Theorem signsvfnn 34671

Description: Adding a letter of a different sign as the highest coefficient changes the sign. (Contributed by Thierry Arnoux, 12-Oct-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
signsv.p	⊢ ⨣ = (𝑎 ∈ {-1, 0, 1}, 𝑏 ∈ {-1, 0, 1} ↦ if(𝑏 = 0, 𝑎, 𝑏))
signsv.w	⊢ 𝑊 = {⟨(Base‘ndx), {-1, 0, 1}⟩, ⟨(+g‘ndx), ⨣ ⟩}
signsv.t	⊢ 𝑇 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ (𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑓)) ↦ (𝑊 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (sgn‘(𝑓‘𝑖))))))
signsv.v	⊢ 𝑉 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ Σ𝑗 ∈ (1..^(♯‘𝑓))if(((𝑇‘𝑓)‘𝑗) ≠ ((𝑇‘𝑓)‘(𝑗 − 1)), 1, 0))
signsvf.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}))
signsvf.0	⊢ (𝜑 → (𝐸‘0) ≠ 0)
signsvf.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝐸 ++ ⟨“𝐴”⟩))
signsvf.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
signsvf.n	⊢ 𝑁 = (♯‘𝐸)
signsvf.b	⊢ 𝐵 = (𝐸‘(𝑁 − 1))

Assertion

Ref	Expression
signsvfnn	⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 · 𝐴) < 0) → ((𝑉‘𝐹) − (𝑉‘𝐸)) = 1)

Distinct variable groups:   𝑎,𝑏, ⨣   𝑓,𝑖,𝑛,𝐹   𝑓,𝑊,𝑖,𝑛   𝑓,𝑎,𝑖,𝑗,𝑛,𝐴,𝑏   𝐸,𝑎,𝑏,𝑓,𝑖,𝑗,𝑛   𝑁,𝑎,𝑏,𝑓,𝑖,𝑛   𝑇,𝑎,𝑏,𝑓,𝑗,𝑛

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓,𝑖,𝑗,𝑛,𝑎,𝑏)   𝐵(𝑓,𝑖,𝑗,𝑛,𝑎,𝑏)   ⨣ (𝑓,𝑖,𝑗,𝑛)   𝑇(𝑖)   𝐹(𝑗,𝑎,𝑏)   𝑁(𝑗)   𝑉(𝑓,𝑖,𝑗,𝑛,𝑎,𝑏)   𝑊(𝑗,𝑎,𝑏)

