Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  signsvfnn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem signsvfnn 32701
Description: Adding a letter of a different sign as the highest coefficient changes the sign. (Contributed by Thierry Arnoux, 12-Oct-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
signsv.p = (𝑎 ∈ {-1, 0, 1}, 𝑏 ∈ {-1, 0, 1} ↦ if(𝑏 = 0, 𝑎, 𝑏))
signsv.w 𝑊 = {⟨(Base‘ndx), {-1, 0, 1}⟩, ⟨(+g‘ndx), ⟩}
signsv.t 𝑇 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ (𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑓)) ↦ (𝑊 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (sgn‘(𝑓𝑖))))))
signsv.v 𝑉 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ Σ𝑗 ∈ (1..^(♯‘𝑓))if(((𝑇𝑓)‘𝑗) ≠ ((𝑇𝑓)‘(𝑗 − 1)), 1, 0))
signsvf.e (𝜑𝐸 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}))
signsvf.0 (𝜑 → (𝐸‘0) ≠ 0)
signsvf.f (𝜑𝐹 = (𝐸 ++ ⟨“𝐴”⟩))
signsvf.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
signsvf.n 𝑁 = (♯‘𝐸)
signsvf.b 𝐵 = (𝐸‘(𝑁 − 1))
Assertion
Ref Expression
signsvfnn ((𝜑 ∧ (𝐵 · 𝐴) < 0) → ((𝑉𝐹) − (𝑉𝐸)) = 1)
Distinct variable groups:   𝑎,𝑏,   𝑓,𝑖,𝑛,𝐹   𝑓,𝑊,𝑖,𝑛   𝑓,𝑎,𝑖,𝑗,𝑛,𝐴,𝑏   𝐸,𝑎,𝑏,𝑓,𝑖,𝑗,𝑛   𝑁,𝑎,𝑏,𝑓,𝑖,𝑛   𝑇,𝑎,𝑏,𝑓,𝑗,𝑛
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓,𝑖,𝑗,𝑛,𝑎,𝑏)   𝐵(𝑓,𝑖,𝑗,𝑛,𝑎,𝑏)   (𝑓,𝑖,𝑗,𝑛)   𝑇(𝑖)   𝐹(𝑗,𝑎,𝑏)   𝑁(𝑗)   𝑉(𝑓,𝑖,𝑗,𝑛,𝑎,𝑏)   𝑊(𝑗,𝑎,𝑏)

Proof of Theorem signsvfnn
StepHypRef Expression
1 signsvf.e . . . . . . . . 9 (𝜑𝐸 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}))
21adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝐵 · 𝐴) < 0) → 𝐸 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}))
3 signsvf.b . . . . . . . . 9 𝐵 = (𝐸‘(𝑁 − 1))
41eldifad 3908 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐸 ∈ Word ℝ)
5 wrdf 14300 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐸 ∈ Word ℝ → 𝐸:(0..^(♯‘𝐸))⟶ℝ)
64, 5syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐸:(0..^(♯‘𝐸))⟶ℝ)
7 signsvf.n . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑁 = (♯‘𝐸)
87oveq1i 7326 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑁 − 1) = ((♯‘𝐸) − 1)
9 eldifsn 4731 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐸 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ↔ (𝐸 ∈ Word ℝ ∧ 𝐸 ≠ ∅))
101, 9sylib 217 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝐸 ∈ Word ℝ ∧ 𝐸 ≠ ∅))
11 lennncl 14315 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐸 ∈ Word ℝ ∧ 𝐸 ≠ ∅) → (♯‘𝐸) ∈ ℕ)
12 fzo0end 13558 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((♯‘𝐸) ∈ ℕ → ((♯‘𝐸) − 1) ∈ (0..^(♯‘𝐸)))
1310, 11, 123syl 18 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((♯‘𝐸) − 1) ∈ (0..^(♯‘𝐸)))
148, 13eqeltrid 2841 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑁 − 1) ∈ (0..^(♯‘𝐸)))
156, 14ffvelcdmd 7001 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐸‘(𝑁 − 1)) ∈ ℝ)
1615recnd 11082 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐸‘(𝑁 − 1)) ∈ ℂ)
173, 16eqeltrid 2841 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
1817adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝐵 · 𝐴) < 0) → 𝐵 ∈ ℂ)
19 signsvf.a . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
2019recnd 11082 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
2120adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝐵 · 𝐴) < 0) → 𝐴 ∈ ℂ)
22 simpr 485 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝐵 · 𝐴) < 0) → (𝐵 · 𝐴) < 0)
