Theorem gt0ne0d 11774

Description: Positive implies nonzero. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
gt0ne0d.1	⊢ (𝜑 → 0 < 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
gt0ne0d	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)

Proof of Theorem gt0ne0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0red 11207	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
2		gt0ne0d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝐴)
3	1, 2	gtned 11341	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)

Syntax hints:   → wi 4   ≠ wne 2964   class class class wbr 5110  0cc0 11096   < clt 11239

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5258  ax-nul 5268  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7730  ax-resscn 11153  ax-1cn 11154  ax-addrcl 11157  ax-rnegex 11167  ax-cnre 11169  ax-pre-lttri 11170  ax-pre-lttrn 11171

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4295  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-id 5554  df-po 5567  df-so 5568  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-iota 6490  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11241  df-mnf 11242  df-ltxr 11244

This theorem is referenced by:  recextlem2  11841  prodgt0  12058  ltdiv1  12075  ltmuldiv  12084  ltrec  12093  lerec  12094  lediv12a  12104  recp1lt1  12109  ledivp1  12113  supmul1  12180  nnne0  12266  rpnnen1lem5  13001  ltexp2a  14198  leexp2  14203  leexp2a  14204  expnbnd  14264  expmulnbnd  14267  discr1  14271  sgn0bi  15136  sgnmul  15140  eqsqrt2d  15416  bpoly4  16109  isabvd  20889  gzrngunit  21548  fvmptnn04ifa  22972  chfacffsupp  22978  chfacfscmul0  22980  chfacfpmmul0  22984  stdbdxmet  24637  evth  25083  itg2monolem3  25876  mvth  26116  dvlip  26117  dvcvx  26144  ftc1lem4  26163  dgradd2  26390  radcnvlem1  26538  pilem2  26577  coseq00topi  26629  tangtx  26632  tanabsge  26633  cos02pilt1  26653  tanord1  26664  logcnlem4  26772  cxplt  26821  atantan  27050  jensenlem2  27114  jensen  27115  lgamgulmlem2  27156  basellem3  27209  basellem4  27210  basellem8  27214  dchrmusumlema  27619  selberg3lem1  27683  abvcxp  27741  ostth2  27763  axsegconlem8  29211  axsegconlem9  29212  axsegconlem10  29213  axpaschlem  29227  axcontlem2  29252  axcontlem4  29254  axcontlem7  29257  iswwlksnx  30126  wspn0  30210  friendshipgt3  30686  his6  31388  eigrei  32123  sgnmulsgp  33113  cycpmco2lem4  33386  cycpmco2lem5  33387  finexttrb  33996  fldext2rspun  34013  cos9thpiminplylem1  34113  cos9thpiminply  34119  xrge0iifcv  34265  signsvfpn  34913  tgoldbachgtde  34988  tgoldbachgtda  34989  lfuhgr2  35506  knoppndvlem18  37003  knoppndvlem19  37004  knoppndvlem21  37006  ftc1cnnclem  38225  areacirclem1  38242  3lexlogpow2ineq1  42710  3lexlogpow2ineq2  42711  3lexlogpow5ineq5  42712  aks4d1p1p6  42725  aks6d1c4  42776  aks6d1c2  42782  aks6d1c6lem4  42825  sn-nnne0  43119  sn-recgt0d  43136  mulgt0b2d  43137  mulltgt0d  43141  mullt0b2d  43143  3cubeslem2  43303  irrapxlem2  43437  irrapxlem5  43440  pellexlem2  43444  imo72b2  44785  binomcxplemnotnn0  44953  dvdivbd  46524  dvbdfbdioolem1  46529  ioodvbdlimc1lem1  46532  ioodvbdlimc1lem2  46533  ioodvbdlimc2lem  46535  stoweidlem7  46608  stoweidlem36  46637  wallispilem3  46668  wallispilem4  46669  wallispi2lem1  46672  wallispi2lem2  46673  stirlinglem3  46677  stirlinglem6  46680  stirlinglem7  46681  stirlinglem10  46684  stirlinglem11  46685  stirlinglem12  46686  stirlinglem13  46687  stirlinglem14  46688  stirlinglem15  46689  dirkerval2  46695  dirkeritg  46703  dirkercncflem2  46705  fourierdlem6  46714  fourierdlem7  46715  fourierdlem19  46727  fourierdlem26  46734  fourierdlem30  46738  fourierdlem48  46755  fourierdlem49  46756  fourierdlem51  46758  fourierdlem63  46770  fourierdlem64  46771  fourierdlem71  46778  fourierdlem89  46796  fourierdlem90  46797  fourierdlem91  46798  fourierdlem103  46810  fourierdlem104  46811  fourierdlem112  46819  sqwvfoura  46829  fourierswlem  46831  etransclem4  46839  etransclem31  46866  etransclem32  46867  cjnpoly  47510  iccpartgt  48060  upgrimpthslem2  48557  rege1logbrege0  49218  itcovalsuc  49327  ackvalsuc1mpt  49338  eenglngeehlnmlem2  49398  itsclc0yqsol  49424  itscnhlc0xyqsol  49425  itsclc0xyqsolr  49429  itsclinecirc0in  49435  itscnhlinecirc02p  49445  inlinecirc02plem  49446