Theorem mbfmulc2lem 25857

Description: Multiplication by a constant preserves measurability. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
mbfmulc2re.1	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ MblFn)
mbfmulc2re.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
mbfmulc2lem.3	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℝ)

Assertion

Ref	Expression
mbfmulc2lem	⊢ (𝜑 → ((𝐴 × {𝐵}) ∘f · 𝐹) ∈ MblFn)

Proof of Theorem mbfmulc2lem

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		remulcl 11200	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℝ)
2	1	adantl 487	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℝ)
3		mbfmulc2re.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
4		fconst6g 6771	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (𝐴 × {𝐵}):𝐴⟶ℝ)
5	3, 4	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 × {𝐵}):𝐴⟶ℝ)
6		mbfmulc2lem.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℝ)
7	6	fdmd 6720	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → dom 𝐹 = 𝐴)
8		mbfmulc2re.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ MblFn)
9		mbfdm 25836	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ MblFn → dom 𝐹 ∈ dom vol)
10	8, 9	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → dom 𝐹 ∈ dom vol)
11	7, 10	eqeltrrd 2866	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ dom vol)
12		inidm 4179	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∩ 𝐴) = 𝐴
13	2, 5, 6, 11, 11, 12	off 7702	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 × {𝐵}) ∘f · 𝐹):𝐴⟶ℝ)
14	13	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) → ((𝐴 × {𝐵}) ∘f · 𝐹):𝐴⟶ℝ)
15	11	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) → 𝐴 ∈ dom vol)
16		simprl 783	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → 𝑦 ∈ ℝ)
17	16	rexrd 11274	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → 𝑦 ∈ ℝ*)
18		elioopnf 13486	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ* → ((((𝐴 × {𝐵}) ∘f · 𝐹)‘𝑧) ∈ (𝑦(,)+∞) ↔ ((((𝐴 × {𝐵}) ∘f · 𝐹)‘𝑧) ∈ ℝ ∧ 𝑦 < (((𝐴 × {𝐵}) ∘f · 𝐹)‘𝑧))))
19	17, 18	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → ((((𝐴 × {𝐵}) ∘f · 𝐹)‘𝑧) ∈ (𝑦(,)+∞) ↔ ((((𝐴 × {𝐵}) ∘f · 𝐹)‘𝑧) ∈ ℝ ∧ 𝑦 < (((𝐴 × {𝐵}) ∘f · 𝐹)‘𝑧))))
20	13	ffvelcdmda 7083	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (((𝐴 × {𝐵}) ∘f · 𝐹)‘𝑧) ∈ ℝ)
21	20	ad2ant2rl 762	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → (((𝐴 × {𝐵}) ∘f · 𝐹)‘𝑧) ∈ ℝ)
22	21	biantrurd 542	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → (𝑦 < (((𝐴 × {𝐵}) ∘f · 𝐹)‘𝑧) ↔ ((((𝐴 × {𝐵}) ∘f · 𝐹)‘𝑧) ∈ ℝ ∧ 𝑦 < (((𝐴 × {𝐵}) ∘f · 𝐹)‘𝑧))))
23	6	ffvelcdmda 7083	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑧) ∈ ℝ)
24	23	ad2ant2rl 762	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → (𝐹‘𝑧) ∈ ℝ)
25	24	biantrurd 542	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → ((𝐹‘𝑧) < (𝑦 / 𝐵) ↔ ((𝐹‘𝑧) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑧) < (𝑦 / 𝐵))))
26		simprr 785	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → 𝑧 ∈ 𝐴)
27	11	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → 𝐴 ∈ dom vol)
28	3	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → 𝐵 ∈ ℝ)
29	6	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → 𝐹:𝐴⟶ℝ)
30	29	ffnd 6710	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → 𝐹 Fn 𝐴)
31		eqidd 2766	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑧) = (𝐹‘𝑧))
32	27, 28, 30, 31	ofc1 7712	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (((𝐴 × {𝐵}) ∘f · 𝐹)‘𝑧) = (𝐵 · (𝐹‘𝑧)))
33	26, 32	mpdan 700	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → (((𝐴 × {𝐵}) ∘f · 𝐹)‘𝑧) = (𝐵 · (𝐹‘𝑧)))
34	33	breq2d 5123	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → (𝑦 < (((𝐴 × {𝐵}) ∘f · 𝐹)‘𝑧) ↔ 𝑦 < (𝐵 · (𝐹‘𝑧))))
35	33, 21	eqeltrrd 2866	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → (𝐵 · (𝐹‘𝑧)) ∈ ℝ)
36	16, 35	ltnegd 11807	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → (𝑦 < (𝐵 · (𝐹‘𝑧)) ↔ -(𝐵 · (𝐹‘𝑧)) < -𝑦))
37	28	recnd 11252	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → 𝐵 ∈ ℂ)
38	24	recnd 11252	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → (𝐹‘𝑧) ∈ ℂ)
39	37, 38	mulneg1d 11682	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → (-𝐵 · (𝐹‘𝑧)) = -(𝐵 · (𝐹‘𝑧)))
40	39	breq1d 5121	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → ((-𝐵 · (𝐹‘𝑧)) < -𝑦 ↔ -(𝐵 · (𝐹‘𝑧)) < -𝑦))
41	16	renegcld 11656	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → -𝑦 ∈ ℝ)
42	28	renegcld 11656	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → -𝐵 ∈ ℝ)
43		simplr 781	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → 𝐵 < 0)
44	28	lt0neg1d 11798	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → (𝐵 < 0 ↔ 0 < -𝐵))
45	43, 44	mpbid 235	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → 0 < -𝐵)
46		ltmuldiv2 12104	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐹‘𝑧) ∈ ℝ ∧ -𝑦 ∈ ℝ ∧ (-𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < -𝐵)) → ((-𝐵 · (𝐹‘𝑧)) < -𝑦 ↔ (𝐹‘𝑧) < (-𝑦 / -𝐵)))
47	24, 41, 42, 45, 46	syl112anc 1401	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → ((-𝐵 · (𝐹‘𝑧)) < -𝑦 ↔ (𝐹‘𝑧) < (-𝑦 / -𝐵)))
48	36, 40, 47	3bitr2rd 311	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → ((𝐹‘𝑧) < (-𝑦 / -𝐵) ↔ 𝑦 < (𝐵 · (𝐹‘𝑧))))
49	16	recnd 11252	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → 𝑦 ∈ ℂ)
50	43	lt0ne0d 11794	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → 𝐵 ≠ 0)
51	49, 37, 50	div2negd 12021	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → (-𝑦 / -𝐵) = (𝑦 / 𝐵))
52	51	breq2d 5123	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → ((𝐹‘𝑧) < (-𝑦 / -𝐵) ↔ (𝐹‘𝑧) < (𝑦 / 𝐵)))
53	34, 48, 52	3bitr2d 310	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → (𝑦 < (((𝐴 × {𝐵}) ∘f · 𝐹)‘𝑧) ↔ (𝐹‘𝑧) < (𝑦 / 𝐵)))
54	16, 28, 50	redivcld 12058	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → (𝑦 / 𝐵) ∈ ℝ)
55	54	rexrd 11274	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → (𝑦 / 𝐵) ∈ ℝ*)
