Theorem ovolioo 25622

Description: The measure of an open interval. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
ovolioo	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (vol*‘(𝐴(,)𝐵)) = (𝐵 − 𝐴))

Proof of Theorem ovolioo

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ioombl 25619	. . 3 ⊢ (𝐴(,)𝐵) ∈ dom vol
2		mblvol 25584	. . 3 ⊢ ((𝐴(,)𝐵) ∈ dom vol → (vol‘(𝐴(,)𝐵)) = (vol*‘(𝐴(,)𝐵)))
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ (vol‘(𝐴(,)𝐵)) = (vol*‘(𝐴(,)𝐵))
4		iccmbl 25620	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴[,]𝐵) ∈ dom vol)
5		mblvol 25584	. . . . 5 ⊢ ((𝐴[,]𝐵) ∈ dom vol → (vol‘(𝐴[,]𝐵)) = (vol*‘(𝐴[,]𝐵)))
6	4, 5	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (vol‘(𝐴[,]𝐵)) = (vol*‘(𝐴[,]𝐵)))
7	6	3adant3 1132	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (vol‘(𝐴[,]𝐵)) = (vol*‘(𝐴[,]𝐵)))
8	1	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (𝐴(,)𝐵) ∈ dom vol)
9		prssi 4846	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → {𝐴, 𝐵} ⊆ ℝ)
10	9	3adant3 1132	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → {𝐴, 𝐵} ⊆ ℝ)
11		prfi 9391	. . . . . . 7 ⊢ {𝐴, 𝐵} ∈ Fin
12		ovolfi 25548	. . . . . . 7 ⊢ (({𝐴, 𝐵} ∈ Fin ∧ {𝐴, 𝐵} ⊆ ℝ) → (vol*‘{𝐴, 𝐵}) = 0)
13	11, 10, 12	sylancr 586	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (vol*‘{𝐴, 𝐵}) = 0)
14		nulmbl 25589	. . . . . 6 ⊢ (({𝐴, 𝐵} ⊆ ℝ ∧ (vol*‘{𝐴, 𝐵}) = 0) → {𝐴, 𝐵} ∈ dom vol)
15	10, 13, 14	syl2anc 583	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → {𝐴, 𝐵} ∈ dom vol)
16		df-pr 4651	. . . . . . . 8 ⊢ {𝐴, 𝐵} = ({𝐴} ∪ {𝐵})
17	16	ineq2i 4238	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴(,)𝐵) ∩ {𝐴, 𝐵}) = ((𝐴(,)𝐵) ∩ ({𝐴} ∪ {𝐵}))
18		indi 4303	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴(,)𝐵) ∩ ({𝐴} ∪ {𝐵})) = (((𝐴(,)𝐵) ∩ {𝐴}) ∪ ((𝐴(,)𝐵) ∩ {𝐵}))
19	17, 18	eqtri 2768	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴(,)𝐵) ∩ {𝐴, 𝐵}) = (((𝐴(,)𝐵) ∩ {𝐴}) ∪ ((𝐴(,)𝐵) ∩ {𝐵}))
20		simp1 1136	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → 𝐴 ∈ ℝ)
21	20	ltnrd 11424	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → ¬ 𝐴 < 𝐴)
22		eliooord 13466	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐴(,)𝐵) → (𝐴 < 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵))
23	22	simpld 494	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 𝐴 < 𝐴)
24	21, 23	nsyl 140	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → ¬ 𝐴 ∈ (𝐴(,)𝐵))
25		disjsn 4736	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴(,)𝐵) ∩ {𝐴}) = ∅ ↔ ¬ 𝐴 ∈ (𝐴(,)𝐵))
26	24, 25	sylibr 234	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → ((𝐴(,)𝐵) ∩ {𝐴}) = ∅)
27		simp2 1137	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ)
28	27	ltnrd 11424	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → ¬ 𝐵 < 𝐵)
29		eliooord 13466	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 ∈ (𝐴(,)𝐵) → (𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐵))
30	29	simprd 495	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 𝐵 < 𝐵)
31	28, 30	nsyl 140	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → ¬ 𝐵 ∈ (𝐴(,)𝐵))
32		disjsn 4736	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴(,)𝐵) ∩ {𝐵}) = ∅ ↔ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴(,)𝐵))
33	31, 32	sylibr 234	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → ((𝐴(,)𝐵) ∩ {𝐵}) = ∅)
34	26, 33	uneq12d 4192	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (((𝐴(,)𝐵) ∩ {𝐴}) ∪ ((𝐴(,)𝐵) ∩ {𝐵})) = (∅ ∪ ∅))
35		un0 4417	. . . . . . 7 ⊢ (∅ ∪ ∅) = ∅
36	34, 35	eqtrdi 2796	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (((𝐴(,)𝐵) ∩ {𝐴}) ∪ ((𝐴(,)𝐵) ∩ {𝐵})) = ∅)
37	19, 36	eqtrid 2792	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → ((𝐴(,)𝐵) ∩ {𝐴, 𝐵}) = ∅)
38		ioossicc 13493	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵)
39		iccssre 13489	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
40	39	3adant3 1132	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
41		ovolicc 25577	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (vol*‘(𝐴[,]𝐵)) = (𝐵 − 𝐴))
42	27, 20	resubcld 11718	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (𝐵 − 𝐴) ∈ ℝ)
43	41, 42	eqeltrd 2844	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (vol*‘(𝐴[,]𝐵)) ∈ ℝ)
44		ovolsscl 25540	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵) ∧ (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ ∧ (vol*‘(𝐴[,]𝐵)) ∈ ℝ) → (vol*‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ)
45	38, 40, 43, 44	mp3an2i 1466	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (vol*‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ)
46	3, 45	eqeltrid 2848	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (vol‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ)
47		mblvol 25584	. . . . . . . 8 ⊢ ({𝐴, 𝐵} ∈ dom vol → (vol‘{𝐴, 𝐵}) = (vol*‘{𝐴, 𝐵}))
48	15, 47	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (vol‘{𝐴, 𝐵}) = (vol*‘{𝐴, 𝐵}))
49	48, 13	eqtrd 2780	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (vol‘{𝐴, 𝐵}) = 0)
50		0re 11292	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℝ
51	49, 50	eqeltrdi 2852	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (vol‘{𝐴, 𝐵}) ∈ ℝ)
52		volun 25599	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴(,)𝐵) ∈ dom vol ∧ {𝐴, 𝐵} ∈ dom vol ∧ ((𝐴(,)𝐵) ∩ {𝐴, 𝐵}) = ∅) ∧ ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ ∧ (vol‘{𝐴, 𝐵}) ∈ ℝ)) → (vol‘((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐴, 𝐵})) = ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + (vol‘{𝐴, 𝐵})))
53	8, 15, 37, 46, 51, 52	syl32anc 1378	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (vol‘((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐴, 𝐵})) = ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + (vol‘{𝐴, 𝐵})))
54		rexr 11336	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ*)
55		rexr 11336	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℝ*)
56		id 22	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ≤ 𝐵 → 𝐴 ≤ 𝐵)
57		prunioo 13541	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐴, 𝐵}) = (𝐴[,]𝐵))
58	54, 55, 56, 57	syl3an 1160	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐴, 𝐵}) = (𝐴[,]𝐵))
59	58	fveq2d 6924	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (vol‘((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐴, 𝐵})) = (vol‘(𝐴[,]𝐵)))
60	49	oveq2d 7464	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + (vol‘{𝐴, 𝐵})) = ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + 0))
61	46	recnd 11318	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (vol‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℂ)
62	61	addridd 11490	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + 0) = (vol‘(𝐴(,)𝐵)))
63	60, 62	eqtrd 2780	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + (vol‘{𝐴, 𝐵})) = (vol‘(𝐴(,)𝐵)))
64	53, 59, 63	3eqtr3d 2788	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (vol‘(𝐴[,]𝐵)) = (vol‘(𝐴(,)𝐵)))
65	7, 64, 41	3eqtr3d 2788	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (vol‘(𝐴(,)𝐵)) = (𝐵 − 𝐴))
66	3, 65	eqtr3id 2794	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (vol*‘(𝐴(,)𝐵)) = (𝐵 − 𝐴))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1537   ∈ wcel 2108   ∪ cun 3974   ∩ cin 3975   ⊆ wss 3976  ∅c0 4352  {csn 4648  {cpr 4650   class class class wbr 5166  dom cdm 5700  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  Fincfn 9003  ℝcr 11183  0cc0 11184   + caddc 11187  ℝ^*cxr 11323   < clt 11324   ≤ cle 11325   − cmin 11520  (,)cioo 13407  [,]cicc 13410  vol*covol 25516  volcvol 25517

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-inf2 9710  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261  ax-pre-sup 11262

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-se 5653  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-isom 6582  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-of 7714  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-2o 8523  df-er 8763  df-map 8886  df-pm 8887  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-fi 9480  df-sup 9511  df-inf 9512  df-oi 9579  df-dju 9970  df-card 10008  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-div 11948  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-n0 12554  df-z 12640  df-uz 12904  df-q 13014  df-rp 13058  df-xneg 13175  df-xadd 13176  df-xmul 13177  df-ioo 13411  df-ico 13413  df-icc 13414  df-fz 13568  df-fzo 13712  df-fl 13843  df-seq 14053  df-exp 14113  df-hash 14380  df-cj 15148  df-re 15149  df-im 15150  df-sqrt 15284  df-abs 15285  df-clim 15534  df-rlim 15535  df-sum 15735  df-rest 17482  df-topgen 17503  df-psmet 21379  df-xmet 21380  df-met 21381  df-bl 21382  df-mopn 21383  df-top 22921  df-topon 22938  df-bases 22974  df-cmp 23416  df-ovol 25518  df-vol 25519

This theorem is referenced by:  volioo  25623  ioovolcl  25624  ovolfs2  25625  ioorcl2  25626  uniioovol  25633  uniioombllem2  25637  uniioombllem3a  25638  uniioombllem4  25640  uniioombllem6  25642  ftc1lem4  26100  itg2gt0cn  37635  ftc1cnnclem  37651  ftc1anclem7  37659