bcm1n - Mathbox for Thierry Arnoux

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Theorem bcm1n 32563

Description: The proportion of one binomial coefficient to another with 𝑁 decreased by 1. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-Nov-2016.)

**Assertion**
Ref	Expression
bcm1n	⊢ ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝑁 − 1)C𝐾) / (𝑁C𝐾)) = ((𝑁 − 𝐾) / 𝑁))

**Proof of Theorem bcm1n**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		bcp1n 14307	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) → (((𝑁 − 1) + 1)C𝐾) = (((𝑁 − 1)C𝐾) · (((𝑁 − 1) + 1) / (((𝑁 − 1) + 1) − 𝐾))))
2		nnz 12609	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
3	2	zcnd 12697	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
4	3	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℂ)
5		1cnd 11239	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℂ)
6	4, 5	npcand 11605	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
7	6	oveq1d 7435	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝑁 − 1) + 1)C𝐾) = (𝑁C𝐾))
8	6	oveq1d 7435	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝑁 − 1) + 1) − 𝐾) = (𝑁 − 𝐾))
9	6, 8	oveq12d 7438	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝑁 − 1) + 1) / (((𝑁 − 1) + 1) − 𝐾)) = (𝑁 / (𝑁 − 𝐾)))
10	9	oveq2d 7436	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝑁 − 1)C𝐾) · (((𝑁 − 1) + 1) / (((𝑁 − 1) + 1) − 𝐾))) = (((𝑁 − 1)C𝐾) · (𝑁 / (𝑁 − 𝐾))))
11	7, 10	eqeq12d 2744	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((((𝑁 − 1) + 1)C𝐾) = (((𝑁 − 1)C𝐾) · (((𝑁 − 1) + 1) / (((𝑁 − 1) + 1) − 𝐾))) ↔ (𝑁C𝐾) = (((𝑁 − 1)C𝐾) · (𝑁 / (𝑁 − 𝐾)))))
12	1, 11	imbitrid 243	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) → (𝑁C𝐾) = (((𝑁 − 1)C𝐾) · (𝑁 / (𝑁 − 𝐾)))))
13	12	3impia 1115	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → (𝑁C𝐾) = (((𝑁 − 1)C𝐾) · (𝑁 / (𝑁 − 𝐾))))
14	13	3anidm13 1418	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁C𝐾) = (((𝑁 − 1)C𝐾) · (𝑁 / (𝑁 − 𝐾))))
15		elfznn0 13626	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) → 𝐾 ∈ ℕ₀)
16	15	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝐾 ∈ ℕ₀)
17		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℕ)
18	17	nnnn0d 12562	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℕ₀)
19		elfzelz 13533	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) → 𝐾 ∈ ℤ)
20	19	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝐾 ∈ ℤ)
21	20	zred 12696	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝐾 ∈ ℝ)
22	2	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℤ)
23	22	zred 12696	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℝ)
24		elfzle2 13537	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) → 𝐾 ≤ (𝑁 − 1))
25	24	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝐾 ≤ (𝑁 − 1))
26		zltlem1 12645	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 < 𝑁 ↔ 𝐾 ≤ (𝑁 − 1)))
27	19, 2, 26	syl2an 595	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐾 < 𝑁 ↔ 𝐾 ≤ (𝑁 − 1)))
28	25, 27	mpbird 257	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝐾 < 𝑁)
29	21, 23, 28	ltled 11392	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝐾 ≤ 𝑁)
30		elfz2nn0 13624	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ↔ (𝐾 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 𝐾 ≤ 𝑁))
31	16, 18, 29, 30	syl3anbrc 1341	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝐾 ∈ (0...𝑁))
32		bcrpcl 14299	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (𝑁C𝐾) ∈ ℝ⁺)
33	31, 32	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁C𝐾) ∈ ℝ⁺)
34	33	rpcnd 13050	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁C𝐾) ∈ ℂ)
35	19	zcnd 12697	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) → 𝐾 ∈ ℂ)
36	35	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝐾 ∈ ℂ)
37	4, 36	subcld 11601	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 − 𝐾) ∈ ℂ)
38	36, 4	negsubdi2d 11617	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → -(𝐾 − 𝑁) = (𝑁 − 𝐾))
39	21, 23	resubcld 11672	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐾 − 𝑁) ∈ ℝ)
40	39	recnd 11272	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐾 − 𝑁) ∈ ℂ)
41	4	addlidd 11445	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (0 + 𝑁) = 𝑁)
42	28, 41	breqtrrd 5176	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝐾 < (0 + 𝑁))
43		0red 11247	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 0 ∈ ℝ)
44	21, 23, 43	ltsubaddd 11840	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐾 − 𝑁) < 0 ↔ 𝐾 < (0 + 𝑁)))
45	42, 44	mpbird 257	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐾 − 𝑁) < 0)
46	45	lt0ne0d 11809	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐾 − 𝑁) ≠ 0)
47	40, 46	negne0d 11599	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → -(𝐾 − 𝑁) ≠ 0)
48	38, 47	eqnetrrd 3006	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 − 𝐾) ≠ 0)
49	4, 37, 48	divcld 12020	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 / (𝑁 − 𝐾)) ∈ ℂ)
50		bcrpcl 14299	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) → ((𝑁 − 1)C𝐾) ∈ ℝ⁺)
51	50	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑁 − 1)C𝐾) ∈ ℝ⁺)
52	51	rpcnne0d 13057	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝑁 − 1)C𝐾) ∈ ℂ ∧ ((𝑁 − 1)C𝐾) ≠ 0))
53		divmul2 11906	. . . . 5 ⊢ (((𝑁C𝐾) ∈ ℂ ∧ (𝑁 / (𝑁 − 𝐾)) ∈ ℂ ∧ (((𝑁 − 1)C𝐾) ∈ ℂ ∧ ((𝑁 − 1)C𝐾) ≠ 0)) → (((𝑁C𝐾) / ((𝑁 − 1)C𝐾)) = (𝑁 / (𝑁 − 𝐾)) ↔ (𝑁C𝐾) = (((𝑁 − 1)C𝐾) · (𝑁 / (𝑁 − 𝐾)))))
54	34, 49, 52, 53	syl3anc 1369	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝑁C𝐾) / ((𝑁 − 1)C𝐾)) = (𝑁 / (𝑁 − 𝐾)) ↔ (𝑁C𝐾) = (((𝑁 − 1)C𝐾) · (𝑁 / (𝑁 − 𝐾)))))
55	14, 54	mpbird 257	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑁C𝐾) / ((𝑁 − 1)C𝐾)) = (𝑁 / (𝑁 − 𝐾)))
56	55	oveq2d 7436	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (1 / ((𝑁C𝐾) / ((𝑁 − 1)C𝐾))) = (1 / (𝑁 / (𝑁 − 𝐾))))
57	51	rpcnd 13050	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑁 − 1)C𝐾) ∈ ℂ)
58		bccl2 14314	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (𝑁C𝐾) ∈ ℕ)
59	31, 58	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁C𝐾) ∈ ℕ)
60	59	nnne0d 12292	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁C𝐾) ≠ 0)
61		bccl2 14314	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) → ((𝑁 − 1)C𝐾) ∈ ℕ)
62	61	nnne0d 12292	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) → ((𝑁 − 1)C𝐾) ≠ 0)
63	62	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑁 − 1)C𝐾) ≠ 0)
64	34, 57, 60, 63	recdivd 12037	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (1 / ((𝑁C𝐾) / ((𝑁 − 1)C𝐾))) = (((𝑁 − 1)C𝐾) / (𝑁C𝐾)))
65	17	nnne0d 12292	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ≠ 0)
66	4, 37, 65, 48	recdivd 12037	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (1 / (𝑁 / (𝑁 − 𝐾))) = ((𝑁 − 𝐾) / 𝑁))
67	56, 64, 66	3eqtr3d 2776	1 ⊢ ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝑁 − 1)C𝐾) / (𝑁C𝐾)) = ((𝑁 − 𝐾) / 𝑁))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ↔ wb 205 ∧ wa 395 = wceq 1534 ∈ wcel 2099 ≠ wne 2937 class class class wbr 5148 (class class class)co 7420 ℂcc 11136 0cc0 11138 1c1 11139 + caddc 11141 · cmul 11143 < clt 11278 ≤ cle 11279 − cmin 11474 -cneg 11475 / cdiv 11901 ℕcn 12242 ℕ₀cn0 12502 ℤcz 12588 ℝ⁺crp 13006 ...cfz 13516 Ccbc 14293

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1790 ax-4 1804 ax-5 1906 ax-6 1964 ax-7 2004 ax-8 2101 ax-9 2109 ax-10 2130 ax-11 2147 ax-12 2167 ax-ext 2699 ax-sep 5299 ax-nul 5306 ax-pow 5365 ax-pr 5429 ax-un 7740 ax-cnex 11194 ax-resscn 11195 ax-1cn 11196 ax-icn 11197 ax-addcl 11198 ax-addrcl 11199 ax-mulcl 11200 ax-mulrcl 11201 ax-mulcom 11202 ax-addass 11203 ax-mulass 11204 ax-distr 11205 ax-i2m1 11206 ax-1ne0 11207 ax-1rid 11208 ax-rnegex 11209 ax-rrecex 11210 ax-cnre 11211 ax-pre-lttri 11212 ax-pre-lttrn 11213 ax-pre-ltadd 11214 ax-pre-mulgt0 11215

This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 396 df-or 847 df-3or 1086 df-3an 1087 df-tru 1537 df-fal 1547 df-ex 1775 df-nf 1779 df-sb 2061 df-mo 2530 df-eu 2559 df-clab 2706 df-cleq 2720 df-clel 2806 df-nfc 2881 df-ne 2938 df-nel 3044 df-ral 3059 df-rex 3068 df-rmo 3373 df-reu 3374 df-rab 3430 df-v 3473 df-sbc 3777 df-csb 3893 df-dif 3950 df-un 3952 df-in 3954 df-ss 3964 df-pss 3966 df-nul 4324 df-if 4530 df-pw 4605 df-sn 4630 df-pr 4632 df-op 4636 df-uni 4909 df-iun 4998 df-br 5149 df-opab 5211 df-mpt 5232 df-tr 5266 df-id 5576 df-eprel 5582 df-po 5590 df-so 5591 df-fr 5633 df-we 5635 df-xp 5684 df-rel 5685 df-cnv 5686 df-co 5687 df-dm 5688 df-rn 5689 df-res 5690 df-ima 5691 df-pred 6305 df-ord 6372 df-on 6373 df-lim 6374 df-suc 6375 df-iota 6500 df-fun 6550 df-fn 6551 df-f 6552 df-f1 6553 df-fo 6554 df-f1o 6555 df-fv 6556 df-riota 7376 df-ov 7423 df-oprab 7424 df-mpo 7425 df-om 7871 df-1st 7993 df-2nd 7994 df-frecs 8286 df-wrecs 8317 df-recs 8391 df-rdg 8430 df-er 8724 df-en 8964 df-dom 8965 df-sdom 8966 df-pnf 11280 df-mnf 11281 df-xr 11282 df-ltxr 11283 df-le 11284 df-sub 11476 df-neg 11477 df-div 11902 df-nn 12243 df-n0 12503 df-z 12589 df-uz 12853 df-rp 13007 df-fz 13517 df-seq 13999 df-fac 14265 df-bc 14294

This theorem is referenced by: ballotlem2 34108

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