Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  reclt0d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem reclt0d 44798
Description: The reciprocal of a negative number is negative. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
reclt0d.1 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
reclt0d.2 (๐œ‘ โ†’ ๐ด < 0)
Assertion
Ref Expression
reclt0d (๐œ‘ โ†’ (1 / ๐ด) < 0)

Proof of Theorem reclt0d
StepHypRef Expression
1 0lt1 11774 . . 3 0 < 1
21a1i 11 . 2 ((๐œ‘ โˆง ยฌ (1 / ๐ด) < 0) โ†’ 0 < 1)
3 simpr 483 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ยฌ (1 / ๐ด) < 0) โ†’ ยฌ (1 / ๐ด) < 0)
4 0red 11255 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ยฌ (1 / ๐ด) < 0) โ†’ 0 โˆˆ โ„)
5 1red 11253 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ 1 โˆˆ โ„)
6 reclt0d.1 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
7 reclt0d.2 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐ด < 0)
87lt0ne0d 11817 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โ‰  0)
95, 6, 8redivcld 12080 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (1 / ๐ด) โˆˆ โ„)
109adantr 479 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ยฌ (1 / ๐ด) < 0) โ†’ (1 / ๐ด) โˆˆ โ„)
114, 10lenltd 11398 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ยฌ (1 / ๐ด) < 0) โ†’ (0 โ‰ค (1 / ๐ด) โ†” ยฌ (1 / ๐ด) < 0))
123, 11mpbird 256 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ยฌ (1 / ๐ด) < 0) โ†’ 0 โ‰ค (1 / ๐ด))
136recnd 11280 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
1413, 8recidd 12023 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐ด ยท (1 / ๐ด)) = 1)
1514eqcomd 2734 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ 1 = (๐ด ยท (1 / ๐ด)))
1615adantr 479 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง 0 โ‰ค (1 / ๐ด)) โ†’ 1 = (๐ด ยท (1 / ๐ด)))
17 0red 11255 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ 0 โˆˆ โ„)
186, 17, 7ltled 11400 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โ‰ค 0)
1918adantr 479 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง 0 โ‰ค (1 / ๐ด)) โ†’ ๐ด โ‰ค 0)
20 simpr 483 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง 0 โ‰ค (1 / ๐ด)) โ†’ 0 โ‰ค (1 / ๐ด))
2119, 20jca 510 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง 0 โ‰ค (1 / ๐ด)) โ†’ (๐ด โ‰ค 0 โˆง 0 โ‰ค (1 / ๐ด)))
2221orcd 871 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง 0 โ‰ค (1 / ๐ด)) โ†’ ((๐ด โ‰ค 0 โˆง 0 โ‰ค (1 / ๐ด)) โˆจ (0 โ‰ค ๐ด โˆง (1 / ๐ด) โ‰ค 0)))
23 mulle0b 12123 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง (1 / ๐ด) โˆˆ โ„) โ†’ ((๐ด ยท (1 / ๐ด)) โ‰ค 0 โ†” ((๐ด โ‰ค 0 โˆง 0 โ‰ค (1 / ๐ด)) โˆจ (0 โ‰ค ๐ด โˆง (1 / ๐ด) โ‰ค 0))))
246, 9, 23syl2anc 582 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด ยท (1 / ๐ด)) โ‰ค 0 โ†” ((๐ด โ‰ค 0 โˆง 0 โ‰ค (1 / ๐ด)) โˆจ (0 โ‰ค ๐ด โˆง (1 / ๐ด) โ‰ค 0))))
2524adantr 479 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง 0 โ‰ค (1 / ๐ด)) โ†’ ((๐ด ยท (1 / ๐ด)) โ‰ค 0 โ†” ((๐ด โ‰ค 0 โˆง 0 โ‰ค (1 / ๐ด)) โˆจ (0 โ‰ค ๐ด โˆง (1 / ๐ด) โ‰ค 0))))
2622, 25mpbird 256 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง 0 โ‰ค (1 / ๐ด)) โ†’ (๐ด ยท (1 / ๐ด)) โ‰ค 0)
2716, 26eqbrtrd 5174 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง 0 โ‰ค (1 / ๐ด)) โ†’ 1 โ‰ค 0)
285adantr 479 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง 0 โ‰ค (1 / ๐ด)) โ†’ 1 โˆˆ โ„)
29 0red 11255 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง 0 โ‰ค (1 / ๐ด)) โ†’ 0 โˆˆ โ„)
3028, 29lenltd 11398 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง 0 โ‰ค (1 / ๐ด)) โ†’ (1 โ‰ค 0 โ†” ยฌ 0 < 1))
3127, 30mpbid 231 . . 3 ((๐œ‘ โˆง 0 โ‰ค (1 / ๐ด)) โ†’ ยฌ 0 < 1)
3212, 31syldan 589 . 2 ((๐œ‘ โˆง ยฌ (1 / ๐ด) < 0) โ†’ ยฌ 0 < 1)
332, 32condan 816 1 (๐œ‘ โ†’ (1 / ๐ด) < 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 394   โˆจ wo 845   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098   class class class wbr 5152  (class class class)co 7426  โ„cr 11145  0cc0 11146  1c1 11147   ยท cmul 11151   < clt 11286   โ‰ค cle 11287   / cdiv 11909
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-id 5580  df-po 5594  df-so 5595  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-er 8731  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-div 11910
This theorem is referenced by:  reclt0  44802  ltdiv23neg  44805  pimrecltpos  46125
  Copyright terms: Public domain W3C validator