Theorem gt0ne0d 11052

Description: Positive implies nonzero. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
gt0ne0d.1	⊢ (𝜑 → 0 < 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
gt0ne0d	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)

Proof of Theorem gt0ne0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0re 10489	. 2 ⊢ 0 ∈ ℝ
2		gt0ne0d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝐴)
3		ltne 10584	. 2 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 ≠ 0)
4	1, 2, 3	sylancr 587	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2081   ≠ wne 2984   class class class wbr 4962  ℝcr 10382  0cc0 10383   < clt 10521

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1777  ax-4 1791  ax-5 1888  ax-6 1947  ax-7 1992  ax-8 2083  ax-9 2091  ax-10 2112  ax-11 2126  ax-12 2141  ax-13 2344  ax-ext 2769  ax-sep 5094  ax-nul 5101  ax-pow 5157  ax-pr 5221  ax-un 7319  ax-resscn 10440  ax-1cn 10441  ax-addrcl 10444  ax-rnegex 10454  ax-cnre 10456  ax-pre-lttri 10457  ax-pre-lttrn 10458

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1525  df-ex 1762  df-nf 1766  df-sb 2043  df-mo 2576  df-eu 2612  df-clab 2776  df-cleq 2788  df-clel 2863  df-nfc 2935  df-ne 2985  df-nel 3091  df-ral 3110  df-rex 3111  df-rab 3114  df-v 3439  df-sbc 3707  df-csb 3812  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3874  df-nul 4212  df-if 4382  df-pw 4455  df-sn 4473  df-pr 4475  df-op 4479  df-uni 4746  df-br 4963  df-opab 5025  df-mpt 5042  df-id 5348  df-po 5362  df-so 5363  df-xp 5449  df-rel 5450  df-cnv 5451  df-co 5452  df-dm 5453  df-rn 5454  df-res 5455  df-ima 5456  df-iota 6189  df-fun 6227  df-fn 6228  df-f 6229  df-f1 6230  df-fo 6231  df-f1o 6232  df-fv 6233  df-er 8139  df-en 8358  df-dom 8359  df-sdom 8360  df-pnf 10523  df-mnf 10524  df-ltxr 10526

This theorem is referenced by:  recextlem2  11119  prodgt0  11335  ltdiv1  11352  ltmuldiv  11361  ltrec  11370  lerec  11371  lediv12a  11381  recp1lt1  11386  ledivp1  11390  supmul1  11458  nnne0  11519  rpnnen1lem5  12230  ltexp2a  13380  leexp2  13385  leexp2a  13386  expnbnd  13443  expmulnbnd  13446  discr1  13450  eqsqrt2d  14562  bpoly4  15246  isabvd  19281  gzrngunit  20293  fvmptnn04ifa  21142  chfacffsupp  21148  chfacfscmul0  21150  chfacfpmmul0  21154  stdbdxmet  22808  evth  23246  itg2monolem3  24036  mvth  24272  dvlip  24273  dvcvx  24300  ftc1lem4  24319  dgradd2  24541  radcnvlem1  24684  pilem2  24723  coseq00topi  24771  tangtx  24774  tanabsge  24775  tanord1  24802  logcnlem4  24909  cxplt  24958  atantan  25182  jensenlem2  25247  jensen  25248  lgamgulmlem2  25289  basellem3  25342  basellem4  25343  basellem8  25347  dchrmusumlema  25751  selberg3lem1  25815  abvcxp  25873  ostth2  25895  axsegconlem8  26393  axsegconlem9  26394  axsegconlem10  26395  axpaschlem  26409  axcontlem2  26434  axcontlem4  26436  axcontlem7  26439  iswwlksnx  27305  wspn0  27390  friendshipgt3  27869  his6  28567  eigrei  29302  finexttrb  30656  xrge0iifcv  30794  sgnmul  31417  sgn0bi  31422  sgnmulsgp  31425  signsvfpn  31472  tgoldbachgtde  31548  tgoldbachgtda  31549  lfuhgr2  31977  knoppndvlem18  33477  knoppndvlem19  33478  knoppndvlem21  33480  ftc1cnnclem  34496  areacirclem1  34513  irrapxlem2  38905  irrapxlem5  38908  pellexlem2  38912  imo72b2  40011  binomcxplemnotnn0  40226  dvdivbd  41749  dvbdfbdioolem1  41754  ioodvbdlimc1lem1  41757  ioodvbdlimc1lem2  41758  ioodvbdlimc2lem  41760  stoweidlem7  41834  stoweidlem36  41863  wallispilem3  41894  wallispilem4  41895  wallispi2lem1  41898  wallispi2lem2  41899  stirlinglem3  41903  stirlinglem6  41906  stirlinglem7  41907  stirlinglem10  41910  stirlinglem11  41911  stirlinglem12  41912  stirlinglem13  41913  stirlinglem14  41914  stirlinglem15  41915  dirkerval2  41921  dirkeritg  41929  dirkercncflem2  41931  fourierdlem6  41940  fourierdlem7  41941  fourierdlem19  41953  fourierdlem26  41960  fourierdlem30  41964  fourierdlem48  41981  fourierdlem49  41982  fourierdlem51  41984  fourierdlem63  41996  fourierdlem64  41997  fourierdlem71  42004  fourierdlem89  42022  fourierdlem90  42023  fourierdlem91  42024  fourierdlem103  42036  fourierdlem104  42037  fourierdlem112  42045  sqwvfoura  42055  fourierswlem  42057  etransclem4  42065  etransclem31  42092  etransclem32  42093  iccpartgt  43069  rege1logbrege0  44099  eenglngeehlnmlem2  44206  itsclc0yqsol  44232  itscnhlc0xyqsol  44233  itsclc0xyqsolr  44237  itsclinecirc0in  44243  itscnhlinecirc02p  44253  inlinecirc02plem  44254