Theorem reclt0d 45499

Description: The reciprocal of a negative number is negative. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
reclt0d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
reclt0d.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 0)

Assertion

Ref	Expression
reclt0d	⊢ (𝜑 → (1 / 𝐴) < 0)

Proof of Theorem reclt0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0lt1 11649	. . 3 ⊢ 0 < 1
2	1	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (1 / 𝐴) < 0) → 0 < 1)
3		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (1 / 𝐴) < 0) → ¬ (1 / 𝐴) < 0)
4		0red 11125	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (1 / 𝐴) < 0) → 0 ∈ ℝ)
5		1red 11123	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
6		reclt0d.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
7		reclt0d.2	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 0)
8	7	lt0ne0d 11692	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
9	5, 6, 8	redivcld 11959	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (1 / 𝐴) ∈ ℝ)
10	9	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (1 / 𝐴) < 0) → (1 / 𝐴) ∈ ℝ)
11	4, 10	lenltd 11269	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (1 / 𝐴) < 0) → (0 ≤ (1 / 𝐴) ↔ ¬ (1 / 𝐴) < 0))
12	3, 11	mpbird 257	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (1 / 𝐴) < 0) → 0 ≤ (1 / 𝐴))
13	6	recnd 11150	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
14	13, 8	recidd 11902	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · (1 / 𝐴)) = 1)
15	14	eqcomd 2739	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 1 = (𝐴 · (1 / 𝐴)))
16	15	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 ≤ (1 / 𝐴)) → 1 = (𝐴 · (1 / 𝐴)))
17		0red 11125	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
18	6, 17, 7	ltled 11271	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 0)
19	18	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 ≤ (1 / 𝐴)) → 𝐴 ≤ 0)
20		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 ≤ (1 / 𝐴)) → 0 ≤ (1 / 𝐴))
21	19, 20	jca 511	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 ≤ (1 / 𝐴)) → (𝐴 ≤ 0 ∧ 0 ≤ (1 / 𝐴)))
22	21	orcd 873	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 ≤ (1 / 𝐴)) → ((𝐴 ≤ 0 ∧ 0 ≤ (1 / 𝐴)) ∨ (0 ≤ 𝐴 ∧ (1 / 𝐴) ≤ 0)))
23		mulle0b 12003	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (1 / 𝐴) ∈ ℝ) → ((𝐴 · (1 / 𝐴)) ≤ 0 ↔ ((𝐴 ≤ 0 ∧ 0 ≤ (1 / 𝐴)) ∨ (0 ≤ 𝐴 ∧ (1 / 𝐴) ≤ 0))))
24	6, 9, 23	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · (1 / 𝐴)) ≤ 0 ↔ ((𝐴 ≤ 0 ∧ 0 ≤ (1 / 𝐴)) ∨ (0 ≤ 𝐴 ∧ (1 / 𝐴) ≤ 0))))
25	24	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 ≤ (1 / 𝐴)) → ((𝐴 · (1 / 𝐴)) ≤ 0 ↔ ((𝐴 ≤ 0 ∧ 0 ≤ (1 / 𝐴)) ∨ (0 ≤ 𝐴 ∧ (1 / 𝐴) ≤ 0))))
26	22, 25	mpbird 257	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 ≤ (1 / 𝐴)) → (𝐴 · (1 / 𝐴)) ≤ 0)
27	16, 26	eqbrtrd 5117	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 ≤ (1 / 𝐴)) → 1 ≤ 0)
28	5	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 ≤ (1 / 𝐴)) → 1 ∈ ℝ)
29		0red 11125	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 ≤ (1 / 𝐴)) → 0 ∈ ℝ)
30	28, 29	lenltd 11269	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 ≤ (1 / 𝐴)) → (1 ≤ 0 ↔ ¬ 0 < 1))
31	27, 30	mpbid 232	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 ≤ (1 / 𝐴)) → ¬ 0 < 1)
32	12, 31	syldan 591	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (1 / 𝐴) < 0) → ¬ 0 < 1)
33	2, 32	condan 817	1 ⊢ (𝜑 → (1 / 𝐴) < 0)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   class class class wbr 5095  (class class class)co 7355  ℝcr 11015  0cc0 11016  1c1 11017   · cmul 11021   < clt 11156   ≤ cle 11157   / cdiv 11784

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7677  ax-resscn 11073  ax-1cn 11074  ax-icn 11075  ax-addcl 11076  ax-addrcl 11077  ax-mulcl 11078  ax-mulrcl 11079  ax-mulcom 11080  ax-addass 11081  ax-mulass 11082  ax-distr 11083  ax-i2m1 11084  ax-1ne0 11085  ax-1rid 11086  ax-rnegex 11087  ax-rrecex 11088  ax-cnre 11089  ax-pre-lttri 11090  ax-pre-lttrn 11091  ax-pre-ltadd 11092  ax-pre-mulgt0 11093

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rmo 3348  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-id 5516  df-po 5529  df-so 5530  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7312  df-ov 7358  df-oprab 7359  df-mpo 7360  df-er 8631  df-en 8879  df-dom 8880  df-sdom 8881  df-pnf 11158  df-mnf 11159  df-xr 11160  df-ltxr 11161  df-le 11162  df-sub 11356  df-neg 11357  df-div 11785

This theorem is referenced by:  reclt0  45503  ltdiv23neg  45506  pimrecltpos  46820