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Theorem requad1 47230
Description: A condition for a quadratic equation with real coefficients to have (exactly) one real solution. (Contributed by AV, 26-Jan-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
requad2.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
requad2.z (𝜑𝐴 ≠ 0)
requad2.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
requad2.c (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
requad2.d (𝜑𝐷 = ((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶))))
Assertion
Ref Expression
requad1 (𝜑 → (∃!𝑥 ∈ ℝ ((𝐴 · (𝑥↑2)) + ((𝐵 · 𝑥) + 𝐶)) = 0 ↔ 𝐷 = 0))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶   𝑥,𝐷   𝜑,𝑥

Proof of Theorem requad1
StepHypRef Expression
1 requad2.a . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
21recnd 11283 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
32ad2antrr 724 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℂ)
4 requad2.z . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ≠ 0)
54ad2antrr 724 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝐴 ≠ 0)
6 requad2.b . . . . . . . 8 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
76recnd 11283 . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
87ad2antrr 724 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℂ)
9 requad2.c . . . . . . . 8 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
109recnd 11283 . . . . . . 7 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
1110ad2antrr 724 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝐶 ∈ ℂ)
12 recn 11239 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℂ)
1312adantl 480 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑥 ∈ ℂ)
14 requad2.d . . . . . . 7 (𝜑𝐷 = ((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶))))
1514ad2antrr 724 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝐷 = ((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶))))
163, 5, 8, 11, 13, 15quad 26865 . . . . 5 (((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (((𝐴 · (𝑥↑2)) + ((𝐵 · 𝑥) + 𝐶)) = 0 ↔ (𝑥 = ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ∨ 𝑥 = ((-𝐵 − (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)))))
1716reubidva 3380 . . . 4 ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) → (∃!𝑥 ∈ ℝ ((𝐴 · (𝑥↑2)) + ((𝐵 · 𝑥) + 𝐶)) = 0 ↔ ∃!𝑥 ∈ ℝ (𝑥 = ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ∨ 𝑥 = ((-𝐵 − (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)))))
186renegcld 11682 . . . . . . . 8 (𝜑 → -𝐵 ∈ ℝ)
1918adantr 479 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) → -𝐵 ∈ ℝ)
206resqcld 14138 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐵↑2) ∈ ℝ)
21 4re 12342 . . . . . . . . . . . 12 4 ∈ ℝ
2221a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 4 ∈ ℝ)
231, 9remulcld 11285 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐴 · 𝐶) ∈ ℝ)
2422, 23remulcld 11285 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (4 · (𝐴 · 𝐶)) ∈ ℝ)
2520, 24resubcld 11683 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶))) ∈ ℝ)
2614, 25eqeltrd 2826 . . . . . . . 8 (𝜑𝐷 ∈ ℝ)
