MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mbfmulc2lem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mbfmulc2lem 23651
Description: Multiplication by a constant preserves measurability. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mbfmulc2re.1 (𝜑𝐹 ∈ MblFn)
mbfmulc2re.2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
mbfmulc2lem.3 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℝ)
Assertion
Ref Expression
mbfmulc2lem (𝜑 → ((𝐴 × {𝐵}) ∘𝑓 · 𝐹) ∈ MblFn)

Proof of Theorem mbfmulc2lem
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 remulcl 10316 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℝ)
21adantl 469 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℝ)
3 mbfmulc2re.2 . . . . . 6 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
4 fconst6g 6319 . . . . . 6 (𝐵 ∈ ℝ → (𝐴 × {𝐵}):𝐴⟶ℝ)
53, 4syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴 × {𝐵}):𝐴⟶ℝ)
6 mbfmulc2lem.3 . . . . 5 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℝ)
76fdmd 6275 . . . . . 6 (𝜑 → dom 𝐹 = 𝐴)
8 mbfmulc2re.1 . . . . . . 7 (𝜑𝐹 ∈ MblFn)
9 mbfdm 23630 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ MblFn → dom 𝐹 ∈ dom vol)
108, 9syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → dom 𝐹 ∈ dom vol)
117, 10eqeltrrd 2897 . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ dom vol)
12 inidm 4030 . . . . 5 (𝐴𝐴) = 𝐴
132, 5, 6, 11, 11, 12off 7152 . . . 4 (𝜑 → ((𝐴 × {𝐵}) ∘𝑓 · 𝐹):𝐴⟶ℝ)
1413adantr 468 . . 3 ((𝜑𝐵 < 0) → ((𝐴 × {𝐵}) ∘𝑓 · 𝐹):𝐴⟶ℝ)
1511adantr 468 . . 3 ((𝜑𝐵 < 0) → 𝐴 ∈ dom vol)
16 simprl 778 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝐵 < 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧𝐴)) → 𝑦 ∈ ℝ)
1716rexrd 10384 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝐵 < 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧𝐴)) → 𝑦 ∈ ℝ*)
18 elioopnf 12506 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ ℝ* → ((((𝐴 × {𝐵}) ∘𝑓 · 𝐹)‘𝑧) ∈ (𝑦(,)+∞) ↔ ((((𝐴 × {𝐵}) ∘𝑓 · 𝐹)‘𝑧) ∈ ℝ ∧ 𝑦 < (((𝐴 × {𝐵}) ∘𝑓 · 𝐹)‘𝑧))))
1917, 18syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝐵 < 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧𝐴)) → ((((𝐴 × {𝐵}) ∘𝑓 · 𝐹)‘𝑧) ∈ (𝑦(,)+∞) ↔ ((((𝐴 × {𝐵}) ∘𝑓 · 𝐹)‘𝑧) ∈ ℝ ∧ 𝑦 < (((𝐴 × {𝐵}) ∘𝑓 · 𝐹)‘𝑧))))
2013ffvelrnda 6591 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑧𝐴) → (((𝐴 × {𝐵}) ∘𝑓 · 𝐹)‘𝑧) ∈ ℝ)
2120ad2ant2rl 746 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝐵 < 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧𝐴)) → (((𝐴 × {𝐵}) ∘𝑓 · 𝐹)‘𝑧) ∈ ℝ)
2221biantrurd 524 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝐵 < 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧𝐴)) → (𝑦 < (((𝐴 × {𝐵}) ∘𝑓 · 𝐹)‘𝑧) ↔ ((((𝐴 × {𝐵}) ∘𝑓 · 𝐹)‘𝑧) ∈ ℝ ∧ 𝑦 < (((𝐴 × {𝐵}) ∘𝑓 · 𝐹)‘𝑧))))
236ffvelrnda 6591 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑧𝐴) → (𝐹𝑧) ∈ ℝ)
2423ad2ant2rl 746 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝐵 < 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧𝐴)) → (𝐹𝑧) ∈ ℝ)
2524biantrurd 524 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝐵 < 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧𝐴)) → ((𝐹𝑧) < (𝑦 / 𝐵) ↔ ((𝐹𝑧) ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑧) < (𝑦 / 𝐵))))
26 simprr 780 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝐵 < 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧𝐴)) → 𝑧𝐴)