56		elioomnf 13487	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 / 𝐵) ∈ ℝ* → ((𝐹‘𝑧) ∈ (-∞(,)(𝑦 / 𝐵)) ↔ ((𝐹‘𝑧) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑧) < (𝑦 / 𝐵))))
57	55, 56	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → ((𝐹‘𝑧) ∈ (-∞(,)(𝑦 / 𝐵)) ↔ ((𝐹‘𝑧) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑧) < (𝑦 / 𝐵))))
58	25, 53, 57	3bitr4d 314	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → (𝑦 < (((𝐴 × {𝐵}) ∘f · 𝐹)‘𝑧) ↔ (𝐹‘𝑧) ∈ (-∞(,)(𝑦 / 𝐵))))
59	19, 22, 58	3bitr2d 310	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → ((((𝐴 × {𝐵}) ∘f · 𝐹)‘𝑧) ∈ (𝑦(,)+∞) ↔ (𝐹‘𝑧) ∈ (-∞(,)(𝑦 / 𝐵))))
60	59	anassrs 473	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → ((((𝐴 × {𝐵}) ∘f · 𝐹)‘𝑧) ∈ (𝑦(,)+∞) ↔ (𝐹‘𝑧) ∈ (-∞(,)(𝑦 / 𝐵))))
61	60	pm5.32da 590	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (((𝐴 × {𝐵}) ∘f · 𝐹)‘𝑧) ∈ (𝑦(,)+∞)) ↔ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑧) ∈ (-∞(,)(𝑦 / 𝐵)))))
62	13	ffnd 6710	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 × {𝐵}) ∘f · 𝐹) Fn 𝐴)
63	62	ad2antrr 739	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝐴 × {𝐵}) ∘f · 𝐹) Fn 𝐴)
64		elpreima 7057	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 × {𝐵}) ∘f · 𝐹) Fn 𝐴 → (𝑧 ∈ (◡((𝐴 × {𝐵}) ∘f · 𝐹) “ (𝑦(,)+∞)) ↔ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (((𝐴 × {𝐵}) ∘f · 𝐹)‘𝑧) ∈ (𝑦(,)+∞))))
65	63, 64	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑧 ∈ (◡((𝐴 × {𝐵}) ∘f · 𝐹) “ (𝑦(,)+∞)) ↔ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (((𝐴 × {𝐵}) ∘f · 𝐹)‘𝑧) ∈ (𝑦(,)+∞))))
66	6	ffnd 6710	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn 𝐴)
67	66	ad2antrr 739	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝐹 Fn 𝐴)
68		elpreima 7057	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 Fn 𝐴 → (𝑧 ∈ (◡𝐹 “ (-∞(,)(𝑦 / 𝐵))) ↔ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑧) ∈ (-∞(,)(𝑦 / 𝐵)))))
69	67, 68	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑧 ∈ (◡𝐹 “ (-∞(,)(𝑦 / 𝐵))) ↔ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑧) ∈ (-∞(,)(𝑦 / 𝐵)))))
70	61, 65, 69	3bitr4d 314	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑧 ∈ (◡((𝐴 × {𝐵}) ∘f · 𝐹) “ (𝑦(,)+∞)) ↔ 𝑧 ∈ (◡𝐹 “ (-∞(,)(𝑦 / 𝐵)))))
71	70	eqrdv 2763	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (◡((𝐴 × {𝐵}) ∘f · 𝐹) “ (𝑦(,)+∞)) = (◡𝐹 “ (-∞(,)(𝑦 / 𝐵))))
72		mbfima 25840	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ) → (◡𝐹 “ (-∞(,)(𝑦 / 𝐵))) ∈ dom vol)
73	8, 6, 72	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (◡𝐹 “ (-∞(,)(𝑦 / 𝐵))) ∈ dom vol)
74	73	ad2antrr 739	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (◡𝐹 “ (-∞(,)(𝑦 / 𝐵))) ∈ dom vol)
75	71, 74	eqeltrd 2865	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (◡((𝐴 × {𝐵}) ∘f · 𝐹) “ (𝑦(,)+∞)) ∈ dom vol)
76		elioomnf 13487	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ* → ((((𝐴 × {𝐵}) ∘f · 𝐹)‘𝑧) ∈ (-∞(,)𝑦) ↔ ((((𝐴 × {𝐵}) ∘f · 𝐹)‘𝑧) ∈ ℝ ∧ (((𝐴 × {𝐵}) ∘f · 𝐹)‘𝑧) < 𝑦)))
77	17, 76	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → ((((𝐴 × {𝐵}) ∘f · 𝐹)‘𝑧) ∈ (-∞(,)𝑦) ↔ ((((𝐴 × {𝐵}) ∘f · 𝐹)‘𝑧) ∈ ℝ ∧ (((𝐴 × {𝐵}) ∘f · 𝐹)‘𝑧) < 𝑦)))
78	21	biantrurd 542	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → ((((𝐴 × {𝐵}) ∘f · 𝐹)‘𝑧) < 𝑦 ↔ ((((𝐴 × {𝐵}) ∘f · 𝐹)‘𝑧) ∈ ℝ ∧ (((𝐴 × {𝐵}) ∘f · 𝐹)‘𝑧) < 𝑦)))
79	24	biantrurd 542	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → ((𝑦 / 𝐵) < (𝐹‘𝑧) ↔ ((𝐹‘𝑧) ∈ ℝ ∧ (𝑦 / 𝐵) < (𝐹‘𝑧))))
80	33	breq1d 5121	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → ((((𝐴 × {𝐵}) ∘f · 𝐹)‘𝑧) < 𝑦 ↔ (𝐵 · (𝐹‘𝑧)) < 𝑦))
81	39	breq2d 5123	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → (-𝑦 < (-𝐵 · (𝐹‘𝑧)) ↔ -𝑦 < -(𝐵 · (𝐹‘𝑧))))
82	51	breq1d 5121	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → ((-𝑦 / -𝐵) < (𝐹‘𝑧) ↔ (𝑦 / 𝐵) < (𝐹‘𝑧)))
83		ltdivmul 12105	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((-𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑧) ∈ ℝ ∧ (-𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < -𝐵)) → ((-𝑦 / -𝐵) < (𝐹‘𝑧) ↔ -𝑦 < (-𝐵 · (𝐹‘𝑧))))
84	41, 24, 42, 45, 83	syl112anc 1401	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → ((-𝑦 / -𝐵) < (𝐹‘𝑧) ↔ -𝑦 < (-𝐵 · (𝐹‘𝑧))))
85	82, 84	bitr3d 284	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → ((𝑦 / 𝐵) < (𝐹‘𝑧) ↔ -𝑦 < (-𝐵 · (𝐹‘𝑧))))
86	35, 16	ltnegd 11807	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → ((𝐵 · (𝐹‘𝑧)) < 𝑦 ↔ -𝑦 < -(𝐵 · (𝐹‘𝑧))))
87	81, 85, 86	3bitr4d 314	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → ((𝑦 / 𝐵) < (𝐹‘𝑧) ↔ (𝐵 · (𝐹‘𝑧)) < 𝑦))
88	80, 87	bitr4d 285	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → ((((𝐴 × {𝐵}) ∘f · 𝐹)‘𝑧) < 𝑦 ↔ (𝑦 / 𝐵) < (𝐹‘𝑧)))
89		elioopnf 13486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 / 𝐵) ∈ ℝ* → ((𝐹‘𝑧) ∈ ((𝑦 / 𝐵)(,)+∞) ↔ ((𝐹‘𝑧) ∈ ℝ ∧ (𝑦 / 𝐵) < (𝐹‘𝑧))))
90	55, 89	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → ((𝐹‘𝑧) ∈ ((𝑦 / 𝐵)(,)+∞) ↔ ((𝐹‘𝑧) ∈ ℝ ∧ (𝑦 / 𝐵) < (𝐹‘𝑧))))
91	79, 88, 90	3bitr4d 314	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → ((((𝐴 × {𝐵}) ∘f · 𝐹)‘𝑧) < 𝑦 ↔ (𝐹‘𝑧) ∈ ((𝑦 / 𝐵)(,)+∞)))
92	77, 78, 91	3bitr2d 310	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → ((((𝐴 × {𝐵}) ∘f · 𝐹)‘𝑧) ∈ (-∞(,)𝑦) ↔ (𝐹‘𝑧) ∈ ((𝑦 / 𝐵)(,)+∞)))
93	92	anassrs 473	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → ((((𝐴 × {𝐵}) ∘f · 𝐹)‘𝑧) ∈ (-∞(,)𝑦) ↔ (𝐹‘𝑧) ∈ ((𝑦 / 𝐵)(,)+∞)))
94	93	pm5.32da 590	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (((𝐴 × {𝐵}) ∘f · 𝐹)‘𝑧) ∈ (-∞(,)𝑦)) ↔ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑧) ∈ ((𝑦 / 𝐵)(,)+∞))))
95		elpreima 7057	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 × {𝐵}) ∘f · 𝐹) Fn 𝐴 → (𝑧 ∈ (◡((𝐴 × {𝐵}) ∘f · 𝐹) “ (-∞(,)𝑦)) ↔ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (((𝐴 × {𝐵}) ∘f · 𝐹)‘𝑧) ∈ (-∞(,)𝑦))))
96	63, 95	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑧 ∈ (◡((𝐴 × {𝐵}) ∘f · 𝐹) “ (-∞(,)𝑦)) ↔ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (((𝐴 × {𝐵}) ∘f · 𝐹)‘𝑧) ∈ (-∞(,)𝑦))))
