Theorem gt0ne0d 11854

Description: Positive implies nonzero. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
gt0ne0d.1	⊢ (𝜑 → 0 < 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
gt0ne0d	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)

Proof of Theorem gt0ne0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0re 11292	. 2 ⊢ 0 ∈ ℝ
2		gt0ne0d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝐴)
3		ltne 11387	. 2 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 ≠ 0)
4	1, 2, 3	sylancr 586	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2946   class class class wbr 5166  ℝcr 11183  0cc0 11184   < clt 11324

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-addrcl 11245  ax-rnegex 11255  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-po 5607  df-so 5608  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-ltxr 11329

This theorem is referenced by:  recextlem2  11921  prodgt0  12141  ltdiv1  12159  ltmuldiv  12168  ltrec  12177  lerec  12178  lediv12a  12188  recp1lt1  12193  ledivp1  12197  supmul1  12264  nnne0  12327  rpnnen1lem5  13046  ltexp2a  14216  leexp2  14221  leexp2a  14222  expnbnd  14281  expmulnbnd  14284  discr1  14288  eqsqrt2d  15417  bpoly4  16107  isabvd  20835  gzrngunit  21474  fvmptnn04ifa  22877  chfacffsupp  22883  chfacfscmul0  22885  chfacfpmmul0  22889  stdbdxmet  24549  evth  25010  itg2monolem3  25807  mvth  26051  dvlip  26052  dvcvx  26079  ftc1lem4  26100  dgradd2  26328  radcnvlem1  26474  pilem2  26514  coseq00topi  26562  tangtx  26565  tanabsge  26566  cos02pilt1  26586  tanord1  26597  logcnlem4  26705  cxplt  26754  atantan  26984  jensenlem2  27049  jensen  27050  lgamgulmlem2  27091  basellem3  27144  basellem4  27145  basellem8  27149  dchrmusumlema  27555  selberg3lem1  27619  abvcxp  27677  ostth2  27699  axsegconlem8  28957  axsegconlem9  28958  axsegconlem10  28959  axpaschlem  28973  axcontlem2  28998  axcontlem4  29000  axcontlem7  29003  iswwlksnx  29873  wspn0  29957  friendshipgt3  30430  his6  31131  eigrei  31866  cycpmco2lem4  33122  cycpmco2lem5  33123  finexttrb  33675  xrge0iifcv  33880  sgnmul  34507  sgn0bi  34512  sgnmulsgp  34515  signsvfpn  34562  tgoldbachgtde  34637  tgoldbachgtda  34638  lfuhgr2  35086  knoppndvlem18  36495  knoppndvlem19  36496  knoppndvlem21  36498  ftc1cnnclem  37651  areacirclem1  37668  3lexlogpow2ineq1  42015  3lexlogpow2ineq2  42016  3lexlogpow5ineq5  42017  aks4d1p1p6  42030  aks6d1c4  42081  aks6d1c2  42087  aks6d1c6lem4  42130  sn-nnne0  42424  3cubeslem2  42641  irrapxlem2  42779  irrapxlem5  42782  pellexlem2  42786  imo72b2  44134  binomcxplemnotnn0  44325  dvdivbd  45844  dvbdfbdioolem1  45849  ioodvbdlimc1lem1  45852  ioodvbdlimc1lem2  45853  ioodvbdlimc2lem  45855  stoweidlem7  45928  stoweidlem36  45957  wallispilem3  45988  wallispilem4  45989  wallispi2lem1  45992  wallispi2lem2  45993  stirlinglem3  45997  stirlinglem6  46000  stirlinglem7  46001  stirlinglem10  46004  stirlinglem11  46005  stirlinglem12  46006  stirlinglem13  46007  stirlinglem14  46008  stirlinglem15  46009  dirkerval2  46015  dirkeritg  46023  dirkercncflem2  46025  fourierdlem6  46034  fourierdlem7  46035  fourierdlem19  46047  fourierdlem26  46054  fourierdlem30  46058  fourierdlem48  46075  fourierdlem49  46076  fourierdlem51  46078  fourierdlem63  46090  fourierdlem64  46091  fourierdlem71  46098  fourierdlem89  46116  fourierdlem90  46117  fourierdlem91  46118  fourierdlem103  46130  fourierdlem104  46131  fourierdlem112  46139  sqwvfoura  46149  fourierswlem  46151  etransclem4  46159  etransclem31  46186  etransclem32  46187  iccpartgt  47301  rege1logbrege0  48292  itcovalsuc  48401  ackvalsuc1mpt  48412  eenglngeehlnmlem2  48472  itsclc0yqsol  48498  itscnhlc0xyqsol  48499  itsclc0xyqsolr  48503  itsclinecirc0in  48509  itscnhlinecirc02p  48519  inlinecirc02plem  48520