Theorem problem5 36019

Description: Practice problem 5. Clues: 3brtr3i 5129 mpbi 232 breqtri 5125 ltaddsubi 11748 remulcli 11198 2re 12292 3re 12298 9re 12317 eqcomi 2771 mvlladdi 11449 3cn 6cn 12309 eqtr3i 2787 6p3e9 12377 addcomi 11374 ltdiv1ii 12121 6re 12308 nngt0i 12252 2nn 12291 divcan3i 11937 recni 11196 2cn 12293 2ne0 12324 mpbir 233 eqtri 2785 mulcomi 11190 3t2e6 12383 divmuli 11945. (Contributed by Filip Cernatescu, 16-Mar-2019.) (Proof modification is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
problem5.1	⊢ 𝐴 ∈ ℝ
problem5.2	⊢ ((2 · 𝐴) + 3) < 9

Assertion

Ref	Expression
problem5	⊢ 𝐴 < 3

Proof of Theorem problem5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		problem5.2	. . . . 5 ⊢ ((2 · 𝐴) + 3) < 9
2		2re 12292	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℝ
3		problem5.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 ∈ ℝ
4	2, 3	remulcli 11198	. . . . . 6 ⊢ (2 · 𝐴) ∈ ℝ
5		3re 12298	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℝ
6		9re 12317	. . . . . 6 ⊢ 9 ∈ ℝ
7	4, 5, 6	ltaddsubi 11748	. . . . 5 ⊢ (((2 · 𝐴) + 3) < 9 ↔ (2 · 𝐴) < (9 − 3))
8	1, 7	mpbi 232	. . . 4 ⊢ (2 · 𝐴) < (9 − 3)
9		3cn 12299	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℂ
10		6cn 12309	. . . . . 6 ⊢ 6 ∈ ℂ
11		6p3e9 12377	. . . . . . . 8 ⊢ (6 + 3) = 9
12	10, 9	addcomi 11374	. . . . . . . 8 ⊢ (6 + 3) = (3 + 6)
13	11, 12	eqtr3i 2787	. . . . . . 7 ⊢ 9 = (3 + 6)
14	13	eqcomi 2771	. . . . . 6 ⊢ (3 + 6) = 9
15	9, 10, 14	mvlladdi 11449	. . . . 5 ⊢ 6 = (9 − 3)
16	15	eqcomi 2771	. . . 4 ⊢ (9 − 3) = 6
17	8, 16	breqtri 5125	. . 3 ⊢ (2 · 𝐴) < 6
18		6re 12308	. . . 4 ⊢ 6 ∈ ℝ
19		2nn 12291	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ
20	19	nngt0i 12252	. . . 4 ⊢ 0 < 2
21	4, 18, 2, 20	ltdiv1ii 12121	. . 3 ⊢ ((2 · 𝐴) < 6 ↔ ((2 · 𝐴) / 2) < (6 / 2))
22	17, 21	mpbi 232	. 2 ⊢ ((2 · 𝐴) / 2) < (6 / 2)
23	3	recni 11196	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ ℂ
24		2cn 12293	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℂ
25		2ne0 12324	. . 3 ⊢ 2 ≠ 0
26	23, 24, 25	divcan3i 11937	. 2 ⊢ ((2 · 𝐴) / 2) = 𝐴
27	24, 9	mulcomi 11190	. . . 4 ⊢ (2 · 3) = (3 · 2)
28		3t2e6 12383	. . . 4 ⊢ (3 · 2) = 6
29	27, 28	eqtri 2785	. . 3 ⊢ (2 · 3) = 6
30	10, 24, 9, 25	divmuli 11945	. . 3 ⊢ ((6 / 2) = 3 ↔ (2 · 3) = 6)
31	29, 30	mpbir 233	. 2 ⊢ (6 / 2) = 3
32	22, 26, 31	3brtr3i 5129	1 ⊢ 𝐴 < 3

Syntax hints:   = wceq 1560   ∈ wcel 2142   class class class wbr 5100  (class class class)co 7396  ℝcr 11072   + caddc 11076   · cmul 11078   < clt 11216   − cmin 11414   / cdiv 11844  2c2 12272  3c3 12273  6c6 12276  9c9 12279

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5322  ax-pr 5390  ax-un 7718  ax-resscn 11130  ax-1cn 11131  ax-icn 11132  ax-addcl 11133  ax-addrcl 11134  ax-mulcl 11135  ax-mulrcl 11136  ax-mulcom 11137  ax-addass 11138  ax-mulass 11139  ax-distr 11140  ax-i2m1 11141  ax-1ne0 11142  ax-1rid 11143  ax-rnegex 11144  ax-rrecex 11145  ax-cnre 11146  ax-pre-lttri 11147  ax-pre-lttrn 11148  ax-pre-ltadd 11149  ax-pre-mulgt0 11150

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1099  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3456  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6288  df-ord 6349  df-on 6350  df-lim 6351  df-suc 6352  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-riota 7353  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-om 7847  df-2nd 7971  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8381  df-er 8678  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-pnf 11218  df-mnf 11219  df-xr 11220  df-ltxr 11221  df-le 11222  df-sub 11416  df-neg 11417  df-div 11845  df-nn 12211  df-2 12280  df-3 12281  df-4 12282  df-5 12283  df-6 12284  df-7 12285  df-8 12286  df-9 12287

This theorem is referenced by: (None)