MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ltaddsubi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ltaddsubi 11805
Description: 'Less than' relationship between subtraction and addition. (Contributed by NM, 14-May-1999.)
Hypotheses
Ref Expression
lt2.1 𝐴 ∈ ℝ
lt2.2 𝐵 ∈ ℝ
lt2.3 𝐶 ∈ ℝ
Assertion
Ref Expression
ltaddsubi ((𝐴 + 𝐵) < 𝐶𝐴 < (𝐶𝐵))

Proof of Theorem ltaddsubi
StepHypRef Expression
1 lt2.1 . 2 𝐴 ∈ ℝ
2 lt2.2 . 2 𝐵 ∈ ℝ
3 lt2.3 . 2 𝐶 ∈ ℝ
4 ltaddsub 11718 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 + 𝐵) < 𝐶𝐴 < (𝐶𝐵)))
51, 2, 3, 4mp3an 1457 1 ((𝐴 + 𝐵) < 𝐶𝐴 < (𝐶𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 205  wcel 2098   class class class wbr 5143  (class class class)co 7416  cr 11137   + caddc 11141   < clt 11278  cmin 11474
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-id 5570  df-po 5584  df-so 5585  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-er 8723  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477
This theorem is referenced by:  bposlem8  27242  problem5  35330
  Copyright terms: Public domain W3C validator