MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lt2addd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lt2addd 11913
Description: Adding both side of two inequalities. Theorem I.25 of [Apostol] p. 20. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
leidd.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
ltnegd.2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
ltadd1d.3 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
lt2addd.4 (𝜑𝐷 ∈ ℝ)
lt2addd.5 (𝜑𝐴 < 𝐶)
lt2addd.6 (𝜑𝐵 < 𝐷)
Assertion
Ref Expression
lt2addd (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) < (𝐶 + 𝐷))

Proof of Theorem lt2addd
StepHypRef Expression
1 leidd.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
2 ltnegd.2 . 2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
3 ltadd1d.3 . 2 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
4 lt2addd.4 . 2 (𝜑𝐷 ∈ ℝ)
5 lt2addd.5 . 2 (𝜑𝐴 < 𝐶)
6 lt2addd.6 . . 3 (𝜑𝐵 < 𝐷)
72, 4, 6ltled 11438 . 2 (𝜑𝐵𝐷)
81, 2, 3, 4, 5, 7ltleaddd 11911 1 (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) < (𝐶 + 𝐷))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2108   class class class wbr 5166  (class class class)co 7448  cr 11183   + caddc 11187   < clt 11324
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-po 5607  df-so 5608  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-ov 7451  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330
This theorem is referenced by:  lt2addmuld  12543  mertenslem1  15932  sadcaddlem  16503  uniioombllem3  25639  itg2cnlem2  25817  ang180lem2  26871  sqsscirc1  33854  hgt750lemd  34625  unbdqndv2lem1  36475  heicant  37615  mblfinlem3  37619  ftc1anclem7  37659  isbnd3  37744  dffltz  42589  lt3addmuld  45216  lt4addmuld  45221  stoweidlem13  45934  2itscp  48515
  Copyright terms: Public domain W3C validator