![]() |
Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > mul2lt0rlt0 | Structured version Visualization version GIF version |
Description: If the result of a multiplication is strictly negative, then multiplicands are of different signs. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Sep-2018.) |
Ref | Expression |
---|---|
mul2lt0.1 | โข (๐ โ ๐ด โ โ) |
mul2lt0.2 | โข (๐ โ ๐ต โ โ) |
mul2lt0.3 | โข (๐ โ (๐ด ยท ๐ต) < 0) |
Ref | Expression |
---|---|
mul2lt0rlt0 | โข ((๐ โง ๐ต < 0) โ 0 < ๐ด) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | mul2lt0.1 | . . . . . 6 โข (๐ โ ๐ด โ โ) | |
2 | mul2lt0.2 | . . . . . 6 โข (๐ โ ๐ต โ โ) | |
3 | 1, 2 | remulcld 11186 | . . . . 5 โข (๐ โ (๐ด ยท ๐ต) โ โ) |
4 | 3 | adantr 482 | . . . 4 โข ((๐ โง ๐ต < 0) โ (๐ด ยท ๐ต) โ โ) |
5 | 0red 11159 | . . . 4 โข ((๐ โง ๐ต < 0) โ 0 โ โ) | |
6 | negelrp 12949 | . . . . . 6 โข (๐ต โ โ โ (-๐ต โ โ+ โ ๐ต < 0)) | |
7 | 2, 6 | syl 17 | . . . . 5 โข (๐ โ (-๐ต โ โ+ โ ๐ต < 0)) |
8 | 7 | biimpar 479 | . . . 4 โข ((๐ โง ๐ต < 0) โ -๐ต โ โ+) |
9 | mul2lt0.3 | . . . . 5 โข (๐ โ (๐ด ยท ๐ต) < 0) | |
10 | 9 | adantr 482 | . . . 4 โข ((๐ โง ๐ต < 0) โ (๐ด ยท ๐ต) < 0) |
11 | 4, 5, 8, 10 | ltdiv1dd 13015 | . . 3 โข ((๐ โง ๐ต < 0) โ ((๐ด ยท ๐ต) / -๐ต) < (0 / -๐ต)) |
12 | 1 | recnd 11184 | . . . . . . 7 โข (๐ โ ๐ด โ โ) |
13 | 12 | adantr 482 | . . . . . 6 โข ((๐ โง ๐ต < 0) โ ๐ด โ โ) |
14 | 2 | recnd 11184 | . . . . . . 7 โข (๐ โ ๐ต โ โ) |
15 | 14 | adantr 482 | . . . . . 6 โข ((๐ โง ๐ต < 0) โ ๐ต โ โ) |
16 | 13, 15 | mulcld 11176 | . . . . 5 โข ((๐ โง ๐ต < 0) โ (๐ด ยท ๐ต) โ โ) |
17 | simpr 486 | . . . . . 6 โข ((๐ โง ๐ต < 0) โ ๐ต < 0) | |
18 | 17 | lt0ne0d 11721 | . . . . 5 โข ((๐ โง ๐ต < 0) โ ๐ต โ 0) |
19 | 16, 15, 18 | divneg2d 11946 | . . . 4 โข ((๐ โง ๐ต < 0) โ -((๐ด ยท ๐ต) / ๐ต) = ((๐ด ยท ๐ต) / -๐ต)) |
20 | 13, 15, 18 | divcan4d 11938 | . . . . 5 โข ((๐ โง ๐ต < 0) โ ((๐ด ยท ๐ต) / ๐ต) = ๐ด) |
21 | 20 | negeqd 11396 | . . . 4 โข ((๐ โง ๐ต < 0) โ -((๐ด ยท ๐ต) / ๐ต) = -๐ด) |
22 | 19, 21 | eqtr3d 2779 | . . 3 โข ((๐ โง ๐ต < 0) โ ((๐ด ยท ๐ต) / -๐ต) = -๐ด) |
23 | 15 | negcld 11500 | . . . 4 โข ((๐ โง ๐ต < 0) โ -๐ต โ โ) |
24 | 15, 18 | negne0d 11511 | . . . 4 โข ((๐ โง ๐ต < 0) โ -๐ต โ 0) |
25 | 23, 24 | div0d 11931 | . . 3 โข ((๐ โง ๐ต < 0) โ (0 / -๐ต) = 0) |
26 | 11, 22, 25 | 3brtr3d 5137 | . 2 โข ((๐ โง ๐ต < 0) โ -๐ด < 0) |
27 | 1 | adantr 482 | . . 3 โข ((๐ โง ๐ต < 0) โ ๐ด โ โ) |
28 | 27 | lt0neg2d 11726 | . 2 โข ((๐ โง ๐ต < 0) โ (0 < ๐ด โ -๐ด < 0)) |
29 | 26, 28 | mpbird 257 | 1 โข ((๐ โง ๐ต < 0) โ 0 < ๐ด) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 โ wb 205 โง wa 397 โ wcel 2107 class class class wbr 5106 (class class class)co 7358 โcc 11050 โcr 11051 0cc0 11052 ยท cmul 11057 < clt 11190 -cneg 11387 / cdiv 11813 โ+crp 12916 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1798 ax-4 1812 ax-5 1914 ax-6 1972 ax-7 2012 ax-8 2109 ax-9 2117 ax-10 2138 ax-11 2155 ax-12 2172 ax-ext 2708 ax-sep 5257 ax-nul 5264 ax-pow 5321 ax-pr 5385 ax-un 7673 ax-resscn 11109 ax-1cn 11110 ax-icn 11111 ax-addcl 11112 ax-addrcl 11113 ax-mulcl 11114 ax-mulrcl 11115 ax-mulcom 11116 ax-addass 11117 ax-mulass 11118 ax-distr 11119 ax-i2m1 11120 ax-1ne0 11121 ax-1rid 11122 ax-rnegex 11123 ax-rrecex 11124 ax-cnre 11125 ax-pre-lttri 11126 ax-pre-lttrn 11127 ax-pre-ltadd 11128 ax-pre-mulgt0 11129 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 398 df-or 847 df-3or 1089 df-3an 1090 df-tru 1545 df-fal 1555 df-ex 1783 df-nf 1787 df-sb 2069 df-mo 2539 df-eu 2568 df-clab 2715 df-cleq 2729 df-clel 2815 df-nfc 2890 df-ne 2945 df-nel 3051 df-ral 3066 df-rex 3075 df-rmo 3354 df-reu 3355 df-rab 3409 df-v 3448 df-sbc 3741 df-csb 3857 df-dif 3914 df-un 3916 df-in 3918 df-ss 3928 df-nul 4284 df-if 4488 df-pw 4563 df-sn 4588 df-pr 4590 df-op 4594 df-uni 4867 df-br 5107 df-opab 5169 df-mpt 5190 df-id 5532 df-po 5546 df-so 5547 df-xp 5640 df-rel 5641 df-cnv 5642 df-co 5643 df-dm 5644 df-rn 5645 df-res 5646 df-ima 5647 df-iota 6449 df-fun 6499 df-fn 6500 df-f 6501 df-f1 6502 df-fo 6503 df-f1o 6504 df-fv 6505 df-riota 7314 df-ov 7361 df-oprab 7362 df-mpo 7363 df-er 8649 df-en 8885 df-dom 8886 df-sdom 8887 df-pnf 11192 df-mnf 11193 df-xr 11194 df-ltxr 11195 df-le 11196 df-sub 11388 df-neg 11389 df-div 11814 df-rp 12917 |
This theorem is referenced by: mul2lt0llt0 13020 mul2lt0bi 13022 sgnmul 33145 signsply0 33166 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |