Theorem lt2addmuld 11632

Description: If two real numbers are less than a third real number, the sum of the two real numbers is less than twice the third real number. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
lt2addmuld.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
lt2addmuld.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
lt2addmuld.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
lt2addmuld.altc	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐶)
lt2addmuld.bltc	⊢ (𝜑 → 𝐵 < 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
lt2addmuld	⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) < (2 · 𝐶))

Proof of Theorem lt2addmuld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lt2addmuld.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		lt2addmuld.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3		lt2addmuld.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
4		lt2addmuld.altc	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐶)
5		lt2addmuld.bltc	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 < 𝐶)
6	1, 2, 3, 3, 4, 5	lt2addd 10998	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) < (𝐶 + 𝐶))
7	3	recnd 10405	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
8	7	2timesd 11625	. 2 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝐶) = (𝐶 + 𝐶))
9	6, 8	breqtrrd 4914	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) < (2 · 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2107   class class class wbr 4886  (class class class)co 6922  ℝcr 10271   + caddc 10275   · cmul 10277   < clt 10411  2c2 11430

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-resscn 10329  ax-1cn 10330  ax-icn 10331  ax-addcl 10332  ax-addrcl 10333  ax-mulcl 10334  ax-mulrcl 10335  ax-mulcom 10336  ax-addass 10337  ax-mulass 10338  ax-distr 10339  ax-i2m1 10340  ax-1ne0 10341  ax-1rid 10342  ax-rnegex 10343  ax-rrecex 10344  ax-cnre 10345  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347  ax-pre-ltadd 10348

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-op 4405  df-uni 4672  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-id 5261  df-po 5274  df-so 5275  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-ov 6925  df-er 8026  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-xr 10415  df-ltxr 10416  df-le 10417  df-2 11438

This theorem is referenced by:  crctcshwlkn0lem5  27163  rmspecsqrtnq  38430  lt3addmuld  40424