| Step | Hyp | Ref | Expression | 
|---|
| 1 |  | remulcl 11241 | . . . . . 6
⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℝ) | 
| 2 | 1 | adantl 481 | . . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℝ) | 
| 3 |  | mbfmulc2re.2 | . . . . . 6
⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ) | 
| 4 |  | fconst6g 6796 | . . . . . 6
⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (𝐴 × {𝐵}):𝐴⟶ℝ) | 
| 5 | 3, 4 | syl 17 | . . . . 5
⊢ (𝜑 → (𝐴 × {𝐵}):𝐴⟶ℝ) | 
| 6 |  | mbfmulc2lem.3 | . . . . 5
⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℝ) | 
| 7 | 6 | fdmd 6745 | . . . . . 6
⊢ (𝜑 → dom 𝐹 = 𝐴) | 
| 8 |  | mbfmulc2re.1 | . . . . . . 7
⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ MblFn) | 
| 9 |  | mbfdm 25662 | . . . . . . 7
⊢ (𝐹 ∈ MblFn → dom 𝐹 ∈ dom
vol) | 
| 10 | 8, 9 | syl 17 | . . . . . 6
⊢ (𝜑 → dom 𝐹 ∈ dom vol) | 
| 11 | 7, 10 | eqeltrrd 2841 | . . . . 5
⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ dom vol) | 
| 12 |  | inidm 4226 | . . . . 5
⊢ (𝐴 ∩ 𝐴) = 𝐴 | 
| 13 | 2, 5, 6, 11, 11, 12 | off 7716 | . . . 4
⊢ (𝜑 → ((𝐴 × {𝐵}) ∘f · 𝐹):𝐴⟶ℝ) | 
| 14 | 13 | adantr 480 | . . 3
⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) → ((𝐴 × {𝐵}) ∘f · 𝐹):𝐴⟶ℝ) | 
| 15 | 11 | adantr 480 | . . 3
⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) → 𝐴 ∈ dom vol) | 
| 16 |  | simprl 770 | . . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → 𝑦 ∈ ℝ) | 
| 17 | 16 | rexrd 11312 | . . . . . . . . . 10
⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → 𝑦 ∈ ℝ*) | 
| 18 |  | elioopnf 13484 | . . . . . . . . . 10
⊢ (𝑦 ∈ ℝ*
→ ((((𝐴 × {𝐵}) ∘f ·
𝐹)‘𝑧) ∈ (𝑦(,)+∞) ↔ ((((𝐴 × {𝐵}) ∘f · 𝐹)‘𝑧) ∈ ℝ ∧ 𝑦 < (((𝐴 × {𝐵}) ∘f · 𝐹)‘𝑧)))) | 
| 19 | 17, 18 | syl 17 | . . . . . . . . 9
⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → ((((𝐴 × {𝐵}) ∘f · 𝐹)‘𝑧) ∈ (𝑦(,)+∞) ↔ ((((𝐴 × {𝐵}) ∘f · 𝐹)‘𝑧) ∈ ℝ ∧ 𝑦 < (((𝐴 × {𝐵}) ∘f · 𝐹)‘𝑧)))) | 
| 20 | 13 | ffvelcdmda 7103 | . . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (((𝐴 × {𝐵}) ∘f · 𝐹)‘𝑧) ∈ ℝ) | 
| 21 | 20 | ad2ant2rl 749 | . . . . . . . . . 10
⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → (((𝐴 × {𝐵}) ∘f · 𝐹)‘𝑧) ∈ ℝ) | 
| 22 | 21 | biantrurd 532 | . . . . . . . . 9
⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → (𝑦 < (((𝐴 × {𝐵}) ∘f · 𝐹)‘𝑧) ↔ ((((𝐴 × {𝐵}) ∘f · 𝐹)‘𝑧) ∈ ℝ ∧ 𝑦 < (((𝐴 × {𝐵}) ∘f · 𝐹)‘𝑧)))) | 
| 23 | 6 | ffvelcdmda 7103 | . . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑧) ∈ ℝ) | 
| 24 | 23 | ad2ant2rl 749 | . . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → (𝐹‘𝑧) ∈ ℝ) | 
| 25 | 24 | biantrurd 532 | . . . . . . . . . 10
⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → ((𝐹‘𝑧) < (𝑦 / 𝐵) ↔ ((𝐹‘𝑧) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑧) < (𝑦 / 𝐵)))) | 
| 26 |  | simprr 772 | . . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → 𝑧 ∈ 𝐴) | 
| 27 | 11 | ad2antrr 726 | . . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → 𝐴 ∈ dom vol) | 
| 28 | 3 | ad2antrr 726 | . . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → 𝐵 ∈ ℝ) | 
| 29 | 6 | ad2antrr 726 | . . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → 𝐹:𝐴⟶ℝ) | 
| 30 | 29 | ffnd 6736 | . . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → 𝐹 Fn 𝐴) | 
| 31 |  | eqidd 2737 | . . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑧) = (𝐹‘𝑧)) | 
| 32 | 27, 28, 30, 31 | ofc1 7726 | . . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (((𝐴 × {𝐵}) ∘f · 𝐹)‘𝑧) = (𝐵 · (𝐹‘𝑧))) | 
| 33 | 26, 32 | mpdan 687 | . . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → (((𝐴 × {𝐵}) ∘f · 𝐹)‘𝑧) = (𝐵 · (𝐹‘𝑧))) | 
| 34 | 33 | breq2d 5154 | . . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → (𝑦 < (((𝐴 × {𝐵}) ∘f · 𝐹)‘𝑧) ↔ 𝑦 < (𝐵 · (𝐹‘𝑧)))) | 
| 35 | 33, 21 | eqeltrrd 2841 | . . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → (𝐵 · (𝐹‘𝑧)) ∈ ℝ) | 
| 36 | 16, 35 | ltnegd 11842 | . . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → (𝑦 < (𝐵 · (𝐹‘𝑧)) ↔ -(𝐵 · (𝐹‘𝑧)) < -𝑦)) | 
| 37 | 28 | recnd 11290 | . . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → 𝐵 ∈ ℂ) | 
| 38 | 24 | recnd 11290 | . . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → (𝐹‘𝑧) ∈ ℂ) | 
| 39 | 37, 38 | mulneg1d 11717 | . . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → (-𝐵 · (𝐹‘𝑧)) = -(𝐵 · (𝐹‘𝑧))) | 
| 40 | 39 | breq1d 5152 | . . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → ((-𝐵 · (𝐹‘𝑧)) < -𝑦 ↔ -(𝐵 · (𝐹‘𝑧)) < -𝑦)) | 
| 41 | 16 | renegcld 11691 | . . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → -𝑦 ∈ ℝ) | 
| 42 | 28 | renegcld 11691 | . . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → -𝐵 ∈ ℝ) | 
| 43 |  | simplr 768 | . . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → 𝐵 < 0) | 
| 44 | 28 | lt0neg1d 11833 | . . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → (𝐵 < 0 ↔ 0 < -𝐵)) | 
| 45 | 43, 44 | mpbid 232 | . . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → 0 < -𝐵) | 
| 46 |  | ltmuldiv2 12143 | . . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝐹‘𝑧) ∈ ℝ ∧ -𝑦 ∈ ℝ ∧ (-𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < -𝐵)) → ((-𝐵 · (𝐹‘𝑧)) < -𝑦 ↔ (𝐹‘𝑧) < (-𝑦 / -𝐵))) | 
| 47 | 24, 41, 42, 45, 46 | syl112anc 1375 | . . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → ((-𝐵 · (𝐹‘𝑧)) < -𝑦 ↔ (𝐹‘𝑧) < (-𝑦 / -𝐵))) | 
| 48 | 36, 40, 47 | 3bitr2rd 308 | . . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → ((𝐹‘𝑧) < (-𝑦 / -𝐵) ↔ 𝑦 < (𝐵 · (𝐹‘𝑧)))) | 
| 49 | 16 | recnd 11290 | . . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → 𝑦 ∈ ℂ) | 
| 50 | 43 | lt0ne0d 11829 | . . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → 𝐵 ≠ 0) | 
| 51 | 49, 37, 50 | div2negd 12059 | . . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → (-𝑦 / -𝐵) = (𝑦 / 𝐵)) | 
| 52 | 51 | breq2d 5154 | . . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → ((𝐹‘𝑧) < (-𝑦 / -𝐵) ↔ (𝐹‘𝑧) < (𝑦 / 𝐵))) | 
| 53 | 34, 48, 52 | 3bitr2d 307 | . . . . . . . . . 10
⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → (𝑦 < (((𝐴 × {𝐵}) ∘f · 𝐹)‘𝑧) ↔ (𝐹‘𝑧) < (𝑦 / 𝐵))) | 
| 54 | 16, 28, 50 | redivcld 12096 | . . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → (𝑦 / 𝐵) ∈ ℝ) | 
| 55 | 54 | rexrd 11312 | . . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → (𝑦 / 𝐵) ∈
ℝ*) | 
| 56 |  | elioomnf 13485 | . . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝑦 / 𝐵) ∈ ℝ* → ((𝐹‘𝑧) ∈ (-∞(,)(𝑦 / 𝐵)) ↔ ((𝐹‘𝑧) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑧) < (𝑦 / 𝐵)))) | 
| 57 | 55, 56 | syl 17 | . . . . . . . . . 10
⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → ((𝐹‘𝑧) ∈ (-∞(,)(𝑦 / 𝐵)) ↔ ((𝐹‘𝑧) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑧) < (𝑦 / 𝐵)))) | 
| 58 | 25, 53, 57 | 3bitr4d 311 | . . . . . . . . 9
⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → (𝑦 < (((𝐴 × {𝐵}) ∘f · 𝐹)‘𝑧) ↔ (𝐹‘𝑧) ∈ (-∞(,)(𝑦 / 𝐵)))) | 
| 59 | 19, 22, 58 | 3bitr2d 307 | . . . . . . . 8
⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → ((((𝐴 × {𝐵}) ∘f · 𝐹)‘𝑧) ∈ (𝑦(,)+∞) ↔ (𝐹‘𝑧) ∈ (-∞(,)(𝑦 / 𝐵)))) | 
| 60 | 59 | anassrs 467 | . . . . . . 7
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → ((((𝐴 × {𝐵}) ∘f · 𝐹)‘𝑧) ∈ (𝑦(,)+∞) ↔ (𝐹‘𝑧) ∈ (-∞(,)(𝑦 / 𝐵)))) | 
| 61 | 60 | pm5.32da 579 | . . . . . 6
⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (((𝐴 × {𝐵}) ∘f · 𝐹)‘𝑧) ∈ (𝑦(,)+∞)) ↔ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑧) ∈ (-∞(,)(𝑦 / 𝐵))))) | 
| 62 | 13 | ffnd 6736 | . . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → ((𝐴 × {𝐵}) ∘f · 𝐹) Fn 𝐴) | 
| 63 | 62 | ad2antrr 726 | . . . . . . 7
⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝐴 × {𝐵}) ∘f · 𝐹) Fn 𝐴) | 
| 64 |  | elpreima 7077 | . . . . . . 7
⊢ (((𝐴 × {𝐵}) ∘f · 𝐹) Fn 𝐴 → (𝑧 ∈ (◡((𝐴 × {𝐵}) ∘f · 𝐹) “ (𝑦(,)+∞)) ↔ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (((𝐴 × {𝐵}) ∘f · 𝐹)‘𝑧) ∈ (𝑦(,)+∞)))) | 
| 65 | 63, 64 | syl 17 | . . . . . 6
⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑧 ∈ (◡((𝐴 × {𝐵}) ∘f · 𝐹) “ (𝑦(,)+∞)) ↔ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (((𝐴 × {𝐵}) ∘f · 𝐹)‘𝑧) ∈ (𝑦(,)+∞)))) | 
| 66 | 6 | ffnd 6736 | . . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn 𝐴) | 
| 67 | 66 | ad2antrr 726 | . . . . . . 7
⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝐹 Fn 𝐴) | 
| 68 |  | elpreima 7077 | . . . . . . 7
⊢ (𝐹 Fn 𝐴 → (𝑧 ∈ (◡𝐹 “ (-∞(,)(𝑦 / 𝐵))) ↔ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑧) ∈ (-∞(,)(𝑦 / 𝐵))))) | 
| 69 | 67, 68 | syl 17 | . . . . . 6
⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑧 ∈ (◡𝐹 “ (-∞(,)(𝑦 / 𝐵))) ↔ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑧) ∈ (-∞(,)(𝑦 / 𝐵))))) | 
| 70 | 61, 65, 69 | 3bitr4d 311 | . . . . 5
⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑧 ∈ (◡((𝐴 × {𝐵}) ∘f · 𝐹) “ (𝑦(,)+∞)) ↔ 𝑧 ∈ (◡𝐹 “ (-∞(,)(𝑦 / 𝐵))))) | 
| 71 | 70 | eqrdv 2734 | . . . 4
⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (◡((𝐴 × {𝐵}) ∘f · 𝐹) “ (𝑦(,)+∞)) = (◡𝐹 “ (-∞(,)(𝑦 / 𝐵)))) | 
| 72 |  | mbfima 25666 | . . . . . 6
⊢ ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ) → (◡𝐹 “ (-∞(,)(𝑦 / 𝐵))) ∈ dom vol) | 
| 73 | 8, 6, 72 | syl2anc 584 | . . . . 5
⊢ (𝜑 → (◡𝐹 “ (-∞(,)(𝑦 / 𝐵))) ∈ dom vol) | 
| 74 | 73 | ad2antrr 726 | . . . 4
⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (◡𝐹 “ (-∞(,)(𝑦 / 𝐵))) ∈ dom vol) | 
