Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sgn0bi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sgn0bi 31156
Description: Zero signum. (Contributed by Thierry Arnoux, 10-Oct-2018.)
Assertion
Ref Expression
sgn0bi (𝐴 ∈ ℝ* → ((sgn‘𝐴) = 0 ↔ 𝐴 = 0))

Proof of Theorem sgn0bi
StepHypRef Expression
1 id 22 . 2 (𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ*)
2 eqeq1 2830 . . 3 ((sgn‘𝐴) = 0 → ((sgn‘𝐴) = 0 ↔ 0 = 0))
32bibi1d 335 . 2 ((sgn‘𝐴) = 0 → (((sgn‘𝐴) = 0 ↔ 𝐴 = 0) ↔ (0 = 0 ↔ 𝐴 = 0)))
4 eqeq1 2830 . . 3 ((sgn‘𝐴) = 1 → ((sgn‘𝐴) = 0 ↔ 1 = 0))
54bibi1d 335 . 2 ((sgn‘𝐴) = 1 → (((sgn‘𝐴) = 0 ↔ 𝐴 = 0) ↔ (1 = 0 ↔ 𝐴 = 0)))
6 eqeq1 2830 . . 3 ((sgn‘𝐴) = -1 → ((sgn‘𝐴) = 0 ↔ -1 = 0))
76bibi1d 335 . 2 ((sgn‘𝐴) = -1 → (((sgn‘𝐴) = 0 ↔ 𝐴 = 0) ↔ (-1 = 0 ↔ 𝐴 = 0)))
8 simpr 479 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 = 0) → 𝐴 = 0)
98eqcomd 2832 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 = 0) → 0 = 𝐴)
109eqeq1d 2828 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 = 0) → (0 = 0 ↔ 𝐴 = 0))
11 ax-1ne0 10322 . . . . 5 1 ≠ 0
1211a1i 11 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴) → 1 ≠ 0)
1312neneqd 3005 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴) → ¬ 1 = 0)
14 simpr 479 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴) → 0 < 𝐴)
1514gt0ne0d 10917 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 ≠ 0)
1615neneqd 3005 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴) → ¬ 𝐴 = 0)
1713, 162falsed 368 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴) → (1 = 0 ↔ 𝐴 = 0))
18 1cnd 10352 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 < 0) → 1 ∈ ℂ)
1911a1i 11 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 < 0) → 1 ≠ 0)
2018, 19negne0d 10712 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 < 0) → -1 ≠ 0)
2120neneqd 3005 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 < 0) → ¬ -1 = 0)
22 simpr 479 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 < 0) → 𝐴 < 0)
2322lt0ne0d 10918 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 < 0) → 𝐴 ≠ 0)
2423neneqd 3005 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 < 0) → ¬ 𝐴 = 0)
2521, 242falsed 368 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 < 0) → (-1 = 0 ↔ 𝐴 = 0))
261, 3, 5, 7, 10, 17, 25sgn3da 31150 1 (𝐴 ∈ ℝ* → ((sgn‘𝐴) = 0 ↔ 𝐴 = 0))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 386   = wceq 1658  wcel 2166  wne 3000   class class class wbr 4874  cfv 6124  0cc0 10253  1c1 10254  *cxr 10391   < clt 10392  -cneg 10587  sgncsgn 14204
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2391  ax-ext 2804  ax-sep 5006  ax-nul 5014  ax-pow 5066  ax-pr 5128  ax-un 7210  ax-cnex 10309  ax-resscn 10310  ax-1cn 10311  ax-icn 10312  ax-addcl 10313  ax-addrcl 10314  ax-mulcl 10315  ax-mulrcl 10316  ax-mulcom 10317  ax-addass 10318  ax-mulass 10319  ax-distr 10320  ax-i2m1 10321  ax-1ne0 10322  ax-1rid 10323  ax-rnegex 10324  ax-rrecex 10325  ax-cnre 10326  ax-pre-lttri 10327  ax-pre-lttrn 10328  ax-pre-ltadd 10329
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2606  df-eu 2641  df-clab 2813  df-cleq 2819  df-clel 2822  df-nfc 2959  df-ne 3001  df-nel 3104  df-ral 3123  df-rex 3124  df-reu 3125  df-rab 3127  df-v 3417  df-sbc 3664  df-csb 3759  df-dif 3802  df-un 3804  df-in 3806  df-ss 3813  df-nul 4146  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-op 4405  df-uni 4660  df-br 4875  df-opab 4937  df-mpt 4954  df-id 5251  df-po 5264  df-so 5265  df-xp 5349  df-rel 5350  df-cnv 5351  df-co 5352  df-dm 5353  df-rn 5354  df-res 5355  df-ima 5356  df-iota 6087  df-fun 6126  df-fn 6127  df-f 6128  df-f1 6129  df-fo 6130  df-f1o 6131  df-fv 6132  df-riota 6867  df-ov 6909  df-oprab 6910  df-mpt2 6911  df-er 8010  df-en 8224  df-dom 8225  df-sdom 8226  df-pnf 10394  df-mnf 10395  df-xr 10396  df-ltxr 10397  df-sub 10588  df-neg 10589  df-sgn 14205
This theorem is referenced by:  signsvtn0  31195  signsvtn0OLD  31196  signstfvneq0  31198
  Copyright terms: Public domain W3C validator