Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sgn0bi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sgn0bi 34157
Description: Zero signum. (Contributed by Thierry Arnoux, 10-Oct-2018.)
Assertion
Ref Expression
sgn0bi (𝐴 ∈ ℝ* → ((sgn‘𝐴) = 0 ↔ 𝐴 = 0))

Proof of Theorem sgn0bi
StepHypRef Expression
1 id 22 . 2 (𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ*)
2 eqeq1 2731 . . 3 ((sgn‘𝐴) = 0 → ((sgn‘𝐴) = 0 ↔ 0 = 0))
32bibi1d 343 . 2 ((sgn‘𝐴) = 0 → (((sgn‘𝐴) = 0 ↔ 𝐴 = 0) ↔ (0 = 0 ↔ 𝐴 = 0)))
4 eqeq1 2731 . . 3 ((sgn‘𝐴) = 1 → ((sgn‘𝐴) = 0 ↔ 1 = 0))
54bibi1d 343 . 2 ((sgn‘𝐴) = 1 → (((sgn‘𝐴) = 0 ↔ 𝐴 = 0) ↔ (1 = 0 ↔ 𝐴 = 0)))
6 eqeq1 2731 . . 3 ((sgn‘𝐴) = -1 → ((sgn‘𝐴) = 0 ↔ -1 = 0))
76bibi1d 343 . 2 ((sgn‘𝐴) = -1 → (((sgn‘𝐴) = 0 ↔ 𝐴 = 0) ↔ (-1 = 0 ↔ 𝐴 = 0)))
8 simpr 484 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 = 0) → 𝐴 = 0)
98eqcomd 2733 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 = 0) → 0 = 𝐴)
109eqeq1d 2729 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 = 0) → (0 = 0 ↔ 𝐴 = 0))
11 ax-1ne0 11201 . . . . 5 1 ≠ 0
1211a1i 11 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴) → 1 ≠ 0)
1312neneqd 2940 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴) → ¬ 1 = 0)
14 simpr 484 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴) → 0 < 𝐴)
1514gt0ne0d 11802 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 ≠ 0)
1615neneqd 2940 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴) → ¬ 𝐴 = 0)
1713, 162falsed 376 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴) → (1 = 0 ↔ 𝐴 = 0))
18 1cnd 11233 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 < 0) → 1 ∈ ℂ)
1911a1i 11 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 < 0) → 1 ≠ 0)
2018, 19negne0d 11593 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 < 0) → -1 ≠ 0)
2120neneqd 2940 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 < 0) → ¬ -1 = 0)
22 simpr 484 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 < 0) → 𝐴 < 0)
2322lt0ne0d 11803 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 < 0) → 𝐴 ≠ 0)
2423neneqd 2940 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 < 0) → ¬ 𝐴 = 0)
2521, 242falsed 376 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 < 0) → (-1 = 0 ↔ 𝐴 = 0))
261, 3, 5, 7, 10, 17, 25sgn3da 34151 1 (𝐴 ∈ ℝ* → ((sgn‘𝐴) = 0 ↔ 𝐴 = 0))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 395   = wceq 1534  wcel 2099  wne 2935   class class class wbr 5142  cfv 6542  0cc0 11132  1c1 11133  *cxr 11271   < clt 11272  -cneg 11469  sgncsgn 15059
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11188  ax-resscn 11189  ax-1cn 11190  ax-icn 11191  ax-addcl 11192  ax-addrcl 11193  ax-mulcl 11194  ax-mulrcl 11195  ax-mulcom 11196  ax-addass 11197  ax-mulass 11198  ax-distr 11199  ax-i2m1 11200  ax-1ne0 11201  ax-1rid 11202  ax-rnegex 11203  ax-rrecex 11204  ax-cnre 11205  ax-pre-lttri 11206  ax-pre-lttrn 11207  ax-pre-ltadd 11208
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-id 5570  df-po 5584  df-so 5585  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-er 8718  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-pnf 11274  df-mnf 11275  df-xr 11276  df-ltxr 11277  df-sub 11470  df-neg 11471  df-sgn 15060
This theorem is referenced by:  signsvtn0  34192  signstfvneq0  34194
  Copyright terms: Public domain W3C validator