Theorem reclt0d 44651

Description: The reciprocal of a negative number is negative. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
reclt0d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
reclt0d.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 0)

Assertion

Ref	Expression
reclt0d	⊢ (𝜑 → (1 / 𝐴) < 0)

Proof of Theorem reclt0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0lt1 11737	. . 3 ⊢ 0 < 1
2	1	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (1 / 𝐴) < 0) → 0 < 1)
3		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (1 / 𝐴) < 0) → ¬ (1 / 𝐴) < 0)
4		0red 11218	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (1 / 𝐴) < 0) → 0 ∈ ℝ)
5		1red 11216	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
6		reclt0d.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
7		reclt0d.2	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 0)
8	7	lt0ne0d 11780	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
9	5, 6, 8	redivcld 12043	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (1 / 𝐴) ∈ ℝ)
10	9	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (1 / 𝐴) < 0) → (1 / 𝐴) ∈ ℝ)
11	4, 10	lenltd 11361	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (1 / 𝐴) < 0) → (0 ≤ (1 / 𝐴) ↔ ¬ (1 / 𝐴) < 0))
12	3, 11	mpbird 257	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (1 / 𝐴) < 0) → 0 ≤ (1 / 𝐴))
13	6	recnd 11243	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
14	13, 8	recidd 11986	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · (1 / 𝐴)) = 1)
15	14	eqcomd 2732	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 1 = (𝐴 · (1 / 𝐴)))
16	15	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 ≤ (1 / 𝐴)) → 1 = (𝐴 · (1 / 𝐴)))
17		0red 11218	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
18	6, 17, 7	ltled 11363	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 0)
19	18	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 ≤ (1 / 𝐴)) → 𝐴 ≤ 0)
20		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 ≤ (1 / 𝐴)) → 0 ≤ (1 / 𝐴))
21	19, 20	jca 511	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 ≤ (1 / 𝐴)) → (𝐴 ≤ 0 ∧ 0 ≤ (1 / 𝐴)))
22	21	orcd 870	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 ≤ (1 / 𝐴)) → ((𝐴 ≤ 0 ∧ 0 ≤ (1 / 𝐴)) ∨ (0 ≤ 𝐴 ∧ (1 / 𝐴) ≤ 0)))
23		mulle0b 12086	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (1 / 𝐴) ∈ ℝ) → ((𝐴 · (1 / 𝐴)) ≤ 0 ↔ ((𝐴 ≤ 0 ∧ 0 ≤ (1 / 𝐴)) ∨ (0 ≤ 𝐴 ∧ (1 / 𝐴) ≤ 0))))
24	6, 9, 23	syl2anc 583	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · (1 / 𝐴)) ≤ 0 ↔ ((𝐴 ≤ 0 ∧ 0 ≤ (1 / 𝐴)) ∨ (0 ≤ 𝐴 ∧ (1 / 𝐴) ≤ 0))))
25	24	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 ≤ (1 / 𝐴)) → ((𝐴 · (1 / 𝐴)) ≤ 0 ↔ ((𝐴 ≤ 0 ∧ 0 ≤ (1 / 𝐴)) ∨ (0 ≤ 𝐴 ∧ (1 / 𝐴) ≤ 0))))
26	22, 25	mpbird 257	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 ≤ (1 / 𝐴)) → (𝐴 · (1 / 𝐴)) ≤ 0)
27	16, 26	eqbrtrd 5163	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 ≤ (1 / 𝐴)) → 1 ≤ 0)
28	5	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 ≤ (1 / 𝐴)) → 1 ∈ ℝ)
29		0red 11218	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 ≤ (1 / 𝐴)) → 0 ∈ ℝ)
30	28, 29	lenltd 11361	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 ≤ (1 / 𝐴)) → (1 ≤ 0 ↔ ¬ 0 < 1))
31	27, 30	mpbid 231	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 ≤ (1 / 𝐴)) → ¬ 0 < 1)
32	12, 31	syldan 590	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (1 / 𝐴) < 0) → ¬ 0 < 1)
33	2, 32	condan 815	1 ⊢ (𝜑 → (1 / 𝐴) < 0)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∨ wo 844   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   class class class wbr 5141  (class class class)co 7404  ℝcr 11108  0cc0 11109  1c1 11110   · cmul 11114   < clt 11249   ≤ cle 11250   / cdiv 11872

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-po 5581  df-so 5582  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-div 11873

This theorem is referenced by:  reclt0  44655  ltdiv23neg  44658  pimrecltpos  45978