Theorem problem5 34940

Description: Practice problem 5. Clues: 3brtr3i 5177 mpbi 229 breqtri 5173 ltaddsubi 11779 remulcli 11234 2re 12290 3re 12296 9re 12315 eqcomi 2741 mvlladdi 11482 3cn 6cn 12307 eqtr3i 2762 6p3e9 12376 addcomi 11409 ltdiv1ii 12147 6re 12306 nngt0i 12255 2nn 12289 divcan3i 11964 recni 11232 2cn 12291 2ne0 12320 mpbir 230 eqtri 2760 mulcomi 11226 3t2e6 12382 divmuli 11972. (Contributed by Filip Cernatescu, 16-Mar-2019.) (Proof modification is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
problem5.1	⊢ 𝐴 ∈ ℝ
problem5.2	⊢ ((2 · 𝐴) + 3) < 9

Assertion

Ref	Expression
problem5	⊢ 𝐴 < 3

Proof of Theorem problem5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		problem5.2	. . . . 5 ⊢ ((2 · 𝐴) + 3) < 9
2		2re 12290	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℝ
3		problem5.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 ∈ ℝ
4	2, 3	remulcli 11234	. . . . . 6 ⊢ (2 · 𝐴) ∈ ℝ
5		3re 12296	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℝ
6		9re 12315	. . . . . 6 ⊢ 9 ∈ ℝ
7	4, 5, 6	ltaddsubi 11779	. . . . 5 ⊢ (((2 · 𝐴) + 3) < 9 ↔ (2 · 𝐴) < (9 − 3))
8	1, 7	mpbi 229	. . . 4 ⊢ (2 · 𝐴) < (9 − 3)
9		3cn 12297	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℂ
10		6cn 12307	. . . . . 6 ⊢ 6 ∈ ℂ
11		6p3e9 12376	. . . . . . . 8 ⊢ (6 + 3) = 9
12	10, 9	addcomi 11409	. . . . . . . 8 ⊢ (6 + 3) = (3 + 6)
13	11, 12	eqtr3i 2762	. . . . . . 7 ⊢ 9 = (3 + 6)
14	13	eqcomi 2741	. . . . . 6 ⊢ (3 + 6) = 9
15	9, 10, 14	mvlladdi 11482	. . . . 5 ⊢ 6 = (9 − 3)
16	15	eqcomi 2741	. . . 4 ⊢ (9 − 3) = 6
17	8, 16	breqtri 5173	. . 3 ⊢ (2 · 𝐴) < 6
18		6re 12306	. . . 4 ⊢ 6 ∈ ℝ
19		2nn 12289	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ
20	19	nngt0i 12255	. . . 4 ⊢ 0 < 2
21	4, 18, 2, 20	ltdiv1ii 12147	. . 3 ⊢ ((2 · 𝐴) < 6 ↔ ((2 · 𝐴) / 2) < (6 / 2))
22	17, 21	mpbi 229	. 2 ⊢ ((2 · 𝐴) / 2) < (6 / 2)
23	3	recni 11232	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ ℂ
24		2cn 12291	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℂ
25		2ne0 12320	. . 3 ⊢ 2 ≠ 0
26	23, 24, 25	divcan3i 11964	. 2 ⊢ ((2 · 𝐴) / 2) = 𝐴
27	24, 9	mulcomi 11226	. . . 4 ⊢ (2 · 3) = (3 · 2)
28		3t2e6 12382	. . . 4 ⊢ (3 · 2) = 6
29	27, 28	eqtri 2760	. . 3 ⊢ (2 · 3) = 6
30	10, 24, 9, 25	divmuli 11972	. . 3 ⊢ ((6 / 2) = 3 ↔ (2 · 3) = 6)
31	29, 30	mpbir 230	. 2 ⊢ (6 / 2) = 3
32	22, 26, 31	3brtr3i 5177	1 ⊢ 𝐴 < 3

Syntax hints:   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5148  (class class class)co 7411  ℝcr 11111   + caddc 11115   · cmul 11117   < clt 11252   − cmin 11448   / cdiv 11875  2c2 12271  3c3 12272  6c6 12275  9c9 12278

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286

This theorem is referenced by: (None)