Theorem reclt0d 45398

Description: The reciprocal of a negative number is negative. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
reclt0d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
reclt0d.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 0)

Assertion

Ref	Expression
reclt0d	⊢ (𝜑 → (1 / 𝐴) < 0)

Proof of Theorem reclt0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0lt1 11785	. . 3 ⊢ 0 < 1
2	1	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (1 / 𝐴) < 0) → 0 < 1)
3		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (1 / 𝐴) < 0) → ¬ (1 / 𝐴) < 0)
4		0red 11264	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (1 / 𝐴) < 0) → 0 ∈ ℝ)
5		1red 11262	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
6		reclt0d.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
7		reclt0d.2	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 0)
8	7	lt0ne0d 11828	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
9	5, 6, 8	redivcld 12095	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (1 / 𝐴) ∈ ℝ)
10	9	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (1 / 𝐴) < 0) → (1 / 𝐴) ∈ ℝ)
11	4, 10	lenltd 11407	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (1 / 𝐴) < 0) → (0 ≤ (1 / 𝐴) ↔ ¬ (1 / 𝐴) < 0))
12	3, 11	mpbird 257	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (1 / 𝐴) < 0) → 0 ≤ (1 / 𝐴))
13	6	recnd 11289	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
14	13, 8	recidd 12038	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · (1 / 𝐴)) = 1)
15	14	eqcomd 2743	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 1 = (𝐴 · (1 / 𝐴)))
16	15	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 ≤ (1 / 𝐴)) → 1 = (𝐴 · (1 / 𝐴)))
17		0red 11264	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
18	6, 17, 7	ltled 11409	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 0)
19	18	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 ≤ (1 / 𝐴)) → 𝐴 ≤ 0)
20		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 ≤ (1 / 𝐴)) → 0 ≤ (1 / 𝐴))
21	19, 20	jca 511	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 ≤ (1 / 𝐴)) → (𝐴 ≤ 0 ∧ 0 ≤ (1 / 𝐴)))
22	21	orcd 874	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 ≤ (1 / 𝐴)) → ((𝐴 ≤ 0 ∧ 0 ≤ (1 / 𝐴)) ∨ (0 ≤ 𝐴 ∧ (1 / 𝐴) ≤ 0)))
23		mulle0b 12139	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (1 / 𝐴) ∈ ℝ) → ((𝐴 · (1 / 𝐴)) ≤ 0 ↔ ((𝐴 ≤ 0 ∧ 0 ≤ (1 / 𝐴)) ∨ (0 ≤ 𝐴 ∧ (1 / 𝐴) ≤ 0))))
24	6, 9, 23	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · (1 / 𝐴)) ≤ 0 ↔ ((𝐴 ≤ 0 ∧ 0 ≤ (1 / 𝐴)) ∨ (0 ≤ 𝐴 ∧ (1 / 𝐴) ≤ 0))))
25	24	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 ≤ (1 / 𝐴)) → ((𝐴 · (1 / 𝐴)) ≤ 0 ↔ ((𝐴 ≤ 0 ∧ 0 ≤ (1 / 𝐴)) ∨ (0 ≤ 𝐴 ∧ (1 / 𝐴) ≤ 0))))
26	22, 25	mpbird 257	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 ≤ (1 / 𝐴)) → (𝐴 · (1 / 𝐴)) ≤ 0)
27	16, 26	eqbrtrd 5165	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 ≤ (1 / 𝐴)) → 1 ≤ 0)
28	5	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 ≤ (1 / 𝐴)) → 1 ∈ ℝ)
29		0red 11264	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 ≤ (1 / 𝐴)) → 0 ∈ ℝ)
30	28, 29	lenltd 11407	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 ≤ (1 / 𝐴)) → (1 ≤ 0 ↔ ¬ 0 < 1))
31	27, 30	mpbid 232	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 ≤ (1 / 𝐴)) → ¬ 0 < 1)
32	12, 31	syldan 591	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (1 / 𝐴) < 0) → ¬ 0 < 1)
33	2, 32	condan 818	1 ⊢ (𝜑 → (1 / 𝐴) < 0)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 848   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5143  (class class class)co 7431  ℝcr 11154  0cc0 11155  1c1 11156   · cmul 11160   < clt 11295   ≤ cle 11296   / cdiv 11920

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-po 5592  df-so 5593  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921

This theorem is referenced by:  reclt0  45402  ltdiv23neg  45405  pimrecltpos  46723