Theorem ovolioo 25447

Description: The measure of an open interval. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
ovolioo	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (vol*‘(𝐴(,)𝐵)) = (𝐵 − 𝐴))

Proof of Theorem ovolioo

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ioombl 25444	. . 3 ⊢ (𝐴(,)𝐵) ∈ dom vol
2		mblvol 25409	. . 3 ⊢ ((𝐴(,)𝐵) ∈ dom vol → (vol‘(𝐴(,)𝐵)) = (vol*‘(𝐴(,)𝐵)))
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ (vol‘(𝐴(,)𝐵)) = (vol*‘(𝐴(,)𝐵))
4		iccmbl 25445	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴[,]𝐵) ∈ dom vol)
5		mblvol 25409	. . . . 5 ⊢ ((𝐴[,]𝐵) ∈ dom vol → (vol‘(𝐴[,]𝐵)) = (vol*‘(𝐴[,]𝐵)))
6	4, 5	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (vol‘(𝐴[,]𝐵)) = (vol*‘(𝐴[,]𝐵)))
7	6	3adant3 1129	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (vol‘(𝐴[,]𝐵)) = (vol*‘(𝐴[,]𝐵)))
8	1	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (𝐴(,)𝐵) ∈ dom vol)
9		prssi 4819	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → {𝐴, 𝐵} ⊆ ℝ)
10	9	3adant3 1129	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → {𝐴, 𝐵} ⊆ ℝ)
11		prfi 9321	. . . . . . 7 ⊢ {𝐴, 𝐵} ∈ Fin
12		ovolfi 25373	. . . . . . 7 ⊢ (({𝐴, 𝐵} ∈ Fin ∧ {𝐴, 𝐵} ⊆ ℝ) → (vol*‘{𝐴, 𝐵}) = 0)
13	11, 10, 12	sylancr 586	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (vol*‘{𝐴, 𝐵}) = 0)
14		nulmbl 25414	. . . . . 6 ⊢ (({𝐴, 𝐵} ⊆ ℝ ∧ (vol*‘{𝐴, 𝐵}) = 0) → {𝐴, 𝐵} ∈ dom vol)
15	10, 13, 14	syl2anc 583	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → {𝐴, 𝐵} ∈ dom vol)
16		df-pr 4626	. . . . . . . 8 ⊢ {𝐴, 𝐵} = ({𝐴} ∪ {𝐵})
17	16	ineq2i 4204	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴(,)𝐵) ∩ {𝐴, 𝐵}) = ((𝐴(,)𝐵) ∩ ({𝐴} ∪ {𝐵}))
18		indi 4268	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴(,)𝐵) ∩ ({𝐴} ∪ {𝐵})) = (((𝐴(,)𝐵) ∩ {𝐴}) ∪ ((𝐴(,)𝐵) ∩ {𝐵}))
19	17, 18	eqtri 2754	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴(,)𝐵) ∩ {𝐴, 𝐵}) = (((𝐴(,)𝐵) ∩ {𝐴}) ∪ ((𝐴(,)𝐵) ∩ {𝐵}))
20		simp1 1133	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → 𝐴 ∈ ℝ)
21	20	ltnrd 11349	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → ¬ 𝐴 < 𝐴)
22		eliooord 13386	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐴(,)𝐵) → (𝐴 < 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵))
23	22	simpld 494	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 𝐴 < 𝐴)
24	21, 23	nsyl 140	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → ¬ 𝐴 ∈ (𝐴(,)𝐵))
25		disjsn 4710	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴(,)𝐵) ∩ {𝐴}) = ∅ ↔ ¬ 𝐴 ∈ (𝐴(,)𝐵))
26	24, 25	sylibr 233	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → ((𝐴(,)𝐵) ∩ {𝐴}) = ∅)
27		simp2 1134	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ)
28	27	ltnrd 11349	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → ¬ 𝐵 < 𝐵)
29		eliooord 13386	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 ∈ (𝐴(,)𝐵) → (𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐵))
30	29	simprd 495	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 𝐵 < 𝐵)
31	28, 30	nsyl 140	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → ¬ 𝐵 ∈ (𝐴(,)𝐵))
32		disjsn 4710	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴(,)𝐵) ∩ {𝐵}) = ∅ ↔ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴(,)𝐵))
33	31, 32	sylibr 233	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → ((𝐴(,)𝐵) ∩ {𝐵}) = ∅)
34	26, 33	uneq12d 4159	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (((𝐴(,)𝐵) ∩ {𝐴}) ∪ ((𝐴(,)𝐵) ∩ {𝐵})) = (∅ ∪ ∅))
35		un0 4385	. . . . . . 7 ⊢ (∅ ∪ ∅) = ∅
36	34, 35	eqtrdi 2782	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (((𝐴(,)𝐵) ∩ {𝐴}) ∪ ((𝐴(,)𝐵) ∩ {𝐵})) = ∅)
37	19, 36	eqtrid 2778	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → ((𝐴(,)𝐵) ∩ {𝐴, 𝐵}) = ∅)
38		ioossicc 13413	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵)
39		iccssre 13409	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
40	39	3adant3 1129	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
41		ovolicc 25402	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (vol*‘(𝐴[,]𝐵)) = (𝐵 − 𝐴))
42	27, 20	resubcld 11643	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (𝐵 − 𝐴) ∈ ℝ)
43	41, 42	eqeltrd 2827	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (vol*‘(𝐴[,]𝐵)) ∈ ℝ)
44		ovolsscl 25365	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵) ∧ (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ ∧ (vol*‘(𝐴[,]𝐵)) ∈ ℝ) → (vol*‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ)
45	38, 40, 43, 44	mp3an2i 1462	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (vol*‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ)
46	3, 45	eqeltrid 2831	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (vol‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ)
47		mblvol 25409	. . . . . . . 8 ⊢ ({𝐴, 𝐵} ∈ dom vol → (vol‘{𝐴, 𝐵}) = (vol*‘{𝐴, 𝐵}))
48	15, 47	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (vol‘{𝐴, 𝐵}) = (vol*‘{𝐴, 𝐵}))
49	48, 13	eqtrd 2766	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (vol‘{𝐴, 𝐵}) = 0)
50		0re 11217	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℝ
51	49, 50	eqeltrdi 2835	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (vol‘{𝐴, 𝐵}) ∈ ℝ)
52		volun 25424	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴(,)𝐵) ∈ dom vol ∧ {𝐴, 𝐵} ∈ dom vol ∧ ((𝐴(,)𝐵) ∩ {𝐴, 𝐵}) = ∅) ∧ ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ ∧ (vol‘{𝐴, 𝐵}) ∈ ℝ)) → (vol‘((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐴, 𝐵})) = ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + (vol‘{𝐴, 𝐵})))
53	8, 15, 37, 46, 51, 52	syl32anc 1375	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (vol‘((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐴, 𝐵})) = ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + (vol‘{𝐴, 𝐵})))
54		rexr 11261	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ*)
55		rexr 11261	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℝ*)
56		id 22	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ≤ 𝐵 → 𝐴 ≤ 𝐵)
57		prunioo 13461	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐴, 𝐵}) = (𝐴[,]𝐵))
58	54, 55, 56, 57	syl3an 1157	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐴, 𝐵}) = (𝐴[,]𝐵))
59	58	fveq2d 6888	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (vol‘((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐴, 𝐵})) = (vol‘(𝐴[,]𝐵)))
60	49	oveq2d 7420	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + (vol‘{𝐴, 𝐵})) = ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + 0))
61	46	recnd 11243	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (vol‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℂ)
62	61	addridd 11415	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + 0) = (vol‘(𝐴(,)𝐵)))
63	60, 62	eqtrd 2766	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + (vol‘{𝐴, 𝐵})) = (vol‘(𝐴(,)𝐵)))
64	53, 59, 63	3eqtr3d 2774	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (vol‘(𝐴[,]𝐵)) = (vol‘(𝐴(,)𝐵)))
65	7, 64, 41	3eqtr3d 2774	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (vol‘(𝐴(,)𝐵)) = (𝐵 − 𝐴))
66	3, 65	eqtr3id 2780	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (vol*‘(𝐴(,)𝐵)) = (𝐵 − 𝐴))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ∪ cun 3941   ∩ cin 3942   ⊆ wss 3943  ∅c0 4317  {csn 4623  {cpr 4625   class class class wbr 5141  dom cdm 5669  ‘cfv 6536  (class class class)co 7404  Fincfn 8938  ℝcr 11108  0cc0 11109   + caddc 11112  ℝ^*cxr 11248   < clt 11249   ≤ cle 11250   − cmin 11445  (,)cioo 13327  [,]cicc 13330  vol*covol 25341  volcvol 25342

