Theorem sgn0bi 32913

Description: Zero signum. (Contributed by Thierry Arnoux, 10-Oct-2018.)

Assertion

Ref	Expression
sgn0bi	⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → ((sgn‘𝐴) = 0 ↔ 𝐴 = 0))

Proof of Theorem sgn0bi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 22	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → 𝐴 ∈ ℝ*)
2		eqeq1 2740	. . 3 ⊢ ((sgn‘𝐴) = 0 → ((sgn‘𝐴) = 0 ↔ 0 = 0))
3	2	bibi1d 343	. 2 ⊢ ((sgn‘𝐴) = 0 → (((sgn‘𝐴) = 0 ↔ 𝐴 = 0) ↔ (0 = 0 ↔ 𝐴 = 0)))
4		eqeq1 2740	. . 3 ⊢ ((sgn‘𝐴) = 1 → ((sgn‘𝐴) = 0 ↔ 1 = 0))
5	4	bibi1d 343	. 2 ⊢ ((sgn‘𝐴) = 1 → (((sgn‘𝐴) = 0 ↔ 𝐴 = 0) ↔ (1 = 0 ↔ 𝐴 = 0)))
6		eqeq1 2740	. . 3 ⊢ ((sgn‘𝐴) = -1 → ((sgn‘𝐴) = 0 ↔ -1 = 0))
7	6	bibi1d 343	. 2 ⊢ ((sgn‘𝐴) = -1 → (((sgn‘𝐴) = 0 ↔ 𝐴 = 0) ↔ (-1 = 0 ↔ 𝐴 = 0)))
8		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 = 0) → 𝐴 = 0)
9	8	eqcomd 2742	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 = 0) → 0 = 𝐴)
10	9	eqeq1d 2738	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 = 0) → (0 = 0 ↔ 𝐴 = 0))
11		ax-1ne0 11107	. . . . 5 ⊢ 1 ≠ 0
12	11	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴) → 1 ≠ 0)
13	12	neneqd 2937	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴) → ¬ 1 = 0)
14		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴) → 0 < 𝐴)
15	14	gt0ne0d 11714	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 ≠ 0)
16	15	neneqd 2937	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴) → ¬ 𝐴 = 0)
17	13, 16	2falsed 376	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴) → (1 = 0 ↔ 𝐴 = 0))
18		1cnd 11139	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 0) → 1 ∈ ℂ)
19	11	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 0) → 1 ≠ 0)
20	18, 19	negne0d 11503	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 0) → -1 ≠ 0)
21	20	neneqd 2937	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 0) → ¬ -1 = 0)
22		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 0) → 𝐴 < 0)
23	22	lt0ne0d 11715	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 0) → 𝐴 ≠ 0)
24	23	neneqd 2937	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 0) → ¬ 𝐴 = 0)
25	21, 24	2falsed 376	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 0) → (-1 = 0 ↔ 𝐴 = 0))
26	1, 3, 5, 7, 10, 17, 25	sgn3da 32907	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → ((sgn‘𝐴) = 0 ↔ 𝐴 = 0))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2932   class class class wbr 5085  ‘cfv 6498  0cc0 11038  1c1 11039  ℝ^*cxr 11178   < clt 11179  -cneg 11378  sgncsgn 15048

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-id 5526  df-po 5539  df-so 5540  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-sub 11379  df-neg 11380  df-sgn 15049

This theorem is referenced by:  signsvtn0  34714  signstfvneq0  34716