2711ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝐵 < 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧𝐴)) → 𝐴 ∈ dom vol)
283ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝐵 < 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧𝐴)) → 𝐵 ∈ ℝ)
296ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝐵 < 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧𝐴)) → 𝐹:𝐴⟶ℝ)
3029ffnd 6267 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝐵 < 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧𝐴)) → 𝐹 Fn 𝐴)
31 eqidd 2818 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝐵 < 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧𝐴)) ∧ 𝑧𝐴) → (𝐹𝑧) = (𝐹𝑧))
3227, 28, 30, 31ofc1 7160 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝐵 < 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧𝐴)) ∧ 𝑧𝐴) → (((𝐴 × {𝐵}) ∘𝑓 · 𝐹)‘𝑧) = (𝐵 · (𝐹𝑧)))
3326, 32mpdan 670 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝐵 < 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧𝐴)) → (((𝐴 × {𝐵}) ∘𝑓 · 𝐹)‘𝑧) = (𝐵 · (𝐹𝑧)))
3433breq2d 4867 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝐵 < 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧𝐴)) → (𝑦 < (((𝐴 × {𝐵}) ∘𝑓 · 𝐹)‘𝑧) ↔ 𝑦 < (𝐵 · (𝐹𝑧))))
3516renegcld 10752 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝐵 < 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧𝐴)) → -𝑦 ∈ ℝ)
3628renegcld 10752 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝐵 < 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧𝐴)) → -𝐵 ∈ ℝ)
37 simplr 776 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝐵 < 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧𝐴)) → 𝐵 < 0)
3828lt0neg1d 10892 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝐵 < 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧𝐴)) → (𝐵 < 0 ↔ 0 < -𝐵))
3937, 38mpbid 223 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝐵 < 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧𝐴)) → 0 < -𝐵)
40 ltmuldiv2 11192 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐹𝑧) ∈ ℝ ∧ -𝑦 ∈ ℝ ∧ (-𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < -𝐵)) → ((-𝐵 · (𝐹𝑧)) < -𝑦 ↔ (𝐹𝑧) < (-𝑦 / -𝐵)))
4124, 35, 36, 39, 40syl112anc 1486 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝐵 < 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧𝐴)) → ((-𝐵 · (𝐹𝑧)) < -𝑦 ↔ (𝐹𝑧) < (-𝑦 / -𝐵)))
4228recnd 10363 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝐵 < 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧𝐴)) → 𝐵 ∈ ℂ)
4324recnd 10363 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝐵 < 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧𝐴)) → (𝐹𝑧) ∈ ℂ)
4442, 43mulneg1d 10778 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝐵 < 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧𝐴)) → (-𝐵 · (𝐹𝑧)) = -(𝐵 · (𝐹𝑧)))
4544breq1d 4865 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝐵 < 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧𝐴)) → ((-𝐵 · (𝐹𝑧)) < -𝑦 ↔ -(𝐵 · (𝐹𝑧)) < -𝑦))
4633, 21eqeltrrd 2897 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝐵 < 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧𝐴)) → (𝐵 · (𝐹𝑧)) ∈ ℝ)
4716, 46ltnegd 10900 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝐵 < 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧𝐴)) → (𝑦 < (𝐵 · (𝐹𝑧)) ↔ -(𝐵 · (𝐹𝑧)) < -𝑦))
4845, 47bitr4d 273 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝐵 < 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧𝐴)) → ((-𝐵 · (𝐹𝑧)) < -𝑦𝑦 < (𝐵 · (𝐹𝑧))))
4941, 48bitr3d 272 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝐵 < 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧𝐴)) → ((𝐹𝑧) < (-𝑦 / -𝐵) ↔ 𝑦 < (𝐵 · (𝐹𝑧))))
5016recnd 10363 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝐵 < 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧𝐴)) → 𝑦 ∈ ℂ)
5137lt0ne0d 10888 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝐵 < 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧𝐴)) → 𝐵 ≠ 0)
5250, 42, 51div2negd 11111 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝐵 < 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧𝐴)) → (-𝑦 / -𝐵) = (𝑦 / 𝐵))
5352breq2d 4867 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝐵 < 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧𝐴)) → ((𝐹𝑧) < (-𝑦 / -𝐵) ↔ (𝐹𝑧) < (𝑦 / 𝐵)))
5434, 49, 533bitr2d 298 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝐵 < 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧𝐴)) → (𝑦 < (((𝐴 × {𝐵}) ∘𝑓 · 𝐹)‘𝑧) ↔ (𝐹𝑧) < (𝑦 / 𝐵)))
5516, 28, 51redivcld 11148 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝐵 < 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧𝐴)) → (𝑦 / 𝐵) ∈ ℝ)
5655rexrd 10384 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝐵 < 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧𝐴)) → (𝑦 / 𝐵) ∈ ℝ*)
57 elioomnf 12507 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 / 𝐵) ∈ ℝ* → ((𝐹𝑧) ∈ (-∞(,)(𝑦 / 𝐵)) ↔ ((𝐹𝑧) ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑧) < (𝑦 / 𝐵))))
5856, 57syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝐵 < 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧𝐴)) → ((𝐹𝑧) ∈ (-∞(,)(𝑦 / 𝐵)) ↔ ((𝐹𝑧) ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑧) < (𝑦 / 𝐵))))
5925, 54, 583bitr4d 302 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝐵 < 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧𝐴)) → (𝑦 < (((𝐴 × {𝐵}) ∘𝑓 · 𝐹)‘𝑧) ↔ (𝐹𝑧) ∈ (-∞(,)(𝑦 / 𝐵))))
6019, 22, 593bitr2d 298 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐵 < 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧𝐴)) → ((((𝐴 × {𝐵}) ∘𝑓 · 𝐹)‘𝑧) ∈ (𝑦(,)+∞) ↔ (𝐹𝑧) ∈ (-∞(,)(𝑦 / 𝐵))))
6160anassrs 455 . . . . . . 7 ((((𝜑𝐵 < 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑧𝐴) → ((((𝐴 × {𝐵}) ∘𝑓 · 𝐹)‘𝑧) ∈ (𝑦(,)+∞) ↔ (𝐹𝑧) ∈ (-∞(,)(𝑦 / 𝐵))))
6261pm5.32da 570 . . . . . 6 (((𝜑𝐵 < 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑧𝐴 ∧ (((𝐴 × {𝐵}) ∘𝑓 · 𝐹)‘𝑧) ∈ (𝑦(,)+∞)) ↔ (𝑧𝐴 ∧ (𝐹𝑧) ∈ (-∞(,)(𝑦 / 𝐵)))))
6313ffnd 6267 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐴 × {𝐵}) ∘𝑓 · 𝐹) Fn 𝐴)
6463ad2antrr 708 . . . . . . 7 (((𝜑𝐵 < 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝐴 × {𝐵}) ∘𝑓 · 𝐹) Fn 𝐴)
65 elpreima 6569 . . . . . . 7 (((𝐴 × {𝐵}) ∘𝑓 · 𝐹) Fn 𝐴 → (𝑧 ∈ (((𝐴 × {𝐵}) ∘𝑓 · 𝐹) “ (𝑦(,)+∞)) ↔ (𝑧𝐴 ∧ (((𝐴 × {𝐵}) ∘𝑓 · 𝐹)‘𝑧) ∈ (𝑦(,)+∞))))
6664, 65syl 17 . . . . . 6 (((𝜑𝐵 < 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑧 ∈ (((𝐴 × {𝐵}) ∘𝑓 · 𝐹) “ (𝑦(,)+∞)) ↔ (𝑧𝐴 ∧ (((𝐴 × {𝐵}) ∘𝑓 · 𝐹)‘𝑧) ∈ (𝑦(,)+∞))))
676ffnd 6267 . . . . . . . 8 (𝜑𝐹 Fn 𝐴)
6867ad2antrr 708 . . . . . . 7 (((𝜑𝐵 < 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝐹 Fn 𝐴)
69 elpreima 6569 . . . . . . 7 (𝐹 Fn 𝐴 → (𝑧 ∈ (𝐹 “ (-∞(,)(𝑦 / 𝐵))) ↔ (𝑧𝐴 ∧ (𝐹𝑧) ∈ (-∞(,)(𝑦 / 𝐵)))))
7068, 69syl 17 . . . . . 6 (((𝜑𝐵 < 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑧 ∈ (𝐹 “ (-∞(,)(𝑦 / 𝐵))) ↔ (𝑧𝐴 ∧ (𝐹𝑧) ∈ (-∞(,)(𝑦 / 𝐵)))))
7162, 66, 703bitr4d 302 . . . . 5 (((𝜑𝐵 < 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑧 ∈ (((𝐴 × {𝐵}) ∘𝑓 · 𝐹) “ (𝑦(,)+∞)) ↔ 𝑧 ∈ (𝐹 “ (-∞(,)(𝑦 / 𝐵)))))
7271eqrdv 2815 . . . 4 (((𝜑𝐵 < 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (((𝐴 × {𝐵}) ∘𝑓 · 𝐹) “ (𝑦(,)+∞)) = (𝐹 “ (-∞(,)(𝑦 / 𝐵))))
73 mbfima 23634 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ) → (𝐹 “ (-∞(,)(𝑦 / 𝐵))) ∈ dom vol)
748, 6, 73syl2anc 575 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹 “ (-∞(,)(𝑦 / 𝐵))) ∈ dom vol)
7574ad2antrr 708 . . . 4 (((𝜑𝐵 < 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝐹 “ (-∞(,)(𝑦 / 𝐵))) ∈ dom vol)
7672, 75eqeltrd 2896 . . 3 (((𝜑𝐵 < 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (((𝐴 × {𝐵}) ∘𝑓 · 𝐹) “ (𝑦(,)+∞)) ∈ dom vol)
77 elioomnf 12507 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ ℝ* → ((((𝐴 × {𝐵}) ∘𝑓 · 𝐹)‘𝑧) ∈ (-∞(,)𝑦) ↔ ((((𝐴 × {𝐵}) ∘𝑓 · 𝐹)‘𝑧) ∈ ℝ ∧ (((𝐴 × {𝐵}) ∘𝑓 · 𝐹)‘𝑧) < 𝑦)))
7817, 77syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝐵 < 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧𝐴)) → ((((𝐴 × {𝐵}) ∘𝑓 · 𝐹)‘𝑧) ∈ (-∞(,)𝑦) ↔ ((((𝐴 × {𝐵}) ∘𝑓 · 𝐹)‘𝑧) ∈ ℝ ∧ (((𝐴 × {𝐵}) ∘𝑓 · 𝐹)‘𝑧) < 𝑦)))
7921biantrurd 524 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝐵 < 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧𝐴)) → ((((𝐴 × {𝐵}) ∘𝑓 · 𝐹)‘𝑧) < 𝑦 ↔ ((((𝐴 × {𝐵}) ∘𝑓 · 𝐹)‘𝑧) ∈ ℝ ∧ (((𝐴 × {𝐵}) ∘𝑓 · 𝐹)‘𝑧) < 𝑦)))
8024biantrurd 524 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝐵 < 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧𝐴)) → ((𝑦 / 𝐵) < (𝐹𝑧) ↔ ((𝐹𝑧) ∈ ℝ ∧ (𝑦 / 𝐵) < (𝐹𝑧))))
8133breq1d 4865 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝐵 < 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧𝐴)) → ((((𝐴 × {𝐵}) ∘𝑓 · 𝐹)‘𝑧) < 𝑦 ↔ (𝐵 · (𝐹𝑧)) < 𝑦))
8244breq2d 4867 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝐵 < 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧𝐴)) → (-𝑦 < (-𝐵 · (𝐹𝑧)) ↔ -𝑦 < -(𝐵 · (𝐹𝑧))))
8352breq1d 4865 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝐵 < 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧𝐴)) → ((-𝑦 / -𝐵) < (𝐹𝑧) ↔ (𝑦 / 𝐵) < (𝐹𝑧)))
84 ltdivmul 11193 . . . . . . . . . . . . . 14 ((-𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑧) ∈ ℝ ∧ (-𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < -𝐵)) → ((-𝑦 / -𝐵) < (𝐹𝑧) ↔ -𝑦 < (-𝐵 · (𝐹𝑧))))
8535, 24, 36, 39, 84syl112anc 1486 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝐵 < 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧𝐴)) → ((-𝑦 / -𝐵) < (𝐹𝑧) ↔ -𝑦 < (-𝐵 · (𝐹𝑧))))
8683, 85bitr3d 272 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝐵 < 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧𝐴)) → ((𝑦 / 𝐵) < (𝐹𝑧) ↔ -𝑦 < (-𝐵 · (𝐹𝑧))))
8746, 16ltnegd 10900 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝐵 < 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧𝐴)) → ((𝐵 · (𝐹𝑧)) < 𝑦 ↔ -𝑦 < -(𝐵 · (𝐹𝑧))))
8882, 86, 873bitr4d 302 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝐵 < 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧𝐴)) → ((𝑦 / 𝐵) < (𝐹𝑧) ↔ (𝐵 · (𝐹𝑧)) < 𝑦))
8981, 88bitr4d 273 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝐵 < 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧𝐴)) → ((((𝐴 × {𝐵}) ∘𝑓 · 𝐹)‘𝑧) < 𝑦 ↔ (𝑦 / 𝐵) < (𝐹𝑧)))
90 elioopnf 12506 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 / 𝐵) ∈ ℝ* → ((𝐹𝑧) ∈ ((𝑦 / 𝐵)(,)+∞) ↔ ((𝐹𝑧) ∈ ℝ ∧ (𝑦 / 𝐵) < (𝐹𝑧))))
9156, 90syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝐵 < 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧𝐴)) → ((𝐹𝑧) ∈ ((𝑦 / 𝐵)(,)+∞) ↔ ((𝐹𝑧) ∈ ℝ ∧ (𝑦 / 𝐵) < (𝐹𝑧))))
9280, 89, 913bitr4d 302 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝐵 < 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧𝐴)) → ((((𝐴 × {𝐵}) ∘𝑓 · 𝐹)‘𝑧) < 𝑦 ↔ (𝐹𝑧) ∈ ((𝑦 / 𝐵)(,)+∞)))
9378, 79, 923bitr2d 298 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐵 < 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧𝐴)) → ((((𝐴 × {𝐵}) ∘𝑓 · 𝐹)‘𝑧) ∈ (-∞(,)𝑦) ↔ (𝐹𝑧) ∈ ((𝑦 / 𝐵)(,)+∞)))
9493anassrs 455 . . . . . . 7 ((((𝜑𝐵 < 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑧𝐴) → ((((𝐴 × {𝐵}) ∘𝑓 · 𝐹)‘𝑧) ∈ (-∞(,)𝑦) ↔ (𝐹𝑧) ∈ ((𝑦 / 𝐵)(,)+∞)))
9594pm5.32da 570 . . . . . 6 (((𝜑𝐵 < 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑧𝐴 ∧ (((𝐴 × {𝐵}) ∘𝑓 · 𝐹)‘𝑧) ∈ (-∞(,)𝑦)) ↔ (𝑧𝐴 ∧ (𝐹𝑧) ∈ ((𝑦 / 𝐵)(,)+∞))))
96 elpreima 6569 . . . . . . 7 (((𝐴 × {𝐵}) ∘𝑓 · 𝐹) Fn 𝐴 → (𝑧 ∈ (((𝐴 × {𝐵}) ∘𝑓 · 𝐹) “ (-∞(,)𝑦)) ↔ (𝑧𝐴 ∧ (((𝐴 × {𝐵}) ∘𝑓 · 𝐹)‘𝑧) ∈ (-∞(,)𝑦))))
9764, 96syl 17 . . . . . 6 (((𝜑𝐵 < 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑧 ∈ (((𝐴 × {𝐵}) ∘𝑓 · 𝐹) “ (-∞(,)𝑦)) ↔ (𝑧𝐴 ∧ (((𝐴 × {𝐵}) ∘𝑓 · 𝐹)‘𝑧) ∈ (-∞(,)𝑦))))
98 elpreima 6569 . . . . . . 7 (𝐹 Fn 𝐴 → (𝑧 ∈ (𝐹 “ ((𝑦 / 𝐵)(,)+∞)) ↔ (𝑧𝐴 ∧ (𝐹𝑧) ∈ ((𝑦 / 𝐵)(,)+∞))))
9968, 98syl 17 . . . . . 6 (((𝜑𝐵 < 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑧 ∈ (𝐹 “ ((𝑦 / 𝐵)(,)+∞)) ↔ (𝑧𝐴 ∧ (𝐹𝑧) ∈ ((𝑦 / 𝐵)(,)+∞))))
10095, 97, 993bitr4d 302 . . . . 5 (((𝜑𝐵 < 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑧 ∈ (((𝐴 × {𝐵}) ∘𝑓 · 𝐹) “ (-∞(,)𝑦)) ↔ 𝑧 ∈ (𝐹 “ ((𝑦 / 𝐵)(,)+∞))))
101100eqrdv 2815 . . . 4 (((𝜑𝐵 < 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (((𝐴 × {𝐵}) ∘𝑓 · 𝐹) “ (-∞(,)𝑦)) = (𝐹 “ ((𝑦 / 𝐵)(,)+∞)))
102 mbfima 23634 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ) → (𝐹 “ ((𝑦 / 𝐵)(,)+∞)) ∈ dom vol)
1038, 6, 102syl2anc 575 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹 “ ((𝑦 / 𝐵)(,)+∞)) ∈ dom vol)
104103ad2antrr 708 . . . 4 (((𝜑𝐵 < 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝐹 “ ((𝑦 / 𝐵)(,)+∞)) ∈ dom vol)
105101, 104eqeltrd 2896 . . 3 (((𝜑𝐵 < 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (((𝐴 × {𝐵}) ∘𝑓 · 𝐹) “ (-∞(,)𝑦)) ∈ dom vol)
10614, 15, 76, 105ismbf2d 23644 . 2 ((𝜑𝐵 < 0) → ((𝐴 × {𝐵}) ∘𝑓 · 𝐹) ∈ MblFn)
10711adantr 468 . . . 4 ((𝜑𝐵 = 0) → 𝐴 ∈ dom vol)
1086adantr 468 . . . 4 ((𝜑𝐵 = 0) → 𝐹:𝐴⟶ℝ)
109 simpr 473 . . . . 5 ((𝜑𝐵 = 0) → 𝐵 = 0)
110 0cn 10327 . . . . 5 0 ∈ ℂ
111109, 110syl6eqel 2904 . . . 4 ((𝜑𝐵 = 0) → 𝐵 ∈ ℂ)
112 0cnd 10328 . . . 4 ((𝜑𝐵 = 0) → 0 ∈ ℂ)
113 simplr 776 . . . . . 6 (((𝜑𝐵 = 0) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝐵 = 0)
114113oveq1d 6899 . . . . 5 (((𝜑𝐵 = 0) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐵 · 𝑥) = (0 · 𝑥))
115 mul02lem2 10508 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℝ → (0 · 𝑥) = 0)
116115adantl 469 . . . . 5 (((𝜑𝐵 = 0) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (0 · 𝑥) = 0)
117114, 116eqtrd 2851 . . . 4 (((𝜑𝐵 = 0) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐵 · 𝑥) = 0)
118107, 108, 111, 112, 117caofid2 7168 . . 3 ((𝜑𝐵 = 0) → ((𝐴 × {𝐵}) ∘𝑓 · 𝐹) = (𝐴 × {0}))
119 mbfconst 23637 . . . 4 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 0 ∈ ℂ) → (𝐴 × {0}) ∈ MblFn)
120107, 110, 119sylancl 576 . . 3 ((𝜑𝐵 = 0) → (𝐴 × {0}) ∈ MblFn)
121118, 120eqeltrd 2896 . 2 ((𝜑𝐵 = 0) → ((𝐴 × {𝐵}) ∘𝑓 · 𝐹) ∈ MblFn)
12213adantr 468 . . 3 ((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) → ((𝐴 × {𝐵}) ∘𝑓 · 𝐹):𝐴⟶ℝ)
12311adantr 468 . . 3 ((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) → 𝐴 ∈ dom vol)
124 simprl 778 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧𝐴)) → 𝑦 ∈ ℝ)
125124rexrd 10384 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧𝐴)) → 𝑦 ∈ ℝ*)
126125, 18syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧𝐴)) → ((((𝐴 × {𝐵}) ∘𝑓 · 𝐹)‘𝑧) ∈ (𝑦(,)+∞) ↔ ((((𝐴 × {𝐵}) ∘𝑓 · 𝐹)‘𝑧) ∈ ℝ ∧ 𝑦 < (((𝐴 × {𝐵}) ∘𝑓 · 𝐹)‘𝑧))))
12720ad2ant2rl 746 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧𝐴)) → (((𝐴 × {𝐵}) ∘𝑓 · 𝐹)‘𝑧) ∈ ℝ)
128127biantrurd 524 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧𝐴)) → (𝑦 < (((𝐴 × {𝐵}) ∘𝑓 · 𝐹)‘𝑧) ↔ ((((𝐴 × {𝐵}) ∘𝑓 · 𝐹)‘𝑧) ∈ ℝ ∧ 𝑦 < (((𝐴 × {𝐵}) ∘𝑓 · 𝐹)‘𝑧))))
12923ad2ant2rl 746 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧𝐴)) → (𝐹𝑧) ∈ ℝ)
130129biantrurd 524 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧𝐴)) → ((𝑦 / 𝐵) < (𝐹𝑧) ↔ ((𝐹𝑧) ∈ ℝ ∧ (𝑦 / 𝐵) < (𝐹𝑧))))
131 eqidd 2818 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑧𝐴) → (𝐹𝑧) = (𝐹𝑧))
13211, 3, 67, 131ofc1 7160 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑧𝐴) → (((𝐴 × {𝐵}) ∘𝑓 · 𝐹)‘𝑧) = (𝐵 · (𝐹𝑧)))
133132ad2ant2rl 746 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧𝐴)) → (((𝐴 × {𝐵}) ∘𝑓 · 𝐹)‘𝑧) = (𝐵 · (𝐹𝑧)))
134133breq2d 4867 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧𝐴)) → (𝑦 < (((𝐴 × {𝐵}) ∘𝑓 · 𝐹)‘𝑧) ↔ 𝑦 < (𝐵 · (𝐹𝑧))))
1353ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧𝐴)) → 𝐵 ∈ ℝ)
136 simplr 776 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧𝐴)) → 0 < 𝐵)
137 ltdivmul 11193 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑧) ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) → ((𝑦 / 𝐵) < (𝐹𝑧) ↔ 𝑦 < (𝐵 · (𝐹𝑧))))
138124, 129, 135, 136, 137syl112anc 1486 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧𝐴)) → ((𝑦 / 𝐵) < (𝐹𝑧) ↔ 𝑦 < (𝐵 · (𝐹𝑧))))
139134, 138bitr4d 273 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧𝐴)) → (𝑦 < (((𝐴 × {𝐵}) ∘𝑓 · 𝐹)‘𝑧) ↔ (𝑦 / 𝐵) < (𝐹𝑧)))
140135, 136elrpd 12103 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧𝐴)) → 𝐵 ∈ ℝ+)
141124, 140rerpdivcld 12137 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧𝐴)) → (𝑦 / 𝐵) ∈ ℝ)
142141rexrd 10384 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧𝐴)) → (𝑦 / 𝐵) ∈ ℝ*)
143142, 90syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧𝐴)) → ((𝐹𝑧) ∈ ((𝑦 / 𝐵)(,)+∞) ↔ ((𝐹𝑧) ∈ ℝ ∧ (𝑦 / 𝐵) < (𝐹𝑧))))
144130, 139, 1433bitr4d 302 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧𝐴)) → (𝑦 < (((𝐴 × {𝐵}) ∘𝑓 · 𝐹)‘𝑧) ↔ (𝐹𝑧) ∈ ((𝑦 / 𝐵)(,)+∞)))
145126, 128, 1443bitr2d 298 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧𝐴)) → ((((𝐴 × {𝐵}) ∘𝑓 · 𝐹)‘𝑧) ∈ (𝑦(,)+∞) ↔ (𝐹𝑧) ∈ ((𝑦 / 𝐵)(,)+∞)))
146145anassrs 455 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑧𝐴) → ((((𝐴 × {𝐵}) ∘𝑓 · 𝐹)‘𝑧) ∈ (𝑦(,)+∞) ↔ (𝐹𝑧) ∈ ((𝑦 / 𝐵)(,)+∞)))
147146pm5.32da 570 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑧𝐴 ∧ (((𝐴 × {𝐵}) ∘𝑓 · 𝐹)‘𝑧) ∈ (𝑦(,)+∞)) ↔ (𝑧𝐴 ∧ (𝐹𝑧) ∈ ((𝑦 / 𝐵)(,)+∞))))
14863ad2antrr 708 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝐴 × {𝐵}) ∘𝑓 · 𝐹) Fn 𝐴)
149148, 65syl 17 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑧 ∈ (((𝐴 × {𝐵}) ∘𝑓 · 𝐹) “ (𝑦(,)+∞)) ↔ (𝑧𝐴 ∧ (((𝐴 × {𝐵}) ∘𝑓 · 𝐹)‘𝑧) ∈ (𝑦(,)+∞))))
15067ad2antrr 708 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝐹 Fn 𝐴)
151150, 98syl 17 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑧 ∈ (𝐹 “ ((𝑦 / 𝐵)(,)+∞)) ↔ (𝑧𝐴 ∧ (𝐹𝑧) ∈ ((𝑦 / 𝐵)(,)+∞))))
152147, 149, 1513bitr4d 302 . . . . 5 (((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑧 ∈ (((𝐴 × {𝐵}) ∘𝑓 · 𝐹) “ (𝑦(,)+∞)) ↔ 𝑧 ∈ (𝐹 “ ((𝑦 / 𝐵)(,)+∞))))
153152eqrdv 2815 . . . 4 (((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (((𝐴 × {𝐵}) ∘𝑓 · 𝐹) “ (𝑦(,)+∞)) = (𝐹 “ ((𝑦 / 𝐵)(,)+∞)))
154103ad2antrr 708 . . . 4 (((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝐹 “ ((𝑦 / 𝐵)(,)+∞)) ∈ dom vol)
155153, 154eqeltrd 2896 . . 3 (((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (((𝐴 × {𝐵}) ∘𝑓 · 𝐹) “ (𝑦(,)+∞)) ∈ dom vol)
156125, 77syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧𝐴)) → ((((𝐴 × {𝐵}) ∘𝑓 · 𝐹)‘𝑧) ∈ (-∞(,)𝑦) ↔ ((((𝐴 × {𝐵}) ∘𝑓 · 𝐹)‘𝑧) ∈ ℝ ∧ (((𝐴 × {𝐵}) ∘𝑓 · 𝐹)‘𝑧) < 𝑦)))
157127biantrurd 524 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧𝐴)) → ((((𝐴 × {𝐵}) ∘𝑓 · 𝐹)‘𝑧) < 𝑦 ↔ ((((𝐴 × {𝐵}) ∘𝑓 · 𝐹)‘𝑧) ∈ ℝ ∧ (((𝐴 × {𝐵}) ∘𝑓 · 𝐹)‘𝑧) < 𝑦)))
158 ltmuldiv2 11192 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹𝑧) ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) → ((𝐵 · (𝐹𝑧)) < 𝑦 ↔ (𝐹𝑧) < (𝑦 / 𝐵)))
159129, 124, 135, 136, 158syl112anc 1486 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧𝐴)) → ((𝐵 · (𝐹𝑧)) < 𝑦 ↔ (𝐹𝑧) < (𝑦 / 𝐵)))
160133breq1d 4865 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧𝐴)) → ((((𝐴 × {𝐵}) ∘𝑓 · 𝐹)‘𝑧) < 𝑦 ↔ (𝐵 · (𝐹𝑧)) < 𝑦))
161142, 57syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧𝐴)) → ((𝐹𝑧) ∈ (-∞(,)(𝑦 / 𝐵)) ↔ ((𝐹𝑧) ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑧) < (𝑦 / 𝐵))))
162129biantrurd 524 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧𝐴)) → ((𝐹𝑧) < (𝑦 / 𝐵) ↔ ((𝐹𝑧) ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑧) < (𝑦 / 𝐵))))
163161, 162bitr4d 273 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧𝐴)) → ((𝐹𝑧) ∈ (-∞(,)(𝑦 / 𝐵)) ↔ (𝐹𝑧) < (𝑦 / 𝐵)))
164159, 160, 1633bitr4d 302 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧𝐴)) → ((((𝐴 × {𝐵}) ∘𝑓 · 𝐹)‘𝑧) < 𝑦 ↔ (𝐹𝑧) ∈ (-∞(,)(𝑦 / 𝐵))))
165156, 157, 1643bitr2d 298 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧𝐴)) → ((((𝐴 × {𝐵}) ∘𝑓 · 𝐹)‘𝑧) ∈ (-∞(,)𝑦) ↔ (𝐹𝑧) ∈ (-∞(,)(𝑦 / 𝐵))))
166165anassrs 455 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑧𝐴) → ((((𝐴 × {𝐵}) ∘𝑓 · 𝐹)‘𝑧) ∈ (-∞(,)𝑦) ↔ (𝐹𝑧) ∈ (-∞(,)(𝑦 / 𝐵))))
167166pm5.32da 570 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑧𝐴 ∧ (((𝐴 × {𝐵}) ∘𝑓 · 𝐹)‘𝑧) ∈ (-∞(,)𝑦)) ↔ (𝑧𝐴 ∧ (𝐹𝑧) ∈ (-∞(,)(𝑦 / 𝐵)))))
168148, 96syl 17 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑧 ∈ (((𝐴 × {𝐵}) ∘𝑓 · 𝐹) “ (-∞(,)𝑦)) ↔ (𝑧𝐴 ∧ (((𝐴 × {𝐵}) ∘𝑓 · 𝐹)‘𝑧) ∈ (-∞(,)𝑦))))
169150, 69syl 17 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑧 ∈ (𝐹 “ (-∞(,)(𝑦 / 𝐵))) ↔ (𝑧𝐴 ∧ (𝐹𝑧) ∈ (-∞(,)(𝑦 / 𝐵)))))
170167, 168, 1693bitr4d 302 . . . . 5 (((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑧 ∈ (((𝐴 × {𝐵}) ∘𝑓 · 𝐹) “ (-∞(,)𝑦)) ↔ 𝑧 ∈ (𝐹 “ (-∞(,)(𝑦 / 𝐵)))))
171170eqrdv 2815 . . . 4 (((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (((𝐴 × {𝐵}) ∘𝑓 · 𝐹) “ (-∞(,)𝑦)) = (𝐹 “ (-∞(,)(𝑦 / 𝐵))))
17274ad2antrr 708 . . . 4 (((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝐹 “ (-∞(,)(𝑦 / 𝐵))) ∈ dom vol)
173171, 172eqeltrd 2896 . . 3 (((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (((𝐴 × {𝐵}) ∘𝑓 · 𝐹) “ (-∞(,)𝑦)) ∈ dom vol)
174122, 123, 155, 173ismbf2d 23644 . 2 ((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) → ((𝐴 × {𝐵}) ∘𝑓 · 𝐹) ∈ MblFn)
175 0re 10337 . . 3 0 ∈ ℝ
176 lttri4 10417 . . 3 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (𝐵 < 0 ∨ 𝐵 = 0 ∨ 0 < 𝐵))
1773, 175, 176sylancl 576 . 2 (𝜑 → (𝐵 < 0 ∨ 𝐵 = 0 ∨ 0 < 𝐵))
178106, 121, 174, 177mpjao3dan 1549 1 (𝜑 → ((𝐴 × {𝐵}) ∘𝑓 · 𝐹) ∈ MblFn)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 197  wa 384  w3o 1099   = wceq 1637  wcel 2157  {csn 4381   class class class wbr 4855   × cxp 5322  ccnv 5323  dom cdm 5324  cima 5327   Fn wfn 6106  wf 6107  cfv 6111  (class class class)co 6884  𝑓 cof 7135  cc 10229  cr 10230  0cc0 10231   · cmul 10236  +∞cpnf 10366  -∞cmnf 10367  *cxr 10368   < clt 10369  -cneg 10562   / cdiv 10979  (,)cioo 12413  volcvol 23467  MblFncmbf 23618
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1877  ax-4 1894  ax-5 2001  ax-6 2069  ax-7 2105  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2186  ax-11 2202  ax-12 2215  ax-13 2422  ax-ext 2795  ax-rep 4977  ax-sep 4988  ax-nul 4996  ax-pow 5048  ax-pr 5109  ax-un 7189  ax-inf2 8795  ax-cnex 10287  ax-resscn 10288  ax-1cn 10289  ax-icn 10290  ax-addcl 10291  ax-addrcl 10292  ax-mulcl 10293  ax-mulrcl 10294  ax-mulcom 10295  ax-addass 10296  ax-mulass 10297  ax-distr 10298  ax-i2m1 10299  ax-1ne0 10300  ax-1rid 10301  ax-rnegex 10302  ax-rrecex 10303  ax-cnre 10304  ax-pre-lttri 10305  ax-pre-lttrn 10306  ax-pre-ltadd 10307  ax-pre-mulgt0 10308  ax-pre-sup 10309
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 866  df-3or 1101  df-3an 1102  df-tru 1641  df-fal 1651  df-ex 1860  df-nf 1864  df-sb 2062  df-mo 2635  df-eu 2642  df-clab 2804  df-cleq 2810  df-clel 2813  df-nfc 2948  df-ne 2990  df-nel 3093  df-ral 3112  df-rex 3113  df-reu 3114  df-rmo 3115  df-rab 3116  df-v 3404  df-sbc 3645  df-csb 3740  df-dif 3783  df-un 3785  df-in 3787  df-ss 3794  df-pss 3796  df-nul 4128  df-if 4291  df-pw 4364  df-sn 4382  df-pr 4384  df-tp 4386  df-op 4388  df-uni 4642  df-int 4681  df-iun 4725  df-br 4856  df-opab 4918  df-mpt 4935  df-tr 4958  df-id 5232  df-eprel 5237  df-po 5245  df-so 5246  df-fr 5283  df-se 5284  df-we 5285  df-xp 5330  df-rel 5331  df-cnv 5332  df-co 5333  df-dm 5334  df-rn 5335  df-res 5336  df-ima 5337  df-pred 5907  df-ord 5953  df-on 5954  df-lim 5955  df-suc 5956  df-iota 6074  df-fun 6113  df-fn 6114  df-f 6115  df-f1 6116  df-fo 6117  df-f1o 6118  df-fv 6119  df-isom 6120  df-riota 6845  df-ov 6887  df-oprab 6888  df-mpt2 6889  df-of 7137  df-om 7306  df-1st 7408  df-2nd 7409  df-wrecs 7652  df-recs 7714  df-rdg 7752  df-1o 7806  df-2o 7807  df-oadd 7810  df-er 7989  df-map 8104  df-pm 8105  df-en 8203  df-dom 8204  df-sdom 8205  df-fin 8206  df-sup 8597  df-inf 8598  df-oi 8664  df-card 9058  df-cda 9285  df-pnf 10371  df-mnf 10372  df-xr 10373  df-ltxr 10374  df-le 10375  df-sub 10563  df-neg 10564  df-div 10980  df-nn 11316  df-2 11376  df-3 11377  df-n0 11580  df-z 11664  df-uz 11925  df-q 12028  df-rp 12067  df-xadd 12183  df-ioo 12417  df-ico 12419  df-icc 12420  df-fz 12570  df-fzo 12710  df-fl 12837  df-seq 13045  df-exp 13104  df-hash 13358  df-cj 14082  df-re 14083  df-im 14084  df-sqrt 14218  df-abs 14219  df-clim 14462  df-sum 14660  df-xmet 19967  df-met 19968  df-ovol 23468  df-vol 23469  df-mbf 23623
This theorem is referenced by:  mbfmulc2re  23652
  Copyright terms: Public domain W3C validator