Theorem zbtwnre 12686

Description: There is a unique integer between a real number and the number plus one. Exercise 5 of [Apostol] p. 28. (Contributed by NM, 13-Nov-2004.)

Assertion

Ref	Expression
zbtwnre	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ∃!𝑥 ∈ ℤ (𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 < (𝐴 + 1)))

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem zbtwnre

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zmin 12684	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ∃!𝑥 ∈ ℤ (𝐴 ≤ 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℤ (𝐴 ≤ 𝑦 → 𝑥 ≤ 𝑦)))
2		zre 12323	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → 𝑦 ∈ ℝ)
3		zre 12323	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℝ)
4		peano2rem 11288	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 − 1) ∈ ℝ)
5	3, 4	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (𝑥 − 1) ∈ ℝ)
6		ltletr 11067	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑥 − 1) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (((𝑥 − 1) < 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝑦) → (𝑥 − 1) < 𝑦))
7	5, 6	syl3an1 1162	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (((𝑥 − 1) < 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝑦) → (𝑥 − 1) < 𝑦))
8	7	3expa 1117	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (((𝑥 − 1) < 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝑦) → (𝑥 − 1) < 𝑦))
9	2, 8	sylan2 593	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (((𝑥 − 1) < 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝑦) → (𝑥 − 1) < 𝑦))
10		zlem1lt 12372	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (𝑥 ≤ 𝑦 ↔ (𝑥 − 1) < 𝑦))
11	10	adantlr 712	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (𝑥 ≤ 𝑦 ↔ (𝑥 − 1) < 𝑦))
12	9, 11	sylibrd 258	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (((𝑥 − 1) < 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝑦) → 𝑥 ≤ 𝑦))
13	12	exp4b 431	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝑦 ∈ ℤ → ((𝑥 − 1) < 𝐴 → (𝐴 ≤ 𝑦 → 𝑥 ≤ 𝑦))))
14	13	com23 86	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((𝑥 − 1) < 𝐴 → (𝑦 ∈ ℤ → (𝐴 ≤ 𝑦 → 𝑥 ≤ 𝑦))))
15	14	ralrimdv 3105	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((𝑥 − 1) < 𝐴 → ∀𝑦 ∈ ℤ (𝐴 ≤ 𝑦 → 𝑥 ≤ 𝑦)))
16	5	ltnrd 11109	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → ¬ (𝑥 − 1) < (𝑥 − 1))
17		peano2zm 12363	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (𝑥 − 1) ∈ ℤ)
18		zlem1lt 12372	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑥 − 1) ∈ ℤ) → (𝑥 ≤ (𝑥 − 1) ↔ (𝑥 − 1) < (𝑥 − 1)))
19	17, 18	mpdan 684	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (𝑥 ≤ (𝑥 − 1) ↔ (𝑥 − 1) < (𝑥 − 1)))
20	16, 19	mtbird 325	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → ¬ 𝑥 ≤ (𝑥 − 1))
21	20	ad2antrr 723	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑦 ∈ ℤ (𝐴 ≤ 𝑦 → 𝑥 ≤ 𝑦)) → ¬ 𝑥 ≤ (𝑥 − 1))
22		lenlt 11053	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝑥 − 1) ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ (𝑥 − 1) ↔ ¬ (𝑥 − 1) < 𝐴))
23	5, 22	sylan2 593	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝐴 ≤ (𝑥 − 1) ↔ ¬ (𝑥 − 1) < 𝐴))
24	23	ancoms 459	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ (𝑥 − 1) ↔ ¬ (𝑥 − 1) < 𝐴))
25	24	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑦 ∈ ℤ (𝐴 ≤ 𝑦 → 𝑥 ≤ 𝑦)) → (𝐴 ≤ (𝑥 − 1) ↔ ¬ (𝑥 − 1) < 𝐴))
26		breq2 5078	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑦 = (𝑥 − 1) → (𝐴 ≤ 𝑦 ↔ 𝐴 ≤ (𝑥 − 1)))
27		breq2 5078	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑦 = (𝑥 − 1) → (𝑥 ≤ 𝑦 ↔ 𝑥 ≤ (𝑥 − 1)))
28	26, 27	imbi12d 345	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 = (𝑥 − 1) → ((𝐴 ≤ 𝑦 → 𝑥 ≤ 𝑦) ↔ (𝐴 ≤ (𝑥 − 1) → 𝑥 ≤ (𝑥 − 1))))
29	28	rspcv 3557	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 − 1) ∈ ℤ → (∀𝑦 ∈ ℤ (𝐴 ≤ 𝑦 → 𝑥 ≤ 𝑦) → (𝐴 ≤ (𝑥 − 1) → 𝑥 ≤ (𝑥 − 1))))
30	17, 29	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (∀𝑦 ∈ ℤ (𝐴 ≤ 𝑦 → 𝑥 ≤ 𝑦) → (𝐴 ≤ (𝑥 − 1) → 𝑥 ≤ (𝑥 − 1))))
31	30	imp 407	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ ∀𝑦 ∈ ℤ (𝐴 ≤ 𝑦 → 𝑥 ≤ 𝑦)) → (𝐴 ≤ (𝑥 − 1) → 𝑥 ≤ (𝑥 − 1)))
32	31	adantlr 712	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑦 ∈ ℤ (𝐴 ≤ 𝑦 → 𝑥 ≤ 𝑦)) → (𝐴 ≤ (𝑥 − 1) → 𝑥 ≤ (𝑥 − 1)))
33	25, 32	sylbird 259	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑦 ∈ ℤ (𝐴 ≤ 𝑦 → 𝑥 ≤ 𝑦)) → (¬ (𝑥 − 1) < 𝐴 → 𝑥 ≤ (𝑥 − 1)))
34	21, 33	mt3d 148	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑦 ∈ ℤ (𝐴 ≤ 𝑦 → 𝑥 ≤ 𝑦)) → (𝑥 − 1) < 𝐴)
35	34	ex 413	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (∀𝑦 ∈ ℤ (𝐴 ≤ 𝑦 → 𝑥 ≤ 𝑦) → (𝑥 − 1) < 𝐴))
36	15, 35	impbid 211	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((𝑥 − 1) < 𝐴 ↔ ∀𝑦 ∈ ℤ (𝐴 ≤ 𝑦 → 𝑥 ≤ 𝑦)))
37		1re 10975	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℝ
38		ltsubadd 11445	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((𝑥 − 1) < 𝐴 ↔ 𝑥 < (𝐴 + 1)))
39	37, 38	mp3an2 1448	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((𝑥 − 1) < 𝐴 ↔ 𝑥 < (𝐴 + 1)))
40	3, 39	sylan 580	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((𝑥 − 1) < 𝐴 ↔ 𝑥 < (𝐴 + 1)))
41	36, 40	bitr3d 280	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (∀𝑦 ∈ ℤ (𝐴 ≤ 𝑦 → 𝑥 ≤ 𝑦) ↔ 𝑥 < (𝐴 + 1)))
42	41	ancoms 459	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (∀𝑦 ∈ ℤ (𝐴 ≤ 𝑦 → 𝑥 ≤ 𝑦) ↔ 𝑥 < (𝐴 + 1)))
43	42	anbi2d 629	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((𝐴 ≤ 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℤ (𝐴 ≤ 𝑦 → 𝑥 ≤ 𝑦)) ↔ (𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 < (𝐴 + 1))))
44	43	reubidva 3322	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (∃!𝑥 ∈ ℤ (𝐴 ≤ 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℤ (𝐴 ≤ 𝑦 → 𝑥 ≤ 𝑦)) ↔ ∃!𝑥 ∈ ℤ (𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 < (𝐴 + 1))))
45	1, 44	mpbid 231	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ∃!𝑥 ∈ ℤ (𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 < (𝐴 + 1)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  ∀wral 3064  ∃!wreu 3066   class class class wbr 5074  (class class class)co 7275  ℝcr 10870  1c1 10872   + caddc 10874   < clt 11009   ≤ cle 11010   − cmin 11205  ℤcz 12319

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-sup 9201  df-inf 9202  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583

This theorem is referenced by:  rebtwnz  12687  qbtwnre  12933  dfceil2  13559