Theorem ovolioo 25537

Description: The measure of an open interval. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
ovolioo	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (vol*‘(𝐴(,)𝐵)) = (𝐵 − 𝐴))

Proof of Theorem ovolioo

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ioombl 25534	. . 3 ⊢ (𝐴(,)𝐵) ∈ dom vol
2		mblvol 25499	. . 3 ⊢ ((𝐴(,)𝐵) ∈ dom vol → (vol‘(𝐴(,)𝐵)) = (vol*‘(𝐴(,)𝐵)))
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ (vol‘(𝐴(,)𝐵)) = (vol*‘(𝐴(,)𝐵))
4		iccmbl 25535	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴[,]𝐵) ∈ dom vol)
5		mblvol 25499	. . . . 5 ⊢ ((𝐴[,]𝐵) ∈ dom vol → (vol‘(𝐴[,]𝐵)) = (vol*‘(𝐴[,]𝐵)))
6	4, 5	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (vol‘(𝐴[,]𝐵)) = (vol*‘(𝐴[,]𝐵)))
7	6	3adant3 1133	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (vol‘(𝐴[,]𝐵)) = (vol*‘(𝐴[,]𝐵)))
8	1	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (𝐴(,)𝐵) ∈ dom vol)
9		prssi 4779	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → {𝐴, 𝐵} ⊆ ℝ)
10	9	3adant3 1133	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → {𝐴, 𝐵} ⊆ ℝ)
11		prfi 9236	. . . . . . 7 ⊢ {𝐴, 𝐵} ∈ Fin
12		ovolfi 25463	. . . . . . 7 ⊢ (({𝐴, 𝐵} ∈ Fin ∧ {𝐴, 𝐵} ⊆ ℝ) → (vol*‘{𝐴, 𝐵}) = 0)
13	11, 10, 12	sylancr 588	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (vol*‘{𝐴, 𝐵}) = 0)
14		nulmbl 25504	. . . . . 6 ⊢ (({𝐴, 𝐵} ⊆ ℝ ∧ (vol*‘{𝐴, 𝐵}) = 0) → {𝐴, 𝐵} ∈ dom vol)
15	10, 13, 14	syl2anc 585	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → {𝐴, 𝐵} ∈ dom vol)
16		df-pr 4585	. . . . . . . 8 ⊢ {𝐴, 𝐵} = ({𝐴} ∪ {𝐵})
17	16	ineq2i 4171	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴(,)𝐵) ∩ {𝐴, 𝐵}) = ((𝐴(,)𝐵) ∩ ({𝐴} ∪ {𝐵}))
18		indi 4238	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴(,)𝐵) ∩ ({𝐴} ∪ {𝐵})) = (((𝐴(,)𝐵) ∩ {𝐴}) ∪ ((𝐴(,)𝐵) ∩ {𝐵}))
19	17, 18	eqtri 2760	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴(,)𝐵) ∩ {𝐴, 𝐵}) = (((𝐴(,)𝐵) ∩ {𝐴}) ∪ ((𝐴(,)𝐵) ∩ {𝐵}))
20		simp1 1137	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → 𝐴 ∈ ℝ)
21	20	ltnrd 11279	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → ¬ 𝐴 < 𝐴)
22		eliooord 13333	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐴(,)𝐵) → (𝐴 < 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵))
23	22	simpld 494	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 𝐴 < 𝐴)
24	21, 23	nsyl 140	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → ¬ 𝐴 ∈ (𝐴(,)𝐵))
25		disjsn 4670	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴(,)𝐵) ∩ {𝐴}) = ∅ ↔ ¬ 𝐴 ∈ (𝐴(,)𝐵))
26	24, 25	sylibr 234	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → ((𝐴(,)𝐵) ∩ {𝐴}) = ∅)
27		simp2 1138	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ)
28	27	ltnrd 11279	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → ¬ 𝐵 < 𝐵)
29		eliooord 13333	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 ∈ (𝐴(,)𝐵) → (𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐵))
30	29	simprd 495	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 𝐵 < 𝐵)
31	28, 30	nsyl 140	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → ¬ 𝐵 ∈ (𝐴(,)𝐵))
32		disjsn 4670	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴(,)𝐵) ∩ {𝐵}) = ∅ ↔ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴(,)𝐵))
33	31, 32	sylibr 234	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → ((𝐴(,)𝐵) ∩ {𝐵}) = ∅)
34	26, 33	uneq12d 4123	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (((𝐴(,)𝐵) ∩ {𝐴}) ∪ ((𝐴(,)𝐵) ∩ {𝐵})) = (∅ ∪ ∅))
35		un0 4348	. . . . . . 7 ⊢ (∅ ∪ ∅) = ∅
36	34, 35	eqtrdi 2788	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (((𝐴(,)𝐵) ∩ {𝐴}) ∪ ((𝐴(,)𝐵) ∩ {𝐵})) = ∅)
37	19, 36	eqtrid 2784	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → ((𝐴(,)𝐵) ∩ {𝐴, 𝐵}) = ∅)
38		ioossicc 13361	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵)
39		iccssre 13357	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
40	39	3adant3 1133	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
41		ovolicc 25492	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (vol*‘(𝐴[,]𝐵)) = (𝐵 − 𝐴))
42	27, 20	resubcld 11577	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (𝐵 − 𝐴) ∈ ℝ)
43	41, 42	eqeltrd 2837	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (vol*‘(𝐴[,]𝐵)) ∈ ℝ)
44		ovolsscl 25455	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵) ∧ (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ ∧ (vol*‘(𝐴[,]𝐵)) ∈ ℝ) → (vol*‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ)
45	38, 40, 43, 44	mp3an2i 1469	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (vol*‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ)
46	3, 45	eqeltrid 2841	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (vol‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ)
47		mblvol 25499	. . . . . . . 8 ⊢ ({𝐴, 𝐵} ∈ dom vol → (vol‘{𝐴, 𝐵}) = (vol*‘{𝐴, 𝐵}))
48	15, 47	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (vol‘{𝐴, 𝐵}) = (vol*‘{𝐴, 𝐵}))
49	48, 13	eqtrd 2772	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (vol‘{𝐴, 𝐵}) = 0)
50		0re 11146	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℝ
51	49, 50	eqeltrdi 2845	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (vol‘{𝐴, 𝐵}) ∈ ℝ)
52		volun 25514	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴(,)𝐵) ∈ dom vol ∧ {𝐴, 𝐵} ∈ dom vol ∧ ((𝐴(,)𝐵) ∩ {𝐴, 𝐵}) = ∅) ∧ ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ ∧ (vol‘{𝐴, 𝐵}) ∈ ℝ)) → (vol‘((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐴, 𝐵})) = ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + (vol‘{𝐴, 𝐵})))
53	8, 15, 37, 46, 51, 52	syl32anc 1381	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (vol‘((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐴, 𝐵})) = ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + (vol‘{𝐴, 𝐵})))
54		rexr 11190	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ*)
55		rexr 11190	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℝ*)
56		id 22	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ≤ 𝐵 → 𝐴 ≤ 𝐵)
57		prunioo 13409	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐴, 𝐵}) = (𝐴[,]𝐵))
58	54, 55, 56, 57	syl3an 1161	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐴, 𝐵}) = (𝐴[,]𝐵))
59	58	fveq2d 6846	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (vol‘((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐴, 𝐵})) = (vol‘(𝐴[,]𝐵)))
60	49	oveq2d 7384	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + (vol‘{𝐴, 𝐵})) = ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + 0))
61	46	recnd 11172	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (vol‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℂ)
62	61	addridd 11345	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + 0) = (vol‘(𝐴(,)𝐵)))
63	60, 62	eqtrd 2772	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + (vol‘{𝐴, 𝐵})) = (vol‘(𝐴(,)𝐵)))
64	53, 59, 63	3eqtr3d 2780	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (vol‘(𝐴[,]𝐵)) = (vol‘(𝐴(,)𝐵)))
65	7, 64, 41	3eqtr3d 2780	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (vol‘(𝐴(,)𝐵)) = (𝐵 − 𝐴))
66	3, 65	eqtr3id 2786	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (vol*‘(𝐴(,)𝐵)) = (𝐵 − 𝐴))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ∪ cun 3901   ∩ cin 3902   ⊆ wss 3903  ∅c0 4287  {csn 4582  {cpr 4584   class class class wbr 5100  dom cdm 5632  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368  Fincfn 8895  ℝcr 11037  0cc0 11038   + caddc 11041  ℝ^*cxr 11177   < clt 11178   ≤ cle 11179   − cmin 11376  (,)cioo 13273  [,]cicc 13276  vol*covol 25431  volcvol 25432

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-inf2 9562  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-se 5586  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-of 7632  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-1o 8407  df-2o 8408  df-er 8645  df-map 8777  df-pm 8778  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-fi 9326  df-sup 9357  df-inf 9358  df-oi 9427  df-dju 9825  df-card 9863  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-div 11807  df-nn 12158  df-2 12220  df-3 12221  df-n0 12414  df-z 12501  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12918  df-xneg 13038  df-xadd 13039  df-xmul 13040  df-ioo 13277  df-ico 13279  df-icc 13280  df-fz 13436  df-fzo 13583  df-fl 13724  df-seq 13937  df-exp 13997  df-hash 14266  df-cj 15034  df-re 15035  df-im 15036  df-sqrt 15170  df-abs 15171  df-clim 15423  df-rlim 15424  df-sum 15622  df-rest 17354  df-topgen 17375  df-psmet 21313  df-xmet 21314  df-met 21315  df-bl 21316  df-mopn 21317  df-top 22850  df-topon 22867  df-bases 22902  df-cmp 23343  df-ovol 25433  df-vol 25434

This theorem is referenced by:  volioo  25538  ioovolcl  25539  ovolfs2  25540  ioorcl2  25541  uniioovol  25548  uniioombllem2  25552  uniioombllem3a  25553  uniioombllem4  25555  uniioombllem6  25557  ftc1lem4  26014  itg2gt0cn  37926  ftc1cnnclem  37942  ftc1anclem7  37950