Theorem gt0ne0d 11827

Description: Positive implies nonzero. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
gt0ne0d.1	⊢ (𝜑 → 0 < 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
gt0ne0d	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)

Proof of Theorem gt0ne0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0re 11263	. 2 ⊢ 0 ∈ ℝ
2		gt0ne0d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝐴)
3		ltne 11358	. 2 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 ≠ 0)
4	1, 2, 3	sylancr 587	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2940   class class class wbr 5143  ℝcr 11154  0cc0 11155   < clt 11295

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-addrcl 11216  ax-rnegex 11226  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-po 5592  df-so 5593  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-ltxr 11300

This theorem is referenced by:  recextlem2  11894  prodgt0  12114  ltdiv1  12132  ltmuldiv  12141  ltrec  12150  lerec  12151  lediv12a  12161  recp1lt1  12166  ledivp1  12170  supmul1  12237  nnne0  12300  rpnnen1lem5  13023  ltexp2a  14206  leexp2  14211  leexp2a  14212  expnbnd  14271  expmulnbnd  14274  discr1  14278  eqsqrt2d  15407  bpoly4  16095  isabvd  20813  gzrngunit  21451  fvmptnn04ifa  22856  chfacffsupp  22862  chfacfscmul0  22864  chfacfpmmul0  22868  stdbdxmet  24528  evth  24991  itg2monolem3  25787  mvth  26031  dvlip  26032  dvcvx  26059  ftc1lem4  26080  dgradd2  26308  radcnvlem1  26456  pilem2  26496  coseq00topi  26544  tangtx  26547  tanabsge  26548  cos02pilt1  26568  tanord1  26579  logcnlem4  26687  cxplt  26736  atantan  26966  jensenlem2  27031  jensen  27032  lgamgulmlem2  27073  basellem3  27126  basellem4  27127  basellem8  27131  dchrmusumlema  27537  selberg3lem1  27601  abvcxp  27659  ostth2  27681  axsegconlem8  28939  axsegconlem9  28940  axsegconlem10  28941  axpaschlem  28955  axcontlem2  28980  axcontlem4  28982  axcontlem7  28985  iswwlksnx  29860  wspn0  29944  friendshipgt3  30417  his6  31118  eigrei  31853  cycpmco2lem4  33149  cycpmco2lem5  33150  finexttrb  33715  fldext2rspun  33732  xrge0iifcv  33933  sgnmul  34545  sgn0bi  34550  sgnmulsgp  34553  signsvfpn  34600  tgoldbachgtde  34675  tgoldbachgtda  34676  lfuhgr2  35124  knoppndvlem18  36530  knoppndvlem19  36531  knoppndvlem21  36533  ftc1cnnclem  37698  areacirclem1  37715  3lexlogpow2ineq1  42059  3lexlogpow2ineq2  42060  3lexlogpow5ineq5  42061  aks4d1p1p6  42074  aks6d1c4  42125  aks6d1c2  42131  aks6d1c6lem4  42174  sn-nnne0  42478  3cubeslem2  42696  irrapxlem2  42834  irrapxlem5  42837  pellexlem2  42841  imo72b2  44185  binomcxplemnotnn0  44375  dvdivbd  45938  dvbdfbdioolem1  45943  ioodvbdlimc1lem1  45946  ioodvbdlimc1lem2  45947  ioodvbdlimc2lem  45949  stoweidlem7  46022  stoweidlem36  46051  wallispilem3  46082  wallispilem4  46083  wallispi2lem1  46086  wallispi2lem2  46087  stirlinglem3  46091  stirlinglem6  46094  stirlinglem7  46095  stirlinglem10  46098  stirlinglem11  46099  stirlinglem12  46100  stirlinglem13  46101  stirlinglem14  46102  stirlinglem15  46103  dirkerval2  46109  dirkeritg  46117  dirkercncflem2  46119  fourierdlem6  46128  fourierdlem7  46129  fourierdlem19  46141  fourierdlem26  46148  fourierdlem30  46152  fourierdlem48  46169  fourierdlem49  46170  fourierdlem51  46172  fourierdlem63  46184  fourierdlem64  46185  fourierdlem71  46192  fourierdlem89  46210  fourierdlem90  46211  fourierdlem91  46212  fourierdlem103  46224  fourierdlem104  46225  fourierdlem112  46233  sqwvfoura  46243  fourierswlem  46245  etransclem4  46253  etransclem31  46280  etransclem32  46281  iccpartgt  47414  rege1logbrege0  48479  itcovalsuc  48588  ackvalsuc1mpt  48599  eenglngeehlnmlem2  48659  itsclc0yqsol  48685  itscnhlc0xyqsol  48686  itsclc0xyqsolr  48690  itsclinecirc0in  48696  itscnhlinecirc02p  48706  inlinecirc02plem  48707