27 resqrtcl 15253 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐷) → (√‘𝐷) ∈ ℝ)
2826, 27sylan 578 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) → (√‘𝐷) ∈ ℝ)
2919, 28readdcld 11284 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) → (-𝐵 + (√‘𝐷)) ∈ ℝ)
30 2re 12332 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℝ
3130a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
3231, 1remulcld 11285 . . . . . . 7 (𝜑 → (2 · 𝐴) ∈ ℝ)
3332adantr 479 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) → (2 · 𝐴) ∈ ℝ)
34 2cnd 12336 . . . . . . . 8 (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
35 2ne0 12362 . . . . . . . . 9 2 ≠ 0
3635a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → 2 ≠ 0)
3734, 2, 36, 4mulne0d 11907 . . . . . . 7 (𝜑 → (2 · 𝐴) ≠ 0)
3837adantr 479 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) → (2 · 𝐴) ≠ 0)
3929, 33, 38redivcld 12087 . . . . 5 ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) → ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ∈ ℝ)
4019, 28resubcld 11683 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) → (-𝐵 − (√‘𝐷)) ∈ ℝ)
4140, 33, 38redivcld 12087 . . . . 5 ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) → ((-𝐵 − (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ∈ ℝ)
42 euoreqb 46758 . . . . 5 ((((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ∈ ℝ ∧ ((-𝐵 − (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ∈ ℝ) → (∃!𝑥 ∈ ℝ (𝑥 = ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ∨ 𝑥 = ((-𝐵 − (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴))) ↔ ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) = ((-𝐵 − (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴))))
4339, 41, 42syl2anc 582 . . . 4 ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) → (∃!𝑥 ∈ ℝ (𝑥 = ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ∨ 𝑥 = ((-𝐵 − (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴))) ↔ ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) = ((-𝐵 − (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴))))
447negcld 11599 . . . . . . . 8 (𝜑 → -𝐵 ∈ ℂ)
4526recnd 11283 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐷 ∈ ℂ)
4645sqrtcld 15437 . . . . . . . 8 (𝜑 → (√‘𝐷) ∈ ℂ)
4732recnd 11283 . . . . . . . 8 (𝜑 → (2 · 𝐴) ∈ ℂ)
4844, 46, 47, 37divdird 12073 . . . . . . 7 (𝜑 → ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) = ((-𝐵 / (2 · 𝐴)) + ((√‘𝐷) / (2 · 𝐴))))
4948adantr 479 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) → ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) = ((-𝐵 / (2 · 𝐴)) + ((√‘𝐷) / (2 · 𝐴))))
5044, 46, 47, 37divsubdird 12074 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((-𝐵 − (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) = ((-𝐵 / (2 · 𝐴)) − ((√‘𝐷) / (2 · 𝐴))))
5150adantr 479 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) → ((-𝐵 − (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) = ((-𝐵 / (2 · 𝐴)) − ((√‘𝐷) / (2 · 𝐴))))
5244, 47, 37divcld 12035 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (-𝐵 / (2 · 𝐴)) ∈ ℂ)
5352adantr 479 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) → (-𝐵 / (2 · 𝐴)) ∈ ℂ)
5446, 47, 37divcld 12035 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((√‘𝐷) / (2 · 𝐴)) ∈ ℂ)
5554adantr 479 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) → ((√‘𝐷) / (2 · 𝐴)) ∈ ℂ)
5653, 55negsubd 11618 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) → ((-𝐵 / (2 · 𝐴)) + -((√‘𝐷) / (2 · 𝐴))) = ((-𝐵 / (2 · 𝐴)) − ((√‘𝐷) / (2 · 𝐴))))
5746adantr 479 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) → (√‘𝐷) ∈ ℂ)
5847adantr 479 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) → (2 · 𝐴) ∈ ℂ)
5957, 58, 38divnegd 12048 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) → -((√‘𝐷) / (2 · 𝐴)) = (-(√‘𝐷) / (2 · 𝐴)))
6059oveq2d 7432 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) → ((-𝐵 / (2 · 𝐴)) + -((√‘𝐷) / (2 · 𝐴))) = ((-𝐵 / (2 · 𝐴)) + (-(√‘𝐷) / (2 · 𝐴))))
6151, 56, 603eqtr2d 2772 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) → ((-𝐵 − (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) = ((-𝐵 / (2 · 𝐴)) + (-(√‘𝐷) / (2 · 𝐴))))
6249, 61eqeq12d 2742 . . . . 5 ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) → (((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) = ((-𝐵 − (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ↔ ((-𝐵 / (2 · 𝐴)) + ((√‘𝐷) / (2 · 𝐴))) = ((-𝐵 / (2 · 𝐴)) + (-(√‘𝐷) / (2 · 𝐴)))))
6346negcld 11599 . . . . . . . . 9 (𝜑 → -(√‘𝐷) ∈ ℂ)
6463, 47, 37divcld 12035 . . . . . . . 8 (𝜑 → (-(√‘𝐷) / (2 · 𝐴)) ∈ ℂ)
6564adantr 479 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) → (-(√‘𝐷) / (2 · 𝐴)) ∈ ℂ)
6653, 55, 65addcand 11458 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) → (((-𝐵 / (2 · 𝐴)) + ((√‘𝐷) / (2 · 𝐴))) = ((-𝐵 / (2 · 𝐴)) + (-(√‘𝐷) / (2 · 𝐴))) ↔ ((√‘𝐷) / (2 · 𝐴)) = (-(√‘𝐷) / (2 · 𝐴))))
67 div11 11942 . . . . . . . 8 (((√‘𝐷) ∈ ℂ ∧ -(√‘𝐷) ∈ ℂ ∧ ((2 · 𝐴) ∈ ℂ ∧ (2 · 𝐴) ≠ 0)) → (((√‘𝐷) / (2 · 𝐴)) = (-(√‘𝐷) / (2 · 𝐴)) ↔ (√‘𝐷) = -(√‘𝐷)))
6846, 63, 47, 37, 67syl112anc 1371 . . . . . . 7 (𝜑 → (((√‘𝐷) / (2 · 𝐴)) = (-(√‘𝐷) / (2 · 𝐴)) ↔ (√‘𝐷) = -(√‘𝐷)))
6968adantr 479 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) → (((√‘𝐷) / (2 · 𝐴)) = (-(√‘𝐷) / (2 · 𝐴)) ↔ (√‘𝐷) = -(√‘𝐷)))
7057eqnegd 11980 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) → ((√‘𝐷) = -(√‘𝐷) ↔ (√‘𝐷) = 0))
71 sqrt00 15263 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐷) → ((√‘𝐷) = 0 ↔ 𝐷 = 0))
7226, 71sylan 578 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) → ((√‘𝐷) = 0 ↔ 𝐷 = 0))
7370, 72bitrd 278 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) → ((√‘𝐷) = -(√‘𝐷) ↔ 𝐷 = 0))
7466, 69, 733bitrd 304 . . . . 5 ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) → (((-𝐵 / (2 · 𝐴)) + ((√‘𝐷) / (2 · 𝐴))) = ((-𝐵 / (2 · 𝐴)) + (-(√‘𝐷) / (2 · 𝐴))) ↔ 𝐷 = 0))
7562, 74bitrd 278 . . . 4 ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) → (((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) = ((-𝐵 − (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ↔ 𝐷 = 0))
7617, 43, 753bitrd 304 . . 3 ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) → (∃!𝑥 ∈ ℝ ((𝐴 · (𝑥↑2)) + ((𝐵 · 𝑥) + 𝐶)) = 0 ↔ 𝐷 = 0))
7776expcom 412 . 2 (0 ≤ 𝐷 → (𝜑 → (∃!𝑥 ∈ ℝ ((𝐴 · (𝑥↑2)) + ((𝐵 · 𝑥) + 𝐶)) = 0 ↔ 𝐷 = 0)))
781, 4, 6, 9, 14requad01 47229 . . . . . . . 8 (𝜑 → (∃𝑥 ∈ ℝ ((𝐴 · (𝑥↑2)) + ((𝐵 · 𝑥) + 𝐶)) = 0 ↔ 0 ≤ 𝐷))
