Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  bcm1n Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem bcm1n 32803
Description: The proportion of one binomial coefficient to another with 𝑁 decreased by 1. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-Nov-2016.)
Assertion
Ref Expression
bcm1n ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝑁 − 1)C𝐾) / (𝑁C𝐾)) = ((𝑁𝐾) / 𝑁))

Proof of Theorem bcm1n
StepHypRef Expression
1 bcp1n 14352 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) → (((𝑁 − 1) + 1)C𝐾) = (((𝑁 − 1)C𝐾) · (((𝑁 − 1) + 1) / (((𝑁 − 1) + 1) − 𝐾))))
2 nnz 12632 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
32zcnd 12721 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
43adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℂ)
5 1cnd 11254 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℂ)
64, 5npcand 11622 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
76oveq1d 7446 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝑁 − 1) + 1)C𝐾) = (𝑁C𝐾))
86oveq1d 7446 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝑁 − 1) + 1) − 𝐾) = (𝑁𝐾))
96, 8oveq12d 7449 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝑁 − 1) + 1) / (((𝑁 − 1) + 1) − 𝐾)) = (𝑁 / (𝑁𝐾)))
109oveq2d 7447 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝑁 − 1)C𝐾) · (((𝑁 − 1) + 1) / (((𝑁 − 1) + 1) − 𝐾))) = (((𝑁 − 1)C𝐾) · (𝑁 / (𝑁𝐾))))
117, 10eqeq12d 2751 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((((𝑁 − 1) + 1)C𝐾) = (((𝑁 − 1)C𝐾) · (((𝑁 − 1) + 1) / (((𝑁 − 1) + 1) − 𝐾))) ↔ (𝑁C𝐾) = (((𝑁 − 1)C𝐾) · (𝑁 / (𝑁𝐾)))))
121, 11imbitrid 244 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) → (𝑁C𝐾) = (((𝑁 − 1)C𝐾) · (𝑁 / (𝑁𝐾)))))
13123impia 1116 . . . . 5 ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → (𝑁C𝐾) = (((𝑁 − 1)C𝐾) · (𝑁 / (𝑁𝐾))))
14133anidm13 1419 . . . 4 ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁C𝐾) = (((𝑁 − 1)C𝐾) · (𝑁 / (𝑁𝐾))))
15 elfznn0 13657 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) → 𝐾 ∈ ℕ0)
1615adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝐾 ∈ ℕ0)
17 simpr 484 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℕ)
1817nnnn0d 12585 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℕ0)
19 elfzelz 13561 . . . . . . . . . . 11 (𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) → 𝐾 ∈ ℤ)
2019adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝐾 ∈ ℤ)
2120zred 12720 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝐾 ∈ ℝ)
222adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℤ)
2322zred 12720 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℝ)
24 elfzle2 13565 . . . . . . . . . . 11 (𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) → 𝐾 ≤ (𝑁 − 1))
2524adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝐾 ≤ (𝑁 − 1))
26 zltlem1 12668 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 < 𝑁𝐾 ≤ (𝑁 − 1)))
2719, 2, 26syl2an 596 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐾 < 𝑁𝐾 ≤ (𝑁 − 1)))
2825, 27mpbird 257 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝐾 < 𝑁)
2921, 23, 28ltled 11407 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝐾𝑁)
30 elfz2nn0 13655 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ (0...𝑁) ↔ (𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝐾𝑁))
3116, 18, 29, 30syl3anbrc 1342 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝐾 ∈ (0...𝑁))
32 bcrpcl 14344 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (𝑁C𝐾) ∈ ℝ+)
3331, 32syl 17 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁C𝐾) ∈ ℝ+)
3433rpcnd 13077 . . . . 5 ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁C𝐾) ∈ ℂ)
3519zcnd 12721 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) → 𝐾 ∈ ℂ)
3635adantr 480 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝐾 ∈ ℂ)
374, 36subcld 11618 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁𝐾) ∈ ℂ)
3836, 4negsubdi2d 11634 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → -(𝐾𝑁) = (𝑁𝐾))
3921, 23resubcld 11689 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐾𝑁) ∈ ℝ)
4039recnd 11287 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐾𝑁) ∈ ℂ)
414addlidd 11460 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (0 + 𝑁) = 𝑁)
4228, 41breqtrrd 5176 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝐾 < (0 + 𝑁))
43 0red 11262 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 0 ∈ ℝ)
4421, 23, 43ltsubaddd 11857 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐾𝑁) < 0 ↔ 𝐾 < (0 + 𝑁)))
4542, 44mpbird 257 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐾𝑁) < 0)
4645lt0ne0d 11826 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐾𝑁) ≠ 0)
4740, 46negne0d 11616 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → -(𝐾𝑁) ≠ 0)
4838, 47eqnetrrd 3007 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁𝐾) ≠ 0)
494, 37, 48divcld 12041 . . . . 5 ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 / (𝑁𝐾)) ∈ ℂ)
50 bcrpcl 14344 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) → ((𝑁 − 1)C𝐾) ∈ ℝ+)
5150adantr 480 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑁 − 1)C𝐾) ∈ ℝ+)
5251rpcnne0d 13084 . . . . 5 ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝑁 − 1)C𝐾) ∈ ℂ ∧ ((𝑁 − 1)C𝐾) ≠ 0))
53 divmul2 11924 . . . . 5 (((𝑁C𝐾) ∈ ℂ ∧ (𝑁 / (𝑁𝐾)) ∈ ℂ ∧ (((𝑁 − 1)C𝐾) ∈ ℂ ∧ ((𝑁 − 1)C𝐾) ≠ 0)) → (((𝑁C𝐾) / ((𝑁 − 1)C𝐾)) = (𝑁 / (𝑁𝐾)) ↔ (𝑁C𝐾) = (((𝑁 − 1)C𝐾) · (𝑁 / (𝑁𝐾)))))
5434, 49, 52, 53syl3anc 1370 . . . 4 ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝑁C𝐾) / ((𝑁 − 1)C𝐾)) = (𝑁 / (𝑁𝐾)) ↔ (𝑁C𝐾) = (((𝑁 − 1)C𝐾) · (𝑁 / (𝑁𝐾)))))
5514, 54mpbird 257 . . 3 ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑁C𝐾) / ((𝑁 − 1)C𝐾)) = (𝑁 / (𝑁𝐾)))
5655oveq2d 7447 . 2 ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (1 / ((𝑁C𝐾) / ((𝑁 − 1)C𝐾))) = (1 / (𝑁 / (𝑁𝐾))))
5751rpcnd 13077 . . 3 ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑁 − 1)C𝐾) ∈ ℂ)
58 bccl2 14359 . . . . 5 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (𝑁C𝐾) ∈ ℕ)
5931, 58syl 17 . . . 4 ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁C𝐾) ∈ ℕ)
6059nnne0d 12314 . . 3 ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁C𝐾) ≠ 0)
61 bccl2 14359 . . . . 5 (𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) → ((𝑁 − 1)C𝐾) ∈ ℕ)
6261nnne0d 12314 . . . 4 (𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) → ((𝑁 − 1)C𝐾) ≠ 0)
6362adantr 480 . . 3 ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑁 − 1)C𝐾) ≠ 0)
6434, 57, 60, 63recdivd 12058 . 2 ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (1 / ((𝑁C𝐾) / ((𝑁 − 1)C𝐾))) = (((𝑁 − 1)C𝐾) / (𝑁C𝐾)))
6517nnne0d 12314 . . 3 ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ≠ 0)
664, 37, 65, 48recdivd 12058 . 2 ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (1 / (𝑁 / (𝑁𝐾))) = ((𝑁𝐾) / 𝑁))
6756, 64, 663eqtr3d 2783 1 ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝑁 − 1)C𝐾) / (𝑁C𝐾)) = ((𝑁𝐾) / 𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  wne 2938   class class class wbr 5148  (class class class)co 7431  cc 11151  0cc0 11153  1c1 11154   + caddc 11156   · cmul 11158   < clt 11293  cle 11294  cmin 11490  -cneg 11491   / cdiv 11918  cn 12264  0cn0 12524  cz 12611  +crp 13032  ...cfz 13544  Ccbc 14338
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-rp 13033  df-fz 13545  df-seq 14040  df-fac 14310  df-bc 14339
This theorem is referenced by:  ballotlem2  34470
  Copyright terms: Public domain W3C validator