Users' Mathboxes Mathbox for Filip Cernatescu < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  problem5 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem problem5 32916
Description: Practice problem 5. Clues: 3brtr3i 5098 mpbi 232 breqtri 5094 ltaddsubi 11204 remulcli 10660 2re 11714 3re 11720 9re 11739 eqcomi 2833 mvlladdi 10907 3cn 6cn 11731 eqtr3i 2849 6p3e9 11800 addcomi 10834 ltdiv1ii 11572 6re 11730 nngt0i 11679 2nn 11713 divcan3i 11389 recni 10658 2cn 11715 2ne0 11744 mpbir 233 eqtri 2847 mulcomi 10652 3t2e6 11806 divmuli 11397. (Contributed by Filip Cernatescu, 16-Mar-2019.) (Proof modification is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
problem5.1 𝐴 ∈ ℝ
problem5.2 ((2 · 𝐴) + 3) < 9
Assertion
Ref Expression
problem5 𝐴 < 3

Proof of Theorem problem5
StepHypRef Expression
1 problem5.2 . . . . 5 ((2 · 𝐴) + 3) < 9
2 2re 11714 . . . . . . 7 2 ∈ ℝ
3 problem5.1 . . . . . . 7 𝐴 ∈ ℝ
42, 3remulcli 10660 . . . . . 6 (2 · 𝐴) ∈ ℝ
5 3re 11720 . . . . . 6 3 ∈ ℝ
6 9re 11739 . . . . . 6 9 ∈ ℝ
74, 5, 6ltaddsubi 11204 . . . . 5 (((2 · 𝐴) + 3) < 9 ↔ (2 · 𝐴) < (9 − 3))
81, 7mpbi 232 . . . 4 (2 · 𝐴) < (9 − 3)
9 3cn 11721 . . . . . 6 3 ∈ ℂ
10 6cn 11731 . . . . . 6 6 ∈ ℂ
11 6p3e9 11800 . . . . . . . 8 (6 + 3) = 9
1210, 9addcomi 10834 . . . . . . . 8 (6 + 3) = (3 + 6)
1311, 12eqtr3i 2849 . . . . . . 7 9 = (3 + 6)
1413eqcomi 2833 . . . . . 6 (3 + 6) = 9
159, 10, 14mvlladdi 10907 . . . . 5 6 = (9 − 3)
1615eqcomi 2833 . . . 4 (9 − 3) = 6
178, 16breqtri 5094 . . 3 (2 · 𝐴) < 6
18 6re 11730 . . . 4 6 ∈ ℝ
19 2nn 11713 . . . . 5 2 ∈ ℕ
2019nngt0i 11679 . . . 4 0 < 2
214, 18, 2, 20ltdiv1ii 11572 . . 3 ((2 · 𝐴) < 6 ↔ ((2 · 𝐴) / 2) < (6 / 2))
2217, 21mpbi 232 . 2 ((2 · 𝐴) / 2) < (6 / 2)
233recni 10658 . . 3 𝐴 ∈ ℂ
24 2cn 11715 . . 3 2 ∈ ℂ
25 2ne0 11744 . . 3 2 ≠ 0
2623, 24, 25divcan3i 11389 . 2 ((2 · 𝐴) / 2) = 𝐴
2724, 9mulcomi 10652 . . . 4 (2 · 3) = (3 · 2)
28 3t2e6 11806 . . . 4 (3 · 2) = 6
2927, 28eqtri 2847 . . 3 (2 · 3) = 6
3010, 24, 9, 25divmuli 11397 . . 3 ((6 / 2) = 3 ↔ (2 · 3) = 6)
3129, 30mpbir 233 . 2 (6 / 2) = 3
3222, 26, 313brtr3i 5098 1 𝐴 < 3
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1536  wcel 2113   class class class wbr 5069  (class class class)co 7159  cr 10539   + caddc 10543   · cmul 10545   < clt 10678  cmin 10873   / cdiv 11300  2c2 11695  3c3 11696  6c6 11699  9c9 11702
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1969  ax-7 2014  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2176  ax-ext 2796  ax-sep 5206  ax-nul 5213  ax-pow 5269  ax-pr 5333  ax-un 7464  ax-resscn 10597  ax-1cn 10598  ax-icn 10599  ax-addcl 10600  ax-addrcl 10601  ax-mulcl 10602  ax-mulrcl 10603  ax-mulcom 10604  ax-addass 10605  ax-mulass 10606  ax-distr 10607  ax-i2m1 10608  ax-1ne0 10609  ax-1rid 10610  ax-rnegex 10611  ax-rrecex 10612  ax-cnre 10613  ax-pre-lttri 10614  ax-pre-lttrn 10615  ax-pre-ltadd 10616  ax-pre-mulgt0 10617
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1539  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2069  df-mo 2621  df-eu 2653  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2966  df-ne 3020  df-nel 3127  df-ral 3146  df-rex 3147  df-reu 3148  df-rmo 3149  df-rab 3150  df-v 3499  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-pss 3957  df-nul 4295  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4571  df-pr 4573  df-tp 4575  df-op 4577  df-uni 4842  df-iun 4924  df-br 5070  df-opab 5132  df-mpt 5150  df-tr 5176  df-id 5463  df-eprel 5468  df-po 5477  df-so 5478  df-fr 5517  df-we 5519  df-xp 5564  df-rel 5565  df-cnv 5566  df-co 5567  df-dm 5568  df-rn 5569  df-res 5570  df-ima 5571  df-pred 6151  df-ord 6197  df-on 6198  df-lim 6199  df-suc 6200  df-iota 6317  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-f1 6363  df-fo 6364  df-f1o 6365  df-fv 6366  df-riota 7117  df-ov 7162  df-oprab 7163  df-mpo 7164  df-om 7584  df-wrecs 7950  df-recs 8011  df-rdg 8049  df-er 8292  df-en 8513  df-dom 8514  df-sdom 8515  df-pnf 10680  df-mnf 10681  df-xr 10682  df-ltxr 10683  df-le 10684  df-sub 10875  df-neg 10876  df-div 11301  df-nn 11642  df-2 11703  df-3 11704  df-4 11705  df-5 11706  df-6 11707  df-7 11708  df-8 11709  df-9 11710
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator