Theorem sgnmulsgn 15146

Description: If two real numbers are of different signs, so are their signums. (Contributed by Thierry Arnoux, 12-Oct-2018.)

Assertion

Ref	Expression
sgnmulsgn	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴 · 𝐵) < 0 ↔ ((sgn‘𝐴) · (sgn‘𝐵)) < 0))

Proof of Theorem sgnmulsgn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		neg1lt0 12206	. . . . 5 ⊢ -1 < 0
2		breq1 5116	. . . . 5 ⊢ ((sgn‘(𝐴 · 𝐵)) = -1 → ((sgn‘(𝐴 · 𝐵)) < 0 ↔ -1 < 0))
3	1, 2	mpbiri 261	. . . 4 ⊢ ((sgn‘(𝐴 · 𝐵)) = -1 → (sgn‘(𝐴 · 𝐵)) < 0)
4	3	adantl 486	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (sgn‘(𝐴 · 𝐵)) = -1) → (sgn‘(𝐴 · 𝐵)) < 0)
5		simpr 489	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (sgn‘(𝐴 · 𝐵)) < 0) ∧ (sgn‘(𝐴 · 𝐵)) = -1) → (sgn‘(𝐴 · 𝐵)) = -1)
6		simpr 489	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (sgn‘(𝐴 · 𝐵)) < 0) ∧ (sgn‘(𝐴 · 𝐵)) = 0) → (sgn‘(𝐴 · 𝐵)) = 0)
7		simplr 780	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (sgn‘(𝐴 · 𝐵)) < 0) ∧ (sgn‘(𝐴 · 𝐵)) = 0) → (sgn‘(𝐴 · 𝐵)) < 0)
8	7	lt0ne0d 11779	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (sgn‘(𝐴 · 𝐵)) < 0) ∧ (sgn‘(𝐴 · 𝐵)) = 0) → (sgn‘(𝐴 · 𝐵)) ≠ 0)
9	6, 8	pm2.21ddne 3048	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (sgn‘(𝐴 · 𝐵)) < 0) ∧ (sgn‘(𝐴 · 𝐵)) = 0) → (sgn‘(𝐴 · 𝐵)) = -1)
10		simpr 489	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (sgn‘(𝐴 · 𝐵)) < 0) ∧ (sgn‘(𝐴 · 𝐵)) = 1) → (sgn‘(𝐴 · 𝐵)) = 1)
11		simplr 780	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (sgn‘(𝐴 · 𝐵)) < 0) ∧ (sgn‘(𝐴 · 𝐵)) = 1) → (sgn‘(𝐴 · 𝐵)) < 0)
12	10, 11	eqbrtrrd 5139	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (sgn‘(𝐴 · 𝐵)) < 0) ∧ (sgn‘(𝐴 · 𝐵)) = 1) → 1 < 0)
13		1nn0 12520	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ0
14		nn0nlt0 12530	. . . . . 6 ⊢ (1 ∈ ℕ0 → ¬ 1 < 0)
15	13, 14	mp1i 14	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (sgn‘(𝐴 · 𝐵)) < 0) ∧ (sgn‘(𝐴 · 𝐵)) = 1) → ¬ 1 < 0)
16	12, 15	pm2.21dd 198	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (sgn‘(𝐴 · 𝐵)) < 0) ∧ (sgn‘(𝐴 · 𝐵)) = 1) → (sgn‘(𝐴 · 𝐵)) = -1)
17		remulcl 11185	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ)
18	17	rexrd 11259	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ*)
19	18	adantr 485	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (sgn‘(𝐴 · 𝐵)) < 0) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ*)
20		sgncl 15134	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ* → (sgn‘(𝐴 · 𝐵)) ∈ {-1, 0, 1})
21		eltpi 4659	. . . . 5 ⊢ ((sgn‘(𝐴 · 𝐵)) ∈ {-1, 0, 1} → ((sgn‘(𝐴 · 𝐵)) = -1 ∨ (sgn‘(𝐴 · 𝐵)) = 0 ∨ (sgn‘(𝐴 · 𝐵)) = 1))
22	19, 20, 21	3syl 19	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (sgn‘(𝐴 · 𝐵)) < 0) → ((sgn‘(𝐴 · 𝐵)) = -1 ∨ (sgn‘(𝐴 · 𝐵)) = 0 ∨ (sgn‘(𝐴 · 𝐵)) = 1))
23	5, 9, 16, 22	mpjao3dan 1457	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (sgn‘(𝐴 · 𝐵)) < 0) → (sgn‘(𝐴 · 𝐵)) = -1)
24	4, 23	impbida 812	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((sgn‘(𝐴 · 𝐵)) = -1 ↔ (sgn‘(𝐴 · 𝐵)) < 0))
25		sgnnbi 15141	. . 3 ⊢ ((𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ* → ((sgn‘(𝐴 · 𝐵)) = -1 ↔ (𝐴 · 𝐵) < 0))
26	18, 25	syl 18	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((sgn‘(𝐴 · 𝐵)) = -1 ↔ (𝐴 · 𝐵) < 0))
27		sgnmul 15144	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (sgn‘(𝐴 · 𝐵)) = ((sgn‘𝐴) · (sgn‘𝐵)))
28	27	breq1d 5123	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((sgn‘(𝐴 · 𝐵)) < 0 ↔ ((sgn‘𝐴) · (sgn‘𝐵)) < 0))
29	24, 26, 28	3bitr3d 312	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴 · 𝐵) < 0 ↔ ((sgn‘𝐴) · (sgn‘𝐵)) < 0))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∨ w3o 1100   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  {ctp 4598   class class class wbr 5113  ‘cfv 6537  (class class class)co 7411  ℝcr 11099  0cc0 11100  1c1 11101   · cmul 11105  ℝ^*cxr 11242   < clt 11243  -cneg 11442  ℕ₀cn0 12504  sgncsgn 15123

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11156  ax-resscn 11157  ax-1cn 11158  ax-icn 11159  ax-addcl 11160  ax-addrcl 11161  ax-mulcl 11162  ax-mulrcl 11163  ax-mulcom 11164  ax-addass 11165  ax-mulass 11166  ax-distr 11167  ax-i2m1 11168  ax-1ne0 11169  ax-1rid 11170  ax-rnegex 11171  ax-rrecex 11172  ax-cnre 11173  ax-pre-lttri 11174  ax-pre-lttrn 11175  ax-pre-ltadd 11176  ax-pre-mulgt0 11177

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-tp 4599  df-op 4601  df-uni 4877  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7863  df-2nd 7987  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-er 8694  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11872  df-nn 12234  df-n0 12505  df-rp 13017  df-sgn 15124

This theorem is referenced by:  signsvfn  34914  signsvfnn  34918