Proof of Theorem signsvfnn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		signsvf.e	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}))
2	1	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 · 𝐴) < 0) → 𝐸 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}))
3		signsvf.b	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐵 = (𝐸‘(𝑁 − 1))
4	1	eldifad 3910	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ Word ℝ)
5		wrdf 14432	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐸 ∈ Word ℝ → 𝐸:(0..^(♯‘𝐸))⟶ℝ)
6	4, 5	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐸:(0..^(♯‘𝐸))⟶ℝ)
7		signsvf.n	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 𝑁 = (♯‘𝐸)
8	7	oveq1i 7365	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑁 − 1) = ((♯‘𝐸) − 1)
9		eldifsn 4739	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐸 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ↔ (𝐸 ∈ Word ℝ ∧ 𝐸 ≠ ∅))
10	1, 9	sylib 218	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ∈ Word ℝ ∧ 𝐸 ≠ ∅))
11		lennncl 14448	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐸 ∈ Word ℝ ∧ 𝐸 ≠ ∅) → (♯‘𝐸) ∈ ℕ)
12		fzo0end 13665	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((♯‘𝐸) ∈ ℕ → ((♯‘𝐸) − 1) ∈ (0..^(♯‘𝐸)))
13	10, 11, 12	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝐸) − 1) ∈ (0..^(♯‘𝐸)))
14	8, 13	eqeltrid 2837	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑁 − 1) ∈ (0..^(♯‘𝐸)))
15	6, 14	ffvelcdmd 7027	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐸‘(𝑁 − 1)) ∈ ℝ)
16	15	recnd 11151	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐸‘(𝑁 − 1)) ∈ ℂ)
17	3, 16	eqeltrid 2837	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
18	17	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 · 𝐴) < 0) → 𝐵 ∈ ℂ)
19		signsvf.a	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
20	19	recnd 11151	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
21	20	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 · 𝐴) < 0) → 𝐴 ∈ ℂ)
22		simpr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 · 𝐴) < 0) → (𝐵 · 𝐴) < 0)
23	22	lt0ne0d 11693	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 · 𝐴) < 0) → (𝐵 · 𝐴) ≠ 0)
24	18, 21, 23	mulne0bad 11783	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 · 𝐴) < 0) → 𝐵 ≠ 0)
25	3, 24	eqnetrrid 3004	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 · 𝐴) < 0) → (𝐸‘(𝑁 − 1)) ≠ 0)
26		signsv.p	. . . . . . . . . 10 ⊢ ⨣ = (𝑎 ∈ {-1, 0, 1}, 𝑏 ∈ {-1, 0, 1} ↦ if(𝑏 = 0, 𝑎, 𝑏))
27		signsv.w	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑊 = {⟨(Base‘ndx), {-1, 0, 1}⟩, ⟨(+g‘ndx), ⨣ ⟩}
28		signsv.t	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑇 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ (𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑓)) ↦ (𝑊 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (sgn‘(𝑓‘𝑖))))))
29		signsv.v	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑉 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ Σ𝑗 ∈ (1..^(♯‘𝑓))if(((𝑇‘𝑓)‘𝑗) ≠ ((𝑇‘𝑓)‘(𝑗 − 1)), 1, 0))
30	26, 27, 28, 29, 7	signsvtn0 34655	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐸 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐸‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) → ((𝑇‘𝐸)‘(𝑁 − 1)) = (sgn‘(𝐸‘(𝑁 − 1))))
31	3	fveq2i 6834	. . . . . . . . 9 ⊢ (sgn‘𝐵) = (sgn‘(𝐸‘(𝑁 − 1)))
32	30, 31	eqtr4di 2786	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐸 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐸‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) → ((𝑇‘𝐸)‘(𝑁 − 1)) = (sgn‘𝐵))
33	2, 25, 32	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 · 𝐴) < 0) → ((𝑇‘𝐸)‘(𝑁 − 1)) = (sgn‘𝐵))
34	33	fveq2d 6835	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 · 𝐴) < 0) → (sgn‘((𝑇‘𝐸)‘(𝑁 − 1))) = (sgn‘(sgn‘𝐵)))
35	3, 15	eqeltrid 2837	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
36	35	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 · 𝐴) < 0) → 𝐵 ∈ ℝ)
37	36	rexrd 11173	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 · 𝐴) < 0) → 𝐵 ∈ ℝ*)
38		sgnsgn 32850	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ* → (sgn‘(sgn‘𝐵)) = (sgn‘𝐵))
39	37, 38	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 · 𝐴) < 0) → (sgn‘(sgn‘𝐵)) = (sgn‘𝐵))
40	34, 39	eqtrd 2768	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 · 𝐴) < 0) → (sgn‘((𝑇‘𝐸)‘(𝑁 − 1))) = (sgn‘𝐵))
41	40	oveq2d 7371	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 · 𝐴) < 0) → ((sgn‘𝐴) · (sgn‘((𝑇‘𝐸)‘(𝑁 − 1)))) = ((sgn‘𝐴) · (sgn‘𝐵)))
42	20, 17	mulcomd 11144	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) = (𝐵 · 𝐴))
43	42	breq1d 5105	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) < 0 ↔ (𝐵 · 𝐴) < 0))
44		sgnmulsgn 32851	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴 · 𝐵) < 0 ↔ ((sgn‘𝐴) · (sgn‘𝐵)) < 0))
45	19, 35, 44	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) < 0 ↔ ((sgn‘𝐴) · (sgn‘𝐵)) < 0))
46	43, 45	bitr3d 281	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 · 𝐴) < 0 ↔ ((sgn‘𝐴) · (sgn‘𝐵)) < 0))
47	46	biimpa 476	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 · 𝐴) < 0) → ((sgn‘𝐴) · (sgn‘𝐵)) < 0)
48	41, 47	eqbrtrd 5117	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 · 𝐴) < 0) → ((sgn‘𝐴) · (sgn‘((𝑇‘𝐸)‘(𝑁 − 1)))) < 0)
49	19	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 · 𝐴) < 0) → 𝐴 ∈ ℝ)
50		sgnclre 32841	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (sgn‘𝐵) ∈ ℝ)
51	36, 50	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 · 𝐴) < 0) → (sgn‘𝐵) ∈ ℝ)
52	33, 51	eqeltrd 2833	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 · 𝐴) < 0) → ((𝑇‘𝐸)‘(𝑁 − 1)) ∈ ℝ)
53		sgnmulsgn 32851	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ((𝑇‘𝐸)‘(𝑁 − 1)) ∈ ℝ) → ((𝐴 · ((𝑇‘𝐸)‘(𝑁 − 1))) < 0 ↔ ((sgn‘𝐴) · (sgn‘((𝑇‘𝐸)‘(𝑁 − 1)))) < 0))
54	49, 52, 53	syl2anc 584	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 · 𝐴) < 0) → ((𝐴 · ((𝑇‘𝐸)‘(𝑁 − 1))) < 0 ↔ ((sgn‘𝐴) · (sgn‘((𝑇‘𝐸)‘(𝑁 − 1)))) < 0))
55	48, 54	mpbird 257	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 · 𝐴) < 0) → (𝐴 · ((𝑇‘𝐸)‘(𝑁 − 1))) < 0)
56		signsvf.0	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐸‘0) ≠ 0)
57		signsvf.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝐸 ++ ⟨“𝐴”⟩))
58		eqid 2733	. . 3 ⊢ ((𝑇‘𝐸)‘(𝑁 − 1)) = ((𝑇‘𝐸)‘(𝑁 − 1))
59	26, 27, 28, 29, 1, 56, 57, 19, 7, 58	signsvtn 34669	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 · ((𝑇‘𝐸)‘(𝑁 − 1))) < 0) → ((𝑉‘𝐹) − (𝑉‘𝐸)) = 1)
60	55, 59	syldan 591	1 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 · 𝐴) < 0) → ((𝑉‘𝐹) − (𝑉‘𝐸)) = 1)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2929   ∖ cdif 3895  ∅c0 4282  ifcif 4476  {csn 4577  {cpr 4579  {ctp 4581  ⟨cop 4583   class class class wbr 5095   ↦ cmpt 5176  ⟶wf 6485  ‘cfv 6489  (class class class)co 7355   ∈ cmpo 7357  ℂcc 11015  ℝcr 11016  0cc0 11017  1c1 11018   · cmul 11022  ℝ^*cxr 11156   < clt 11157   − cmin 11355  -cneg 11356  ℕcn 12136  ...cfz 13414  ..^cfzo 13561  ♯chash 14244  Word cword 14427   ++ cconcat 14484  ⟨“cs1 14510  sgncsgn 15000  Σcsu 15600  ndxcnx 17111  Basecbs 17127  +_gcplusg 17168   Σ_g cgsu 17351

