Theorem signsvfnn 34763

Description: Adding a letter of a different sign as the highest coefficient changes the sign. (Contributed by Thierry Arnoux, 12-Oct-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
signsv.p	⊢ ⨣ = (𝑎 ∈ {-1, 0, 1}, 𝑏 ∈ {-1, 0, 1} ↦ if(𝑏 = 0, 𝑎, 𝑏))
signsv.w	⊢ 𝑊 = {⟨(Base‘ndx), {-1, 0, 1}⟩, ⟨(+g‘ndx), ⨣ ⟩}
signsv.t	⊢ 𝑇 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ (𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑓)) ↦ (𝑊 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (sgn‘(𝑓‘𝑖))))))
signsv.v	⊢ 𝑉 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ Σ𝑗 ∈ (1..^(♯‘𝑓))if(((𝑇‘𝑓)‘𝑗) ≠ ((𝑇‘𝑓)‘(𝑗 − 1)), 1, 0))
signsvf.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}))
signsvf.0	⊢ (𝜑 → (𝐸‘0) ≠ 0)
signsvf.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝐸 ++ ⟨“𝐴”⟩))
signsvf.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
signsvf.n	⊢ 𝑁 = (♯‘𝐸)
signsvf.b	⊢ 𝐵 = (𝐸‘(𝑁 − 1))

Assertion

Ref	Expression
signsvfnn	⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 · 𝐴) < 0) → ((𝑉‘𝐹) − (𝑉‘𝐸)) = 1)

Distinct variable groups:   𝑎,𝑏, ⨣   𝑓,𝑖,𝑛,𝐹   𝑓,𝑊,𝑖,𝑛   𝑓,𝑎,𝑖,𝑗,𝑛,𝐴,𝑏   𝐸,𝑎,𝑏,𝑓,𝑖,𝑗,𝑛   𝑁,𝑎,𝑏,𝑓,𝑖,𝑛   𝑇,𝑎,𝑏,𝑓,𝑗,𝑛

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓,𝑖,𝑗,𝑛,𝑎,𝑏)   𝐵(𝑓,𝑖,𝑗,𝑛,𝑎,𝑏)   ⨣ (𝑓,𝑖,𝑗,𝑛)   𝑇(𝑖)   𝐹(𝑗,𝑎,𝑏)   𝑁(𝑗)   𝑉(𝑓,𝑖,𝑗,𝑛,𝑎,𝑏)   𝑊(𝑗,𝑎,𝑏)

Proof of Theorem signsvfnn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		signsvf.e	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}))
2	1	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 · 𝐴) < 0) → 𝐸 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}))
3		signsvf.b	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐵 = (𝐸‘(𝑁 − 1))
4	1	eldifad 3915	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ Word ℝ)
5		wrdf 14453	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐸 ∈ Word ℝ → 𝐸:(0..^(♯‘𝐸))⟶ℝ)
6	4, 5	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐸:(0..^(♯‘𝐸))⟶ℝ)
7		signsvf.n	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 𝑁 = (♯‘𝐸)
8	7	oveq1i 7378	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑁 − 1) = ((♯‘𝐸) − 1)
9		eldifsn 4744	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐸 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ↔ (𝐸 ∈ Word ℝ ∧ 𝐸 ≠ ∅))
10	1, 9	sylib 218	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ∈ Word ℝ ∧ 𝐸 ≠ ∅))
11		lennncl 14469	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐸 ∈ Word ℝ ∧ 𝐸 ≠ ∅) → (♯‘𝐸) ∈ ℕ)
12		fzo0end 13686	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((♯‘𝐸) ∈ ℕ → ((♯‘𝐸) − 1) ∈ (0..^(♯‘𝐸)))
13	10, 11, 12	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝐸) − 1) ∈ (0..^(♯‘𝐸)))
14	8, 13	eqeltrid 2841	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑁 − 1) ∈ (0..^(♯‘𝐸)))
15	6, 14	ffvelcdmd 7039	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐸‘(𝑁 − 1)) ∈ ℝ)
16	15	recnd 11172	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐸‘(𝑁 − 1)) ∈ ℂ)
17	3, 16	eqeltrid 2841	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
18	17	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 · 𝐴) < 0) → 𝐵 ∈ ℂ)
19		signsvf.a	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
20	19	recnd 11172	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
21	20	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 · 𝐴) < 0) → 𝐴 ∈ ℂ)
22		simpr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 · 𝐴) < 0) → (𝐵 · 𝐴) < 0)
23	22	lt0ne0d 11714	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 · 𝐴) < 0) → (𝐵 · 𝐴) ≠ 0)
24	18, 21, 23	mulne0bad 11804	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 · 𝐴) < 0) → 𝐵 ≠ 0)
25	3, 24	eqnetrrid 3008	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 · 𝐴) < 0) → (𝐸‘(𝑁 − 1)) ≠ 0)
26		signsv.p	. . . . . . . . . 10 ⊢ ⨣ = (𝑎 ∈ {-1, 0, 1}, 𝑏 ∈ {-1, 0, 1} ↦ if(𝑏 = 0, 𝑎, 𝑏))
27		signsv.w	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑊 = {⟨(Base‘ndx), {-1, 0, 1}⟩, ⟨(+g‘ndx), ⨣ ⟩}
28		signsv.t	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑇 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ (𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑓)) ↦ (𝑊 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (sgn‘(𝑓‘𝑖))))))
29		signsv.v	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑉 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ Σ𝑗 ∈ (1..^(♯‘𝑓))if(((𝑇‘𝑓)‘𝑗) ≠ ((𝑇‘𝑓)‘(𝑗 − 1)), 1, 0))
30	26, 27, 28, 29, 7	signsvtn0 34747	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐸 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐸‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) → ((𝑇‘𝐸)‘(𝑁 − 1)) = (sgn‘(𝐸‘(𝑁 − 1))))
31	3	fveq2i 6845	. . . . . . . . 9 ⊢ (sgn‘𝐵) = (sgn‘(𝐸‘(𝑁 − 1)))
32	30, 31	eqtr4di 2790	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐸 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐸‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) → ((𝑇‘𝐸)‘(𝑁 − 1)) = (sgn‘𝐵))
33	2, 25, 32	syl2anc 585	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 · 𝐴) < 0) → ((𝑇‘𝐸)‘(𝑁 − 1)) = (sgn‘𝐵))
34	33	fveq2d 6846	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 · 𝐴) < 0) → (sgn‘((𝑇‘𝐸)‘(𝑁 − 1))) = (sgn‘(sgn‘𝐵)))
35	3, 15	eqeltrid 2841	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
36	35	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 · 𝐴) < 0) → 𝐵 ∈ ℝ)
37	36	rexrd 11194	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 · 𝐴) < 0) → 𝐵 ∈ ℝ*)
38		sgnsgn 32932	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ* → (sgn‘(sgn‘𝐵)) = (sgn‘𝐵))
