ∈ ℂ) → (i · -(sin‘𝐴)) = -(i · (sin‘𝐴)))
60	7, 28, 59	sylancr 593	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (i · -(sin‘𝐴)) = -(i · (sin‘𝐴)))
61	58, 60	eqtrd 2775	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (i · (sin‘-𝐴)) = -(i · (sin‘𝐴)))
62	55, 61	oveq12d 7381	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → ((cos‘-𝐴) + (i · (sin‘-𝐴))) = ((cos‘𝐴) + -(i · (sin‘𝐴))))
63	53, 62	eqtrd 2775	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (exp‘(i · -𝐴)) = ((cos‘𝐴) + -(i · (sin‘𝐴))))
64		simpl 483	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → 𝐴 ∈ ℂ)
65		mulneg2 11585	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (i · -𝐴) = -(i · 𝐴))
66	7, 64, 65	sylancr 593	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (i · -𝐴) = -(i · 𝐴))
67	66	fveq2d 6838	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (exp‘(i · -𝐴)) = (exp‘-(i · 𝐴)))
68	26, 30	negsubd 11509	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → ((cos‘𝐴) + -(i · (sin‘𝐴))) = ((cos‘𝐴) − (i · (sin‘𝐴))))
69	63, 67, 68	3eqtr3d 2783	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (exp‘-(i · 𝐴)) = ((cos‘𝐴) − (i · (sin‘𝐴))))
70	69	oveq1d 7378	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → ((exp‘-(i · 𝐴)) / (cos‘𝐴)) = (((cos‘𝐴) − (i · (sin‘𝐴))) / (cos‘𝐴)))
71		eflog 26565	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((1 − (i · (tan‘𝐴))) ∈ ℂ ∧ (1 − (i · (tan‘𝐴))) ≠ 0) → (exp‘(log‘(1 − (i · (tan‘𝐴))))) = (1 − (i · (tan‘𝐴))))
72	19, 20, 71	syl2anc 590	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (exp‘(log‘(1 − (i · (tan‘𝐴))))) = (1 − (i · (tan‘𝐴))))
73	49, 70, 72	3eqtr4d 2785	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → ((exp‘-(i · 𝐴)) / (cos‘𝐴)) = (exp‘(log‘(1 − (i · (tan‘𝐴))))))
74	46, 73	oveq12d 7381	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (((exp‘(i · 𝐴)) / (cos‘𝐴)) / ((exp‘-(i · 𝐴)) / (cos‘𝐴))) = ((exp‘(log‘(1 + (i · (tan‘𝐴))))) / (exp‘(log‘(1 − (i · (tan‘𝐴)))))))
75		mulcl 11120	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
76	7, 64, 75	sylancr 593	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
77		efcl 16045	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((i · 𝐴) ∈ ℂ → (exp‘(i · 𝐴)) ∈ ℂ)
78	76, 77	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (exp‘(i · 𝐴)) ∈ ℂ)
79	76	negcld 11490	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → -(i · 𝐴) ∈ ℂ)
80		efcl 16045	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (-(i · 𝐴) ∈ ℂ → (exp‘-(i · 𝐴)) ∈ ℂ)
81	79, 80	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (exp‘-(i · 𝐴)) ∈ ℂ)
82		efne0 16061	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (-(i · 𝐴) ∈ ℂ → (exp‘-(i · 𝐴)) ≠ 0)
83	79, 82	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (exp‘-(i · 𝐴)) ≠ 0)
84	78, 81, 26, 83, 1	divcan7d 11957	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (((exp‘(i · 𝐴)) / (cos‘𝐴)) / ((exp‘-(i · 𝐴)) / (cos‘𝐴))) = ((exp‘(i · 𝐴)) / (exp‘-(i · 𝐴))))
85		efsub 16065	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((i · 𝐴) ∈ ℂ ∧ -(i · 𝐴) ∈ ℂ) → (exp‘((i · 𝐴) − -(i · 𝐴))) = ((exp‘(i · 𝐴)) / (exp‘-(i · 𝐴))))
86	76, 79, 85	syl2anc 590	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (exp‘((i · 𝐴) − -(i · 𝐴))) = ((exp‘(i · 𝐴)) / (exp‘-(i · 𝐴))))
87	76, 76	subnegd 11510	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → ((i · 𝐴) − -(i · 𝐴)) = ((i · 𝐴) + (i · 𝐴)))
88	76	2timesd 12418	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (2 · (i · 𝐴)) = ((i · 𝐴) + (i · 𝐴)))
