Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  requad1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem requad1 46844
Description: A condition for a quadratic equation with real coefficients to have (exactly) one real solution. (Contributed by AV, 26-Jan-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
requad2.a (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
requad2.z (๐œ‘ โ†’ ๐ด โ‰  0)
requad2.b (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
requad2.c (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„)
requad2.d (๐œ‘ โ†’ ๐ท = ((๐ตโ†‘2) โˆ’ (4 ยท (๐ด ยท ๐ถ))))
Assertion
Ref Expression
requad1 (๐œ‘ โ†’ (โˆƒ!๐‘ฅ โˆˆ โ„ ((๐ด ยท (๐‘ฅโ†‘2)) + ((๐ต ยท ๐‘ฅ) + ๐ถ)) = 0 โ†” ๐ท = 0))
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐ด   ๐‘ฅ,๐ต   ๐‘ฅ,๐ถ   ๐‘ฅ,๐ท   ๐œ‘,๐‘ฅ

Proof of Theorem requad1
StepHypRef Expression
1 requad2.a . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
21recnd 11243 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
32ad2antrr 723 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
4 requad2.z . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โ‰  0)
54ad2antrr 723 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โ†’ ๐ด โ‰  0)
6 requad2.b . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
76recnd 11243 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
87ad2antrr 723 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
9 requad2.c . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„)
109recnd 11243 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
1110ad2antrr 723 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
12 recn 11199 . . . . . . 7 (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚)
1312adantl 481 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚)
14 requad2.d . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐ท = ((๐ตโ†‘2) โˆ’ (4 ยท (๐ด ยท ๐ถ))))
1514ad2antrr 723 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โ†’ ๐ท = ((๐ตโ†‘2) โˆ’ (4 ยท (๐ด ยท ๐ถ))))
163, 5, 8, 11, 13, 15quad 26722 . . . . 5 (((๐œ‘ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โ†’ (((๐ด ยท (๐‘ฅโ†‘2)) + ((๐ต ยท ๐‘ฅ) + ๐ถ)) = 0 โ†” (๐‘ฅ = ((-๐ต + (โˆšโ€˜๐ท)) / (2 ยท ๐ด)) โˆจ ๐‘ฅ = ((-๐ต โˆ’ (โˆšโ€˜๐ท)) / (2 ยท ๐ด)))))
1716reubidva 3386 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โ†’ (โˆƒ!๐‘ฅ โˆˆ โ„ ((๐ด ยท (๐‘ฅโ†‘2)) + ((๐ต ยท ๐‘ฅ) + ๐ถ)) = 0 โ†” โˆƒ!๐‘ฅ โˆˆ โ„ (๐‘ฅ = ((-๐ต + (โˆšโ€˜๐ท)) / (2 ยท ๐ด)) โˆจ ๐‘ฅ = ((-๐ต โˆ’ (โˆšโ€˜๐ท)) / (2 ยท ๐ด)))))
186renegcld 11642 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ -๐ต โˆˆ โ„)
1918adantr 480 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โ†’ -๐ต โˆˆ โ„)
206resqcld 14092 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (๐ตโ†‘2) โˆˆ โ„)
21 4re 12297 . . . . . . . . . . . 12 4 โˆˆ โ„
2221a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ 4 โˆˆ โ„)
231, 9remulcld 11245 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (๐ด ยท ๐ถ) โˆˆ โ„)
2422, 23remulcld 11245 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (4 ยท (๐ด ยท ๐ถ)) โˆˆ โ„)
2520, 24resubcld 11643 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((๐ตโ†‘2) โˆ’ (4 ยท (๐ด ยท ๐ถ))) โˆˆ โ„)
2614, 25eqeltrd 2827 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐ท โˆˆ โ„)
27 resqrtcl 15203 . . . . . . . 8 ((๐ท โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โ†’ (โˆšโ€˜๐ท) โˆˆ โ„)
2826, 27sylan 579 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โ†’ (โˆšโ€˜๐ท) โˆˆ โ„)
2919, 28readdcld 11244 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โ†’ (-๐ต + (โˆšโ€˜๐ท)) โˆˆ โ„)
30 2re 12287 . . . . . . . . 9 2 โˆˆ โ„
3130a1i 11 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ 2 โˆˆ โ„)
3231, 1remulcld 11245 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (2 ยท ๐ด) โˆˆ โ„)
3332adantr 480 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โ†’ (2 ยท ๐ด) โˆˆ โ„)
34 2cnd 12291 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ 2 โˆˆ โ„‚)
35 2ne0 12317 . . . . . . . . 9 2 โ‰  0
3635a1i 11 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ 2 โ‰  0)
3734, 2, 36, 4mulne0d 11867 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (2 ยท ๐ด) โ‰  0)
3837adantr 480 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โ†’ (2 ยท ๐ด) โ‰  0)
3929, 33, 38redivcld 12043 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โ†’ ((-๐ต + (โˆšโ€˜๐ท)) / (2 ยท ๐ด)) โˆˆ โ„)
4019, 28resubcld 11643 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โ†’ (-๐ต โˆ’ (โˆšโ€˜๐ท)) โˆˆ โ„)
4140, 33, 38redivcld 12043 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โ†’ ((-๐ต โˆ’ (โˆšโ€˜๐ท)) / (2 ยท ๐ด)) โˆˆ โ„)
42 euoreqb 46371 . . . . 5 ((((-๐ต + (โˆšโ€˜๐ท)) / (2 ยท ๐ด)) โˆˆ โ„ โˆง ((-๐ต โˆ’ (โˆšโ€˜๐ท)) / (2 ยท ๐ด)) โˆˆ โ„) โ†’ (โˆƒ!๐‘ฅ โˆˆ โ„ (๐‘ฅ = ((-๐ต + (โˆšโ€˜๐ท)) / (2 ยท ๐ด)) โˆจ ๐‘ฅ = ((-๐ต โˆ’ (โˆšโ€˜๐ท)) / (2 ยท ๐ด))) โ†” ((-๐ต + (โˆšโ€˜๐ท)) / (2 ยท ๐ด)) = ((-๐ต โˆ’ (โˆšโ€˜๐ท)) / (2 ยท ๐ด))))
4339, 41, 42syl2anc 583 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โ†’ (โˆƒ!๐‘ฅ โˆˆ โ„ (๐‘ฅ = ((-๐ต + (โˆšโ€˜๐ท)) / (2 ยท ๐ด)) โˆจ ๐‘ฅ = ((-๐ต โˆ’ (โˆšโ€˜๐ท)) / (2 ยท ๐ด))) โ†” ((-๐ต + (โˆšโ€˜๐ท)) / (2 ยท ๐ด)) = ((-๐ต โˆ’ (โˆšโ€˜๐ท)) / (2 ยท ๐ด))))
447negcld 11559 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ -๐ต โˆˆ โ„‚)
4526recnd 11243 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐ท โˆˆ โ„‚)
4645sqrtcld 15387 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (โˆšโ€˜๐ท) โˆˆ โ„‚)
4732recnd 11243 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (2 ยท ๐ด) โˆˆ โ„‚)
4844, 46, 47, 37divdird 12029 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((-๐ต + (โˆšโ€˜๐ท)) / (2 ยท ๐ด)) = ((-๐ต / (2 ยท ๐ด)) + ((โˆšโ€˜๐ท) / (2 ยท ๐ด))))
4948adantr 480 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โ†’ ((-๐ต + (โˆšโ€˜๐ท)) / (2 ยท ๐ด)) = ((-๐ต / (2 ยท ๐ด)) + ((โˆšโ€˜๐ท) / (2 ยท ๐ด))))
5044, 46, 47, 37divsubdird 12030 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ((-๐ต โˆ’ (โˆšโ€˜๐ท)) / (2 ยท ๐ด)) = ((-๐ต / (2 ยท ๐ด)) โˆ’ ((โˆšโ€˜๐ท) / (2 ยท ๐ด))))
5150adantr 480 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โ†’ ((-๐ต โˆ’ (โˆšโ€˜๐ท)) / (2 ยท ๐ด)) = ((-๐ต / (2 ยท ๐ด)) โˆ’ ((โˆšโ€˜๐ท) / (2 ยท ๐ด))))
5244, 47, 37divcld 11991 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (-๐ต / (2 ยท ๐ด)) โˆˆ โ„‚)
5352adantr 480 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โ†’ (-๐ต / (2 ยท ๐ด)) โˆˆ โ„‚)
5446, 47, 37divcld 11991 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((โˆšโ€˜๐ท) / (2 ยท ๐ด)) โˆˆ โ„‚)
5554adantr 480 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โ†’ ((โˆšโ€˜๐ท) / (2 ยท ๐ด)) โˆˆ โ„‚)
5653, 55negsubd 11578 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โ†’ ((-๐ต / (2 ยท ๐ด)) + -((โˆšโ€˜๐ท) / (2 ยท ๐ด))) = ((-๐ต / (2 ยท ๐ด)) โˆ’ ((โˆšโ€˜๐ท) / (2 ยท ๐ด))))
5746adantr 480 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โ†’ (โˆšโ€˜๐ท) โˆˆ โ„‚)
5847adantr 480 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โ†’ (2 ยท ๐ด) โˆˆ โ„‚)
5957, 58, 38divnegd 12004 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โ†’ -((โˆšโ€˜๐ท) / (2 ยท ๐ด)) = (-(โˆšโ€˜๐ท) / (2 ยท ๐ด)))
6059oveq2d 7420 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โ†’ ((-๐ต / (2 ยท ๐ด)) + -((โˆšโ€˜๐ท) / (2 ยท ๐ด))) = ((-๐ต / (2 ยท ๐ด)) + (-(โˆšโ€˜๐ท) / (2 ยท ๐ด))))
6151, 56, 603eqtr2d 2772 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โ†’ ((-๐ต โˆ’ (โˆšโ€˜๐ท)) / (2 ยท ๐ด)) = ((-๐ต / (2 ยท ๐ด)) + (-(โˆšโ€˜๐ท) / (2 ยท ๐ด))))
6249, 61eqeq12d 2742 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โ†’ (((-๐ต + (โˆšโ€˜๐ท)) / (2 ยท ๐ด)) = ((-๐ต โˆ’ (โˆšโ€˜๐ท)) / (2 ยท ๐ด)) โ†” ((-๐ต / (2 ยท ๐ด)) + ((โˆšโ€˜๐ท) / (2 ยท ๐ด))) = ((-๐ต / (2 ยท ๐ด)) + (-(โˆšโ€˜๐ท) / (2 ยท ๐ด)))))
6346negcld 11559 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ -(โˆšโ€˜๐ท) โˆˆ โ„‚)
6463, 47, 37divcld 11991 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (-(โˆšโ€˜๐ท) / (2 ยท ๐ด)) โˆˆ โ„‚)
6564adantr 480 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โ†’ (-(โˆšโ€˜๐ท) / (2 ยท ๐ด)) โˆˆ โ„‚)
6653, 55, 65addcand 11418 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โ†’ (((-๐ต / (2 ยท ๐ด)) + ((โˆšโ€˜๐ท) / (2 ยท ๐ด))) = ((-๐ต / (2 ยท ๐ด)) + (-(โˆšโ€˜๐ท) / (2 ยท ๐ด))) โ†” ((โˆšโ€˜๐ท) / (2 ยท ๐ด)) = (-(โˆšโ€˜๐ท) / (2 ยท ๐ด))))
67 div11 11901 . . . . . . . 8 (((โˆšโ€˜๐ท) โˆˆ โ„‚ โˆง -(โˆšโ€˜๐ท) โˆˆ โ„‚ โˆง ((2 ยท ๐ด) โˆˆ โ„‚ โˆง (2 ยท ๐ด) โ‰  0)) โ†’ (((โˆšโ€˜๐ท) / (2 ยท ๐ด)) = (-(โˆšโ€˜๐ท) / (2 ยท ๐ด)) โ†” (โˆšโ€˜๐ท) = -(โˆšโ€˜๐ท)))
6846, 63, 47, 37, 67syl112anc 1371 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (((โˆšโ€˜๐ท) / (2 ยท ๐ด)) = (-(โˆšโ€˜๐ท) / (2 ยท ๐ด)) โ†” (โˆšโ€˜๐ท) = -(โˆšโ€˜๐ท)))
6968adantr 480 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โ†’ (((โˆšโ€˜๐ท) / (2 ยท ๐ด)) = (-(โˆšโ€˜๐ท) / (2 ยท ๐ด)) โ†” (โˆšโ€˜๐ท) = -(โˆšโ€˜๐ท)))
7057eqnegd 11936 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โ†’ ((โˆšโ€˜๐ท) = -(โˆšโ€˜๐ท) โ†” (โˆšโ€˜๐ท) = 0))
71 sqrt00 15213 . . . . . . . 8 ((๐ท โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โ†’ ((โˆšโ€˜๐ท) = 0 โ†” ๐ท = 0))
7226, 71sylan 579 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โ†’ ((โˆšโ€˜๐ท) = 0 โ†” ๐ท = 0))
7370, 72bitrd 279 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โ†’ ((โˆšโ€˜๐ท) = -(โˆšโ€˜๐ท) โ†” ๐ท = 0))
7466, 69, 733bitrd 305 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โ†’ (((-๐ต / (2 ยท ๐ด)) + ((โˆšโ€˜๐ท) / (2 ยท ๐ด))) = ((-๐ต / (2 ยท ๐ด)) + (-(โˆšโ€˜๐ท) / (2 ยท ๐ด))) โ†” ๐ท = 0))
7562, 74bitrd 279 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โ†’ (((-๐ต + (โˆšโ€˜๐ท)) / (2 ยท ๐ด)) = ((-๐ต โˆ’ (โˆšโ€˜๐ท)) / (2 ยท ๐ด)) โ†” ๐ท = 0))
7617, 43, 753bitrd 305 . . 3 ((๐œ‘ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โ†’ (โˆƒ!๐‘ฅ โˆˆ โ„ ((๐ด ยท (๐‘ฅโ†‘2)) + ((๐ต ยท ๐‘ฅ) + ๐ถ)) = 0 โ†” ๐ท = 0))
7776expcom 413 . 2 (0 โ‰ค ๐ท โ†’ (๐œ‘ โ†’ (โˆƒ!๐‘ฅ โˆˆ โ„ ((๐ด ยท (๐‘ฅโ†‘2)) + ((๐ต ยท ๐‘ฅ) + ๐ถ)) = 0 โ†” ๐ท = 0)))
781, 4, 6, 9, 14requad01 46843 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ ((๐ด ยท (๐‘ฅโ†‘2)) + ((๐ต ยท ๐‘ฅ) + ๐ถ)) = 0 โ†” 0 โ‰ค ๐ท))
7978notbid 318 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (ยฌ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ ((๐ด ยท (๐‘ฅโ†‘2)) + ((๐ต ยท ๐‘ฅ) + ๐ถ)) = 0 โ†” ยฌ 0 โ‰ค ๐ท))
8079biimparc 479 . . . . . 6 ((ยฌ 0 โ‰ค ๐ท โˆง ๐œ‘) โ†’ ยฌ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ ((๐ด ยท (๐‘ฅโ†‘2)) + ((๐ต ยท ๐‘ฅ) + ๐ถ)) = 0)
81 reurex 3374 . . . . . 6 (โˆƒ!๐‘ฅ โˆˆ โ„ ((๐ด ยท (๐‘ฅโ†‘2)) + ((๐ต ยท ๐‘ฅ) + ๐ถ)) = 0 โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ ((๐ด ยท (๐‘ฅโ†‘2)) + ((๐ต ยท ๐‘ฅ) + ๐ถ)) = 0)
8280, 81nsyl 140 . . . . 5 ((ยฌ 0 โ‰ค ๐ท โˆง ๐œ‘) โ†’ ยฌ โˆƒ!๐‘ฅ โˆˆ โ„ ((๐ด ยท (๐‘ฅโ†‘2)) + ((๐ต ยท ๐‘ฅ) + ๐ถ)) = 0)
8382pm2.21d 121 . . . 4 ((ยฌ 0 โ‰ค ๐ท โˆง ๐œ‘) โ†’ (โˆƒ!๐‘ฅ โˆˆ โ„ ((๐ด ยท (๐‘ฅโ†‘2)) + ((๐ต ยท ๐‘ฅ) + ๐ถ)) = 0 โ†’ ๐ท = 0))
84 0red 11218 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ 0 โˆˆ โ„)
8526, 84ltnled 11362 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐ท < 0 โ†” ยฌ 0 โ‰ค ๐ท))
8685biimparc 479 . . . . . 6 ((ยฌ 0 โ‰ค ๐ท โˆง ๐œ‘) โ†’ ๐ท < 0)
8786lt0ne0d 11780 . . . . 5 ((ยฌ 0 โ‰ค ๐ท โˆง ๐œ‘) โ†’ ๐ท โ‰  0)
88 eqneqall 2945 . . . . 5 (๐ท = 0 โ†’ (๐ท โ‰  0 โ†’ โˆƒ!๐‘ฅ โˆˆ โ„ ((๐ด ยท (๐‘ฅโ†‘2)) + ((๐ต ยท ๐‘ฅ) + ๐ถ)) = 0))
8987, 88syl5com 31 . . . 4 ((ยฌ 0 โ‰ค ๐ท โˆง ๐œ‘) โ†’ (๐ท = 0 โ†’ โˆƒ!๐‘ฅ โˆˆ โ„ ((๐ด ยท (๐‘ฅโ†‘2)) + ((๐ต ยท ๐‘ฅ) + ๐ถ)) = 0))
9083, 89impbid 211 . . 3 ((ยฌ 0 โ‰ค ๐ท โˆง ๐œ‘) โ†’ (โˆƒ!๐‘ฅ โˆˆ โ„ ((๐ด ยท (๐‘ฅโ†‘2)) + ((๐ต ยท ๐‘ฅ) + ๐ถ)) = 0 โ†” ๐ท = 0))
9190ex 412 . 2 (ยฌ 0 โ‰ค ๐ท โ†’ (๐œ‘ โ†’ (โˆƒ!๐‘ฅ โˆˆ โ„ ((๐ด ยท (๐‘ฅโ†‘2)) + ((๐ต ยท ๐‘ฅ) + ๐ถ)) = 0 โ†” ๐ท = 0)))
9277, 91pm2.61i 182 1 (๐œ‘ โ†’ (โˆƒ!๐‘ฅ โˆˆ โ„ ((๐ด ยท (๐‘ฅโ†‘2)) + ((๐ต ยท ๐‘ฅ) + ๐ถ)) = 0 โ†” ๐ท = 0))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 395   โˆจ wo 844   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098   โ‰  wne 2934  โˆƒwrex 3064  โˆƒ!wreu 3368   class class class wbr 5141  โ€˜cfv 6536  (class class class)co 7404  โ„‚cc 11107  โ„cr 11108  0cc0 11109   + caddc 11112   ยท cmul 11114   < clt 11249   โ‰ค cle 11250   โˆ’ cmin 11445  -cneg 11446   / cdiv 11872  2c2 12268  4c4 12270  โ†‘cexp 14029  โˆšcsqrt 15183
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-sup 9436  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-div 11873  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-4 12278  df-n0 12474  df-z 12560  df-uz 12824  df-rp 12978  df-seq 13970  df-exp 14030  df-cj 15049  df-re 15050  df-im 15051  df-sqrt 15185  df-abs 15186
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator