Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  bcm1n Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem bcm1n 32500
Description: The proportion of one binomial coefficient to another with ๐‘ decreased by 1. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-Nov-2016.)
Assertion
Ref Expression
bcm1n ((๐พ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1)) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (((๐‘ โˆ’ 1)C๐พ) / (๐‘C๐พ)) = ((๐‘ โˆ’ ๐พ) / ๐‘))

Proof of Theorem bcm1n
StepHypRef Expression
1 bcp1n 14277 . . . . . . 7 (๐พ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1)) โ†’ (((๐‘ โˆ’ 1) + 1)C๐พ) = (((๐‘ โˆ’ 1)C๐พ) ยท (((๐‘ โˆ’ 1) + 1) / (((๐‘ โˆ’ 1) + 1) โˆ’ ๐พ))))
2 nnz 12578 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
32zcnd 12666 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
43adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((๐พ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1)) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
5 1cnd 11208 . . . . . . . . . 10 ((๐พ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1)) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
64, 5npcand 11574 . . . . . . . . 9 ((๐พ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1)) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘ โˆ’ 1) + 1) = ๐‘)
76oveq1d 7417 . . . . . . . 8 ((๐พ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1)) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (((๐‘ โˆ’ 1) + 1)C๐พ) = (๐‘C๐พ))
86oveq1d 7417 . . . . . . . . . 10 ((๐พ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1)) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (((๐‘ โˆ’ 1) + 1) โˆ’ ๐พ) = (๐‘ โˆ’ ๐พ))
96, 8oveq12d 7420 . . . . . . . . 9 ((๐พ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1)) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (((๐‘ โˆ’ 1) + 1) / (((๐‘ โˆ’ 1) + 1) โˆ’ ๐พ)) = (๐‘ / (๐‘ โˆ’ ๐พ)))
109oveq2d 7418 . . . . . . . 8 ((๐พ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1)) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (((๐‘ โˆ’ 1)C๐พ) ยท (((๐‘ โˆ’ 1) + 1) / (((๐‘ โˆ’ 1) + 1) โˆ’ ๐พ))) = (((๐‘ โˆ’ 1)C๐พ) ยท (๐‘ / (๐‘ โˆ’ ๐พ))))
117, 10eqeq12d 2740 . . . . . . 7 ((๐พ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1)) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ((((๐‘ โˆ’ 1) + 1)C๐พ) = (((๐‘ โˆ’ 1)C๐พ) ยท (((๐‘ โˆ’ 1) + 1) / (((๐‘ โˆ’ 1) + 1) โˆ’ ๐พ))) โ†” (๐‘C๐พ) = (((๐‘ โˆ’ 1)C๐พ) ยท (๐‘ / (๐‘ โˆ’ ๐พ)))))
121, 11imbitrid 243 . . . . . 6 ((๐พ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1)) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐พ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1)) โ†’ (๐‘C๐พ) = (((๐‘ โˆ’ 1)C๐พ) ยท (๐‘ / (๐‘ โˆ’ ๐พ)))))
13123impia 1114 . . . . 5 ((๐พ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1)) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))) โ†’ (๐‘C๐พ) = (((๐‘ โˆ’ 1)C๐พ) ยท (๐‘ / (๐‘ โˆ’ ๐พ))))
14133anidm13 1417 . . . 4 ((๐พ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1)) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘C๐พ) = (((๐‘ โˆ’ 1)C๐พ) ยท (๐‘ / (๐‘ โˆ’ ๐พ))))
15 elfznn0 13595 . . . . . . . . 9 (๐พ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1)) โ†’ ๐พ โˆˆ โ„•0)
1615adantr 480 . . . . . . . 8 ((๐พ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1)) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐พ โˆˆ โ„•0)
17 simpr 484 . . . . . . . . 9 ((๐พ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1)) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
1817nnnn0d 12531 . . . . . . . 8 ((๐พ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1)) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•0)
19 elfzelz 13502 . . . . . . . . . . 11 (๐พ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1)) โ†’ ๐พ โˆˆ โ„ค)
2019adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((๐พ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1)) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐พ โˆˆ โ„ค)
2120zred 12665 . . . . . . . . 9 ((๐พ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1)) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐พ โˆˆ โ„)
222adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((๐พ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1)) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
2322zred 12665 . . . . . . . . 9 ((๐พ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1)) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„)
24 elfzle2 13506 . . . . . . . . . . 11 (๐พ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1)) โ†’ ๐พ โ‰ค (๐‘ โˆ’ 1))
2524adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((๐พ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1)) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐พ โ‰ค (๐‘ โˆ’ 1))
26 zltlem1 12614 . . . . . . . . . . 11 ((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐พ < ๐‘ โ†” ๐พ โ‰ค (๐‘ โˆ’ 1)))
2719, 2, 26syl2an 595 . . . . . . . . . 10 ((๐พ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1)) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐พ < ๐‘ โ†” ๐พ โ‰ค (๐‘ โˆ’ 1)))
2825, 27mpbird 257 . . . . . . . . 9 ((๐พ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1)) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐พ < ๐‘)
2921, 23, 28ltled 11361 . . . . . . . 8 ((๐พ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1)) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐พ โ‰ค ๐‘)
30 elfz2nn0 13593 . . . . . . . 8 (๐พ โˆˆ (0...๐‘) โ†” (๐พ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐พ โ‰ค ๐‘))
3116, 18, 29, 30syl3anbrc 1340 . . . . . . 7 ((๐พ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1)) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐พ โˆˆ (0...๐‘))
32 bcrpcl 14269 . . . . . . 7 (๐พ โˆˆ (0...๐‘) โ†’ (๐‘C๐พ) โˆˆ โ„+)
3331, 32syl 17 . . . . . 6 ((๐พ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1)) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘C๐พ) โˆˆ โ„+)
3433rpcnd 13019 . . . . 5 ((๐พ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1)) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘C๐พ) โˆˆ โ„‚)
3519zcnd 12666 . . . . . . . 8 (๐พ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1)) โ†’ ๐พ โˆˆ โ„‚)
3635adantr 480 . . . . . . 7 ((๐พ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1)) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐พ โˆˆ โ„‚)
374, 36subcld 11570 . . . . . 6 ((๐พ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1)) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ โˆ’ ๐พ) โˆˆ โ„‚)
3836, 4negsubdi2d 11586 . . . . . . 7 ((๐พ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1)) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ -(๐พ โˆ’ ๐‘) = (๐‘ โˆ’ ๐พ))
3921, 23resubcld 11641 . . . . . . . . 9 ((๐พ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1)) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐พ โˆ’ ๐‘) โˆˆ โ„)
4039recnd 11241 . . . . . . . 8 ((๐พ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1)) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐พ โˆ’ ๐‘) โˆˆ โ„‚)
414addlidd 11414 . . . . . . . . . . 11 ((๐พ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1)) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (0 + ๐‘) = ๐‘)
4228, 41breqtrrd 5167 . . . . . . . . . 10 ((๐พ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1)) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐พ < (0 + ๐‘))
43 0red 11216 . . . . . . . . . . 11 ((๐พ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1)) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ 0 โˆˆ โ„)
4421, 23, 43ltsubaddd 11809 . . . . . . . . . 10 ((๐พ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1)) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐พ โˆ’ ๐‘) < 0 โ†” ๐พ < (0 + ๐‘)))
4542, 44mpbird 257 . . . . . . . . 9 ((๐พ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1)) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐พ โˆ’ ๐‘) < 0)
4645lt0ne0d 11778 . . . . . . . 8 ((๐พ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1)) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐พ โˆ’ ๐‘) โ‰  0)
4740, 46negne0d 11568 . . . . . . 7 ((๐พ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1)) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ -(๐พ โˆ’ ๐‘) โ‰  0)
4838, 47eqnetrrd 3001 . . . . . 6 ((๐พ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1)) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ โˆ’ ๐พ) โ‰  0)
494, 37, 48divcld 11989 . . . . 5 ((๐พ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1)) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ / (๐‘ โˆ’ ๐พ)) โˆˆ โ„‚)
50 bcrpcl 14269 . . . . . . 7 (๐พ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1)) โ†’ ((๐‘ โˆ’ 1)C๐พ) โˆˆ โ„+)
5150adantr 480 . . . . . 6 ((๐พ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1)) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘ โˆ’ 1)C๐พ) โˆˆ โ„+)
5251rpcnne0d 13026 . . . . 5 ((๐พ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1)) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (((๐‘ โˆ’ 1)C๐พ) โˆˆ โ„‚ โˆง ((๐‘ โˆ’ 1)C๐พ) โ‰  0))
53 divmul2 11875 . . . . 5 (((๐‘C๐พ) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘ / (๐‘ โˆ’ ๐พ)) โˆˆ โ„‚ โˆง (((๐‘ โˆ’ 1)C๐พ) โˆˆ โ„‚ โˆง ((๐‘ โˆ’ 1)C๐พ) โ‰  0)) โ†’ (((๐‘C๐พ) / ((๐‘ โˆ’ 1)C๐พ)) = (๐‘ / (๐‘ โˆ’ ๐พ)) โ†” (๐‘C๐พ) = (((๐‘ โˆ’ 1)C๐พ) ยท (๐‘ / (๐‘ โˆ’ ๐พ)))))
5434, 49, 52, 53syl3anc 1368 . . . 4 ((๐พ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1)) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (((๐‘C๐พ) / ((๐‘ โˆ’ 1)C๐พ)) = (๐‘ / (๐‘ โˆ’ ๐พ)) โ†” (๐‘C๐พ) = (((๐‘ โˆ’ 1)C๐พ) ยท (๐‘ / (๐‘ โˆ’ ๐พ)))))
5514, 54mpbird 257 . . 3 ((๐พ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1)) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘C๐พ) / ((๐‘ โˆ’ 1)C๐พ)) = (๐‘ / (๐‘ โˆ’ ๐พ)))
5655oveq2d 7418 . 2 ((๐พ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1)) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (1 / ((๐‘C๐พ) / ((๐‘ โˆ’ 1)C๐พ))) = (1 / (๐‘ / (๐‘ โˆ’ ๐พ))))
5751rpcnd 13019 . . 3 ((๐พ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1)) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘ โˆ’ 1)C๐พ) โˆˆ โ„‚)
58 bccl2 14284 . . . . 5 (๐พ โˆˆ (0...๐‘) โ†’ (๐‘C๐พ) โˆˆ โ„•)
5931, 58syl 17 . . . 4 ((๐พ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1)) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘C๐พ) โˆˆ โ„•)
6059nnne0d 12261 . . 3 ((๐พ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1)) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘C๐พ) โ‰  0)
61 bccl2 14284 . . . . 5 (๐พ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1)) โ†’ ((๐‘ โˆ’ 1)C๐พ) โˆˆ โ„•)
6261nnne0d 12261 . . . 4 (๐พ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1)) โ†’ ((๐‘ โˆ’ 1)C๐พ) โ‰  0)
6362adantr 480 . . 3 ((๐พ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1)) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘ โˆ’ 1)C๐พ) โ‰  0)
6434, 57, 60, 63recdivd 12006 . 2 ((๐พ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1)) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (1 / ((๐‘C๐พ) / ((๐‘ โˆ’ 1)C๐พ))) = (((๐‘ โˆ’ 1)C๐พ) / (๐‘C๐พ)))
6517nnne0d 12261 . . 3 ((๐พ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1)) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘ โ‰  0)
664, 37, 65, 48recdivd 12006 . 2 ((๐พ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1)) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (1 / (๐‘ / (๐‘ โˆ’ ๐พ))) = ((๐‘ โˆ’ ๐พ) / ๐‘))
6756, 64, 663eqtr3d 2772 1 ((๐พ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1)) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (((๐‘ โˆ’ 1)C๐พ) / (๐‘C๐พ)) = ((๐‘ โˆ’ ๐พ) / ๐‘))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 395   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098   โ‰  wne 2932   class class class wbr 5139  (class class class)co 7402  โ„‚cc 11105  0cc0 11107  1c1 11108   + caddc 11110   ยท cmul 11112   < clt 11247   โ‰ค cle 11248   โˆ’ cmin 11443  -cneg 11444   / cdiv 11870  โ„•cn 12211  โ„•0cn0 12471  โ„คcz 12557  โ„+crp 12975  ...cfz 13485  Ccbc 14263
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-om 7850  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8700  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-nn 12212  df-n0 12472  df-z 12558  df-uz 12822  df-rp 12976  df-fz 13486  df-seq 13968  df-fac 14235  df-bc 14264
This theorem is referenced by:  ballotlem2  34006
  Copyright terms: Public domain W3C validator