89	87, 88	eqtr4d 2778	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → ((i · 𝐴) − -(i · 𝐴)) = (2 · (i · 𝐴)))
90	89	fveq2d 6838	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (exp‘((i · 𝐴) − -(i · 𝐴))) = (exp‘(2 · (i · 𝐴))))
91	84, 86, 90	3eqtr2d 2781	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (((exp‘(i · 𝐴)) / (cos‘𝐴)) / ((exp‘-(i · 𝐴)) / (cos‘𝐴))) = (exp‘(2 · (i · 𝐴))))
92	24, 74, 91	3eqtr2d 2781	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (exp‘((log‘(1 + (i · (tan‘𝐴)))) − (log‘(1 − (i · (tan‘𝐴)))))) = (exp‘(2 · (i · 𝐴))))
93	92	fveq2d 6838	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (log‘(exp‘((log‘(1 + (i · (tan‘𝐴)))) − (log‘(1 − (i · (tan‘𝐴))))))) = (log‘(exp‘(2 · (i · 𝐴)))))
94	64	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) ∧ (ℜ‘𝐴) < 0) → 𝐴 ∈ ℂ)
95	94	renegd 15169	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) ∧ (ℜ‘𝐴) < 0) → (ℜ‘-𝐴) = -(ℜ‘𝐴))
96	94	recld 15154	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) ∧ (ℜ‘𝐴) < 0) → (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ)
97	96	renegcld 11575	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) ∧ (ℜ‘𝐴) < 0) → -(ℜ‘𝐴) ∈ ℝ)
98		simpr 485	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) ∧ (ℜ‘𝐴) < 0) → (ℜ‘𝐴) < 0)
99	96	lt0neg1d 11717	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) ∧ (ℜ‘𝐴) < 0) → ((ℜ‘𝐴) < 0 ↔ 0 < -(ℜ‘𝐴)))
100	98, 99	mpbid 233	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) ∧ (ℜ‘𝐴) < 0) → 0 < -(ℜ‘𝐴))
101		eliooord 13356	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)) → (-(π / 2) < (ℜ‘𝐴) ∧ (ℜ‘𝐴) < (π / 2)))
102	101	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (-(π / 2) < (ℜ‘𝐴) ∧ (ℜ‘𝐴) < (π / 2)))
103	102	simpld 495	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → -(π / 2) < (ℜ‘𝐴))
104	103	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) ∧ (ℜ‘𝐴) < 0) → -(π / 2) < (ℜ‘𝐴))
105		halfpire 26453	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (π / 2) ∈ ℝ
106		ltnegcon1 11649	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((π / 2) ∈ ℝ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ) → (-(π / 2) < (ℜ‘𝐴) ↔ -(ℜ‘𝐴) < (π / 2)))
107	105, 96, 106	sylancr 593	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) ∧ (ℜ‘𝐴) < 0) → (-(π / 2) < (ℜ‘𝐴) ↔ -(ℜ‘𝐴) < (π / 2)))
108	104, 107	mpbid 233	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) ∧ (ℜ‘𝐴) < 0) → -(ℜ‘𝐴) < (π / 2))
109		0xr 11190	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 0 ∈ ℝ*
110	105	rexri 11201	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (π / 2) ∈ ℝ*
111		elioo2 13337	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ (π / 2) ∈ ℝ*) → (-(ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2)) ↔ (-(ℜ‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 < -(ℜ‘𝐴) ∧ -(ℜ‘𝐴) < (π / 2))))
112	109, 110, 111	mp2an 698	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (-(ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2)) ↔ (-(ℜ‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 < -(ℜ‘𝐴) ∧ -(ℜ‘𝐴) < (π / 2)))
113	97, 100, 108, 112	syl3anbrc 1350	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) ∧ (ℜ‘𝐴) < 0) → -(ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2)))
114	95, 113	eqeltrd 2840	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) ∧ (ℜ‘𝐴) < 0) → (ℜ‘-𝐴) ∈ (0(,)(π / 2)))
115		tanregt0 26528	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((-𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘-𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → 0 < (ℜ‘(tan‘-𝐴)))
116	51, 114, 115	syl2an2r 691	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) ∧ (ℜ‘𝐴) < 0) → 0 < (ℜ‘(tan‘-𝐴)))
117		tanneg 16113	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) ≠ 0) → (tan‘-𝐴) = -(tan‘𝐴))
118	1, 117	syldan 597	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (tan‘-𝐴) = -(tan‘𝐴))
119	118	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) ∧ (ℜ‘𝐴) < 0) → (tan‘-𝐴) = -(tan‘𝐴))
120	119	fveq2d 6838	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) ∧ (ℜ‘𝐴) < 0) → (ℜ‘(tan‘-𝐴)) = (ℜ‘-(tan‘𝐴)))
121	9	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) ∧ (ℜ‘𝐴) < 0) → (tan‘𝐴) ∈ ℂ)
122	121	renegd 15169	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) ∧ (ℜ‘𝐴) < 0) → (ℜ‘-(tan‘𝐴)) = -(ℜ‘(tan‘𝐴)))
123	120, 122	eqtrd 2775	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) ∧ (ℜ‘𝐴) < 0) → (ℜ‘(tan‘-𝐴)) = -(ℜ‘(tan‘𝐴)))
124	116, 123	breqtrd 5105	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) ∧ (ℜ‘𝐴) < 0) → 0 < -(ℜ‘(tan‘𝐴)))
125	9	recld 15154	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (ℜ‘(tan‘𝐴)) ∈ ℝ)
126	125	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) ∧ (ℜ‘𝐴) < 0) → (ℜ‘(tan‘𝐴)) ∈ ℝ)
127	126	lt0neg1d 11717	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) ∧ (ℜ‘𝐴) < 0) → ((ℜ‘(tan‘𝐴)) < 0 ↔ 0 < -(ℜ‘(tan‘𝐴))))
128	124, 127	mpbird 258	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) ∧ (ℜ‘𝐴) < 0) → (ℜ‘(tan‘𝐴)) < 0)
129	128	lt0ne0d 11713	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) ∧ (ℜ‘𝐴) < 0) → (ℜ‘(tan‘𝐴)) ≠ 0)
130		atanlogsub 26905	. . . . . . . . 9 ⊢ (((tan‘𝐴) ∈ dom arctan ∧ (ℜ‘(tan‘𝐴)) ≠ 0) → ((log‘(1 + (i · (tan‘𝐴)))) − (log‘(1 − (i · (tan‘𝐴))))) ∈ ran log)
131	3, 129, 130	syl2an2r 691	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) ∧ (ℜ‘𝐴) < 0) → ((log‘(1 + (i · (tan‘𝐴)))) − (log‘(1 − (i · (tan‘𝐴))))) ∈ ran log)
132		1re 11142	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1 ∈ ℝ
133		ioossre 13358	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (-1(,)1) ⊆ ℝ
134	7	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) ∧ (ℜ‘𝐴) = 0) → i ∈ ℂ)
135	11	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) ∧ (ℜ‘𝐴) = 0) → (i · (tan‘𝐴)) ∈ ℂ)
136		ine0 11583	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ i ≠ 0
137	136	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) ∧ (ℜ‘𝐴) = 0) → i ≠ 0)
138		ixi 11777	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (i · i) = -1
139	138	oveq1i 7373	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((i · i) · (tan‘𝐴)) = (-1 · (tan‘𝐴))
140	9	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) ∧ (ℜ‘𝐴) = 0) → (tan‘𝐴) ∈ ℂ)
141	140	mulm1d 11600	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) ∧ (ℜ‘𝐴) = 0) → (-1 · (tan‘𝐴)) = -(tan‘𝐴))
142	118	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) ∧ (ℜ‘𝐴) = 0) → (tan‘-𝐴) = -(tan‘𝐴))
143	141, 142	eqtr4d 2778	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) ∧ (ℜ‘𝐴) = 0) → (-1 · (tan‘𝐴)) = (tan‘-𝐴))
144	139, 143	eqtrid 2787	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) ∧ (ℜ‘𝐴) = 0) → ((i · i) · (tan‘𝐴)) = (tan‘-𝐴))
145	134, 134, 140	mulassd 11166	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) ∧ (ℜ‘𝐴) = 0) → ((i · i) · (tan‘𝐴)) = (i · (i · (tan‘𝐴))))
146	138	oveq1i 7373	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((i · i) · 𝐴) = (-1 · 𝐴)
147	64	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) ∧ (ℜ‘𝐴) = 0) → 𝐴 ∈ ℂ)
148	147	mulm1d 11600	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) ∧ (ℜ‘𝐴) = 0) → (-1 · 𝐴) = -𝐴)
149	146, 148	eqtrid 2787	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) ∧ (ℜ‘𝐴) = 0) → ((i · i) · 𝐴) = -𝐴)
150	134, 134, 147	mulassd 11166	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) ∧ (ℜ‘𝐴) = 0) → ((i · i) · 𝐴) = (i · (i · 𝐴)))
151	149, 150	eqtr3d 2777	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) ∧ (ℜ‘𝐴) = 0) → -𝐴 = (i · (i · 𝐴)))
152	151	fveq2d 6838	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) ∧ (ℜ‘𝐴) = 0) → (tan‘-𝐴) = (tan‘(i · (i · 𝐴))))
153	144, 145, 152	3eqtr3d 2783	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) ∧ (ℜ‘𝐴) = 0) → (i · (i · (tan‘𝐴))) = (tan‘(i · (i · 𝐴))))
154	134, 135, 137, 153	mvllmuld 11985	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) ∧ (ℜ‘𝐴) = 0) → (i · (tan‘𝐴)) = ((tan‘(i · (i · 𝐴))) / i))
155	76	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) ∧ (ℜ‘𝐴) = 0) → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
156		reim 15069	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘𝐴) = (ℑ‘(i · 𝐴)))
157	156	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (ℜ‘𝐴) = (ℑ‘(i · 𝐴)))
158	157	eqeq1d 2742	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → ((ℜ‘𝐴) = 0 ↔ (ℑ‘(i · 𝐴)) = 0))
159	158	biimpa 477	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) ∧ (ℜ‘𝐴) = 0) → (ℑ‘(i · 𝐴)) = 0)
160	155, 159	reim0bd 15160	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) ∧ (ℜ‘𝐴) = 0) → (i · 𝐴) ∈ ℝ)
161		tanhbnd 16126	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((i · 𝐴) ∈ ℝ → ((tan‘(i · (i · 𝐴))) / i) ∈ (-1(,)1))
162	160, 161	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) ∧ (ℜ‘𝐴) = 0) → ((tan‘(i · (i · 𝐴))) / i) ∈ (-1(,)1))
163	154, 162	eqeltrd 2840	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) ∧ (ℜ‘𝐴) = 0) → (i · (tan‘𝐴)) ∈ (-1(,)1))
164	133, 163	sselid 3920	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) ∧ (ℜ‘𝐴) = 0) → (i · (tan‘𝐴)) ∈ ℝ)
165		readdcl 11119	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ (i · (tan‘𝐴)) ∈ ℝ) → (1 + (i · (tan‘𝐴))) ∈ ℝ)
166	132, 164, 165	sylancr 593	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) ∧ (ℜ‘𝐴) = 0) → (1 + (i · (tan‘𝐴))) ∈ ℝ)
167		df-neg 11378	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ -1 = (0 − 1)
168		eliooord 13356	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((i · (tan‘𝐴)) ∈ (-1(,)1) → (-1 < (i · (tan‘𝐴)) ∧ (i · (tan‘𝐴)) < 1))
169	163, 168	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) ∧ (ℜ‘𝐴) = 0) → (-1 < (i · (tan‘𝐴)) ∧ (i · (tan‘𝐴)) < 1))
170	169	simpld 495	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) ∧ (ℜ‘𝐴) = 0) → -1 < (i · (tan‘𝐴)))
171	167, 170	eqbrtrrid 5115	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) ∧ (ℜ‘𝐴) = 0) → (0 − 1) < (i · (tan‘𝐴)))
172		0red 11145	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) ∧ (ℜ‘𝐴) = 0) → 0 ∈ ℝ)
173	132	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) ∧ (ℜ‘𝐴) = 0) → 1 ∈ ℝ)
174	172, 173, 164	ltsubadd2d 11746	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) ∧ (ℜ‘𝐴) = 0) → ((0 − 1) < (i · (tan‘𝐴)) ↔ 0 < (1 + (i · (tan‘𝐴)))))
175	171, 174	mpbid 233	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) ∧ (ℜ‘𝐴) = 0) → 0 < (1 + (i · (tan‘𝐴))))
176	166, 175	elrpd 12981	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) ∧ (ℜ‘𝐴) = 0) → (1 + (i · (tan‘𝐴))) ∈ ℝ+)
177	176	relogcld 26612	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) ∧ (ℜ‘𝐴) = 0) → (log‘(1 + (i · (tan‘𝐴)))) ∈ ℝ)
178	169	simprd 496	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) ∧ (ℜ‘𝐴) = 0) → (i · (tan‘𝐴)) < 1)
179		difrp 12980	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((i · (tan‘𝐴)) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((i · (tan‘𝐴)) < 1 ↔ (1 − (i · (tan‘𝐴))) ∈ ℝ+))
180	164, 132, 179	sylancl 592	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) ∧ (ℜ‘𝐴) = 0) → ((i · (tan‘𝐴)) < 1 ↔ (1 − (i · (tan‘𝐴))) ∈ ℝ+))
181	178, 180	mpbid 233	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) ∧ (ℜ‘𝐴) = 0) → (1 − (i · (tan‘𝐴))) ∈ ℝ+)
182	181	relogcld 26612	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) ∧ (ℜ‘𝐴) = 0) → (log‘(1 − (i · (tan‘𝐴)))) ∈ ℝ)
183	177, 182	resubcld 11576	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) ∧ (ℜ‘𝐴) = 0) → ((log‘(1 + (i · (tan‘𝐴)))) − (log‘(1 − (i · (tan‘𝐴))))) ∈ ℝ)
184		relogrn 26550	. . . . . . . . 9 ⊢ (((log‘(1 + (i · (tan‘𝐴)))) − (log‘(1 − (i · (tan‘𝐴))))) ∈ ℝ → ((log‘(1 + (i · (tan‘𝐴)))) − (log‘(1 − (i · (tan‘𝐴))))) ∈ ran log)
185	183, 184	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) ∧ (ℜ‘𝐴) = 0) → ((log‘(1 + (i · (tan‘𝐴)))) − (log‘(1 − (i · (tan‘𝐴))))) ∈ ran log)
186	64	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → 𝐴 ∈ ℂ)
187	186	recld 15154	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ)
188		simpr 485	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → 0 < (ℜ‘𝐴))
189	102	simprd 496	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (ℜ‘𝐴) < (π / 2))
190	189	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (ℜ‘𝐴) < (π / 2))
191		elioo2 13337	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ (π / 2) ∈ ℝ*) → ((ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2)) ↔ ((ℜ‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 < (ℜ‘𝐴) ∧ (ℜ‘𝐴) < (π / 2))))
192	109, 110, 191	mp2an 698	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2)) ↔ ((ℜ‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 < (ℜ‘𝐴) ∧ (ℜ‘𝐴) < (π / 2)))
193	187, 188, 190, 192	syl3anbrc 1350	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2)))
194		tanregt0 26528	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (0(,)(π / 2))) → 0 < (ℜ‘(tan‘𝐴)))
195	64, 193, 194	syl2an2r 691	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → 0 < (ℜ‘(tan‘𝐴)))
196	195	gt0ne0d 11712	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → (ℜ‘(tan‘𝐴)) ≠ 0)
197	3, 196, 130	syl2an2r 691	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) ∧ 0 < (ℜ‘𝐴)) → ((log‘(1 + (i · (tan‘𝐴)))) − (log‘(1 − (i · (tan‘𝐴))))) ∈ ran log)
198		recl 15070	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ)
199	198	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ)
200		0re 11144	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ ℝ
201		lttri4 11228	. . . . . . . . 9 ⊢ (((ℜ‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → ((ℜ‘𝐴) < 0 ∨ (ℜ‘𝐴) = 0 ∨ 0 < (ℜ‘𝐴)))
202	199, 200, 201	sylancl 592	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → ((ℜ‘𝐴) < 0 ∨ (ℜ‘𝐴) = 0 ∨ 0 < (ℜ‘𝐴)))
203	131, 185, 197, 202	mpjao3dan 1440	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → ((log‘(1 + (i · (tan‘𝐴)))) − (log‘(1 − (i · (tan‘𝐴))))) ∈ ran log)
204		logef 26570	. . . . . . 7 ⊢ (((log‘(1 + (i · (tan‘𝐴)))) − (log‘(1 − (i · (tan‘𝐴))))) ∈ ran log → (log‘(exp‘((log‘(1 + (i · (tan‘𝐴)))) − (log‘(1 − (i · (tan‘𝐴))))))) = ((log‘(1 + (i · (tan‘𝐴)))) − (log‘(1 − (i · (tan‘𝐴))))))
205	203, 204	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (log‘(exp‘((log‘(1 + (i · (tan‘𝐴)))) − (log‘(1 − (i · (tan‘𝐴))))))) = ((log‘(1 + (i · (tan‘𝐴)))) − (log‘(1 − (i · (tan‘𝐴))))))
206		2cn 12254	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℂ
207		mulcl 11120	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ (i · 𝐴) ∈ ℂ) → (2 · (i · 𝐴)) ∈ ℂ)
208	206, 76, 207	sylancr 593	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (2 · (i · 𝐴)) ∈ ℂ)
209		picn 26447	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ π ∈ ℂ
210		2ne0 12283	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ≠ 0
211		divneg 11844	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((π ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) → -(π / 2) = (-π / 2))
212	209, 206, 210, 211	mp3an 1469	. . . . . . . . . . 11 ⊢ -(π / 2) = (-π / 2)
213	212, 103	eqbrtrrid 5115	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (-π / 2) < (ℜ‘𝐴))
214		pire 26446	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ π ∈ ℝ
215	214	renegcli 11453	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ -π ∈ ℝ
216	215	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → -π ∈ ℝ)
217		2re 12253	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℝ
218	217	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → 2 ∈ ℝ)
219		2pos 12282	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 < 2
220	219	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → 0 < 2)
221		ltdivmul 12029	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((-π ∈ ℝ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((-π / 2) < (ℜ‘𝐴) ↔ -π < (2 · (ℜ‘𝐴))))
222	216, 199, 218, 220, 221	syl112anc 1382	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → ((-π / 2) < (ℜ‘𝐴) ↔ -π < (2 · (ℜ‘𝐴))))
223	213, 222	mpbid 233	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → -π < (2 · (ℜ‘𝐴)))
224		immul2 15097	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ (i · 𝐴) ∈ ℂ) → (ℑ‘(2 · (i · 𝐴))) = (2 · (ℑ‘(i · 𝐴))))
225	217, 76, 224	sylancr 593	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (ℑ‘(2 · (i · 𝐴))) = (2 · (ℑ‘(i · 𝐴))))
226	157	oveq2d 7379	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (2 · (ℜ‘𝐴)) = (2 · (ℑ‘(i · 𝐴))))
227	225, 226	eqtr4d 2778	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (ℑ‘(2 · (i · 𝐴))) = (2 · (ℜ‘𝐴)))
228	223, 227	breqtrrd 5107	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → -π < (ℑ‘(2 · (i · 𝐴))))
229		remulcl 11121	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ) → (2 · (ℜ‘𝐴)) ∈ ℝ)
230	217, 199, 229	sylancr 593	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (2 · (ℜ‘𝐴)) ∈ ℝ)
231	214	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → π ∈ ℝ)
232		ltmuldiv2 12028	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((ℜ‘𝐴) ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((2 · (ℜ‘𝐴)) < π ↔ (ℜ‘𝐴) < (π / 2)))
233	199, 231, 218, 220, 232	syl112anc 1382	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → ((2 · (ℜ‘𝐴)) < π ↔ (ℜ‘𝐴) < (π / 2)))
234	189, 233	mpbird 258	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (2 · (ℜ‘𝐴)) < π)
235	230, 231, 234	ltled 11292	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (2 · (ℜ‘𝐴)) ≤ π)
236	227, 235	eqbrtrd 5101	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (ℑ‘(2 · (i · 𝐴))) ≤ π)