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-inf2 9635  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-of 7666  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-1o 8464  df-2o 8465  df-er 8702  df-map 8821  df-pm 8822  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-fi 9405  df-sup 9436  df-inf 9437  df-oi 9504  df-dju 9895  df-card 9933  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-div 11873  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-n0 12474  df-z 12560  df-uz 12824  df-q 12934  df-rp 12978  df-xneg 13095  df-xadd 13096  df-xmul 13097  df-ioo 13331  df-ico 13333  df-icc 13334  df-fz 13488  df-fzo 13631  df-fl 13760  df-seq 13970  df-exp 14030  df-hash 14293  df-cj 15049  df-re 15050  df-im 15051  df-sqrt 15185  df-abs 15186  df-clim 15435  df-rlim 15436  df-sum 15636  df-rest 17374  df-topgen 17395  df-psmet 21227  df-xmet 21228  df-met 21229  df-bl 21230  df-mopn 21231  df-top 22746  df-topon 22763  df-bases 22799  df-cmp 23241  df-ovol 25343  df-vol 25344

This theorem is referenced by:  volioo  25448  ioovolcl  25449  ovolfs2  25450  ioorcl2  25451  uniioovol  25458  uniioombllem2  25462  uniioombllem3a  25463  uniioombllem4  25465  uniioombllem6  25467  ftc1lem4  25924  itg2gt0cn  37055  ftc1cnnclem  37071  ftc1anclem7  37079