Theorem mul2lt0rlt0 12991

Description: If the result of a multiplication is strictly negative, then multiplicands are of different signs. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Sep-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
mul2lt0.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
mul2lt0.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
mul2lt0.3	⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) < 0)

Assertion

Ref	Expression
mul2lt0rlt0	⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) → 0 < 𝐴)

Proof of Theorem mul2lt0rlt0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mul2lt0.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		mul2lt0.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3	1, 2	remulcld 11139	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ)
4	3	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ)
5		0red 11112	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) → 0 ∈ ℝ)
6		negelrp 12922	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (-𝐵 ∈ ℝ+ ↔ 𝐵 < 0))
7	2, 6	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (-𝐵 ∈ ℝ+ ↔ 𝐵 < 0))
8	7	biimpar 477	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) → -𝐵 ∈ ℝ+)
9		mul2lt0.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) < 0)
10	9	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) → (𝐴 · 𝐵) < 0)
11	4, 5, 8, 10	ltdiv1dd 12988	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) → ((𝐴 · 𝐵) / -𝐵) < (0 / -𝐵))
12	1	recnd 11137	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
13	12	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) → 𝐴 ∈ ℂ)
14	2	recnd 11137	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
15	14	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) → 𝐵 ∈ ℂ)
16	13, 15	mulcld 11129	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℂ)
17		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) → 𝐵 < 0)
18	17	lt0ne0d 11679	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) → 𝐵 ≠ 0)
19	16, 15, 18	divneg2d 11908	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) → -((𝐴 · 𝐵) / 𝐵) = ((𝐴 · 𝐵) / -𝐵))
20	13, 15, 18	divcan4d 11900	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) → ((𝐴 · 𝐵) / 𝐵) = 𝐴)
21	20	negeqd 11351	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) → -((𝐴 · 𝐵) / 𝐵) = -𝐴)
22	19, 21	eqtr3d 2768	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) → ((𝐴 · 𝐵) / -𝐵) = -𝐴)
23	15	negcld 11456	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) → -𝐵 ∈ ℂ)
24	15, 18	negne0d 11467	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) → -𝐵 ≠ 0)
25	23, 24	div0d 11893	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) → (0 / -𝐵) = 0)
26	11, 22, 25	3brtr3d 5122	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) → -𝐴 < 0)
27	1	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) → 𝐴 ∈ ℝ)
28	27	lt0neg2d 11684	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) → (0 < 𝐴 ↔ -𝐴 < 0))
29	26, 28	mpbird 257	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) → 0 < 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2111   class class class wbr 5091  (class class class)co 7346  ℂcc 11001  ℝcr 11002  0cc0 11003   · cmul 11008   < clt 11143  -cneg 11342   / cdiv 11771  ℝ⁺crp 12887

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668  ax-resscn 11060  ax-1cn 11061  ax-icn 11062  ax-addcl 11063  ax-addrcl 11064  ax-mulcl 11065  ax-mulrcl 11066  ax-mulcom 11067  ax-addass 11068  ax-mulass 11069  ax-distr 11070  ax-i2m1 11071  ax-1ne0 11072  ax-1rid 11073  ax-rnegex 11074  ax-rrecex 11075  ax-cnre 11076  ax-pre-lttri 11077  ax-pre-lttrn 11078  ax-pre-ltadd 11079  ax-pre-mulgt0 11080

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-id 5511  df-po 5524  df-so 5525  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-pnf 11145  df-mnf 11146  df-xr 11147  df-ltxr 11148  df-le 11149  df-sub 11343  df-neg 11344  df-div 11772  df-rp 12888

This theorem is referenced by:  mul2lt0llt0  12993  mul2lt0bi  12995  sgnmul  32813  signsply0  34559