Theorem sgn0bi 15136

Description: Zero signum. (Contributed by Thierry Arnoux, 10-Oct-2018.)

Assertion

Ref	Expression
sgn0bi	⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → ((sgn‘𝐴) = 0 ↔ 𝐴 = 0))

Proof of Theorem sgn0bi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 23	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → 𝐴 ∈ ℝ*)
2		eqeq1 2767	. . 3 ⊢ ((sgn‘𝐴) = 0 → ((sgn‘𝐴) = 0 ↔ 0 = 0))
3	2	bibi1d 346	. 2 ⊢ ((sgn‘𝐴) = 0 → (((sgn‘𝐴) = 0 ↔ 𝐴 = 0) ↔ (0 = 0 ↔ 𝐴 = 0)))
4		eqeq1 2767	. . 3 ⊢ ((sgn‘𝐴) = 1 → ((sgn‘𝐴) = 0 ↔ 1 = 0))
5	4	bibi1d 346	. 2 ⊢ ((sgn‘𝐴) = 1 → (((sgn‘𝐴) = 0 ↔ 𝐴 = 0) ↔ (1 = 0 ↔ 𝐴 = 0)))
6		eqeq1 2767	. . 3 ⊢ ((sgn‘𝐴) = -1 → ((sgn‘𝐴) = 0 ↔ -1 = 0))
7	6	bibi1d 346	. 2 ⊢ ((sgn‘𝐴) = -1 → (((sgn‘𝐴) = 0 ↔ 𝐴 = 0) ↔ (-1 = 0 ↔ 𝐴 = 0)))
8		simpr 489	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 = 0) → 𝐴 = 0)
9	8	eqcomd 2769	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 = 0) → 0 = 𝐴)
10	9	eqeq1d 2765	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 = 0) → (0 = 0 ↔ 𝐴 = 0))
11		ax-1ne0 11164	. . . . 5 ⊢ 1 ≠ 0
12	11	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴) → 1 ≠ 0)
13	12	neneqd 2963	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴) → ¬ 1 = 0)
14		simpr 489	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴) → 0 < 𝐴)
15	14	gt0ne0d 11773	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 ≠ 0)
16	15	neneqd 2963	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴) → ¬ 𝐴 = 0)
17	13, 16	2falsed 379	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴) → (1 = 0 ↔ 𝐴 = 0))
18		1cnd 11197	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 0) → 1 ∈ ℂ)
19	11	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 0) → 1 ≠ 0)
20	18, 19	negne0d 11562	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 0) → -1 ≠ 0)
21	20	neneqd 2963	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 0) → ¬ -1 = 0)
22		simpr 489	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 0) → 𝐴 < 0)
23	22	lt0ne0d 11774	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 0) → 𝐴 ≠ 0)
24	23	neneqd 2963	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 0) → ¬ 𝐴 = 0)
25	21, 24	2falsed 379	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 0) → (-1 = 0 ↔ 𝐴 = 0))
26	1, 3, 5, 7, 10, 17, 25	sgn3da 15134	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → ((sgn‘𝐴) = 0 ↔ 𝐴 = 0))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958   class class class wbr 5109  ‘cfv 6536  0cc0 11095  1c1 11096  ℝ^*cxr 11237   < clt 11238  -cneg 11437  sgncsgn 15119

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11151  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-id 5556  df-po 5569  df-so 5570  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-sub 11438  df-neg 11439  df-sgn 15120

This theorem is referenced by:  signsvtn0  34957  signstfvneq0  34959