Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  requad1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem requad1 46991
Description: A condition for a quadratic equation with real coefficients to have (exactly) one real solution. (Contributed by AV, 26-Jan-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
requad2.a (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
requad2.z (๐œ‘ โ†’ ๐ด โ‰  0)
requad2.b (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
requad2.c (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„)
requad2.d (๐œ‘ โ†’ ๐ท = ((๐ตโ†‘2) โˆ’ (4 ยท (๐ด ยท ๐ถ))))
Assertion
Ref Expression
requad1 (๐œ‘ โ†’ (โˆƒ!๐‘ฅ โˆˆ โ„ ((๐ด ยท (๐‘ฅโ†‘2)) + ((๐ต ยท ๐‘ฅ) + ๐ถ)) = 0 โ†” ๐ท = 0))
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐ด   ๐‘ฅ,๐ต   ๐‘ฅ,๐ถ   ๐‘ฅ,๐ท   ๐œ‘,๐‘ฅ

Proof of Theorem requad1
StepHypRef Expression
1 requad2.a . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
21recnd 11280 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
32ad2antrr 724 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
4 requad2.z . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โ‰  0)
54ad2antrr 724 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โ†’ ๐ด โ‰  0)
6 requad2.b . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
76recnd 11280 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
87ad2antrr 724 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
9 requad2.c . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„)
109recnd 11280 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
1110ad2antrr 724 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
12 recn 11236 . . . . . . 7 (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚)
1312adantl 480 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚)
14 requad2.d . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐ท = ((๐ตโ†‘2) โˆ’ (4 ยท (๐ด ยท ๐ถ))))
1514ad2antrr 724 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โ†’ ๐ท = ((๐ตโ†‘2) โˆ’ (4 ยท (๐ด ยท ๐ถ))))
163, 5, 8, 11, 13, 15quad 26792 . . . . 5 (((๐œ‘ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„) โ†’ (((๐ด ยท (๐‘ฅโ†‘2)) + ((๐ต ยท ๐‘ฅ) + ๐ถ)) = 0 โ†” (๐‘ฅ = ((-๐ต + (โˆšโ€˜๐ท)) / (2 ยท ๐ด)) โˆจ ๐‘ฅ = ((-๐ต โˆ’ (โˆšโ€˜๐ท)) / (2 ยท ๐ด)))))
1716reubidva 3390 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โ†’ (โˆƒ!๐‘ฅ โˆˆ โ„ ((๐ด ยท (๐‘ฅโ†‘2)) + ((๐ต ยท ๐‘ฅ) + ๐ถ)) = 0 โ†” โˆƒ!๐‘ฅ โˆˆ โ„ (๐‘ฅ = ((-๐ต + (โˆšโ€˜๐ท)) / (2 ยท ๐ด)) โˆจ ๐‘ฅ = ((-๐ต โˆ’ (โˆšโ€˜๐ท)) / (2 ยท ๐ด)))))
186renegcld 11679 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ -๐ต โˆˆ โ„)
1918adantr 479 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โ†’ -๐ต โˆˆ โ„)
206resqcld 14129 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (๐ตโ†‘2) โˆˆ โ„)
21 4re 12334 . . . . . . . . . . . 12 4 โˆˆ โ„
2221a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ 4 โˆˆ โ„)
231, 9remulcld 11282 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (๐ด ยท ๐ถ) โˆˆ โ„)
2422, 23remulcld 11282 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (4 ยท (๐ด ยท ๐ถ)) โˆˆ โ„)
2520, 24resubcld 11680 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((๐ตโ†‘2) โˆ’ (4 ยท (๐ด ยท ๐ถ))) โˆˆ โ„)
2614, 25eqeltrd 2829 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐ท โˆˆ โ„)
27 resqrtcl 15240 . . . . . . . 8 ((๐ท โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โ†’ (โˆšโ€˜๐ท) โˆˆ โ„)
2826, 27sylan 578 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โ†’ (โˆšโ€˜๐ท) โˆˆ โ„)
2919, 28readdcld 11281 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โ†’ (-๐ต + (โˆšโ€˜๐ท)) โˆˆ โ„)
30 2re 12324 . . . . . . . . 9 2 โˆˆ โ„
3130a1i 11 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ 2 โˆˆ โ„)
3231, 1remulcld 11282 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (2 ยท ๐ด) โˆˆ โ„)
3332adantr 479 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โ†’ (2 ยท ๐ด) โˆˆ โ„)
34 2cnd 12328 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ 2 โˆˆ โ„‚)
35 2ne0 12354 . . . . . . . . 9 2 โ‰  0
3635a1i 11 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ 2 โ‰  0)
3734, 2, 36, 4mulne0d 11904 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (2 ยท ๐ด) โ‰  0)
3837adantr 479 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โ†’ (2 ยท ๐ด) โ‰  0)
3929, 33, 38redivcld 12080 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โ†’ ((-๐ต + (โˆšโ€˜๐ท)) / (2 ยท ๐ด)) โˆˆ โ„)
4019, 28resubcld 11680 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โ†’ (-๐ต โˆ’ (โˆšโ€˜๐ท)) โˆˆ โ„)
4140, 33, 38redivcld 12080 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โ†’ ((-๐ต โˆ’ (โˆšโ€˜๐ท)) / (2 ยท ๐ด)) โˆˆ โ„)
42 euoreqb 46518 . . . . 5 ((((-๐ต + (โˆšโ€˜๐ท)) / (2 ยท ๐ด)) โˆˆ โ„ โˆง ((-๐ต โˆ’ (โˆšโ€˜๐ท)) / (2 ยท ๐ด)) โˆˆ โ„) โ†’ (โˆƒ!๐‘ฅ โˆˆ โ„ (๐‘ฅ = ((-๐ต + (โˆšโ€˜๐ท)) / (2 ยท ๐ด)) โˆจ ๐‘ฅ = ((-๐ต โˆ’ (โˆšโ€˜๐ท)) / (2 ยท ๐ด))) โ†” ((-๐ต + (โˆšโ€˜๐ท)) / (2 ยท ๐ด)) = ((-๐ต โˆ’ (โˆšโ€˜๐ท)) / (2 ยท ๐ด))))
4339, 41, 42syl2anc 582 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โ†’ (โˆƒ!๐‘ฅ โˆˆ โ„ (๐‘ฅ = ((-๐ต + (โˆšโ€˜๐ท)) / (2 ยท ๐ด)) โˆจ ๐‘ฅ = ((-๐ต โˆ’ (โˆšโ€˜๐ท)) / (2 ยท ๐ด))) โ†” ((-๐ต + (โˆšโ€˜๐ท)) / (2 ยท ๐ด)) = ((-๐ต โˆ’ (โˆšโ€˜๐ท)) / (2 ยท ๐ด))))
447negcld 11596 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ -๐ต โˆˆ โ„‚)
4526recnd 11280 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐ท โˆˆ โ„‚)
4645sqrtcld 15424 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (โˆšโ€˜๐ท) โˆˆ โ„‚)
4732recnd 11280 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (2 ยท ๐ด) โˆˆ โ„‚)
4844, 46, 47, 37divdird 12066 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((-๐ต + (โˆšโ€˜๐ท)) / (2 ยท ๐ด)) = ((-๐ต / (2 ยท ๐ด)) + ((โˆšโ€˜๐ท) / (2 ยท ๐ด))))
4948adantr 479 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โ†’ ((-๐ต + (โˆšโ€˜๐ท)) / (2 ยท ๐ด)) = ((-๐ต / (2 ยท ๐ด)) + ((โˆšโ€˜๐ท) / (2 ยท ๐ด))))
5044, 46, 47, 37divsubdird 12067 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ((-๐ต โˆ’ (โˆšโ€˜๐ท)) / (2 ยท ๐ด)) = ((-๐ต / (2 ยท ๐ด)) โˆ’ ((โˆšโ€˜๐ท) / (2 ยท ๐ด))))
5150adantr 479 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โ†’ ((-๐ต โˆ’ (โˆšโ€˜๐ท)) / (2 ยท ๐ด)) = ((-๐ต / (2 ยท ๐ด)) โˆ’ ((โˆšโ€˜๐ท) / (2 ยท ๐ด))))
5244, 47, 37divcld 12028 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (-๐ต / (2 ยท ๐ด)) โˆˆ โ„‚)
5352adantr 479 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โ†’ (-๐ต / (2 ยท ๐ด)) โˆˆ โ„‚)
5446, 47, 37divcld 12028 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((โˆšโ€˜๐ท) / (2 ยท ๐ด)) โˆˆ โ„‚)
5554adantr 479 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โ†’ ((โˆšโ€˜๐ท) / (2 ยท ๐ด)) โˆˆ โ„‚)
5653, 55negsubd 11615 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โ†’ ((-๐ต / (2 ยท ๐ด)) + -((โˆšโ€˜๐ท) / (2 ยท ๐ด))) = ((-๐ต / (2 ยท ๐ด)) โˆ’ ((โˆšโ€˜๐ท) / (2 ยท ๐ด))))
5746adantr 479 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โ†’ (โˆšโ€˜๐ท) โˆˆ โ„‚)
5847adantr 479 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โ†’ (2 ยท ๐ด) โˆˆ โ„‚)
5957, 58, 38divnegd 12041 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โ†’ -((โˆšโ€˜๐ท) / (2 ยท ๐ด)) = (-(โˆšโ€˜๐ท) / (2 ยท ๐ด)))
6059oveq2d 7442 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โ†’ ((-๐ต / (2 ยท ๐ด)) + -((โˆšโ€˜๐ท) / (2 ยท ๐ด))) = ((-๐ต / (2 ยท ๐ด)) + (-(โˆšโ€˜๐ท) / (2 ยท ๐ด))))
6151, 56, 603eqtr2d 2774 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โ†’ ((-๐ต โˆ’ (โˆšโ€˜๐ท)) / (2 ยท ๐ด)) = ((-๐ต / (2 ยท ๐ด)) + (-(โˆšโ€˜๐ท) / (2 ยท ๐ด))))
6249, 61eqeq12d 2744 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โ†’ (((-๐ต + (โˆšโ€˜๐ท)) / (2 ยท ๐ด)) = ((-๐ต โˆ’ (โˆšโ€˜๐ท)) / (2 ยท ๐ด)) โ†” ((-๐ต / (2 ยท ๐ด)) + ((โˆšโ€˜๐ท) / (2 ยท ๐ด))) = ((-๐ต / (2 ยท ๐ด)) + (-(โˆšโ€˜๐ท) / (2 ยท ๐ด)))))
6346negcld 11596 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ -(โˆšโ€˜๐ท) โˆˆ โ„‚)
6463, 47, 37divcld 12028 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (-(โˆšโ€˜๐ท) / (2 ยท ๐ด)) โˆˆ โ„‚)
6564adantr 479 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โ†’ (-(โˆšโ€˜๐ท) / (2 ยท ๐ด)) โˆˆ โ„‚)
6653, 55, 65addcand 11455 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โ†’ (((-๐ต / (2 ยท ๐ด)) + ((โˆšโ€˜๐ท) / (2 ยท ๐ด))) = ((-๐ต / (2 ยท ๐ด)) + (-(โˆšโ€˜๐ท) / (2 ยท ๐ด))) โ†” ((โˆšโ€˜๐ท) / (2 ยท ๐ด)) = (-(โˆšโ€˜๐ท) / (2 ยท ๐ด))))
67 div11 11938 . . . . . . . 8 (((โˆšโ€˜๐ท) โˆˆ โ„‚ โˆง -(โˆšโ€˜๐ท) โˆˆ โ„‚ โˆง ((2 ยท ๐ด) โˆˆ โ„‚ โˆง (2 ยท ๐ด) โ‰  0)) โ†’ (((โˆšโ€˜๐ท) / (2 ยท ๐ด)) = (-(โˆšโ€˜๐ท) / (2 ยท ๐ด)) โ†” (โˆšโ€˜๐ท) = -(โˆšโ€˜๐ท)))
6846, 63, 47, 37, 67syl112anc 1371 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (((โˆšโ€˜๐ท) / (2 ยท ๐ด)) = (-(โˆšโ€˜๐ท) / (2 ยท ๐ด)) โ†” (โˆšโ€˜๐ท) = -(โˆšโ€˜๐ท)))
6968adantr 479 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โ†’ (((โˆšโ€˜๐ท) / (2 ยท ๐ด)) = (-(โˆšโ€˜๐ท) / (2 ยท ๐ด)) โ†” (โˆšโ€˜๐ท) = -(โˆšโ€˜๐ท)))
7057eqnegd 11973 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โ†’ ((โˆšโ€˜๐ท) = -(โˆšโ€˜๐ท) โ†” (โˆšโ€˜๐ท) = 0))
71 sqrt00 15250 . . . . . . . 8 ((๐ท โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โ†’ ((โˆšโ€˜๐ท) = 0 โ†” ๐ท = 0))
7226, 71sylan 578 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โ†’ ((โˆšโ€˜๐ท) = 0 โ†” ๐ท = 0))
7370, 72bitrd 278 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โ†’ ((โˆšโ€˜๐ท) = -(โˆšโ€˜๐ท) โ†” ๐ท = 0))
7466, 69, 733bitrd 304 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โ†’ (((-๐ต / (2 ยท ๐ด)) + ((โˆšโ€˜๐ท) / (2 ยท ๐ด))) = ((-๐ต / (2 ยท ๐ด)) + (-(โˆšโ€˜๐ท) / (2 ยท ๐ด))) โ†” ๐ท = 0))
7562, 74bitrd 278 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โ†’ (((-๐ต + (โˆšโ€˜๐ท)) / (2 ยท ๐ด)) = ((-๐ต โˆ’ (โˆšโ€˜๐ท)) / (2 ยท ๐ด)) โ†” ๐ท = 0))
7617, 43, 753bitrd 304 . . 3 ((๐œ‘ โˆง 0 โ‰ค ๐ท) โ†’ (โˆƒ!๐‘ฅ โˆˆ โ„ ((๐ด ยท (๐‘ฅโ†‘2)) + ((๐ต ยท ๐‘ฅ) + ๐ถ)) = 0 โ†” ๐ท = 0))
7776expcom 412 . 2 (0 โ‰ค ๐ท โ†’ (๐œ‘ โ†’ (โˆƒ!๐‘ฅ โˆˆ โ„ ((๐ด ยท (๐‘ฅโ†‘2)) + ((๐ต ยท ๐‘ฅ) + ๐ถ)) = 0 โ†” ๐ท = 0)))
781, 4, 6, 9, 14requad01 46990 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ ((๐ด ยท (๐‘ฅโ†‘2)) + ((๐ต ยท ๐‘ฅ) + ๐ถ)) = 0 โ†” 0 โ‰ค ๐ท))
7978notbid 317 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (ยฌ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ ((๐ด ยท (๐‘ฅโ†‘2)) + ((๐ต ยท ๐‘ฅ) + ๐ถ)) = 0 โ†” ยฌ 0 โ‰ค ๐ท))
8079biimparc 478 . . . . . 6 ((ยฌ 0 โ‰ค ๐ท โˆง ๐œ‘) โ†’ ยฌ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ ((๐ด ยท (๐‘ฅโ†‘2)) + ((๐ต ยท ๐‘ฅ) + ๐ถ)) = 0)
81 reurex 3378 . . . . . 6 (โˆƒ!๐‘ฅ โˆˆ โ„ ((๐ด ยท (๐‘ฅโ†‘2)) + ((๐ต ยท ๐‘ฅ) + ๐ถ)) = 0 โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ ((๐ด ยท (๐‘ฅโ†‘2)) + ((๐ต ยท ๐‘ฅ) + ๐ถ)) = 0)
8280, 81nsyl 140 . . . . 5 ((ยฌ 0 โ‰ค ๐ท โˆง ๐œ‘) โ†’ ยฌ โˆƒ!๐‘ฅ โˆˆ โ„ ((๐ด ยท (๐‘ฅโ†‘2)) + ((๐ต ยท ๐‘ฅ) + ๐ถ)) = 0)
8382pm2.21d 121 . . . 4 ((ยฌ 0 โ‰ค ๐ท โˆง ๐œ‘) โ†’ (โˆƒ!๐‘ฅ โˆˆ โ„ ((๐ด ยท (๐‘ฅโ†‘2)) + ((๐ต ยท ๐‘ฅ) + ๐ถ)) = 0 โ†’ ๐ท = 0))
84 0red 11255 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ 0 โˆˆ โ„)
8526, 84ltnled 11399 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐ท < 0 โ†” ยฌ 0 โ‰ค ๐ท))
8685biimparc 478 . . . . . 6 ((ยฌ 0 โ‰ค ๐ท โˆง ๐œ‘) โ†’ ๐ท < 0)
8786lt0ne0d 11817 . . . . 5 ((ยฌ 0 โ‰ค ๐ท โˆง ๐œ‘) โ†’ ๐ท โ‰  0)
88 eqneqall 2948 . . . . 5 (๐ท = 0 โ†’ (๐ท โ‰  0 โ†’ โˆƒ!๐‘ฅ โˆˆ โ„ ((๐ด ยท (๐‘ฅโ†‘2)) + ((๐ต ยท ๐‘ฅ) + ๐ถ)) = 0))
8987, 88syl5com 31 . . . 4 ((ยฌ 0 โ‰ค ๐ท โˆง ๐œ‘) โ†’ (๐ท = 0 โ†’ โˆƒ!๐‘ฅ โˆˆ โ„ ((๐ด ยท (๐‘ฅโ†‘2)) + ((๐ต ยท ๐‘ฅ) + ๐ถ)) = 0))
9083, 89impbid 211 . . 3 ((ยฌ 0 โ‰ค ๐ท โˆง ๐œ‘) โ†’ (โˆƒ!๐‘ฅ โˆˆ โ„ ((๐ด ยท (๐‘ฅโ†‘2)) + ((๐ต ยท ๐‘ฅ) + ๐ถ)) = 0 โ†” ๐ท = 0))
9190ex 411 . 2 (ยฌ 0 โ‰ค ๐ท โ†’ (๐œ‘ โ†’ (โˆƒ!๐‘ฅ โˆˆ โ„ ((๐ด ยท (๐‘ฅโ†‘2)) + ((๐ต ยท ๐‘ฅ) + ๐ถ)) = 0 โ†” ๐ท = 0)))
9277, 91pm2.61i 182 1 (๐œ‘ โ†’ (โˆƒ!๐‘ฅ โˆˆ โ„ ((๐ด ยท (๐‘ฅโ†‘2)) + ((๐ต ยท ๐‘ฅ) + ๐ถ)) = 0 โ†” ๐ท = 0))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 394   โˆจ wo 845   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098   โ‰  wne 2937  โˆƒwrex 3067  โˆƒ!wreu 3372   class class class wbr 5152  โ€˜cfv 6553  (class class class)co 7426  โ„‚cc 11144  โ„cr 11145  0cc0 11146   + caddc 11149   ยท cmul 11151   < clt 11286   โ‰ค cle 11287   โˆ’ cmin 11482  -cneg 11483   / cdiv 11909  2c2 12305  4c4 12307  โ†‘cexp 14066  โˆšcsqrt 15220
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223  ax-pre-sup 11224
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-er 8731  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-sup 9473  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-div 11910  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-4 12315  df-n0 12511  df-z 12597  df-uz 12861  df-rp 13015  df-seq 14007  df-exp 14067  df-cj 15086  df-re 15087  df-im 15088  df-sqrt 15222  df-abs 15223
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator