Theorem argimlt0 24697

Description: Closure of the argument of a complex number with negative imaginary part. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
argimlt0	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) < 0) → (ℑ‘(log‘𝐴)) ∈ (-π(,)0))

Proof of Theorem argimlt0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 478	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) < 0) → (ℑ‘𝐴) < 0)
2	1	lt0ne0d 10884	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) < 0) → (ℑ‘𝐴) ≠ 0)
3		fveq2 6410	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = 0 → (ℑ‘𝐴) = (ℑ‘0))
4		im0 14231	. . . . . . 7 ⊢ (ℑ‘0) = 0
5	3, 4	syl6eq 2848	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = 0 → (ℑ‘𝐴) = 0)
6	5	necon3i 3002	. . . . 5 ⊢ ((ℑ‘𝐴) ≠ 0 → 𝐴 ≠ 0)
7	2, 6	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) < 0) → 𝐴 ≠ 0)
8		logcl 24653	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (log‘𝐴) ∈ ℂ)
9	7, 8	syldan 586	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) < 0) → (log‘𝐴) ∈ ℂ)
10	9	imcld 14273	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) < 0) → (ℑ‘(log‘𝐴)) ∈ ℝ)
11		logcj 24690	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ≠ 0) → (log‘(∗‘𝐴)) = (∗‘(log‘𝐴)))
12	2, 11	syldan 586	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) < 0) → (log‘(∗‘𝐴)) = (∗‘(log‘𝐴)))
13	12	fveq2d 6414	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) < 0) → (ℑ‘(log‘(∗‘𝐴))) = (ℑ‘(∗‘(log‘𝐴))))
14	9	imcjd 14283	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) < 0) → (ℑ‘(∗‘(log‘𝐴))) = -(ℑ‘(log‘𝐴)))
15	13, 14	eqtrd 2832	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) < 0) → (ℑ‘(log‘(∗‘𝐴))) = -(ℑ‘(log‘𝐴)))
16		cjcl 14183	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (∗‘𝐴) ∈ ℂ)
17	16	adantr 473	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) < 0) → (∗‘𝐴) ∈ ℂ)
18		imcl 14189	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℑ‘𝐴) ∈ ℝ)
19	18	adantr 473	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) < 0) → (ℑ‘𝐴) ∈ ℝ)
20	19	lt0neg1d 10888	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) < 0) → ((ℑ‘𝐴) < 0 ↔ 0 < -(ℑ‘𝐴)))
21	1, 20	mpbid 224	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) < 0) → 0 < -(ℑ‘𝐴))
22		imcj 14210	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℑ‘(∗‘𝐴)) = -(ℑ‘𝐴))
23	22	adantr 473	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) < 0) → (ℑ‘(∗‘𝐴)) = -(ℑ‘𝐴))
24	21, 23	breqtrrd 4870	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) < 0) → 0 < (ℑ‘(∗‘𝐴)))
25		argimgt0 24696	. . . . . . 7 ⊢ (((∗‘𝐴) ∈ ℂ ∧ 0 < (ℑ‘(∗‘𝐴))) → (ℑ‘(log‘(∗‘𝐴))) ∈ (0(,)π))
26	17, 24, 25	syl2anc 580	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) < 0) → (ℑ‘(log‘(∗‘𝐴))) ∈ (0(,)π))
27		eliooord 12479	. . . . . 6 ⊢ ((ℑ‘(log‘(∗‘𝐴))) ∈ (0(,)π) → (0 < (ℑ‘(log‘(∗‘𝐴))) ∧ (ℑ‘(log‘(∗‘𝐴))) < π))
28	26, 27	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) < 0) → (0 < (ℑ‘(log‘(∗‘𝐴))) ∧ (ℑ‘(log‘(∗‘𝐴))) < π))
29	28	simprd 490	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) < 0) → (ℑ‘(log‘(∗‘𝐴))) < π)
30	15, 29	eqbrtrrd 4866	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) < 0) → -(ℑ‘(log‘𝐴)) < π)
31		pire 24549	. . . 4 ⊢ π ∈ ℝ
32		ltnegcon1 10820	. . . 4 ⊢ (((ℑ‘(log‘𝐴)) ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ) → (-(ℑ‘(log‘𝐴)) < π ↔ -π < (ℑ‘(log‘𝐴))))
33	10, 31, 32	sylancl 581	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) < 0) → (-(ℑ‘(log‘𝐴)) < π ↔ -π < (ℑ‘(log‘𝐴))))
34	30, 33	mpbid 224	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) < 0) → -π < (ℑ‘(log‘𝐴)))
35	28	simpld 489	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) < 0) → 0 < (ℑ‘(log‘(∗‘𝐴))))
36	35, 15	breqtrd 4868	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) < 0) → 0 < -(ℑ‘(log‘𝐴)))
37	10	lt0neg1d 10888	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) < 0) → ((ℑ‘(log‘𝐴)) < 0 ↔ 0 < -(ℑ‘(log‘𝐴))))
38	36, 37	mpbird 249	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) < 0) → (ℑ‘(log‘𝐴)) < 0)
39	31	renegcli 10633	. . . 4 ⊢ -π ∈ ℝ
40	39	rexri 10386	. . 3 ⊢ -π ∈ ℝ*
41		0xr 10374	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℝ*
42		elioo2 12462	. . 3 ⊢ ((-π ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ*) → ((ℑ‘(log‘𝐴)) ∈ (-π(,)0) ↔ ((ℑ‘(log‘𝐴)) ∈ ℝ ∧ -π < (ℑ‘(log‘𝐴)) ∧ (ℑ‘(log‘𝐴)) < 0)))
43	40, 41, 42	mp2an 684	. 2 ⊢ ((ℑ‘(log‘𝐴)) ∈ (-π(,)0) ↔ ((ℑ‘(log‘𝐴)) ∈ ℝ ∧ -π < (ℑ‘(log‘𝐴)) ∧ (ℑ‘(log‘𝐴)) < 0))
44	10, 34, 38, 43	syl3anbrc 1444	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) < 0) → (ℑ‘(log‘𝐴)) ∈ (-π(,)0))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 385   ∧ w3a 1108   = wceq 1653   ∈ wcel 2157   ≠ wne 2970   class class class wbr 4842  ‘cfv 6100  (class class class)co 6877  ℂcc 10221  ℝcr 10222  0cc0 10223  ℝ^*cxr 10361   < clt 10362  -cneg 10556  (,)cioo 12421  ∗ccj 14174  ℑcim 14176  πcpi 15130  logclog 24639

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2776  ax-rep 4963  ax-sep 4974  ax-nul 4982  ax-pow 5034  ax-pr 5096  ax-un 7182  ax-inf2 8787  ax-cnex 10279  ax-resscn 10280  ax-1cn 10281  ax-icn 10282  ax-addcl 10283  ax-addrcl 10284  ax-mulcl 10285  ax-mulrcl 10286  ax-mulcom 10287  ax-addass 10288  ax-mulass 10289  ax-distr 10290  ax-i2m1 10291  ax-1ne0 10292  ax-1rid 10293  ax-rnegex 10294  ax-rrecex 10295  ax-cnre 10296  ax-pre-lttri 10297  ax-pre-lttrn 10298  ax-pre-ltadd 10299  ax-pre-mulgt0 10300  ax-pre-sup 10301  ax-addf 10302  ax-mulf 10303

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-fal 1667  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2785  df-cleq 2791  df-clel 2794  df-nfc 2929  df-ne 2971  df-nel 3074  df-ral 3093  df-rex 3094  df-reu 3095  df-rmo 3096  df-rab 3097  df-v 3386  df-sbc 3633  df-csb 3728  df-dif 3771  df-un 3773  df-in 3775  df-ss 3782  df-pss 3784  df-nul 4115  df-if 4277  df-pw 4350  df-sn 4368  df-pr 4370  df-tp 4372  df-op 4374  df-uni 4628  df-int 4667  df-iun 4711  df-iin 4712  df-br 4843  df-opab 4905  df-mpt 4922  df-tr 4945  df-id 5219  df-eprel 5224  df-po 5232  df-so 5233  df-fr 5270  df-se 5271  df-we 5272  df-xp 5317  df-rel 5318  df-cnv 5319  df-co 5320  df-dm 5321  df-rn 5322  df-res 5323  df-ima 5324  df-pred 5897  df-ord 5943  df-on 5944  df-lim 5945  df-suc 5946  df-iota 6063  df-fun 6102  df-fn 6103  df-f 6104  df-f1 6105  df-fo 6106  df-f1o 6107  df-fv 6108  df-isom 6109  df-riota 6838  df-ov 6880  df-oprab 6881  df-mpt2 6882  df-of 7130  df-om 7299  df-1st 7400  df-2nd 7401  df-supp 7532  df-wrecs 7644  df-recs 7706  df-rdg 7744  df-1o 7798  df-2o 7799  df-oadd 7802  df-er 7981  df-map 8096  df-pm 8097  df-ixp 8148  df-en 8195  df-dom 8196  df-sdom 8197  df-fin 8198  df-fsupp 8517  df-fi 8558  df-sup 8589  df-inf 8590  df-oi 8656  df-card 9050  df-cda 9277  df-pnf 10364  df-mnf 10365  df-xr 10366  df-ltxr 10367  df-le 10368  df-sub 10557  df-neg 10558  df-div 10976  df-nn 11312  df-2 11373  df-3 11374  df-4 11375  df-5 11376  df-6 11377  df-7 11378  df-8 11379  df-9 11380  df-n0 11578  df-z 11664  df-dec 11781  df-uz 11928  df-q 12031  df-rp 12072  df-xneg 12190  df-xadd 12191  df-xmul 12192  df-ioo 12425  df-ioc 12426  df-ico 12427  df-icc 12428  df-fz 12578  df-fzo 12718  df-fl 12845  df-mod 12921  df-seq 13053  df-exp 13112  df-fac 13311  df-bc 13340  df-hash 13368  df-shft 14145  df-cj 14177  df-re 14178  df-im 14179  df-sqrt 14313  df-abs 14314  df-limsup 14540  df-clim 14557  df-rlim 14558  df-sum 14755  df-ef 15131  df-sin 15133  df-cos 15134  df-pi 15136  df-struct 16183  df-ndx 16184  df-slot 16185  df-base 16187  df-sets 16188  df-ress 16189  df-plusg 16277  df-mulr 16278  df-starv 16279  df-sca 16280  df-vsca 16281  df-ip 16282  df-tset 16283  df-ple 16284  df-ds 16286  df-unif 16287  df-hom 16288  df-cco 16289  df-rest 16395  df-topn 16396  df-0g 16414  df-gsum 16415  df-topgen 16416  df-pt 16417  df-prds 16420  df-xrs 16474  df-qtop 16479  df-imas 16480  df-xps 16482  df-mre 16558  df-mrc 16559  df-acs 16561  df-mgm 17554  df-sgrp 17596  df-mnd 17607  df-submnd 17648  df-mulg 17854  df-cntz 18059  df-cmn 18507  df-psmet 20057  df-xmet 20058  df-met 20059  df-bl 20060  df-mopn 20061  df-fbas 20062  df-fg 20063  df-cnfld 20066  df-top 21024  df-topon 21041  df-topsp 21063  df-bases 21076  df-cld 21149  df-ntr 21150  df-cls 21151  df-nei 21228  df-lp 21266  df-perf 21267  df-cn 21357  df-cnp 21358  df-haus 21445  df-tx 21691  df-hmeo 21884  df-fil 21975  df-fm 22067  df-flim 22068  df-flf 22069  df-xms 22450  df-ms 22451  df-tms 22452  df-cncf 23006  df-limc 23968  df-dv 23969  df-log 24641

This theorem is referenced by:  logcnlem3  24728  atanlogaddlem  24989