Theorem problem5 35696

Description: Practice problem 5. Clues: 3brtr3i 5153 mpbi 230 breqtri 5149 ltaddsubi 11803 remulcli 11256 2re 12319 3re 12325 9re 12344 eqcomi 2745 mvlladdi 11506 3cn 6cn 12336 eqtr3i 2761 6p3e9 12405 addcomi 11431 ltdiv1ii 12176 6re 12335 nngt0i 12284 2nn 12318 divcan3i 11992 recni 11254 2cn 12320 2ne0 12349 mpbir 231 eqtri 2759 mulcomi 11248 3t2e6 12411 divmuli 12000. (Contributed by Filip Cernatescu, 16-Mar-2019.) (Proof modification is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
problem5.1	⊢ 𝐴 ∈ ℝ
problem5.2	⊢ ((2 · 𝐴) + 3) < 9

Assertion

Ref	Expression
problem5	⊢ 𝐴 < 3

Proof of Theorem problem5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		problem5.2	. . . . 5 ⊢ ((2 · 𝐴) + 3) < 9
2		2re 12319	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℝ
3		problem5.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 ∈ ℝ
4	2, 3	remulcli 11256	. . . . . 6 ⊢ (2 · 𝐴) ∈ ℝ
5		3re 12325	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℝ
6		9re 12344	. . . . . 6 ⊢ 9 ∈ ℝ
7	4, 5, 6	ltaddsubi 11803	. . . . 5 ⊢ (((2 · 𝐴) + 3) < 9 ↔ (2 · 𝐴) < (9 − 3))
8	1, 7	mpbi 230	. . . 4 ⊢ (2 · 𝐴) < (9 − 3)
9		3cn 12326	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℂ
10		6cn 12336	. . . . . 6 ⊢ 6 ∈ ℂ
11		6p3e9 12405	. . . . . . . 8 ⊢ (6 + 3) = 9
12	10, 9	addcomi 11431	. . . . . . . 8 ⊢ (6 + 3) = (3 + 6)
13	11, 12	eqtr3i 2761	. . . . . . 7 ⊢ 9 = (3 + 6)
14	13	eqcomi 2745	. . . . . 6 ⊢ (3 + 6) = 9
15	9, 10, 14	mvlladdi 11506	. . . . 5 ⊢ 6 = (9 − 3)
16	15	eqcomi 2745	. . . 4 ⊢ (9 − 3) = 6
17	8, 16	breqtri 5149	. . 3 ⊢ (2 · 𝐴) < 6
18		6re 12335	. . . 4 ⊢ 6 ∈ ℝ
19		2nn 12318	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ
20	19	nngt0i 12284	. . . 4 ⊢ 0 < 2
21	4, 18, 2, 20	ltdiv1ii 12176	. . 3 ⊢ ((2 · 𝐴) < 6 ↔ ((2 · 𝐴) / 2) < (6 / 2))
22	17, 21	mpbi 230	. 2 ⊢ ((2 · 𝐴) / 2) < (6 / 2)
23	3	recni 11254	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ ℂ
24		2cn 12320	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℂ
25		2ne0 12349	. . 3 ⊢ 2 ≠ 0
26	23, 24, 25	divcan3i 11992	. 2 ⊢ ((2 · 𝐴) / 2) = 𝐴
27	24, 9	mulcomi 11248	. . . 4 ⊢ (2 · 3) = (3 · 2)
28		3t2e6 12411	. . . 4 ⊢ (3 · 2) = 6
29	27, 28	eqtri 2759	. . 3 ⊢ (2 · 3) = 6
30	10, 24, 9, 25	divmuli 12000	. . 3 ⊢ ((6 / 2) = 3 ↔ (2 · 3) = 6)
31	29, 30	mpbir 231	. 2 ⊢ (6 / 2) = 3
32	22, 26, 31	3brtr3i 5153	1 ⊢ 𝐴 < 3

Syntax hints:   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5124  (class class class)co 7410  ℝcr 11133   + caddc 11137   · cmul 11139   < clt 11274   − cmin 11471   / cdiv 11899  2c2 12300  3c3 12301  6c6 12304  9c9 12307

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-resscn 11191  ax-1cn 11192  ax-icn 11193  ax-addcl 11194  ax-addrcl 11195  ax-mulcl 11196  ax-mulrcl 11197  ax-mulcom 11198  ax-addass 11199  ax-mulass 11200  ax-distr 11201  ax-i2m1 11202  ax-1ne0 11203  ax-1rid 11204  ax-rnegex 11205  ax-rrecex 11206  ax-cnre 11207  ax-pre-lttri 11208  ax-pre-lttrn 11209  ax-pre-ltadd 11210  ax-pre-mulgt0 11211

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-iun 4974  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-tr 5235  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6295  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7867  df-2nd 7994  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-er 8724  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11276  df-mnf 11277  df-xr 11278  df-ltxr 11279  df-le 11280  df-sub 11473  df-neg 11474  df-div 11900  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-4 12310  df-5 12311  df-6 12312  df-7 12313  df-8 12314  df-9 12315

This theorem is referenced by: (None)