Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  bcm1n Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem bcm1n 30547
Description: The proportion of one binomial coefficient to another with 𝑁 decreased by 1. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-Nov-2016.)
Assertion
Ref Expression
bcm1n ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝑁 − 1)C𝐾) / (𝑁C𝐾)) = ((𝑁𝐾) / 𝑁))

Proof of Theorem bcm1n
StepHypRef Expression
1 bcp1n 13676 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) → (((𝑁 − 1) + 1)C𝐾) = (((𝑁 − 1)C𝐾) · (((𝑁 − 1) + 1) / (((𝑁 − 1) + 1) − 𝐾))))
2 nnz 11996 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
32zcnd 12080 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
43adantl 485 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℂ)
5 1cnd 10629 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℂ)
64, 5npcand 10994 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
76oveq1d 7154 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝑁 − 1) + 1)C𝐾) = (𝑁C𝐾))
86oveq1d 7154 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝑁 − 1) + 1) − 𝐾) = (𝑁𝐾))
96, 8oveq12d 7157 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝑁 − 1) + 1) / (((𝑁 − 1) + 1) − 𝐾)) = (𝑁 / (𝑁𝐾)))
109oveq2d 7155 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝑁 − 1)C𝐾) · (((𝑁 − 1) + 1) / (((𝑁 − 1) + 1) − 𝐾))) = (((𝑁 − 1)C𝐾) · (𝑁 / (𝑁𝐾))))
117, 10eqeq12d 2817 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((((𝑁 − 1) + 1)C𝐾) = (((𝑁 − 1)C𝐾) · (((𝑁 − 1) + 1) / (((𝑁 − 1) + 1) − 𝐾))) ↔ (𝑁C𝐾) = (((𝑁 − 1)C𝐾) · (𝑁 / (𝑁𝐾)))))
121, 11syl5ib 247 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) → (𝑁C𝐾) = (((𝑁 − 1)C𝐾) · (𝑁 / (𝑁𝐾)))))
13123impia 1114 . . . . 5 ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → (𝑁C𝐾) = (((𝑁 − 1)C𝐾) · (𝑁 / (𝑁𝐾))))
14133anidm13 1417 . . . 4 ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁C𝐾) = (((𝑁 − 1)C𝐾) · (𝑁 / (𝑁𝐾))))
15 elfznn0 12999 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) → 𝐾 ∈ ℕ0)
1615adantr 484 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝐾 ∈ ℕ0)
17 simpr 488 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℕ)
1817nnnn0d 11947 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℕ0)
19 elfzelz 12906 . . . . . . . . . . 11 (𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) → 𝐾 ∈ ℤ)
2019adantr 484 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝐾 ∈ ℤ)
2120zred 12079 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝐾 ∈ ℝ)
222adantl 485 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℤ)
2322zred 12079 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℝ)
24 elfzle2 12910 . . . . . . . . . . 11 (𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) → 𝐾 ≤ (𝑁 − 1))
2524adantr 484 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝐾 ≤ (𝑁 − 1))
26 zltlem1 12027 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 < 𝑁𝐾 ≤ (𝑁 − 1)))
2719, 2, 26syl2an 598 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐾 < 𝑁𝐾 ≤ (𝑁 − 1)))
2825, 27mpbird 260 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝐾 < 𝑁)
2921, 23, 28ltled 10781 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝐾𝑁)
30 elfz2nn0 12997 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ (0...𝑁) ↔ (𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝐾𝑁))
3116, 18, 29, 30syl3anbrc 1340 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝐾 ∈ (0...𝑁))
32 bcrpcl 13668 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (𝑁C𝐾) ∈ ℝ+)
3331, 32syl 17 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁C𝐾) ∈ ℝ+)
3433rpcnd 12425 . . . . 5 ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁C𝐾) ∈ ℂ)
3519zcnd 12080 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) → 𝐾 ∈ ℂ)
3635adantr 484 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝐾 ∈ ℂ)
374, 36subcld 10990 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁𝐾) ∈ ℂ)
3836, 4negsubdi2d 11006 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → -(𝐾𝑁) = (𝑁𝐾))
3921, 23resubcld 11061 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐾𝑁) ∈ ℝ)
4039recnd 10662 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐾𝑁) ∈ ℂ)
414addid2d 10834 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (0 + 𝑁) = 𝑁)
4228, 41breqtrrd 5061 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝐾 < (0 + 𝑁))
43 0red 10637 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 0 ∈ ℝ)
4421, 23, 43ltsubaddd 11229 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐾𝑁) < 0 ↔ 𝐾 < (0 + 𝑁)))
4542, 44mpbird 260 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐾𝑁) < 0)
4645lt0ne0d 11198 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐾𝑁) ≠ 0)
4740, 46negne0d 10988 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → -(𝐾𝑁) ≠ 0)
4838, 47eqnetrrd 3058 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁𝐾) ≠ 0)
494, 37, 48divcld 11409 . . . . 5 ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 / (𝑁𝐾)) ∈ ℂ)
50 bcrpcl 13668 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) → ((𝑁 − 1)C𝐾) ∈ ℝ+)
5150adantr 484 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑁 − 1)C𝐾) ∈ ℝ+)
5251rpcnne0d 12432 . . . . 5 ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝑁 − 1)C𝐾) ∈ ℂ ∧ ((𝑁 − 1)C𝐾) ≠ 0))
53 divmul2 11295 . . . . 5 (((𝑁C𝐾) ∈ ℂ ∧ (𝑁 / (𝑁𝐾)) ∈ ℂ ∧ (((𝑁 − 1)C𝐾) ∈ ℂ ∧ ((𝑁 − 1)C𝐾) ≠ 0)) → (((𝑁C𝐾) / ((𝑁 − 1)C𝐾)) = (𝑁 / (𝑁𝐾)) ↔ (𝑁C𝐾) = (((𝑁 − 1)C𝐾) · (𝑁 / (𝑁𝐾)))))
5434, 49, 52, 53syl3anc 1368 . . . 4 ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝑁C𝐾) / ((𝑁 − 1)C𝐾)) = (𝑁 / (𝑁𝐾)) ↔ (𝑁C𝐾) = (((𝑁 − 1)C𝐾) · (𝑁 / (𝑁𝐾)))))
5514, 54mpbird 260 . . 3 ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑁C𝐾) / ((𝑁 − 1)C𝐾)) = (𝑁 / (𝑁𝐾)))
5655oveq2d 7155 . 2 ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (1 / ((𝑁C𝐾) / ((𝑁 − 1)C𝐾))) = (1 / (𝑁 / (𝑁𝐾))))
5751rpcnd 12425 . . 3 ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑁 − 1)C𝐾) ∈ ℂ)
58 bccl2 13683 . . . . 5 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (𝑁C𝐾) ∈ ℕ)
5931, 58syl 17 . . . 4 ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁C𝐾) ∈ ℕ)
6059nnne0d 11679 . . 3 ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁C𝐾) ≠ 0)
61 bccl2 13683 . . . . 5 (𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) → ((𝑁 − 1)C𝐾) ∈ ℕ)
6261nnne0d 11679 . . . 4 (𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) → ((𝑁 − 1)C𝐾) ≠ 0)
6362adantr 484 . . 3 ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑁 − 1)C𝐾) ≠ 0)
6434, 57, 60, 63recdivd 11426 . 2 ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (1 / ((𝑁C𝐾) / ((𝑁 − 1)C𝐾))) = (((𝑁 − 1)C𝐾) / (𝑁C𝐾)))
6517nnne0d 11679 . . 3 ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ≠ 0)
664, 37, 65, 48recdivd 11426 . 2 ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (1 / (𝑁 / (𝑁𝐾))) = ((𝑁𝐾) / 𝑁))
6756, 64, 663eqtr3d 2844 1 ((𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝑁 − 1)C𝐾) / (𝑁C𝐾)) = ((𝑁𝐾) / 𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399   = wceq 1538  wcel 2112  wne 2990   class class class wbr 5033  (class class class)co 7139  cc 10528  0cc0 10530  1c1 10531   + caddc 10533   · cmul 10535   < clt 10668  cle 10669  cmin 10863  -cneg 10864   / cdiv 11290  cn 11629  0cn0 11889  cz 11973  +crp 12381  ...cfz 12889  Ccbc 13662
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rmo 3117  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-om 7565  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-er 8276  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-div 11291  df-nn 11630  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236  df-rp 12382  df-fz 12890  df-seq 13369  df-fac 13634  df-bc 13663
This theorem is referenced by:  ballotlem2  31854
  Copyright terms: Public domain W3C validator