Theorem argimlt0 25196

Description: Closure of the argument of a complex number with negative imaginary part. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
argimlt0	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) < 0) → (ℑ‘(log‘𝐴)) ∈ (-π(,)0))

Proof of Theorem argimlt0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 487	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) < 0) → (ℑ‘𝐴) < 0)
2	1	lt0ne0d 11205	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) < 0) → (ℑ‘𝐴) ≠ 0)
3		fveq2 6670	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = 0 → (ℑ‘𝐴) = (ℑ‘0))
4		im0 14512	. . . . . . 7 ⊢ (ℑ‘0) = 0
5	3, 4	syl6eq 2872	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = 0 → (ℑ‘𝐴) = 0)
6	5	necon3i 3048	. . . . 5 ⊢ ((ℑ‘𝐴) ≠ 0 → 𝐴 ≠ 0)
7	2, 6	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) < 0) → 𝐴 ≠ 0)
8		logcl 25152	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (log‘𝐴) ∈ ℂ)
9	7, 8	syldan 593	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) < 0) → (log‘𝐴) ∈ ℂ)
10	9	imcld 14554	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) < 0) → (ℑ‘(log‘𝐴)) ∈ ℝ)
11		logcj 25189	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ≠ 0) → (log‘(∗‘𝐴)) = (∗‘(log‘𝐴)))
12	2, 11	syldan 593	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) < 0) → (log‘(∗‘𝐴)) = (∗‘(log‘𝐴)))
13	12	fveq2d 6674	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) < 0) → (ℑ‘(log‘(∗‘𝐴))) = (ℑ‘(∗‘(log‘𝐴))))
14	9	imcjd 14564	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) < 0) → (ℑ‘(∗‘(log‘𝐴))) = -(ℑ‘(log‘𝐴)))
15	13, 14	eqtrd 2856	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) < 0) → (ℑ‘(log‘(∗‘𝐴))) = -(ℑ‘(log‘𝐴)))
16		cjcl 14464	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (∗‘𝐴) ∈ ℂ)
17		imcl 14470	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℑ‘𝐴) ∈ ℝ)
18	17	adantr 483	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) < 0) → (ℑ‘𝐴) ∈ ℝ)
19	18	lt0neg1d 11209	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) < 0) → ((ℑ‘𝐴) < 0 ↔ 0 < -(ℑ‘𝐴)))
20	1, 19	mpbid 234	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) < 0) → 0 < -(ℑ‘𝐴))
21		imcj 14491	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℑ‘(∗‘𝐴)) = -(ℑ‘𝐴))
22	21	adantr 483	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) < 0) → (ℑ‘(∗‘𝐴)) = -(ℑ‘𝐴))
23	20, 22	breqtrrd 5094	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) < 0) → 0 < (ℑ‘(∗‘𝐴)))
24		argimgt0 25195	. . . . . . 7 ⊢ (((∗‘𝐴) ∈ ℂ ∧ 0 < (ℑ‘(∗‘𝐴))) → (ℑ‘(log‘(∗‘𝐴))) ∈ (0(,)π))
25	16, 23, 24	syl2an2r 683	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) < 0) → (ℑ‘(log‘(∗‘𝐴))) ∈ (0(,)π))
26		eliooord 12797	. . . . . 6 ⊢ ((ℑ‘(log‘(∗‘𝐴))) ∈ (0(,)π) → (0 < (ℑ‘(log‘(∗‘𝐴))) ∧ (ℑ‘(log‘(∗‘𝐴))) < π))
27	25, 26	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) < 0) → (0 < (ℑ‘(log‘(∗‘𝐴))) ∧ (ℑ‘(log‘(∗‘𝐴))) < π))
28	27	simprd 498	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) < 0) → (ℑ‘(log‘(∗‘𝐴))) < π)
29	15, 28	eqbrtrrd 5090	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) < 0) → -(ℑ‘(log‘𝐴)) < π)
30		pire 25044	. . . 4 ⊢ π ∈ ℝ
31		ltnegcon1 11141	. . . 4 ⊢ (((ℑ‘(log‘𝐴)) ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ) → (-(ℑ‘(log‘𝐴)) < π ↔ -π < (ℑ‘(log‘𝐴))))
32	10, 30, 31	sylancl 588	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) < 0) → (-(ℑ‘(log‘𝐴)) < π ↔ -π < (ℑ‘(log‘𝐴))))
33	29, 32	mpbid 234	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) < 0) → -π < (ℑ‘(log‘𝐴)))
34	27	simpld 497	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) < 0) → 0 < (ℑ‘(log‘(∗‘𝐴))))
35	34, 15	breqtrd 5092	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) < 0) → 0 < -(ℑ‘(log‘𝐴)))
36	10	lt0neg1d 11209	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) < 0) → ((ℑ‘(log‘𝐴)) < 0 ↔ 0 < -(ℑ‘(log‘𝐴))))
37	35, 36	mpbird 259	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) < 0) → (ℑ‘(log‘𝐴)) < 0)
38	30	renegcli 10947	. . . 4 ⊢ -π ∈ ℝ
39	38	rexri 10699	. . 3 ⊢ -π ∈ ℝ*
40		0xr 10688	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℝ*
41		elioo2 12780	. . 3 ⊢ ((-π ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ*) → ((ℑ‘(log‘𝐴)) ∈ (-π(,)0) ↔ ((ℑ‘(log‘𝐴)) ∈ ℝ ∧ -π < (ℑ‘(log‘𝐴)) ∧ (ℑ‘(log‘𝐴)) < 0)))
42	39, 40, 41	mp2an 690	. 2 ⊢ ((ℑ‘(log‘𝐴)) ∈ (-π(,)0) ↔ ((ℑ‘(log‘𝐴)) ∈ ℝ ∧ -π < (ℑ‘(log‘𝐴)) ∧ (ℑ‘(log‘𝐴)) < 0))
43	10, 33, 37, 42	syl3anbrc 1339	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) < 0) → (ℑ‘(log‘𝐴)) ∈ (-π(,)0))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   ∧ w3a 1083   = wceq 1537   ∈ wcel 2114   ≠ wne 3016   class class class wbr 5066  ‘cfv 6355  (class class class)co 7156  ℂcc 10535  ℝcr 10536  0cc0 10537  ℝ^*cxr 10674   < clt 10675  -cneg 10871  (,)cioo 12739  ∗ccj 14455  ℑcim 14457  πcpi 15420  logclog 25138

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-rep 5190  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461  ax-inf2 9104  ax-cnex 10593  ax-resscn 10594  ax-1cn 10595  ax-icn 10596  ax-addcl 10597  ax-addrcl 10598  ax-mulcl 10599  ax-mulrcl 10600  ax-mulcom 10601  ax-addass 10602  ax-mulass 10603  ax-distr 10604  ax-i2m1 10605  ax-1ne0 10606  ax-1rid 10607  ax-rnegex 10608  ax-rrecex 10609  ax-cnre 10610  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612  ax-pre-ltadd 10613  ax-pre-mulgt0 10614  ax-pre-sup 10615  ax-addf 10616  ax-mulf 10617

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4839  df-int 4877  df-iun 4921  df-iin 4922  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-tr 5173  df-id 5460  df-eprel 5465  df-po 5474  df-so 5475  df-fr 5514  df-se 5515  df-we 5516  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-pred 6148  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-isom 6364  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-of 7409  df-om 7581  df-1st 7689  df-2nd 7690  df-supp 7831  df-wrecs 7947  df-recs 8008  df-rdg 8046  df-1o 8102  df-2o 8103  df-oadd 8106  df-er 8289  df-map 8408  df-pm 8409  df-ixp 8462  df-en 8510  df-dom 8511  df-sdom 8512  df-fin 8513  df-fsupp 8834  df-fi 8875  df-sup 8906  df-inf 8907  df-oi 8974  df-card 9368  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-xr 10679  df-ltxr 10680  df-le 10681  df-sub 10872  df-neg 10873  df-div 11298  df-nn 11639  df-2 11701  df-3 11702  df-4 11703  df-5 11704  df-6 11705  df-7 11706  df-8 11707  df-9 11708  df-n0 11899  df-z 11983  df-dec 12100  df-uz 12245  df-q 12350  df-rp 12391  df-xneg 12508  df-xadd 12509  df-xmul 12510  df-ioo 12743  df-ioc 12744  df-ico 12745  df-icc 12746  df-fz 12894  df-fzo 13035  df-fl 13163  df-mod 13239  df-seq 13371  df-exp 13431  df-fac 13635  df-bc 13664  df-hash 13692  df-shft 14426  df-cj 14458  df-re 14459  df-im 14460  df-sqrt 14594  df-abs 14595  df-limsup 14828  df-clim 14845  df-rlim 14846  df-sum 15043  df-ef 15421  df-sin 15423  df-cos 15424  df-pi 15426  df-struct 16485  df-ndx 16486  df-slot 16487  df-base 16489  df-sets 16490  df-ress 16491  df-plusg 16578  df-mulr 16579  df-starv 16580  df-sca 16581  df-vsca 16582  df-ip 16583  df-tset 16584  df-ple 16585  df-ds 16587  df-unif 16588  df-hom 16589  df-cco 16590  df-rest 16696  df-topn 16697  df-0g 16715  df-gsum 16716  df-topgen 16717  df-pt 16718  df-prds 16721  df-xrs 16775  df-qtop 16780  df-imas 16781  df-xps 16783  df-mre 16857  df-mrc 16858  df-acs 16860  df-mgm 17852  df-sgrp 17901  df-mnd 17912  df-submnd 17957  df-mulg 18225  df-cntz 18447  df-cmn 18908  df-psmet 20537  df-xmet 20538  df-met 20539  df-bl 20540  df-mopn 20541  df-fbas 20542  df-fg 20543  df-cnfld 20546  df-top 21502  df-topon 21519  df-topsp 21541  df-bases 21554  df-cld 21627  df-ntr 21628  df-cls 21629  df-nei 21706  df-lp 21744  df-perf 21745  df-cn 21835  df-cnp 21836  df-haus 21923  df-tx 22170  df-hmeo 22363  df-fil 22454  df-fm 22546  df-flim 22547  df-flf 22548  df-xms 22930  df-ms 22931  df-tms 22932  df-cncf 23486  df-limc 24464  df-dv 24465  df-log 25140

This theorem is referenced by:  logcnlem3  25227  atanlogaddlem  25491