Theorem mul2lt0rlt0 12905

Description: If the result of a multiplication is strictly negative, then multiplicands are of different signs. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Sep-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
mul2lt0.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
mul2lt0.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
mul2lt0.3	⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) < 0)

Assertion

Ref	Expression
mul2lt0rlt0	⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) → 0 < 𝐴)

Proof of Theorem mul2lt0rlt0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mul2lt0.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		mul2lt0.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3	1, 2	remulcld 11078	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ)
4	3	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ)
5		0red 11051	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) → 0 ∈ ℝ)
6		negelrp 12836	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (-𝐵 ∈ ℝ+ ↔ 𝐵 < 0))
7	2, 6	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (-𝐵 ∈ ℝ+ ↔ 𝐵 < 0))
8	7	biimpar 478	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) → -𝐵 ∈ ℝ+)
9		mul2lt0.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) < 0)
10	9	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) → (𝐴 · 𝐵) < 0)
11	4, 5, 8, 10	ltdiv1dd 12902	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) → ((𝐴 · 𝐵) / -𝐵) < (0 / -𝐵))
12	1	recnd 11076	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
13	12	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) → 𝐴 ∈ ℂ)
14	2	recnd 11076	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
15	14	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) → 𝐵 ∈ ℂ)
16	13, 15	mulcld 11068	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℂ)
17		simpr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) → 𝐵 < 0)
18	17	lt0ne0d 11613	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) → 𝐵 ≠ 0)
19	16, 15, 18	divneg2d 11838	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) → -((𝐴 · 𝐵) / 𝐵) = ((𝐴 · 𝐵) / -𝐵))
20	13, 15, 18	divcan4d 11830	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) → ((𝐴 · 𝐵) / 𝐵) = 𝐴)
21	20	negeqd 11288	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) → -((𝐴 · 𝐵) / 𝐵) = -𝐴)
22	19, 21	eqtr3d 2779	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) → ((𝐴 · 𝐵) / -𝐵) = -𝐴)
23	15	negcld 11392	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) → -𝐵 ∈ ℂ)
24	15, 18	negne0d 11403	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) → -𝐵 ≠ 0)
25	23, 24	div0d 11823	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) → (0 / -𝐵) = 0)
26	11, 22, 25	3brtr3d 5118	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) → -𝐴 < 0)
27	1	adantr 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) → 𝐴 ∈ ℝ)
28	27	lt0neg2d 11618	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) → (0 < 𝐴 ↔ -𝐴 < 0))
29	26, 28	mpbird 256	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) → 0 < 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∈ wcel 2105   class class class wbr 5087  (class class class)co 7315  ℂcc 10942  ℝcr 10943  0cc0 10944   · cmul 10949   < clt 11082  -cneg 11279   / cdiv 11705  ℝ⁺crp 12803

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2708  ax-sep 5238  ax-nul 5245  ax-pow 5303  ax-pr 5367  ax-un 7628  ax-resscn 11001  ax-1cn 11002  ax-icn 11003  ax-addcl 11004  ax-addrcl 11005  ax-mulcl 11006  ax-mulrcl 11007  ax-mulcom 11008  ax-addass 11009  ax-mulass 11010  ax-distr 11011  ax-i2m1 11012  ax-1ne0 11013  ax-1rid 11014  ax-rnegex 11015  ax-rrecex 11016  ax-cnre 11017  ax-pre-lttri 11018  ax-pre-lttrn 11019  ax-pre-ltadd 11020  ax-pre-mulgt0 11021

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3405  df-v 3443  df-sbc 3727  df-csb 3843  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-nul 4268  df-if 4472  df-pw 4547  df-sn 4572  df-pr 4574  df-op 4578  df-uni 4851  df-br 5088  df-opab 5150  df-mpt 5171  df-id 5507  df-po 5521  df-so 5522  df-xp 5613  df-rel 5614  df-cnv 5615  df-co 5616  df-dm 5617  df-rn 5618  df-res 5619  df-ima 5620  df-iota 6417  df-fun 6467  df-fn 6468  df-f 6469  df-f1 6470  df-fo 6471  df-f1o 6472  df-fv 6473  df-riota 7272  df-ov 7318  df-oprab 7319  df-mpo 7320  df-er 8546  df-en 8782  df-dom 8783  df-sdom 8784  df-pnf 11084  df-mnf 11085  df-xr 11086  df-ltxr 11087  df-le 11088  df-sub 11280  df-neg 11281  df-div 11706  df-rp 12804

This theorem is referenced by:  mul2lt0llt0  12907  mul2lt0bi  12909  sgnmul  32615  signsply0  32636