Theorem problem5 36200

Description: Practice problem 5. Clues: 3brtr3i 5142 mpbi 233 breqtri 5138 ltaddsubi 11792 remulcli 11242 2re 12332 3re 12338 9re 12357 eqcomi 2774 mvlladdi 11493 3cn 6cn 12349 eqtr3i 2790 6p3e9 12417 addcomi 11418 ltdiv1ii 12161 6re 12348 nngt0i 12292 2nn 12331 divcan3i 11978 recni 11240 2cn 12333 2ne0 12364 mpbir 234 eqtri 2788 mulcomi 11234 3t2e6 12423 divmuli 11986. (Contributed by Filip Cernatescu, 16-Mar-2019.) (Proof modification is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
problem5.1	⊢ 𝐴 ∈ ℝ
problem5.2	⊢ ((2 · 𝐴) + 3) < 9

Assertion

Ref	Expression
problem5	⊢ 𝐴 < 3

Proof of Theorem problem5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		problem5.2	. . . . 5 ⊢ ((2 · 𝐴) + 3) < 9
2		2re 12332	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℝ
3		problem5.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 ∈ ℝ
4	2, 3	remulcli 11242	. . . . . 6 ⊢ (2 · 𝐴) ∈ ℝ
5		3re 12338	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℝ
6		9re 12357	. . . . . 6 ⊢ 9 ∈ ℝ
7	4, 5, 6	ltaddsubi 11792	. . . . 5 ⊢ (((2 · 𝐴) + 3) < 9 ↔ (2 · 𝐴) < (9 − 3))
8	1, 7	mpbi 233	. . . 4 ⊢ (2 · 𝐴) < (9 − 3)
9		3cn 12339	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℂ
10		6cn 12349	. . . . . 6 ⊢ 6 ∈ ℂ
11		6p3e9 12417	. . . . . . . 8 ⊢ (6 + 3) = 9
12	10, 9	addcomi 11418	. . . . . . . 8 ⊢ (6 + 3) = (3 + 6)
13	11, 12	eqtr3i 2790	. . . . . . 7 ⊢ 9 = (3 + 6)
14	13	eqcomi 2774	. . . . . 6 ⊢ (3 + 6) = 9
15	9, 10, 14	mvlladdi 11493	. . . . 5 ⊢ 6 = (9 − 3)
16	15	eqcomi 2774	. . . 4 ⊢ (9 − 3) = 6
17	8, 16	breqtri 5138	. . 3 ⊢ (2 · 𝐴) < 6
18		6re 12348	. . . 4 ⊢ 6 ∈ ℝ
19		2nn 12331	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ
20	19	nngt0i 12292	. . . 4 ⊢ 0 < 2
21	4, 18, 2, 20	ltdiv1ii 12161	. . 3 ⊢ ((2 · 𝐴) < 6 ↔ ((2 · 𝐴) / 2) < (6 / 2))
22	17, 21	mpbi 233	. 2 ⊢ ((2 · 𝐴) / 2) < (6 / 2)
23	3	recni 11240	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ ℂ
24		2cn 12333	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℂ
25		2ne0 12364	. . 3 ⊢ 2 ≠ 0
26	23, 24, 25	divcan3i 11978	. 2 ⊢ ((2 · 𝐴) / 2) = 𝐴
27	24, 9	mulcomi 11234	. . . 4 ⊢ (2 · 3) = (3 · 2)
28		3t2e6 12423	. . . 4 ⊢ (3 · 2) = 6
29	27, 28	eqtri 2788	. . 3 ⊢ (2 · 3) = 6
30	10, 24, 9, 25	divmuli 11986	. . 3 ⊢ ((6 / 2) = 3 ↔ (2 · 3) = 6)
31	29, 30	mpbir 234	. 2 ⊢ (6 / 2) = 3
32	22, 26, 31	3brtr3i 5142	1 ⊢ 𝐴 < 3

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   class class class wbr 5111  (class class class)co 7419  ℝcr 11116   + caddc 11120   · cmul 11122   < clt 11260   − cmin 11458   / cdiv 11888  2c2 12312  3c3 12313  6c6 12316  9c9 12319

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-resscn 11174  ax-1cn 11175  ax-icn 11176  ax-addcl 11177  ax-addrcl 11178  ax-mulcl 11179  ax-mulrcl 11180  ax-mulcom 11181  ax-addass 11182  ax-mulass 11183  ax-distr 11184  ax-i2m1 11185  ax-1ne0 11186  ax-1rid 11187  ax-rnegex 11188  ax-rrecex 11189  ax-cnre 11190  ax-pre-lttri 11191  ax-pre-lttrn 11192  ax-pre-ltadd 11193  ax-pre-mulgt0 11194

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7869  df-2nd 7993  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-er 8700  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-pnf 11262  df-mnf 11263  df-xr 11264  df-ltxr 11265  df-le 11266  df-sub 11460  df-neg 11461  df-div 11889  df-nn 12251  df-2 12320  df-3 12321  df-4 12322  df-5 12323  df-6 12324  df-7 12325  df-8 12326  df-9 12327

This theorem is used by: (None)