Theorem gt0ne0d 11522

Description: Positive implies nonzero. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
gt0ne0d.1	⊢ (𝜑 → 0 < 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
gt0ne0d	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)

Proof of Theorem gt0ne0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0re 10961	. 2 ⊢ 0 ∈ ℝ
2		gt0ne0d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝐴)
3		ltne 11055	. 2 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 ≠ 0)
4	1, 2, 3	sylancr 586	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2944   class class class wbr 5078  ℝcr 10854  0cc0 10855   < clt 10993

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1801  ax-4 1815  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2014  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2140  ax-11 2157  ax-12 2174  ax-ext 2710  ax-sep 5226  ax-nul 5233  ax-pow 5291  ax-pr 5355  ax-un 7579  ax-resscn 10912  ax-1cn 10913  ax-addrcl 10916  ax-rnegex 10926  ax-cnre 10928  ax-pre-lttri 10929  ax-pre-lttrn 10930

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1786  df-nf 1790  df-sb 2071  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2817  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3070  df-rex 3071  df-rab 3074  df-v 3432  df-sbc 3720  df-csb 3837  df-dif 3894  df-un 3896  df-in 3898  df-ss 3908  df-nul 4262  df-if 4465  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-op 4573  df-uni 4845  df-br 5079  df-opab 5141  df-mpt 5162  df-id 5488  df-po 5502  df-so 5503  df-xp 5594  df-rel 5595  df-cnv 5596  df-co 5597  df-dm 5598  df-rn 5599  df-res 5600  df-ima 5601  df-iota 6388  df-fun 6432  df-fn 6433  df-f 6434  df-f1 6435  df-fo 6436  df-f1o 6437  df-fv 6438  df-er 8472  df-en 8708  df-dom 8709  df-sdom 8710  df-pnf 10995  df-mnf 10996  df-ltxr 10998

This theorem is referenced by:  recextlem2  11589  prodgt0  11805  ltdiv1  11822  ltmuldiv  11831  ltrec  11840  lerec  11841  lediv12a  11851  recp1lt1  11856  ledivp1  11860  supmul1  11927  nnne0  11990  rpnnen1lem5  12703  ltexp2a  13865  leexp2  13870  leexp2a  13871  expnbnd  13928  expmulnbnd  13931  discr1  13935  eqsqrt2d  15061  bpoly4  15750  isabvd  20061  gzrngunit  20645  fvmptnn04ifa  21980  chfacffsupp  21986  chfacfscmul0  21988  chfacfpmmul0  21992  stdbdxmet  23652  evth  24103  itg2monolem3  24898  mvth  25137  dvlip  25138  dvcvx  25165  ftc1lem4  25184  dgradd2  25410  radcnvlem1  25553  pilem2  25592  coseq00topi  25640  tangtx  25643  tanabsge  25644  cos02pilt1  25663  tanord1  25674  logcnlem4  25781  cxplt  25830  atantan  26054  jensenlem2  26118  jensen  26119  lgamgulmlem2  26160  basellem3  26213  basellem4  26214  basellem8  26218  dchrmusumlema  26622  selberg3lem1  26686  abvcxp  26744  ostth2  26766  axsegconlem8  27273  axsegconlem9  27274  axsegconlem10  27275  axpaschlem  27289  axcontlem2  27314  axcontlem4  27316  axcontlem7  27319  iswwlksnx  28184  wspn0  28268  friendshipgt3  28741  his6  29440  eigrei  30175  cycpmco2lem4  31375  cycpmco2lem5  31376  finexttrb  31716  xrge0iifcv  31863  sgnmul  32488  sgn0bi  32493  sgnmulsgp  32496  signsvfpn  32543  tgoldbachgtde  32619  tgoldbachgtda  32620  lfuhgr2  33059  knoppndvlem18  34688  knoppndvlem19  34689  knoppndvlem21  34691  ftc1cnnclem  35827  areacirclem1  35844  3lexlogpow2ineq1  40046  3lexlogpow2ineq2  40047  3lexlogpow5ineq5  40048  aks4d1p1p6  40061  3cubeslem2  40487  irrapxlem2  40625  irrapxlem5  40628  pellexlem2  40632  imo72b2  41736  binomcxplemnotnn0  41927  dvdivbd  43418  dvbdfbdioolem1  43423  ioodvbdlimc1lem1  43426  ioodvbdlimc1lem2  43427  ioodvbdlimc2lem  43429  stoweidlem7  43502  stoweidlem36  43531  wallispilem3  43562  wallispilem4  43563  wallispi2lem1  43566  wallispi2lem2  43567  stirlinglem3  43571  stirlinglem6  43574  stirlinglem7  43575  stirlinglem10  43578  stirlinglem11  43579  stirlinglem12  43580  stirlinglem13  43581  stirlinglem14  43582  stirlinglem15  43583  dirkerval2  43589  dirkeritg  43597  dirkercncflem2  43599  fourierdlem6  43608  fourierdlem7  43609  fourierdlem19  43621  fourierdlem26  43628  fourierdlem30  43632  fourierdlem48  43649  fourierdlem49  43650  fourierdlem51  43652  fourierdlem63  43664  fourierdlem64  43665  fourierdlem71  43672  fourierdlem89  43690  fourierdlem90  43691  fourierdlem91  43692  fourierdlem103  43704  fourierdlem104  43705  fourierdlem112  43713  sqwvfoura  43723  fourierswlem  43725  etransclem4  43733  etransclem31  43760  etransclem32  43761  iccpartgt  44831  rege1logbrege0  45856  itcovalsuc  45965  ackvalsuc1mpt  45976  eenglngeehlnmlem2  46036  itsclc0yqsol  46062  itscnhlc0xyqsol  46063  itsclc0xyqsolr  46067  itsclinecirc0in  46073  itscnhlinecirc02p  46083  inlinecirc02plem  46084