Theorem bcm1n 33177

Description: The proportion of one binomial coefficient to another with 𝑁 decreased by 1. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-Nov-2016.)

Assertion

Ref	Expression
bcm1n	⊢ ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝑁 − 1)C𝐾) / (𝑁C𝐾)) = ((𝑁 − 𝐾) / 𝑁))

Proof of Theorem bcm1n

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bcp1n 14372	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) → (((𝑁 − 1) + 1)C𝐾) = (((𝑁 − 1)C𝐾) · (((𝑁 − 1) + 1) / (((𝑁 − 1) + 1) − 𝐾))))
2		nnz 12630	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
3	2	zcnd 12719	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
4	3	adantl 487	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℂ)
5		1cnd 11220	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℂ)
6	4, 5	npcand 11591	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
7	6	oveq1d 7438	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝑁 − 1) + 1)C𝐾) = (𝑁C𝐾))
8	6	oveq1d 7438	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝑁 − 1) + 1) − 𝐾) = (𝑁 − 𝐾))
9	6, 8	oveq12d 7441	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝑁 − 1) + 1) / (((𝑁 − 1) + 1) − 𝐾)) = (𝑁 / (𝑁 − 𝐾)))
10	9	oveq2d 7439	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝑁 − 1)C𝐾) · (((𝑁 − 1) + 1) / (((𝑁 − 1) + 1) − 𝐾))) = (((𝑁 − 1)C𝐾) · (𝑁 / (𝑁 − 𝐾))))
11	7, 10	eqeq12d 2782	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((((𝑁 − 1) + 1)C𝐾) = (((𝑁 − 1)C𝐾) · (((𝑁 − 1) + 1) / (((𝑁 − 1) + 1) − 𝐾))) ↔ (𝑁C𝐾) = (((𝑁 − 1)C𝐾) · (𝑁 / (𝑁 − 𝐾)))))
12	1, 11	imbitrid 247	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) → (𝑁C𝐾) = (((𝑁 − 1)C𝐾) · (𝑁 / (𝑁 − 𝐾)))))
13	12	3impia 1135	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → (𝑁C𝐾) = (((𝑁 − 1)C𝐾) · (𝑁 / (𝑁 − 𝐾))))
14	13	3anidm13 1447	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁C𝐾) = (((𝑁 − 1)C𝐾) · (𝑁 / (𝑁 − 𝐾))))
15		elfznn0 13667	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) → 𝐾 ∈ ℕ0)
16	15	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝐾 ∈ ℕ0)
17		simpr 490	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℕ)
18	17	nnnn0d 12583	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℕ0)
19		elfzelz 13570	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) → 𝐾 ∈ ℤ)
20	19	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝐾 ∈ ℤ)
21	20	zred 12718	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝐾 ∈ ℝ)
22	2	adantl 487	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℤ)
23	22	zred 12718	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℝ)
24		elfzle2 13574	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) → 𝐾 ≤ (𝑁 − 1))
25	24	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝐾 ≤ (𝑁 − 1))
26		zltlem1 12665	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 < 𝑁 ↔ 𝐾 ≤ (𝑁 − 1)))
27	19, 2, 26	syl2an 608	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐾 < 𝑁 ↔ 𝐾 ≤ (𝑁 − 1)))
28	25, 27	mpbird 260	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝐾 < 𝑁)
29	21, 23, 28	ltled 11376	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝐾 ≤ 𝑁)
30		elfz2nn0 13665	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ↔ (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁))
31	16, 18, 29, 30	syl3anbrc 1362	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝐾 ∈ (0...𝑁))
32		bcrpcl 14364	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (𝑁C𝐾) ∈ ℝ+)
33	31, 32	syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁C𝐾) ∈ ℝ+)
34	33	rpcnd 13080	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁C𝐾) ∈ ℂ)
35	19	zcnd 12719	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) → 𝐾 ∈ ℂ)
36	35	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝐾 ∈ ℂ)
37	4, 36	subcld 11587	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 − 𝐾) ∈ ℂ)
38	36, 4	negsubdi2d 11603	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → -(𝐾 − 𝑁) = (𝑁 − 𝐾))
39	21, 23	resubcld 11660	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐾 − 𝑁) ∈ ℝ)
40	39	recnd 11255	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐾 − 𝑁) ∈ ℂ)
