Theorem problem5 35615

Description: Practice problem 5. Clues: 3brtr3i 5154 mpbi 230 breqtri 5150 ltaddsubi 11807 remulcli 11260 2re 12323 3re 12329 9re 12348 eqcomi 2743 mvlladdi 11510 3cn 6cn 12340 eqtr3i 2759 6p3e9 12409 addcomi 11435 ltdiv1ii 12180 6re 12339 nngt0i 12288 2nn 12322 divcan3i 11996 recni 11258 2cn 12324 2ne0 12353 mpbir 231 eqtri 2757 mulcomi 11252 3t2e6 12415 divmuli 12004. (Contributed by Filip Cernatescu, 16-Mar-2019.) (Proof modification is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
problem5.1	⊢ 𝐴 ∈ ℝ
problem5.2	⊢ ((2 · 𝐴) + 3) < 9

Assertion

Ref	Expression
problem5	⊢ 𝐴 < 3

Proof of Theorem problem5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		problem5.2	. . . . 5 ⊢ ((2 · 𝐴) + 3) < 9
2		2re 12323	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℝ
3		problem5.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 ∈ ℝ
4	2, 3	remulcli 11260	. . . . . 6 ⊢ (2 · 𝐴) ∈ ℝ
5		3re 12329	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℝ
6		9re 12348	. . . . . 6 ⊢ 9 ∈ ℝ
7	4, 5, 6	ltaddsubi 11807	. . . . 5 ⊢ (((2 · 𝐴) + 3) < 9 ↔ (2 · 𝐴) < (9 − 3))
8	1, 7	mpbi 230	. . . 4 ⊢ (2 · 𝐴) < (9 − 3)
9		3cn 12330	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℂ
10		6cn 12340	. . . . . 6 ⊢ 6 ∈ ℂ
11		6p3e9 12409	. . . . . . . 8 ⊢ (6 + 3) = 9
12	10, 9	addcomi 11435	. . . . . . . 8 ⊢ (6 + 3) = (3 + 6)
13	11, 12	eqtr3i 2759	. . . . . . 7 ⊢ 9 = (3 + 6)
14	13	eqcomi 2743	. . . . . 6 ⊢ (3 + 6) = 9
15	9, 10, 14	mvlladdi 11510	. . . . 5 ⊢ 6 = (9 − 3)
16	15	eqcomi 2743	. . . 4 ⊢ (9 − 3) = 6
17	8, 16	breqtri 5150	. . 3 ⊢ (2 · 𝐴) < 6
18		6re 12339	. . . 4 ⊢ 6 ∈ ℝ
19		2nn 12322	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ
20	19	nngt0i 12288	. . . 4 ⊢ 0 < 2
21	4, 18, 2, 20	ltdiv1ii 12180	. . 3 ⊢ ((2 · 𝐴) < 6 ↔ ((2 · 𝐴) / 2) < (6 / 2))
22	17, 21	mpbi 230	. 2 ⊢ ((2 · 𝐴) / 2) < (6 / 2)
23	3	recni 11258	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ ℂ
24		2cn 12324	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℂ
25		2ne0 12353	. . 3 ⊢ 2 ≠ 0
26	23, 24, 25	divcan3i 11996	. 2 ⊢ ((2 · 𝐴) / 2) = 𝐴
27	24, 9	mulcomi 11252	. . . 4 ⊢ (2 · 3) = (3 · 2)
28		3t2e6 12415	. . . 4 ⊢ (3 · 2) = 6
29	27, 28	eqtri 2757	. . 3 ⊢ (2 · 3) = 6
30	10, 24, 9, 25	divmuli 12004	. . 3 ⊢ ((6 / 2) = 3 ↔ (2 · 3) = 6)
31	29, 30	mpbir 231	. 2 ⊢ (6 / 2) = 3
32	22, 26, 31	3brtr3i 5154	1 ⊢ 𝐴 < 3

Syntax hints:   = wceq 1539   ∈ wcel 2107   class class class wbr 5125  (class class class)co 7414  ℝcr 11137   + caddc 11141   · cmul 11143   < clt 11278   − cmin 11475   / cdiv 11903  2c2 12304  3c3 12305  6c6 12308  9c9 12311

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-sep 5278  ax-nul 5288  ax-pow 5347  ax-pr 5414  ax-un 7738  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3773  df-csb 3882  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3950  df-pss 3953  df-nul 4316  df-if 4508  df-pw 4584  df-sn 4609  df-pr 4611  df-op 4615  df-uni 4890  df-iun 4975  df-br 5126  df-opab 5188  df-mpt 5208  df-tr 5242  df-id 5560  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-we 5621  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6303  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6495  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7871  df-2nd 7998  df-frecs 8289  df-wrecs 8320  df-recs 8394  df-rdg 8433  df-er 8728  df-en 8969  df-dom 8970  df-sdom 8971  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11477  df-neg 11478  df-div 11904  df-nn 12250  df-2 12312  df-3 12313  df-4 12314  df-5 12315  df-6 12316  df-7 12317  df-8 12318  df-9 12319

This theorem is referenced by: (None)