Theorem gt0ne0d 11887

Description: Positive implies nonzero. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
gt0ne0d.1	⊢ (𝜑 → 0 < 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
gt0ne0d	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)

Proof of Theorem gt0ne0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0red 11318	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
2		gt0ne0d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝐴)
3	1, 2	gtned 11452	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ≠ wne 2955   class class class wbr 5102  0cc0 11207   < clt 11350

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7755  ax-resscn 11264  ax-1cn 11265  ax-addrcl 11268  ax-rnegex 11278  ax-cnre 11280  ax-pre-lttri 11281  ax-pre-lttrn 11282

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5546  df-po 5559  df-so 5560  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6497  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-er 8724  df-en 8981  df-dom 8982  df-sdom 8983  df-pnf 11352  df-mnf 11353  df-ltxr 11355

This theorem is used by:  recextlem2  11954  prodgt0  12171  ltdiv1  12188  ltmuldiv  12197  ltrec  12206  lerec  12207  lediv12a  12217  recp1lt1  12222  ledivp1  12226  supmul1  12293  nnne0  12379  rpnnen1lem5  13116  ltexp2a  14316  leexp2  14321  leexp2a  14322  expnbnd  14383  expmulnbnd  14386  discr1  14390  sgn0bi  15265  sgnmul  15269  eqsqrt2d  15545  bpoly4  16234  isabvd  21078  gzrngunit  21748  fvmptnn04ifa  23177  chfacffsupp  23183  chfacfscmul0  23185  chfacfpmmul0  23189  stdbdxmet  24843  evth  25289  itg2monolem3  26082  mvth  26321  dvlip  26322  dvcvx  26349  ftc1lem4  26368  dgradd2  26596  radcnvlem1  26749  pilem2  26788  coseq00topi  26840  tangtx  26843  tanabsge  26844  cos02pilt1  26863  tanord1  26874  logcnlem4  26982  cxplt  27031  atantan  27260  jensenlem2  27324  jensen  27325  lgamgulmlem2  27366  basellem3  27419  basellem4  27420  basellem8  27424  dchrmusumlema  27829  selberg3lem1  27893  abvcxp  27951  ostth2  27973  axsegconlem8  29511  axsegconlem9  29512  axsegconlem10  29513  axpaschlem  29527  axcontlem2  29552  axcontlem4  29554  axcontlem7  29557  lfuhgr2  29736  iswwlksnx  30438  wspn0  30522  friendshipgt3  31008  his6  31710  eigrei  32445  sgnmulsgp  33473  cycpmco2lem4  33740  cycpmco2lem5  33741  finexttrb  34347  fldext2rspun  34364  cos9thpiminplylem1  34464  cos9thpiminply  34470  xrge0iifcv  34616  signsvfpn  35264  tgoldbachgtde  35339  tgoldbachgtda  35340  knoppndvlem18  37491  knoppndvlem19  37492  knoppndvlem21  37494  ftc1cnnclem  38718  areacirclem1  38735  3lexlogpow2ineq1  43217  3lexlogpow2ineq2  43218  3lexlogpow5ineq5  43219  aks4d1p1p6  43232  aks6d1c4  43283  aks6d1c2  43289  aks6d1c6lem4  43332  sn-nnne0  43633  sn-recgt0d  43650  mulgt0b2d  43651  mulltgt0d  43655  mullt0b2d  43657  3cubeslem2  43804  irrapxlem2  43939  irrapxlem5  43942  pellexlem2  43946  imo72b2  45281  binomcxplemnotnn0  45449  dvdivbd  47041  dvbdfbdioolem1  47046  ioodvbdlimc1lem1  47049  ioodvbdlimc1lem2  47050  ioodvbdlimc2lem  47052  stoweidlem7  47125  stoweidlem36  47154  wallispilem3  47185  wallispilem4  47186  wallispi2lem1  47189  wallispi2lem2  47190  stirlinglem3  47194  stirlinglem6  47197  stirlinglem7  47198  stirlinglem10  47201  stirlinglem11  47202  stirlinglem12  47203  stirlinglem13  47204  stirlinglem14  47205  stirlinglem15  47206  dirkerval2  47212  dirkeritg  47220  dirkercncflem2  47222  fourierdlem6  47231  fourierdlem7  47232  fourierdlem19  47244  fourierdlem26  47251  fourierdlem30  47255  fourierdlem48  47272  fourierdlem49  47273  fourierdlem51  47275  fourierdlem63  47287  fourierdlem64  47288  fourierdlem71  47295  fourierdlem89  47313  fourierdlem90  47314  fourierdlem91  47315  fourierdlem103  47327  fourierdlem104  47328  fourierdlem112  47336  sqwvfoura  47346  fourierswlem  47348  etransclem4  47356  etransclem31  47383  etransclem32  47384  cjnpoly  48047  iccpartgt  48617  upgrimpthslem2  49114  rege1logbrege0  49778  itcovalsuc  49887  ackvalsuc1mpt  49898  eenglngeehlnmlem2  49959  itsclc0yqsol  49984  itscnhlc0xyqsol  49985  itsclc0xyqsolr  49989  itsclinecirc0in  49995  itscnhlinecirc02p  50005  inlinecirc02plem  50006