41	4	addlidd 11429	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (0 + 𝑁) = 𝑁)
42	28, 41	breqtrrd 5144	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝐾 < (0 + 𝑁))
43		0red 11229	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 0 ∈ ℝ)
44	21, 23, 43	ltsubaddd 11828	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐾 − 𝑁) < 0 ↔ 𝐾 < (0 + 𝑁)))
45	42, 44	mpbird 260	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐾 − 𝑁) < 0)
46	45	lt0ne0d 11797	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐾 − 𝑁) ≠ 0)
47	40, 46	negne0d 11585	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → -(𝐾 − 𝑁) ≠ 0)
48	38, 47	eqnetrrd 3029	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 − 𝐾) ≠ 0)
49	4, 37, 48	divcld 12009	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 / (𝑁 − 𝐾)) ∈ ℂ)
50		bcrpcl 14364	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) → ((𝑁 − 1)C𝐾) ∈ ℝ+)
51	50	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑁 − 1)C𝐾) ∈ ℝ+)
52	51	rpcnne0d 13087	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝑁 − 1)C𝐾) ∈ ℂ ∧ ((𝑁 − 1)C𝐾) ≠ 0))
53		divmul2 11894	. . . . 5 ⊢ (((𝑁C𝐾) ∈ ℂ ∧ (𝑁 / (𝑁 − 𝐾)) ∈ ℂ ∧ (((𝑁 − 1)C𝐾) ∈ ℂ ∧ ((𝑁 − 1)C𝐾) ≠ 0)) → (((𝑁C𝐾) / ((𝑁 − 1)C𝐾)) = (𝑁 / (𝑁 − 𝐾)) ↔ (𝑁C𝐾) = (((𝑁 − 1)C𝐾) · (𝑁 / (𝑁 − 𝐾)))))
54	34, 49, 52, 53	syl3anc 1398	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝑁C𝐾) / ((𝑁 − 1)C𝐾)) = (𝑁 / (𝑁 − 𝐾)) ↔ (𝑁C𝐾) = (((𝑁 − 1)C𝐾) · (𝑁 / (𝑁 − 𝐾)))))
55	14, 54	mpbird 260	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑁C𝐾) / ((𝑁 − 1)C𝐾)) = (𝑁 / (𝑁 − 𝐾)))
56	55	oveq2d 7439	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (1 / ((𝑁C𝐾) / ((𝑁 − 1)C𝐾))) = (1 / (𝑁 / (𝑁 − 𝐾))))
57	51	rpcnd 13080	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑁 − 1)C𝐾) ∈ ℂ)
58		bccl2 14379	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (𝑁C𝐾) ∈ ℕ)
59	31, 58	syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁C𝐾) ∈ ℕ)
60	59	nnne0d 12304	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁C𝐾) ≠ 0)
61		bccl2 14379	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) → ((𝑁 − 1)C𝐾) ∈ ℕ)
62	61	nnne0d 12304	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) → ((𝑁 − 1)C𝐾) ≠ 0)
63	62	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑁 − 1)C𝐾) ≠ 0)
64	34, 57, 60, 63	recdivd 12026	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (1 / ((𝑁C𝐾) / ((𝑁 − 1)C𝐾))) = (((𝑁 − 1)C𝐾) / (𝑁C𝐾)))
65	17	nnne0d 12304	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ≠ 0)
66	4, 37, 65, 48	recdivd 12026	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (1 / (𝑁 / (𝑁 − 𝐾))) = ((𝑁 − 𝐾) / 𝑁))
67	56, 64, 66	3eqtr3d 2809	1 ⊢ ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝑁 − 1)C𝐾) / (𝑁C𝐾)) = ((𝑁 − 𝐾) / 𝑁))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2961   class class class wbr 5114  (class class class)co 7423  ℂcc 11116  0cc0 11118  1c1 11119   + caddc 11121   · cmul 11123   < clt 11261   ≤ cle 11262   − cmin 11459  -cneg 11460   / cdiv 11889  ℕcn 12251  ℕ₀cn0 12522  ℤcz 12609  ℝ⁺crp 13034  ...cfz 13553  Ccbc 14358

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-cnex 11174  ax-resscn 11175  ax-1cn 11176  ax-icn 11177  ax-addcl 11178  ax-addrcl 11179  ax-mulcl 11180  ax-mulrcl 11181  ax-mulcom 11182  ax-addass 11183  ax-mulass 11184  ax-distr 11185  ax-i2m1 11186  ax-1ne0 11187  ax-1rid 11188  ax-rnegex 11189  ax-rrecex 11190  ax-cnre 11191  ax-pre-lttri 11192  ax-pre-lttrn 11193  ax-pre-ltadd 11194  ax-pre-mulgt0 11195

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5561  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-we 5621  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6309  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7380  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-om 7872  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8703  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-sub 11461  df-neg 11462  df-div 11890  df-nn 12252  df-n0 12523  df-z 12610  df-uz 12881  df-rp 13035  df-fz 13554  df-seq 14058  df-fac 14330  df-bc 14359

This theorem is used by:  ballotlem2  34911