Theorem mul2lt0rlt0 13035

Description: If the result of a multiplication is strictly negative, then multiplicands are of different signs. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Sep-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
mul2lt0.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
mul2lt0.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
mul2lt0.3	⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) < 0)

Assertion

Ref	Expression
mul2lt0rlt0	⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) → 0 < 𝐴)

Proof of Theorem mul2lt0rlt0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mul2lt0.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		mul2lt0.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3	1, 2	remulcld 11164	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ)
4	3	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ)
5		0red 11136	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) → 0 ∈ ℝ)
6		negelrp 12966	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (-𝐵 ∈ ℝ+ ↔ 𝐵 < 0))
7	2, 6	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (-𝐵 ∈ ℝ+ ↔ 𝐵 < 0))
8	7	biimpar 477	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) → -𝐵 ∈ ℝ+)
9		mul2lt0.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) < 0)
10	9	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) → (𝐴 · 𝐵) < 0)
11	4, 5, 8, 10	ltdiv1dd 13032	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) → ((𝐴 · 𝐵) / -𝐵) < (0 / -𝐵))
12	1	recnd 11162	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
13	12	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) → 𝐴 ∈ ℂ)
14	2	recnd 11162	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
15	14	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) → 𝐵 ∈ ℂ)
16	13, 15	mulcld 11154	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℂ)
17		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) → 𝐵 < 0)
18	17	lt0ne0d 11704	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) → 𝐵 ≠ 0)
19	16, 15, 18	divneg2d 11934	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) → -((𝐴 · 𝐵) / 𝐵) = ((𝐴 · 𝐵) / -𝐵))
20	13, 15, 18	divcan4d 11926	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) → ((𝐴 · 𝐵) / 𝐵) = 𝐴)
21	20	negeqd 11376	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) → -((𝐴 · 𝐵) / 𝐵) = -𝐴)
22	19, 21	eqtr3d 2774	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) → ((𝐴 · 𝐵) / -𝐵) = -𝐴)
23	15	negcld 11481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) → -𝐵 ∈ ℂ)
24	15, 18	negne0d 11492	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) → -𝐵 ≠ 0)
25	23, 24	div0d 11919	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) → (0 / -𝐵) = 0)
26	11, 22, 25	3brtr3d 5117	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) → -𝐴 < 0)
27	1	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) → 𝐴 ∈ ℝ)
28	27	lt0neg2d 11709	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) → (0 < 𝐴 ↔ -𝐴 < 0))
29	26, 28	mpbird 257	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) → 0 < 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5086  (class class class)co 7358  ℂcc 11025  ℝcr 11026  0cc0 11027   · cmul 11032   < clt 11168  -cneg 11367   / cdiv 11796  ℝ⁺crp 12931

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5300  ax-pr 5368  ax-un 7680  ax-resscn 11084  ax-1cn 11085  ax-icn 11086  ax-addcl 11087  ax-addrcl 11088  ax-mulcl 11089  ax-mulrcl 11090  ax-mulcom 11091  ax-addass 11092  ax-mulass 11093  ax-distr 11094  ax-i2m1 11095  ax-1ne0 11096  ax-1rid 11097  ax-rnegex 11098  ax-rrecex 11099  ax-cnre 11100  ax-pre-lttri 11101  ax-pre-lttrn 11102  ax-pre-ltadd 11103  ax-pre-mulgt0 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5517  df-po 5530  df-so 5531  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-er 8634  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-div 11797  df-rp 12932

This theorem is referenced by:  mul2lt0llt0  13037  mul2lt0bi  13039  sgnmul  32928  signsply0  34716