Users' Mathboxes Mathbox for Filip Cernatescu < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  problem5 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem problem5 32078
Description: Practice problem 5. Clues: 3brtr3i 4872 mpbi 222 breqtri 4868 ltaddsubi 10881 remulcli 10345 2re 11387 3re 11393 9re 11418 eqcomi 2808 mvlladdi 10591 3cn 6cn 11407 eqtr3i 2823 6p3e9 11480 addcomi 10517 ltdiv1ii 11245 6re 11406 nngt0i 11352 2nn 11386 divcan3i 11063 recni 10343 2cn 11388 2ne0 11424 mpbir 223 eqtri 2821 mulcomi 10337 3t2e6 11486 divmuli 11071. (Contributed by Filip Cernatescu, 16-Mar-2019.) (Proof modification is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
problem5.1 𝐴 ∈ ℝ
problem5.2 ((2 · 𝐴) + 3) < 9
Assertion
Ref Expression
problem5 𝐴 < 3

Proof of Theorem problem5
StepHypRef Expression
1 problem5.2 . . . . 5 ((2 · 𝐴) + 3) < 9
2 2re 11387 . . . . . . 7 2 ∈ ℝ
3 problem5.1 . . . . . . 7 𝐴 ∈ ℝ
42, 3remulcli 10345 . . . . . 6 (2 · 𝐴) ∈ ℝ
5 3re 11393 . . . . . 6 3 ∈ ℝ
6 9re 11418 . . . . . 6 9 ∈ ℝ
74, 5, 6ltaddsubi 10881 . . . . 5 (((2 · 𝐴) + 3) < 9 ↔ (2 · 𝐴) < (9 − 3))
81, 7mpbi 222 . . . 4 (2 · 𝐴) < (9 − 3)
9 3cn 11394 . . . . . 6 3 ∈ ℂ
10 6cn 11407 . . . . . 6 6 ∈ ℂ
11 6p3e9 11480 . . . . . . . 8 (6 + 3) = 9
1210, 9addcomi 10517 . . . . . . . 8 (6 + 3) = (3 + 6)
1311, 12eqtr3i 2823 . . . . . . 7 9 = (3 + 6)
1413eqcomi 2808 . . . . . 6 (3 + 6) = 9
159, 10, 14mvlladdi 10591 . . . . 5 6 = (9 − 3)
1615eqcomi 2808 . . . 4 (9 − 3) = 6
178, 16breqtri 4868 . . 3 (2 · 𝐴) < 6
18 6re 11406 . . . 4 6 ∈ ℝ
19 2nn 11386 . . . . 5 2 ∈ ℕ
2019nngt0i 11352 . . . 4 0 < 2
214, 18, 2, 20ltdiv1ii 11245 . . 3 ((2 · 𝐴) < 6 ↔ ((2 · 𝐴) / 2) < (6 / 2))
2217, 21mpbi 222 . 2 ((2 · 𝐴) / 2) < (6 / 2)
233recni 10343 . . 3 𝐴 ∈ ℂ
24 2cn 11388 . . 3 2 ∈ ℂ
25 2ne0 11424 . . 3 2 ≠ 0
2623, 24, 25divcan3i 11063 . 2 ((2 · 𝐴) / 2) = 𝐴
2724, 9mulcomi 10337 . . . 4 (2 · 3) = (3 · 2)
28 3t2e6 11486 . . . 4 (3 · 2) = 6
2927, 28eqtri 2821 . . 3 (2 · 3) = 6
3010, 24, 9, 25divmuli 11071 . . 3 ((6 / 2) = 3 ↔ (2 · 3) = 6)
3129, 30mpbir 223 . 2 (6 / 2) = 3
3222, 26, 313brtr3i 4872 1 𝐴 < 3
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1653  wcel 2157   class class class wbr 4843  (class class class)co 6878  cr 10223   + caddc 10227   · cmul 10229   < clt 10363  cmin 10556   / cdiv 10976  2c2 11368  3c3 11369  6c6 11372  9c9 11375
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2777  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5097  ax-un 7183  ax-resscn 10281  ax-1cn 10282  ax-icn 10283  ax-addcl 10284  ax-addrcl 10285  ax-mulcl 10286  ax-mulrcl 10287  ax-mulcom 10288  ax-addass 10289  ax-mulass 10290  ax-distr 10291  ax-i2m1 10292  ax-1ne0 10293  ax-1rid 10294  ax-rnegex 10295  ax-rrecex 10296  ax-cnre 10297  ax-pre-lttri 10298  ax-pre-lttrn 10299  ax-pre-ltadd 10300  ax-pre-mulgt0 10301
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2786  df-cleq 2792  df-clel 2795  df-nfc 2930  df-ne 2972  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rmo 3097  df-rab 3098  df-v 3387  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4116  df-if 4278  df-pw 4351  df-sn 4369  df-pr 4371  df-tp 4373  df-op 4375  df-uni 4629  df-iun 4712  df-br 4844  df-opab 4906  df-mpt 4923  df-tr 4946  df-id 5220  df-eprel 5225  df-po 5233  df-so 5234  df-fr 5271  df-we 5273  df-xp 5318  df-rel 5319  df-cnv 5320  df-co 5321  df-dm 5322  df-rn 5323  df-res 5324  df-ima 5325  df-pred 5898  df-ord 5944  df-on 5945  df-lim 5946  df-suc 5947  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-riota 6839  df-ov 6881  df-oprab 6882  df-mpt2 6883  df-om 7300  df-wrecs 7645  df-recs 7707  df-rdg 7745  df-er 7982  df-en 8196  df-dom 8197  df-sdom 8198  df-pnf 10365  df-mnf 10366  df-xr 10367  df-ltxr 10368  df-le 10369  df-sub 10558  df-neg 10559  df-div 10977  df-nn 11313  df-2 11376  df-3 11377  df-4 11378  df-5 11379  df-6 11380  df-7 11381  df-8 11382  df-9 11383
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator