MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mul2lt0rlt0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mul2lt0rlt0 13018
Description: If the result of a multiplication is strictly negative, then multiplicands are of different signs. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Sep-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
mul2lt0.1 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
mul2lt0.2 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
mul2lt0.3 (๐œ‘ โ†’ (๐ด ยท ๐ต) < 0)
Assertion
Ref Expression
mul2lt0rlt0 ((๐œ‘ โˆง ๐ต < 0) โ†’ 0 < ๐ด)

Proof of Theorem mul2lt0rlt0
StepHypRef Expression
1 mul2lt0.1 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
2 mul2lt0.2 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
31, 2remulcld 11186 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐ด ยท ๐ต) โˆˆ โ„)
43adantr 482 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐ต < 0) โ†’ (๐ด ยท ๐ต) โˆˆ โ„)
5 0red 11159 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐ต < 0) โ†’ 0 โˆˆ โ„)
6 negelrp 12949 . . . . . 6 (๐ต โˆˆ โ„ โ†’ (-๐ต โˆˆ โ„+ โ†” ๐ต < 0))
72, 6syl 17 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (-๐ต โˆˆ โ„+ โ†” ๐ต < 0))
87biimpar 479 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐ต < 0) โ†’ -๐ต โˆˆ โ„+)
9 mul2lt0.3 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐ด ยท ๐ต) < 0)
109adantr 482 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐ต < 0) โ†’ (๐ด ยท ๐ต) < 0)
114, 5, 8, 10ltdiv1dd 13015 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐ต < 0) โ†’ ((๐ด ยท ๐ต) / -๐ต) < (0 / -๐ต))
121recnd 11184 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
1312adantr 482 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐ต < 0) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
142recnd 11184 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
1514adantr 482 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐ต < 0) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
1613, 15mulcld 11176 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐ต < 0) โ†’ (๐ด ยท ๐ต) โˆˆ โ„‚)
17 simpr 486 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐ต < 0) โ†’ ๐ต < 0)
1817lt0ne0d 11721 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐ต < 0) โ†’ ๐ต โ‰  0)
1916, 15, 18divneg2d 11946 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐ต < 0) โ†’ -((๐ด ยท ๐ต) / ๐ต) = ((๐ด ยท ๐ต) / -๐ต))
2013, 15, 18divcan4d 11938 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐ต < 0) โ†’ ((๐ด ยท ๐ต) / ๐ต) = ๐ด)
2120negeqd 11396 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐ต < 0) โ†’ -((๐ด ยท ๐ต) / ๐ต) = -๐ด)
2219, 21eqtr3d 2779 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐ต < 0) โ†’ ((๐ด ยท ๐ต) / -๐ต) = -๐ด)
2315negcld 11500 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐ต < 0) โ†’ -๐ต โˆˆ โ„‚)
2415, 18negne0d 11511 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐ต < 0) โ†’ -๐ต โ‰  0)
2523, 24div0d 11931 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐ต < 0) โ†’ (0 / -๐ต) = 0)
2611, 22, 253brtr3d 5137 . 2 ((๐œ‘ โˆง ๐ต < 0) โ†’ -๐ด < 0)
271adantr 482 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐ต < 0) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
2827lt0neg2d 11726 . 2 ((๐œ‘ โˆง ๐ต < 0) โ†’ (0 < ๐ด โ†” -๐ด < 0))
2926, 28mpbird 257 1 ((๐œ‘ โˆง ๐ต < 0) โ†’ 0 < ๐ด)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   โˆˆ wcel 2107   class class class wbr 5106  (class class class)co 7358  โ„‚cc 11050  โ„cr 11051  0cc0 11052   ยท cmul 11057   < clt 11190  -cneg 11387   / cdiv 11813  โ„+crp 12916
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-resscn 11109  ax-1cn 11110  ax-icn 11111  ax-addcl 11112  ax-addrcl 11113  ax-mulcl 11114  ax-mulrcl 11115  ax-mulcom 11116  ax-addass 11117  ax-mulass 11118  ax-distr 11119  ax-i2m1 11120  ax-1ne0 11121  ax-1rid 11122  ax-rnegex 11123  ax-rrecex 11124  ax-cnre 11125  ax-pre-lttri 11126  ax-pre-lttrn 11127  ax-pre-ltadd 11128  ax-pre-mulgt0 11129
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-id 5532  df-po 5546  df-so 5547  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-er 8649  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-pnf 11192  df-mnf 11193  df-xr 11194  df-ltxr 11195  df-le 11196  df-sub 11388  df-neg 11389  df-div 11814  df-rp 12917
This theorem is referenced by:  mul2lt0llt0  13020  mul2lt0bi  13022  sgnmul  33145  signsply0  33166
  Copyright terms: Public domain W3C validator