2322lt0ne0d 11619 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝐵 · 𝐴) < 0) → (𝐵 · 𝐴) ≠ 0)
2418, 21, 23mulne0bad 11709 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝐵 · 𝐴) < 0) → 𝐵 ≠ 0)
253, 24eqnetrrid 3016 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝐵 · 𝐴) < 0) → (𝐸‘(𝑁 − 1)) ≠ 0)
26 signsv.p . . . . . . . . . 10 = (𝑎 ∈ {-1, 0, 1}, 𝑏 ∈ {-1, 0, 1} ↦ if(𝑏 = 0, 𝑎, 𝑏))
27 signsv.w . . . . . . . . . 10 𝑊 = {⟨(Base‘ndx), {-1, 0, 1}⟩, ⟨(+g‘ndx), ⟩}
28 signsv.t . . . . . . . . . 10 𝑇 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ (𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑓)) ↦ (𝑊 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (sgn‘(𝑓𝑖))))))
29 signsv.v . . . . . . . . . 10 𝑉 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ Σ𝑗 ∈ (1..^(♯‘𝑓))if(((𝑇𝑓)‘𝑗) ≠ ((𝑇𝑓)‘(𝑗 − 1)), 1, 0))
3026, 27, 28, 29, 7signsvtn0 32685 . . . . . . . . 9 ((𝐸 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐸‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) → ((𝑇𝐸)‘(𝑁 − 1)) = (sgn‘(𝐸‘(𝑁 − 1))))
313fveq2i 6814 . . . . . . . . 9 (sgn‘𝐵) = (sgn‘(𝐸‘(𝑁 − 1)))
3230, 31eqtr4di 2794 . . . . . . . 8 ((𝐸 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐸‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) → ((𝑇𝐸)‘(𝑁 − 1)) = (sgn‘𝐵))
332, 25, 32syl2anc 584 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝐵 · 𝐴) < 0) → ((𝑇𝐸)‘(𝑁 − 1)) = (sgn‘𝐵))
3433fveq2d 6815 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐵 · 𝐴) < 0) → (sgn‘((𝑇𝐸)‘(𝑁 − 1))) = (sgn‘(sgn‘𝐵)))
353, 15eqeltrid 2841 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
3635adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝐵 · 𝐴) < 0) → 𝐵 ∈ ℝ)
3736rexrd 11104 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝐵 · 𝐴) < 0) → 𝐵 ∈ ℝ*)
38 sgnsgn 32651 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ ℝ* → (sgn‘(sgn‘𝐵)) = (sgn‘𝐵))
3937, 38syl 17 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐵 · 𝐴) < 0) → (sgn‘(sgn‘𝐵)) = (sgn‘𝐵))
4034, 39eqtrd 2776 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐵 · 𝐴) < 0) → (sgn‘((𝑇𝐸)‘(𝑁 − 1))) = (sgn‘𝐵))
4140oveq2d 7332 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐵 · 𝐴) < 0) → ((sgn‘𝐴) · (sgn‘((𝑇𝐸)‘(𝑁 − 1)))) = ((sgn‘𝐴) · (sgn‘𝐵)))
4220, 17mulcomd 11075 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) = (𝐵 · 𝐴))
4342breq1d 5096 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) < 0 ↔ (𝐵 · 𝐴) < 0))
44 sgnmulsgn 32652 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴 · 𝐵) < 0 ↔ ((sgn‘𝐴) · (sgn‘𝐵)) < 0))
4519, 35, 44syl2anc 584 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) < 0 ↔ ((sgn‘𝐴) · (sgn‘𝐵)) < 0))
4643, 45bitr3d 280 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐵 · 𝐴) < 0 ↔ ((sgn‘𝐴) · (sgn‘𝐵)) < 0))
4746biimpa 477 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐵 · 𝐴) < 0) → ((sgn‘𝐴) · (sgn‘𝐵)) < 0)
4841, 47eqbrtrd 5108 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐵 · 𝐴) < 0) → ((sgn‘𝐴) · (sgn‘((𝑇𝐸)‘(𝑁 − 1)))) < 0)
4919adantr 481 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐵 · 𝐴) < 0) → 𝐴 ∈ ℝ)
50 sgnclre 32642 . . . . . 6 (𝐵 ∈ ℝ → (sgn‘𝐵) ∈ ℝ)
5136, 50syl 17 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐵 · 𝐴) < 0) → (sgn‘𝐵) ∈ ℝ)
5233, 51eqeltrd 2837 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐵 · 𝐴) < 0) → ((𝑇𝐸)‘(𝑁 − 1)) ∈ ℝ)
53 sgnmulsgn 32652 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ((𝑇𝐸)‘(𝑁 − 1)) ∈ ℝ) → ((𝐴 · ((𝑇𝐸)‘(𝑁 − 1))) < 0 ↔ ((sgn‘𝐴) · (sgn‘((𝑇𝐸)‘(𝑁 − 1)))) < 0))
5449, 52, 53syl2anc 584 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐵 · 𝐴) < 0) → ((𝐴 · ((𝑇𝐸)‘(𝑁 − 1))) < 0 ↔ ((sgn‘𝐴) · (sgn‘((𝑇𝐸)‘(𝑁 − 1)))) < 0))
5548, 54mpbird 256 . 2 ((𝜑 ∧ (𝐵 · 𝐴) < 0) → (𝐴 · ((𝑇𝐸)‘(𝑁 − 1))) < 0)
56 signsvf.0 . . 3 (𝜑 → (𝐸‘0) ≠ 0)
57 signsvf.f . . 3 (𝜑𝐹 = (𝐸 ++ ⟨“𝐴”⟩))
58 eqid 2736 . . 3 ((𝑇𝐸)‘(𝑁 − 1)) = ((𝑇𝐸)‘(𝑁 − 1))
5926, 27, 28, 29, 1, 56, 57, 19, 7, 58signsvtn 32699 . 2 ((𝜑 ∧ (𝐴 · ((𝑇𝐸)‘(𝑁 − 1))) < 0) → ((𝑉𝐹) − (𝑉𝐸)) = 1)
6055, 59syldan 591 1 ((𝜑 ∧ (𝐵 · 𝐴) < 0) → ((𝑉𝐹) − (𝑉𝐸)) = 1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1540  wcel 2105  wne 2940  cdif 3893  c0 4266  ifcif 4470  {csn 4570  {cpr 4572  {ctp 4574  cop 4576   class class class wbr 5086  cmpt 5169  wf 6461  cfv 6465  (class class class)co 7316  cmpo 7318  cc 10948  cr 10949  0cc0 10950  1c1 10951   · cmul 10955  *cxr 11087   < clt 11088  cmin 11284  -cneg 11285  cn 12052  ...cfz 13318  ..^cfzo 13461  chash 14123  Word cword 14295   ++ cconcat 14351  ⟨“cs1 14377  sgncsgn 14873  Σcsu 15473  ndxcnx 16968  Basecbs 16986  +gcplusg 17036   Σg cgsu 17225
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-rep 5223  ax-sep 5237  ax-nul 5244  ax-pow 5302  ax-pr 5366  ax-un 7629  ax-inf2 9476  ax-cnex 11006  ax-resscn 11007  ax-1cn 11008  ax-icn 11009  ax-addcl 11010  ax-addrcl 11011  ax-mulcl 11012  ax-mulrcl 11013  ax-mulcom 11014  ax-addass 11015  ax-mulass 11016  ax-distr 11017  ax-i2m1 11018  ax-1ne0 11019  ax-1rid 11020  ax-rnegex 11021  ax-rrecex 11022  ax-cnre 11023  ax-pre-lttri 11024  ax-pre-lttrn 11025  ax-pre-ltadd 11026  ax-pre-mulgt0 11027  ax-pre-sup 11028
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3349  df-reu 3350  df-rab 3404  df-v 3442  df-sbc 3726  df-csb 3842  df-dif 3899  df-un 3901  df-in 3903  df-ss 3913  df-pss 3915  df-nul 4267  df-if 4471  df-pw 4546  df-sn 4571  df-pr 4573  df-tp 4575  df-op 4577  df-uni 4850  df-int 4892  df-iun 4938  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5170  df-tr 5204  df-id 5506  df-eprel 5512  df-po 5520  df-so 5521  df-fr 5562  df-se 5563  df-we 5564  df-xp 5613  df-rel 5614  df-cnv 5615  df-co 5616  df-dm 5617  df-rn 5618  df-res 5619  df-ima 5620  df-pred 6224  df-ord 6291  df-on 6292  df-lim 6293  df-suc 6294  df-iota 6417  df-fun 6467  df-fn 6468  df-f 6469  df-f1 6470  df-fo 6471  df-f1o 6472  df-fv 6473  df-isom 6474  df-riota 7273  df-ov 7319  df-oprab 7320  df-mpo 7321  df-om 7759  df-1st 7877  df-2nd 7878  df-supp 8026  df-frecs 8145  df-wrecs 8176  df-recs 8250  df-rdg 8289  df-1o 8345  df-er 8547  df-en 8783  df-dom 8784  df-sdom 8785  df-fin 8786  df-sup 9277  df-oi 9345  df-card 9774  df-pnf 11090  df-mnf 11091  df-xr 11092  df-ltxr 11093  df-le 11094  df-sub 11286  df-neg 11287  df-div 11712  df-nn 12053  df-2 12115  df-3 12116  df-n0 12313  df-xnn0 12385  df-z 12399  df-uz 12662  df-rp 12810  df-fz 13319  df-fzo 13462  df-seq 13801  df-exp 13862  df-hash 14124  df-word 14296  df-lsw 14344  df-concat 14352  df-s1 14378  df-substr 14430  df-pfx 14460  df-sgn 14874  df-cj 14886  df-re 14887  df-im 14888  df-sqrt 15022  df-abs 15023  df-clim 15273  df-sum 15474  df-struct 16922  df-slot 16957  df-ndx 16969  df-base 16987  df-plusg 17049  df-0g 17226  df-gsum 17227  df-mgm 18400  df-sgrp 18449  df-mnd 18460  df-mulg 18774  df-cntz 18996
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator