Theorem signsvfnn 35094

Description: Adding a letter of a different sign as the highest coefficient changes the sign. (Contributed by Thierry Arnoux, 12-Oct-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
signsv.p	⊢ ⨣ = (𝑎 ∈ {-1, 0, 1}, 𝑏 ∈ {-1, 0, 1} ↦ if(𝑏 = 0, 𝑎, 𝑏))
signsv.w	⊢ 𝑊 = {⟨(Base‘ndx), {-1, 0, 1}⟩, ⟨(+g‘ndx), ⨣ ⟩}
signsv.t	⊢ 𝑇 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ (𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑓)) ↦ (𝑊 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (sgn‘(𝑓‘𝑖))))))
signsv.v	⊢ 𝑉 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ Σ𝑗 ∈ (1..^(♯‘𝑓))if(((𝑇‘𝑓)‘𝑗) ≠ ((𝑇‘𝑓)‘(𝑗 − 1)), 1, 0))
signsvf.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}))
signsvf.0	⊢ (𝜑 → (𝐸‘0) ≠ 0)
signsvf.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝐸 ++ ⟨“𝐴”⟩))
signsvf.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
signsvf.n	⊢ 𝑁 = (♯‘𝐸)
signsvf.b	⊢ 𝐵 = (𝐸‘(𝑁 − 1))

Assertion

Ref	Expression
signsvfnn	⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 · 𝐴) < 0) → ((𝑉‘𝐹) − (𝑉‘𝐸)) = 1)

Distinct variable groups:   𝑎,𝑏, ⨣   𝑓,𝑖,𝑛,𝐹   𝑓,𝑊,𝑖,𝑛   𝑓,𝑎,𝑖,𝑗,𝑛,𝐴,𝑏   𝐸,𝑎,𝑏,𝑓,𝑖,𝑗,𝑛   𝑁,𝑎,𝑏,𝑓,𝑖,𝑛   𝑇,𝑎,𝑏,𝑓,𝑗,𝑛

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓, 𝑖, 𝑗, 𝑛, 𝑎, 𝑏)   𝐵(𝑓, 𝑖, 𝑗, 𝑛, 𝑎, 𝑏)   ⨣ (𝑓, 𝑖, 𝑗, 𝑛)   𝑇(𝑖)   𝐹(𝑗, 𝑎, 𝑏)   𝑁(𝑗)   𝑉(𝑓, 𝑖, 𝑗, 𝑛, 𝑎, 𝑏)   𝑊(𝑗, 𝑎, 𝑏)

Proof of Theorem signsvfnn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		signsvf.e	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}))
2	1	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 · 𝐴) < 0) → 𝐸 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}))
3		signsvf.b	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐵 = (𝐸‘(𝑁 − 1))
4	1	eldifad 3911	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ Word ℝ)
5		wrdf 14583	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐸 ∈ Word ℝ → 𝐸:(0..^(♯‘𝐸))⟶ℝ)
6	4, 5	syl 18	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐸:(0..^(♯‘𝐸))⟶ℝ)
7		signsvf.n	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 𝑁 = (♯‘𝐸)
8	7	oveq1i 7423	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑁 − 1) = ((♯‘𝐸) − 1)
9		eldifsn 4748	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐸 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ↔ (𝐸 ∈ Word ℝ ∧ 𝐸 ≠ ∅))
10	1, 9	sylib 221	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ∈ Word ℝ ∧ 𝐸 ≠ ∅))
11		lennncl 14599	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐸 ∈ Word ℝ ∧ 𝐸 ≠ ∅) → (♯‘𝐸) ∈ ℕ)
12		fzo0end 13814	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((♯‘𝐸) ∈ ℕ → ((♯‘𝐸) − 1) ∈ (0..^(♯‘𝐸)))
13	10, 11, 12	3syl 19	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝐸) − 1) ∈ (0..^(♯‘𝐸)))
14	8, 13	eqeltrid 2864	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑁 − 1) ∈ (0..^(♯‘𝐸)))
15	6, 14	ffvelcdmd 7078	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐸‘(𝑁 − 1)) ∈ ℝ)
16	15	recnd 11261	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐸‘(𝑁 − 1)) ∈ ℂ)
17	3, 16	eqeltrid 2864	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
18	17	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 · 𝐴) < 0) → 𝐵 ∈ ℂ)
19		signsvf.a	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
20	19	recnd 11261	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
21	20	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 · 𝐴) < 0) → 𝐴 ∈ ℂ)
22		simpr 490	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 · 𝐴) < 0) → (𝐵 · 𝐴) < 0)
23	22	lt0ne0d 11803	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 · 𝐴) < 0) → (𝐵 · 𝐴) ≠ 0)
24	18, 21, 23	mulne0bad 11893	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 · 𝐴) < 0) → 𝐵 ≠ 0)
25	3, 24	eqnetrrid 3030	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 · 𝐴) < 0) → (𝐸‘(𝑁 − 1)) ≠ 0)
26		signsv.p	. . . . . . . . . 10 ⊢ ⨣ = (𝑎 ∈ {-1, 0, 1}, 𝑏 ∈ {-1, 0, 1} ↦ if(𝑏 = 0, 𝑎, 𝑏))
27		signsv.w	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑊 = {⟨(Base‘ndx), {-1, 0, 1}⟩, ⟨(+g‘ndx), ⨣ ⟩}
28		signsv.t	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑇 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ (𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑓)) ↦ (𝑊 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (sgn‘(𝑓‘𝑖))))))
29		signsv.v	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑉 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ Σ𝑗 ∈ (1..^(♯‘𝑓))if(((𝑇‘𝑓)‘𝑗) ≠ ((𝑇‘𝑓)‘(𝑗 − 1)), 1, 0))
30	26, 27, 28, 29, 7	signsvtn0 35078	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐸 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐸‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) → ((𝑇‘𝐸)‘(𝑁 − 1)) = (sgn‘(𝐸‘(𝑁 − 1))))
31	3	fveq2i 6881	. . . . . . . . 9 ⊢ (sgn‘𝐵) = (sgn‘(𝐸‘(𝑁 − 1)))
32	30, 31	eqtr4di 2813	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐸 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐸‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) → ((𝑇‘𝐸)‘(𝑁 − 1)) = (sgn‘𝐵))
33	2, 25, 32	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 · 𝐴) < 0) → ((𝑇‘𝐸)‘(𝑁 − 1)) = (sgn‘𝐵))
34	33	fveq2d 6882	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 · 𝐴) < 0) → (sgn‘((𝑇‘𝐸)‘(𝑁 − 1))) = (sgn‘(sgn‘𝐵)))
35	3, 15	eqeltrid 2864	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
36	35	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 · 𝐴) < 0) → 𝐵 ∈ ℝ)
37	36	rexrd 11283	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 · 𝐴) < 0) → 𝐵 ∈ ℝ*)
38		sgnsgn 33301	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ* → (sgn‘(sgn‘𝐵)) = (sgn‘𝐵))
39	37, 38	syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 · 𝐴) < 0) → (sgn‘(sgn‘𝐵)) = (sgn‘𝐵))
40	34, 39	eqtrd 2795	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 · 𝐴) < 0) → (sgn‘((𝑇‘𝐸)‘(𝑁 − 1))) = (sgn‘𝐵))
41	40	oveq2d 7429	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 · 𝐴) < 0) → ((sgn‘𝐴) · (sgn‘((𝑇‘𝐸)‘(𝑁 − 1)))) = ((sgn‘𝐴) · (sgn‘𝐵)))
42	20, 17	mulcomd 11254	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) = (𝐵 · 𝐴))
43	42	breq1d 5113	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) < 0 ↔ (𝐵 · 𝐴) < 0))
44		sgnmulsgn 15182	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴 · 𝐵) < 0 ↔ ((sgn‘𝐴) · (sgn‘𝐵)) < 0))
45	19, 35, 44	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) < 0 ↔ ((sgn‘𝐴) · (sgn‘𝐵)) < 0))
46	43, 45	bitr3d 284	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 · 𝐴) < 0 ↔ ((sgn‘𝐴) · (sgn‘𝐵)) < 0))
47	46	biimpa 482	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 · 𝐴) < 0) → ((sgn‘𝐴) · (sgn‘𝐵)) < 0)
48	41, 47	eqbrtrd 5127	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 · 𝐴) < 0) → ((sgn‘𝐴) · (sgn‘((𝑇‘𝐸)‘(𝑁 − 1)))) < 0)
49	19	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 · 𝐴) < 0) → 𝐴 ∈ ℝ)
50		sgnclre 15175	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (sgn‘𝐵) ∈ ℝ)
51	36, 50	syl 18	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 · 𝐴) < 0) → (sgn‘𝐵) ∈ ℝ)
52	33, 51	eqeltrd 2860	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 · 𝐴) < 0) → ((𝑇‘𝐸)‘(𝑁 − 1)) ∈ ℝ)
53		sgnmulsgn 15182	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ((𝑇‘𝐸)‘(𝑁 − 1)) ∈ ℝ) → ((𝐴 · ((𝑇‘𝐸)‘(𝑁 − 1))) < 0 ↔ ((sgn‘𝐴) · (sgn‘((𝑇‘𝐸)‘(𝑁 − 1)))) < 0))
54	49, 52, 53	syl2anc 596	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 · 𝐴) < 0) → ((𝐴 · ((𝑇‘𝐸)‘(𝑁 − 1))) < 0 ↔ ((sgn‘𝐴) · (sgn‘((𝑇‘𝐸)‘(𝑁 − 1)))) < 0))
55	48, 54	mpbird 260	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 · 𝐴) < 0) → (𝐴 · ((𝑇‘𝐸)‘(𝑁 − 1))) < 0)
56		signsvf.0	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐸‘0) ≠ 0)
57		signsvf.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝐸 ++ ⟨“𝐴”⟩))
58		eqid 2760	. . 3 ⊢ ((𝑇‘𝐸)‘(𝑁 − 1)) = ((𝑇‘𝐸)‘(𝑁 − 1))
59	26, 27, 28, 29, 1, 56, 57, 19, 7, 58	signsvtn 35092	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 · ((𝑇‘𝐸)‘(𝑁 − 1))) < 0) → ((𝑉‘𝐹) − (𝑉‘𝐸)) = 1)
60	55, 59	syldan 603	1 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 · 𝐴) < 0) → ((𝑉‘𝐹) − (𝑉‘𝐸)) = 1)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2955   ∖ cdif 3896  ∅c0 4279  ifcif 4482  {csn 4584  {cpr 4586  {ctp 4588  ⟨cop 4590   class class class wbr 5103   ↦ cmpt 5186  ⟶wf 6529  ‘cfv 6533  (class class class)co 7413   ∈ cmpo 7415  ℂcc 11122  ℝcr 11123  0cc0 11124  1c1 11125   · cmul 11129  ℝ^*cxr 11266   < clt 11267   − cmin 11465  -cneg 11466  ℕcn 12257  ...cfz 13561  ..^cfzo 13709  ♯chash 14394  Word cword 14578   ++ cconcat 14635  ⟨“cs1 14662  sgncsgn 15159  Σcsu 15773  ndxcnx 17285  Basecbs 17301  +_gcplusg 17342   Σ_g cgsu 17525

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736  ax-inf2 9620  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201  ax-pre-sup 11202

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-supp 8159  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-1o 8455  df-er 8696  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-sup 9412  df-oi 9482  df-card 9944  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11467  df-neg 11468  df-div 11896  df-nn 12258  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12529  df-xnn0 12602  df-z 12616  df-uz 12888  df-rp 13043  df-fz 13562  df-fzo 13710  df-seq 14066  df-exp 14126  df-hash 14395  df-word 14579  df-lsw 14628  df-concat 14636  df-s1 14663  df-substr 14709  df-pfx 14741  df-sgn 15160  df-cj 15186  df-re 15187  df-im 15188  df-sqrt 15322  df-abs 15323  df-clim 15575  df-sum 15774  df-struct 17239  df-slot 17274  df-ndx 17286  df-base 17302  df-plusg 17355  df-0g 17526  df-gsum 17527  df-mgm 18730  df-sgrp 18821  df-mnd 18837  df-mulg 19191  df-cntz 19444

This theorem is used by: (None)