Theorem lt2addd 11777

Description: Adding both side of two inequalities. Theorem I.25 of [Apostol] p. 20. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
leidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltnegd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
ltadd1d.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
lt2addd.4	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ)
lt2addd.5	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐶)
lt2addd.6	⊢ (𝜑 → 𝐵 < 𝐷)

Assertion

Ref	Expression
lt2addd	⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) < (𝐶 + 𝐷))

Proof of Theorem lt2addd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		leidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		ltnegd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3		ltadd1d.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
4		lt2addd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ)
5		lt2addd.5	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐶)
6		lt2addd.6	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 < 𝐷)
7	2, 4, 6	ltled 11302	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ 𝐷)
8	1, 2, 3, 4, 5, 7	ltleaddd 11775	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) < (𝐶 + 𝐷))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5105  (class class class)co 7356  ℝcr 11049   + caddc 11053   < clt 11188

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7671  ax-resscn 11107  ax-1cn 11108  ax-icn 11109  ax-addcl 11110  ax-addrcl 11111  ax-mulcl 11112  ax-mulrcl 11113  ax-mulcom 11114  ax-addass 11115  ax-mulass 11116  ax-distr 11117  ax-i2m1 11118  ax-1ne0 11119  ax-1rid 11120  ax-rnegex 11121  ax-rrecex 11122  ax-cnre 11123  ax-pre-lttri 11124  ax-pre-lttrn 11125  ax-pre-ltadd 11126

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-id 5531  df-po 5545  df-so 5546  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-ov 7359  df-er 8647  df-en 8883  df-dom 8884  df-sdom 8885  df-pnf 11190  df-mnf 11191  df-xr 11192  df-ltxr 11193  df-le 11194

This theorem is referenced by:  lt2addmuld  12402  mertenslem1  15768  sadcaddlem  16336  uniioombllem3  24947  itg2cnlem2  25125  ang180lem2  26158  sqsscirc1  32480  hgt750lemd  33252  unbdqndv2lem1  34963  heicant  36104  mblfinlem3  36108  ftc1anclem7  36148  isbnd3  36234  dffltz  40950  lt3addmuld  43511  lt4addmuld  43516  stoweidlem13  44226  2itscp  46839