Theorem mbfmulc2lem 25696

Description: Multiplication by a constant preserves measurability. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
mbfmulc2re.1	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ MblFn)
mbfmulc2re.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
mbfmulc2lem.3	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℝ)

Assertion

Ref	Expression
mbfmulc2lem	⊢ (𝜑 → ((𝐴 × {𝐵}) ∘f · 𝐹) ∈ MblFn)

Proof of Theorem mbfmulc2lem

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		remulcl 11238	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℝ)
2	1	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℝ)
3		mbfmulc2re.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
4		fconst6g 6798	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (𝐴 × {𝐵}):𝐴⟶ℝ)
5	3, 4	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 × {𝐵}):𝐴⟶ℝ)
6		mbfmulc2lem.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℝ)
7	6	fdmd 6747	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → dom 𝐹 = 𝐴)
8		mbfmulc2re.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ MblFn)
9		mbfdm 25675	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ MblFn → dom 𝐹 ∈ dom vol)
10	8, 9	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → dom 𝐹 ∈ dom vol)
11	7, 10	eqeltrrd 2840	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ dom vol)
12		inidm 4235	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∩ 𝐴) = 𝐴
13	2, 5, 6, 11, 11, 12	off 7715	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 × {𝐵}) ∘f · 𝐹):𝐴⟶ℝ)
14	13	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) → ((𝐴 × {𝐵}) ∘f · 𝐹):𝐴⟶ℝ)
15	11	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) → 𝐴 ∈ dom vol)
16		simprl 771	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → 𝑦 ∈ ℝ)
17	16	rexrd 11309	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → 𝑦 ∈ ℝ*)
18		elioopnf 13480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ* → ((((𝐴 × {𝐵}) ∘f · 𝐹)‘𝑧) ∈ (𝑦(,)+∞) ↔ ((((𝐴 × {𝐵}) ∘f · 𝐹)‘𝑧) ∈ ℝ ∧ 𝑦 < (((𝐴 × {𝐵}) ∘f · 𝐹)‘𝑧))))
19	17, 18	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → ((((𝐴 × {𝐵}) ∘f · 𝐹)‘𝑧) ∈ (𝑦(,)+∞) ↔ ((((𝐴 × {𝐵}) ∘f · 𝐹)‘𝑧) ∈ ℝ ∧ 𝑦 < (((𝐴 × {𝐵}) ∘f · 𝐹)‘𝑧))))
20	13	ffvelcdmda 7104	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (((𝐴 × {𝐵}) ∘f · 𝐹)‘𝑧) ∈ ℝ)
21	20	ad2ant2rl 749	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → (((𝐴 × {𝐵}) ∘f · 𝐹)‘𝑧) ∈ ℝ)
22	21	biantrurd 532	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → (𝑦 < (((𝐴 × {𝐵}) ∘f · 𝐹)‘𝑧) ↔ ((((𝐴 × {𝐵}) ∘f · 𝐹)‘𝑧) ∈ ℝ ∧ 𝑦 < (((𝐴 × {𝐵}) ∘f · 𝐹)‘𝑧))))
23	6	ffvelcdmda 7104	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑧) ∈ ℝ)
24	23	ad2ant2rl 749	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → (𝐹‘𝑧) ∈ ℝ)
25	24	biantrurd 532	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → ((𝐹‘𝑧) < (𝑦 / 𝐵) ↔ ((𝐹‘𝑧) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑧) < (𝑦 / 𝐵))))
26		simprr 773	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → 𝑧 ∈ 𝐴)
27	11	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → 𝐴 ∈ dom vol)
28	3	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → 𝐵 ∈ ℝ)
29	6	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → 𝐹:𝐴⟶ℝ)
30	29	ffnd 6738	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → 𝐹 Fn 𝐴)
31		eqidd 2736	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑧) = (𝐹‘𝑧))
32	27, 28, 30, 31	ofc1 7725	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (((𝐴 × {𝐵}) ∘f · 𝐹)‘𝑧) = (𝐵 · (𝐹‘𝑧)))
33	26, 32	mpdan 687	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → (((𝐴 × {𝐵}) ∘f · 𝐹)‘𝑧) = (𝐵 · (𝐹‘𝑧)))
34	33	breq2d 5160	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → (𝑦 < (((𝐴 × {𝐵}) ∘f · 𝐹)‘𝑧) ↔ 𝑦 < (𝐵 · (𝐹‘𝑧))))
35	33, 21	eqeltrrd 2840	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → (𝐵 · (𝐹‘𝑧)) ∈ ℝ)
36	16, 35	ltnegd 11839	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → (𝑦 < (𝐵 · (𝐹‘𝑧)) ↔ -(𝐵 · (𝐹‘𝑧)) < -𝑦))
37	28	recnd 11287	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → 𝐵 ∈ ℂ)
38	24	recnd 11287	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → (𝐹‘𝑧) ∈ ℂ)
39	37, 38	mulneg1d 11714	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → (-𝐵 · (𝐹‘𝑧)) = -(𝐵 · (𝐹‘𝑧)))
40	39	breq1d 5158	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → ((-𝐵 · (𝐹‘𝑧)) < -𝑦 ↔ -(𝐵 · (𝐹‘𝑧)) < -𝑦))
41	16	renegcld 11688	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → -𝑦 ∈ ℝ)
42	28	renegcld 11688	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → -𝐵 ∈ ℝ)
43		simplr 769	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → 𝐵 < 0)
44	28	lt0neg1d 11830	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → (𝐵 < 0 ↔ 0 < -𝐵))
45	43, 44	mpbid 232	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → 0 < -𝐵)
46		ltmuldiv2 12140	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐹‘𝑧) ∈ ℝ ∧ -𝑦 ∈ ℝ ∧ (-𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < -𝐵)) → ((-𝐵 · (𝐹‘𝑧)) < -𝑦 ↔ (𝐹‘𝑧) < (-𝑦 / -𝐵)))
47	24, 41, 42, 45, 46	syl112anc 1373	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → ((-𝐵 · (𝐹‘𝑧)) < -𝑦 ↔ (𝐹‘𝑧) < (-𝑦 / -𝐵)))
48	36, 40, 47	3bitr2rd 308	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → ((𝐹‘𝑧) < (-𝑦 / -𝐵) ↔ 𝑦 < (𝐵 · (𝐹‘𝑧))))
49	16	recnd 11287	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → 𝑦 ∈ ℂ)
50	43	lt0ne0d 11826	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → 𝐵 ≠ 0)
51	49, 37, 50	div2negd 12056	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → (-𝑦 / -𝐵) = (𝑦 / 𝐵))
52	51	breq2d 5160	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → ((𝐹‘𝑧) < (-𝑦 / -𝐵) ↔ (𝐹‘𝑧) < (𝑦 / 𝐵)))
53	34, 48, 52	3bitr2d 307	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → (𝑦 < (((𝐴 × {𝐵}) ∘f · 𝐹)‘𝑧) ↔ (𝐹‘𝑧) < (𝑦 / 𝐵)))
54	16, 28, 50	redivcld 12093	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → (𝑦 / 𝐵) ∈ ℝ)
55	54	rexrd 11309	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → (𝑦 / 𝐵) ∈ ℝ*)
56		elioomnf 13481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 / 𝐵) ∈ ℝ* → ((𝐹‘𝑧) ∈ (-∞(,)(𝑦 / 𝐵)) ↔ ((𝐹‘𝑧) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑧) < (𝑦 / 𝐵))))
57	55, 56	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → ((𝐹‘𝑧) ∈ (-∞(,)(𝑦 / 𝐵)) ↔ ((𝐹‘𝑧) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑧) < (𝑦 / 𝐵))))
58	25, 53, 57	3bitr4d 311	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → (𝑦 < (((𝐴 × {𝐵}) ∘f · 𝐹)‘𝑧) ↔ (𝐹‘𝑧) ∈ (-∞(,)(𝑦 / 𝐵))))
59	19, 22, 58	3bitr2d 307	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → ((((𝐴 × {𝐵}) ∘f · 𝐹)‘𝑧) ∈ (𝑦(,)+∞) ↔ (𝐹‘𝑧) ∈ (-∞(,)(𝑦 / 𝐵))))
60	59	anassrs 467	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → ((((𝐴 × {𝐵}) ∘f · 𝐹)‘𝑧) ∈ (𝑦(,)+∞) ↔ (𝐹‘𝑧) ∈ (-∞(,)(𝑦 / 𝐵))))
61	60	pm5.32da 579	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (((𝐴 × {𝐵}) ∘f · 𝐹)‘𝑧) ∈ (𝑦(,)+∞)) ↔ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑧) ∈ (-∞(,)(𝑦 / 𝐵)))))
62	13	ffnd 6738	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 × {𝐵}) ∘f · 𝐹) Fn 𝐴)
63	62	ad2antrr 726	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝐴 × {𝐵}) ∘f · 𝐹) Fn 𝐴)
64		elpreima 7078	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 × {𝐵}) ∘f · 𝐹) Fn 𝐴 → (𝑧 ∈ (◡((𝐴 × {𝐵}) ∘f · 𝐹) “ (𝑦(,)+∞)) ↔ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (((𝐴 × {𝐵}) ∘f · 𝐹)‘𝑧) ∈ (𝑦(,)+∞))))
65	63, 64	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑧 ∈ (◡((𝐴 × {𝐵}) ∘f · 𝐹) “ (𝑦(,)+∞)) ↔ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (((𝐴 × {𝐵}) ∘f · 𝐹)‘𝑧) ∈ (𝑦(,)+∞))))
66	6	ffnd 6738	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn 𝐴)
67	66	ad2antrr 726	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝐹 Fn 𝐴)
68		elpreima 7078	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 Fn 𝐴 → (𝑧 ∈ (◡𝐹 “ (-∞(,)(𝑦 / 𝐵))) ↔ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑧) ∈ (-∞(,)(𝑦 / 𝐵)))))
69	67, 68	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑧 ∈ (◡𝐹 “ (-∞(,)(𝑦 / 𝐵))) ↔ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑧) ∈ (-∞(,)(𝑦 / 𝐵)))))
70	61, 65, 69	3bitr4d 311	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑧 ∈ (◡((𝐴 × {𝐵}) ∘f · 𝐹) “ (𝑦(,)+∞)) ↔ 𝑧 ∈ (◡𝐹 “ (-∞(,)(𝑦 / 𝐵)))))
71	70	eqrdv 2733	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (◡((𝐴 × {𝐵}) ∘f · 𝐹) “ (𝑦(,)+∞)) = (◡𝐹 “ (-∞(,)(𝑦 / 𝐵))))
72		mbfima 25679	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ) → (◡𝐹 “ (-∞(,)(𝑦 / 𝐵))) ∈ dom vol)
73	8, 6, 72	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (◡𝐹 “ (-∞(,)(𝑦 / 𝐵))) ∈ dom vol)
74	73	ad2antrr 726	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (◡𝐹 “ (-∞(,)(𝑦 / 𝐵))) ∈ dom vol)
