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Theorem requad1 47546
Description: A condition for a quadratic equation with real coefficients to have (exactly) one real solution. (Contributed by AV, 26-Jan-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
requad2.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
requad2.z (𝜑𝐴 ≠ 0)
requad2.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
requad2.c (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
requad2.d (𝜑𝐷 = ((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶))))
Assertion
Ref Expression
requad1 (𝜑 → (∃!𝑥 ∈ ℝ ((𝐴 · (𝑥↑2)) + ((𝐵 · 𝑥) + 𝐶)) = 0 ↔ 𝐷 = 0))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶   𝑥,𝐷   𝜑,𝑥

Proof of Theorem requad1
StepHypRef Expression
1 requad2.a . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
21recnd 11286 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
32ad2antrr 726 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℂ)
4 requad2.z . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ≠ 0)
54ad2antrr 726 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝐴 ≠ 0)
6 requad2.b . . . . . . . 8 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
76recnd 11286 . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
87ad2antrr 726 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℂ)
9 requad2.c . . . . . . . 8 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
109recnd 11286 . . . . . . 7 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
1110ad2antrr 726 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝐶 ∈ ℂ)
12 recn 11242 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℂ)
1312adantl 481 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑥 ∈ ℂ)
14 requad2.d . . . . . . 7 (𝜑𝐷 = ((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶))))
1514ad2antrr 726 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝐷 = ((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶))))
163, 5, 8, 11, 13, 15quad 26897 . . . . 5 (((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (((𝐴 · (𝑥↑2)) + ((𝐵 · 𝑥) + 𝐶)) = 0 ↔ (𝑥 = ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ∨ 𝑥 = ((-𝐵 − (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)))))
1716reubidva 3393 . . . 4 ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) → (∃!𝑥 ∈ ℝ ((𝐴 · (𝑥↑2)) + ((𝐵 · 𝑥) + 𝐶)) = 0 ↔ ∃!𝑥 ∈ ℝ (𝑥 = ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ∨ 𝑥 = ((-𝐵 − (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)))))
186renegcld 11687 . . . . . . . 8 (𝜑 → -𝐵 ∈ ℝ)
1918adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) → -𝐵 ∈ ℝ)
206resqcld 14161 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐵↑2) ∈ ℝ)
21 4re 12347 . . . . . . . . . . . 12 4 ∈ ℝ
2221a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 4 ∈ ℝ)
231, 9remulcld 11288 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐴 · 𝐶) ∈ ℝ)
2422, 23remulcld 11288 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (4 · (𝐴 · 𝐶)) ∈ ℝ)
2520, 24resubcld 11688 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶))) ∈ ℝ)
2614, 25eqeltrd 2838 . . . . . . . 8 (𝜑𝐷 ∈ ℝ)
27 resqrtcl 15288 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐷) → (√‘𝐷) ∈ ℝ)
2826, 27sylan 580 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) → (√‘𝐷) ∈ ℝ)
2919, 28readdcld 11287 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) → (-𝐵 + (√‘𝐷)) ∈ ℝ)
30 2re 12337 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℝ
3130a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
3231, 1remulcld 11288 . . . . . . 7 (𝜑 → (2 · 𝐴) ∈ ℝ)
3332adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) → (2 · 𝐴) ∈ ℝ)
34 2cnd 12341 . . . . . . . 8 (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
35 2ne0 12367 . . . . . . . . 9 2 ≠ 0
3635a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → 2 ≠ 0)
3734, 2, 36, 4mulne0d 11912 . . . . . . 7 (𝜑 → (2 · 𝐴) ≠ 0)
3837adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) → (2 · 𝐴) ≠ 0)
3929, 33, 38redivcld 12092 . . . . 5 ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) → ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ∈ ℝ)
4019, 28resubcld 11688 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) → (-𝐵 − (√‘𝐷)) ∈ ℝ)
4140, 33, 38redivcld 12092 . . . . 5 ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) → ((-𝐵 − (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ∈ ℝ)
42 euoreqb 47058 . . . . 5 ((((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ∈ ℝ ∧ ((-𝐵 − (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ∈ ℝ) → (∃!𝑥 ∈ ℝ (𝑥 = ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ∨ 𝑥 = ((-𝐵 − (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴))) ↔ ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) = ((-𝐵 − (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴))))
4339, 41, 42syl2anc 584 . . . 4 ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) → (∃!𝑥 ∈ ℝ (𝑥 = ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ∨ 𝑥 = ((-𝐵 − (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴))) ↔ ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) = ((-𝐵 − (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴))))
447negcld 11604 . . . . . . . 8 (𝜑 → -𝐵 ∈ ℂ)
4526recnd 11286 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐷 ∈ ℂ)
4645sqrtcld 15472 . . . . . . . 8 (𝜑 → (√‘𝐷) ∈ ℂ)
4732recnd 11286 . . . . . . . 8 (𝜑 → (2 · 𝐴) ∈ ℂ)
4844, 46, 47, 37divdird 12078 . . . . . . 7 (𝜑 → ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) = ((-𝐵 / (2 · 𝐴)) + ((√‘𝐷) / (2 · 𝐴))))
4948adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) → ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) = ((-𝐵 / (2 · 𝐴)) + ((√‘𝐷) / (2 · 𝐴))))
5044, 46, 47, 37divsubdird 12079 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((-𝐵 − (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) = ((-𝐵 / (2 · 𝐴)) − ((√‘𝐷) / (2 · 𝐴))))
5150adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) → ((-𝐵 − (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) = ((-𝐵 / (2 · 𝐴)) − ((√‘𝐷) / (2 · 𝐴))))
5244, 47, 37divcld 12040 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (-𝐵 / (2 · 𝐴)) ∈ ℂ)
5352adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) → (-𝐵 / (2 · 𝐴)) ∈ ℂ)
5446, 47, 37divcld 12040 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((√‘𝐷) / (2 · 𝐴)) ∈ ℂ)
5554adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) → ((√‘𝐷) / (2 · 𝐴)) ∈ ℂ)
5653, 55negsubd 11623 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) → ((-𝐵 / (2 · 𝐴)) + -((√‘𝐷) / (2 · 𝐴))) = ((-𝐵 / (2 · 𝐴)) − ((√‘𝐷) / (2 · 𝐴))))
5746adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) → (√‘𝐷) ∈ ℂ)
5847adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) → (2 · 𝐴) ∈ ℂ)
5957, 58, 38divnegd 12053 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) → -((√‘𝐷) / (2 · 𝐴)) = (-(√‘𝐷) / (2 · 𝐴)))
6059oveq2d 7446 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) → ((-𝐵 / (2 · 𝐴)) + -((√‘𝐷) / (2 · 𝐴))) = ((-𝐵 / (2 · 𝐴)) + (-(√‘𝐷) / (2 · 𝐴))))
6151, 56, 603eqtr2d 2780 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) → ((-𝐵 − (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) = ((-𝐵 / (2 · 𝐴)) + (-(√‘𝐷) / (2 · 𝐴))))
6249, 61eqeq12d 2750 . . . . 5 ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) → (((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) = ((-𝐵 − (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ↔ ((-𝐵 / (2 · 𝐴)) + ((√‘𝐷) / (2 · 𝐴))) = ((-𝐵 / (2 · 𝐴)) + (-(√‘𝐷) / (2 · 𝐴)))))
6346negcld 11604 . . . . . . . . 9 (𝜑 → -(√‘𝐷) ∈ ℂ)
6463, 47, 37divcld 12040 . . . . . . . 8 (𝜑 → (-(√‘𝐷) / (2 · 𝐴)) ∈ ℂ)
6564adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) → (-(√‘𝐷) / (2 · 𝐴)) ∈ ℂ)
6653, 55, 65addcand 11461 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) → (((-𝐵 / (2 · 𝐴)) + ((√‘𝐷) / (2 · 𝐴))) = ((-𝐵 / (2 · 𝐴)) + (-(√‘𝐷) / (2 · 𝐴))) ↔ ((√‘𝐷) / (2 · 𝐴)) = (-(√‘𝐷) / (2 · 𝐴))))
67 div11 11947 . . . . . . . 8 (((√‘𝐷) ∈ ℂ ∧ -(√‘𝐷) ∈ ℂ ∧ ((2 · 𝐴) ∈ ℂ ∧ (2 · 𝐴) ≠ 0)) → (((√‘𝐷) / (2 · 𝐴)) = (-(√‘𝐷) / (2 · 𝐴)) ↔ (√‘𝐷) = -(√‘𝐷)))
6846, 63, 47, 37, 67syl112anc 1373 . . . . . . 7 (𝜑 → (((√‘𝐷) / (2 · 𝐴)) = (-(√‘𝐷) / (2 · 𝐴)) ↔ (√‘𝐷) = -(√‘𝐷)))
6968adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) → (((√‘𝐷) / (2 · 𝐴)) = (-(√‘𝐷) / (2 · 𝐴)) ↔ (√‘𝐷) = -(√‘𝐷)))
7057eqnegd 11985 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) → ((√‘𝐷) = -(√‘𝐷) ↔ (√‘𝐷) = 0))
71 sqrt00 15298 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐷) → ((√‘𝐷) = 0 ↔ 𝐷 = 0))
7226, 71sylan 580 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) → ((√‘𝐷) = 0 ↔ 𝐷 = 0))
7370, 72bitrd 279 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) → ((√‘𝐷) = -(√‘𝐷) ↔ 𝐷 = 0))
7466, 69, 733bitrd 305 . . . . 5 ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) → (((-𝐵 / (2 · 𝐴)) + ((√‘𝐷) / (2 · 𝐴))) = ((-𝐵 / (2 · 𝐴)) + (-(√‘𝐷) / (2 · 𝐴))) ↔ 𝐷 = 0))
7562, 74bitrd 279 . . . 4 ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) → (((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) = ((-𝐵 − (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ↔ 𝐷 = 0))
7617, 43, 753bitrd 305 . . 3 ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) → (∃!𝑥 ∈ ℝ ((𝐴 · (𝑥↑2)) + ((𝐵 · 𝑥) + 𝐶)) = 0 ↔ 𝐷 = 0))
7776expcom 413 . 2 (0 ≤ 𝐷 → (𝜑 → (∃!𝑥 ∈ ℝ ((𝐴 · (𝑥↑2)) + ((𝐵 · 𝑥) + 𝐶)) = 0 ↔ 𝐷 = 0)))
781, 4, 6, 9, 14requad01 47545 . . . . . . . 8 (𝜑 → (∃𝑥 ∈ ℝ ((𝐴 · (𝑥↑2)) + ((𝐵 · 𝑥) + 𝐶)) = 0 ↔ 0 ≤ 𝐷))
7978notbid 318 . . . . . . 7 (𝜑 → (¬ ∃𝑥 ∈ ℝ ((𝐴 · (𝑥↑2)) + ((𝐵 · 𝑥) + 𝐶)) = 0 ↔ ¬ 0 ≤ 𝐷))
8079biimparc 479 . . . . . 6 ((¬ 0 ≤ 𝐷𝜑) → ¬ ∃𝑥 ∈ ℝ ((𝐴 · (𝑥↑2)) + ((𝐵 · 𝑥) + 𝐶)) = 0)
81 reurex 3381 . . . . . 6 (∃!𝑥 ∈ ℝ ((𝐴 · (𝑥↑2)) + ((𝐵 · 𝑥) + 𝐶)) = 0 → ∃𝑥 ∈ ℝ ((𝐴 · (𝑥↑2)) + ((𝐵 · 𝑥) + 𝐶)) = 0)
8280, 81nsyl 140 . . . . 5 ((¬ 0 ≤ 𝐷𝜑) → ¬ ∃!𝑥 ∈ ℝ ((𝐴 · (𝑥↑2)) + ((𝐵 · 𝑥) + 𝐶)) = 0)
8382pm2.21d 121 . . . 4 ((¬ 0 ≤ 𝐷𝜑) → (∃!𝑥 ∈ ℝ ((𝐴 · (𝑥↑2)) + ((𝐵 · 𝑥) + 𝐶)) = 0 → 𝐷 = 0))
84 0red 11261 . . . . . . . 8 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
8526, 84ltnled 11405 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐷 < 0 ↔ ¬ 0 ≤ 𝐷))
8685biimparc 479 . . . . . 6 ((¬ 0 ≤ 𝐷𝜑) → 𝐷 < 0)
8786lt0ne0d 11825 . . . . 5 ((¬ 0 ≤ 𝐷𝜑) → 𝐷 ≠ 0)
88 eqneqall 2948 . . . . 5 (𝐷 = 0 → (𝐷 ≠ 0 → ∃!𝑥 ∈ ℝ ((𝐴 · (𝑥↑2)) + ((𝐵 · 𝑥) + 𝐶)) = 0))
8987, 88syl5com 31 . . . 4 ((¬ 0 ≤ 𝐷𝜑) → (𝐷 = 0 → ∃!𝑥 ∈ ℝ ((𝐴 · (𝑥↑2)) + ((𝐵 · 𝑥) + 𝐶)) = 0))
9083, 89impbid 212 . . 3 ((¬ 0 ≤ 𝐷𝜑) → (∃!𝑥 ∈ ℝ ((𝐴 · (𝑥↑2)) + ((𝐵 · 𝑥) + 𝐶)) = 0 ↔ 𝐷 = 0))
9190ex 412 . 2 (¬ 0 ≤ 𝐷 → (𝜑 → (∃!𝑥 ∈ ℝ ((𝐴 · (𝑥↑2)) + ((𝐵 · 𝑥) + 𝐶)) = 0 ↔ 𝐷 = 0)))
9277, 91pm2.61i 182 1 (𝜑 → (∃!𝑥 ∈ ℝ ((𝐴 · (𝑥↑2)) + ((𝐵 · 𝑥) + 𝐶)) = 0 ↔ 𝐷 = 0))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  wo 847   = wceq 1536  wcel 2105  wne 2937  wrex 3067  ∃!wreu 3375   class class class wbr 5147  cfv 6562  (class class class)co 7430  cc 11150  cr 11151  0cc0 11152   + caddc 11155   · cmul 11157   < clt 11292  cle 11293  cmin 11489  -cneg 11490   / cdiv 11917  2c2 12318  4c4 12320  cexp 14098  csqrt 15268
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229  ax-pre-sup 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-er 8743  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-sup 9479  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-div 11918  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-4 12328  df-n0 12524  df-z 12611  df-uz 12876  df-rp 13032  df-seq 14039  df-exp 14099  df-cj 15134  df-re 15135  df-im 15136  df-sqrt 15270  df-abs 15271
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