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7677  ax-inf2 9542  ax-cnex 11073  ax-resscn 11074  ax-1cn 11075  ax-icn 11076  ax-addcl 11077  ax-addrcl 11078  ax-mulcl 11079  ax-mulrcl 11080  ax-mulcom 11081  ax-addass 11082  ax-mulass 11083  ax-distr 11084  ax-i2m1 11085  ax-1ne0 11086  ax-1rid 11087  ax-rnegex 11088  ax-rrecex 11089  ax-cnre 11090  ax-pre-lttri 11091  ax-pre-lttrn 11092  ax-pre-ltadd 11093  ax-pre-mulgt0 11094  ax-pre-sup 11095

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-tp 4582  df-op 4584  df-uni 4861  df-int 4900  df-iun 4945  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-se 5575  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-isom 6498  df-riota 7312  df-ov 7358  df-oprab 7359  df-mpo 7360  df-om 7806  df-1st 7930  df-2nd 7931  df-supp 8100  df-frecs 8220  df-wrecs 8251  df-recs 8300  df-rdg 8338  df-1o 8394  df-er 8631  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-sup 9337  df-oi 9407  df-card 9843  df-pnf 11159  df-mnf 11160  df-xr 11161  df-ltxr 11162  df-le 11163  df-sub 11357  df-neg 11358  df-div 11786  df-nn 12137  df-2 12199  df-3 12200  df-n0 12393  df-xnn0 12466  df-z 12480  df-uz 12743  df-rp 12897  df-fz 13415  df-fzo 13562  df-seq 13916  df-exp 13976  df-hash 14245  df-word 14428  df-lsw 14477  df-concat 14485  df-s1 14511  df-substr 14556  df-pfx 14586  df-sgn 15001  df-cj 15013  df-re 15014  df-im 15015  df-sqrt 15149  df-abs 15150  df-clim 15402  df-sum 15601  df-struct 17065  df-slot 17100  df-ndx 17112  df-base 17128  df-plusg 17181  df-0g 17352  df-gsum 17353  df-mgm 18556  df-sgrp 18635  df-mnd 18651  df-mulg 18989  df-cntz 19237

This theorem is referenced by: (None)