Theorem problem5 32103

Description: Practice problem 5. Clues: 3brtr3i 4904 mpbi 222 breqtri 4900 ltaddsubi 10920 remulcli 10380 2re 11432 3re 11438 9re 11463 eqcomi 2834 mvlladdi 10627 3cn 6cn 11452 eqtr3i 2851 6p3e9 11525 addcomi 10553 ltdiv1ii 11290 6re 11451 nngt0i 11397 2nn 11431 divcan3i 11104 recni 10378 2cn 11433 2ne0 11469 mpbir 223 eqtri 2849 mulcomi 10372 3t2e6 11531 divmuli 11112. (Contributed by Filip Cernatescu, 16-Mar-2019.) (Proof modification is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
problem5.1	⊢ 𝐴 ∈ ℝ
problem5.2	⊢ ((2 · 𝐴) + 3) < 9

Assertion

Ref	Expression
problem5	⊢ 𝐴 < 3

Proof of Theorem problem5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		problem5.2	. . . . 5 ⊢ ((2 · 𝐴) + 3) < 9
2		2re 11432	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℝ
3		problem5.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 ∈ ℝ
4	2, 3	remulcli 10380	. . . . . 6 ⊢ (2 · 𝐴) ∈ ℝ
5		3re 11438	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℝ
6		9re 11463	. . . . . 6 ⊢ 9 ∈ ℝ
7	4, 5, 6	ltaddsubi 10920	. . . . 5 ⊢ (((2 · 𝐴) + 3) < 9 ↔ (2 · 𝐴) < (9 − 3))
8	1, 7	mpbi 222	. . . 4 ⊢ (2 · 𝐴) < (9 − 3)
9		3cn 11439	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℂ
10		6cn 11452	. . . . . 6 ⊢ 6 ∈ ℂ
11		6p3e9 11525	. . . . . . . 8 ⊢ (6 + 3) = 9
12	10, 9	addcomi 10553	. . . . . . . 8 ⊢ (6 + 3) = (3 + 6)
13	11, 12	eqtr3i 2851	. . . . . . 7 ⊢ 9 = (3 + 6)
14	13	eqcomi 2834	. . . . . 6 ⊢ (3 + 6) = 9
15	9, 10, 14	mvlladdi 10627	. . . . 5 ⊢ 6 = (9 − 3)
16	15	eqcomi 2834	. . . 4 ⊢ (9 − 3) = 6
17	8, 16	breqtri 4900	. . 3 ⊢ (2 · 𝐴) < 6
18		6re 11451	. . . 4 ⊢ 6 ∈ ℝ
19		2nn 11431	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ
20	19	nngt0i 11397	. . . 4 ⊢ 0 < 2
21	4, 18, 2, 20	ltdiv1ii 11290	. . 3 ⊢ ((2 · 𝐴) < 6 ↔ ((2 · 𝐴) / 2) < (6 / 2))
22	17, 21	mpbi 222	. 2 ⊢ ((2 · 𝐴) / 2) < (6 / 2)
23	3	recni 10378	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ ℂ
24		2cn 11433	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℂ
25		2ne0 11469	. . 3 ⊢ 2 ≠ 0
26	23, 24, 25	divcan3i 11104	. 2 ⊢ ((2 · 𝐴) / 2) = 𝐴
27	24, 9	mulcomi 10372	. . . 4 ⊢ (2 · 3) = (3 · 2)
28		3t2e6 11531	. . . 4 ⊢ (3 · 2) = 6
29	27, 28	eqtri 2849	. . 3 ⊢ (2 · 3) = 6
30	10, 24, 9, 25	divmuli 11112	. . 3 ⊢ ((6 / 2) = 3 ↔ (2 · 3) = 6)
31	29, 30	mpbir 223	. 2 ⊢ (6 / 2) = 3
32	22, 26, 31	3brtr3i 4904	1 ⊢ 𝐴 < 3

Syntax hints:   = wceq 1656   ∈ wcel 2164   class class class wbr 4875  (class class class)co 6910  ℝcr 10258   + caddc 10262   · cmul 10264   < clt 10398   − cmin 10592   / cdiv 11016  2c2 11413  3c3 11414  6c6 11417  9c9 11420

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1894  ax-4 1908  ax-5 2009  ax-6 2075  ax-7 2112  ax-8 2166  ax-9 2173  ax-10 2192  ax-11 2207  ax-12 2220  ax-13 2389  ax-ext 2803  ax-sep 5007  ax-nul 5015  ax-pow 5067  ax-pr 5129  ax-un 7214  ax-resscn 10316  ax-1cn 10317  ax-icn 10318  ax-addcl 10319  ax-addrcl 10320  ax-mulcl 10321  ax-mulrcl 10322  ax-mulcom 10323  ax-addass 10324  ax-mulass 10325  ax-distr 10326  ax-i2m1 10327  ax-1ne0 10328  ax-1rid 10329  ax-rnegex 10330  ax-rrecex 10331  ax-cnre 10332  ax-pre-lttri 10333  ax-pre-lttrn 10334  ax-pre-ltadd 10335  ax-pre-mulgt0 10336

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 879  df-3or 1112  df-3an 1113  df-tru 1660  df-ex 1879  df-nf 1883  df-sb 2068  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rmo 3125  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4147  df-if 4309  df-pw 4382  df-sn 4400  df-pr 4402  df-tp 4404  df-op 4406  df-uni 4661  df-iun 4744  df-br 4876  df-opab 4938  df-mpt 4955  df-tr 4978  df-id 5252  df-eprel 5257  df-po 5265  df-so 5266  df-fr 5305  df-we 5307  df-xp 5352  df-rel 5353  df-cnv 5354  df-co 5355  df-dm 5356  df-rn 5357  df-res 5358  df-ima 5359  df-pred 5924  df-ord 5970  df-on 5971  df-lim 5972  df-suc 5973  df-iota 6090  df-fun 6129  df-fn 6130  df-f 6131  df-f1 6132  df-fo 6133  df-f1o 6134  df-fv 6135  df-riota 6871  df-ov 6913  df-oprab 6914  df-mpt2 6915  df-om 7332  df-wrecs 7677  df-recs 7739  df-rdg 7777  df-er 8014  df-en 8229  df-dom 8230  df-sdom 8231  df-pnf 10400  df-mnf 10401  df-xr 10402  df-ltxr 10403  df-le 10404  df-sub 10594  df-neg 10595  df-div 11017  df-nn 11358  df-2 11421  df-3 11422  df-4 11423  df-5 11424  df-6 11425  df-7 11426  df-8 11427  df-9 11428

This theorem is referenced by: (None)