Theorem sgn0bi 34551

Description: Zero signum. (Contributed by Thierry Arnoux, 10-Oct-2018.)

Assertion

Ref	Expression
sgn0bi	⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → ((sgn‘𝐴) = 0 ↔ 𝐴 = 0))

Proof of Theorem sgn0bi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 22	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → 𝐴 ∈ ℝ*)
2		eqeq1 2740	. . 3 ⊢ ((sgn‘𝐴) = 0 → ((sgn‘𝐴) = 0 ↔ 0 = 0))
3	2	bibi1d 343	. 2 ⊢ ((sgn‘𝐴) = 0 → (((sgn‘𝐴) = 0 ↔ 𝐴 = 0) ↔ (0 = 0 ↔ 𝐴 = 0)))
4		eqeq1 2740	. . 3 ⊢ ((sgn‘𝐴) = 1 → ((sgn‘𝐴) = 0 ↔ 1 = 0))
5	4	bibi1d 343	. 2 ⊢ ((sgn‘𝐴) = 1 → (((sgn‘𝐴) = 0 ↔ 𝐴 = 0) ↔ (1 = 0 ↔ 𝐴 = 0)))
6		eqeq1 2740	. . 3 ⊢ ((sgn‘𝐴) = -1 → ((sgn‘𝐴) = 0 ↔ -1 = 0))
7	6	bibi1d 343	. 2 ⊢ ((sgn‘𝐴) = -1 → (((sgn‘𝐴) = 0 ↔ 𝐴 = 0) ↔ (-1 = 0 ↔ 𝐴 = 0)))
8		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 = 0) → 𝐴 = 0)
9	8	eqcomd 2742	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 = 0) → 0 = 𝐴)
10	9	eqeq1d 2738	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 = 0) → (0 = 0 ↔ 𝐴 = 0))
11		ax-1ne0 11225	. . . . 5 ⊢ 1 ≠ 0
12	11	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴) → 1 ≠ 0)
13	12	neneqd 2944	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴) → ¬ 1 = 0)
14		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴) → 0 < 𝐴)
15	14	gt0ne0d 11828	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 ≠ 0)
16	15	neneqd 2944	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴) → ¬ 𝐴 = 0)
17	13, 16	2falsed 376	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴) → (1 = 0 ↔ 𝐴 = 0))
18		1cnd 11257	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 0) → 1 ∈ ℂ)
19	11	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 0) → 1 ≠ 0)
20	18, 19	negne0d 11619	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 0) → -1 ≠ 0)
21	20	neneqd 2944	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 0) → ¬ -1 = 0)
22		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 0) → 𝐴 < 0)
23	22	lt0ne0d 11829	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 0) → 𝐴 ≠ 0)
24	23	neneqd 2944	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 0) → ¬ 𝐴 = 0)
25	21, 24	2falsed 376	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 0) → (-1 = 0 ↔ 𝐴 = 0))
26	1, 3, 5, 7, 10, 17, 25	sgn3da 34545	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → ((sgn‘𝐴) = 0 ↔ 𝐴 = 0))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2939   class class class wbr 5142  ‘cfv 6560  0cc0 11156  1c1 11157  ℝ^*cxr 11295   < clt 11296  -cneg 11494  sgncsgn 15126

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-id 5577  df-po 5591  df-so 5592  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-er 8746  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-sub 11495  df-neg 11496  df-sgn 15127

This theorem is referenced by:  signsvtn0  34586  signstfvneq0  34588