Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  signsvfnn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem signsvfnn 31874
Description: Adding a letter of a different sign as the highest coefficient changes the sign. (Contributed by Thierry Arnoux, 12-Oct-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
signsv.p = (𝑎 ∈ {-1, 0, 1}, 𝑏 ∈ {-1, 0, 1} ↦ if(𝑏 = 0, 𝑎, 𝑏))
signsv.w 𝑊 = {⟨(Base‘ndx), {-1, 0, 1}⟩, ⟨(+g‘ndx), ⟩}
signsv.t 𝑇 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ (𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑓)) ↦ (𝑊 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (sgn‘(𝑓𝑖))))))
signsv.v 𝑉 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ Σ𝑗 ∈ (1..^(♯‘𝑓))if(((𝑇𝑓)‘𝑗) ≠ ((𝑇𝑓)‘(𝑗 − 1)), 1, 0))
signsvf.e (𝜑𝐸 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}))
signsvf.0 (𝜑 → (𝐸‘0) ≠ 0)
signsvf.f (𝜑𝐹 = (𝐸 ++ ⟨“𝐴”⟩))
signsvf.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
signsvf.n 𝑁 = (♯‘𝐸)
signsvf.b 𝐵 = (𝐸‘(𝑁 − 1))
Assertion
Ref Expression
signsvfnn ((𝜑 ∧ (𝐵 · 𝐴) < 0) → ((𝑉𝐹) − (𝑉𝐸)) = 1)
Distinct variable groups:   𝑎,𝑏,   𝑓,𝑖,𝑛,𝐹   𝑓,𝑊,𝑖,𝑛   𝑓,𝑎,𝑖,𝑗,𝑛,𝐴,𝑏   𝐸,𝑎,𝑏,𝑓,𝑖,𝑗,𝑛   𝑁,𝑎,𝑏,𝑓,𝑖,𝑛   𝑇,𝑎,𝑏,𝑓,𝑗,𝑛
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓,𝑖,𝑗,𝑛,𝑎,𝑏)   𝐵(𝑓,𝑖,𝑗,𝑛,𝑎,𝑏)   (𝑓,𝑖,𝑗,𝑛)   𝑇(𝑖)   𝐹(𝑗,𝑎,𝑏)   𝑁(𝑗)   𝑉(𝑓,𝑖,𝑗,𝑛,𝑎,𝑏)   𝑊(𝑗,𝑎,𝑏)

Proof of Theorem signsvfnn
StepHypRef Expression
1 signsvf.e . . . . . . . . 9 (𝜑𝐸 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}))
21adantr 484 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝐵 · 𝐴) < 0) → 𝐸 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}))
3 signsvf.b . . . . . . . . 9 𝐵 = (𝐸‘(𝑁 − 1))
41eldifad 3930 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐸 ∈ Word ℝ)
5 wrdf 13860 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐸 ∈ Word ℝ → 𝐸:(0..^(♯‘𝐸))⟶ℝ)
64, 5syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐸:(0..^(♯‘𝐸))⟶ℝ)
7 signsvf.n . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑁 = (♯‘𝐸)
87oveq1i 7148 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑁 − 1) = ((♯‘𝐸) − 1)
9 eldifsn 4700 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐸 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ↔ (𝐸 ∈ Word ℝ ∧ 𝐸 ≠ ∅))
101, 9sylib 221 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝐸 ∈ Word ℝ ∧ 𝐸 ≠ ∅))
11 lennncl 13875 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐸 ∈ Word ℝ ∧ 𝐸 ≠ ∅) → (♯‘𝐸) ∈ ℕ)
12 fzo0end 13122 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((♯‘𝐸) ∈ ℕ → ((♯‘𝐸) − 1) ∈ (0..^(♯‘𝐸)))
1310, 11, 123syl 18 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((♯‘𝐸) − 1) ∈ (0..^(♯‘𝐸)))
148, 13eqeltrid 2920 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑁 − 1) ∈ (0..^(♯‘𝐸)))
156, 14ffvelrnd 6833 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐸‘(𝑁 − 1)) ∈ ℝ)
1615recnd 10654 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐸‘(𝑁 − 1)) ∈ ℂ)
173, 16eqeltrid 2920 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
1817adantr 484 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝐵 · 𝐴) < 0) → 𝐵 ∈ ℂ)
19 signsvf.a . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
2019recnd 10654 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
2120adantr 484 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝐵 · 𝐴) < 0) → 𝐴 ∈ ℂ)
22 simpr 488 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝐵 · 𝐴) < 0) → (𝐵 · 𝐴) < 0)
2322lt0ne0d 11190 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝐵 · 𝐴) < 0) → (𝐵 · 𝐴) ≠ 0)
2418, 21, 23mulne0bad 11280 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝐵 · 𝐴) < 0) → 𝐵 ≠ 0)
253, 24eqnetrrid 3088 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝐵 · 𝐴) < 0) → (𝐸‘(𝑁 − 1)) ≠ 0)
26 signsv.p . . . . . . . . . 10 = (𝑎 ∈ {-1, 0, 1}, 𝑏 ∈ {-1, 0, 1} ↦ if(𝑏 = 0, 𝑎, 𝑏))
27 signsv.w . . . . . . . . . 10 𝑊 = {⟨(Base‘ndx), {-1, 0, 1}⟩, ⟨(+g‘ndx), ⟩}
28 signsv.t . . . . . . . . . 10 𝑇 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ (𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑓)) ↦ (𝑊 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (sgn‘(𝑓𝑖))))))
29 signsv.v . . . . . . . . . 10 𝑉 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ Σ𝑗 ∈ (1..^(♯‘𝑓))if(((𝑇𝑓)‘𝑗) ≠ ((𝑇𝑓)‘(𝑗 − 1)), 1, 0))
3026, 27, 28, 29, 7signsvtn0 31858 . . . . . . . . 9 ((𝐸 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐸‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) → ((𝑇𝐸)‘(𝑁 − 1)) = (sgn‘(𝐸‘(𝑁 − 1))))
313fveq2i 6654 . . . . . . . . 9 (sgn‘𝐵) = (sgn‘(𝐸‘(𝑁 − 1)))
3230, 31syl6eqr 2877 . . . . . . . 8 ((𝐸 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐸‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) → ((𝑇𝐸)‘(𝑁 − 1)) = (sgn‘𝐵))
332, 25, 32syl2anc 587 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝐵 · 𝐴) < 0) → ((𝑇𝐸)‘(𝑁 − 1)) = (sgn‘𝐵))
3433fveq2d 6655 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐵 · 𝐴) < 0) → (sgn‘((𝑇𝐸)‘(𝑁 − 1))) = (sgn‘(sgn‘𝐵)))
353, 15eqeltrid 2920 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
3635adantr 484 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝐵 · 𝐴) < 0) → 𝐵 ∈ ℝ)
3736rexrd 10676 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝐵 · 𝐴) < 0) → 𝐵 ∈ ℝ*)
38 sgnsgn 31824 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ ℝ* → (sgn‘(sgn‘𝐵)) = (sgn‘𝐵))
3937, 38syl 17 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐵 · 𝐴) < 0) → (sgn‘(sgn‘𝐵)) = (sgn‘𝐵))
4034, 39eqtrd 2859 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐵 · 𝐴) < 0) → (sgn‘((𝑇𝐸)‘(𝑁 − 1))) = (sgn‘𝐵))
4140oveq2d 7154 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐵 · 𝐴) < 0) → ((sgn‘𝐴) · (sgn‘((𝑇𝐸)‘(𝑁 − 1)))) = ((sgn‘𝐴) · (sgn‘𝐵)))
4220, 17mulcomd 10647 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) = (𝐵 · 𝐴))
4342breq1d 5057 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) < 0 ↔ (𝐵 · 𝐴) < 0))
44 sgnmulsgn 31825 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴 · 𝐵) < 0 ↔ ((sgn‘𝐴) · (sgn‘𝐵)) < 0))
4519, 35, 44syl2anc 587 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) < 0 ↔ ((sgn‘𝐴) · (sgn‘𝐵)) < 0))
4643, 45bitr3d 284 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐵 · 𝐴) < 0 ↔ ((sgn‘𝐴) · (sgn‘𝐵)) < 0))
4746biimpa 480 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐵 · 𝐴) < 0) → ((sgn‘𝐴) · (sgn‘𝐵)) < 0)
4841, 47eqbrtrd 5069 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐵 · 𝐴) < 0) → ((sgn‘𝐴) · (sgn‘((𝑇𝐸)‘(𝑁 − 1)))) < 0)
4919adantr 484 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐵 · 𝐴) < 0) → 𝐴 ∈ ℝ)
50 sgnclre 31815 . . . . . 6 (𝐵 ∈ ℝ → (sgn‘𝐵) ∈ ℝ)
5136, 50syl 17 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐵 · 𝐴) < 0) → (sgn‘𝐵) ∈ ℝ)
5233, 51eqeltrd 2916 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐵 · 𝐴) < 0) → ((𝑇𝐸)‘(𝑁 − 1)) ∈ ℝ)
53 sgnmulsgn 31825 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ((𝑇𝐸)‘(𝑁 − 1)) ∈ ℝ) → ((𝐴 · ((𝑇𝐸)‘(𝑁 − 1))) < 0 ↔ ((sgn‘𝐴) · (sgn‘((𝑇𝐸)‘(𝑁 − 1)))) < 0))
