Theorem gt0ne0d 11714

Description: Positive implies nonzero. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
gt0ne0d.1	⊢ (𝜑 → 0 < 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
gt0ne0d	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)

Proof of Theorem gt0ne0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0red 11147	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
2		gt0ne0d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝐴)
3	1, 2	gtned 11281	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)

Syntax hints:   → wi 4   ≠ wne 2932   class class class wbr 5085  0cc0 11038   < clt 11179

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-addrcl 11099  ax-rnegex 11109  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-id 5526  df-po 5539  df-so 5540  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-ltxr 11184

This theorem is referenced by:  recextlem2  11781  prodgt0  12002  ltdiv1  12020  ltmuldiv  12029  ltrec  12038  lerec  12039  lediv12a  12049  recp1lt1  12054  ledivp1  12058  supmul1  12125  nnne0  12211  rpnnen1lem5  12931  ltexp2a  14128  leexp2  14133  leexp2a  14134  expnbnd  14194  expmulnbnd  14197  discr1  14201  eqsqrt2d  15331  bpoly4  16024  isabvd  20789  gzrngunit  21413  fvmptnn04ifa  22815  chfacffsupp  22821  chfacfscmul0  22823  chfacfpmmul0  22827  stdbdxmet  24480  evth  24926  itg2monolem3  25719  mvth  25959  dvlip  25960  dvcvx  25987  ftc1lem4  26006  dgradd2  26233  radcnvlem1  26378  pilem2  26417  coseq00topi  26466  tangtx  26469  tanabsge  26470  cos02pilt1  26490  tanord1  26501  logcnlem4  26609  cxplt  26658  atantan  26887  jensenlem2  26951  jensen  26952  lgamgulmlem2  26993  basellem3  27046  basellem4  27047  basellem8  27051  dchrmusumlema  27456  selberg3lem1  27520  abvcxp  27578  ostth2  27600  axsegconlem8  28993  axsegconlem9  28994  axsegconlem10  28995  axpaschlem  29009  axcontlem2  29034  axcontlem4  29036  axcontlem7  29039  iswwlksnx  29908  wspn0  29992  friendshipgt3  30468  his6  31170  eigrei  31905  sgnmul  32908  sgn0bi  32913  sgnmulsgp  32916  cycpmco2lem4  33190  cycpmco2lem5  33191  finexttrb  33809  fldext2rspun  33826  cos9thpiminplylem1  33926  cos9thpiminply  33932  xrge0iifcv  34078  signsvfpn  34729  tgoldbachgtde  34804  tgoldbachgtda  34805  lfuhgr2  35301  knoppndvlem18  36789  knoppndvlem19  36790  knoppndvlem21  36792  ftc1cnnclem  38012  areacirclem1  38029  3lexlogpow2ineq1  42497  3lexlogpow2ineq2  42498  3lexlogpow5ineq5  42499  aks4d1p1p6  42512  aks6d1c4  42563  aks6d1c2  42569  aks6d1c6lem4  42612  sn-nnne0  42905  sn-recgt0d  42922  mulgt0b2d  42923  mulltgt0d  42927  mullt0b2d  42929  3cubeslem2  43117  irrapxlem2  43251  irrapxlem5  43254  pellexlem2  43258  imo72b2  44599  binomcxplemnotnn0  44783  dvdivbd  46351  dvbdfbdioolem1  46356  ioodvbdlimc1lem1  46359  ioodvbdlimc1lem2  46360  ioodvbdlimc2lem  46362  stoweidlem7  46435  stoweidlem36  46464  wallispilem3  46495  wallispilem4  46496  wallispi2lem1  46499  wallispi2lem2  46500  stirlinglem3  46504  stirlinglem6  46507  stirlinglem7  46508  stirlinglem10  46511  stirlinglem11  46512  stirlinglem12  46513  stirlinglem13  46514  stirlinglem14  46515  stirlinglem15  46516  dirkerval2  46522  dirkeritg  46530  dirkercncflem2  46532  fourierdlem6  46541  fourierdlem7  46542  fourierdlem19  46554  fourierdlem26  46561  fourierdlem30  46565  fourierdlem48  46582  fourierdlem49  46583  fourierdlem51  46585  fourierdlem63  46597  fourierdlem64  46598  fourierdlem71  46605  fourierdlem89  46623  fourierdlem90  46624  fourierdlem91  46625  fourierdlem103  46637  fourierdlem104  46638  fourierdlem112  46646  sqwvfoura  46656  fourierswlem  46658  etransclem4  46666  etransclem31  46693  etransclem32  46694  cjnpoly  47337  iccpartgt  47887  upgrimpthslem2  48384  rege1logbrege0  49034  itcovalsuc  49143  ackvalsuc1mpt  49154  eenglngeehlnmlem2  49214  itsclc0yqsol  49240  itscnhlc0xyqsol  49241  itsclc0xyqsolr  49245  itsclinecirc0in  49251  itscnhlinecirc02p  49261  inlinecirc02plem  49262