Theorem gt0ne0d 11801

Description: Positive implies nonzero. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
gt0ne0d.1	⊢ (𝜑 → 0 < 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
gt0ne0d	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)

Proof of Theorem gt0ne0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0re 11237	. 2 ⊢ 0 ∈ ℝ
2		gt0ne0d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝐴)
3		ltne 11332	. 2 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 ≠ 0)
4	1, 2, 3	sylancr 587	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2932   class class class wbr 5119  ℝcr 11128  0cc0 11129   < clt 11269

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-addrcl 11190  ax-rnegex 11200  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-id 5548  df-po 5561  df-so 5562  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-er 8719  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-ltxr 11274

This theorem is referenced by:  recextlem2  11868  prodgt0  12088  ltdiv1  12106  ltmuldiv  12115  ltrec  12124  lerec  12125  lediv12a  12135  recp1lt1  12140  ledivp1  12144  supmul1  12211  nnne0  12274  rpnnen1lem5  12997  ltexp2a  14184  leexp2  14189  leexp2a  14190  expnbnd  14250  expmulnbnd  14253  discr1  14257  eqsqrt2d  15387  bpoly4  16075  isabvd  20772  gzrngunit  21401  fvmptnn04ifa  22788  chfacffsupp  22794  chfacfscmul0  22796  chfacfpmmul0  22800  stdbdxmet  24454  evth  24909  itg2monolem3  25705  mvth  25949  dvlip  25950  dvcvx  25977  ftc1lem4  25998  dgradd2  26226  radcnvlem1  26374  pilem2  26414  coseq00topi  26463  tangtx  26466  tanabsge  26467  cos02pilt1  26487  tanord1  26498  logcnlem4  26606  cxplt  26655  atantan  26885  jensenlem2  26950  jensen  26951  lgamgulmlem2  26992  basellem3  27045  basellem4  27046  basellem8  27050  dchrmusumlema  27456  selberg3lem1  27520  abvcxp  27578  ostth2  27600  axsegconlem8  28903  axsegconlem9  28904  axsegconlem10  28905  axpaschlem  28919  axcontlem2  28944  axcontlem4  28946  axcontlem7  28949  iswwlksnx  29822  wspn0  29906  friendshipgt3  30379  his6  31080  eigrei  31815  sgnmul  32814  sgn0bi  32819  sgnmulsgp  32822  cycpmco2lem4  33140  cycpmco2lem5  33141  finexttrb  33706  fldext2rspun  33723  cos9thpiminplylem1  33816  cos9thpiminply  33822  xrge0iifcv  33965  signsvfpn  34617  tgoldbachgtde  34692  tgoldbachgtda  34693  lfuhgr2  35141  knoppndvlem18  36547  knoppndvlem19  36548  knoppndvlem21  36550  ftc1cnnclem  37715  areacirclem1  37732  3lexlogpow2ineq1  42071  3lexlogpow2ineq2  42072  3lexlogpow5ineq5  42073  aks4d1p1p6  42086  aks6d1c4  42137  aks6d1c2  42143  aks6d1c6lem4  42186  sn-nnne0  42491  3cubeslem2  42708  irrapxlem2  42846  irrapxlem5  42849  pellexlem2  42853  imo72b2  44196  binomcxplemnotnn0  44380  dvdivbd  45952  dvbdfbdioolem1  45957  ioodvbdlimc1lem1  45960  ioodvbdlimc1lem2  45961  ioodvbdlimc2lem  45963  stoweidlem7  46036  stoweidlem36  46065  wallispilem3  46096  wallispilem4  46097  wallispi2lem1  46100  wallispi2lem2  46101  stirlinglem3  46105  stirlinglem6  46108  stirlinglem7  46109  stirlinglem10  46112  stirlinglem11  46113  stirlinglem12  46114  stirlinglem13  46115  stirlinglem14  46116  stirlinglem15  46117  dirkerval2  46123  dirkeritg  46131  dirkercncflem2  46133  fourierdlem6  46142  fourierdlem7  46143  fourierdlem19  46155  fourierdlem26  46162  fourierdlem30  46166  fourierdlem48  46183  fourierdlem49  46184  fourierdlem51  46186  fourierdlem63  46198  fourierdlem64  46199  fourierdlem71  46206  fourierdlem89  46224  fourierdlem90  46225  fourierdlem91  46226  fourierdlem103  46238  fourierdlem104  46239  fourierdlem112  46247  sqwvfoura  46257  fourierswlem  46259  etransclem4  46267  etransclem31  46294  etransclem32  46295  iccpartgt  47441  upgrimpthslem2  47921  rege1logbrege0  48538  itcovalsuc  48647  ackvalsuc1mpt  48658  eenglngeehlnmlem2  48718  itsclc0yqsol  48744  itscnhlc0xyqsol  48745  itsclc0xyqsolr  48749  itsclinecirc0in  48755  itscnhlinecirc02p  48765  inlinecirc02plem  48766