Theorem problem5 36161

Description: Practice problem 5. Clues: 3brtr3i 5140 mpbi 233 breqtri 5136 ltaddsubi 11770 remulcli 11220 2re 12310 3re 12316 9re 12335 eqcomi 2772 mvlladdi 11471 3cn 6cn 12327 eqtr3i 2788 6p3e9 12395 addcomi 11396 ltdiv1ii 12139 6re 12326 nngt0i 12270 2nn 12309 divcan3i 11956 recni 11218 2cn 12311 2ne0 12342 mpbir 234 eqtri 2786 mulcomi 11212 3t2e6 12401 divmuli 11964. (Contributed by Filip Cernatescu, 16-Mar-2019.) (Proof modification is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
problem5.1	⊢ 𝐴 ∈ ℝ
problem5.2	⊢ ((2 · 𝐴) + 3) < 9

Assertion

Ref	Expression
problem5	⊢ 𝐴 < 3

Proof of Theorem problem5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		problem5.2	. . . . 5 ⊢ ((2 · 𝐴) + 3) < 9
2		2re 12310	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℝ
3		problem5.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 ∈ ℝ
4	2, 3	remulcli 11220	. . . . . 6 ⊢ (2 · 𝐴) ∈ ℝ
5		3re 12316	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℝ
6		9re 12335	. . . . . 6 ⊢ 9 ∈ ℝ
7	4, 5, 6	ltaddsubi 11770	. . . . 5 ⊢ (((2 · 𝐴) + 3) < 9 ↔ (2 · 𝐴) < (9 − 3))
8	1, 7	mpbi 233	. . . 4 ⊢ (2 · 𝐴) < (9 − 3)
9		3cn 12317	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℂ
10		6cn 12327	. . . . . 6 ⊢ 6 ∈ ℂ
11		6p3e9 12395	. . . . . . . 8 ⊢ (6 + 3) = 9
12	10, 9	addcomi 11396	. . . . . . . 8 ⊢ (6 + 3) = (3 + 6)
13	11, 12	eqtr3i 2788	. . . . . . 7 ⊢ 9 = (3 + 6)
14	13	eqcomi 2772	. . . . . 6 ⊢ (3 + 6) = 9
15	9, 10, 14	mvlladdi 11471	. . . . 5 ⊢ 6 = (9 − 3)
16	15	eqcomi 2772	. . . 4 ⊢ (9 − 3) = 6
17	8, 16	breqtri 5136	. . 3 ⊢ (2 · 𝐴) < 6
18		6re 12326	. . . 4 ⊢ 6 ∈ ℝ
19		2nn 12309	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ
20	19	nngt0i 12270	. . . 4 ⊢ 0 < 2
21	4, 18, 2, 20	ltdiv1ii 12139	. . 3 ⊢ ((2 · 𝐴) < 6 ↔ ((2 · 𝐴) / 2) < (6 / 2))
22	17, 21	mpbi 233	. 2 ⊢ ((2 · 𝐴) / 2) < (6 / 2)
23	3	recni 11218	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ ℂ
24		2cn 12311	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℂ
25		2ne0 12342	. . 3 ⊢ 2 ≠ 0
26	23, 24, 25	divcan3i 11956	. 2 ⊢ ((2 · 𝐴) / 2) = 𝐴
27	24, 9	mulcomi 11212	. . . 4 ⊢ (2 · 3) = (3 · 2)
28		3t2e6 12401	. . . 4 ⊢ (3 · 2) = 6
29	27, 28	eqtri 2786	. . 3 ⊢ (2 · 3) = 6
30	10, 24, 9, 25	divmuli 11964	. . 3 ⊢ ((6 / 2) = 3 ↔ (2 · 3) = 6)
31	29, 30	mpbir 234	. 2 ⊢ (6 / 2) = 3
32	22, 26, 31	3brtr3i 5140	1 ⊢ 𝐴 < 3

Syntax hints:   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   class class class wbr 5109  (class class class)co 7410  ℝcr 11094   + caddc 11098   · cmul 11100   < clt 11238   − cmin 11436   / cdiv 11866  2c2 12290  3c3 12291  6c6 12294  9c9 12297

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171  ax-pre-mulgt0 11172

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244  df-sub 11438  df-neg 11439  df-div 11867  df-nn 12229  df-2 12298  df-3 12299  df-4 12300  df-5 12301  df-6 12302  df-7 12303  df-8 12304  df-9 12305

This theorem is referenced by: (None)