7978notbid 317 . . . . . . 7 (𝜑 → (¬ ∃𝑥 ∈ ℝ ((𝐴 · (𝑥↑2)) + ((𝐵 · 𝑥) + 𝐶)) = 0 ↔ ¬ 0 ≤ 𝐷))
8079biimparc 478 . . . . . 6 ((¬ 0 ≤ 𝐷𝜑) → ¬ ∃𝑥 ∈ ℝ ((𝐴 · (𝑥↑2)) + ((𝐵 · 𝑥) + 𝐶)) = 0)
81 reurex 3368 . . . . . 6 (∃!𝑥 ∈ ℝ ((𝐴 · (𝑥↑2)) + ((𝐵 · 𝑥) + 𝐶)) = 0 → ∃𝑥 ∈ ℝ ((𝐴 · (𝑥↑2)) + ((𝐵 · 𝑥) + 𝐶)) = 0)
8280, 81nsyl 140 . . . . 5 ((¬ 0 ≤ 𝐷𝜑) → ¬ ∃!𝑥 ∈ ℝ ((𝐴 · (𝑥↑2)) + ((𝐵 · 𝑥) + 𝐶)) = 0)
8382pm2.21d 121 . . . 4 ((¬ 0 ≤ 𝐷𝜑) → (∃!𝑥 ∈ ℝ ((𝐴 · (𝑥↑2)) + ((𝐵 · 𝑥) + 𝐶)) = 0 → 𝐷 = 0))
84 0red 11258 . . . . . . . 8 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
8526, 84ltnled 11402 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐷 < 0 ↔ ¬ 0 ≤ 𝐷))
8685biimparc 478 . . . . . 6 ((¬ 0 ≤ 𝐷𝜑) → 𝐷 < 0)
8786lt0ne0d 11820 . . . . 5 ((¬ 0 ≤ 𝐷𝜑) → 𝐷 ≠ 0)
88 eqneqall 2941 . . . . 5 (𝐷 = 0 → (𝐷 ≠ 0 → ∃!𝑥 ∈ ℝ ((𝐴 · (𝑥↑2)) + ((𝐵 · 𝑥) + 𝐶)) = 0))
8987, 88syl5com 31 . . . 4 ((¬ 0 ≤ 𝐷𝜑) → (𝐷 = 0 → ∃!𝑥 ∈ ℝ ((𝐴 · (𝑥↑2)) + ((𝐵 · 𝑥) + 𝐶)) = 0))
9083, 89impbid 211 . . 3 ((¬ 0 ≤ 𝐷𝜑) → (∃!𝑥 ∈ ℝ ((𝐴 · (𝑥↑2)) + ((𝐵 · 𝑥) + 𝐶)) = 0 ↔ 𝐷 = 0))
9190ex 411 . 2 (¬ 0 ≤ 𝐷 → (𝜑 → (∃!𝑥 ∈ ℝ ((𝐴 · (𝑥↑2)) + ((𝐵 · 𝑥) + 𝐶)) = 0 ↔ 𝐷 = 0)))
9277, 91pm2.61i 182 1 (𝜑 → (∃!𝑥 ∈ ℝ ((𝐴 · (𝑥↑2)) + ((𝐵 · 𝑥) + 𝐶)) = 0 ↔ 𝐷 = 0))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 394  wo 845   = wceq 1534  wcel 2099  wne 2930  wrex 3060  ∃!wreu 3362   class class class wbr 5145  cfv 6546  (class class class)co 7416  cc 11147  cr 11148  0cc0 11149   + caddc 11152   · cmul 11154   < clt 11289  cle 11290  cmin 11485  -cneg 11486   / cdiv 11912  2c2 12313  4c4 12315  cexp 14075  csqrt 15233
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-sep 5296  ax-nul 5303  ax-pow 5361  ax-pr 5425  ax-un 7738  ax-cnex 11205  ax-resscn 11206  ax-1cn 11207  ax-icn 11208  ax-addcl 11209  ax-addrcl 11210  ax-mulcl 11211  ax-mulrcl 11212  ax-mulcom 11213  ax-addass 11214  ax-mulass 11215  ax-distr 11216  ax-i2m1 11217  ax-1ne0 11218  ax-1rid 11219  ax-rnegex 11220  ax-rrecex 11221  ax-cnre 11222  ax-pre-lttri 11223  ax-pre-lttrn 11224  ax-pre-ltadd 11225  ax-pre-mulgt0 11226  ax-pre-sup 11227
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-pss 3966  df-nul 4323  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4906  df-iun 4995  df-br 5146  df-opab 5208  df-mpt 5229  df-tr 5263  df-id 5572  df-eprel 5578  df-po 5586  df-so 5587  df-fr 5629  df-we 5631  df-xp 5680  df-rel 5681  df-cnv 5682  df-co 5683  df-dm 5684  df-rn 5685  df-res 5686  df-ima 5687  df-pred 6304  df-ord 6371  df-on 6372  df-lim 6373  df-suc 6374  df-iota 6498  df-fun 6548  df-fn 6549  df-f 6550  df-f1 6551  df-fo 6552  df-f1o 6553  df-fv 6554  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-2nd 7996  df-frecs 8288  df-wrecs 8319  df-recs 8393  df-rdg 8432  df-er 8726  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-sup 9478  df-pnf 11291  df-mnf 11292  df-xr 11293  df-ltxr 11294  df-le 11295  df-sub 11487  df-neg 11488  df-div 11913  df-nn 12259  df-2 12321  df-3 12322  df-4 12323  df-n0 12519  df-z 12605  df-uz 12869  df-rp 13023  df-seq 14016  df-exp 14076  df-cj 15099  df-re 15100  df-im 15101  df-sqrt 15235  df-abs 15236
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