Theorem reclt0d 45383

Description: The reciprocal of a negative number is negative. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
reclt0d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
reclt0d.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 0)

Assertion

Ref	Expression
reclt0d	⊢ (𝜑 → (1 / 𝐴) < 0)

Proof of Theorem reclt0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0lt1 11700	. . 3 ⊢ 0 < 1
2	1	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (1 / 𝐴) < 0) → 0 < 1)
3		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (1 / 𝐴) < 0) → ¬ (1 / 𝐴) < 0)
4		0red 11177	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (1 / 𝐴) < 0) → 0 ∈ ℝ)
5		1red 11175	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
6		reclt0d.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
7		reclt0d.2	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 0)
8	7	lt0ne0d 11743	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
9	5, 6, 8	redivcld 12010	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (1 / 𝐴) ∈ ℝ)
10	9	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (1 / 𝐴) < 0) → (1 / 𝐴) ∈ ℝ)
11	4, 10	lenltd 11320	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (1 / 𝐴) < 0) → (0 ≤ (1 / 𝐴) ↔ ¬ (1 / 𝐴) < 0))
12	3, 11	mpbird 257	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (1 / 𝐴) < 0) → 0 ≤ (1 / 𝐴))
13	6	recnd 11202	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
14	13, 8	recidd 11953	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · (1 / 𝐴)) = 1)
15	14	eqcomd 2735	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 1 = (𝐴 · (1 / 𝐴)))
16	15	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 ≤ (1 / 𝐴)) → 1 = (𝐴 · (1 / 𝐴)))
17		0red 11177	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
18	6, 17, 7	ltled 11322	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 0)
19	18	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 ≤ (1 / 𝐴)) → 𝐴 ≤ 0)
20		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 ≤ (1 / 𝐴)) → 0 ≤ (1 / 𝐴))
21	19, 20	jca 511	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 ≤ (1 / 𝐴)) → (𝐴 ≤ 0 ∧ 0 ≤ (1 / 𝐴)))
22	21	orcd 873	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 ≤ (1 / 𝐴)) → ((𝐴 ≤ 0 ∧ 0 ≤ (1 / 𝐴)) ∨ (0 ≤ 𝐴 ∧ (1 / 𝐴) ≤ 0)))
23		mulle0b 12054	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (1 / 𝐴) ∈ ℝ) → ((𝐴 · (1 / 𝐴)) ≤ 0 ↔ ((𝐴 ≤ 0 ∧ 0 ≤ (1 / 𝐴)) ∨ (0 ≤ 𝐴 ∧ (1 / 𝐴) ≤ 0))))
24	6, 9, 23	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · (1 / 𝐴)) ≤ 0 ↔ ((𝐴 ≤ 0 ∧ 0 ≤ (1 / 𝐴)) ∨ (0 ≤ 𝐴 ∧ (1 / 𝐴) ≤ 0))))
25	24	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 ≤ (1 / 𝐴)) → ((𝐴 · (1 / 𝐴)) ≤ 0 ↔ ((𝐴 ≤ 0 ∧ 0 ≤ (1 / 𝐴)) ∨ (0 ≤ 𝐴 ∧ (1 / 𝐴) ≤ 0))))
26	22, 25	mpbird 257	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 ≤ (1 / 𝐴)) → (𝐴 · (1 / 𝐴)) ≤ 0)
27	16, 26	eqbrtrd 5129	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 ≤ (1 / 𝐴)) → 1 ≤ 0)
28	5	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 ≤ (1 / 𝐴)) → 1 ∈ ℝ)
29		0red 11177	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 ≤ (1 / 𝐴)) → 0 ∈ ℝ)
30	28, 29	lenltd 11320	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 ≤ (1 / 𝐴)) → (1 ≤ 0 ↔ ¬ 0 < 1))
31	27, 30	mpbid 232	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 ≤ (1 / 𝐴)) → ¬ 0 < 1)
32	12, 31	syldan 591	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (1 / 𝐴) < 0) → ¬ 0 < 1)
33	2, 32	condan 817	1 ⊢ (𝜑 → (1 / 𝐴) < 0)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5107  (class class class)co 7387  ℝcr 11067  0cc0 11068  1c1 11069   · cmul 11073   < clt 11208   ≤ cle 11209   / cdiv 11835

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-id 5533  df-po 5546  df-so 5547  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-div 11836

This theorem is referenced by:  reclt0  45387  ltdiv23neg  45390  pimrecltpos  46706