Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  reclt0d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem reclt0d 45337
Description: The reciprocal of a negative number is negative. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
reclt0d.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
reclt0d.2 (𝜑𝐴 < 0)
Assertion
Ref Expression
reclt0d (𝜑 → (1 / 𝐴) < 0)

Proof of Theorem reclt0d
StepHypRef Expression
1 0lt1 11783 . . 3 0 < 1
21a1i 11 . 2 ((𝜑 ∧ ¬ (1 / 𝐴) < 0) → 0 < 1)
3 simpr 484 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ (1 / 𝐴) < 0) → ¬ (1 / 𝐴) < 0)
4 0red 11262 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ (1 / 𝐴) < 0) → 0 ∈ ℝ)
5 1red 11260 . . . . . . 7 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
6 reclt0d.1 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
7 reclt0d.2 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 < 0)
87lt0ne0d 11826 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ≠ 0)
95, 6, 8redivcld 12093 . . . . . 6 (𝜑 → (1 / 𝐴) ∈ ℝ)
109adantr 480 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ (1 / 𝐴) < 0) → (1 / 𝐴) ∈ ℝ)
114, 10lenltd 11405 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ (1 / 𝐴) < 0) → (0 ≤ (1 / 𝐴) ↔ ¬ (1 / 𝐴) < 0))
123, 11mpbird 257 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ (1 / 𝐴) < 0) → 0 ≤ (1 / 𝐴))
136recnd 11287 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
1413, 8recidd 12036 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴 · (1 / 𝐴)) = 1)
1514eqcomd 2741 . . . . . 6 (𝜑 → 1 = (𝐴 · (1 / 𝐴)))
1615adantr 480 . . . . 5 ((𝜑 ∧ 0 ≤ (1 / 𝐴)) → 1 = (𝐴 · (1 / 𝐴)))
17 0red 11262 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
186, 17, 7ltled 11407 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 ≤ 0)
1918adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ 0 ≤ (1 / 𝐴)) → 𝐴 ≤ 0)
20 simpr 484 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ 0 ≤ (1 / 𝐴)) → 0 ≤ (1 / 𝐴))
2119, 20jca 511 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ 0 ≤ (1 / 𝐴)) → (𝐴 ≤ 0 ∧ 0 ≤ (1 / 𝐴)))
2221orcd 873 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ 0 ≤ (1 / 𝐴)) → ((𝐴 ≤ 0 ∧ 0 ≤ (1 / 𝐴)) ∨ (0 ≤ 𝐴 ∧ (1 / 𝐴) ≤ 0)))
23 mulle0b 12137 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (1 / 𝐴) ∈ ℝ) → ((𝐴 · (1 / 𝐴)) ≤ 0 ↔ ((𝐴 ≤ 0 ∧ 0 ≤ (1 / 𝐴)) ∨ (0 ≤ 𝐴 ∧ (1 / 𝐴) ≤ 0))))
246, 9, 23syl2anc 584 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐴 · (1 / 𝐴)) ≤ 0 ↔ ((𝐴 ≤ 0 ∧ 0 ≤ (1 / 𝐴)) ∨ (0 ≤ 𝐴 ∧ (1 / 𝐴) ≤ 0))))
2524adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ 0 ≤ (1 / 𝐴)) → ((𝐴 · (1 / 𝐴)) ≤ 0 ↔ ((𝐴 ≤ 0 ∧ 0 ≤ (1 / 𝐴)) ∨ (0 ≤ 𝐴 ∧ (1 / 𝐴) ≤ 0))))
2622, 25mpbird 257 . . . . 5 ((𝜑 ∧ 0 ≤ (1 / 𝐴)) → (𝐴 · (1 / 𝐴)) ≤ 0)
2716, 26eqbrtrd 5170 . . . 4 ((𝜑 ∧ 0 ≤ (1 / 𝐴)) → 1 ≤ 0)
285adantr 480 . . . . 5 ((𝜑 ∧ 0 ≤ (1 / 𝐴)) → 1 ∈ ℝ)
29 0red 11262 . . . . 5 ((𝜑 ∧ 0 ≤ (1 / 𝐴)) → 0 ∈ ℝ)
3028, 29lenltd 11405 . . . 4 ((𝜑 ∧ 0 ≤ (1 / 𝐴)) → (1 ≤ 0 ↔ ¬ 0 < 1))
3127, 30mpbid 232 . . 3 ((𝜑 ∧ 0 ≤ (1 / 𝐴)) → ¬ 0 < 1)
3212, 31syldan 591 . 2 ((𝜑 ∧ ¬ (1 / 𝐴) < 0) → ¬ 0 < 1)
332, 32condan 818 1 (𝜑 → (1 / 𝐴) < 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  wo 847   = wceq 1537  wcel 2106   class class class wbr 5148  (class class class)co 7431  cr 11152  0cc0 11153  1c1 11154   · cmul 11158   < clt 11293  cle 11294   / cdiv 11918
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-po 5597  df-so 5598  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919
This theorem is referenced by:  reclt0  45341  ltdiv23neg  45344  pimrecltpos  46664
  Copyright terms: Public domain W3C validator