Theorem zbtwnre 12999

Description: There is a unique integer between a real number and the number plus one. Exercise 5 of [Apostol] p. 28. (Contributed by NM, 13-Nov-2004.)

Assertion

Ref	Expression
zbtwnre	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ∃!𝑥 ∈ ℤ (𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 < (𝐴 + 1)))

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem zbtwnre

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zmin 12997	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ∃!𝑥 ∈ ℤ (𝐴 ≤ 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℤ (𝐴 ≤ 𝑦 → 𝑥 ≤ 𝑦)))
2		zre 12623	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → 𝑦 ∈ ℝ)
3		zre 12623	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℝ)
4		peano2rem 11553	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 − 1) ∈ ℝ)
5	3, 4	syl 18	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (𝑥 − 1) ∈ ℝ)
6		ltletr 11330	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑥 − 1) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (((𝑥 − 1) < 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝑦) → (𝑥 − 1) < 𝑦))
7	5, 6	syl3an1 1181	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (((𝑥 − 1) < 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝑦) → (𝑥 − 1) < 𝑦))
8	7	3expa 1136	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (((𝑥 − 1) < 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝑦) → (𝑥 − 1) < 𝑦))
9	2, 8	sylan2 605	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (((𝑥 − 1) < 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝑦) → (𝑥 − 1) < 𝑦))
10		zlem1lt 12674	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (𝑥 ≤ 𝑦 ↔ (𝑥 − 1) < 𝑦))
11	10	adantlr 728	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (𝑥 ≤ 𝑦 ↔ (𝑥 − 1) < 𝑦))
12	9, 11	sylibrd 262	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (((𝑥 − 1) < 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝑦) → 𝑥 ≤ 𝑦))
13	12	exp4b 436	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝑦 ∈ ℤ → ((𝑥 − 1) < 𝐴 → (𝐴 ≤ 𝑦 → 𝑥 ≤ 𝑦))))
14	13	com23 87	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((𝑥 − 1) < 𝐴 → (𝑦 ∈ ℤ → (𝐴 ≤ 𝑦 → 𝑥 ≤ 𝑦))))
15	14	ralrimdv 3162	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((𝑥 − 1) < 𝐴 → ∀𝑦 ∈ ℤ (𝐴 ≤ 𝑦 → 𝑥 ≤ 𝑦)))
16	5	ltnrd 11372	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → ¬ (𝑥 − 1) < (𝑥 − 1))
17		peano2zm 12665	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (𝑥 − 1) ∈ ℤ)
18		zlem1lt 12674	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑥 − 1) ∈ ℤ) → (𝑥 ≤ (𝑥 − 1) ↔ (𝑥 − 1) < (𝑥 − 1)))
19	17, 18	mpdan 700	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (𝑥 ≤ (𝑥 − 1) ↔ (𝑥 − 1) < (𝑥 − 1)))
20	16, 19	mtbird 328	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → ¬ 𝑥 ≤ (𝑥 − 1))
21	20	ad2antrr 739	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑦 ∈ ℤ (𝐴 ≤ 𝑦 → 𝑥 ≤ 𝑦)) → ¬ 𝑥 ≤ (𝑥 − 1))
22		lenlt 11316	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝑥 − 1) ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ (𝑥 − 1) ↔ ¬ (𝑥 − 1) < 𝐴))
23	5, 22	sylan2 605	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝐴 ≤ (𝑥 − 1) ↔ ¬ (𝑥 − 1) < 𝐴))
24	23	ancoms 464	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ (𝑥 − 1) ↔ ¬ (𝑥 − 1) < 𝐴))
25	24	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑦 ∈ ℤ (𝐴 ≤ 𝑦 → 𝑥 ≤ 𝑦)) → (𝐴 ≤ (𝑥 − 1) ↔ ¬ (𝑥 − 1) < 𝐴))
26		breq2 5111	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑦 = (𝑥 − 1) → (𝐴 ≤ 𝑦 ↔ 𝐴 ≤ (𝑥 − 1)))
27		breq2 5111	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑦 = (𝑥 − 1) → (𝑥 ≤ 𝑦 ↔ 𝑥 ≤ (𝑥 − 1)))
28	26, 27	imbi12d 347	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 = (𝑥 − 1) → ((𝐴 ≤ 𝑦 → 𝑥 ≤ 𝑦) ↔ (𝐴 ≤ (𝑥 − 1) → 𝑥 ≤ (𝑥 − 1))))
29	28	rspcv 3575	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 − 1) ∈ ℤ → (∀𝑦 ∈ ℤ (𝐴 ≤ 𝑦 → 𝑥 ≤ 𝑦) → (𝐴 ≤ (𝑥 − 1) → 𝑥 ≤ (𝑥 − 1))))
30	17, 29	syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (∀𝑦 ∈ ℤ (𝐴 ≤ 𝑦 → 𝑥 ≤ 𝑦) → (𝐴 ≤ (𝑥 − 1) → 𝑥 ≤ (𝑥 − 1))))
31	30	imp 412	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ ∀𝑦 ∈ ℤ (𝐴 ≤ 𝑦 → 𝑥 ≤ 𝑦)) → (𝐴 ≤ (𝑥 − 1) → 𝑥 ≤ (𝑥 − 1)))
32	31	adantlr 728	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑦 ∈ ℤ (𝐴 ≤ 𝑦 → 𝑥 ≤ 𝑦)) → (𝐴 ≤ (𝑥 − 1) → 𝑥 ≤ (𝑥 − 1)))
33	25, 32	sylbird 263	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑦 ∈ ℤ (𝐴 ≤ 𝑦 → 𝑥 ≤ 𝑦)) → (¬ (𝑥 − 1) < 𝐴 → 𝑥 ≤ (𝑥 − 1)))
34	21, 33	mt3d 149	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑦 ∈ ℤ (𝐴 ≤ 𝑦 → 𝑥 ≤ 𝑦)) → (𝑥 − 1) < 𝐴)
35	34	ex 418	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (∀𝑦 ∈ ℤ (𝐴 ≤ 𝑦 → 𝑥 ≤ 𝑦) → (𝑥 − 1) < 𝐴))
36	15, 35	impbid 215	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((𝑥 − 1) < 𝐴 ↔ ∀𝑦 ∈ ℤ (𝐴 ≤ 𝑦 → 𝑥 ≤ 𝑦)))
37		1re 11236	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℝ
38		ltsubadd 11712	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((𝑥 − 1) < 𝐴 ↔ 𝑥 < (𝐴 + 1)))
39	37, 38	mp3an2 1478	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((𝑥 − 1) < 𝐴 ↔ 𝑥 < (𝐴 + 1)))
40	3, 39	sylan 592	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((𝑥 − 1) < 𝐴 ↔ 𝑥 < (𝐴 + 1)))
41	36, 40	bitr3d 284	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (∀𝑦 ∈ ℤ (𝐴 ≤ 𝑦 → 𝑥 ≤ 𝑦) ↔ 𝑥 < (𝐴 + 1)))
42	41	ancoms 464	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (∀𝑦 ∈ ℤ (𝐴 ≤ 𝑦 → 𝑥 ≤ 𝑦) ↔ 𝑥 < (𝐴 + 1)))
43	42	anbi2d 642	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((𝐴 ≤ 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℤ (𝐴 ≤ 𝑦 → 𝑥 ≤ 𝑦)) ↔ (𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 < (𝐴 + 1))))
44	43	reubidva 3381	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (∃!𝑥 ∈ ℤ (𝐴 ≤ 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℤ (𝐴 ≤ 𝑦 → 𝑥 ≤ 𝑦)) ↔ ∃!𝑥 ∈ ℤ (𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 < (𝐴 + 1))))
45	1, 44	mpbid 235	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ∃!𝑥 ∈ ℤ (𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 < (𝐴 + 1)))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3078  ∃!wreu 3365   class class class wbr 5107  (class class class)co 7417  ℝcr 11127  1c1 11129   + caddc 11131   < clt 11271   ≤ cle 11272   − cmin 11469  ℤcz 12619

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-cnex 11184  ax-resscn 11185  ax-1cn 11186  ax-icn 11187  ax-addcl 11188  ax-addrcl 11189  ax-mulcl 11190  ax-mulrcl 11191  ax-mulcom 11192  ax-addass 11193  ax-mulass 11194  ax-distr 11195  ax-i2m1 11196  ax-1ne0 11197  ax-1rid 11198  ax-rnegex 11199  ax-rrecex 11200  ax-cnre 11201  ax-pre-lttri 11202  ax-pre-lttrn 11203  ax-pre-ltadd 11204  ax-pre-mulgt0 11205  ax-pre-sup 11206

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7374  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-om 7867  df-2nd 7991  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-er 8700  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-sup 9416  df-inf 9417  df-pnf 11273  df-mnf 11274  df-xr 11275  df-ltxr 11276  df-le 11277  df-sub 11471  df-neg 11472  df-nn 12262  df-n0 12533  df-z 12620  df-uz 12892

This theorem is used by:  rebtwnz  13000  qbtwnre  13255  dfceil2  13904