| 75 | 71, 74 | eqeltrd 2840 | . . 3
⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (◡((𝐴 × {𝐵}) ∘f · 𝐹) “ (𝑦(,)+∞)) ∈ dom
vol) | 
| 76 |  | elioomnf 13485 | . . . . . . . . . 10
⊢ (𝑦 ∈ ℝ*
→ ((((𝐴 × {𝐵}) ∘f ·
𝐹)‘𝑧) ∈ (-∞(,)𝑦) ↔ ((((𝐴 × {𝐵}) ∘f · 𝐹)‘𝑧) ∈ ℝ ∧ (((𝐴 × {𝐵}) ∘f · 𝐹)‘𝑧) < 𝑦))) | 
| 77 | 17, 76 | syl 17 | . . . . . . . . 9
⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → ((((𝐴 × {𝐵}) ∘f · 𝐹)‘𝑧) ∈ (-∞(,)𝑦) ↔ ((((𝐴 × {𝐵}) ∘f · 𝐹)‘𝑧) ∈ ℝ ∧ (((𝐴 × {𝐵}) ∘f · 𝐹)‘𝑧) < 𝑦))) | 
| 78 | 21 | biantrurd 532 | . . . . . . . . 9
⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → ((((𝐴 × {𝐵}) ∘f · 𝐹)‘𝑧) < 𝑦 ↔ ((((𝐴 × {𝐵}) ∘f · 𝐹)‘𝑧) ∈ ℝ ∧ (((𝐴 × {𝐵}) ∘f · 𝐹)‘𝑧) < 𝑦))) | 
| 79 | 24 | biantrurd 532 | . . . . . . . . . 10
⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → ((𝑦 / 𝐵) < (𝐹‘𝑧) ↔ ((𝐹‘𝑧) ∈ ℝ ∧ (𝑦 / 𝐵) < (𝐹‘𝑧)))) | 
| 80 | 33 | breq1d 5152 | . . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → ((((𝐴 × {𝐵}) ∘f · 𝐹)‘𝑧) < 𝑦 ↔ (𝐵 · (𝐹‘𝑧)) < 𝑦)) | 
| 81 | 39 | breq2d 5154 | . . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → (-𝑦 < (-𝐵 · (𝐹‘𝑧)) ↔ -𝑦 < -(𝐵 · (𝐹‘𝑧)))) | 
| 82 | 51 | breq1d 5152 | . . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → ((-𝑦 / -𝐵) < (𝐹‘𝑧) ↔ (𝑦 / 𝐵) < (𝐹‘𝑧))) | 
| 83 |  | ltdivmul 12144 | . . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((-𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑧) ∈ ℝ ∧ (-𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < -𝐵)) → ((-𝑦 / -𝐵) < (𝐹‘𝑧) ↔ -𝑦 < (-𝐵 · (𝐹‘𝑧)))) | 
| 84 | 41, 24, 42, 45, 83 | syl112anc 1375 | . . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → ((-𝑦 / -𝐵) < (𝐹‘𝑧) ↔ -𝑦 < (-𝐵 · (𝐹‘𝑧)))) | 
| 85 | 82, 84 | bitr3d 281 | . . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → ((𝑦 / 𝐵) < (𝐹‘𝑧) ↔ -𝑦 < (-𝐵 · (𝐹‘𝑧)))) | 
| 86 | 35, 16 | ltnegd 11842 | . . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → ((𝐵 · (𝐹‘𝑧)) < 𝑦 ↔ -𝑦 < -(𝐵 · (𝐹‘𝑧)))) | 
| 87 | 81, 85, 86 | 3bitr4d 311 | . . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → ((𝑦 / 𝐵) < (𝐹‘𝑧) ↔ (𝐵 · (𝐹‘𝑧)) < 𝑦)) | 
| 88 | 80, 87 | bitr4d 282 | . . . . . . . . . 10
⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → ((((𝐴 × {𝐵}) ∘f · 𝐹)‘𝑧) < 𝑦 ↔ (𝑦 / 𝐵) < (𝐹‘𝑧))) | 
| 89 |  | elioopnf 13484 | . . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝑦 / 𝐵) ∈ ℝ* → ((𝐹‘𝑧) ∈ ((𝑦 / 𝐵)(,)+∞) ↔ ((𝐹‘𝑧) ∈ ℝ ∧ (𝑦 / 𝐵) < (𝐹‘𝑧)))) | 
| 90 | 55, 89 | syl 17 | . . . . . . . . . 10
⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → ((𝐹‘𝑧) ∈ ((𝑦 / 𝐵)(,)+∞) ↔ ((𝐹‘𝑧) ∈ ℝ ∧ (𝑦 / 𝐵) < (𝐹‘𝑧)))) | 
| 91 | 79, 88, 90 | 3bitr4d 311 | . . . . . . . . 9
⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → ((((𝐴 × {𝐵}) ∘f · 𝐹)‘𝑧) < 𝑦 ↔ (𝐹‘𝑧) ∈ ((𝑦 / 𝐵)(,)+∞))) | 
| 92 | 77, 78, 91 | 3bitr2d 307 | . . . . . . . 8
⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → ((((𝐴 × {𝐵}) ∘f · 𝐹)‘𝑧) ∈ (-∞(,)𝑦) ↔ (𝐹‘𝑧) ∈ ((𝑦 / 𝐵)(,)+∞))) | 
| 93 | 92 | anassrs 467 | . . . . . . 7
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → ((((𝐴 × {𝐵}) ∘f · 𝐹)‘𝑧) ∈ (-∞(,)𝑦) ↔ (𝐹‘𝑧) ∈ ((𝑦 / 𝐵)(,)+∞))) | 
| 94 | 93 | pm5.32da 579 | . . . . . 6
⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (((𝐴 × {𝐵}) ∘f · 𝐹)‘𝑧) ∈ (-∞(,)𝑦)) ↔ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑧) ∈ ((𝑦 / 𝐵)(,)+∞)))) | 
| 95 |  | elpreima 7077 | . . . . . . 7
⊢ (((𝐴 × {𝐵}) ∘f · 𝐹) Fn 𝐴 → (𝑧 ∈ (◡((𝐴 × {𝐵}) ∘f · 𝐹) “ (-∞(,)𝑦)) ↔ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (((𝐴 × {𝐵}) ∘f · 𝐹)‘𝑧) ∈ (-∞(,)𝑦)))) | 
| 96 | 63, 95 | syl 17 | . . . . . 6
⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑧 ∈ (◡((𝐴 × {𝐵}) ∘f · 𝐹) “ (-∞(,)𝑦)) ↔ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (((𝐴 × {𝐵}) ∘f · 𝐹)‘𝑧) ∈ (-∞(,)𝑦)))) | 
| 97 |  | elpreima 7077 | . . . . . . 7
⊢ (𝐹 Fn 𝐴 → (𝑧 ∈ (◡𝐹 “ ((𝑦 / 𝐵)(,)+∞)) ↔ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑧) ∈ ((𝑦 / 𝐵)(,)+∞)))) | 
| 98 | 67, 97 | syl 17 | . . . . . 6
⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑧 ∈ (◡𝐹 “ ((𝑦 / 𝐵)(,)+∞)) ↔ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑧) ∈ ((𝑦 / 𝐵)(,)+∞)))) | 
| 99 | 94, 96, 98 | 3bitr4d 311 | . . . . 5
⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑧 ∈ (◡((𝐴 × {𝐵}) ∘f · 𝐹) “ (-∞(,)𝑦)) ↔ 𝑧 ∈ (◡𝐹 “ ((𝑦 / 𝐵)(,)+∞)))) | 
| 100 | 99 | eqrdv 2734 | . . . 4
⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (◡((𝐴 × {𝐵}) ∘f · 𝐹) “ (-∞(,)𝑦)) = (◡𝐹 “ ((𝑦 / 𝐵)(,)+∞))) | 
| 101 |  | mbfima 25666 | . . . . . 6
⊢ ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ) → (◡𝐹 “ ((𝑦 / 𝐵)(,)+∞)) ∈ dom
vol) | 
| 102 | 8, 6, 101 | syl2anc 584 | . . . . 5
⊢ (𝜑 → (◡𝐹 “ ((𝑦 / 𝐵)(,)+∞)) ∈ dom
vol) | 
| 103 | 102 | ad2antrr 726 | . . . 4
⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (◡𝐹 “ ((𝑦 / 𝐵)(,)+∞)) ∈ dom
vol) | 
| 104 | 100, 103 | eqeltrd 2840 | . . 3
⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (◡((𝐴 × {𝐵}) ∘f · 𝐹) “ (-∞(,)𝑦)) ∈ dom
vol) | 
| 105 | 14, 15, 75, 104 | ismbf2d 25676 | . 2
⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) → ((𝐴 × {𝐵}) ∘f · 𝐹) ∈ MblFn) | 
| 106 | 11 | adantr 480 | . . . 4
⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 = 0) → 𝐴 ∈ dom vol) | 
| 107 | 6 | adantr 480 | . . . 4
⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 = 0) → 𝐹:𝐴⟶ℝ) | 
| 108 |  | simpr 484 | . . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 = 0) → 𝐵 = 0) | 
| 109 |  | 0cn 11254 | . . . . 5
⊢ 0 ∈
ℂ | 
| 110 | 108, 109 | eqeltrdi 2848 | . . . 4
⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 = 0) → 𝐵 ∈ ℂ) | 
| 111 |  | 0cnd 11255 | . . . 4
⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 = 0) → 0 ∈
ℂ) | 
| 112 |  | simplr 768 | . . . . . 6
⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 = 0) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝐵 = 0) | 
| 113 | 112 | oveq1d 7447 | . . . . 5
⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 = 0) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐵 · 𝑥) = (0 · 𝑥)) | 
| 114 |  | mul02lem2 11439 | . . . . . 6
⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (0
· 𝑥) =
0) | 
| 115 | 114 | adantl 481 | . . . . 5
⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 = 0) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (0 · 𝑥) = 0) | 
| 116 | 113, 115 | eqtrd 2776 | . . . 4
⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 = 0) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐵 · 𝑥) = 0) | 
| 117 | 106, 107,
110, 111, 116 | caofid2 7734 | . . 3
⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 = 0) → ((𝐴 × {𝐵}) ∘f · 𝐹) = (𝐴 × {0})) | 
| 118 |  | mbfconst 25669 | . . . 4
⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 0 ∈
ℂ) → (𝐴 ×
{0}) ∈ MblFn) | 
| 119 | 106, 109,
118 | sylancl 586 | . . 3
⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 = 0) → (𝐴 × {0}) ∈ MblFn) | 
| 120 | 117, 119 | eqeltrd 2840 | . 2
⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 = 0) → ((𝐴 × {𝐵}) ∘f · 𝐹) ∈ MblFn) | 
| 121 | 13 | adantr 480 | . . 3
⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) → ((𝐴 × {𝐵}) ∘f · 𝐹):𝐴⟶ℝ) | 
| 122 | 11 | adantr 480 | . . 3
⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) → 𝐴 ∈ dom vol) | 
| 123 |  | simprl 770 | . . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → 𝑦 ∈ ℝ) | 
| 124 | 123 | rexrd 11312 | . . . . . . . . . 10
⊢ (((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → 𝑦 ∈ ℝ*) | 
| 125 | 124, 18 | syl 17 | . . . . . . . . 9
⊢ (((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → ((((𝐴 × {𝐵}) ∘f · 𝐹)‘𝑧) ∈ (𝑦(,)+∞) ↔ ((((𝐴 × {𝐵}) ∘f · 𝐹)‘𝑧) ∈ ℝ ∧ 𝑦 < (((𝐴 × {𝐵}) ∘f · 𝐹)‘𝑧)))) | 
| 126 | 20 | ad2ant2rl 749 | . . . . . . . . . 10
⊢ (((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → (((𝐴 × {𝐵}) ∘f · 𝐹)‘𝑧) ∈ ℝ) | 
| 127 | 126 | biantrurd 532 | . . . . . . . . 9
⊢ (((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → (𝑦 < (((𝐴 × {𝐵}) ∘f · 𝐹)‘𝑧) ↔ ((((𝐴 × {𝐵}) ∘f · 𝐹)‘𝑧) ∈ ℝ ∧ 𝑦 < (((𝐴 × {𝐵}) ∘f · 𝐹)‘𝑧)))) | 
| 128 | 23 | ad2ant2rl 749 | . . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → (𝐹‘𝑧) ∈ ℝ) | 
| 129 | 128 | biantrurd 532 | . . . . . . . . . 10
⊢ (((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → ((𝑦 / 𝐵) < (𝐹‘𝑧) ↔ ((𝐹‘𝑧) ∈ ℝ ∧ (𝑦 / 𝐵) < (𝐹‘𝑧)))) | 
| 130 |  | eqidd 2737 | . . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑧) = (𝐹‘𝑧)) | 
| 131 | 11, 3, 66, 130 | ofc1 7726 | . . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (((𝐴 × {𝐵}) ∘f · 𝐹)‘𝑧) = (𝐵 · (𝐹‘𝑧))) | 
| 132 | 131 | ad2ant2rl 749 | . . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → (((𝐴 × {𝐵}) ∘f · 𝐹)‘𝑧) = (𝐵 · (𝐹‘𝑧))) | 
| 133 | 132 | breq2d 5154 | . . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → (𝑦 < (((𝐴 × {𝐵}) ∘f · 𝐹)‘𝑧) ↔ 𝑦 < (𝐵 · (𝐹‘𝑧)))) | 
| 134 | 3 | ad2antrr 726 | . . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → 𝐵 ∈ ℝ) | 
| 135 |  | simplr 768 | . . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → 0 < 𝐵) | 
| 136 |  | ltdivmul 12144 | . . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑧) ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) → ((𝑦 / 𝐵) < (𝐹‘𝑧) ↔ 𝑦 < (𝐵 · (𝐹‘𝑧)))) | 
| 137 | 123, 128,
134, 135, 136 | syl112anc 1375 | . . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → ((𝑦 / 𝐵) < (𝐹‘𝑧) ↔ 𝑦 < (𝐵 · (𝐹‘𝑧)))) | 
| 138 | 133, 137 | bitr4d 282 | . . . . . . . . . 10
