Theorem gt0ne0d 11778

Description: Positive implies nonzero. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
gt0ne0d.1	⊢ (𝜑 → 0 < 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
gt0ne0d	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)

Proof of Theorem gt0ne0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0re 11216	. 2 ⊢ 0 ∈ ℝ
2		gt0ne0d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝐴)
3		ltne 11311	. 2 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 ≠ 0)
4	1, 2, 3	sylancr 588	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2941   class class class wbr 5149  ℝcr 11109  0cc0 11110   < clt 11248

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-addrcl 11171  ax-rnegex 11181  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-po 5589  df-so 5590  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-ltxr 11253

This theorem is referenced by:  recextlem2  11845  prodgt0  12061  ltdiv1  12078  ltmuldiv  12087  ltrec  12096  lerec  12097  lediv12a  12107  recp1lt1  12112  ledivp1  12116  supmul1  12183  nnne0  12246  rpnnen1lem5  12965  ltexp2a  14131  leexp2  14136  leexp2a  14137  expnbnd  14195  expmulnbnd  14198  discr1  14202  eqsqrt2d  15315  bpoly4  16003  isabvd  20428  gzrngunit  21011  fvmptnn04ifa  22352  chfacffsupp  22358  chfacfscmul0  22360  chfacfpmmul0  22364  stdbdxmet  24024  evth  24475  itg2monolem3  25270  mvth  25509  dvlip  25510  dvcvx  25537  ftc1lem4  25556  dgradd2  25782  radcnvlem1  25925  pilem2  25964  coseq00topi  26012  tangtx  26015  tanabsge  26016  cos02pilt1  26035  tanord1  26046  logcnlem4  26153  cxplt  26202  atantan  26428  jensenlem2  26492  jensen  26493  lgamgulmlem2  26534  basellem3  26587  basellem4  26588  basellem8  26592  dchrmusumlema  26996  selberg3lem1  27060  abvcxp  27118  ostth2  27140  axsegconlem8  28182  axsegconlem9  28183  axsegconlem10  28184  axpaschlem  28198  axcontlem2  28223  axcontlem4  28225  axcontlem7  28228  iswwlksnx  29094  wspn0  29178  friendshipgt3  29651  his6  30352  eigrei  31087  cycpmco2lem4  32288  cycpmco2lem5  32289  finexttrb  32741  xrge0iifcv  32914  sgnmul  33541  sgn0bi  33546  sgnmulsgp  33549  signsvfpn  33596  tgoldbachgtde  33672  tgoldbachgtda  33673  lfuhgr2  34109  knoppndvlem18  35405  knoppndvlem19  35406  knoppndvlem21  35408  ftc1cnnclem  36559  areacirclem1  36576  3lexlogpow2ineq1  40923  3lexlogpow2ineq2  40924  3lexlogpow5ineq5  40925  aks4d1p1p6  40938  sn-nnne0  41321  3cubeslem2  41423  irrapxlem2  41561  irrapxlem5  41564  pellexlem2  41568  imo72b2  42924  binomcxplemnotnn0  43115  dvdivbd  44639  dvbdfbdioolem1  44644  ioodvbdlimc1lem1  44647  ioodvbdlimc1lem2  44648  ioodvbdlimc2lem  44650  stoweidlem7  44723  stoweidlem36  44752  wallispilem3  44783  wallispilem4  44784  wallispi2lem1  44787  wallispi2lem2  44788  stirlinglem3  44792  stirlinglem6  44795  stirlinglem7  44796  stirlinglem10  44799  stirlinglem11  44800  stirlinglem12  44801  stirlinglem13  44802  stirlinglem14  44803  stirlinglem15  44804  dirkerval2  44810  dirkeritg  44818  dirkercncflem2  44820  fourierdlem6  44829  fourierdlem7  44830  fourierdlem19  44842  fourierdlem26  44849  fourierdlem30  44853  fourierdlem48  44870  fourierdlem49  44871  fourierdlem51  44873  fourierdlem63  44885  fourierdlem64  44886  fourierdlem71  44893  fourierdlem89  44911  fourierdlem90  44912  fourierdlem91  44913  fourierdlem103  44925  fourierdlem104  44926  fourierdlem112  44934  sqwvfoura  44944  fourierswlem  44946  etransclem4  44954  etransclem31  44981  etransclem32  44982  iccpartgt  46095  rege1logbrege0  47244  itcovalsuc  47353  ackvalsuc1mpt  47364  eenglngeehlnmlem2  47424  itsclc0yqsol  47450  itscnhlc0xyqsol  47451  itsclc0xyqsolr  47455  itsclinecirc0in  47461  itscnhlinecirc02p  47471  inlinecirc02plem  47472