Theorem signsvfnn 33585

Description: Adding a letter of a different sign as the highest coefficient changes the sign. (Contributed by Thierry Arnoux, 12-Oct-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
signsv.p	⊢ ⨣ = (𝑎 ∈ {-1, 0, 1}, 𝑏 ∈ {-1, 0, 1} ↦ if(𝑏 = 0, 𝑎, 𝑏))
signsv.w	⊢ 𝑊 = {⟨(Base‘ndx), {-1, 0, 1}⟩, ⟨(+g‘ndx), ⨣ ⟩}
signsv.t	⊢ 𝑇 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ (𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑓)) ↦ (𝑊 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (sgn‘(𝑓‘𝑖))))))
signsv.v	⊢ 𝑉 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ Σ𝑗 ∈ (1..^(♯‘𝑓))if(((𝑇‘𝑓)‘𝑗) ≠ ((𝑇‘𝑓)‘(𝑗 − 1)), 1, 0))
signsvf.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}))
signsvf.0	⊢ (𝜑 → (𝐸‘0) ≠ 0)
signsvf.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝐸 ++ ⟨“𝐴”⟩))
signsvf.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
signsvf.n	⊢ 𝑁 = (♯‘𝐸)
signsvf.b	⊢ 𝐵 = (𝐸‘(𝑁 − 1))

Assertion

Ref	Expression
signsvfnn	⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 · 𝐴) < 0) → ((𝑉‘𝐹) − (𝑉‘𝐸)) = 1)

Distinct variable groups:   𝑎,𝑏, ⨣   𝑓,𝑖,𝑛,𝐹   𝑓,𝑊,𝑖,𝑛   𝑓,𝑎,𝑖,𝑗,𝑛,𝐴,𝑏   𝐸,𝑎,𝑏,𝑓,𝑖,𝑗,𝑛   𝑁,𝑎,𝑏,𝑓,𝑖,𝑛   𝑇,𝑎,𝑏,𝑓,𝑗,𝑛

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓,𝑖,𝑗,𝑛,𝑎,𝑏)   𝐵(𝑓,𝑖,𝑗,𝑛,𝑎,𝑏)   ⨣ (𝑓,𝑖,𝑗,𝑛)   𝑇(𝑖)   𝐹(𝑗,𝑎,𝑏)   𝑁(𝑗)   𝑉(𝑓,𝑖,𝑗,𝑛,𝑎,𝑏)   𝑊(𝑗,𝑎,𝑏)

