Theorem problem5 33655

Description: Practice problem 5. Clues: 3brtr3i 5106 mpbi 229 breqtri 5102 ltaddsubi 11564 remulcli 11019 2re 12075 3re 12081 9re 12100 eqcomi 2742 mvlladdi 11267 3cn 6cn 12092 eqtr3i 2763 6p3e9 12161 addcomi 11194 ltdiv1ii 11932 6re 12091 nngt0i 12040 2nn 12074 divcan3i 11749 recni 11017 2cn 12076 2ne0 12105 mpbir 230 eqtri 2761 mulcomi 11011 3t2e6 12167 divmuli 11757. (Contributed by Filip Cernatescu, 16-Mar-2019.) (Proof modification is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
problem5.1	⊢ 𝐴 ∈ ℝ
problem5.2	⊢ ((2 · 𝐴) + 3) < 9

Assertion

Ref	Expression
problem5	⊢ 𝐴 < 3

Proof of Theorem problem5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		problem5.2	. . . . 5 ⊢ ((2 · 𝐴) + 3) < 9
2		2re 12075	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℝ
3		problem5.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 ∈ ℝ
4	2, 3	remulcli 11019	. . . . . 6 ⊢ (2 · 𝐴) ∈ ℝ
5		3re 12081	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℝ
6		9re 12100	. . . . . 6 ⊢ 9 ∈ ℝ
7	4, 5, 6	ltaddsubi 11564	. . . . 5 ⊢ (((2 · 𝐴) + 3) < 9 ↔ (2 · 𝐴) < (9 − 3))
8	1, 7	mpbi 229	. . . 4 ⊢ (2 · 𝐴) < (9 − 3)
9		3cn 12082	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℂ
10		6cn 12092	. . . . . 6 ⊢ 6 ∈ ℂ
11		6p3e9 12161	. . . . . . . 8 ⊢ (6 + 3) = 9
12	10, 9	addcomi 11194	. . . . . . . 8 ⊢ (6 + 3) = (3 + 6)
13	11, 12	eqtr3i 2763	. . . . . . 7 ⊢ 9 = (3 + 6)
14	13	eqcomi 2742	. . . . . 6 ⊢ (3 + 6) = 9
15	9, 10, 14	mvlladdi 11267	. . . . 5 ⊢ 6 = (9 − 3)
16	15	eqcomi 2742	. . . 4 ⊢ (9 − 3) = 6
17	8, 16	breqtri 5102	. . 3 ⊢ (2 · 𝐴) < 6
18		6re 12091	. . . 4 ⊢ 6 ∈ ℝ
19		2nn 12074	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ
20	19	nngt0i 12040	. . . 4 ⊢ 0 < 2
21	4, 18, 2, 20	ltdiv1ii 11932	. . 3 ⊢ ((2 · 𝐴) < 6 ↔ ((2 · 𝐴) / 2) < (6 / 2))
22	17, 21	mpbi 229	. 2 ⊢ ((2 · 𝐴) / 2) < (6 / 2)
23	3	recni 11017	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ ℂ
24		2cn 12076	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℂ
25		2ne0 12105	. . 3 ⊢ 2 ≠ 0
26	23, 24, 25	divcan3i 11749	. 2 ⊢ ((2 · 𝐴) / 2) = 𝐴
27	24, 9	mulcomi 11011	. . . 4 ⊢ (2 · 3) = (3 · 2)
28		3t2e6 12167	. . . 4 ⊢ (3 · 2) = 6
29	27, 28	eqtri 2761	. . 3 ⊢ (2 · 3) = 6
30	10, 24, 9, 25	divmuli 11757	. . 3 ⊢ ((6 / 2) = 3 ↔ (2 · 3) = 6)
31	29, 30	mpbir 230	. 2 ⊢ (6 / 2) = 3
32	22, 26, 31	3brtr3i 5106	1 ⊢ 𝐴 < 3

Syntax hints:   = wceq 1537   ∈ wcel 2101   class class class wbr 5077  (class class class)co 7295  ℝcr 10898   + caddc 10902   · cmul 10904   < clt 11037   − cmin 11233   / cdiv 11660  2c2 12056  3c3 12057  6c6 12060  9c9 12063

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2103  ax-9 2111  ax-10 2132  ax-11 2149  ax-12 2166  ax-ext 2704  ax-sep 5226  ax-nul 5233  ax-pow 5291  ax-pr 5355  ax-un 7608  ax-resscn 10956  ax-1cn 10957  ax-icn 10958  ax-addcl 10959  ax-addrcl 10960  ax-mulcl 10961  ax-mulrcl 10962  ax-mulcom 10963  ax-addass 10964  ax-mulass 10965  ax-distr 10966  ax-i2m1 10967  ax-1ne0 10968  ax-1rid 10969  ax-rnegex 10970  ax-rrecex 10971  ax-cnre 10972  ax-pre-lttri 10973  ax-pre-lttrn 10974  ax-pre-ltadd 10975  ax-pre-mulgt0 10976

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2063  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2884  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3222  df-reu 3223  df-rab 3224  df-v 3436  df-sbc 3719  df-csb 3835  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3908  df-nul 4260  df-if 4463  df-pw 4538  df-sn 4565  df-pr 4567  df-op 4571  df-uni 4842  df-iun 4929  df-br 5078  df-opab 5140  df-mpt 5161  df-tr 5195  df-id 5491  df-eprel 5497  df-po 5505  df-so 5506  df-fr 5546  df-we 5548  df-xp 5597  df-rel 5598  df-cnv 5599  df-co 5600  df-dm 5601  df-rn 5602  df-res 5603  df-ima 5604  df-pred 6206  df-ord 6273  df-on 6274  df-lim 6275  df-suc 6276  df-iota 6399  df-fun 6449  df-fn 6450  df-f 6451  df-f1 6452  df-fo 6453  df-f1o 6454  df-fv 6455  df-riota 7252  df-ov 7298  df-oprab 7299  df-mpo 7300  df-om 7733  df-2nd 7852  df-frecs 8117  df-wrecs 8148  df-recs 8222  df-rdg 8261  df-er 8518  df-en 8754  df-dom 8755  df-sdom 8756  df-pnf 11039  df-mnf 11040  df-xr 11041  df-ltxr 11042  df-le 11043  df-sub 11235  df-neg 11236  df-div 11661  df-nn 12002  df-2 12064  df-3 12065  df-4 12066  df-5 12067  df-6 12068  df-7 12069  df-8 12070  df-9 12071

This theorem is referenced by: (None)