Theorem mul2lt0rlt0 13044

Description: If the result of a multiplication is strictly negative, then multiplicands are of different signs. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Sep-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
mul2lt0.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
mul2lt0.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
mul2lt0.3	⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) < 0)

Assertion

Ref	Expression
mul2lt0rlt0	⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) → 0 < 𝐴)

Proof of Theorem mul2lt0rlt0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mul2lt0.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		mul2lt0.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3	1, 2	remulcld 11173	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ)
4	3	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ)
5		0red 11145	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) → 0 ∈ ℝ)
6		negelrp 12975	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (-𝐵 ∈ ℝ+ ↔ 𝐵 < 0))
7	2, 6	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (-𝐵 ∈ ℝ+ ↔ 𝐵 < 0))
8	7	biimpar 478	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) → -𝐵 ∈ ℝ+)
9		mul2lt0.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) < 0)
10	9	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) → (𝐴 · 𝐵) < 0)
11	4, 5, 8, 10	ltdiv1dd 13041	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) → ((𝐴 · 𝐵) / -𝐵) < (0 / -𝐵))
12	1	recnd 11171	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
13	12	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) → 𝐴 ∈ ℂ)
14	2	recnd 11171	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
15	14	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) → 𝐵 ∈ ℂ)
16	13, 15	mulcld 11163	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℂ)
17		simpr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) → 𝐵 < 0)
18	17	lt0ne0d 11713	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) → 𝐵 ≠ 0)
19	16, 15, 18	divneg2d 11943	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) → -((𝐴 · 𝐵) / 𝐵) = ((𝐴 · 𝐵) / -𝐵))
20	13, 15, 18	divcan4d 11935	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) → ((𝐴 · 𝐵) / 𝐵) = 𝐴)
21	20	negeqd 11385	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) → -((𝐴 · 𝐵) / 𝐵) = -𝐴)
22	19, 21	eqtr3d 2777	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) → ((𝐴 · 𝐵) / -𝐵) = -𝐴)
23	15	negcld 11490	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) → -𝐵 ∈ ℂ)
24	15, 18	negne0d 11501	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) → -𝐵 ≠ 0)
25	23, 24	div0d 11928	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) → (0 / -𝐵) = 0)
26	11, 22, 25	3brtr3d 5110	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) → -𝐴 < 0)
27	1	adantr 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) → 𝐴 ∈ ℝ)
28	27	lt0neg2d 11718	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) → (0 < 𝐴 ↔ -𝐴 < 0))
29	26, 28	mpbird 258	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) → 0 < 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   ∈ wcel 2119   class class class wbr 5079  (class class class)co 7363  ℂcc 11034  ℝcr 11035  0cc0 11036   · cmul 11041   < clt 11177  -cneg 11376   / cdiv 11805  ℝ⁺crp 12940

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-resscn 11093  ax-1cn 11094  ax-icn 11095  ax-addcl 11096  ax-addrcl 11097  ax-mulcl 11098  ax-mulrcl 11099  ax-mulcom 11100  ax-addass 11101  ax-mulass 11102  ax-distr 11103  ax-i2m1 11104  ax-1ne0 11105  ax-1rid 11106  ax-rnegex 11107  ax-rrecex 11108  ax-cnre 11109  ax-pre-lttri 11110  ax-pre-lttrn 11111  ax-pre-ltadd 11112  ax-pre-mulgt0 11113

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3065  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-id 5520  df-po 5533  df-so 5534  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7320  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-er 8640  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-pnf 11179  df-mnf 11180  df-xr 11181  df-ltxr 11182  df-le 11183  df-sub 11377  df-neg 11378  df-div 11806  df-rp 12941

This theorem is referenced by:  mul2lt0llt0  13046  mul2lt0bi  13048  sgnmul  32934  signsply0  34742