Theorem lt2addd 11894

Description: Adding both side of two inequalities. Theorem I.25 of [Apostol] p. 20. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
leidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltnegd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
ltadd1d.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
lt2addd.4	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ)
lt2addd.5	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐶)
lt2addd.6	⊢ (𝜑 → 𝐵 < 𝐷)

Assertion

Ref	Expression
lt2addd	⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) < (𝐶 + 𝐷))

Proof of Theorem lt2addd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		leidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		ltnegd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3		ltadd1d.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
4		lt2addd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ)
5		lt2addd.5	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐶)
6		lt2addd.6	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 < 𝐷)
7	2, 4, 6	ltled 11419	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ 𝐷)
8	1, 2, 3, 4, 5, 7	ltleaddd 11892	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) < (𝐶 + 𝐷))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2100   class class class wbr 5156  (class class class)co 7430  ℝcr 11164   + caddc 11168   < clt 11305

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2102  ax-9 2110  ax-10 2133  ax-11 2150  ax-12 2170  ax-ext 2700  ax-sep 5307  ax-nul 5314  ax-pow 5373  ax-pr 5437  ax-un 7751  ax-resscn 11222  ax-1cn 11223  ax-icn 11224  ax-addcl 11225  ax-addrcl 11226  ax-mulcl 11227  ax-mulrcl 11228  ax-mulcom 11229  ax-addass 11230  ax-mulass 11231  ax-distr 11232  ax-i2m1 11233  ax-1ne0 11234  ax-1rid 11235  ax-rnegex 11236  ax-rrecex 11237  ax-cnre 11238  ax-pre-lttri 11239  ax-pre-lttrn 11240  ax-pre-ltadd 11241

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2062  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2707  df-cleq 2721  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2934  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3064  df-rab 3429  df-v 3474  df-sbc 3789  df-csb 3905  df-dif 3962  df-un 3964  df-in 3966  df-ss 3976  df-nul 4336  df-if 4537  df-pw 4612  df-sn 4637  df-pr 4639  df-op 4643  df-uni 4919  df-br 5157  df-opab 5219  df-mpt 5240  df-id 5584  df-po 5598  df-so 5599  df-xp 5692  df-rel 5693  df-cnv 5694  df-co 5695  df-dm 5696  df-rn 5697  df-res 5698  df-ima 5699  df-iota 6510  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-ov 7433  df-er 8742  df-en 8983  df-dom 8984  df-sdom 8985  df-pnf 11307  df-mnf 11308  df-xr 11309  df-ltxr 11310  df-le 11311

This theorem is referenced by:  lt2addmuld  12524  mertenslem1  15909  sadcaddlem  16478  uniioombllem3  25628  itg2cnlem2  25806  ang180lem2  26861  sqsscirc1  33761  hgt750lemd  34532  unbdqndv2lem1  36251  heicant  37394  mblfinlem3  37398  ftc1anclem7  37438  isbnd3  37523  dffltz  42349  lt3addmuld  44977  lt4addmuld  44982  stoweidlem13  45695  2itscp  48241