Theorem bcm1n 30256

Description: The proportion of one binomial coefficient to another with 𝑁 decreased by 1. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-Nov-2016.)

Assertion

Ref	Expression
bcm1n	⊢ ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝑁 − 1)C𝐾) / (𝑁C𝐾)) = ((𝑁 − 𝐾) / 𝑁))

Proof of Theorem bcm1n

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bcp1n 13484	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) → (((𝑁 − 1) + 1)C𝐾) = (((𝑁 − 1)C𝐾) · (((𝑁 − 1) + 1) / (((𝑁 − 1) + 1) − 𝐾))))
2		nnz 11810	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
3	2	zcnd 11894	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
4	3	adantl 474	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℂ)
5		1cnd 10426	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℂ)
6	4, 5	npcand 10794	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
7	6	oveq1d 6985	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝑁 − 1) + 1)C𝐾) = (𝑁C𝐾))
8	6	oveq1d 6985	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝑁 − 1) + 1) − 𝐾) = (𝑁 − 𝐾))
9	6, 8	oveq12d 6988	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝑁 − 1) + 1) / (((𝑁 − 1) + 1) − 𝐾)) = (𝑁 / (𝑁 − 𝐾)))
10	9	oveq2d 6986	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝑁 − 1)C𝐾) · (((𝑁 − 1) + 1) / (((𝑁 − 1) + 1) − 𝐾))) = (((𝑁 − 1)C𝐾) · (𝑁 / (𝑁 − 𝐾))))
11	7, 10	eqeq12d 2787	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((((𝑁 − 1) + 1)C𝐾) = (((𝑁 − 1)C𝐾) · (((𝑁 − 1) + 1) / (((𝑁 − 1) + 1) − 𝐾))) ↔ (𝑁C𝐾) = (((𝑁 − 1)C𝐾) · (𝑁 / (𝑁 − 𝐾)))))
12	1, 11	syl5ib 236	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) → (𝑁C𝐾) = (((𝑁 − 1)C𝐾) · (𝑁 / (𝑁 − 𝐾)))))
13	12	3impia 1097	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → (𝑁C𝐾) = (((𝑁 − 1)C𝐾) · (𝑁 / (𝑁 − 𝐾))))
14	13	3anidm13 1400	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁C𝐾) = (((𝑁 − 1)C𝐾) · (𝑁 / (𝑁 − 𝐾))))
15		elfznn0 12809	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) → 𝐾 ∈ ℕ0)
16	15	adantr 473	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝐾 ∈ ℕ0)
17		simpr 477	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℕ)
18	17	nnnn0d 11760	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℕ0)
19		elfzelz 12717	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) → 𝐾 ∈ ℤ)
20	19	adantr 473	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝐾 ∈ ℤ)
21	20	zred 11893	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝐾 ∈ ℝ)
22	2	adantl 474	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℤ)
23	22	zred 11893	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℝ)
24		elfzle2 12720	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) → 𝐾 ≤ (𝑁 − 1))
25	24	adantr 473	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝐾 ≤ (𝑁 − 1))
26		zltlem1 11841	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 < 𝑁 ↔ 𝐾 ≤ (𝑁 − 1)))
27	19, 2, 26	syl2an 586	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐾 < 𝑁 ↔ 𝐾 ≤ (𝑁 − 1)))
28	25, 27	mpbird 249	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝐾 < 𝑁)
29	21, 23, 28	ltled 10580	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝐾 ≤ 𝑁)
30		elfz2nn0 12807	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ↔ (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁))
31	16, 18, 29, 30	syl3anbrc 1323	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝐾 ∈ (0...𝑁))
32		bcrpcl 13476	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (𝑁C𝐾) ∈ ℝ+)
33	31, 32	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁C𝐾) ∈ ℝ+)
34	33	rpcnd 12243	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁C𝐾) ∈ ℂ)
35	19	zcnd 11894	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) → 𝐾 ∈ ℂ)
36	35	adantr 473	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝐾 ∈ ℂ)
37	4, 36	subcld 10790	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 − 𝐾) ∈ ℂ)
38	36, 4	negsubdi2d 10806	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → -(𝐾 − 𝑁) = (𝑁 − 𝐾))
39	21, 23	resubcld 10861	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐾 − 𝑁) ∈ ℝ)
40	39	recnd 10460	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐾 − 𝑁) ∈ ℂ)
41	4	addid2d 10633	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (0 + 𝑁) = 𝑁)
42	28, 41	breqtrrd 4951	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝐾 < (0 + 𝑁))
43		0red 10435	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 0 ∈ ℝ)
44	21, 23, 43	ltsubaddd 11029	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐾 − 𝑁) < 0 ↔ 𝐾 < (0 + 𝑁)))
45	42, 44	mpbird 249	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐾 − 𝑁) < 0)
46	45	lt0ne0d 10998	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐾 − 𝑁) ≠ 0)
47	40, 46	negne0d 10788	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → -(𝐾 − 𝑁) ≠ 0)
48	38, 47	eqnetrrd 3029	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 − 𝐾) ≠ 0)
49	4, 37, 48	divcld 11209	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 / (𝑁 − 𝐾)) ∈ ℂ)
50		bcrpcl 13476	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) → ((𝑁 − 1)C𝐾) ∈ ℝ+)
51	50	adantr 473	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑁 − 1)C𝐾) ∈ ℝ+)
52	51	rpcnne0d 12250	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝑁 − 1)C𝐾) ∈ ℂ ∧ ((𝑁 − 1)C𝐾) ≠ 0))
53		divmul2 11095	. . . . 5 ⊢ (((𝑁C𝐾) ∈ ℂ ∧ (𝑁 / (𝑁 − 𝐾)) ∈ ℂ ∧ (((𝑁 − 1)C𝐾) ∈ ℂ ∧ ((𝑁 − 1)C𝐾) ≠ 0)) → (((𝑁C𝐾) / ((𝑁 − 1)C𝐾)) = (𝑁 / (𝑁 − 𝐾)) ↔ (𝑁C𝐾) = (((𝑁 − 1)C𝐾) · (𝑁 / (𝑁 − 𝐾)))))
54	34, 49, 52, 53	syl3anc 1351	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝑁C𝐾) / ((𝑁 − 1)C𝐾)) = (𝑁 / (𝑁 − 𝐾)) ↔ (𝑁C𝐾) = (((𝑁 − 1)C𝐾) · (𝑁 / (𝑁 − 𝐾)))))
55	14, 54	mpbird 249	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑁C𝐾) / ((𝑁 − 1)C𝐾)) = (𝑁 / (𝑁 − 𝐾)))
56	55	oveq2d 6986	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (1 / ((𝑁C𝐾) / ((𝑁 − 1)C𝐾))) = (1 / (𝑁 / (𝑁 − 𝐾))))
57	51	rpcnd 12243	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑁 − 1)C𝐾) ∈ ℂ)
58		bccl2 13491	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (𝑁C𝐾) ∈ ℕ)
59	31, 58	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁C𝐾) ∈ ℕ)
60	59	nnne0d 11483	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁C𝐾) ≠ 0)
61		bccl2 13491	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) → ((𝑁 − 1)C𝐾) ∈ ℕ)
62	61	nnne0d 11483	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) → ((𝑁 − 1)C𝐾) ≠ 0)
63	62	adantr 473	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑁 − 1)C𝐾) ≠ 0)
64	34, 57, 60, 63	recdivd 11226	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (1 / ((𝑁C𝐾) / ((𝑁 − 1)C𝐾))) = (((𝑁 − 1)C𝐾) / (𝑁C𝐾)))
65	17	nnne0d 11483	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ≠ 0)
66	4, 37, 65, 48	recdivd 11226	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (1 / (𝑁 / (𝑁 − 𝐾))) = ((𝑁 − 𝐾) / 𝑁))
67	56, 64, 66	3eqtr3d 2816	1 ⊢ ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝑁 − 1)C𝐾) / (𝑁C𝐾)) = ((𝑁 − 𝐾) / 𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 387   = wceq 1507   ∈ wcel 2048   ≠ wne 2961   class class class wbr 4923  (class class class)co 6970  ℂcc 10325  0cc0 10327  1c1 10328   + caddc 10330   · cmul 10332   < clt 10466   ≤ cle 10467   − cmin 10662  -cneg 10663   / cdiv 11090  ℕcn 11431  ℕ₀cn0 11700  ℤcz 11786  ℝ⁺crp 12197  ...cfz 12701  Ccbc 13470

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1964  ax-8 2050  ax-9 2057  ax-10 2077  ax-11 2091  ax-12 2104  ax-13 2299  ax-ext 2745  ax-sep 5054  ax-nul 5061  ax-pow 5113  ax-pr 5180  ax-un 7273  ax-cnex 10383  ax-resscn 10384  ax-1cn 10385  ax-icn 10386  ax-addcl 10387  ax-addrcl 10388  ax-mulcl 10389  ax-mulrcl 10390  ax-mulcom 10391  ax-addass 10392  ax-mulass 10393  ax-distr 10394  ax-i2m1 10395  ax-1ne0 10396  ax-1rid 10397  ax-rnegex 10398  ax-rrecex 10399  ax-cnre 10400  ax-pre-lttri 10401  ax-pre-lttrn 10402  ax-pre-ltadd 10403  ax-pre-mulgt0 10404

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2014  df-mo 2544  df-eu 2580  df-clab 2754  df-cleq 2765  df-clel 2840  df-nfc 2912  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3087  df-rex 3088  df-reu 3089  df-rmo 3090  df-rab 3091  df-v 3411  df-sbc 3678  df-csb 3783  df-dif 3828  df-un 3830  df-in 3832  df-ss 3839  df-pss 3841  df-nul 4174  df-if 4345  df-pw 4418  df-sn 4436  df-pr 4438  df-tp 4440  df-op 4442  df-uni 4707  df-iun 4788  df-br 4924  df-opab 4986  df-mpt 5003  df-tr 5025  df-id 5305  df-eprel 5310  df-po 5319  df-so 5320  df-fr 5359  df-we 5361  df-xp 5406  df-rel 5407  df-cnv 5408  df-co 5409  df-dm 5410  df-rn 5411  df-res 5412  df-ima 5413  df-pred 5980  df-ord 6026  df-on 6027  df-lim 6028  df-suc 6029  df-iota 6146  df-fun 6184  df-fn 6185  df-f 6186  df-f1 6187  df-fo 6188  df-f1o 6189  df-fv 6190  df-riota 6931  df-ov 6973  df-oprab 6974  df-mpo 6975  df-om 7391  df-1st 7494  df-2nd 7495  df-wrecs 7743  df-recs 7805  df-rdg 7843  df-er 8081  df-en 8299  df-dom 8300  df-sdom 8301  df-pnf 10468  df-mnf 10469  df-xr 10470  df-ltxr 10471  df-le 10472  df-sub 10664  df-neg 10665  df-div 11091  df-nn 11432  df-n0 11701  df-z 11787  df-uz 12052  df-rp 12198  df-fz 12702  df-seq 13178  df-fac 13442  df-bc 13471

This theorem is referenced by:  ballotlem2  31349