39	37, 38	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 · 𝐴) < 0) → (sgn‘(sgn‘𝐵)) = (sgn‘𝐵))
40	34, 39	eqtrd 2772	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 · 𝐴) < 0) → (sgn‘((𝑇‘𝐸)‘(𝑁 − 1))) = (sgn‘𝐵))
41	40	oveq2d 7384	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 · 𝐴) < 0) → ((sgn‘𝐴) · (sgn‘((𝑇‘𝐸)‘(𝑁 − 1)))) = ((sgn‘𝐴) · (sgn‘𝐵)))
42	20, 17	mulcomd 11165	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) = (𝐵 · 𝐴))
43	42	breq1d 5110	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) < 0 ↔ (𝐵 · 𝐴) < 0))
44		sgnmulsgn 32933	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴 · 𝐵) < 0 ↔ ((sgn‘𝐴) · (sgn‘𝐵)) < 0))
45	19, 35, 44	syl2anc 585	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) < 0 ↔ ((sgn‘𝐴) · (sgn‘𝐵)) < 0))
46	43, 45	bitr3d 281	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 · 𝐴) < 0 ↔ ((sgn‘𝐴) · (sgn‘𝐵)) < 0))
47	46	biimpa 476	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 · 𝐴) < 0) → ((sgn‘𝐴) · (sgn‘𝐵)) < 0)
48	41, 47	eqbrtrd 5122	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 · 𝐴) < 0) → ((sgn‘𝐴) · (sgn‘((𝑇‘𝐸)‘(𝑁 − 1)))) < 0)
49	19	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 · 𝐴) < 0) → 𝐴 ∈ ℝ)
50		sgnclre 32923	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (sgn‘𝐵) ∈ ℝ)
51	36, 50	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 · 𝐴) < 0) → (sgn‘𝐵) ∈ ℝ)
52	33, 51	eqeltrd 2837	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 · 𝐴) < 0) → ((𝑇‘𝐸)‘(𝑁 − 1)) ∈ ℝ)
53		sgnmulsgn 32933	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ((𝑇‘𝐸)‘(𝑁 − 1)) ∈ ℝ) → ((𝐴 · ((𝑇‘𝐸)‘(𝑁 − 1))) < 0 ↔ ((sgn‘𝐴) · (sgn‘((𝑇‘𝐸)‘(𝑁 − 1)))) < 0))
54	49, 52, 53	syl2anc 585	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 · 𝐴) < 0) → ((𝐴 · ((𝑇‘𝐸)‘(𝑁 − 1))) < 0 ↔ ((sgn‘𝐴) · (sgn‘((𝑇‘𝐸)‘(𝑁 − 1)))) < 0))
55	48, 54	mpbird 257	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 · 𝐴) < 0) → (𝐴 · ((𝑇‘𝐸)‘(𝑁 − 1))) < 0)
56		signsvf.0	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐸‘0) ≠ 0)
57		signsvf.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝐸 ++ ⟨“𝐴”⟩))
58		eqid 2737	. . 3 ⊢ ((𝑇‘𝐸)‘(𝑁 − 1)) = ((𝑇‘𝐸)‘(𝑁 − 1))
59	26, 27, 28, 29, 1, 56, 57, 19, 7, 58	signsvtn 34761	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 · ((𝑇‘𝐸)‘(𝑁 − 1))) < 0) → ((𝑉‘𝐹) − (𝑉‘𝐸)) = 1)
60	55, 59	syldan 592	1 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 · 𝐴) < 0) → ((𝑉‘𝐹) − (𝑉‘𝐸)) = 1)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933   ∖ cdif 3900  ∅c0 4287  ifcif 4481  {csn 4582  {cpr 4584  {ctp 4586  ⟨cop 4588   class class class wbr 5100   ↦ cmpt 5181  ⟶wf 6496  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368   ∈ cmpo 7370  ℂcc 11036  ℝcr 11037  0cc0 11038  1c1 11039   · cmul 11043  ℝ^*cxr 11177   < clt 11178   − cmin 11376  -cneg 11377  ℕcn 12157  ...cfz 13435  ..^cfzo 13582  ♯chash 14265  Word cword 14448   ++ cconcat 14505  ⟨“cs1 14531  sgncsgn 15021  Σcsu 15621  ndxcnx 17132  Basecbs 17148  +_gcplusg 17189   Σ_g cgsu 17372

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-inf2 9562  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-tp 4587  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-se 5586  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-supp 8113  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-1o 8407  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-sup 9357  df-oi 9427  df-card 9863  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-div 11807  df-nn 12158  df-2 12220  df-3 12221  df-n0 12414  df-xnn0 12487  df-z 12501  df-uz 12764  df-rp 12918  df-fz 13436  df-fzo 13583  df-seq 13937  df-exp 13997  df-hash 14266  df-word 14449  df-lsw 14498  df-concat 14506  df-s1 14532  df-substr 14577  df-pfx 14607  df-sgn 15022  df-cj 15034  df-re 15035  df-im 15036  df-sqrt 15170  df-abs 15171  df-clim 15423  df-sum 15622  df-struct 17086  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17149  df-plusg 17202  df-0g 17373  df-gsum 17374  df-mgm 18577  df-sgrp 18656  df-mnd 18672  df-mulg 19010  df-cntz 19258

This theorem is referenced by: (None)