Theorem zbtwnre 12863

Description: There is a unique integer between a real number and the number plus one. Exercise 5 of [Apostol] p. 28. (Contributed by NM, 13-Nov-2004.)

Assertion

Ref	Expression
zbtwnre	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ∃!𝑥 ∈ ℤ (𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 < (𝐴 + 1)))

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem zbtwnre

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zmin 12861	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ∃!𝑥 ∈ ℤ (𝐴 ≤ 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℤ (𝐴 ≤ 𝑦 → 𝑥 ≤ 𝑦)))
2		zre 12496	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → 𝑦 ∈ ℝ)
3		zre 12496	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℝ)
4		peano2rem 11452	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 − 1) ∈ ℝ)
5	3, 4	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (𝑥 − 1) ∈ ℝ)
6		ltletr 11229	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑥 − 1) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (((𝑥 − 1) < 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝑦) → (𝑥 − 1) < 𝑦))
7	5, 6	syl3an1 1164	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (((𝑥 − 1) < 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝑦) → (𝑥 − 1) < 𝑦))
8	7	3expa 1119	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (((𝑥 − 1) < 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝑦) → (𝑥 − 1) < 𝑦))
9	2, 8	sylan2 594	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (((𝑥 − 1) < 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝑦) → (𝑥 − 1) < 𝑦))
10		zlem1lt 12547	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (𝑥 ≤ 𝑦 ↔ (𝑥 − 1) < 𝑦))
11	10	adantlr 716	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (𝑥 ≤ 𝑦 ↔ (𝑥 − 1) < 𝑦))
12	9, 11	sylibrd 259	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (((𝑥 − 1) < 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝑦) → 𝑥 ≤ 𝑦))
13	12	exp4b 430	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝑦 ∈ ℤ → ((𝑥 − 1) < 𝐴 → (𝐴 ≤ 𝑦 → 𝑥 ≤ 𝑦))))
14	13	com23 86	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((𝑥 − 1) < 𝐴 → (𝑦 ∈ ℤ → (𝐴 ≤ 𝑦 → 𝑥 ≤ 𝑦))))
15	14	ralrimdv 3135	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((𝑥 − 1) < 𝐴 → ∀𝑦 ∈ ℤ (𝐴 ≤ 𝑦 → 𝑥 ≤ 𝑦)))
16	5	ltnrd 11271	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → ¬ (𝑥 − 1) < (𝑥 − 1))
17		peano2zm 12538	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (𝑥 − 1) ∈ ℤ)
18		zlem1lt 12547	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑥 − 1) ∈ ℤ) → (𝑥 ≤ (𝑥 − 1) ↔ (𝑥 − 1) < (𝑥 − 1)))
19	17, 18	mpdan 688	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (𝑥 ≤ (𝑥 − 1) ↔ (𝑥 − 1) < (𝑥 − 1)))
20	16, 19	mtbird 325	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → ¬ 𝑥 ≤ (𝑥 − 1))
21	20	ad2antrr 727	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑦 ∈ ℤ (𝐴 ≤ 𝑦 → 𝑥 ≤ 𝑦)) → ¬ 𝑥 ≤ (𝑥 − 1))
22		lenlt 11215	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝑥 − 1) ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ (𝑥 − 1) ↔ ¬ (𝑥 − 1) < 𝐴))
23	5, 22	sylan2 594	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝐴 ≤ (𝑥 − 1) ↔ ¬ (𝑥 − 1) < 𝐴))
24	23	ancoms 458	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ (𝑥 − 1) ↔ ¬ (𝑥 − 1) < 𝐴))
25	24	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑦 ∈ ℤ (𝐴 ≤ 𝑦 → 𝑥 ≤ 𝑦)) → (𝐴 ≤ (𝑥 − 1) ↔ ¬ (𝑥 − 1) < 𝐴))
26		breq2 5103	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑦 = (𝑥 − 1) → (𝐴 ≤ 𝑦 ↔ 𝐴 ≤ (𝑥 − 1)))
27		breq2 5103	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑦 = (𝑥 − 1) → (𝑥 ≤ 𝑦 ↔ 𝑥 ≤ (𝑥 − 1)))
28	26, 27	imbi12d 344	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 = (𝑥 − 1) → ((𝐴 ≤ 𝑦 → 𝑥 ≤ 𝑦) ↔ (𝐴 ≤ (𝑥 − 1) → 𝑥 ≤ (𝑥 − 1))))
29	28	rspcv 3573	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 − 1) ∈ ℤ → (∀𝑦 ∈ ℤ (𝐴 ≤ 𝑦 → 𝑥 ≤ 𝑦) → (𝐴 ≤ (𝑥 − 1) → 𝑥 ≤ (𝑥 − 1))))
30	17, 29	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (∀𝑦 ∈ ℤ (𝐴 ≤ 𝑦 → 𝑥 ≤ 𝑦) → (𝐴 ≤ (𝑥 − 1) → 𝑥 ≤ (𝑥 − 1))))
31	30	imp 406	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ ∀𝑦 ∈ ℤ (𝐴 ≤ 𝑦 → 𝑥 ≤ 𝑦)) → (𝐴 ≤ (𝑥 − 1) → 𝑥 ≤ (𝑥 − 1)))
32	31	adantlr 716	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑦 ∈ ℤ (𝐴 ≤ 𝑦 → 𝑥 ≤ 𝑦)) → (𝐴 ≤ (𝑥 − 1) → 𝑥 ≤ (𝑥 − 1)))
33	25, 32	sylbird 260	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑦 ∈ ℤ (𝐴 ≤ 𝑦 → 𝑥 ≤ 𝑦)) → (¬ (𝑥 − 1) < 𝐴 → 𝑥 ≤ (𝑥 − 1)))
34	21, 33	mt3d 148	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑦 ∈ ℤ (𝐴 ≤ 𝑦 → 𝑥 ≤ 𝑦)) → (𝑥 − 1) < 𝐴)
35	34	ex 412	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (∀𝑦 ∈ ℤ (𝐴 ≤ 𝑦 → 𝑥 ≤ 𝑦) → (𝑥 − 1) < 𝐴))
36	15, 35	impbid 212	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((𝑥 − 1) < 𝐴 ↔ ∀𝑦 ∈ ℤ (𝐴 ≤ 𝑦 → 𝑥 ≤ 𝑦)))
37		1re 11136	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℝ
38		ltsubadd 11611	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((𝑥 − 1) < 𝐴 ↔ 𝑥 < (𝐴 + 1)))
39	37, 38	mp3an2 1452	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((𝑥 − 1) < 𝐴 ↔ 𝑥 < (𝐴 + 1)))
40	3, 39	sylan 581	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((𝑥 − 1) < 𝐴 ↔ 𝑥 < (𝐴 + 1)))
41	36, 40	bitr3d 281	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (∀𝑦 ∈ ℤ (𝐴 ≤ 𝑦 → 𝑥 ≤ 𝑦) ↔ 𝑥 < (𝐴 + 1)))
42	41	ancoms 458	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (∀𝑦 ∈ ℤ (𝐴 ≤ 𝑦 → 𝑥 ≤ 𝑦) ↔ 𝑥 < (𝐴 + 1)))
43	42	anbi2d 631	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((𝐴 ≤ 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℤ (𝐴 ≤ 𝑦 → 𝑥 ≤ 𝑦)) ↔ (𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 < (𝐴 + 1))))
44	43	reubidva 3365	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (∃!𝑥 ∈ ℤ (𝐴 ≤ 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℤ (𝐴 ≤ 𝑦 → 𝑥 ≤ 𝑦)) ↔ ∃!𝑥 ∈ ℤ (𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 < (𝐴 + 1))))
45	1, 44	mpbid 232	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ∃!𝑥 ∈ ℤ (𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 < (𝐴 + 1)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052  ∃!wreu 3349   class class class wbr 5099  (class class class)co 7360  ℝcr 11029  1c1 11031   + caddc 11033   < clt 11170   ≤ cle 11171   − cmin 11368  ℤcz 12492

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7682  ax-cnex 11086  ax-resscn 11087  ax-1cn 11088  ax-icn 11089  ax-addcl 11090  ax-addrcl 11091  ax-mulcl 11092  ax-mulrcl 11093  ax-mulcom 11094  ax-addass 11095  ax-mulass 11096  ax-distr 11097  ax-i2m1 11098  ax-1ne0 11099  ax-1rid 11100  ax-rnegex 11101  ax-rrecex 11102  ax-cnre 11103  ax-pre-lttri 11104  ax-pre-lttrn 11105  ax-pre-ltadd 11106  ax-pre-mulgt0 11107  ax-pre-sup 11108

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-iun 4949  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-2nd 7936  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-sup 9349  df-inf 9350  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12150  df-n0 12406  df-z 12493  df-uz 12756

This theorem is referenced by:  rebtwnz  12864  qbtwnre  13118  dfceil2  13763