Proof of Theorem bcm1n
| Step | Hyp | Ref
| Expression |
| 1 | | bcp1n 14355 |
. . . . . . 7
⊢ (𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) → (((𝑁 − 1) + 1)C𝐾) = (((𝑁 − 1)C𝐾) · (((𝑁 − 1) + 1) / (((𝑁 − 1) + 1) − 𝐾)))) |
| 2 | | nnz 12634 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈
ℤ) |
| 3 | 2 | zcnd 12723 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈
ℂ) |
| 4 | 3 | adantl 481 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℂ) |
| 5 | | 1cnd 11256 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 1 ∈
ℂ) |
| 6 | 4, 5 | npcand 11624 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁) |
| 7 | 6 | oveq1d 7446 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝑁 − 1) + 1)C𝐾) = (𝑁C𝐾)) |
| 8 | 6 | oveq1d 7446 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝑁 − 1) + 1) − 𝐾) = (𝑁 − 𝐾)) |
| 9 | 6, 8 | oveq12d 7449 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝑁 − 1) + 1) / (((𝑁 − 1) + 1) − 𝐾)) = (𝑁 / (𝑁 − 𝐾))) |
| 10 | 9 | oveq2d 7447 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝑁 − 1)C𝐾) · (((𝑁 − 1) + 1) / (((𝑁 − 1) + 1) − 𝐾))) = (((𝑁 − 1)C𝐾) · (𝑁 / (𝑁 − 𝐾)))) |
| 11 | 7, 10 | eqeq12d 2753 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((((𝑁 − 1) + 1)C𝐾) = (((𝑁 − 1)C𝐾) · (((𝑁 − 1) + 1) / (((𝑁 − 1) + 1) − 𝐾))) ↔ (𝑁C𝐾) = (((𝑁 − 1)C𝐾) · (𝑁 / (𝑁 − 𝐾))))) |
| 12 | 1, 11 | imbitrid 244 |
. . . . . 6
⊢ ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) → (𝑁C𝐾) = (((𝑁 − 1)C𝐾) · (𝑁 / (𝑁 − 𝐾))))) |
| 13 | 12 | 3impia 1118 |
. . . . 5
⊢ ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → (𝑁C𝐾) = (((𝑁 − 1)C𝐾) · (𝑁 / (𝑁 − 𝐾)))) |
| 14 | 13 | 3anidm13 1422 |
. . . 4
⊢ ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁C𝐾) = (((𝑁 − 1)C𝐾) · (𝑁 / (𝑁 − 𝐾)))) |
| 15 | | elfznn0 13660 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) → 𝐾 ∈
ℕ0) |
| 16 | 15 | adantr 480 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝐾 ∈
ℕ0) |
| 17 | | simpr 484 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℕ) |
| 18 | 17 | nnnn0d 12587 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈
ℕ0) |
| 19 | | elfzelz 13564 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) → 𝐾 ∈ ℤ) |
| 20 | 19 | adantr 480 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝐾 ∈ ℤ) |
| 21 | 20 | zred 12722 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝐾 ∈ ℝ) |
| 22 | 2 | adantl 481 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℤ) |
| 23 | 22 | zred 12722 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℝ) |
| 24 | | elfzle2 13568 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) → 𝐾 ≤ (𝑁 − 1)) |
| 25 | 24 | adantr 480 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝐾 ≤ (𝑁 − 1)) |
| 26 | | zltlem1 12670 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 < 𝑁 ↔ 𝐾 ≤ (𝑁 − 1))) |
| 27 | 19, 2, 26 | syl2an 596 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐾 < 𝑁 ↔ 𝐾 ≤ (𝑁 − 1))) |
| 28 | 25, 27 | mpbird 257 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝐾 < 𝑁) |
| 29 | 21, 23, 28 | ltled 11409 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝐾 ≤ 𝑁) |
| 30 | | elfz2nn0 13658 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ↔ (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0
∧ 𝐾 ≤ 𝑁)) |
| 31 | 16, 18, 29, 30 | syl3anbrc 1344 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝐾 ∈ (0...𝑁)) |
| 32 | | bcrpcl 14347 |
. . . . . . 7
⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (𝑁C𝐾) ∈
ℝ+) |
| 33 | 31, 32 | syl 17 |
. . . . . 6
⊢ ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁C𝐾) ∈
ℝ+) |
| 34 | 33 | rpcnd 13079 |
. . . . 5
⊢ ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁C𝐾) ∈ ℂ) |
| 35 | 19 | zcnd 12723 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) → 𝐾 ∈ ℂ) |
| 36 | 35 | adantr 480 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝐾 ∈ ℂ) |
| 37 | 4, 36 | subcld 11620 |
. . . . . 6
⊢ ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 − 𝐾) ∈ ℂ) |
| 38 | 36, 4 | negsubdi2d 11636 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → -(𝐾 − 𝑁) = (𝑁 − 𝐾)) |
| 39 | 21, 23 | resubcld 11691 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐾 − 𝑁) ∈ ℝ) |
| 40 | 39 | recnd 11289 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐾 − 𝑁) ∈ ℂ) |
| 41 | 4 | addlidd 11462 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (0 + 𝑁) = 𝑁) |
| 42 | 28, 41 | breqtrrd 5171 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝐾 < (0 + 𝑁)) |
| 43 | | 0red 11264 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 0 ∈
ℝ) |
| 44 | 21, 23, 43 | ltsubaddd 11859 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐾 − 𝑁) < 0 ↔ 𝐾 < (0 + 𝑁))) |
| 45 | 42, 44 | mpbird 257 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐾 − 𝑁) < 0) |
| 46 | 45 | lt0ne0d 11828 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐾 − 𝑁) ≠ 0) |
| 47 | 40, 46 | negne0d 11618 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → -(𝐾 − 𝑁) ≠ 0) |
| 48 | 38, 47 | eqnetrrd 3009 |
. . . . . 6
⊢ ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 − 𝐾) ≠ 0) |
| 49 | 4, 37, 48 | divcld 12043 |
. . . . 5
⊢ ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 / (𝑁 − 𝐾)) ∈ ℂ) |
| 50 | | bcrpcl 14347 |
. . . . . . 7
⊢ (𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) → ((𝑁 − 1)C𝐾) ∈
ℝ+) |
| 51 | 50 | adantr 480 |
. . . . . 6
⊢ ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑁 − 1)C𝐾) ∈
ℝ+) |
| 52 | 51 | rpcnne0d 13086 |
. . . . 5
⊢ ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝑁 − 1)C𝐾) ∈ ℂ ∧ ((𝑁 − 1)C𝐾) ≠ 0)) |
| 53 | | divmul2 11926 |
. . . . 5
⊢ (((𝑁C𝐾) ∈ ℂ ∧ (𝑁 / (𝑁 − 𝐾)) ∈ ℂ ∧ (((𝑁 − 1)C𝐾) ∈ ℂ ∧ ((𝑁 − 1)C𝐾) ≠ 0)) → (((𝑁C𝐾) / ((𝑁 − 1)C𝐾)) = (𝑁 / (𝑁 − 𝐾)) ↔ (𝑁C𝐾) = (((𝑁 − 1)C𝐾) · (𝑁 / (𝑁 − 𝐾))))) |
| 54 | 34, 49, 52, 53 | syl3anc 1373 |
. . . 4
⊢ ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝑁C𝐾) / ((𝑁 − 1)C𝐾)) = (𝑁 / (𝑁 − 𝐾)) ↔ (𝑁C𝐾) = (((𝑁 − 1)C𝐾) · (𝑁 / (𝑁 − 𝐾))))) |
| 55 | 14, 54 | mpbird 257 |
. . 3
⊢ ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑁C𝐾) / ((𝑁 − 1)C𝐾)) = (𝑁 / (𝑁 − 𝐾))) |
| 56 | 55 | oveq2d 7447 |
. 2
⊢ ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (1 / ((𝑁C𝐾) / ((𝑁 − 1)C𝐾))) = (1 / (𝑁 / (𝑁 − 𝐾)))) |
| 57 | 51 | rpcnd 13079 |
. . 3
⊢ ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑁 − 1)C𝐾) ∈ ℂ) |
| 58 | | bccl2 14362 |
. . . . 5
⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (𝑁C𝐾) ∈ ℕ) |
| 59 | 31, 58 | syl 17 |
. . . 4
⊢ ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁C𝐾) ∈ ℕ) |
| 60 | 59 | nnne0d 12316 |
. . 3
⊢ ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁C𝐾) ≠ 0) |
| 61 | | bccl2 14362 |
. . . . 5
⊢ (𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) → ((𝑁 − 1)C𝐾) ∈ ℕ) |
| 62 | 61 | nnne0d 12316 |
. . . 4
⊢ (𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) → ((𝑁 − 1)C𝐾) ≠ 0) |
| 63 | 62 | adantr 480 |
. . 3
⊢ ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑁 − 1)C𝐾) ≠ 0) |
| 64 | 34, 57, 60, 63 | recdivd 12060 |
. 2
⊢ ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (1 / ((𝑁C𝐾) / ((𝑁 − 1)C𝐾))) = (((𝑁 − 1)C𝐾) / (𝑁C𝐾))) |
| 65 | 17 | nnne0d 12316 |
. . 3
⊢ ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ≠ 0) |
| 66 | 4, 37, 65, 48 | recdivd 12060 |
. 2
⊢ ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (1 / (𝑁 / (𝑁 − 𝐾))) = ((𝑁 − 𝐾) / 𝑁)) |
| 67 | 56, 64, 66 | 3eqtr3d 2785 |
1
⊢ ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝑁 − 1)C𝐾) / (𝑁C𝐾)) = ((𝑁 − 𝐾) / 𝑁)) |