Theorem gt0ne0d 11793

Description: Positive implies nonzero. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
gt0ne0d.1	⊢ (𝜑 → 0 < 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
gt0ne0d	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)

Proof of Theorem gt0ne0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0red 11226	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
2		gt0ne0d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝐴)
3	1, 2	gtned 11360	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ≠ wne 2960   class class class wbr 5111  0cc0 11115   < clt 11258

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-resscn 11172  ax-1cn 11173  ax-addrcl 11176  ax-rnegex 11186  ax-cnre 11188  ax-pre-lttri 11189  ax-pre-lttrn 11190

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-id 5558  df-po 5571  df-so 5572  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-er 8700  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-pnf 11260  df-mnf 11261  df-ltxr 11263

This theorem is used by:  recextlem2  11860  prodgt0  12077  ltdiv1  12094  ltmuldiv  12103  ltrec  12112  lerec  12113  lediv12a  12123  recp1lt1  12128  ledivp1  12132  supmul1  12199  nnne0  12285  rpnnen1lem5  13021  ltexp2a  14220  leexp2  14225  leexp2a  14226  expnbnd  14286  expmulnbnd  14289  discr1  14293  sgn0bi  15164  sgnmul  15168  eqsqrt2d  15444  bpoly4  16135  isabvd  20965  gzrngunit  21633  fvmptnn04ifa  23057  chfacffsupp  23063  chfacfscmul0  23065  chfacfpmmul0  23069  stdbdxmet  24723  evth  25169  itg2monolem3  25962  mvth  26202  dvlip  26203  dvcvx  26230  ftc1lem4  26249  dgradd2  26476  radcnvlem1  26627  pilem2  26666  coseq00topi  26718  tangtx  26721  tanabsge  26722  cos02pilt1  26742  tanord1  26753  logcnlem4  26861  cxplt  26910  atantan  27139  jensenlem2  27203  jensen  27204  lgamgulmlem2  27245  basellem3  27298  basellem4  27299  basellem8  27303  dchrmusumlema  27708  selberg3lem1  27772  abvcxp  27830  ostth2  27852  axsegconlem8  29329  axsegconlem9  29330  axsegconlem10  29331  axpaschlem  29345  axcontlem2  29370  axcontlem4  29372  axcontlem7  29375  lfuhgr2  29554  iswwlksnx  30256  wspn0  30340  friendshipgt3  30820  his6  31522  eigrei  32257  sgnmulsgp  33246  cycpmco2lem4  33513  cycpmco2lem5  33514  finexttrb  34119  fldext2rspun  34136  cos9thpiminplylem1  34236  cos9thpiminply  34242  xrge0iifcv  34388  signsvfpn  35037  tgoldbachgtde  35112  tgoldbachgtda  35113  knoppndvlem18  37175  knoppndvlem19  37176  knoppndvlem21  37178  ftc1cnnclem  38399  areacirclem1  38416  3lexlogpow2ineq1  42883  3lexlogpow2ineq2  42884  3lexlogpow5ineq5  42885  aks4d1p1p6  42898  aks6d1c4  42949  aks6d1c2  42955  aks6d1c6lem4  42998  sn-nnne0  43292  sn-recgt0d  43309  mulgt0b2d  43310  mulltgt0d  43314  mullt0b2d  43316  3cubeslem2  43474  irrapxlem2  43608  irrapxlem5  43611  pellexlem2  43615  imo72b2  44956  binomcxplemnotnn0  45124  dvdivbd  46695  dvbdfbdioolem1  46700  ioodvbdlimc1lem1  46703  ioodvbdlimc1lem2  46704  ioodvbdlimc2lem  46706  stoweidlem7  46779  stoweidlem36  46808  wallispilem3  46839  wallispilem4  46840  wallispi2lem1  46843  wallispi2lem2  46844  stirlinglem3  46848  stirlinglem6  46851  stirlinglem7  46852  stirlinglem10  46855  stirlinglem11  46856  stirlinglem12  46857  stirlinglem13  46858  stirlinglem14  46859  stirlinglem15  46860  dirkerval2  46866  dirkeritg  46874  dirkercncflem2  46876  fourierdlem6  46885  fourierdlem7  46886  fourierdlem19  46898  fourierdlem26  46905  fourierdlem30  46909  fourierdlem48  46926  fourierdlem49  46927  fourierdlem51  46929  fourierdlem63  46941  fourierdlem64  46942  fourierdlem71  46949  fourierdlem89  46967  fourierdlem90  46968  fourierdlem91  46969  fourierdlem103  46981  fourierdlem104  46982  fourierdlem112  46990  sqwvfoura  47000  fourierswlem  47002  etransclem4  47010  etransclem31  47037  etransclem32  47038  cjnpoly  47684  iccpartgt  48234  upgrimpthslem2  48731  rege1logbrege0  49395  itcovalsuc  49504  ackvalsuc1mpt  49515  eenglngeehlnmlem2  49575  itsclc0yqsol  49601  itscnhlc0xyqsol  49602  itsclc0xyqsolr  49606  itsclinecirc0in  49612  itscnhlinecirc02p  49622  inlinecirc02plem  49623