Theorem zbtwnre 12340

Description: There is a unique integer between a real number and the number plus one. Exercise 5 of [Apostol] p. 28. (Contributed by NM, 13-Nov-2004.)

Assertion

Ref	Expression
zbtwnre	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ∃!𝑥 ∈ ℤ (𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 < (𝐴 + 1)))

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem zbtwnre

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zmin 12338	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ∃!𝑥 ∈ ℤ (𝐴 ≤ 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℤ (𝐴 ≤ 𝑦 → 𝑥 ≤ 𝑦)))
2		zre 11979	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → 𝑦 ∈ ℝ)
3		zre 11979	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℝ)
4		peano2rem 10947	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 − 1) ∈ ℝ)
5	3, 4	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (𝑥 − 1) ∈ ℝ)
6		ltletr 10726	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑥 − 1) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (((𝑥 − 1) < 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝑦) → (𝑥 − 1) < 𝑦))
7	5, 6	syl3an1 1159	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (((𝑥 − 1) < 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝑦) → (𝑥 − 1) < 𝑦))
8	7	3expa 1114	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (((𝑥 − 1) < 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝑦) → (𝑥 − 1) < 𝑦))
9	2, 8	sylan2 594	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (((𝑥 − 1) < 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝑦) → (𝑥 − 1) < 𝑦))
10		zlem1lt 12028	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (𝑥 ≤ 𝑦 ↔ (𝑥 − 1) < 𝑦))
11	10	adantlr 713	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (𝑥 ≤ 𝑦 ↔ (𝑥 − 1) < 𝑦))
12	9, 11	sylibrd 261	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (((𝑥 − 1) < 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝑦) → 𝑥 ≤ 𝑦))
13	12	exp4b 433	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝑦 ∈ ℤ → ((𝑥 − 1) < 𝐴 → (𝐴 ≤ 𝑦 → 𝑥 ≤ 𝑦))))
14	13	com23 86	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((𝑥 − 1) < 𝐴 → (𝑦 ∈ ℤ → (𝐴 ≤ 𝑦 → 𝑥 ≤ 𝑦))))
15	14	ralrimdv 3188	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((𝑥 − 1) < 𝐴 → ∀𝑦 ∈ ℤ (𝐴 ≤ 𝑦 → 𝑥 ≤ 𝑦)))
16	5	ltnrd 10768	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → ¬ (𝑥 − 1) < (𝑥 − 1))
17		peano2zm 12019	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (𝑥 − 1) ∈ ℤ)
18		zlem1lt 12028	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑥 − 1) ∈ ℤ) → (𝑥 ≤ (𝑥 − 1) ↔ (𝑥 − 1) < (𝑥 − 1)))
19	17, 18	mpdan 685	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (𝑥 ≤ (𝑥 − 1) ↔ (𝑥 − 1) < (𝑥 − 1)))
20	16, 19	mtbird 327	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → ¬ 𝑥 ≤ (𝑥 − 1))
21	20	ad2antrr 724	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑦 ∈ ℤ (𝐴 ≤ 𝑦 → 𝑥 ≤ 𝑦)) → ¬ 𝑥 ≤ (𝑥 − 1))
22		lenlt 10713	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝑥 − 1) ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ (𝑥 − 1) ↔ ¬ (𝑥 − 1) < 𝐴))
23	5, 22	sylan2 594	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝐴 ≤ (𝑥 − 1) ↔ ¬ (𝑥 − 1) < 𝐴))
24	23	ancoms 461	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ (𝑥 − 1) ↔ ¬ (𝑥 − 1) < 𝐴))
25	24	adantr 483	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑦 ∈ ℤ (𝐴 ≤ 𝑦 → 𝑥 ≤ 𝑦)) → (𝐴 ≤ (𝑥 − 1) ↔ ¬ (𝑥 − 1) < 𝐴))
26		breq2 5063	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑦 = (𝑥 − 1) → (𝐴 ≤ 𝑦 ↔ 𝐴 ≤ (𝑥 − 1)))
27		breq2 5063	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑦 = (𝑥 − 1) → (𝑥 ≤ 𝑦 ↔ 𝑥 ≤ (𝑥 − 1)))
28	26, 27	imbi12d 347	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 = (𝑥 − 1) → ((𝐴 ≤ 𝑦 → 𝑥 ≤ 𝑦) ↔ (𝐴 ≤ (𝑥 − 1) → 𝑥 ≤ (𝑥 − 1))))
29	28	rspcv 3618	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 − 1) ∈ ℤ → (∀𝑦 ∈ ℤ (𝐴 ≤ 𝑦 → 𝑥 ≤ 𝑦) → (𝐴 ≤ (𝑥 − 1) → 𝑥 ≤ (𝑥 − 1))))
30	17, 29	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (∀𝑦 ∈ ℤ (𝐴 ≤ 𝑦 → 𝑥 ≤ 𝑦) → (𝐴 ≤ (𝑥 − 1) → 𝑥 ≤ (𝑥 − 1))))
31	30	imp 409	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ ∀𝑦 ∈ ℤ (𝐴 ≤ 𝑦 → 𝑥 ≤ 𝑦)) → (𝐴 ≤ (𝑥 − 1) → 𝑥 ≤ (𝑥 − 1)))
32	31	adantlr 713	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑦 ∈ ℤ (𝐴 ≤ 𝑦 → 𝑥 ≤ 𝑦)) → (𝐴 ≤ (𝑥 − 1) → 𝑥 ≤ (𝑥 − 1)))
33	25, 32	sylbird 262	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑦 ∈ ℤ (𝐴 ≤ 𝑦 → 𝑥 ≤ 𝑦)) → (¬ (𝑥 − 1) < 𝐴 → 𝑥 ≤ (𝑥 − 1)))
34	21, 33	mt3d 150	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑦 ∈ ℤ (𝐴 ≤ 𝑦 → 𝑥 ≤ 𝑦)) → (𝑥 − 1) < 𝐴)
35	34	ex 415	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (∀𝑦 ∈ ℤ (𝐴 ≤ 𝑦 → 𝑥 ≤ 𝑦) → (𝑥 − 1) < 𝐴))
36	15, 35	impbid 214	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((𝑥 − 1) < 𝐴 ↔ ∀𝑦 ∈ ℤ (𝐴 ≤ 𝑦 → 𝑥 ≤ 𝑦)))
37		1re 10635	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℝ
38		ltsubadd 11104	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((𝑥 − 1) < 𝐴 ↔ 𝑥 < (𝐴 + 1)))
39	37, 38	mp3an2 1445	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((𝑥 − 1) < 𝐴 ↔ 𝑥 < (𝐴 + 1)))
40	3, 39	sylan 582	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((𝑥 − 1) < 𝐴 ↔ 𝑥 < (𝐴 + 1)))
41	36, 40	bitr3d 283	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (∀𝑦 ∈ ℤ (𝐴 ≤ 𝑦 → 𝑥 ≤ 𝑦) ↔ 𝑥 < (𝐴 + 1)))
42	41	ancoms 461	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (∀𝑦 ∈ ℤ (𝐴 ≤ 𝑦 → 𝑥 ≤ 𝑦) ↔ 𝑥 < (𝐴 + 1)))
43	42	anbi2d 630	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((𝐴 ≤ 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℤ (𝐴 ≤ 𝑦 → 𝑥 ≤ 𝑦)) ↔ (𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 < (𝐴 + 1))))
44	43	reubidva 3389	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (∃!𝑥 ∈ ℤ (𝐴 ≤ 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℤ (𝐴 ≤ 𝑦 → 𝑥 ≤ 𝑦)) ↔ ∃!𝑥 ∈ ℤ (𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 < (𝐴 + 1))))
45	1, 44	mpbid 234	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ∃!𝑥 ∈ ℤ (𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 < (𝐴 + 1)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   = wceq 1533   ∈ wcel 2110  ∀wral 3138  ∃!wreu 3140   class class class wbr 5059  (class class class)co 7150  ℝcr 10530  1c1 10532   + caddc 10534   < clt 10669   ≤ cle 10670   − cmin 10864  ℤcz 11975

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2156  ax-12 2172  ax-ext 2793  ax-sep 5196  ax-nul 5203  ax-pow 5259  ax-pr 5322  ax-un 7455  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608  ax-pre-sup 10609

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3497  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4833  df-iun 4914  df-br 5060  df-opab 5122  df-mpt 5140  df-tr 5166  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5469  df-so 5470  df-fr 5509  df-we 5511  df-xp 5556  df-rel 5557  df-cnv 5558  df-co 5559  df-dm 5560  df-rn 5561  df-res 5562  df-ima 5563  df-pred 6143  df-ord 6189  df-on 6190  df-lim 6191  df-suc 6192  df-iota 6309  df-fun 6352  df-fn 6353  df-f 6354  df-f1 6355  df-fo 6356  df-f1o 6357  df-fv 6358  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7575  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-er 8283  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-sup 8900  df-inf 8901  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-nn 11633  df-n0 11892  df-z 11976  df-uz 12238

This theorem is referenced by:  rebtwnz  12341  qbtwnre  12586  dfceil2  13203