Theorem problem5 35865

Description: Practice problem 5. Clues: 3brtr3i 5127 mpbi 230 breqtri 5123 ltaddsubi 11700 remulcli 11150 2re 12221 3re 12227 9re 12246 eqcomi 2745 mvlladdi 11401 3cn 6cn 12238 eqtr3i 2761 6p3e9 12302 addcomi 11326 ltdiv1ii 12073 6re 12237 nngt0i 12186 2nn 12220 divcan3i 11889 recni 11148 2cn 12222 2ne0 12251 mpbir 231 eqtri 2759 mulcomi 11142 3t2e6 12308 divmuli 11897. (Contributed by Filip Cernatescu, 16-Mar-2019.) (Proof modification is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
problem5.1	⊢ 𝐴 ∈ ℝ
problem5.2	⊢ ((2 · 𝐴) + 3) < 9

Assertion

Ref	Expression
problem5	⊢ 𝐴 < 3

Proof of Theorem problem5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		problem5.2	. . . . 5 ⊢ ((2 · 𝐴) + 3) < 9
2		2re 12221	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℝ
3		problem5.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 ∈ ℝ
4	2, 3	remulcli 11150	. . . . . 6 ⊢ (2 · 𝐴) ∈ ℝ
5		3re 12227	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℝ
6		9re 12246	. . . . . 6 ⊢ 9 ∈ ℝ
7	4, 5, 6	ltaddsubi 11700	. . . . 5 ⊢ (((2 · 𝐴) + 3) < 9 ↔ (2 · 𝐴) < (9 − 3))
8	1, 7	mpbi 230	. . . 4 ⊢ (2 · 𝐴) < (9 − 3)
9		3cn 12228	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℂ
10		6cn 12238	. . . . . 6 ⊢ 6 ∈ ℂ
11		6p3e9 12302	. . . . . . . 8 ⊢ (6 + 3) = 9
12	10, 9	addcomi 11326	. . . . . . . 8 ⊢ (6 + 3) = (3 + 6)
13	11, 12	eqtr3i 2761	. . . . . . 7 ⊢ 9 = (3 + 6)
14	13	eqcomi 2745	. . . . . 6 ⊢ (3 + 6) = 9
15	9, 10, 14	mvlladdi 11401	. . . . 5 ⊢ 6 = (9 − 3)
16	15	eqcomi 2745	. . . 4 ⊢ (9 − 3) = 6
17	8, 16	breqtri 5123	. . 3 ⊢ (2 · 𝐴) < 6
18		6re 12237	. . . 4 ⊢ 6 ∈ ℝ
19		2nn 12220	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ
20	19	nngt0i 12186	. . . 4 ⊢ 0 < 2
21	4, 18, 2, 20	ltdiv1ii 12073	. . 3 ⊢ ((2 · 𝐴) < 6 ↔ ((2 · 𝐴) / 2) < (6 / 2))
22	17, 21	mpbi 230	. 2 ⊢ ((2 · 𝐴) / 2) < (6 / 2)
23	3	recni 11148	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ ℂ
24		2cn 12222	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℂ
25		2ne0 12251	. . 3 ⊢ 2 ≠ 0
26	23, 24, 25	divcan3i 11889	. 2 ⊢ ((2 · 𝐴) / 2) = 𝐴
27	24, 9	mulcomi 11142	. . . 4 ⊢ (2 · 3) = (3 · 2)
28		3t2e6 12308	. . . 4 ⊢ (3 · 2) = 6
29	27, 28	eqtri 2759	. . 3 ⊢ (2 · 3) = 6
30	10, 24, 9, 25	divmuli 11897	. . 3 ⊢ ((6 / 2) = 3 ↔ (2 · 3) = 6)
31	29, 30	mpbir 231	. 2 ⊢ (6 / 2) = 3
32	22, 26, 31	3brtr3i 5127	1 ⊢ 𝐴 < 3

Syntax hints:   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   class class class wbr 5098  (class class class)co 7358  ℝcr 11027   + caddc 11031   · cmul 11033   < clt 11168   − cmin 11366   / cdiv 11796  2c2 12202  3c3 12203  6c6 12206  9c9 12209

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-er 8635  df-en 8886  df-dom 8887  df-sdom 8888  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-div 11797  df-nn 12148  df-2 12210  df-3 12211  df-4 12212  df-5 12213  df-6 12214  df-7 12215  df-8 12216  df-9 12217

This theorem is referenced by: (None)