Theorem problem5 35654

Description: Practice problem 5. Clues: 3brtr3i 5177 mpbi 230 breqtri 5173 ltaddsubi 11822 remulcli 11275 2re 12338 3re 12344 9re 12363 eqcomi 2744 mvlladdi 11525 3cn 6cn 12355 eqtr3i 2765 6p3e9 12424 addcomi 11450 ltdiv1ii 12195 6re 12354 nngt0i 12303 2nn 12337 divcan3i 12011 recni 11273 2cn 12339 2ne0 12368 mpbir 231 eqtri 2763 mulcomi 11267 3t2e6 12430 divmuli 12019. (Contributed by Filip Cernatescu, 16-Mar-2019.) (Proof modification is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
problem5.1	⊢ 𝐴 ∈ ℝ
problem5.2	⊢ ((2 · 𝐴) + 3) < 9

Assertion

Ref	Expression
problem5	⊢ 𝐴 < 3

Proof of Theorem problem5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		problem5.2	. . . . 5 ⊢ ((2 · 𝐴) + 3) < 9
2		2re 12338	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℝ
3		problem5.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 ∈ ℝ
4	2, 3	remulcli 11275	. . . . . 6 ⊢ (2 · 𝐴) ∈ ℝ
5		3re 12344	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℝ
6		9re 12363	. . . . . 6 ⊢ 9 ∈ ℝ
7	4, 5, 6	ltaddsubi 11822	. . . . 5 ⊢ (((2 · 𝐴) + 3) < 9 ↔ (2 · 𝐴) < (9 − 3))
8	1, 7	mpbi 230	. . . 4 ⊢ (2 · 𝐴) < (9 − 3)
9		3cn 12345	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℂ
10		6cn 12355	. . . . . 6 ⊢ 6 ∈ ℂ
11		6p3e9 12424	. . . . . . . 8 ⊢ (6 + 3) = 9
12	10, 9	addcomi 11450	. . . . . . . 8 ⊢ (6 + 3) = (3 + 6)
13	11, 12	eqtr3i 2765	. . . . . . 7 ⊢ 9 = (3 + 6)
14	13	eqcomi 2744	. . . . . 6 ⊢ (3 + 6) = 9
15	9, 10, 14	mvlladdi 11525	. . . . 5 ⊢ 6 = (9 − 3)
16	15	eqcomi 2744	. . . 4 ⊢ (9 − 3) = 6
17	8, 16	breqtri 5173	. . 3 ⊢ (2 · 𝐴) < 6
18		6re 12354	. . . 4 ⊢ 6 ∈ ℝ
19		2nn 12337	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ
20	19	nngt0i 12303	. . . 4 ⊢ 0 < 2
21	4, 18, 2, 20	ltdiv1ii 12195	. . 3 ⊢ ((2 · 𝐴) < 6 ↔ ((2 · 𝐴) / 2) < (6 / 2))
22	17, 21	mpbi 230	. 2 ⊢ ((2 · 𝐴) / 2) < (6 / 2)
23	3	recni 11273	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ ℂ
24		2cn 12339	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℂ
25		2ne0 12368	. . 3 ⊢ 2 ≠ 0
26	23, 24, 25	divcan3i 12011	. 2 ⊢ ((2 · 𝐴) / 2) = 𝐴
27	24, 9	mulcomi 11267	. . . 4 ⊢ (2 · 3) = (3 · 2)
28		3t2e6 12430	. . . 4 ⊢ (3 · 2) = 6
29	27, 28	eqtri 2763	. . 3 ⊢ (2 · 3) = 6
30	10, 24, 9, 25	divmuli 12019	. . 3 ⊢ ((6 / 2) = 3 ↔ (2 · 3) = 6)
31	29, 30	mpbir 231	. 2 ⊢ (6 / 2) = 3
32	22, 26, 31	3brtr3i 5177	1 ⊢ 𝐴 < 3

Syntax hints:   = wceq 1537   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5148  (class class class)co 7431  ℝcr 11152   + caddc 11156   · cmul 11158   < clt 11293   − cmin 11490   / cdiv 11918  2c2 12319  3c3 12320  6c6 12323  9c9 12326

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334

This theorem is referenced by: (None)