Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mul2lt0rlt0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mul2lt0rlt0 12488
 Description: If the result of a multiplication is strictly negative, then multiplicands are of different signs. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Sep-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
mul2lt0.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
mul2lt0.2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
mul2lt0.3 (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) < 0)
Assertion
Ref Expression
mul2lt0rlt0 ((𝜑𝐵 < 0) → 0 < 𝐴)

Proof of Theorem mul2lt0rlt0
StepHypRef Expression
1 mul2lt0.1 . . . . . 6 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
2 mul2lt0.2 . . . . . 6 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
31, 2remulcld 10669 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ)
43adantr 484 . . . 4 ((𝜑𝐵 < 0) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ)
5 0red 10642 . . . 4 ((𝜑𝐵 < 0) → 0 ∈ ℝ)
6 negelrp 12419 . . . . . 6 (𝐵 ∈ ℝ → (-𝐵 ∈ ℝ+𝐵 < 0))
72, 6syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (-𝐵 ∈ ℝ+𝐵 < 0))
87biimpar 481 . . . 4 ((𝜑𝐵 < 0) → -𝐵 ∈ ℝ+)
9 mul2lt0.3 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) < 0)
109adantr 484 . . . 4 ((𝜑𝐵 < 0) → (𝐴 · 𝐵) < 0)
114, 5, 8, 10ltdiv1dd 12485 . . 3 ((𝜑𝐵 < 0) → ((𝐴 · 𝐵) / -𝐵) < (0 / -𝐵))
121recnd 10667 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
1312adantr 484 . . . . . 6 ((𝜑𝐵 < 0) → 𝐴 ∈ ℂ)
142recnd 10667 . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
1514adantr 484 . . . . . 6 ((𝜑𝐵 < 0) → 𝐵 ∈ ℂ)
1613, 15mulcld 10659 . . . . 5 ((𝜑𝐵 < 0) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℂ)
17 simpr 488 . . . . . 6 ((𝜑𝐵 < 0) → 𝐵 < 0)
1817lt0ne0d 11203 . . . . 5 ((𝜑𝐵 < 0) → 𝐵 ≠ 0)
1916, 15, 18divneg2d 11428 . . . 4 ((𝜑𝐵 < 0) → -((𝐴 · 𝐵) / 𝐵) = ((𝐴 · 𝐵) / -𝐵))
2013, 15, 18divcan4d 11420 . . . . 5 ((𝜑𝐵 < 0) → ((𝐴 · 𝐵) / 𝐵) = 𝐴)
2120negeqd 10878 . . . 4 ((𝜑𝐵 < 0) → -((𝐴 · 𝐵) / 𝐵) = -𝐴)
2219, 21eqtr3d 2861 . . 3 ((𝜑𝐵 < 0) → ((𝐴 · 𝐵) / -𝐵) = -𝐴)
2315negcld 10982 . . . 4 ((𝜑𝐵 < 0) → -𝐵 ∈ ℂ)
2415, 18negne0d 10993 . . . 4 ((𝜑𝐵 < 0) → -𝐵 ≠ 0)
2523, 24div0d 11413 . . 3 ((𝜑𝐵 < 0) → (0 / -𝐵) = 0)
2611, 22, 253brtr3d 5083 . 2 ((𝜑𝐵 < 0) → -𝐴 < 0)
271adantr 484 . . 3 ((𝜑𝐵 < 0) → 𝐴 ∈ ℝ)
2827lt0neg2d 11208 . 2 ((𝜑𝐵 < 0) → (0 < 𝐴 ↔ -𝐴 < 0))
2926, 28mpbird 260 1 ((𝜑𝐵 < 0) → 0 < 𝐴)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∈ wcel 2115   class class class wbr 5052  (class class class)co 7149  ℂcc 10533  ℝcr 10534  0cc0 10535   · cmul 10540   < clt 10673  -cneg 10869   / cdiv 11295  ℝ+crp 12386 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7455  ax-resscn 10592  ax-1cn 10593  ax-icn 10594  ax-addcl 10595  ax-addrcl 10596  ax-mulcl 10597  ax-mulrcl 10598  ax-mulcom 10599  ax-addass 10600  ax-mulass 10601  ax-distr 10602  ax-i2m1 10603  ax-1ne0 10604  ax-1rid 10605  ax-rnegex 10606  ax-rrecex 10607  ax-cnre 10608  ax-pre-lttri 10609  ax-pre-lttrn 10610  ax-pre-ltadd 10611  ax-pre-mulgt0 10612 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-op 4557  df-uni 4825  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-id 5447  df-po 5461  df-so 5462  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-riota 7107  df-ov 7152  df-oprab 7153  df-mpo 7154  df-er 8285  df-en 8506  df-dom 8507  df-sdom 8508  df-pnf 10675  df-mnf 10676  df-xr 10677  df-ltxr 10678  df-le 10679  df-sub 10870  df-neg 10871  df-div 11296  df-rp 12387 This theorem is referenced by:  mul2lt0llt0  12490  mul2lt0bi  12492  sgnmul  31857  signsply0  31878
 Copyright terms: Public domain W3C validator