Theorem gt0ne0d 11784

Description: Positive implies nonzero. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
gt0ne0d.1	⊢ (𝜑 → 0 < 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
gt0ne0d	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)

Proof of Theorem gt0ne0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0red 11217	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
2		gt0ne0d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝐴)
3	1, 2	gtned 11351	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ≠ wne 2957   class class class wbr 5108  0cc0 11106   < clt 11249

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5335  ax-pr 5403  ax-un 7734  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-addrcl 11167  ax-rnegex 11177  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1103  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5555  df-po 5568  df-so 5569  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-er 8692  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-ltxr 11254

This theorem is used by:  recextlem2  11851  prodgt0  12068  ltdiv1  12085  ltmuldiv  12094  ltrec  12103  lerec  12104  lediv12a  12114  recp1lt1  12119  ledivp1  12123  supmul1  12190  nnne0  12276  rpnnen1lem5  13011  ltexp2a  14209  leexp2  14214  leexp2a  14215  expnbnd  14275  expmulnbnd  14278  discr1  14282  sgn0bi  15147  sgnmul  15151  eqsqrt2d  15427  bpoly4  16119  isabvd  20926  gzrngunit  21594  fvmptnn04ifa  23018  chfacffsupp  23024  chfacfscmul0  23026  chfacfpmmul0  23030  stdbdxmet  24683  evth  25129  itg2monolem3  25922  mvth  26162  dvlip  26163  dvcvx  26190  ftc1lem4  26209  dgradd2  26436  radcnvlem1  26587  pilem2  26626  coseq00topi  26678  tangtx  26681  tanabsge  26682  cos02pilt1  26702  tanord1  26713  logcnlem4  26821  cxplt  26870  atantan  27099  jensenlem2  27163  jensen  27164  lgamgulmlem2  27205  basellem3  27258  basellem4  27259  basellem8  27263  dchrmusumlema  27668  selberg3lem1  27732  abvcxp  27790  ostth2  27812  axsegconlem8  29285  axsegconlem9  29286  axsegconlem10  29287  axpaschlem  29301  axcontlem2  29326  axcontlem4  29328  axcontlem7  29331  iswwlksnx  30200  wspn0  30284  friendshipgt3  30760  his6  31462  eigrei  32197  sgnmulsgp  33187  cycpmco2lem4  33458  cycpmco2lem5  33459  finexttrb  34064  fldext2rspun  34081  cos9thpiminplylem1  34181  cos9thpiminply  34187  xrge0iifcv  34333  signsvfpn  34981  tgoldbachgtde  35056  tgoldbachgtda  35057  lfuhgr2  35619  knoppndvlem18  37146  knoppndvlem19  37147  knoppndvlem21  37149  ftc1cnnclem  38370  areacirclem1  38387  3lexlogpow2ineq1  42853  3lexlogpow2ineq2  42854  3lexlogpow5ineq5  42855  aks4d1p1p6  42868  aks6d1c4  42919  aks6d1c2  42925  aks6d1c6lem4  42968  sn-nnne0  43262  sn-recgt0d  43279  mulgt0b2d  43280  mulltgt0d  43284  mullt0b2d  43286  3cubeslem2  43444  irrapxlem2  43578  irrapxlem5  43581  pellexlem2  43585  imo72b2  44926  binomcxplemnotnn0  45094  dvdivbd  46665  dvbdfbdioolem1  46670  ioodvbdlimc1lem1  46673  ioodvbdlimc1lem2  46674  ioodvbdlimc2lem  46676  stoweidlem7  46749  stoweidlem36  46778  wallispilem3  46809  wallispilem4  46810  wallispi2lem1  46813  wallispi2lem2  46814  stirlinglem3  46818  stirlinglem6  46821  stirlinglem7  46822  stirlinglem10  46825  stirlinglem11  46826  stirlinglem12  46827  stirlinglem13  46828  stirlinglem14  46829  stirlinglem15  46830  dirkerval2  46836  dirkeritg  46844  dirkercncflem2  46846  fourierdlem6  46855  fourierdlem7  46856  fourierdlem19  46868  fourierdlem26  46875  fourierdlem30  46879  fourierdlem48  46896  fourierdlem49  46897  fourierdlem51  46899  fourierdlem63  46911  fourierdlem64  46912  fourierdlem71  46919  fourierdlem89  46937  fourierdlem90  46938  fourierdlem91  46939  fourierdlem103  46951  fourierdlem104  46952  fourierdlem112  46960  sqwvfoura  46970  fourierswlem  46972  etransclem4  46980  etransclem31  47007  etransclem32  47008  cjnpoly  47654  iccpartgt  48204  upgrimpthslem2  48701  rege1logbrege0  49366  itcovalsuc  49475  ackvalsuc1mpt  49486  eenglngeehlnmlem2  49546  itsclc0yqsol  49572  itscnhlc0xyqsol  49573  itsclc0xyqsolr  49577  itsclinecirc0in  49583  itscnhlinecirc02p  49593  inlinecirc02plem  49594