MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mul2lt0rlt0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mul2lt0rlt0 13135
Description: If the result of a multiplication is strictly negative, then multiplicands are of different signs. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Sep-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
mul2lt0.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
mul2lt0.2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
mul2lt0.3 (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) < 0)
Assertion
Ref Expression
mul2lt0rlt0 ((𝜑𝐵 < 0) → 0 < 𝐴)

Proof of Theorem mul2lt0rlt0
StepHypRef Expression
1 mul2lt0.1 . . . . . 6 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
2 mul2lt0.2 . . . . . 6 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
31, 2remulcld 11289 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ)
43adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝐵 < 0) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ)
5 0red 11262 . . . 4 ((𝜑𝐵 < 0) → 0 ∈ ℝ)
6 negelrp 13066 . . . . . 6 (𝐵 ∈ ℝ → (-𝐵 ∈ ℝ+𝐵 < 0))
72, 6syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (-𝐵 ∈ ℝ+𝐵 < 0))
87biimpar 477 . . . 4 ((𝜑𝐵 < 0) → -𝐵 ∈ ℝ+)
9 mul2lt0.3 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) < 0)
109adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝐵 < 0) → (𝐴 · 𝐵) < 0)
114, 5, 8, 10ltdiv1dd 13132 . . 3 ((𝜑𝐵 < 0) → ((𝐴 · 𝐵) / -𝐵) < (0 / -𝐵))
121recnd 11287 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
1312adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝐵 < 0) → 𝐴 ∈ ℂ)
142recnd 11287 . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
1514adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝐵 < 0) → 𝐵 ∈ ℂ)
1613, 15mulcld 11279 . . . . 5 ((𝜑𝐵 < 0) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℂ)
17 simpr 484 . . . . . 6 ((𝜑𝐵 < 0) → 𝐵 < 0)
1817lt0ne0d 11826 . . . . 5 ((𝜑𝐵 < 0) → 𝐵 ≠ 0)
1916, 15, 18divneg2d 12055 . . . 4 ((𝜑𝐵 < 0) → -((𝐴 · 𝐵) / 𝐵) = ((𝐴 · 𝐵) / -𝐵))
2013, 15, 18divcan4d 12047 . . . . 5 ((𝜑𝐵 < 0) → ((𝐴 · 𝐵) / 𝐵) = 𝐴)
2120negeqd 11500 . . . 4 ((𝜑𝐵 < 0) → -((𝐴 · 𝐵) / 𝐵) = -𝐴)
2219, 21eqtr3d 2777 . . 3 ((𝜑𝐵 < 0) → ((𝐴 · 𝐵) / -𝐵) = -𝐴)
2315negcld 11605 . . . 4 ((𝜑𝐵 < 0) → -𝐵 ∈ ℂ)
2415, 18negne0d 11616 . . . 4 ((𝜑𝐵 < 0) → -𝐵 ≠ 0)
2523, 24div0d 12040 . . 3 ((𝜑𝐵 < 0) → (0 / -𝐵) = 0)
2611, 22, 253brtr3d 5179 . 2 ((𝜑𝐵 < 0) → -𝐴 < 0)
271adantr 480 . . 3 ((𝜑𝐵 < 0) → 𝐴 ∈ ℝ)
2827lt0neg2d 11831 . 2 ((𝜑𝐵 < 0) → (0 < 𝐴 ↔ -𝐴 < 0))
2926, 28mpbird 257 1 ((𝜑𝐵 < 0) → 0 < 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  wcel 2106   class class class wbr 5148  (class class class)co 7431  cc 11151  cr 11152  0cc0 11153   · cmul 11158   < clt 11293  -cneg 11491   / cdiv 11918  +crp 13032
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-po 5597  df-so 5598  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-rp 13033
This theorem is referenced by:  mul2lt0llt0  13137  mul2lt0bi  13139  sgnmul  34524  signsply0  34545
  Copyright terms: Public domain W3C validator