Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  requad1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem requad1 43156
Description: A condition for a quadratic equation with real coefficients to have (exactly) one real solution. (Contributed by AV, 26-Jan-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
requad2.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
requad2.z (𝜑𝐴 ≠ 0)
requad2.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
requad2.c (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
requad2.d (𝜑𝐷 = ((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶))))
Assertion
Ref Expression
requad1 (𝜑 → (∃!𝑥 ∈ ℝ ((𝐴 · (𝑥↑2)) + ((𝐵 · 𝑥) + 𝐶)) = 0 ↔ 𝐷 = 0))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶   𝑥,𝐷   𝜑,𝑥

Proof of Theorem requad1
StepHypRef Expression
1 requad2.a . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
21recnd 10470 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
32ad2antrr 713 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℂ)
4 requad2.z . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ≠ 0)
54ad2antrr 713 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝐴 ≠ 0)
6 requad2.b . . . . . . . 8 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
76recnd 10470 . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
87ad2antrr 713 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℂ)
9 requad2.c . . . . . . . 8 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
109recnd 10470 . . . . . . 7 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
1110ad2antrr 713 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝐶 ∈ ℂ)
12 recn 10427 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℂ)
1312adantl 474 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑥 ∈ ℂ)
14 requad2.d . . . . . . 7 (𝜑𝐷 = ((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶))))
1514ad2antrr 713 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝐷 = ((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶))))
163, 5, 8, 11, 13, 15quad 25122 . . . . 5 (((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (((𝐴 · (𝑥↑2)) + ((𝐵 · 𝑥) + 𝐶)) = 0 ↔ (𝑥 = ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ∨ 𝑥 = ((-𝐵 − (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)))))
1716reubidva 3327 . . . 4 ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) → (∃!𝑥 ∈ ℝ ((𝐴 · (𝑥↑2)) + ((𝐵 · 𝑥) + 𝐶)) = 0 ↔ ∃!𝑥 ∈ ℝ (𝑥 = ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ∨ 𝑥 = ((-𝐵 − (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)))))
186renegcld 10870 . . . . . . . 8 (𝜑 → -𝐵 ∈ ℝ)
1918adantr 473 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) → -𝐵 ∈ ℝ)
206resqcld 13429 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐵↑2) ∈ ℝ)
21 4re 11528 . . . . . . . . . . . 12 4 ∈ ℝ
2221a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 4 ∈ ℝ)
231, 9remulcld 10472 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐴 · 𝐶) ∈ ℝ)
2422, 23remulcld 10472 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (4 · (𝐴 · 𝐶)) ∈ ℝ)
2520, 24resubcld 10871 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶))) ∈ ℝ)
2614, 25eqeltrd 2866 . . . . . . . 8 (𝜑𝐷 ∈ ℝ)
27 resqrtcl 14477 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐷) → (√‘𝐷) ∈ ℝ)