237		ellogrn 26548	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 · (i · 𝐴)) ∈ ran log ↔ ((2 · (i · 𝐴)) ∈ ℂ ∧ -π < (ℑ‘(2 · (i · 𝐴))) ∧ (ℑ‘(2 · (i · 𝐴))) ≤ π))
238	208, 228, 236, 237	syl3anbrc 1350	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (2 · (i · 𝐴)) ∈ ran log)
239		logef 26570	. . . . . . 7 ⊢ ((2 · (i · 𝐴)) ∈ ran log → (log‘(exp‘(2 · (i · 𝐴)))) = (2 · (i · 𝐴)))
240	238, 239	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (log‘(exp‘(2 · (i · 𝐴)))) = (2 · (i · 𝐴)))
241	93, 205, 240	3eqtr3d 2783	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → ((log‘(1 + (i · (tan‘𝐴)))) − (log‘(1 − (i · (tan‘𝐴))))) = (2 · (i · 𝐴)))
242	241	negeqd 11385	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → -((log‘(1 + (i · (tan‘𝐴)))) − (log‘(1 − (i · (tan‘𝐴))))) = -(2 · (i · 𝐴)))
243	22, 242	eqtr3d 2777	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → ((log‘(1 − (i · (tan‘𝐴)))) − (log‘(1 + (i · (tan‘𝐴))))) = -(2 · (i · 𝐴)))
244	243	oveq2d 7379	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → ((i / 2) · ((log‘(1 − (i · (tan‘𝐴)))) − (log‘(1 + (i · (tan‘𝐴)))))) = ((i / 2) · -(2 · (i · 𝐴))))
245		halfcl 12401	. . . . 5 ⊢ (i ∈ ℂ → (i / 2) ∈ ℂ)
246	7, 245	mp1i 13	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (i / 2) ∈ ℂ)
247	206	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → 2 ∈ ℂ)
248	246, 247, 79	mulassd 11166	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (((i / 2) · 2) · -(i · 𝐴)) = ((i / 2) · (2 · -(i · 𝐴))))
249	7, 206, 210	divcan1i 11897	. . . . 5 ⊢ ((i / 2) · 2) = i
250	249	oveq1i 7373	. . . 4 ⊢ (((i / 2) · 2) · -(i · 𝐴)) = (i · -(i · 𝐴))
251	33, 33, 51	mulassd 11166	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → ((i · i) · -𝐴) = (i · (i · -𝐴)))
252	138	oveq1i 7373	. . . . . 6 ⊢ ((i · i) · -𝐴) = (-1 · -𝐴)
253		mul2neg 11587	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (-1 · -𝐴) = (1 · 𝐴))
254	6, 64, 253	sylancr 593	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (-1 · -𝐴) = (1 · 𝐴))
255		mullid 11141	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (1 · 𝐴) = 𝐴)
256	255	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (1 · 𝐴) = 𝐴)
257	254, 256	eqtrd 2775	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (-1 · -𝐴) = 𝐴)
258	252, 257	eqtrid 2787	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → ((i · i) · -𝐴) = 𝐴)
259	66	oveq2d 7379	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (i · (i · -𝐴)) = (i · -(i · 𝐴)))
260	251, 258, 259	3eqtr3rd 2784	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (i · -(i · 𝐴)) = 𝐴)
261	250, 260	eqtrid 2787	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (((i / 2) · 2) · -(i · 𝐴)) = 𝐴)
262		mulneg2 11585	. . . . 5 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ (i · 𝐴) ∈ ℂ) → (2 · -(i · 𝐴)) = -(2 · (i · 𝐴)))
263	206, 76, 262	sylancr 593	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (2 · -(i · 𝐴)) = -(2 · (i · 𝐴)))
264	263	oveq2d 7379	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → ((i / 2) · (2 · -(i · 𝐴))) = ((i / 2) · -(2 · (i · 𝐴))))
265	248, 261, 264	3eqtr3rd 2784	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → ((i / 2) · -(2 · (i · 𝐴))) = 𝐴)
266	5, 244, 265	3eqtrd 2779	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (arctan‘(tan‘𝐴)) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   ∨ w3o 1091   ∧ w3a 1092   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   ≠ wne 2935   class class class wbr 5079  dom cdm 5625  ran crn 5626  ‘cfv 6492  (class class class)co 7363  ℂcc 11034  ℝcr 11035  0cc0 11036  1c1 11037  ici 11038   + caddc 11039   · cmul 11041  ℝ^*cxr 11176   < clt 11177   ≤ cle 11178   − cmin 11375  -cneg 11376   / cdiv 11805  2c2 12234  ℝ⁺crp 12940  (,)cioo 13296  ℜcre 15057  ℑcim 15058  expce 16024  sincsin 16026  cosccos 16027  tanctan 16028  πcpi 16029  logclog 26543  arctancatan 26853

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-rep 5206  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-inf2 9560  ax-cnex 11092  ax-resscn 11093  ax-1cn 11094  ax-icn 11095  ax-addcl 11096  ax-addrcl 11097  ax-mulcl 11098  ax-mulrcl 11099  ax-mulcom 11100  ax-addass 11101  ax-mulass 11102  ax-distr 11103  ax-i2m1 11104  ax-1ne0 11105  ax-1rid 11106  ax-rnegex 11107  ax-rrecex 11108  ax-cnre 11109  ax-pre-lttri 11110  ax-pre-lttrn 11111  ax-pre-ltadd 11112  ax-pre-mulgt0 11113  ax-pre-sup 11114  ax-addf 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3065  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-tp 4567  df-op 4569  df-uni 4846  df-int 4885  df-iun 4930  df-iin 4931  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-tr 5187  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-se 5579  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7320  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-of 7627  df-om 7814  df-1st 7938  df-2nd 7939  df-supp 8108  df-frecs 8228  df-wrecs 8259  df-recs 8308  df-rdg 8346  df-1o 8402  df-2o 8403  df-er 8640  df-map 8772  df-pm 8773  df-ixp 8843  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-fsupp 9272  df-fi 9321  df-sup 9352  df-inf 9353  df-oi 9422  df-card 9861  df-pnf 11179  df-mnf 11180  df-xr 11181  df-ltxr 11182  df-le 11183  df-sub 11377  df-neg 11378  df-div 11806  df-nn 12173  df-2 12242  df-3 12243  df-4 12244  df-5 12245  df-6 12246  df-7 12247  df-8 12248  df-9 12249  df-n0 12436  df-z 12523  df-dec 12643  df-uz 12787  df-q 12897  df-rp 12941  df-xneg 13061  df-xadd 13062  df-xmul 13063  df-ioo 13300  df-ioc 13301  df-ico 13302  df-icc 13303  df-fz 13460  df-fzo 13607  df-fl 13749  df-mod 13827  df-seq 13962  df-exp 14022  df-fac 14234  df-bc 14263  df-hash 14291  df-shft 15027  df-cj 15059  df-re 15060  df-im 15061  df-sqrt 15195  df-abs 15196  df-limsup 15431  df-clim 15448  df-rlim 15449  df-sum 15647  df-ef 16030  df-sin 16032  df-cos 16033  df-tan 16034  df-pi 16035  df-struct 17115  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17178  df-ress 17199  df-plusg 17231  df-mulr 17232  df-starv 17233  df-sca 17234  df-vsca 17235  df-ip 17236  df-tset 17237  df-ple 17238  df-ds 17240  df-unif 17241  df-hom 17242  df-cco 17243  df-rest 17383  df-topn 17384  df-0g 17402  df-gsum 17403  df-topgen 17404  df-pt 17405  df-prds 17408  df-xrs 17464  df-qtop 17469  df-imas 17470  df-xps 17472  df-mre 17546  df-mrc 17547  df-acs 17549  df-mgm 18606  df-sgrp 18685  df-mnd 18701  df-submnd 18750  df-mulg 19042  df-cntz 19290  df-cmn 19755  df-psmet 21346  df-xmet 21347  df-met 21348  df-bl 21349  df-mopn 21350  df-fbas 21351  df-fg 21352  df-cnfld 21355  df-top 22884  df-topon 22901  df-topsp 22923  df-bases 22936  df-cld 23009  df-ntr 23010  df-cls 23011  df-nei 23088  df-lp 23126  df-perf 23127  df-cn 23217  df-cnp 23218  df-haus 23305  df-tx 23552  df-hmeo 23745  df-fil 23836  df-fm 23928  df-flim 23929  df-flf 23930  df-xms 24310  df-ms 24311  df-tms 24312  df-cncf 24870  df-limc 25858  df-dv 25859  df-log 26545  df-atan 26856

This theorem is referenced by:  atantanb  26913  atan1  26917