5449, 52, 53syl2anc 587 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐵 · 𝐴) < 0) → ((𝐴 · ((𝑇𝐸)‘(𝑁 − 1))) < 0 ↔ ((sgn‘𝐴) · (sgn‘((𝑇𝐸)‘(𝑁 − 1)))) < 0))
5548, 54mpbird 260 . 2 ((𝜑 ∧ (𝐵 · 𝐴) < 0) → (𝐴 · ((𝑇𝐸)‘(𝑁 − 1))) < 0)
56 signsvf.0 . . 3 (𝜑 → (𝐸‘0) ≠ 0)
57 signsvf.f . . 3 (𝜑𝐹 = (𝐸 ++ ⟨“𝐴”⟩))
58 eqid 2824 . . 3 ((𝑇𝐸)‘(𝑁 − 1)) = ((𝑇𝐸)‘(𝑁 − 1))
5926, 27, 28, 29, 1, 56, 57, 19, 7, 58signsvtn 31872 . 2 ((𝜑 ∧ (𝐴 · ((𝑇𝐸)‘(𝑁 − 1))) < 0) → ((𝑉𝐹) − (𝑉𝐸)) = 1)
6055, 59syldan 594 1 ((𝜑 ∧ (𝐵 · 𝐴) < 0) → ((𝑉𝐹) − (𝑉𝐸)) = 1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399   = wceq 1538  wcel 2115  wne 3013  cdif 3915  c0 4274  ifcif 4448  {csn 4548  {cpr 4550  {ctp 4552  cop 4554   class class class wbr 5047  cmpt 5127  wf 6332  cfv 6336  (class class class)co 7138  cmpo 7140  cc 10520  cr 10521  0cc0 10522  1c1 10523   · cmul 10527  *cxr 10659   < clt 10660  cmin 10855  -cneg 10856  cn 11623  ...cfz 12883  ..^cfzo 13026  chash 13684  Word cword 13855   ++ cconcat 13911  ⟨“cs1 13938  sgncsgn 14434  Σcsu 15031  ndxcnx 16469  Basecbs 16472  +gcplusg 16554   Σg cgsu 16703
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5171  ax-sep 5184  ax-nul 5191  ax-pow 5247  ax-pr 5311  ax-un 7444  ax-inf2 9088  ax-cnex 10578  ax-resscn 10579  ax-1cn 10580  ax-icn 10581  ax-addcl 10582  ax-addrcl 10583  ax-mulcl 10584  ax-mulrcl 10585  ax-mulcom 10586  ax-addass 10587  ax-mulass 10588  ax-distr 10589  ax-i2m1 10590  ax-1ne0 10591  ax-1rid 10592  ax-rnegex 10593  ax-rrecex 10594  ax-cnre 10595  ax-pre-lttri 10596  ax-pre-lttrn 10597  ax-pre-ltadd 10598  ax-pre-mulgt0 10599  ax-pre-sup 10600
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3014  df-nel 3118  df-ral 3137  df-rex 3138  df-reu 3139  df-rmo 3140  df-rab 3141  df-v 3481  df-sbc 3758  df-csb 3866  df-dif 3921  df-un 3923  df-in 3925  df-ss 3935  df-pss 3937  df-nul 4275  df-if 4449  df-pw 4522  df-sn 4549  df-pr 4551  df-tp 4553  df-op 4555  df-uni 4820  df-int 4858  df-iun 4902  df-br 5048  df-opab 5110  df-mpt 5128  df-tr 5154  df-id 5441  df-eprel 5446  df-po 5455  df-so 5456  df-fr 5495  df-se 5496  df-we 5497  df-xp 5542  df-rel 5543  df-cnv 5544  df-co 5545  df-dm 5546  df-rn 5547  df-res 5548  df-ima 5549  df-pred 6129  df-ord 6175  df-on 6176  df-lim 6177  df-suc 6178  df-iota 6295  df-fun 6338  df-fn 6339  df-f 6340  df-f1 6341  df-fo 6342  df-f1o 6343  df-fv 6344  df-isom 6345  df-riota 7096  df-ov 7141  df-oprab 7142  df-mpo 7143  df-om 7564  df-1st 7672  df-2nd 7673  df-supp 7814  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-1o 8085  df-oadd 8089  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-fin 8496  df-sup 8890  df-oi 8958  df-card 9352  df-pnf 10662  df-mnf 10663  df-xr 10664  df-ltxr 10665  df-le 10666  df-sub 10857  df-neg 10858  df-div 11283  df-nn 11624  df-2 11686  df-3 11687  df-n0 11884  df-xnn0 11954  df-z 11968  df-uz 12230  df-rp 12376  df-fz 12884  df-fzo 13027  df-seq 13363  df-exp 13424  df-hash 13685  df-word 13856  df-lsw 13904  df-concat 13912  df-s1 13939  df-substr 13992  df-pfx 14022  df-sgn 14435  df-cj 14447  df-re 14448  df-im 14449  df-sqrt 14583  df-abs 14584  df-clim 14834  df-sum 15032  df-struct 16474  df-ndx 16475  df-slot 16476  df-base 16478  df-plusg 16567  df-0g 16704  df-gsum 16705  df-mgm 17841  df-sgrp 17890  df-mnd 17901  df-mulg 18214  df-cntz 18436
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator