Theorem problem5 35897

Description: Practice problem 5. Clues: 3brtr3i 5101 mpbi 231 breqtri 5097 ltaddsubi 11702 remulcli 11152 2re 12246 3re 12252 9re 12271 eqcomi 2748 mvlladdi 11403 3cn 6cn 12263 eqtr3i 2764 6p3e9 12327 addcomi 11328 ltdiv1ii 12076 6re 12262 nngt0i 12207 2nn 12245 divcan3i 11892 recni 11150 2cn 12247 2ne0 12276 mpbir 232 eqtri 2762 mulcomi 11144 3t2e6 12333 divmuli 11900. (Contributed by Filip Cernatescu, 16-Mar-2019.) (Proof modification is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
problem5.1	⊢ 𝐴 ∈ ℝ
problem5.2	⊢ ((2 · 𝐴) + 3) < 9

Assertion

Ref	Expression
problem5	⊢ 𝐴 < 3

Proof of Theorem problem5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		problem5.2	. . . . 5 ⊢ ((2 · 𝐴) + 3) < 9
2		2re 12246	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℝ
3		problem5.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 ∈ ℝ
4	2, 3	remulcli 11152	. . . . . 6 ⊢ (2 · 𝐴) ∈ ℝ
5		3re 12252	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℝ
6		9re 12271	. . . . . 6 ⊢ 9 ∈ ℝ
7	4, 5, 6	ltaddsubi 11702	. . . . 5 ⊢ (((2 · 𝐴) + 3) < 9 ↔ (2 · 𝐴) < (9 − 3))
8	1, 7	mpbi 231	. . . 4 ⊢ (2 · 𝐴) < (9 − 3)
9		3cn 12253	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℂ
10		6cn 12263	. . . . . 6 ⊢ 6 ∈ ℂ
11		6p3e9 12327	. . . . . . . 8 ⊢ (6 + 3) = 9
12	10, 9	addcomi 11328	. . . . . . . 8 ⊢ (6 + 3) = (3 + 6)
13	11, 12	eqtr3i 2764	. . . . . . 7 ⊢ 9 = (3 + 6)
14	13	eqcomi 2748	. . . . . 6 ⊢ (3 + 6) = 9
15	9, 10, 14	mvlladdi 11403	. . . . 5 ⊢ 6 = (9 − 3)
16	15	eqcomi 2748	. . . 4 ⊢ (9 − 3) = 6
17	8, 16	breqtri 5097	. . 3 ⊢ (2 · 𝐴) < 6
18		6re 12262	. . . 4 ⊢ 6 ∈ ℝ
19		2nn 12245	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ
20	19	nngt0i 12207	. . . 4 ⊢ 0 < 2
21	4, 18, 2, 20	ltdiv1ii 12076	. . 3 ⊢ ((2 · 𝐴) < 6 ↔ ((2 · 𝐴) / 2) < (6 / 2))
22	17, 21	mpbi 231	. 2 ⊢ ((2 · 𝐴) / 2) < (6 / 2)
23	3	recni 11150	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ ℂ
24		2cn 12247	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℂ
25		2ne0 12276	. . 3 ⊢ 2 ≠ 0
26	23, 24, 25	divcan3i 11892	. 2 ⊢ ((2 · 𝐴) / 2) = 𝐴
27	24, 9	mulcomi 11144	. . . 4 ⊢ (2 · 3) = (3 · 2)
28		3t2e6 12333	. . . 4 ⊢ (3 · 2) = 6
29	27, 28	eqtri 2762	. . 3 ⊢ (2 · 3) = 6
30	10, 24, 9, 25	divmuli 11900	. . 3 ⊢ ((6 / 2) = 3 ↔ (2 · 3) = 6)
31	29, 30	mpbir 232	. 2 ⊢ (6 / 2) = 3
32	22, 26, 31	3brtr3i 5101	1 ⊢ 𝐴 < 3

Syntax hints:   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   class class class wbr 5072  (class class class)co 7356  ℝcr 11028   + caddc 11032   · cmul 11034   < clt 11170   − cmin 11368   / cdiv 11798  2c2 12227  3c3 12228  6c6 12231  9c9 12234

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-iun 4923  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-pred 6252  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8633  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-4 12237  df-5 12238  df-6 12239  df-7 12240  df-8 12241  df-9 12242

This theorem is referenced by: (None)