2826, 27sylan 572 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) → (√‘𝐷) ∈ ℝ)
2919, 28readdcld 10471 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) → (-𝐵 + (√‘𝐷)) ∈ ℝ)
30 2re 11517 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℝ
3130a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
3231, 1remulcld 10472 . . . . . . 7 (𝜑 → (2 · 𝐴) ∈ ℝ)
3332adantr 473 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) → (2 · 𝐴) ∈ ℝ)
34 2cnd 11521 . . . . . . . 8 (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
35 2ne0 11554 . . . . . . . . 9 2 ≠ 0
3635a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → 2 ≠ 0)
3734, 2, 36, 4mulne0d 11095 . . . . . . 7 (𝜑 → (2 · 𝐴) ≠ 0)
3837adantr 473 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) → (2 · 𝐴) ≠ 0)
3929, 33, 38redivcld 11271 . . . . 5 ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) → ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ∈ ℝ)
4019, 28resubcld 10871 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) → (-𝐵 − (√‘𝐷)) ∈ ℝ)
4140, 33, 38redivcld 11271 . . . . 5 ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) → ((-𝐵 − (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ∈ ℝ)
42 euoreqb 42715 . . . . 5 ((((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ∈ ℝ ∧ ((-𝐵 − (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ∈ ℝ) → (∃!𝑥 ∈ ℝ (𝑥 = ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ∨ 𝑥 = ((-𝐵 − (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴))) ↔ ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) = ((-𝐵 − (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴))))
4339, 41, 42syl2anc 576 . . . 4 ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) → (∃!𝑥 ∈ ℝ (𝑥 = ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ∨ 𝑥 = ((-𝐵 − (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴))) ↔ ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) = ((-𝐵 − (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴))))
447negcld 10787 . . . . . . . 8 (𝜑 → -𝐵 ∈ ℂ)
4526recnd 10470 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐷 ∈ ℂ)
4645sqrtcld 14661 . . . . . . . 8 (𝜑 → (√‘𝐷) ∈ ℂ)
4732recnd 10470 . . . . . . . 8 (𝜑 → (2 · 𝐴) ∈ ℂ)
4844, 46, 47, 37divdird 11257 . . . . . . 7 (𝜑 → ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) = ((-𝐵 / (2 · 𝐴)) + ((√‘𝐷) / (2 · 𝐴))))
4948adantr 473 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) → ((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) = ((-𝐵 / (2 · 𝐴)) + ((√‘𝐷) / (2 · 𝐴))))
5044, 46, 47, 37divsubdird 11258 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((-𝐵 − (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) = ((-𝐵 / (2 · 𝐴)) − ((√‘𝐷) / (2 · 𝐴))))
5150adantr 473 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) → ((-𝐵 − (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) = ((-𝐵 / (2 · 𝐴)) − ((√‘𝐷) / (2 · 𝐴))))
5244, 47, 37divcld 11219 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (-𝐵 / (2 · 𝐴)) ∈ ℂ)
5352adantr 473 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) → (-𝐵 / (2 · 𝐴)) ∈ ℂ)
5446, 47, 37divcld 11219 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((√‘𝐷) / (2 · 𝐴)) ∈ ℂ)
5554adantr 473 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) → ((√‘𝐷) / (2 · 𝐴)) ∈ ℂ)
5653, 55negsubd 10806 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) → ((-𝐵 / (2 · 𝐴)) + -((√‘𝐷) / (2 · 𝐴))) = ((-𝐵 / (2 · 𝐴)) − ((√‘𝐷) / (2 · 𝐴))))
5746adantr 473 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) → (√‘𝐷) ∈ ℂ)
5847adantr 473 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) → (2 · 𝐴) ∈ ℂ)
5957, 58, 38divnegd 11232 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) → -((√‘𝐷) / (2 · 𝐴)) = (-(√‘𝐷) / (2 · 𝐴)))
6059oveq2d 6994 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) → ((-𝐵 / (2 · 𝐴)) + -((√‘𝐷) / (2 · 𝐴))) = ((-𝐵 / (2 · 𝐴)) + (-(√‘𝐷) / (2 · 𝐴))))
6151, 56, 603eqtr2d 2820 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) → ((-𝐵 − (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) = ((-𝐵 / (2 · 𝐴)) + (-(√‘𝐷) / (2 · 𝐴))))
6249, 61eqeq12d 2793 . . . . 5 ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) → (((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) = ((-𝐵 − (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ↔ ((-𝐵 / (2 · 𝐴)) + ((√‘𝐷) / (2 · 𝐴))) = ((-𝐵 / (2 · 𝐴)) + (-(√‘𝐷) / (2 · 𝐴)))))
6346negcld 10787 . . . . . . . . 9 (𝜑 → -(√‘𝐷) ∈ ℂ)
6463, 47, 37divcld 11219 . . . . . . . 8 (𝜑 → (-(√‘𝐷) / (2 · 𝐴)) ∈ ℂ)
6564adantr 473 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) → (-(√‘𝐷) / (2 · 𝐴)) ∈ ℂ)
6653, 55, 65addcand 10645 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) → (((-𝐵 / (2 · 𝐴)) + ((√‘𝐷) / (2 · 𝐴))) = ((-𝐵 / (2 · 𝐴)) + (-(√‘𝐷) / (2 · 𝐴))) ↔ ((√‘𝐷) / (2 · 𝐴)) = (-(√‘𝐷) / (2 · 𝐴))))
67 div11 11129 . . . . . . . 8 (((√‘𝐷) ∈ ℂ ∧ -(√‘𝐷) ∈ ℂ ∧ ((2 · 𝐴) ∈ ℂ ∧ (2 · 𝐴) ≠ 0)) → (((√‘𝐷) / (2 · 𝐴)) = (-(√‘𝐷) / (2 · 𝐴)) ↔ (√‘𝐷) = -(√‘𝐷)))
6846, 63, 47, 37, 67syl112anc 1354 . . . . . . 7 (𝜑 → (((√‘𝐷) / (2 · 𝐴)) = (-(√‘𝐷) / (2 · 𝐴)) ↔ (√‘𝐷) = -(√‘𝐷)))
6968adantr 473 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) → (((√‘𝐷) / (2 · 𝐴)) = (-(√‘𝐷) / (2 · 𝐴)) ↔ (√‘𝐷) = -(√‘𝐷)))
7057eqnegd 11164 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) → ((√‘𝐷) = -(√‘𝐷) ↔ (√‘𝐷) = 0))
71 sqrt00 14487 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐷) → ((√‘𝐷) = 0 ↔ 𝐷 = 0))
7226, 71sylan 572 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) → ((√‘𝐷) = 0 ↔ 𝐷 = 0))
7370, 72bitrd 271 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) → ((√‘𝐷) = -(√‘𝐷) ↔ 𝐷 = 0))
7466, 69, 733bitrd 297 . . . . 5 ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) → (((-𝐵 / (2 · 𝐴)) + ((√‘𝐷) / (2 · 𝐴))) = ((-𝐵 / (2 · 𝐴)) + (-(√‘𝐷) / (2 · 𝐴))) ↔ 𝐷 = 0))
7562, 74bitrd 271 . . . 4 ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) → (((-𝐵 + (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) = ((-𝐵 − (√‘𝐷)) / (2 · 𝐴)) ↔ 𝐷 = 0))
7617, 43, 753bitrd 297 . . 3 ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐷) → (∃!𝑥 ∈ ℝ ((𝐴 · (𝑥↑2)) + ((𝐵 · 𝑥) + 𝐶)) = 0 ↔ 𝐷 = 0))
7776expcom 406 . 2 (0 ≤ 𝐷 → (𝜑 → (∃!𝑥 ∈ ℝ ((𝐴 · (𝑥↑2)) + ((𝐵 · 𝑥) + 𝐶)) = 0 ↔ 𝐷 = 0)))
781, 4, 6, 9, 14requad01 43155 . . . . . . . 8 (𝜑 → (∃𝑥 ∈ ℝ ((𝐴 · (𝑥↑2)) + ((𝐵 · 𝑥) + 𝐶)) = 0 ↔ 0 ≤ 𝐷))
7978notbid 310 . . . . . . 7 (𝜑 → (¬ ∃𝑥 ∈ ℝ ((𝐴 · (𝑥↑2)) + ((𝐵 · 𝑥) + 𝐶)) = 0 ↔ ¬ 0 ≤ 𝐷))
8079biimparc 472 . . . . . 6 ((¬ 0 ≤ 𝐷𝜑) → ¬ ∃𝑥 ∈ ℝ ((𝐴 · (𝑥↑2)) + ((𝐵 · 𝑥) + 𝐶)) = 0)
81 reurex 3371 . . . . . 6 (∃!𝑥 ∈ ℝ ((𝐴 · (𝑥↑2)) + ((𝐵 · 𝑥) + 𝐶)) = 0 → ∃𝑥 ∈ ℝ ((𝐴 · (𝑥↑2)) + ((𝐵 · 𝑥) + 𝐶)) = 0)
8280, 81nsyl 138 . . . . 5 ((¬ 0 ≤ 𝐷𝜑) → ¬ ∃!𝑥 ∈ ℝ ((𝐴 · (𝑥↑2)) + ((𝐵 · 𝑥) + 𝐶)) = 0)
8382pm2.21d 119 . . . 4 ((¬ 0 ≤ 𝐷𝜑) → (∃!𝑥 ∈ ℝ ((𝐴 · (𝑥↑2)) + ((𝐵 · 𝑥) + 𝐶)) = 0 → 𝐷 = 0))
84 0red 10445 . . . . . . . 8 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
8526, 84ltnled 10589 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐷 < 0 ↔ ¬ 0 ≤ 𝐷))
8685biimparc 472 . . . . . 6 ((¬ 0 ≤ 𝐷𝜑) → 𝐷 < 0)
8786lt0ne0d 11008 . . . . 5 ((¬ 0 ≤ 𝐷𝜑) → 𝐷 ≠ 0)
88 eqneqall 2978 . . . . 5 (𝐷 = 0 → (𝐷 ≠ 0 → ∃!𝑥 ∈ ℝ ((𝐴 · (𝑥↑2)) + ((𝐵 · 𝑥) + 𝐶)) = 0))
8987, 88syl5com 31 . . . 4 ((¬ 0 ≤ 𝐷𝜑) → (𝐷 = 0 → ∃!𝑥 ∈ ℝ ((𝐴 · (𝑥↑2)) + ((𝐵 · 𝑥) + 𝐶)) = 0))
9083, 89impbid 204 . . 3 ((¬ 0 ≤ 𝐷𝜑) → (∃!𝑥 ∈ ℝ ((𝐴 · (𝑥↑2)) + ((𝐵 · 𝑥) + 𝐶)) = 0 ↔ 𝐷 = 0))
9190ex 405 . 2 (¬ 0 ≤ 𝐷 → (𝜑 → (∃!𝑥 ∈ ℝ ((𝐴 · (𝑥↑2)) + ((𝐵 · 𝑥) + 𝐶)) = 0 ↔ 𝐷 = 0)))
9277, 91pm2.61i 177 1 (𝜑 → (∃!𝑥 ∈ ℝ ((𝐴 · (𝑥↑2)) + ((𝐵 · 𝑥) + 𝐶)) = 0 ↔ 𝐷 = 0))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 198  wa 387  wo 833   = wceq 1507  wcel 2050  wne 2967  wrex 3089  ∃!wreu 3090   class class class wbr 4930  cfv 6190  (class class class)co 6978  cc 10335  cr 10336  0cc0 10337   + caddc 10340   · cmul 10342   < clt 10476  cle 10477  cmin 10672  -cneg 10673   / cdiv 11100  2c2 11498  4c4 11500  cexp 13247  csqrt 14456
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2750  ax-sep 5061  ax-nul 5068  ax-pow 5120  ax-pr 5187  ax-un 7281  ax-cnex 10393  ax-resscn 10394  ax-1cn 10395  ax-icn 10396  ax-addcl 10397  ax-addrcl 10398  ax-mulcl 10399  ax-mulrcl 10400  ax-mulcom 10401  ax-addass 10402  ax-mulass 10403  ax-distr 10404  ax-i2m1 10405  ax-1ne0 10406  ax-1rid 10407  ax-rnegex 10408  ax-rrecex 10409  ax-cnre 10410  ax-pre-lttri 10411  ax-pre-lttrn 10412  ax-pre-ltadd 10413  ax-pre-mulgt0 10414  ax-pre-sup 10415
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2583  df-clab 2759  df-cleq 2771  df-clel 2846  df-nfc 2918  df-ne 2968  df-nel 3074  df-ral 3093  df-rex 3094  df-reu 3095  df-rmo 3096  df-rab 3097  df-v 3417  df-sbc 3684  df-csb 3789  df-dif 3834  df-un 3836  df-in 3838  df-ss 3845  df-pss 3847  df-nul 4181  df-if 4352  df-pw 4425  df-sn 4443  df-pr 4445  df-tp 4447  df-op 4449  df-uni 4714  df-iun 4795  df-br 4931  df-opab 4993  df-mpt 5010  df-tr 5032  df-id 5313  df-eprel 5318  df-po 5327  df-so 5328  df-fr 5367  df-we 5369  df-xp 5414  df-rel 5415  df-cnv 5416  df-co 5417  df-dm 5418  df-rn 5419  df-res 5420  df-ima 5421  df-pred 5988  df-ord 6034  df-on 6035  df-lim 6036  df-suc 6037  df-iota 6154  df-fun 6192  df-fn 6193  df-f 6194  df-f1 6195  df-fo 6196  df-f1o 6197  df-fv 6198  df-riota 6939  df-ov 6981  df-oprab 6982  df-mpo 6983  df-om 7399  df-2nd 7504  df-wrecs 7752  df-recs 7814  df-rdg 7852  df-er 8091  df-en 8309  df-dom 8310  df-sdom 8311  df-sup 8703  df-pnf 10478  df-mnf 10479  df-xr 10480  df-ltxr 10481  df-le 10482  df-sub 10674  df-neg 10675  df-div 11101  df-nn 11442  df-2 11506  df-3 11507  df-4 11508  df-n0 11711  df-z 11797  df-uz 12062  df-rp 12208  df-seq 13188  df-exp 13248  df-cj 14322  df-re 14323  df-im 14324  df-sqrt 14458  df-abs 14459
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator