Theorem gt0ne0d 11773

Description: Positive implies nonzero. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
gt0ne0d.1	⊢ (𝜑 → 0 < 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
gt0ne0d	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)

Proof of Theorem gt0ne0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0red 11206	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
2		gt0ne0d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝐴)
3	1, 2	gtned 11340	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)

Syntax hints:   → wi 4   ≠ wne 2958   class class class wbr 5109  0cc0 11095   < clt 11238

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-addrcl 11156  ax-rnegex 11166  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-id 5556  df-po 5569  df-so 5570  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-ltxr 11243

This theorem is referenced by:  recextlem2  11840  prodgt0  12057  ltdiv1  12074  ltmuldiv  12083  ltrec  12092  lerec  12093  lediv12a  12103  recp1lt1  12108  ledivp1  12112  supmul1  12179  nnne0  12265  rpnnen1lem5  13000  ltexp2a  14198  leexp2  14203  leexp2a  14204  expnbnd  14264  expmulnbnd  14267  discr1  14271  sgn0bi  15136  sgnmul  15140  eqsqrt2d  15416  bpoly4  16108  isabvd  20915  gzrngunit  21583  fvmptnn04ifa  23007  chfacffsupp  23013  chfacfscmul0  23015  chfacfpmmul0  23019  stdbdxmet  24672  evth  25118  itg2monolem3  25911  mvth  26151  dvlip  26152  dvcvx  26179  ftc1lem4  26198  dgradd2  26425  radcnvlem1  26576  pilem2  26615  coseq00topi  26667  tangtx  26670  tanabsge  26671  cos02pilt1  26691  tanord1  26702  logcnlem4  26810  cxplt  26859  atantan  27088  jensenlem2  27152  jensen  27153  lgamgulmlem2  27194  basellem3  27247  basellem4  27248  basellem8  27252  dchrmusumlema  27657  selberg3lem1  27721  abvcxp  27779  ostth2  27801  axsegconlem8  29274  axsegconlem9  29275  axsegconlem10  29276  axpaschlem  29290  axcontlem2  29315  axcontlem4  29317  axcontlem7  29320  iswwlksnx  30189  wspn0  30273  friendshipgt3  30749  his6  31451  eigrei  32186  sgnmulsgp  33176  cycpmco2lem4  33449  cycpmco2lem5  33450  finexttrb  34055  fldext2rspun  34072  cos9thpiminplylem1  34172  cos9thpiminply  34178  xrge0iifcv  34324  signsvfpn  34972  tgoldbachgtde  35047  tgoldbachgtda  35048  lfuhgr2  35611  knoppndvlem18  37118  knoppndvlem19  37119  knoppndvlem21  37121  ftc1cnnclem  38342  areacirclem1  38359  3lexlogpow2ineq1  42825  3lexlogpow2ineq2  42826  3lexlogpow5ineq5  42827  aks4d1p1p6  42840  aks6d1c4  42891  aks6d1c2  42897  aks6d1c6lem4  42940  sn-nnne0  43234  sn-recgt0d  43251  mulgt0b2d  43252  mulltgt0d  43256  mullt0b2d  43258  3cubeslem2  43416  irrapxlem2  43550  irrapxlem5  43553  pellexlem2  43557  imo72b2  44898  binomcxplemnotnn0  45066  dvdivbd  46637  dvbdfbdioolem1  46642  ioodvbdlimc1lem1  46645  ioodvbdlimc1lem2  46646  ioodvbdlimc2lem  46648  stoweidlem7  46721  stoweidlem36  46750  wallispilem3  46781  wallispilem4  46782  wallispi2lem1  46785  wallispi2lem2  46786  stirlinglem3  46790  stirlinglem6  46793  stirlinglem7  46794  stirlinglem10  46797  stirlinglem11  46798  stirlinglem12  46799  stirlinglem13  46800  stirlinglem14  46801  stirlinglem15  46802  dirkerval2  46808  dirkeritg  46816  dirkercncflem2  46818  fourierdlem6  46827  fourierdlem7  46828  fourierdlem19  46840  fourierdlem26  46847  fourierdlem30  46851  fourierdlem48  46868  fourierdlem49  46869  fourierdlem51  46871  fourierdlem63  46883  fourierdlem64  46884  fourierdlem71  46891  fourierdlem89  46909  fourierdlem90  46910  fourierdlem91  46911  fourierdlem103  46923  fourierdlem104  46924  fourierdlem112  46932  sqwvfoura  46942  fourierswlem  46944  etransclem4  46952  etransclem31  46979  etransclem32  46980  cjnpoly  47626  iccpartgt  48176  upgrimpthslem2  48673  rege1logbrege0  49338  itcovalsuc  49447  ackvalsuc1mpt  49458  eenglngeehlnmlem2  49518  itsclc0yqsol  49544  itscnhlc0xyqsol  49545  itsclc0xyqsolr  49549  itsclinecirc0in  49555  itscnhlinecirc02p  49565  inlinecirc02plem  49566