Theorem zbtwnre 12871

Description: There is a unique integer between a real number and the number plus one. Exercise 5 of [Apostol] p. 28. (Contributed by NM, 13-Nov-2004.)

Assertion

Ref	Expression
zbtwnre	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ∃!𝑥 ∈ ℤ (𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 < (𝐴 + 1)))

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem zbtwnre

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zmin 12869	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ∃!𝑥 ∈ ℤ (𝐴 ≤ 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℤ (𝐴 ≤ 𝑦 → 𝑥 ≤ 𝑦)))
2		zre 12503	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → 𝑦 ∈ ℝ)
3		zre 12503	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℝ)
4		peano2rem 11468	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 − 1) ∈ ℝ)
5	3, 4	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (𝑥 − 1) ∈ ℝ)
6		ltletr 11247	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑥 − 1) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (((𝑥 − 1) < 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝑦) → (𝑥 − 1) < 𝑦))
7	5, 6	syl3an1 1163	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (((𝑥 − 1) < 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝑦) → (𝑥 − 1) < 𝑦))
8	7	3expa 1118	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (((𝑥 − 1) < 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝑦) → (𝑥 − 1) < 𝑦))
9	2, 8	sylan2 593	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (((𝑥 − 1) < 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝑦) → (𝑥 − 1) < 𝑦))
10		zlem1lt 12555	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (𝑥 ≤ 𝑦 ↔ (𝑥 − 1) < 𝑦))
11	10	adantlr 713	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (𝑥 ≤ 𝑦 ↔ (𝑥 − 1) < 𝑦))
12	9, 11	sylibrd 258	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (((𝑥 − 1) < 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝑦) → 𝑥 ≤ 𝑦))
13	12	exp4b 431	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝑦 ∈ ℤ → ((𝑥 − 1) < 𝐴 → (𝐴 ≤ 𝑦 → 𝑥 ≤ 𝑦))))
14	13	com23 86	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((𝑥 − 1) < 𝐴 → (𝑦 ∈ ℤ → (𝐴 ≤ 𝑦 → 𝑥 ≤ 𝑦))))
15	14	ralrimdv 3149	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((𝑥 − 1) < 𝐴 → ∀𝑦 ∈ ℤ (𝐴 ≤ 𝑦 → 𝑥 ≤ 𝑦)))
16	5	ltnrd 11289	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → ¬ (𝑥 − 1) < (𝑥 − 1))
17		peano2zm 12546	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (𝑥 − 1) ∈ ℤ)
18		zlem1lt 12555	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑥 − 1) ∈ ℤ) → (𝑥 ≤ (𝑥 − 1) ↔ (𝑥 − 1) < (𝑥 − 1)))
19	17, 18	mpdan 685	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (𝑥 ≤ (𝑥 − 1) ↔ (𝑥 − 1) < (𝑥 − 1)))
20	16, 19	mtbird 324	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → ¬ 𝑥 ≤ (𝑥 − 1))
21	20	ad2antrr 724	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑦 ∈ ℤ (𝐴 ≤ 𝑦 → 𝑥 ≤ 𝑦)) → ¬ 𝑥 ≤ (𝑥 − 1))
22		lenlt 11233	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝑥 − 1) ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ (𝑥 − 1) ↔ ¬ (𝑥 − 1) < 𝐴))
23	5, 22	sylan2 593	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝐴 ≤ (𝑥 − 1) ↔ ¬ (𝑥 − 1) < 𝐴))
24	23	ancoms 459	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ (𝑥 − 1) ↔ ¬ (𝑥 − 1) < 𝐴))
25	24	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑦 ∈ ℤ (𝐴 ≤ 𝑦 → 𝑥 ≤ 𝑦)) → (𝐴 ≤ (𝑥 − 1) ↔ ¬ (𝑥 − 1) < 𝐴))
26		breq2 5109	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑦 = (𝑥 − 1) → (𝐴 ≤ 𝑦 ↔ 𝐴 ≤ (𝑥 − 1)))
27		breq2 5109	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑦 = (𝑥 − 1) → (𝑥 ≤ 𝑦 ↔ 𝑥 ≤ (𝑥 − 1)))
28	26, 27	imbi12d 344	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 = (𝑥 − 1) → ((𝐴 ≤ 𝑦 → 𝑥 ≤ 𝑦) ↔ (𝐴 ≤ (𝑥 − 1) → 𝑥 ≤ (𝑥 − 1))))
29	28	rspcv 3577	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 − 1) ∈ ℤ → (∀𝑦 ∈ ℤ (𝐴 ≤ 𝑦 → 𝑥 ≤ 𝑦) → (𝐴 ≤ (𝑥 − 1) → 𝑥 ≤ (𝑥 − 1))))
30	17, 29	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (∀𝑦 ∈ ℤ (𝐴 ≤ 𝑦 → 𝑥 ≤ 𝑦) → (𝐴 ≤ (𝑥 − 1) → 𝑥 ≤ (𝑥 − 1))))
31	30	imp 407	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ ∀𝑦 ∈ ℤ (𝐴 ≤ 𝑦 → 𝑥 ≤ 𝑦)) → (𝐴 ≤ (𝑥 − 1) → 𝑥 ≤ (𝑥 − 1)))
32	31	adantlr 713	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑦 ∈ ℤ (𝐴 ≤ 𝑦 → 𝑥 ≤ 𝑦)) → (𝐴 ≤ (𝑥 − 1) → 𝑥 ≤ (𝑥 − 1)))
33	25, 32	sylbird 259	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑦 ∈ ℤ (𝐴 ≤ 𝑦 → 𝑥 ≤ 𝑦)) → (¬ (𝑥 − 1) < 𝐴 → 𝑥 ≤ (𝑥 − 1)))
34	21, 33	mt3d 148	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑦 ∈ ℤ (𝐴 ≤ 𝑦 → 𝑥 ≤ 𝑦)) → (𝑥 − 1) < 𝐴)
35	34	ex 413	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (∀𝑦 ∈ ℤ (𝐴 ≤ 𝑦 → 𝑥 ≤ 𝑦) → (𝑥 − 1) < 𝐴))
36	15, 35	impbid 211	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((𝑥 − 1) < 𝐴 ↔ ∀𝑦 ∈ ℤ (𝐴 ≤ 𝑦 → 𝑥 ≤ 𝑦)))
37		1re 11155	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℝ
38		ltsubadd 11625	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((𝑥 − 1) < 𝐴 ↔ 𝑥 < (𝐴 + 1)))
39	37, 38	mp3an2 1449	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((𝑥 − 1) < 𝐴 ↔ 𝑥 < (𝐴 + 1)))
40	3, 39	sylan 580	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((𝑥 − 1) < 𝐴 ↔ 𝑥 < (𝐴 + 1)))
41	36, 40	bitr3d 280	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (∀𝑦 ∈ ℤ (𝐴 ≤ 𝑦 → 𝑥 ≤ 𝑦) ↔ 𝑥 < (𝐴 + 1)))
42	41	ancoms 459	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (∀𝑦 ∈ ℤ (𝐴 ≤ 𝑦 → 𝑥 ≤ 𝑦) ↔ 𝑥 < (𝐴 + 1)))
43	42	anbi2d 629	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((𝐴 ≤ 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℤ (𝐴 ≤ 𝑦 → 𝑥 ≤ 𝑦)) ↔ (𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 < (𝐴 + 1))))
44	43	reubidva 3369	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (∃!𝑥 ∈ ℤ (𝐴 ≤ 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℤ (𝐴 ≤ 𝑦 → 𝑥 ≤ 𝑦)) ↔ ∃!𝑥 ∈ ℤ (𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 < (𝐴 + 1))))
45	1, 44	mpbid 231	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ∃!𝑥 ∈ ℤ (𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 < (𝐴 + 1)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ∀wral 3064  ∃!wreu 3351   class class class wbr 5105  (class class class)co 7357  ℝcr 11050  1c1 11052   + caddc 11054   < clt 11189   ≤ cle 11190   − cmin 11385  ℤcz 12499

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-sup 9378  df-inf 9379  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-nn 12154  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764

This theorem is referenced by:  rebtwnz  12872  qbtwnre  13118  dfceil2  13744