⊢ (((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → (𝑦 < (((𝐴 × {𝐵}) ∘f · 𝐹)‘𝑧) ↔ (𝑦 / 𝐵) < (𝐹‘𝑧))) | 
| 139 | 134, 135 | elrpd 13075 | . . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → 𝐵 ∈
ℝ+) | 
| 140 | 123, 139 | rerpdivcld 13109 | . . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → (𝑦 / 𝐵) ∈ ℝ) | 
| 141 | 140 | rexrd 11312 | . . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → (𝑦 / 𝐵) ∈
ℝ*) | 
| 142 | 141, 89 | syl 17 | . . . . . . . . . 10
⊢ (((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → ((𝐹‘𝑧) ∈ ((𝑦 / 𝐵)(,)+∞) ↔ ((𝐹‘𝑧) ∈ ℝ ∧ (𝑦 / 𝐵) < (𝐹‘𝑧)))) | 
| 143 | 129, 138,
142 | 3bitr4d 311 | . . . . . . . . 9
⊢ (((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → (𝑦 < (((𝐴 × {𝐵}) ∘f · 𝐹)‘𝑧) ↔ (𝐹‘𝑧) ∈ ((𝑦 / 𝐵)(,)+∞))) | 
| 144 | 125, 127,
143 | 3bitr2d 307 | . . . . . . . 8
⊢ (((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → ((((𝐴 × {𝐵}) ∘f · 𝐹)‘𝑧) ∈ (𝑦(,)+∞) ↔ (𝐹‘𝑧) ∈ ((𝑦 / 𝐵)(,)+∞))) | 
| 145 | 144 | anassrs 467 | . . . . . . 7
⊢ ((((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → ((((𝐴 × {𝐵}) ∘f · 𝐹)‘𝑧) ∈ (𝑦(,)+∞) ↔ (𝐹‘𝑧) ∈ ((𝑦 / 𝐵)(,)+∞))) | 
| 146 | 145 | pm5.32da 579 | . . . . . 6
⊢ (((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (((𝐴 × {𝐵}) ∘f · 𝐹)‘𝑧) ∈ (𝑦(,)+∞)) ↔ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑧) ∈ ((𝑦 / 𝐵)(,)+∞)))) | 
| 147 | 62 | ad2antrr 726 | . . . . . . 7
⊢ (((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝐴 × {𝐵}) ∘f · 𝐹) Fn 𝐴) | 
| 148 | 147, 64 | syl 17 | . . . . . 6
⊢ (((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑧 ∈ (◡((𝐴 × {𝐵}) ∘f · 𝐹) “ (𝑦(,)+∞)) ↔ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (((𝐴 × {𝐵}) ∘f · 𝐹)‘𝑧) ∈ (𝑦(,)+∞)))) | 
| 149 | 66 | ad2antrr 726 | . . . . . . 7
⊢ (((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝐹 Fn 𝐴) | 
| 150 | 149, 97 | syl 17 | . . . . . 6
⊢ (((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑧 ∈ (◡𝐹 “ ((𝑦 / 𝐵)(,)+∞)) ↔ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑧) ∈ ((𝑦 / 𝐵)(,)+∞)))) | 
| 151 | 146, 148,
150 | 3bitr4d 311 | . . . . 5
⊢ (((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑧 ∈ (◡((𝐴 × {𝐵}) ∘f · 𝐹) “ (𝑦(,)+∞)) ↔ 𝑧 ∈ (◡𝐹 “ ((𝑦 / 𝐵)(,)+∞)))) | 
| 152 | 151 | eqrdv 2734 | . . . 4
⊢ (((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (◡((𝐴 × {𝐵}) ∘f · 𝐹) “ (𝑦(,)+∞)) = (◡𝐹 “ ((𝑦 / 𝐵)(,)+∞))) | 
| 153 | 102 | ad2antrr 726 | . . . 4
⊢ (((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (◡𝐹 “ ((𝑦 / 𝐵)(,)+∞)) ∈ dom
vol) | 
| 154 | 152, 153 | eqeltrd 2840 | . . 3
⊢ (((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (◡((𝐴 × {𝐵}) ∘f · 𝐹) “ (𝑦(,)+∞)) ∈ dom
vol) | 
| 155 | 124, 76 | syl 17 | . . . . . . . . 9
⊢ (((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → ((((𝐴 × {𝐵}) ∘f · 𝐹)‘𝑧) ∈ (-∞(,)𝑦) ↔ ((((𝐴 × {𝐵}) ∘f · 𝐹)‘𝑧) ∈ ℝ ∧ (((𝐴 × {𝐵}) ∘f · 𝐹)‘𝑧) < 𝑦))) | 
| 156 | 126 | biantrurd 532 | . . . . . . . . 9
⊢ (((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → ((((𝐴 × {𝐵}) ∘f · 𝐹)‘𝑧) < 𝑦 ↔ ((((𝐴 × {𝐵}) ∘f · 𝐹)‘𝑧) ∈ ℝ ∧ (((𝐴 × {𝐵}) ∘f · 𝐹)‘𝑧) < 𝑦))) | 
| 157 |  | ltmuldiv2 12143 | . . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝐹‘𝑧) ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) → ((𝐵 · (𝐹‘𝑧)) < 𝑦 ↔ (𝐹‘𝑧) < (𝑦 / 𝐵))) | 
| 158 | 128, 123,
134, 135, 157 | syl112anc 1375 | . . . . . . . . . 10
⊢ (((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → ((𝐵 · (𝐹‘𝑧)) < 𝑦 ↔ (𝐹‘𝑧) < (𝑦 / 𝐵))) | 
| 159 | 132 | breq1d 5152 | . . . . . . . . . 10
⊢ (((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → ((((𝐴 × {𝐵}) ∘f · 𝐹)‘𝑧) < 𝑦 ↔ (𝐵 · (𝐹‘𝑧)) < 𝑦)) | 
| 160 | 141, 56 | syl 17 | . . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → ((𝐹‘𝑧) ∈ (-∞(,)(𝑦 / 𝐵)) ↔ ((𝐹‘𝑧) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑧) < (𝑦 / 𝐵)))) | 
| 161 | 128, 160 | mpbirand 707 | . . . . . . . . . 10
⊢ (((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → ((𝐹‘𝑧) ∈ (-∞(,)(𝑦 / 𝐵)) ↔ (𝐹‘𝑧) < (𝑦 / 𝐵))) | 
| 162 | 158, 159,
161 | 3bitr4d 311 | . . . . . . . . 9
⊢ (((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → ((((𝐴 × {𝐵}) ∘f · 𝐹)‘𝑧) < 𝑦 ↔ (𝐹‘𝑧) ∈ (-∞(,)(𝑦 / 𝐵)))) | 
| 163 | 155, 156,
162 | 3bitr2d 307 | . . . . . . . 8
⊢ (((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → ((((𝐴 × {𝐵}) ∘f · 𝐹)‘𝑧) ∈ (-∞(,)𝑦) ↔ (𝐹‘𝑧) ∈ (-∞(,)(𝑦 / 𝐵)))) | 
| 164 | 163 | anassrs 467 | . . . . . . 7
⊢ ((((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → ((((𝐴 × {𝐵}) ∘f · 𝐹)‘𝑧) ∈ (-∞(,)𝑦) ↔ (𝐹‘𝑧) ∈ (-∞(,)(𝑦 / 𝐵)))) | 
| 165 | 164 | pm5.32da 579 | . . . . . 6
⊢ (((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (((𝐴 × {𝐵}) ∘f · 𝐹)‘𝑧) ∈ (-∞(,)𝑦)) ↔ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑧) ∈ (-∞(,)(𝑦 / 𝐵))))) | 
| 166 | 147, 95 | syl 17 | . . . . . 6
⊢ (((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑧 ∈ (◡((𝐴 × {𝐵}) ∘f · 𝐹) “ (-∞(,)𝑦)) ↔ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (((𝐴 × {𝐵}) ∘f · 𝐹)‘𝑧) ∈ (-∞(,)𝑦)))) | 
| 167 | 149, 68 | syl 17 | . . . . . 6
⊢ (((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑧 ∈ (◡𝐹 “ (-∞(,)(𝑦 / 𝐵))) ↔ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑧) ∈ (-∞(,)(𝑦 / 𝐵))))) | 
| 168 | 165, 166,
167 | 3bitr4d 311 | . . . . 5
⊢ (((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑧 ∈ (◡((𝐴 × {𝐵}) ∘f · 𝐹) “ (-∞(,)𝑦)) ↔ 𝑧 ∈ (◡𝐹 “ (-∞(,)(𝑦 / 𝐵))))) | 
| 169 | 168 | eqrdv 2734 | . . . 4
⊢ (((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (◡((𝐴 × {𝐵}) ∘f · 𝐹) “ (-∞(,)𝑦)) = (◡𝐹 “ (-∞(,)(𝑦 / 𝐵)))) | 
| 170 | 73 | ad2antrr 726 | . . . 4
⊢ (((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (◡𝐹 “ (-∞(,)(𝑦 / 𝐵))) ∈ dom vol) | 
| 171 | 169, 170 | eqeltrd 2840 | . . 3
⊢ (((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (◡((𝐴 × {𝐵}) ∘f · 𝐹) “ (-∞(,)𝑦)) ∈ dom
vol) | 
| 172 | 121, 122,
154, 171 | ismbf2d 25676 | . 2
⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) → ((𝐴 × {𝐵}) ∘f · 𝐹) ∈ MblFn) | 
| 173 |  | 0re 11264 | . . 3
⊢ 0 ∈
ℝ | 
| 174 |  | lttri4 11346 | . . 3
⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ∈
ℝ) → (𝐵 < 0
∨ 𝐵 = 0 ∨ 0 <
𝐵)) | 
| 175 | 3, 173, 174 | sylancl 586 | . 2
⊢ (𝜑 → (𝐵 < 0 ∨ 𝐵 = 0 ∨ 0 < 𝐵)) | 
| 176 | 105, 120,
172, 175 | mpjao3dan 1433 | 1
⊢ (𝜑 → ((𝐴 × {𝐵}) ∘f · 𝐹) ∈ MblFn) |