Theorem gt0ne0d 11649

Description: Positive implies nonzero. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
gt0ne0d.1	⊢ (𝜑 → 0 < 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
gt0ne0d	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)

Proof of Theorem gt0ne0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0re 11087	. 2 ⊢ 0 ∈ ℝ
2		gt0ne0d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝐴)
3		ltne 11182	. 2 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 ≠ 0)
4	1, 2, 3	sylancr 588	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2941   class class class wbr 5100  ℝcr 10980  0cc0 10981   < clt 11119

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-sep 5251  ax-nul 5258  ax-pow 5315  ax-pr 5379  ax-un 7659  ax-resscn 11038  ax-1cn 11039  ax-addrcl 11042  ax-rnegex 11052  ax-cnre 11054  ax-pre-lttri 11055  ax-pre-lttrn 11056

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3735  df-csb 3851  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4861  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5184  df-id 5525  df-po 5539  df-so 5540  df-xp 5633  df-rel 5634  df-cnv 5635  df-co 5636  df-dm 5637  df-rn 5638  df-res 5639  df-ima 5640  df-iota 6440  df-fun 6490  df-fn 6491  df-f 6492  df-f1 6493  df-fo 6494  df-f1o 6495  df-fv 6496  df-er 8578  df-en 8814  df-dom 8815  df-sdom 8816  df-pnf 11121  df-mnf 11122  df-ltxr 11124

This theorem is referenced by:  recextlem2  11716  prodgt0  11932  ltdiv1  11949  ltmuldiv  11958  ltrec  11967  lerec  11968  lediv12a  11978  recp1lt1  11983  ledivp1  11987  supmul1  12054  nnne0  12117  rpnnen1lem5  12831  ltexp2a  13994  leexp2  13999  leexp2a  14000  expnbnd  14057  expmulnbnd  14060  discr1  14064  eqsqrt2d  15184  bpoly4  15873  isabvd  20190  gzrngunit  20774  fvmptnn04ifa  22109  chfacffsupp  22115  chfacfscmul0  22117  chfacfpmmul0  22121  stdbdxmet  23781  evth  24232  itg2monolem3  25027  mvth  25266  dvlip  25267  dvcvx  25294  ftc1lem4  25313  dgradd2  25539  radcnvlem1  25682  pilem2  25721  coseq00topi  25769  tangtx  25772  tanabsge  25773  cos02pilt1  25792  tanord1  25803  logcnlem4  25910  cxplt  25959  atantan  26183  jensenlem2  26247  jensen  26248  lgamgulmlem2  26289  basellem3  26342  basellem4  26343  basellem8  26347  dchrmusumlema  26751  selberg3lem1  26815  abvcxp  26873  ostth2  26895  axsegconlem8  27647  axsegconlem9  27648  axsegconlem10  27649  axpaschlem  27663  axcontlem2  27688  axcontlem4  27690  axcontlem7  27693  iswwlksnx  28559  wspn0  28643  friendshipgt3  29116  his6  29815  eigrei  30550  cycpmco2lem4  31747  cycpmco2lem5  31748  finexttrb  32099  xrge0iifcv  32246  sgnmul  32873  sgn0bi  32878  sgnmulsgp  32881  signsvfpn  32928  tgoldbachgtde  33004  tgoldbachgtda  33005  lfuhgr2  33443  knoppndvlem18  34848  knoppndvlem19  34849  knoppndvlem21  34851  ftc1cnnclem  36004  areacirclem1  36021  3lexlogpow2ineq1  40371  3lexlogpow2ineq2  40372  3lexlogpow5ineq5  40373  aks4d1p1p6  40386  3cubeslem2  40820  irrapxlem2  40958  irrapxlem5  40961  pellexlem2  40965  imo72b2  42156  binomcxplemnotnn0  42347  dvdivbd  43852  dvbdfbdioolem1  43857  ioodvbdlimc1lem1  43860  ioodvbdlimc1lem2  43861  ioodvbdlimc2lem  43863  stoweidlem7  43936  stoweidlem36  43965  wallispilem3  43996  wallispilem4  43997  wallispi2lem1  44000  wallispi2lem2  44001  stirlinglem3  44005  stirlinglem6  44008  stirlinglem7  44009  stirlinglem10  44012  stirlinglem11  44013  stirlinglem12  44014  stirlinglem13  44015  stirlinglem14  44016  stirlinglem15  44017  dirkerval2  44023  dirkeritg  44031  dirkercncflem2  44033  fourierdlem6  44042  fourierdlem7  44043  fourierdlem19  44055  fourierdlem26  44062  fourierdlem30  44066  fourierdlem48  44083  fourierdlem49  44084  fourierdlem51  44086  fourierdlem63  44098  fourierdlem64  44099  fourierdlem71  44106  fourierdlem89  44124  fourierdlem90  44125  fourierdlem91  44126  fourierdlem103  44138  fourierdlem104  44139  fourierdlem112  44147  sqwvfoura  44157  fourierswlem  44159  etransclem4  44167  etransclem31  44194  etransclem32  44195  iccpartgt  45297  rege1logbrege0  46322  itcovalsuc  46431  ackvalsuc1mpt  46442  eenglngeehlnmlem2  46502  itsclc0yqsol  46528  itscnhlc0xyqsol  46529  itsclc0xyqsolr  46533  itsclinecirc0in  46539  itscnhlinecirc02p  46549  inlinecirc02plem  46550