Theorem problem5 35637

Description: Practice problem 5. Clues: 3brtr3i 5195 mpbi 230 breqtri 5191 ltaddsubi 11851 remulcli 11306 2re 12367 3re 12373 9re 12392 eqcomi 2749 mvlladdi 11554 3cn 6cn 12384 eqtr3i 2770 6p3e9 12453 addcomi 11481 ltdiv1ii 12224 6re 12383 nngt0i 12332 2nn 12366 divcan3i 12040 recni 11304 2cn 12368 2ne0 12397 mpbir 231 eqtri 2768 mulcomi 11298 3t2e6 12459 divmuli 12048. (Contributed by Filip Cernatescu, 16-Mar-2019.) (Proof modification is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
problem5.1	⊢ 𝐴 ∈ ℝ
problem5.2	⊢ ((2 · 𝐴) + 3) < 9

Assertion

Ref	Expression
problem5	⊢ 𝐴 < 3

Proof of Theorem problem5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		problem5.2	. . . . 5 ⊢ ((2 · 𝐴) + 3) < 9
2		2re 12367	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℝ
3		problem5.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 ∈ ℝ
4	2, 3	remulcli 11306	. . . . . 6 ⊢ (2 · 𝐴) ∈ ℝ
5		3re 12373	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℝ
6		9re 12392	. . . . . 6 ⊢ 9 ∈ ℝ
7	4, 5, 6	ltaddsubi 11851	. . . . 5 ⊢ (((2 · 𝐴) + 3) < 9 ↔ (2 · 𝐴) < (9 − 3))
8	1, 7	mpbi 230	. . . 4 ⊢ (2 · 𝐴) < (9 − 3)
9		3cn 12374	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℂ
10		6cn 12384	. . . . . 6 ⊢ 6 ∈ ℂ
11		6p3e9 12453	. . . . . . . 8 ⊢ (6 + 3) = 9
12	10, 9	addcomi 11481	. . . . . . . 8 ⊢ (6 + 3) = (3 + 6)
13	11, 12	eqtr3i 2770	. . . . . . 7 ⊢ 9 = (3 + 6)
14	13	eqcomi 2749	. . . . . 6 ⊢ (3 + 6) = 9
15	9, 10, 14	mvlladdi 11554	. . . . 5 ⊢ 6 = (9 − 3)
16	15	eqcomi 2749	. . . 4 ⊢ (9 − 3) = 6
17	8, 16	breqtri 5191	. . 3 ⊢ (2 · 𝐴) < 6
18		6re 12383	. . . 4 ⊢ 6 ∈ ℝ
19		2nn 12366	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ
20	19	nngt0i 12332	. . . 4 ⊢ 0 < 2
21	4, 18, 2, 20	ltdiv1ii 12224	. . 3 ⊢ ((2 · 𝐴) < 6 ↔ ((2 · 𝐴) / 2) < (6 / 2))
22	17, 21	mpbi 230	. 2 ⊢ ((2 · 𝐴) / 2) < (6 / 2)
23	3	recni 11304	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ ℂ
24		2cn 12368	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℂ
25		2ne0 12397	. . 3 ⊢ 2 ≠ 0
26	23, 24, 25	divcan3i 12040	. 2 ⊢ ((2 · 𝐴) / 2) = 𝐴
27	24, 9	mulcomi 11298	. . . 4 ⊢ (2 · 3) = (3 · 2)
28		3t2e6 12459	. . . 4 ⊢ (3 · 2) = 6
29	27, 28	eqtri 2768	. . 3 ⊢ (2 · 3) = 6
30	10, 24, 9, 25	divmuli 12048	. . 3 ⊢ ((6 / 2) = 3 ↔ (2 · 3) = 6)
31	29, 30	mpbir 231	. 2 ⊢ (6 / 2) = 3
32	22, 26, 31	3brtr3i 5195	1 ⊢ 𝐴 < 3

Syntax hints:   = wceq 1537   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5166  (class class class)co 7448  ℝcr 11183   + caddc 11187   · cmul 11189   < clt 11324   − cmin 11520   / cdiv 11947  2c2 12348  3c3 12349  6c6 12352  9c9 12355

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-div 11948  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-4 12358  df-5 12359  df-6 12360  df-7 12361  df-8 12362  df-9 12363

This theorem is referenced by: (None)