Theorem gt0ne0d 11589

Description: Positive implies nonzero. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
gt0ne0d.1	⊢ (𝜑 → 0 < 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
gt0ne0d	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)

Proof of Theorem gt0ne0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0re 11027	. 2 ⊢ 0 ∈ ℝ
2		gt0ne0d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝐴)
3		ltne 11122	. 2 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 ≠ 0)
4	1, 2, 3	sylancr 588	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2104   ≠ wne 2941   class class class wbr 5081  ℝcr 10920  0cc0 10921   < clt 11059

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2707  ax-sep 5232  ax-nul 5239  ax-pow 5297  ax-pr 5361  ax-un 7620  ax-resscn 10978  ax-1cn 10979  ax-addrcl 10982  ax-rnegex 10992  ax-cnre 10994  ax-pre-lttri 10995  ax-pre-lttrn 10996

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3306  df-v 3439  df-sbc 3722  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4566  df-pr 4568  df-op 4572  df-uni 4845  df-br 5082  df-opab 5144  df-mpt 5165  df-id 5500  df-po 5514  df-so 5515  df-xp 5606  df-rel 5607  df-cnv 5608  df-co 5609  df-dm 5610  df-rn 5611  df-res 5612  df-ima 5613  df-iota 6410  df-fun 6460  df-fn 6461  df-f 6462  df-f1 6463  df-fo 6464  df-f1o 6465  df-fv 6466  df-er 8529  df-en 8765  df-dom 8766  df-sdom 8767  df-pnf 11061  df-mnf 11062  df-ltxr 11064

This theorem is referenced by:  recextlem2  11656  prodgt0  11872  ltdiv1  11889  ltmuldiv  11898  ltrec  11907  lerec  11908  lediv12a  11918  recp1lt1  11923  ledivp1  11927  supmul1  11994  nnne0  12057  rpnnen1lem5  12771  ltexp2a  13934  leexp2  13939  leexp2a  13940  expnbnd  13997  expmulnbnd  14000  discr1  14004  eqsqrt2d  15129  bpoly4  15818  isabvd  20129  gzrngunit  20713  fvmptnn04ifa  22048  chfacffsupp  22054  chfacfscmul0  22056  chfacfpmmul0  22060  stdbdxmet  23720  evth  24171  itg2monolem3  24966  mvth  25205  dvlip  25206  dvcvx  25233  ftc1lem4  25252  dgradd2  25478  radcnvlem1  25621  pilem2  25660  coseq00topi  25708  tangtx  25711  tanabsge  25712  cos02pilt1  25731  tanord1  25742  logcnlem4  25849  cxplt  25898  atantan  26122  jensenlem2  26186  jensen  26187  lgamgulmlem2  26228  basellem3  26281  basellem4  26282  basellem8  26286  dchrmusumlema  26690  selberg3lem1  26754  abvcxp  26812  ostth2  26834  axsegconlem8  27341  axsegconlem9  27342  axsegconlem10  27343  axpaschlem  27357  axcontlem2  27382  axcontlem4  27384  axcontlem7  27387  iswwlksnx  28254  wspn0  28338  friendshipgt3  28811  his6  29510  eigrei  30245  cycpmco2lem4  31445  cycpmco2lem5  31446  finexttrb  31786  xrge0iifcv  31933  sgnmul  32558  sgn0bi  32563  sgnmulsgp  32566  signsvfpn  32613  tgoldbachgtde  32689  tgoldbachgtda  32690  lfuhgr2  33129  knoppndvlem18  34758  knoppndvlem19  34759  knoppndvlem21  34761  ftc1cnnclem  35896  areacirclem1  35913  3lexlogpow2ineq1  40266  3lexlogpow2ineq2  40267  3lexlogpow5ineq5  40268  aks4d1p1p6  40281  3cubeslem2  40702  irrapxlem2  40840  irrapxlem5  40843  pellexlem2  40847  imo72b2  41996  binomcxplemnotnn0  42187  dvdivbd  43693  dvbdfbdioolem1  43698  ioodvbdlimc1lem1  43701  ioodvbdlimc1lem2  43702  ioodvbdlimc2lem  43704  stoweidlem7  43777  stoweidlem36  43806  wallispilem3  43837  wallispilem4  43838  wallispi2lem1  43841  wallispi2lem2  43842  stirlinglem3  43846  stirlinglem6  43849  stirlinglem7  43850  stirlinglem10  43853  stirlinglem11  43854  stirlinglem12  43855  stirlinglem13  43856  stirlinglem14  43857  stirlinglem15  43858  dirkerval2  43864  dirkeritg  43872  dirkercncflem2  43874  fourierdlem6  43883  fourierdlem7  43884  fourierdlem19  43896  fourierdlem26  43903  fourierdlem30  43907  fourierdlem48  43924  fourierdlem49  43925  fourierdlem51  43927  fourierdlem63  43939  fourierdlem64  43940  fourierdlem71  43947  fourierdlem89  43965  fourierdlem90  43966  fourierdlem91  43967  fourierdlem103  43979  fourierdlem104  43980  fourierdlem112  43988  sqwvfoura  43998  fourierswlem  44000  etransclem4  44008  etransclem31  44035  etransclem32  44036  iccpartgt  45123  rege1logbrege0  46148  itcovalsuc  46257  ackvalsuc1mpt  46268  eenglngeehlnmlem2  46328  itsclc0yqsol  46354  itscnhlc0xyqsol  46355  itsclc0xyqsolr  46359  itsclinecirc0in  46365  itscnhlinecirc02p  46375  inlinecirc02plem  46376