Proof of Theorem signsvfnn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		signsvf.e	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}))
2	1	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 · 𝐴) < 0) → 𝐸 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}))
3		signsvf.b	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐵 = (𝐸‘(𝑁 − 1))
4	1	eldifad 3959	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ Word ℝ)
5		wrdf 14465	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐸 ∈ Word ℝ → 𝐸:(0..^(♯‘𝐸))⟶ℝ)
6	4, 5	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐸:(0..^(♯‘𝐸))⟶ℝ)
7		signsvf.n	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 𝑁 = (♯‘𝐸)
8	7	oveq1i 7415	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑁 − 1) = ((♯‘𝐸) − 1)
9		eldifsn 4789	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐸 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ↔ (𝐸 ∈ Word ℝ ∧ 𝐸 ≠ ∅))
10	1, 9	sylib 217	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ∈ Word ℝ ∧ 𝐸 ≠ ∅))
11		lennncl 14480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐸 ∈ Word ℝ ∧ 𝐸 ≠ ∅) → (♯‘𝐸) ∈ ℕ)
12		fzo0end 13720	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((♯‘𝐸) ∈ ℕ → ((♯‘𝐸) − 1) ∈ (0..^(♯‘𝐸)))
13	10, 11, 12	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝐸) − 1) ∈ (0..^(♯‘𝐸)))
14	8, 13	eqeltrid 2837	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑁 − 1) ∈ (0..^(♯‘𝐸)))
15	6, 14	ffvelcdmd 7084	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐸‘(𝑁 − 1)) ∈ ℝ)
16	15	recnd 11238	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐸‘(𝑁 − 1)) ∈ ℂ)
17	3, 16	eqeltrid 2837	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
18	17	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 · 𝐴) < 0) → 𝐵 ∈ ℂ)
19		signsvf.a	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
20	19	recnd 11238	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
21	20	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 · 𝐴) < 0) → 𝐴 ∈ ℂ)
22		simpr 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 · 𝐴) < 0) → (𝐵 · 𝐴) < 0)
23	22	lt0ne0d 11775	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 · 𝐴) < 0) → (𝐵 · 𝐴) ≠ 0)
24	18, 21, 23	mulne0bad 11865	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 · 𝐴) < 0) → 𝐵 ≠ 0)
25	3, 24	eqnetrrid 3016	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 · 𝐴) < 0) → (𝐸‘(𝑁 − 1)) ≠ 0)
26		signsv.p	. . . . . . . . . 10 ⊢ ⨣ = (𝑎 ∈ {-1, 0, 1}, 𝑏 ∈ {-1, 0, 1} ↦ if(𝑏 = 0, 𝑎, 𝑏))
27		signsv.w	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑊 = {⟨(Base‘ndx), {-1, 0, 1}⟩, ⟨(+g‘ndx), ⨣ ⟩}
28		signsv.t	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑇 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ (𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑓)) ↦ (𝑊 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (sgn‘(𝑓‘𝑖))))))
29		signsv.v	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑉 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ Σ𝑗 ∈ (1..^(♯‘𝑓))if(((𝑇‘𝑓)‘𝑗) ≠ ((𝑇‘𝑓)‘(𝑗 − 1)), 1, 0))
30	26, 27, 28, 29, 7	signsvtn0 33569	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐸 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐸‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) → ((𝑇‘𝐸)‘(𝑁 − 1)) = (sgn‘(𝐸‘(𝑁 − 1))))
31	3	fveq2i 6891	. . . . . . . . 9 ⊢ (sgn‘𝐵) = (sgn‘(𝐸‘(𝑁 − 1)))
32	30, 31	eqtr4di 2790	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐸 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐸‘(𝑁 − 1)) ≠ 0) → ((𝑇‘𝐸)‘(𝑁 − 1)) = (sgn‘𝐵))
33	2, 25, 32	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 · 𝐴) < 0) → ((𝑇‘𝐸)‘(𝑁 − 1)) = (sgn‘𝐵))
34	33	fveq2d 6892	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 · 𝐴) < 0) → (sgn‘((𝑇‘𝐸)‘(𝑁 − 1))) = (sgn‘(sgn‘𝐵)))
35	3, 15	eqeltrid 2837	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
36	35	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 · 𝐴) < 0) → 𝐵 ∈ ℝ)
37	36	rexrd 11260	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 · 𝐴) < 0) → 𝐵 ∈ ℝ*)
38		sgnsgn 33535	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ* → (sgn‘(sgn‘𝐵)) = (sgn‘𝐵))
39	37, 38	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 · 𝐴) < 0) → (sgn‘(sgn‘𝐵)) = (sgn‘𝐵))
40	34, 39	eqtrd 2772	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 · 𝐴) < 0) → (sgn‘((𝑇‘𝐸)‘(𝑁 − 1))) = (sgn‘𝐵))
41	40	oveq2d 7421	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 · 𝐴) < 0) → ((sgn‘𝐴) · (sgn‘((𝑇‘𝐸)‘(𝑁 − 1)))) = ((sgn‘𝐴) · (sgn‘𝐵)))
42	20, 17	mulcomd 11231	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) = (𝐵 · 𝐴))
43	42	breq1d 5157	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) < 0 ↔ (𝐵 · 𝐴) < 0))
44		sgnmulsgn 33536	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴 · 𝐵) < 0 ↔ ((sgn‘𝐴) · (sgn‘𝐵)) < 0))
45	19, 35, 44	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) < 0 ↔ ((sgn‘𝐴) · (sgn‘𝐵)) < 0))
46	43, 45	bitr3d 280	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 · 𝐴) < 0 ↔ ((sgn‘𝐴) · (sgn‘𝐵)) < 0))
47	46	biimpa 477	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 · 𝐴) < 0) → ((sgn‘𝐴) · (sgn‘𝐵)) < 0)
48	41, 47	eqbrtrd 5169	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 · 𝐴) < 0) → ((sgn‘𝐴) · (sgn‘((𝑇‘𝐸)‘(𝑁 − 1)))) < 0)
49	19	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 · 𝐴) < 0) → 𝐴 ∈ ℝ)
50		sgnclre 33526	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (sgn‘𝐵) ∈ ℝ)
51	36, 50	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 · 𝐴) < 0) → (sgn‘𝐵) ∈ ℝ)
52	33, 51	eqeltrd 2833	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 · 𝐴) < 0) → ((𝑇‘𝐸)‘(𝑁 − 1)) ∈ ℝ)
53		sgnmulsgn 33536	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ((𝑇‘𝐸)‘(𝑁 − 1)) ∈ ℝ) → ((𝐴 · ((𝑇‘𝐸)‘(𝑁 − 1))) < 0 ↔ ((sgn‘𝐴) · (sgn‘((𝑇‘𝐸)‘(𝑁 − 1)))) < 0))
54	49, 52, 53	syl2anc 584	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 · 𝐴) < 0) → ((𝐴 · ((𝑇‘𝐸)‘(𝑁 − 1))) < 0 ↔ ((sgn‘𝐴) · (sgn‘((𝑇‘𝐸)‘(𝑁 − 1)))) < 0))
55	48, 54	mpbird 256	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 · 𝐴) < 0) → (𝐴 · ((𝑇‘𝐸)‘(𝑁 − 1))) < 0)
56		signsvf.0	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐸‘0) ≠ 0)
57		signsvf.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝐸 ++ ⟨“𝐴”⟩))
58		eqid 2732	. . 3 ⊢ ((𝑇‘𝐸)‘(𝑁 − 1)) = ((𝑇‘𝐸)‘(𝑁 − 1))
59	26, 27, 28, 29, 1, 56, 57, 19, 7, 58	signsvtn 33583	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 · ((𝑇‘𝐸)‘(𝑁 − 1))) < 0) → ((𝑉‘𝐹) − (𝑉‘𝐸)) = 1)
60	55, 59	syldan 591	1 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 · 𝐴) < 0) → ((𝑉‘𝐹) − (𝑉‘𝐸)) = 1)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2940   ∖ cdif 3944  ∅c0 4321  ifcif 4527  {csn 4627  {cpr 4629  {ctp 4631  ⟨cop 4633   class class class wbr 5147   ↦ cmpt 5230  ⟶wf 6536  ‘cfv 6540  (class class class)co 7405   ∈ cmpo 7407  ℂcc 11104  ℝcr 11105  0cc0 11106  1c1 11107   · cmul 11111  ℝ^*cxr 11243   < clt 11244   − cmin 11440  -cneg 11441  ℕcn 12208  ...cfz 13480  ..^cfzo 13623  ♯chash 14286  Word cword 14460   ++ cconcat 14516  ⟨“cs1 14541  sgncsgn 15029  Σcsu 15628  ndxcnx 17122  Basecbs 17140  +_gcplusg 17193   Σ_g cgsu 17382

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-inf2 9632  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8143  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-sup 9433  df-oi 9501  df-card 9930  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-n0 12469  df-xnn0 12541  df-z 12555  df-uz 12819  df-rp 12971  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-seq 13963  df-exp 14024  df-hash 14287  df-word 14461  df-lsw 14509  df-concat 14517  df-s1 14542  df-substr 14587  df-pfx 14617  df-sgn 15030  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-clim 15428  df-sum 15629  df-struct 17076  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-plusg 17206  df-0g 17383  df-gsum 17384  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-mulg 18945  df-cntz 19175

This theorem is referenced by: (None)