MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  zbtwnre Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem zbtwnre 12989
Description: There is a unique integer between a real number and the number plus one. Exercise 5 of [Apostol] p. 28. (Contributed by NM, 13-Nov-2004.)
Assertion
Ref Expression
zbtwnre (𝐴 ∈ ℝ → ∃!𝑥 ∈ ℤ (𝐴𝑥𝑥 < (𝐴 + 1)))
Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem zbtwnre
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 zmin 12987 . 2 (𝐴 ∈ ℝ → ∃!𝑥 ∈ ℤ (𝐴𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℤ (𝐴𝑦𝑥𝑦)))
2 zre 12619 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ ℤ → 𝑦 ∈ ℝ)
3 zre 12619 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℝ)
4 peano2rem 11577 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 − 1) ∈ ℝ)
53, 4syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ ℤ → (𝑥 − 1) ∈ ℝ)
6 ltletr 11354 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑥 − 1) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (((𝑥 − 1) < 𝐴𝐴𝑦) → (𝑥 − 1) < 𝑦))
75, 6syl3an1 1163 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (((𝑥 − 1) < 𝐴𝐴𝑦) → (𝑥 − 1) < 𝑦))
873expa 1118 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (((𝑥 − 1) < 𝐴𝐴𝑦) → (𝑥 − 1) < 𝑦))
92, 8sylan2 593 . . . . . . . . . . 11 (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (((𝑥 − 1) < 𝐴𝐴𝑦) → (𝑥 − 1) < 𝑦))
10 zlem1lt 12671 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (𝑥𝑦 ↔ (𝑥 − 1) < 𝑦))
1110adantlr 715 . . . . . . . . . . 11 (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (𝑥𝑦 ↔ (𝑥 − 1) < 𝑦))
129, 11sylibrd 259 . . . . . . . . . 10 (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (((𝑥 − 1) < 𝐴𝐴𝑦) → 𝑥𝑦))
1312exp4b 430 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝑦 ∈ ℤ → ((𝑥 − 1) < 𝐴 → (𝐴𝑦𝑥𝑦))))
1413com23 86 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((𝑥 − 1) < 𝐴 → (𝑦 ∈ ℤ → (𝐴𝑦𝑥𝑦))))
1514ralrimdv 3151 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((𝑥 − 1) < 𝐴 → ∀𝑦 ∈ ℤ (𝐴𝑦𝑥𝑦)))
165ltnrd 11396 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ℤ → ¬ (𝑥 − 1) < (𝑥 − 1))
17 peano2zm 12662 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ℤ → (𝑥 − 1) ∈ ℤ)
18 zlem1lt 12671 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑥 − 1) ∈ ℤ) → (𝑥 ≤ (𝑥 − 1) ↔ (𝑥 − 1) < (𝑥 − 1)))
1917, 18mpdan 687 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ℤ → (𝑥 ≤ (𝑥 − 1) ↔ (𝑥 − 1) < (𝑥 − 1)))
2016, 19mtbird 325 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℤ → ¬ 𝑥 ≤ (𝑥 − 1))
2120ad2antrr 726 . . . . . . . . 9 (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑦 ∈ ℤ (𝐴𝑦𝑥𝑦)) → ¬ 𝑥 ≤ (𝑥 − 1))
22 lenlt 11340 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝑥 − 1) ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ (𝑥 − 1) ↔ ¬ (𝑥 − 1) < 𝐴))
235, 22sylan2 593 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝐴 ≤ (𝑥 − 1) ↔ ¬ (𝑥 − 1) < 𝐴))
2423ancoms 458 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ (𝑥 − 1) ↔ ¬ (𝑥 − 1) < 𝐴))
2524adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑦 ∈ ℤ (𝐴𝑦𝑥𝑦)) → (𝐴 ≤ (𝑥 − 1) ↔ ¬ (𝑥 − 1) < 𝐴))
26 breq2 5146 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 = (𝑥 − 1) → (𝐴𝑦𝐴 ≤ (𝑥 − 1)))
27 breq2 5146 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 = (𝑥 − 1) → (𝑥𝑦𝑥 ≤ (𝑥 − 1)))
2826, 27imbi12d 344 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = (𝑥 − 1) → ((𝐴𝑦𝑥𝑦) ↔ (𝐴 ≤ (𝑥 − 1) → 𝑥 ≤ (𝑥 − 1))))
2928rspcv 3617 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 − 1) ∈ ℤ → (∀𝑦 ∈ ℤ (𝐴𝑦𝑥𝑦) → (𝐴 ≤ (𝑥 − 1) → 𝑥 ≤ (𝑥 − 1))))
3017, 29syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ℤ → (∀𝑦 ∈ ℤ (𝐴𝑦𝑥𝑦) → (𝐴 ≤ (𝑥 − 1) → 𝑥 ≤ (𝑥 − 1))))
3130imp 406 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ ∀𝑦 ∈ ℤ (𝐴𝑦𝑥𝑦)) → (𝐴 ≤ (𝑥 − 1) → 𝑥 ≤ (𝑥 − 1)))
3231adantlr 715 . . . . . . . . . 10 (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑦 ∈ ℤ (𝐴𝑦𝑥𝑦)) → (𝐴 ≤ (𝑥 − 1) → 𝑥 ≤ (𝑥 − 1)))
3325, 32sylbird 260 . . . . . . . . 9 (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑦 ∈ ℤ (𝐴𝑦𝑥𝑦)) → (¬ (𝑥 − 1) < 𝐴𝑥 ≤ (𝑥 − 1)))
3421, 33mt3d 148 . . . . . . . 8 (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑦 ∈ ℤ (𝐴𝑦𝑥𝑦)) → (𝑥 − 1) < 𝐴)
3534ex 412 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (∀𝑦 ∈ ℤ (𝐴𝑦𝑥𝑦) → (𝑥 − 1) < 𝐴))
3615, 35impbid 212 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((𝑥 − 1) < 𝐴 ↔ ∀𝑦 ∈ ℤ (𝐴𝑦𝑥𝑦)))
37 1re 11262 . . . . . . . 8 1 ∈ ℝ
38 ltsubadd 11734 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((𝑥 − 1) < 𝐴𝑥 < (𝐴 + 1)))
3937, 38mp3an2 1450 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((𝑥 − 1) < 𝐴𝑥 < (𝐴 + 1)))
403, 39sylan 580 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((𝑥 − 1) < 𝐴𝑥 < (𝐴 + 1)))
4136, 40bitr3d 281 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (∀𝑦 ∈ ℤ (𝐴𝑦𝑥𝑦) ↔ 𝑥 < (𝐴 + 1)))
4241ancoms 458 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (∀𝑦 ∈ ℤ (𝐴𝑦𝑥𝑦) ↔ 𝑥 < (𝐴 + 1)))
4342anbi2d 630 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((𝐴𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℤ (𝐴𝑦𝑥𝑦)) ↔ (𝐴𝑥𝑥 < (𝐴 + 1))))
4443reubidva 3395 . 2 (𝐴 ∈ ℝ → (∃!𝑥 ∈ ℤ (𝐴𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℤ (𝐴𝑦𝑥𝑦)) ↔ ∃!𝑥 ∈ ℤ (𝐴𝑥𝑥 < (𝐴 + 1))))
451, 44mpbid 232 1 (𝐴 ∈ ℝ → ∃!𝑥 ∈ ℤ (𝐴𝑥𝑥 < (𝐴 + 1)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1539  wcel 2107  wral 3060  ∃!wreu 3377   class class class wbr 5142  (class class class)co 7432  cr 11155  1c1 11157   + caddc 11159   < clt 11296  cle 11297  cmin 11493  cz 12615
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233  ax-pre-sup 11234
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-om 7889  df-2nd 8016  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-er 8746  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-sup 9483  df-inf 9484  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-nn 12268  df-n0 12529  df-z 12616  df-uz 12880
This theorem is referenced by:  rebtwnz  12990  qbtwnre  13242  dfceil2  13880
  Copyright terms: Public domain W3C validator