97		elpreima 7057	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 Fn 𝐴 → (𝑧 ∈ (◡𝐹 “ ((𝑦 / 𝐵)(,)+∞)) ↔ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑧) ∈ ((𝑦 / 𝐵)(,)+∞))))
98	67, 97	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑧 ∈ (◡𝐹 “ ((𝑦 / 𝐵)(,)+∞)) ↔ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑧) ∈ ((𝑦 / 𝐵)(,)+∞))))
99	94, 96, 98	3bitr4d 314	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑧 ∈ (◡((𝐴 × {𝐵}) ∘f · 𝐹) “ (-∞(,)𝑦)) ↔ 𝑧 ∈ (◡𝐹 “ ((𝑦 / 𝐵)(,)+∞))))
100	99	eqrdv 2763	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (◡((𝐴 × {𝐵}) ∘f · 𝐹) “ (-∞(,)𝑦)) = (◡𝐹 “ ((𝑦 / 𝐵)(,)+∞)))
101		mbfima 25840	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ) → (◡𝐹 “ ((𝑦 / 𝐵)(,)+∞)) ∈ dom vol)
102	8, 6, 101	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (◡𝐹 “ ((𝑦 / 𝐵)(,)+∞)) ∈ dom vol)
103	102	ad2antrr 739	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (◡𝐹 “ ((𝑦 / 𝐵)(,)+∞)) ∈ dom vol)
104	100, 103	eqeltrd 2865	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (◡((𝐴 × {𝐵}) ∘f · 𝐹) “ (-∞(,)𝑦)) ∈ dom vol)
105	14, 15, 75, 104	ismbf2d 25850	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) → ((𝐴 × {𝐵}) ∘f · 𝐹) ∈ MblFn)
106	11	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 = 0) → 𝐴 ∈ dom vol)
107	6	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 = 0) → 𝐹:𝐴⟶ℝ)
108		simpr 490	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 = 0) → 𝐵 = 0)
109		0cn 11213	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℂ
110	108, 109	eqeltrdi 2873	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 = 0) → 𝐵 ∈ ℂ)
111		0cnd 11214	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 = 0) → 0 ∈ ℂ)
112		simplr 781	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 = 0) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝐵 = 0)
113	112	oveq1d 7434	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 = 0) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐵 · 𝑥) = (0 · 𝑥))
114		mul02lem2 11402	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (0 · 𝑥) = 0)
115	114	adantl 487	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 = 0) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (0 · 𝑥) = 0)
116	113, 115	eqtrd 2800	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 = 0) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐵 · 𝑥) = 0)
117	106, 107, 110, 111, 116	caofid2 7720	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 = 0) → ((𝐴 × {𝐵}) ∘f · 𝐹) = (𝐴 × {0}))
118		mbfconst 25843	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 0 ∈ ℂ) → (𝐴 × {0}) ∈ MblFn)
119	106, 109, 118	sylancl 598	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 = 0) → (𝐴 × {0}) ∈ MblFn)
120	117, 119	eqeltrd 2865	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 = 0) → ((𝐴 × {𝐵}) ∘f · 𝐹) ∈ MblFn)
121	13	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) → ((𝐴 × {𝐵}) ∘f · 𝐹):𝐴⟶ℝ)
122	11	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) → 𝐴 ∈ dom vol)
123		simprl 783	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → 𝑦 ∈ ℝ)
124	123	rexrd 11274	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → 𝑦 ∈ ℝ*)
125	124, 18	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → ((((𝐴 × {𝐵}) ∘f · 𝐹)‘𝑧) ∈ (𝑦(,)+∞) ↔ ((((𝐴 × {𝐵}) ∘f · 𝐹)‘𝑧) ∈ ℝ ∧ 𝑦 < (((𝐴 × {𝐵}) ∘f · 𝐹)‘𝑧))))
126	20	ad2ant2rl 762	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → (((𝐴 × {𝐵}) ∘f · 𝐹)‘𝑧) ∈ ℝ)
127	126	biantrurd 542	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → (𝑦 < (((𝐴 × {𝐵}) ∘f · 𝐹)‘𝑧) ↔ ((((𝐴 × {𝐵}) ∘f · 𝐹)‘𝑧) ∈ ℝ ∧ 𝑦 < (((𝐴 × {𝐵}) ∘f · 𝐹)‘𝑧))))
128	23	ad2ant2rl 762	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → (𝐹‘𝑧) ∈ ℝ)
129	128	biantrurd 542	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → ((𝑦 / 𝐵) < (𝐹‘𝑧) ↔ ((𝐹‘𝑧) ∈ ℝ ∧ (𝑦 / 𝐵) < (𝐹‘𝑧))))
130		eqidd 2766	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑧) = (𝐹‘𝑧))
131	11, 3, 66, 130	ofc1 7712	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (((𝐴 × {𝐵}) ∘f · 𝐹)‘𝑧) = (𝐵 · (𝐹‘𝑧)))
132	131	ad2ant2rl 762	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → (((𝐴 × {𝐵}) ∘f · 𝐹)‘𝑧) = (𝐵 · (𝐹‘𝑧)))
133	132	breq2d 5123	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → (𝑦 < (((𝐴 × {𝐵}) ∘f · 𝐹)‘𝑧) ↔ 𝑦 < (𝐵 · (𝐹‘𝑧))))
134	3	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → 𝐵 ∈ ℝ)
135		simplr 781	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → 0 < 𝐵)
136		ltdivmul 12105	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑧) ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) → ((𝑦 / 𝐵) < (𝐹‘𝑧) ↔ 𝑦 < (𝐵 · (𝐹‘𝑧))))
137	123, 128, 134, 135, 136	syl112anc 1401	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → ((𝑦 / 𝐵) < (𝐹‘𝑧) ↔ 𝑦 < (𝐵 · (𝐹‘𝑧))))
138	133, 137	bitr4d 285	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → (𝑦 < (((𝐴 × {𝐵}) ∘f · 𝐹)‘𝑧) ↔ (𝑦 / 𝐵) < (𝐹‘𝑧)))
139	134, 135	elrpd 13073	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → 𝐵 ∈ ℝ+)
140	123, 139	rerpdivcld 13107	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → (𝑦 / 𝐵) ∈ ℝ)
141	140	rexrd 11274	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → (𝑦 / 𝐵) ∈ ℝ*)
142	141, 89	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → ((𝐹‘𝑧) ∈ ((𝑦 / 𝐵)(,)+∞) ↔ ((𝐹‘𝑧) ∈ ℝ ∧ (𝑦 / 𝐵) < (𝐹‘𝑧))))
143	129, 138, 142	3bitr4d 314	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → (𝑦 < (((𝐴 × {𝐵}) ∘f · 𝐹)‘𝑧) ↔ (𝐹‘𝑧) ∈ ((𝑦 / 𝐵)(,)+∞)))
144	125, 127, 143	3bitr2d 310	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → ((((𝐴 × {𝐵}) ∘f · 𝐹)‘𝑧) ∈ (𝑦(,)+∞) ↔ (𝐹‘𝑧) ∈ ((𝑦 / 𝐵)(,)+∞)))
145	144	anassrs 473	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → ((((𝐴 × {𝐵}) ∘f · 𝐹)‘𝑧) ∈ (𝑦(,)+∞) ↔ (𝐹‘𝑧) ∈ ((𝑦 / 𝐵)(,)+∞)))
146	145	pm5.32da 590	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (((𝐴 × {𝐵}) ∘f · 𝐹)‘𝑧) ∈ (𝑦(,)+∞)) ↔ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑧) ∈ ((𝑦 / 𝐵)(,)+∞))))
147	62	ad2antrr 739	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝐴 × {𝐵}) ∘f · 𝐹) Fn 𝐴)
148	147, 64	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑧 ∈ (◡((𝐴 × {𝐵}) ∘f · 𝐹) “ (𝑦(,)+∞)) ↔ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (((𝐴 × {𝐵}) ∘f · 𝐹)‘𝑧) ∈ (𝑦(,)+∞))))
149	66	ad2antrr 739	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝐹 Fn 𝐴)
150	149, 97	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑧 ∈ (◡𝐹 “ ((𝑦 / 𝐵)(,)+∞)) ↔ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑧) ∈ ((𝑦 / 𝐵)(,)+∞))))
151	146, 148, 150	3bitr4d 314	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑧 ∈ (◡((𝐴 × {𝐵}) ∘f · 𝐹) “ (𝑦(,)+∞)) ↔ 𝑧 ∈ (◡𝐹 “ ((𝑦 / 𝐵)(,)+∞))))
152	151	eqrdv 2763	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (◡((𝐴 × {𝐵}) ∘f · 𝐹) “ (𝑦(,)+∞)) = (◡𝐹 “ ((𝑦 / 𝐵)(,)+∞)))
153	102	ad2antrr 739	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (◡𝐹 “ ((𝑦 / 𝐵)(,)+∞)) ∈ dom vol)
154	152, 153	eqeltrd 2865	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (◡((𝐴 × {𝐵}) ∘f · 𝐹) “ (𝑦(,)+∞)) ∈ dom vol)
155	124, 76	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → ((((𝐴 × {𝐵}) ∘f · 𝐹)‘𝑧) ∈ (-∞(,)𝑦) ↔ ((((𝐴 × {𝐵}) ∘f · 𝐹)‘𝑧) ∈ ℝ ∧ (((𝐴 × {𝐵}) ∘f · 𝐹)‘𝑧) < 𝑦)))
156	126	biantrurd 542	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → ((((𝐴 × {𝐵}) ∘f · 𝐹)‘𝑧) < 𝑦 ↔ ((((𝐴 × {𝐵}) ∘f · 𝐹)‘𝑧) ∈ ℝ ∧ (((𝐴 × {𝐵}) ∘f · 𝐹)‘𝑧) < 𝑦)))
157		ltmuldiv2 12104	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐹‘𝑧) ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) → ((𝐵 · (𝐹‘𝑧)) < 𝑦 ↔ (𝐹‘𝑧) < (𝑦 / 𝐵)))
158	128, 123, 134, 135, 157	syl112anc 1401	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → ((𝐵 · (𝐹‘𝑧)) < 𝑦 ↔ (𝐹‘𝑧) < (𝑦 / 𝐵)))
159	132	breq1d 5121	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → ((((𝐴 × {𝐵}) ∘f · 𝐹)‘𝑧) < 𝑦 ↔ (𝐵 · (𝐹‘𝑧)) < 𝑦))
160	141, 56	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → ((𝐹‘𝑧) ∈ (-∞(,)(𝑦 / 𝐵)) ↔ ((𝐹‘𝑧) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑧) < (𝑦 / 𝐵))))
161	128, 160	mpbirand 720	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → ((𝐹‘𝑧) ∈ (-∞(,)(𝑦 / 𝐵)) ↔ (𝐹‘𝑧) < (𝑦 / 𝐵)))
162	158, 159, 161	3bitr4d 314	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → ((((𝐴 × {𝐵}) ∘f · 𝐹)‘𝑧) < 𝑦 ↔ (𝐹‘𝑧) ∈ (-∞(,)(𝑦 / 𝐵))))
163	155, 156, 162	3bitr2d 310	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → ((((𝐴 × {𝐵}) ∘f · 𝐹)‘𝑧) ∈ (-∞(,)𝑦) ↔ (𝐹‘𝑧) ∈ (-∞(,)(𝑦 / 𝐵))))
164	163	anassrs 473	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → ((((𝐴 × {𝐵}) ∘f · 𝐹)‘𝑧) ∈ (-∞(,)𝑦) ↔ (𝐹‘𝑧) ∈ (-∞(,)(𝑦 / 𝐵))))
165	164	pm5.32da 590	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (((𝐴 × {𝐵}) ∘f · 𝐹)‘𝑧) ∈ (-∞(,)𝑦)) ↔ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑧) ∈ (-∞(,)(𝑦 / 𝐵)))))
166	147, 95	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑧 ∈ (◡((𝐴 × {𝐵}) ∘f · 𝐹) “ (-∞(,)𝑦)) ↔ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (((𝐴 × {𝐵}) ∘f · 𝐹)‘𝑧) ∈ (-∞(,)𝑦))))
167	149, 68	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑧 ∈ (◡𝐹 “ (-∞(,)(𝑦 / 𝐵))) ↔ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑧) ∈ (-∞(,)(𝑦 / 𝐵)))))
168	165, 166, 167	3bitr4d 314	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑧 ∈ (◡((𝐴 × {𝐵}) ∘f · 𝐹) “ (-∞(,)𝑦)) ↔ 𝑧 ∈ (◡𝐹 “ (-∞(,)(𝑦 / 𝐵)))))
169	168	eqrdv 2763	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (◡((𝐴 × {𝐵}) ∘f · 𝐹) “ (-∞(,)𝑦)) = (◡𝐹 “ (-∞(,)(𝑦 / 𝐵))))
170	73	ad2antrr 739	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (◡𝐹 “ (-∞(,)(𝑦 / 𝐵))) ∈ dom vol)
171	169, 170	eqeltrd 2865	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (◡((𝐴 × {𝐵}) ∘f · 𝐹) “ (-∞(,)𝑦)) ∈ dom vol)
172	121, 122, 154, 171	ismbf2d 25850	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) → ((𝐴 × {𝐵}) ∘f · 𝐹) ∈ MblFn)
173		0re 11225	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℝ
174		lttri4 11309	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (𝐵 < 0 ∨ 𝐵 = 0 ∨ 0 < 𝐵))
175	3, 173, 174	sylancl 598	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵 < 0 ∨ 𝐵 = 0 ∨ 0 < 𝐵))
176	105, 120, 172, 175	mpjao3dan 1459	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 × {𝐵}) ∘f · 𝐹) ∈ MblFn)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ w3o 1102   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  {csn 4591   class class class wbr 5111   × cxp 5661  ^◡ccnv 5662  dom cdm 5663   “ cima 5666   Fn wfn 6535  ⟶wf 6536  ‘cfv 6540  (class class class)co 7419   ∘_f cof 7682  ℂcc 11113  ℝcr 11114  0cc0 11115   · cmul 11120  +∞cpnf 11255  -∞cmnf 11256  ℝ^*cxr 11257   < clt 11258  -cneg 11457   / cdiv 11886  (,)cioo 13388  volcvol 25673  MblFncmbf 25824

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-inf2 9617  ax-cnex 11171  ax-resscn 11172  ax-1cn 11173  ax-icn 11174  ax-addcl 11175  ax-addrcl 11176  ax-mulcl 11177  ax-mulrcl 11178  ax-mulcom 11179  ax-addass 11180  ax-mulass 11181  ax-distr 11182  ax-i2m1 11183  ax-1ne0 11184  ax-1rid 11185  ax-rnegex 11186  ax-rrecex 11187  ax-cnre 11188  ax-pre-lttri 11189  ax-pre-lttrn 11190  ax-pre-ltadd 11191  ax-pre-mulgt0 11192  ax-pre-sup 11193

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-se 5617  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-of 7684  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-2o 8460  df-er 8700  df-map 8832  df-pm 8833  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-fin 8953  df-sup 9409  df-inf 9410  df-oi 9479  df-dju 9903  df-card 9941  df-pnf 11260  df-mnf 11261  df-xr 11262  df-ltxr 11263  df-le 11264  df-sub 11458  df-neg 11459  df-div 11887  df-nn 12249  df-2 12318  df-3 12319  df-n0 12520  df-z 12607  df-uz 12879  df-q 12989  df-rp 13033  df-xadd 13154  df-ioo 13392  df-ico 13394  df-icc 13395  df-fz 13552  df-fzo 13700  df-fl 13843  df-seq 14056  df-exp 14116  df-hash 14385  df-cj 15174  df-re 15175  df-im 15176  df-sqrt 15310  df-abs 15311  df-clim 15563  df-sum 15762  df-xmet 21565  df-met 21566  df-ovol 25674  df-vol 25675  df-mbf 25829

This theorem is used by:  mbfmulc2re  25858