75	71, 74	eqeltrd 2839	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (◡((𝐴 × {𝐵}) ∘f · 𝐹) “ (𝑦(,)+∞)) ∈ dom vol)
76		elioomnf 13481	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ* → ((((𝐴 × {𝐵}) ∘f · 𝐹)‘𝑧) ∈ (-∞(,)𝑦) ↔ ((((𝐴 × {𝐵}) ∘f · 𝐹)‘𝑧) ∈ ℝ ∧ (((𝐴 × {𝐵}) ∘f · 𝐹)‘𝑧) < 𝑦)))
77	17, 76	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → ((((𝐴 × {𝐵}) ∘f · 𝐹)‘𝑧) ∈ (-∞(,)𝑦) ↔ ((((𝐴 × {𝐵}) ∘f · 𝐹)‘𝑧) ∈ ℝ ∧ (((𝐴 × {𝐵}) ∘f · 𝐹)‘𝑧) < 𝑦)))
78	21	biantrurd 532	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → ((((𝐴 × {𝐵}) ∘f · 𝐹)‘𝑧) < 𝑦 ↔ ((((𝐴 × {𝐵}) ∘f · 𝐹)‘𝑧) ∈ ℝ ∧ (((𝐴 × {𝐵}) ∘f · 𝐹)‘𝑧) < 𝑦)))
79	24	biantrurd 532	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → ((𝑦 / 𝐵) < (𝐹‘𝑧) ↔ ((𝐹‘𝑧) ∈ ℝ ∧ (𝑦 / 𝐵) < (𝐹‘𝑧))))
80	33	breq1d 5158	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → ((((𝐴 × {𝐵}) ∘f · 𝐹)‘𝑧) < 𝑦 ↔ (𝐵 · (𝐹‘𝑧)) < 𝑦))
81	39	breq2d 5160	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → (-𝑦 < (-𝐵 · (𝐹‘𝑧)) ↔ -𝑦 < -(𝐵 · (𝐹‘𝑧))))
82	51	breq1d 5158	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → ((-𝑦 / -𝐵) < (𝐹‘𝑧) ↔ (𝑦 / 𝐵) < (𝐹‘𝑧)))
83		ltdivmul 12141	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((-𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑧) ∈ ℝ ∧ (-𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < -𝐵)) → ((-𝑦 / -𝐵) < (𝐹‘𝑧) ↔ -𝑦 < (-𝐵 · (𝐹‘𝑧))))
84	41, 24, 42, 45, 83	syl112anc 1373	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → ((-𝑦 / -𝐵) < (𝐹‘𝑧) ↔ -𝑦 < (-𝐵 · (𝐹‘𝑧))))
85	82, 84	bitr3d 281	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → ((𝑦 / 𝐵) < (𝐹‘𝑧) ↔ -𝑦 < (-𝐵 · (𝐹‘𝑧))))
86	35, 16	ltnegd 11839	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → ((𝐵 · (𝐹‘𝑧)) < 𝑦 ↔ -𝑦 < -(𝐵 · (𝐹‘𝑧))))
87	81, 85, 86	3bitr4d 311	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → ((𝑦 / 𝐵) < (𝐹‘𝑧) ↔ (𝐵 · (𝐹‘𝑧)) < 𝑦))
88	80, 87	bitr4d 282	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → ((((𝐴 × {𝐵}) ∘f · 𝐹)‘𝑧) < 𝑦 ↔ (𝑦 / 𝐵) < (𝐹‘𝑧)))
89		elioopnf 13480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 / 𝐵) ∈ ℝ* → ((𝐹‘𝑧) ∈ ((𝑦 / 𝐵)(,)+∞) ↔ ((𝐹‘𝑧) ∈ ℝ ∧ (𝑦 / 𝐵) < (𝐹‘𝑧))))
90	55, 89	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → ((𝐹‘𝑧) ∈ ((𝑦 / 𝐵)(,)+∞) ↔ ((𝐹‘𝑧) ∈ ℝ ∧ (𝑦 / 𝐵) < (𝐹‘𝑧))))
91	79, 88, 90	3bitr4d 311	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → ((((𝐴 × {𝐵}) ∘f · 𝐹)‘𝑧) < 𝑦 ↔ (𝐹‘𝑧) ∈ ((𝑦 / 𝐵)(,)+∞)))
92	77, 78, 91	3bitr2d 307	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → ((((𝐴 × {𝐵}) ∘f · 𝐹)‘𝑧) ∈ (-∞(,)𝑦) ↔ (𝐹‘𝑧) ∈ ((𝑦 / 𝐵)(,)+∞)))
93	92	anassrs 467	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → ((((𝐴 × {𝐵}) ∘f · 𝐹)‘𝑧) ∈ (-∞(,)𝑦) ↔ (𝐹‘𝑧) ∈ ((𝑦 / 𝐵)(,)+∞)))
94	93	pm5.32da 579	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (((𝐴 × {𝐵}) ∘f · 𝐹)‘𝑧) ∈ (-∞(,)𝑦)) ↔ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑧) ∈ ((𝑦 / 𝐵)(,)+∞))))
95		elpreima 7078	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 × {𝐵}) ∘f · 𝐹) Fn 𝐴 → (𝑧 ∈ (◡((𝐴 × {𝐵}) ∘f · 𝐹) “ (-∞(,)𝑦)) ↔ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (((𝐴 × {𝐵}) ∘f · 𝐹)‘𝑧) ∈ (-∞(,)𝑦))))
96	63, 95	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑧 ∈ (◡((𝐴 × {𝐵}) ∘f · 𝐹) “ (-∞(,)𝑦)) ↔ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (((𝐴 × {𝐵}) ∘f · 𝐹)‘𝑧) ∈ (-∞(,)𝑦))))
97		elpreima 7078	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 Fn 𝐴 → (𝑧 ∈ (◡𝐹 “ ((𝑦 / 𝐵)(,)+∞)) ↔ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑧) ∈ ((𝑦 / 𝐵)(,)+∞))))
98	67, 97	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑧 ∈ (◡𝐹 “ ((𝑦 / 𝐵)(,)+∞)) ↔ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑧) ∈ ((𝑦 / 𝐵)(,)+∞))))
99	94, 96, 98	3bitr4d 311	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑧 ∈ (◡((𝐴 × {𝐵}) ∘f · 𝐹) “ (-∞(,)𝑦)) ↔ 𝑧 ∈ (◡𝐹 “ ((𝑦 / 𝐵)(,)+∞))))
100	99	eqrdv 2733	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (◡((𝐴 × {𝐵}) ∘f · 𝐹) “ (-∞(,)𝑦)) = (◡𝐹 “ ((𝑦 / 𝐵)(,)+∞)))
101		mbfima 25679	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ) → (◡𝐹 “ ((𝑦 / 𝐵)(,)+∞)) ∈ dom vol)
102	8, 6, 101	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (◡𝐹 “ ((𝑦 / 𝐵)(,)+∞)) ∈ dom vol)
103	102	ad2antrr 726	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (◡𝐹 “ ((𝑦 / 𝐵)(,)+∞)) ∈ dom vol)
104	100, 103	eqeltrd 2839	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (◡((𝐴 × {𝐵}) ∘f · 𝐹) “ (-∞(,)𝑦)) ∈ dom vol)
105	14, 15, 75, 104	ismbf2d 25689	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) → ((𝐴 × {𝐵}) ∘f · 𝐹) ∈ MblFn)
106	11	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 = 0) → 𝐴 ∈ dom vol)
107	6	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 = 0) → 𝐹:𝐴⟶ℝ)
108		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 = 0) → 𝐵 = 0)
109		0cn 11251	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℂ
110	108, 109	eqeltrdi 2847	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 = 0) → 𝐵 ∈ ℂ)
111		0cnd 11252	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 = 0) → 0 ∈ ℂ)
112		simplr 769	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 = 0) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝐵 = 0)
113	112	oveq1d 7446	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 = 0) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐵 · 𝑥) = (0 · 𝑥))
114		mul02lem2 11436	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (0 · 𝑥) = 0)
115	114	adantl 481	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 = 0) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (0 · 𝑥) = 0)
116	113, 115	eqtrd 2775	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 = 0) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐵 · 𝑥) = 0)
117	106, 107, 110, 111, 116	caofid2 7733	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 = 0) → ((𝐴 × {𝐵}) ∘f · 𝐹) = (𝐴 × {0}))
118		mbfconst 25682	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 0 ∈ ℂ) → (𝐴 × {0}) ∈ MblFn)
119	106, 109, 118	sylancl 586	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 = 0) → (𝐴 × {0}) ∈ MblFn)
120	117, 119	eqeltrd 2839	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 = 0) → ((𝐴 × {𝐵}) ∘f · 𝐹) ∈ MblFn)
121	13	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) → ((𝐴 × {𝐵}) ∘f · 𝐹):𝐴⟶ℝ)
122	11	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) → 𝐴 ∈ dom vol)
123		simprl 771	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → 𝑦 ∈ ℝ)
124	123	rexrd 11309	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → 𝑦 ∈ ℝ*)
125	124, 18	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → ((((𝐴 × {𝐵}) ∘f · 𝐹)‘𝑧) ∈ (𝑦(,)+∞) ↔ ((((𝐴 × {𝐵}) ∘f · 𝐹)‘𝑧) ∈ ℝ ∧ 𝑦 < (((𝐴 × {𝐵}) ∘f · 𝐹)‘𝑧))))
126	20	ad2ant2rl 749	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → (((𝐴 × {𝐵}) ∘f · 𝐹)‘𝑧) ∈ ℝ)
127	126	biantrurd 532	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → (𝑦 < (((𝐴 × {𝐵}) ∘f · 𝐹)‘𝑧) ↔ ((((𝐴 × {𝐵}) ∘f · 𝐹)‘𝑧) ∈ ℝ ∧ 𝑦 < (((𝐴 × {𝐵}) ∘f · 𝐹)‘𝑧))))
128	23	ad2ant2rl 749	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → (𝐹‘𝑧) ∈ ℝ)
129	128	biantrurd 532	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → ((𝑦 / 𝐵) < (𝐹‘𝑧) ↔ ((𝐹‘𝑧) ∈ ℝ ∧ (𝑦 / 𝐵) < (𝐹‘𝑧))))
130		eqidd 2736	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑧) = (𝐹‘𝑧))
131	11, 3, 66, 130	ofc1 7725	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (((𝐴 × {𝐵}) ∘f · 𝐹)‘𝑧) = (𝐵 · (𝐹‘𝑧)))
132	131	ad2ant2rl 749	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → (((𝐴 × {𝐵}) ∘f · 𝐹)‘𝑧) = (𝐵 · (𝐹‘𝑧)))
133	132	breq2d 5160	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → (𝑦 < (((𝐴 × {𝐵}) ∘f · 𝐹)‘𝑧) ↔ 𝑦 < (𝐵 · (𝐹‘𝑧))))
134	3	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → 𝐵 ∈ ℝ)
135		simplr 769	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → 0 < 𝐵)
136		ltdivmul 12141	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑧) ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) → ((𝑦 / 𝐵) < (𝐹‘𝑧) ↔ 𝑦 < (𝐵 · (𝐹‘𝑧))))
137	123, 128, 134, 135, 136	syl112anc 1373	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → ((𝑦 / 𝐵) < (𝐹‘𝑧) ↔ 𝑦 < (𝐵 · (𝐹‘𝑧))))
138	133, 137	bitr4d 282	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → (𝑦 < (((𝐴 × {𝐵}) ∘f · 𝐹)‘𝑧) ↔ (𝑦 / 𝐵) < (𝐹‘𝑧)))
139	134, 135	elrpd 13072	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → 𝐵 ∈ ℝ+)
140	123, 139	rerpdivcld 13106	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → (𝑦 / 𝐵) ∈ ℝ)
141	140	rexrd 11309	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → (𝑦 / 𝐵) ∈ ℝ*)
142	141, 89	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → ((𝐹‘𝑧) ∈ ((𝑦 / 𝐵)(,)+∞) ↔ ((𝐹‘𝑧) ∈ ℝ ∧ (𝑦 / 𝐵) < (𝐹‘𝑧))))
143	129, 138, 142	3bitr4d 311	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → (𝑦 < (((𝐴 × {𝐵}) ∘f · 𝐹)‘𝑧) ↔ (𝐹‘𝑧) ∈ ((𝑦 / 𝐵)(,)+∞)))
144	125, 127, 143	3bitr2d 307	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → ((((𝐴 × {𝐵}) ∘f · 𝐹)‘𝑧) ∈ (𝑦(,)+∞) ↔ (𝐹‘𝑧) ∈ ((𝑦 / 𝐵)(,)+∞)))
145	144	anassrs 467	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → ((((𝐴 × {𝐵}) ∘f · 𝐹)‘𝑧) ∈ (𝑦(,)+∞) ↔ (𝐹‘𝑧) ∈ ((𝑦 / 𝐵)(,)+∞)))
146	145	pm5.32da 579	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (((𝐴 × {𝐵}) ∘f · 𝐹)‘𝑧) ∈ (𝑦(,)+∞)) ↔ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑧) ∈ ((𝑦 / 𝐵)(,)+∞))))
147	62	ad2antrr 726	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝐴 × {𝐵}) ∘f · 𝐹) Fn 𝐴)
148	147, 64	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑧 ∈ (◡((𝐴 × {𝐵}) ∘f · 𝐹) “ (𝑦(,)+∞)) ↔ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (((𝐴 × {𝐵}) ∘f · 𝐹)‘𝑧) ∈ (𝑦(,)+∞))))
149	66	ad2antrr 726	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝐹 Fn 𝐴)
150	149, 97	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑧 ∈ (◡𝐹 “ ((𝑦 / 𝐵)(,)+∞)) ↔ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑧) ∈ ((𝑦 / 𝐵)(,)+∞))))
151	146, 148, 150	3bitr4d 311	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑧 ∈ (◡((𝐴 × {𝐵}) ∘f · 𝐹) “ (𝑦(,)+∞)) ↔ 𝑧 ∈ (◡𝐹 “ ((𝑦 / 𝐵)(,)+∞))))
152	151	eqrdv 2733	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (◡((𝐴 × {𝐵}) ∘f · 𝐹) “ (𝑦(,)+∞)) = (◡𝐹 “ ((𝑦 / 𝐵)(,)+∞)))
153	102	ad2antrr 726	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (◡𝐹 “ ((𝑦 / 𝐵)(,)+∞)) ∈ dom vol)
154	152, 153	eqeltrd 2839	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (◡((𝐴 × {𝐵}) ∘f · 𝐹) “ (𝑦(,)+∞)) ∈ dom vol)
155	124, 76	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → ((((𝐴 × {𝐵}) ∘f · 𝐹)‘𝑧) ∈ (-∞(,)𝑦) ↔ ((((𝐴 × {𝐵}) ∘f · 𝐹)‘𝑧) ∈ ℝ ∧ (((𝐴 × {𝐵}) ∘f · 𝐹)‘𝑧) < 𝑦)))
156	126	biantrurd 532	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → ((((𝐴 × {𝐵}) ∘f · 𝐹)‘𝑧) < 𝑦 ↔ ((((𝐴 × {𝐵}) ∘f · 𝐹)‘𝑧) ∈ ℝ ∧ (((𝐴 × {𝐵}) ∘f · 𝐹)‘𝑧) < 𝑦)))
157		ltmuldiv2 12140	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐹‘𝑧) ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) → ((𝐵 · (𝐹‘𝑧)) < 𝑦 ↔ (𝐹‘𝑧) < (𝑦 / 𝐵)))
158	128, 123, 134, 135, 157	syl112anc 1373	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → ((𝐵 · (𝐹‘𝑧)) < 𝑦 ↔ (𝐹‘𝑧) < (𝑦 / 𝐵)))
159	132	breq1d 5158	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → ((((𝐴 × {𝐵}) ∘f · 𝐹)‘𝑧) < 𝑦 ↔ (𝐵 · (𝐹‘𝑧)) < 𝑦))
160	141, 56	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → ((𝐹‘𝑧) ∈ (-∞(,)(𝑦 / 𝐵)) ↔ ((𝐹‘𝑧) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑧) < (𝑦 / 𝐵))))
161	128, 160	mpbirand 707	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → ((𝐹‘𝑧) ∈ (-∞(,)(𝑦 / 𝐵)) ↔ (𝐹‘𝑧) < (𝑦 / 𝐵)))
162	158, 159, 161	3bitr4d 311	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → ((((𝐴 × {𝐵}) ∘f · 𝐹)‘𝑧) < 𝑦 ↔ (𝐹‘𝑧) ∈ (-∞(,)(𝑦 / 𝐵))))
163	155, 156, 162	3bitr2d 307	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → ((((𝐴 × {𝐵}) ∘f · 𝐹)‘𝑧) ∈ (-∞(,)𝑦) ↔ (𝐹‘𝑧) ∈ (-∞(,)(𝑦 / 𝐵))))
164	163	anassrs 467	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → ((((𝐴 × {𝐵}) ∘f · 𝐹)‘𝑧) ∈ (-∞(,)𝑦) ↔ (𝐹‘𝑧) ∈ (-∞(,)(𝑦 / 𝐵))))
165	164	pm5.32da 579	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (((𝐴 × {𝐵}) ∘f · 𝐹)‘𝑧) ∈ (-∞(,)𝑦)) ↔ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑧) ∈ (-∞(,)(𝑦 / 𝐵)))))
166	147, 95	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑧 ∈ (◡((𝐴 × {𝐵}) ∘f · 𝐹) “ (-∞(,)𝑦)) ↔ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (((𝐴 × {𝐵}) ∘f · 𝐹)‘𝑧) ∈ (-∞(,)𝑦))))
167	149, 68	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑧 ∈ (◡𝐹 “ (-∞(,)(𝑦 / 𝐵))) ↔ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑧) ∈ (-∞(,)(𝑦 / 𝐵)))))
168	165, 166, 167	3bitr4d 311	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑧 ∈ (◡((𝐴 × {𝐵}) ∘f · 𝐹) “ (-∞(,)𝑦)) ↔ 𝑧 ∈ (◡𝐹 “ (-∞(,)(𝑦 / 𝐵)))))
169	168	eqrdv 2733	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (◡((𝐴 × {𝐵}) ∘f · 𝐹) “ (-∞(,)𝑦)) = (◡𝐹 “ (-∞(,)(𝑦 / 𝐵))))
170	73	ad2antrr 726	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (◡𝐹 “ (-∞(,)(𝑦 / 𝐵))) ∈ dom vol)
171	169, 170	eqeltrd 2839	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (◡((𝐴 × {𝐵}) ∘f · 𝐹) “ (-∞(,)𝑦)) ∈ dom vol)
172	121, 122, 154, 171	ismbf2d 25689	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) → ((𝐴 × {𝐵}) ∘f · 𝐹) ∈ MblFn)
173		0re 11261	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℝ
174		lttri4 11343	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (𝐵 < 0 ∨ 𝐵 = 0 ∨ 0 < 𝐵))
175	3, 173, 174	sylancl 586	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵 < 0 ∨ 𝐵 = 0 ∨ 0 < 𝐵))
176	105, 120, 172, 175	mpjao3dan 1431	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 × {𝐵}) ∘f · 𝐹) ∈ MblFn)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ w3o 1085   = wceq 1537   ∈ wcel 2106  {csn 4631   class class class wbr 5148   × cxp 5687  ^◡ccnv 5688  dom cdm 5689   “ cima 5692   Fn wfn 6558  ⟶wf 6559  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431   ∘_f cof 7695  ℂcc 11151  ℝcr 11152  0cc0 11153   · cmul 11158  +∞cpnf 11290  -∞cmnf 11291  ℝ^*cxr 11292   < clt 11293  -cneg 11491   / cdiv 11918  (,)cioo 13384  volcvol 25512  MblFncmbf 25663

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-inf2 9679  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-er 8744  df-map 8867  df-pm 8868  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-sup 9480  df-inf 9481  df-oi 9548  df-dju 9939  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-q 12989  df-rp 13033  df-xadd 13153  df-ioo 13388  df-ico 13390  df-icc 13391  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-fl 13829  df-seq 14040  df-exp 14100  df-hash 14367  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-clim 15521  df-sum 15720  df-xmet 21375  df-met 21376  df-ovol 25513  df-vol 25514  df-mbf 25668

This theorem is referenced by:  mbfmulc2re  25697