Theorem problem5 36555

Description: Practice problem 5. Clues: 3brtr3i 5136 mpbi 233 breqtri 5132 ltaddsubi 11887 remulcli 11335 2re 12427 3re 12433 9re 12452 eqcomi 2772 mvlladdi 11586 3cn 6cn 12444 eqtr3i 2788 6p3e9 12512 addcomi 11511 ltdiv1ii 12256 6re 12443 nngt0i 12387 2nn 12426 divcan3i 12073 recni 11333 2cn 12428 2ne0 12459 mpbir 234 eqtri 2786 mulcomi 11327 3t2e6 12518 divmuli 12081. (Contributed by Filip Cernatescu, 16-Mar-2019.) (Proof modification is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
problem5.1	⊢ 𝐴 ∈ ℝ
problem5.2	⊢ ((2 · 𝐴) + 3) < 9

Assertion

Ref	Expression
problem5	⊢ 𝐴 < 3

Proof of Theorem problem5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		problem5.2	. . . . 5 ⊢ ((2 · 𝐴) + 3) < 9
2		2re 12427	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℝ
3		problem5.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 ∈ ℝ
4	2, 3	remulcli 11335	. . . . . 6 ⊢ (2 · 𝐴) ∈ ℝ
5		3re 12433	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℝ
6		9re 12452	. . . . . 6 ⊢ 9 ∈ ℝ
7	4, 5, 6	ltaddsubi 11887	. . . . 5 ⊢ (((2 · 𝐴) + 3) < 9 ↔ (2 · 𝐴) < (9 − 3))
8	1, 7	mpbi 233	. . . 4 ⊢ (2 · 𝐴) < (9 − 3)
9		3cn 12434	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℂ
10		6cn 12444	. . . . . 6 ⊢ 6 ∈ ℂ
11		6p3e9 12512	. . . . . . . 8 ⊢ (6 + 3) = 9
12	10, 9	addcomi 11511	. . . . . . . 8 ⊢ (6 + 3) = (3 + 6)
13	11, 12	eqtr3i 2788	. . . . . . 7 ⊢ 9 = (3 + 6)
14	13	eqcomi 2772	. . . . . 6 ⊢ (3 + 6) = 9
15	9, 10, 14	mvlladdi 11586	. . . . 5 ⊢ 6 = (9 − 3)
16	15	eqcomi 2772	. . . 4 ⊢ (9 − 3) = 6
17	8, 16	breqtri 5132	. . 3 ⊢ (2 · 𝐴) < 6
18		6re 12443	. . . 4 ⊢ 6 ∈ ℝ
19		2nn 12426	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ
20	19	nngt0i 12387	. . . 4 ⊢ 0 < 2
21	4, 18, 2, 20	ltdiv1ii 12256	. . 3 ⊢ ((2 · 𝐴) < 6 ↔ ((2 · 𝐴) / 2) < (6 / 2))
22	17, 21	mpbi 233	. 2 ⊢ ((2 · 𝐴) / 2) < (6 / 2)
23	3	recni 11333	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ ℂ
24		2cn 12428	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℂ
25		2ne0 12459	. . 3 ⊢ 2 ≠ 0
26	23, 24, 25	divcan3i 12073	. 2 ⊢ ((2 · 𝐴) / 2) = 𝐴
27	24, 9	mulcomi 11327	. . . 4 ⊢ (2 · 3) = (3 · 2)
28		3t2e6 12518	. . . 4 ⊢ (3 · 2) = 6
29	27, 28	eqtri 2786	. . 3 ⊢ (2 · 3) = 6
30	10, 24, 9, 25	divmuli 12081	. . 3 ⊢ ((6 / 2) = 3 ↔ (2 · 3) = 6)
31	29, 30	mpbir 234	. 2 ⊢ (6 / 2) = 3
32	22, 26, 31	3brtr3i 5136	1 ⊢ 𝐴 < 3

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1569   ∈ wcel 2146   class class class wbr 5105  (class class class)co 7427  ℝcr 11209   + caddc 11213   · cmul 11215   < clt 11353   − cmin 11551   / cdiv 11983  2c2 12407  3c3 12408  6c6 12411  9c9 12414

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-sep 5251  ax-nul 5262  ax-pow 5330  ax-pr 5394  ax-un 7758  ax-resscn 11267  ax-1cn 11268  ax-icn 11269  ax-addcl 11270  ax-addrcl 11271  ax-mulcl 11272  ax-mulrcl 11273  ax-mulcom 11274  ax-addass 11275  ax-mulass 11276  ax-distr 11277  ax-i2m1 11278  ax-1ne0 11279  ax-1rid 11280  ax-rnegex 11281  ax-rrecex 11282  ax-cnre 11283  ax-pre-lttri 11284  ax-pre-lttrn 11285  ax-pre-ltadd 11286  ax-pre-mulgt0 11287

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3455  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-ss 3900  df-pss 4016  df-dif 4049  df-in 4093  df-un 4153  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4838  df-uni 4870  df-iun 4955  df-br 5106  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5549  df-eprel 5554  df-po 5562  df-so 5563  df-fr 5607  df-we 5609  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6310  df-ord 6371  df-on 6372  df-lim 6373  df-suc 6374  df-iota 6500  df-fun 6548  df-fn 6549  df-f 6550  df-f1 6551  df-fo 6552  df-f1o 6553  df-fv 6554  df-riota 7384  df-ov 7430  df-oprab 7431  df-mpo 7432  df-om 7885  df-2nd 8009  df-frecs 8310  df-wrecs 8341  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-er 8728  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11355  df-mnf 11356  df-xr 11357  df-ltxr 11358  df-le 11359  df-sub 11553  df-neg 11554  df-div 11984  df-nn 12346  df-2 12415  df-3 12416  df-4 12417  df-5 12418  df-6 12419  df-7 12420  df-8 12421  df-9 12422

This theorem is used by: (None)