Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  signsvfnn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem signsvfnn 33198
Description: Adding a letter of a different sign as the highest coefficient changes the sign. (Contributed by Thierry Arnoux, 12-Oct-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
signsv.p = (𝑎 ∈ {-1, 0, 1}, 𝑏 ∈ {-1, 0, 1} ↦ if(𝑏 = 0, 𝑎, 𝑏))
signsv.w 𝑊 = {⟨(Base‘ndx), {-1, 0, 1}⟩, ⟨(+g‘ndx), ⟩}
signsv.t 𝑇 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ (𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑓)) ↦ (𝑊 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (sgn‘(𝑓𝑖))))))
signsv.v 𝑉 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ Σ𝑗 ∈ (1..^(♯‘𝑓))if(((𝑇𝑓)‘𝑗) ≠ ((𝑇𝑓)‘(𝑗 − 1)), 1, 0))
signsvf.e (𝜑𝐸 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}))
signsvf.0 (𝜑 → (𝐸‘0) ≠ 0)
signsvf.f (𝜑𝐹 = (𝐸 ++ ⟨“𝐴”⟩))
signsvf.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
signsvf.n 𝑁 = (♯‘𝐸)
signsvf.b 𝐵 = (𝐸‘(𝑁 − 1))
Assertion
Ref Expression
signsvfnn ((𝜑 ∧ (𝐵 · 𝐴) < 0) → ((𝑉𝐹) − (𝑉𝐸)) = 1)
Distinct variable groups:   𝑎,𝑏,   𝑓,𝑖,𝑛,𝐹   𝑓,𝑊,𝑖,𝑛   𝑓,𝑎,𝑖,𝑗,𝑛,𝐴,𝑏   𝐸,𝑎,𝑏,𝑓,𝑖,𝑗,𝑛   𝑁,𝑎,𝑏,𝑓,𝑖,𝑛   𝑇,𝑎,𝑏,𝑓,𝑗,𝑛
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓,𝑖,𝑗,𝑛,𝑎,𝑏)   𝐵(𝑓,𝑖,𝑗,𝑛,𝑎,𝑏)   (𝑓,𝑖,𝑗,𝑛)   𝑇(𝑖)   𝐹(𝑗,𝑎,𝑏)   𝑁(𝑗)   𝑉(𝑓,𝑖,𝑗,𝑛,𝑎,𝑏)   𝑊(𝑗,𝑎,𝑏)

Proof of Theorem signsvfnn
StepHypRef Expression
1 signsvf.e . . . . . . . . 9 (𝜑𝐸 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}))
21adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝐵 · 𝐴) < 0) → 𝐸 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}))
3 signsvf.b . . . . . . . . 9 𝐵 = (𝐸‘(𝑁 − 1))
41eldifad 3922 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐸 ∈ Word ℝ)
5 wrdf 14407 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐸 ∈ Word ℝ → 𝐸:(0..^(♯‘𝐸))⟶ℝ)
64, 5syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐸:(0..^(♯‘𝐸))⟶ℝ)
7 signsvf.n . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑁 = (♯‘𝐸)
87oveq1i 7367 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑁 − 1) = ((♯‘𝐸) − 1)
9 eldifsn 4747 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐸 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ↔ (𝐸 ∈ Word ℝ ∧ 𝐸 ≠ ∅))
101, 9sylib 217 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝐸 ∈ Word ℝ ∧ 𝐸 ≠ ∅))
11 lennncl 14422 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐸 ∈ Word ℝ ∧ 𝐸 ≠ ∅) → (♯‘𝐸) ∈ ℕ)
12 fzo0end 13664 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((♯‘𝐸) ∈ ℕ → ((♯‘𝐸) − 1) ∈ (0..^(♯‘𝐸)))
1310, 11, 123syl 18 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((♯‘𝐸) − 1) ∈ (0..^(♯‘𝐸)))
148, 13eqeltrid 2842 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑁 − 1) ∈ (0..^(♯‘𝐸)))
156, 14ffvelcdmd 7036 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐸‘(𝑁 − 1)) ∈ ℝ)
1615recnd 11183 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐸‘(𝑁 − 1)) ∈ ℂ)
173, 16eqeltrid 2842 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
1817adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝐵 · 𝐴) < 0) → 𝐵 ∈ ℂ)
19 signsvf.a . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
2019recnd 11183 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
2120adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝐵 · 𝐴) < 0) → 𝐴 ∈ ℂ)
22 simpr 485 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝐵 · 𝐴) < 0) → (𝐵 · 𝐴) < 0)
2322lt0ne0d 11720 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝐵 · 𝐴) < 0) → (𝐵 · 𝐴) ≠ 0)
2418, 21, 23mulne0bad 11810 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝐵 · 𝐴) < 0) → 𝐵 ≠ 0)
253, 24eqnetrrid 3019 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝐵 · 𝐴) < 0) → (𝐸‘(𝑁 − 1)) ≠ 0)
26 signsv.p . . . . . . . . . 10 = (𝑎 ∈ {-1, 0, 1}, 𝑏 ∈ {-1, 0, 1} ↦ if(𝑏 = 0, 𝑎, 𝑏))
27 signsv.w . . . . . . . . . 10 𝑊 = {⟨(Base‘ndx), {-1, 0, 1}⟩, ⟨(+g‘ndx), ⟩}
28 signsv.t . . . . . . . . . 10 𝑇 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ (𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑓)) ↦ (𝑊 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (sgn‘(𝑓𝑖))))))
29 signsv.v . . . . . . . . . 10 𝑉 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ Σ𝑗 ∈ (1..^(♯‘𝑓))if(((𝑇𝑓)‘𝑗) ≠ ((𝑇𝑓)‘(𝑗 − 1)), 1, 0))
3026, 27, 28, 29, 7signsvtn0 33182 . . . . . . . . 9 ((𝐸 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐸‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) → ((𝑇𝐸)‘(𝑁 − 1)) = (sgn‘(𝐸‘(𝑁 − 1))))
313fveq2i 6845 . . . . . . . . 9 (sgn‘𝐵) = (sgn‘(𝐸‘(𝑁 − 1)))
3230, 31eqtr4di 2794 . . . . . . . 8 ((𝐸 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐸‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) → ((𝑇𝐸)‘(𝑁 − 1)) = (sgn‘𝐵))
332, 25, 32syl2anc 584 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝐵 · 𝐴) < 0) → ((𝑇𝐸)‘(𝑁 − 1)) = (sgn‘𝐵))
3433fveq2d 6846 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐵 · 𝐴) < 0) → (sgn‘((𝑇𝐸)‘(𝑁 − 1))) = (sgn‘(sgn‘𝐵)))
353, 15eqeltrid 2842 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
3635adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝐵 · 𝐴) < 0) → 𝐵 ∈ ℝ)
3736rexrd 11205 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝐵 · 𝐴) < 0) → 𝐵 ∈ ℝ*)
38 sgnsgn 33148 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ ℝ* → (sgn‘(sgn‘𝐵)) = (sgn‘𝐵))
3937, 38syl 17 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐵 · 𝐴) < 0) → (sgn‘(sgn‘𝐵)) = (sgn‘𝐵))
4034, 39eqtrd 2776 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐵 · 𝐴) < 0) → (sgn‘((𝑇𝐸)‘(𝑁 − 1))) = (sgn‘𝐵))
4140oveq2d 7373 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐵 · 𝐴) < 0) → ((sgn‘𝐴) · (sgn‘((𝑇𝐸)‘(𝑁 − 1)))) = ((sgn‘𝐴) · (sgn‘𝐵)))
4220, 17mulcomd 11176 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) = (𝐵 · 𝐴))
4342breq1d 5115 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) < 0 ↔ (𝐵 · 𝐴) < 0))
44 sgnmulsgn 33149 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴 · 𝐵) < 0 ↔ ((sgn‘𝐴) · (sgn‘𝐵)) < 0))
4519, 35, 44syl2anc 584 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) < 0 ↔ ((sgn‘𝐴) · (sgn‘𝐵)) < 0))
4643, 45bitr3d 280 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐵 · 𝐴) < 0 ↔ ((sgn‘𝐴) · (sgn‘𝐵)) < 0))
4746biimpa 477 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐵 · 𝐴) < 0) → ((sgn‘𝐴) · (sgn‘𝐵)) < 0)
4841, 47eqbrtrd 5127 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐵 · 𝐴) < 0) → ((sgn‘𝐴) · (sgn‘((𝑇𝐸)‘(𝑁 − 1)))) < 0)
4919adantr 481 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐵 · 𝐴) < 0) → 𝐴 ∈ ℝ)
50 sgnclre 33139 . . . . . 6 (𝐵 ∈ ℝ → (sgn‘𝐵) ∈ ℝ)
5136, 50syl 17 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐵 · 𝐴) < 0) → (sgn‘𝐵) ∈ ℝ)
5233, 51eqeltrd 2838 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐵 · 𝐴) < 0) → ((𝑇𝐸)‘(𝑁 − 1)) ∈ ℝ)
53 sgnmulsgn 33149 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ((𝑇𝐸)‘(𝑁 − 1)) ∈ ℝ) → ((𝐴 · ((𝑇𝐸)‘(𝑁 − 1))) < 0 ↔ ((sgn‘𝐴) · (sgn‘((𝑇𝐸)‘(𝑁 − 1)))) < 0))
5449, 52, 53syl2anc 584 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐵 · 𝐴) < 0) → ((𝐴 · ((𝑇𝐸)‘(𝑁 − 1))) < 0 ↔ ((sgn‘𝐴) · (sgn‘((𝑇𝐸)‘(𝑁 − 1)))) < 0))
5548, 54mpbird 256 . 2 ((𝜑 ∧ (𝐵 · 𝐴) < 0) → (𝐴 · ((𝑇𝐸)‘(𝑁 − 1))) < 0)
56 signsvf.0 . . 3 (𝜑 → (𝐸‘0) ≠ 0)
57 signsvf.f . . 3 (𝜑𝐹 = (𝐸 ++ ⟨“𝐴”⟩))
58 eqid 2736 . . 3 ((𝑇𝐸)‘(𝑁 − 1)) = ((𝑇𝐸)‘(𝑁 − 1))
5926, 27, 28, 29, 1, 56, 57, 19, 7, 58signsvtn 33196 . 2 ((𝜑 ∧ (𝐴 · ((𝑇𝐸)‘(𝑁 − 1))) < 0) → ((𝑉𝐹) − (𝑉𝐸)) = 1)
6055, 59syldan 591 1 ((𝜑 ∧ (𝐵 · 𝐴) < 0) → ((𝑉𝐹) − (𝑉𝐸)) = 1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2943  cdif 3907  c0 4282  ifcif 4486  {csn 4586  {cpr 4588  {ctp 4590  cop 4592   class class class wbr 5105  cmpt 5188  wf 6492  cfv 6496  (class class class)co 7357  cmpo 7359  cc 11049  cr 11050  0cc0 11051  1c1 11052   · cmul 11056  *cxr 11188   < clt 11189  cmin 11385  -cneg 11386  cn 12153  ...cfz 13424  ..^cfzo 13567  chash 14230  Word cword 14402   ++ cconcat 14458  ⟨“cs1 14483  sgncsgn 14971  Σcsu 15570  ndxcnx 17065  Basecbs 17083  +gcplusg 17133   Σg cgsu 17322
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-inf2 9577  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8093  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-sup 9378  df-oi 9446  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-n0 12414  df-xnn0 12486  df-z 12500  df-uz 12764  df-rp 12916  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-seq 13907  df-exp 13968  df-hash 14231  df-word 14403  df-lsw 14451  df-concat 14459  df-s1 14484  df-substr 14529  df-pfx 14559  df-sgn 14972  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-clim 15370  df-sum 15571  df-struct 17019  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-plusg 17146  df-0g 17323  df-gsum 17324  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-mulg 18873  df-cntz 19097
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator