Theorem sqrtcval 43136

Description: Explicit formula for the complex square root in terms of the square root of nonnegative reals. The right-hand side is decomposed into real and imaginary parts in the format expected by crrei 15171 and crimi 15172. This formula can be found in section 3.7.27 of Handbook of Mathematical Functions, ed. M. Abramowitz and I. A. Stegun (1965, Dover Press). (Contributed by RP, 18-May-2024.)

Assertion

Ref	Expression
sqrtcval	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (√‘𝐴) = ((√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2)) + (i · (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2))))))

Proof of Theorem sqrtcval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sqrtcvallem5 43135	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2)) ∈ ℝ)
2	1	recnd 11272	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2)) ∈ ℂ)
3		ax-icn 11197	. . . . . 6 ⊢ i ∈ ℂ
4	3	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → i ∈ ℂ)
5		neg1rr 12357	. . . . . . . . 9 ⊢ -1 ∈ ℝ
6		1re 11244	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℝ
7	5, 6	ifcli 4576	. . . . . . . 8 ⊢ if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) ∈ ℝ
8	7	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) ∈ ℝ)
9		sqrtcvallem3 43133	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2)) ∈ ℝ)
10	8, 9	remulcld 11274	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2))) ∈ ℝ)
11	10	recnd 11272	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2))) ∈ ℂ)
12	4, 11	mulcld 11264	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (i · (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2)))) ∈ ℂ)
13	2, 12	addcld 11263	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2)) + (i · (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2))))) ∈ ℂ)
14		id 22	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 𝐴 ∈ ℂ)
15		binom2 14212	. . . . 5 ⊢ (((√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2)) ∈ ℂ ∧ (i · (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2)))) ∈ ℂ) → (((√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2)) + (i · (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2)))))↑2) = ((((√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2))↑2) + (2 · ((√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2)) · (i · (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2))))))) + ((i · (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2))))↑2)))
16	2, 12, 15	syl2anc 582	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2)) + (i · (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2)))))↑2) = ((((√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2))↑2) + (2 · ((√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2)) · (i · (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2))))))) + ((i · (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2))))↑2)))
17		abscl 15257	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
18		recl 15089	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ)
19	17, 18	readdcld 11273	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) ∈ ℝ)
20	19	rehalfcld 12489	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2) ∈ ℝ)
21	20	recnd 11272	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2) ∈ ℂ)
22	21	sqsqrtd 15418	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2))↑2) = (((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2))
23	4, 11	sqmuld 14154	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((i · (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2))))↑2) = ((i↑2) · ((if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2)))↑2)))
24		i2 14197	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (i↑2) = -1
25	24	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (i↑2) = -1)
26	8	recnd 11272	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) ∈ ℂ)
27	9	recnd 11272	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2)) ∈ ℂ)
28	26, 27	sqmuld 14154	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2)))↑2) = ((if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1)↑2) · ((√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2))↑2)))
29		ovif 7516	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1)↑2) = if((ℑ‘𝐴) < 0, (-1↑2), (1↑2))
30		neg1sqe1 14191	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (-1↑2) = 1
31		sq1 14190	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (1↑2) = 1
32		ifeq12 4547	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((-1↑2) = 1 ∧ (1↑2) = 1) → if((ℑ‘𝐴) < 0, (-1↑2), (1↑2)) = if((ℑ‘𝐴) < 0, 1, 1))
33	30, 31, 32	mp2an 690	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ if((ℑ‘𝐴) < 0, (-1↑2), (1↑2)) = if((ℑ‘𝐴) < 0, 1, 1)
34		ifid 4569	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ if((ℑ‘𝐴) < 0, 1, 1) = 1
35	29, 33, 34	3eqtri 2757	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1)↑2) = 1
36	35	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1)↑2) = 1)
37	17, 18	resubcld 11672	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) ∈ ℝ)
38	37	rehalfcld 12489	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2) ∈ ℝ)
39	38	recnd 11272	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2) ∈ ℂ)
40	39	sqsqrtd 15418	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2))↑2) = (((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2))
41	36, 40	oveq12d 7435	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1)↑2) · ((√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2))↑2)) = (1 · (((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2)))
42	39	mullidd 11262	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (1 · (((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2)) = (((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2))
43	28, 41, 42	3eqtrd 2769	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2)))↑2) = (((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2))
44	25, 43	oveq12d 7435	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((i↑2) · ((if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2)))↑2)) = (-1 · (((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2)))
45	39	mulm1d 11696	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (-1 · (((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2)) = -(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2))
46	23, 44, 45	3eqtrd 2769	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((i · (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2))))↑2) = -(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2))
47	22, 46	oveq12d 7435	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2))↑2) + ((i · (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2))))↑2)) = ((((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2) + -(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2)))
48	21, 39	negsubd 11607	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2) + -(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2)) = ((((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2) − (((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2)))
49	17	recnd 11272	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘𝐴) ∈ ℂ)
50	18	recnd 11272	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘𝐴) ∈ ℂ)
51	49, 50, 50	pnncand 11640	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) − ((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴))) = ((ℜ‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)))
52	50	2timesd 12485	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (2 · (ℜ‘𝐴)) = ((ℜ‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)))
53	51, 52	eqtr4d 2768	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) − ((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴))) = (2 · (ℜ‘𝐴)))
54	53	oveq1d 7432	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) − ((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴))) / 2) = ((2 · (ℜ‘𝐴)) / 2))
55	19	recnd 11272	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) ∈ ℂ)
56	37	recnd 11272	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) ∈ ℂ)
57		2cnd 12320	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 2 ∈ ℂ)
58		2ne0 12346	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ≠ 0
59	58	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 2 ≠ 0)
60	55, 56, 57, 59	divsubdird 12059	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) − ((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴))) / 2) = ((((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2) − (((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2)))
61	50, 57, 59	divcan3d 12025	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((2 · (ℜ‘𝐴)) / 2) = (ℜ‘𝐴))
62	54, 60, 61	3eqtr3d 2773	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2) − (((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2)) = (ℜ‘𝐴))
63	47, 48, 62	3eqtrd 2769	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2))↑2) + ((i · (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2))))↑2)) = (ℜ‘𝐴))
64	57, 2	mulcld 11264	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (2 · (√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2))) ∈ ℂ)
65	64, 4, 11	mul12d 11453	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((2 · (√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2))) · (i · (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2))))) = (i · ((2 · (√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2))) · (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2))))))
66	57, 2, 12	mulassd 11267	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((2 · (√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2))) · (i · (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2))))) = (2 · ((√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2)) · (i · (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2)))))))
67	57, 2, 11	mulassd 11267	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((2 · (√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2))) · (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2)))) = (2 · ((√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2)) · (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2))))))
68	2, 26, 27	mul12d 11453	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2)) · (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2)))) = (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · ((√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2)) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2)))))
69		sqrtcvallem4 43134	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 0 ≤ (((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2))
70		halfnneg2 12473	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) ∈ ℝ → (0 ≤ ((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) ↔ 0 ≤ (((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2)))
71	19, 70	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (0 ≤ ((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) ↔ 0 ≤ (((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2)))
72	69, 71	mpbird 256	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 0 ≤ ((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)))
73		2rp 13011	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 2 ∈ ℝ+
74	73	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 2 ∈ ℝ+)
75	19, 72, 74	sqrtdivd 15402	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2)) = ((√‘((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴))) / (√‘2)))
76		sqrtcvallem2 43132	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 0 ≤ (((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2))
77		halfnneg2 12473	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) ∈ ℝ → (0 ≤ ((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) ↔ 0 ≤ (((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2)))
78	37, 77	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (0 ≤ ((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) ↔ 0 ≤ (((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2)))
79	76, 78	mpbird 256	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 0 ≤ ((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)))
80	37, 79, 74	sqrtdivd 15402	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2)) = ((√‘((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴))) / (√‘2)))
81	75, 80	oveq12d 7435	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2)) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2))) = (((√‘((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴))) / (√‘2)) · ((√‘((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴))) / (√‘2))))
82	19, 72	resqrtcld 15396	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (√‘((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴))) ∈ ℝ)
83	82	recnd 11272	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (√‘((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴))) ∈ ℂ)
84		2re 12316	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 2 ∈ ℝ
85	84	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 2 ∈ ℝ)
86		0le2 12344	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 0 ≤ 2
87	86	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 0 ≤ 2)
88	85, 87	resqrtcld 15396	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (√‘2) ∈ ℝ)
89	88	recnd 11272	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (√‘2) ∈ ℂ)
90	37, 79	resqrtcld 15396	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (√‘((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴))) ∈ ℝ)
91	90	recnd 11272	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (√‘((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴))) ∈ ℂ)
92		sqrt00 15242	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 2) → ((√‘2) = 0 ↔ 2 = 0))
93	84, 86, 92	mp2an 690	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((√‘2) = 0 ↔ 2 = 0)
94	93	necon3bii 2983	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((√‘2) ≠ 0 ↔ 2 ≠ 0)
95	58, 94	mpbir 230	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (√‘2) ≠ 0
96	95	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (√‘2) ≠ 0)
97	83, 89, 91, 89, 96, 96	divmuldivd 12061	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((√‘((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴))) / (√‘2)) · ((√‘((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴))) / (√‘2))) = (((√‘((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴))) · (√‘((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)))) / ((√‘2) · (√‘2))))
98	18	resqcld 14121	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((ℜ‘𝐴)↑2) ∈ ℝ)
99	98	recnd 11272	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((ℜ‘𝐴)↑2) ∈ ℂ)
100		imcl 15090	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℑ‘𝐴) ∈ ℝ)
101	100	resqcld 14121	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((ℑ‘𝐴)↑2) ∈ ℝ)
102	101	recnd 11272	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((ℑ‘𝐴)↑2) ∈ ℂ)
103		absvalsq2 15260	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((abs‘𝐴)↑2) = (((ℜ‘𝐴)↑2) + ((ℑ‘𝐴)↑2)))
104	99, 102, 103	mvrladdd 11657	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((abs‘𝐴)↑2) − ((ℜ‘𝐴)↑2)) = ((ℑ‘𝐴)↑2))
105		subsq 14205	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((abs‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ ℂ) → (((abs‘𝐴)↑2) − ((ℜ‘𝐴)↑2)) = (((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) · ((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴))))
106	49, 50, 105	syl2anc 582	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((abs‘𝐴)↑2) − ((ℜ‘𝐴)↑2)) = (((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) · ((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴))))
107	104, 106	eqtr3d 2767	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((ℑ‘𝐴)↑2) = (((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) · ((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴))))
108	107	fveq2d 6898	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (√‘((ℑ‘𝐴)↑2)) = (√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) · ((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)))))
109	100	absred 15395	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘(ℑ‘𝐴)) = (√‘((ℑ‘𝐴)↑2)))
110		reabsifneg 43127	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((ℑ‘𝐴) ∈ ℝ → (abs‘(ℑ‘𝐴)) = if((ℑ‘𝐴) < 0, -(ℑ‘𝐴), (ℑ‘𝐴)))
111	100, 110	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘(ℑ‘𝐴)) = if((ℑ‘𝐴) < 0, -(ℑ‘𝐴), (ℑ‘𝐴)))
112	109, 111	eqtr3d 2767	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (√‘((ℑ‘𝐴)↑2)) = if((ℑ‘𝐴) < 0, -(ℑ‘𝐴), (ℑ‘𝐴)))
113	19, 72, 37, 79	sqrtmuld 15403	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) · ((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)))) = ((√‘((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴))) · (√‘((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)))))
114	108, 112, 113	3eqtr3rd 2774	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((√‘((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴))) · (√‘((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)))) = if((ℑ‘𝐴) < 0, -(ℑ‘𝐴), (ℑ‘𝐴)))
115		remsqsqrt 15235	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 2) → ((√‘2) · (√‘2)) = 2)
116	84, 86, 115	mp2an 690	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((√‘2) · (√‘2)) = 2
117	116	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((√‘2) · (√‘2)) = 2)
118	114, 117	oveq12d 7435	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((√‘((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴))) · (√‘((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)))) / ((√‘2) · (√‘2))) = (if((ℑ‘𝐴) < 0, -(ℑ‘𝐴), (ℑ‘𝐴)) / 2))
119	81, 97, 118	3eqtrd 2769	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2)) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2))) = (if((ℑ‘𝐴) < 0, -(ℑ‘𝐴), (ℑ‘𝐴)) / 2))
120	119	oveq2d 7433	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · ((√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2)) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2)))) = (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (if((ℑ‘𝐴) < 0, -(ℑ‘𝐴), (ℑ‘𝐴)) / 2)))
121	68, 120	eqtrd 2765	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2)) · (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2)))) = (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (if((ℑ‘𝐴) < 0, -(ℑ‘𝐴), (ℑ‘𝐴)) / 2)))
122	121	oveq2d 7433	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (2 · ((√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2)) · (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2))))) = (2 · (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (if((ℑ‘𝐴) < 0, -(ℑ‘𝐴), (ℑ‘𝐴)) / 2))))
123	100	renegcld 11671	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -(ℑ‘𝐴) ∈ ℝ)
124	123, 100	ifcld 4575	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → if((ℑ‘𝐴) < 0, -(ℑ‘𝐴), (ℑ‘𝐴)) ∈ ℝ)
125	124	recnd 11272	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → if((ℑ‘𝐴) < 0, -(ℑ‘𝐴), (ℑ‘𝐴)) ∈ ℂ)
126	26, 125, 57, 59	divassd 12055	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · if((ℑ‘𝐴) < 0, -(ℑ‘𝐴), (ℑ‘𝐴))) / 2) = (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (if((ℑ‘𝐴) < 0, -(ℑ‘𝐴), (ℑ‘𝐴)) / 2)))
127		ovif12 7518	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · if((ℑ‘𝐴) < 0, -(ℑ‘𝐴), (ℑ‘𝐴))) = if((ℑ‘𝐴) < 0, (-1 · -(ℑ‘𝐴)), (1 · (ℑ‘𝐴)))
128	5	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -1 ∈ ℝ)
129	128	recnd 11272	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -1 ∈ ℂ)
130	100	recnd 11272	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℑ‘𝐴) ∈ ℂ)
131	129, 129, 130	mulassd 11267	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((-1 · -1) · (ℑ‘𝐴)) = (-1 · (-1 · (ℑ‘𝐴))))
132		neg1mulneg1e1 12455	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (-1 · -1) = 1
133	132	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (-1 · -1) = 1)
134	133	oveq1d 7432	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((-1 · -1) · (ℑ‘𝐴)) = (1 · (ℑ‘𝐴)))
135	130	mullidd 11262	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (1 · (ℑ‘𝐴)) = (ℑ‘𝐴))
136	134, 135	eqtrd 2765	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((-1 · -1) · (ℑ‘𝐴)) = (ℑ‘𝐴))
137	130	mulm1d 11696	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (-1 · (ℑ‘𝐴)) = -(ℑ‘𝐴))
138	137	oveq2d 7433	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (-1 · (-1 · (ℑ‘𝐴))) = (-1 · -(ℑ‘𝐴)))
139	131, 136, 138	3eqtr3rd 2774	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (-1 · -(ℑ‘𝐴)) = (ℑ‘𝐴))
140	139	adantr 479	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) < 0) → (-1 · -(ℑ‘𝐴)) = (ℑ‘𝐴))
141	135	adantr 479	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ (ℑ‘𝐴) < 0) → (1 · (ℑ‘𝐴)) = (ℑ‘𝐴))
142	140, 141	ifeqda 4565	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → if((ℑ‘𝐴) < 0, (-1 · -(ℑ‘𝐴)), (1 · (ℑ‘𝐴))) = (ℑ‘𝐴))
143	127, 142	eqtrid 2777	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · if((ℑ‘𝐴) < 0, -(ℑ‘𝐴), (ℑ‘𝐴))) = (ℑ‘𝐴))
144	143	oveq1d 7432	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · if((ℑ‘𝐴) < 0, -(ℑ‘𝐴), (ℑ‘𝐴))) / 2) = ((ℑ‘𝐴) / 2))
145	126, 144	eqtr3d 2767	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (if((ℑ‘𝐴) < 0, -(ℑ‘𝐴), (ℑ‘𝐴)) / 2)) = ((ℑ‘𝐴) / 2))
146	145	oveq2d 7433	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (2 · (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (if((ℑ‘𝐴) < 0, -(ℑ‘𝐴), (ℑ‘𝐴)) / 2))) = (2 · ((ℑ‘𝐴) / 2)))
147	130, 57, 59	divcan2d 12022	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (2 · ((ℑ‘𝐴) / 2)) = (ℑ‘𝐴))
148	146, 147	eqtrd 2765	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (2 · (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (if((ℑ‘𝐴) < 0, -(ℑ‘𝐴), (ℑ‘𝐴)) / 2))) = (ℑ‘𝐴))
149	67, 122, 148	3eqtrd 2769	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((2 · (√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2))) · (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2)))) = (ℑ‘𝐴))
150	149	oveq2d 7433	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (i · ((2 · (√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2))) · (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2))))) = (i · (ℑ‘𝐴)))
151	65, 66, 150	3eqtr3d 2773	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (2 · ((√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2)) · (i · (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2)))))) = (i · (ℑ‘𝐴)))
152	63, 151	oveq12d 7435	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((((√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2))↑2) + ((i · (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2))))↑2)) + (2 · ((√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2)) · (i · (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2))))))) = ((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴))))
153	1	resqcld 14121	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2))↑2) ∈ ℝ)
154	153	recnd 11272	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2))↑2) ∈ ℂ)
155	2, 12	mulcld 11264	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2)) · (i · (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2))))) ∈ ℂ)
156	57, 155	mulcld 11264	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (2 · ((√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2)) · (i · (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2)))))) ∈ ℂ)
157	12	sqcld 14140	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((i · (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2))))↑2) ∈ ℂ)
158	154, 156, 157	add32d 11471	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((((√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2))↑2) + (2 · ((√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2)) · (i · (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2))))))) + ((i · (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2))))↑2)) = ((((√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2))↑2) + ((i · (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2))))↑2)) + (2 · ((√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2)) · (i · (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2))))))))
159		replim 15095	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 𝐴 = ((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴))))
160	152, 158, 159	3eqtr4d 2775	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((((√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2))↑2) + (2 · ((√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2)) · (i · (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2))))))) + ((i · (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2))))↑2)) = 𝐴)
161	16, 160	eqtrd 2765	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2)) + (i · (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2)))))↑2) = 𝐴)
162	20, 69	sqrtge0d 15399	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 0 ≤ (√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2)))
163	1, 10	crred 15210	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘((√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2)) + (i · (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2)))))) = (√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2)))
164	162, 163	breqtrrd 5176	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 0 ≤ (ℜ‘((√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2)) + (i · (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2)))))))
165		reim 15088	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2)) + (i · (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2))))) ∈ ℂ → (ℜ‘((√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2)) + (i · (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2)))))) = (ℑ‘(i · ((√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2)) + (i · (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2))))))))
166	13, 165	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘((√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2)) + (i · (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2)))))) = (ℑ‘(i · ((√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2)) + (i · (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2))))))))
167	166, 163	eqtr3d 2767	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℑ‘(i · ((√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2)) + (i · (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2))))))) = (√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2)))
168	167	eqeq1d 2727	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((ℑ‘(i · ((√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2)) + (i · (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2))))))) = 0 ↔ (√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2)) = 0))
169		cnsqrt00 15371	. . . . . . . 8 ⊢ ((((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2) ∈ ℂ → ((√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2)) = 0 ↔ (((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2) = 0))
170	21, 169	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2)) = 0 ↔ (((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2) = 0))
171		half0 12469	. . . . . . . . 9 ⊢ (((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) ∈ ℂ → ((((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2) = 0 ↔ ((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) = 0))
172	55, 171	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2) = 0 ↔ ((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) = 0))
173	49, 50	addcomd 11446	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) = ((ℜ‘𝐴) + (abs‘𝐴)))
174	173	eqeq1d 2727	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) = 0 ↔ ((ℜ‘𝐴) + (abs‘𝐴)) = 0))
175		addeq0 11667	. . . . . . . . 9 ⊢ (((ℜ‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) ∈ ℂ) → (((ℜ‘𝐴) + (abs‘𝐴)) = 0 ↔ (ℜ‘𝐴) = -(abs‘𝐴)))
176	50, 49, 175	syl2anc 582	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((ℜ‘𝐴) + (abs‘𝐴)) = 0 ↔ (ℜ‘𝐴) = -(abs‘𝐴)))
177	172, 174, 176	3bitrd 304	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2) = 0 ↔ (ℜ‘𝐴) = -(abs‘𝐴)))
178	168, 170, 177	3bitrd 304	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((ℑ‘(i · ((√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2)) + (i · (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2))))))) = 0 ↔ (ℜ‘𝐴) = -(abs‘𝐴)))
179		olc 866	. . . . . . . 8 ⊢ ((ℜ‘𝐴) = -(abs‘𝐴) → ((ℜ‘𝐴) = (abs‘𝐴) ∨ (ℜ‘𝐴) = -(abs‘𝐴)))
180		eqcom 2732	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((ℜ‘𝐴)↑2) = ((abs‘𝐴)↑2) ↔ ((abs‘𝐴)↑2) = ((ℜ‘𝐴)↑2))
181	180	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((ℜ‘𝐴)↑2) = ((abs‘𝐴)↑2) ↔ ((abs‘𝐴)↑2) = ((ℜ‘𝐴)↑2)))
182		sqeqor 14211	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((ℜ‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) ∈ ℂ) → (((ℜ‘𝐴)↑2) = ((abs‘𝐴)↑2) ↔ ((ℜ‘𝐴) = (abs‘𝐴) ∨ (ℜ‘𝐴) = -(abs‘𝐴))))
183	50, 49, 182	syl2anc 582	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((ℜ‘𝐴)↑2) = ((abs‘𝐴)↑2) ↔ ((ℜ‘𝐴) = (abs‘𝐴) ∨ (ℜ‘𝐴) = -(abs‘𝐴))))
184	103	eqeq1d 2727	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((abs‘𝐴)↑2) = ((ℜ‘𝐴)↑2) ↔ (((ℜ‘𝐴)↑2) + ((ℑ‘𝐴)↑2)) = ((ℜ‘𝐴)↑2)))
185		addid0 11663	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((ℜ‘𝐴)↑2) ∈ ℂ ∧ ((ℑ‘𝐴)↑2) ∈ ℂ) → ((((ℜ‘𝐴)↑2) + ((ℑ‘𝐴)↑2)) = ((ℜ‘𝐴)↑2) ↔ ((ℑ‘𝐴)↑2) = 0))
186	99, 102, 185	syl2anc 582	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((((ℜ‘𝐴)↑2) + ((ℑ‘𝐴)↑2)) = ((ℜ‘𝐴)↑2) ↔ ((ℑ‘𝐴)↑2) = 0))
187		sqeq0 14116	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((ℑ‘𝐴) ∈ ℂ → (((ℑ‘𝐴)↑2) = 0 ↔ (ℑ‘𝐴) = 0))
188	130, 187	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((ℑ‘𝐴)↑2) = 0 ↔ (ℑ‘𝐴) = 0))
189	184, 186, 188	3bitrd 304	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((abs‘𝐴)↑2) = ((ℜ‘𝐴)↑2) ↔ (ℑ‘𝐴) = 0))
190	181, 183, 189	3bitr3d 308	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((ℜ‘𝐴) = (abs‘𝐴) ∨ (ℜ‘𝐴) = -(abs‘𝐴)) ↔ (ℑ‘𝐴) = 0))
191	179, 190	imbitrid 243	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((ℜ‘𝐴) = -(abs‘𝐴) → (ℑ‘𝐴) = 0))
192	191	ancld 549	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((ℜ‘𝐴) = -(abs‘𝐴) → ((ℜ‘𝐴) = -(abs‘𝐴) ∧ (ℑ‘𝐴) = 0)))
193	178, 192	sylbid 239	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((ℑ‘(i · ((√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2)) + (i · (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2))))))) = 0 → ((ℜ‘𝐴) = -(abs‘𝐴) ∧ (ℑ‘𝐴) = 0)))
194		simp2 1134	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) = -(abs‘𝐴) ∧ (ℑ‘𝐴) = 0) → (ℜ‘𝐴) = -(abs‘𝐴))
195	194	oveq2d 7433	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) = -(abs‘𝐴) ∧ (ℑ‘𝐴) = 0) → ((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) = ((abs‘𝐴) + -(abs‘𝐴)))
196	49	3ad2ant1 1130	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) = -(abs‘𝐴) ∧ (ℑ‘𝐴) = 0) → (abs‘𝐴) ∈ ℂ)
197	196	negidd 11591	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) = -(abs‘𝐴) ∧ (ℑ‘𝐴) = 0) → ((abs‘𝐴) + -(abs‘𝐴)) = 0)
198	195, 197	eqtrd 2765	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) = -(abs‘𝐴) ∧ (ℑ‘𝐴) = 0) → ((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) = 0)
199	198	oveq1d 7432	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) = -(abs‘𝐴) ∧ (ℑ‘𝐴) = 0) → (((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2) = (0 / 2))
200		2cn 12317	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 2 ∈ ℂ
201	200, 58	div0i 11978	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (0 / 2) = 0
202	199, 201	eqtrdi 2781	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) = -(abs‘𝐴) ∧ (ℑ‘𝐴) = 0) → (((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2) = 0)
203	202	fveq2d 6898	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) = -(abs‘𝐴) ∧ (ℑ‘𝐴) = 0) → (√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2)) = (√‘0))
204		sqrt0 15220	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (√‘0) = 0
205	203, 204	eqtrdi 2781	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) = -(abs‘𝐴) ∧ (ℑ‘𝐴) = 0) → (√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2)) = 0)
206		simp3 1135	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) = -(abs‘𝐴) ∧ (ℑ‘𝐴) = 0) → (ℑ‘𝐴) = 0)
207		0red 11247	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) = -(abs‘𝐴) ∧ (ℑ‘𝐴) = 0) → 0 ∈ ℝ)
208	207	ltnrd 11378	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) = -(abs‘𝐴) ∧ (ℑ‘𝐴) = 0) → ¬ 0 < 0)
209	206, 208	eqnbrtrd 5166	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) = -(abs‘𝐴) ∧ (ℑ‘𝐴) = 0) → ¬ (ℑ‘𝐴) < 0)
210	209	iffalsed 4540	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) = -(abs‘𝐴) ∧ (ℑ‘𝐴) = 0) → if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) = 1)
211	194	oveq2d 7433	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) = -(abs‘𝐴) ∧ (ℑ‘𝐴) = 0) → ((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) = ((abs‘𝐴) − -(abs‘𝐴)))
212	49, 49	subnegd 11608	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((abs‘𝐴) − -(abs‘𝐴)) = ((abs‘𝐴) + (abs‘𝐴)))
213	49	2timesd 12485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (2 · (abs‘𝐴)) = ((abs‘𝐴) + (abs‘𝐴)))
214	212, 213	eqtr4d 2768	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((abs‘𝐴) − -(abs‘𝐴)) = (2 · (abs‘𝐴)))
215	214	3ad2ant1 1130	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) = -(abs‘𝐴) ∧ (ℑ‘𝐴) = 0) → ((abs‘𝐴) − -(abs‘𝐴)) = (2 · (abs‘𝐴)))
216	211, 215	eqtrd 2765	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) = -(abs‘𝐴) ∧ (ℑ‘𝐴) = 0) → ((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) = (2 · (abs‘𝐴)))
217	216	oveq1d 7432	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) = -(abs‘𝐴) ∧ (ℑ‘𝐴) = 0) → (((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2) = ((2 · (abs‘𝐴)) / 2))
218	49, 57, 59	divcan3d 12025	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((2 · (abs‘𝐴)) / 2) = (abs‘𝐴))
219	218	3ad2ant1 1130	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) = -(abs‘𝐴) ∧ (ℑ‘𝐴) = 0) → ((2 · (abs‘𝐴)) / 2) = (abs‘𝐴))
220	217, 219	eqtrd 2765	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) = -(abs‘𝐴) ∧ (ℑ‘𝐴) = 0) → (((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2) = (abs‘𝐴))
221	220	fveq2d 6898	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) = -(abs‘𝐴) ∧ (ℑ‘𝐴) = 0) → (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2)) = (√‘(abs‘𝐴)))
222	210, 221	oveq12d 7435	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) = -(abs‘𝐴) ∧ (ℑ‘𝐴) = 0) → (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2))) = (1 · (√‘(abs‘𝐴))))
223		absge0 15266	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 0 ≤ (abs‘𝐴))
224	17, 223	resqrtcld 15396	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (√‘(abs‘𝐴)) ∈ ℝ)
225	224	recnd 11272	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (√‘(abs‘𝐴)) ∈ ℂ)
226	225	mullidd 11262	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (1 · (√‘(abs‘𝐴))) = (√‘(abs‘𝐴)))
227	226	3ad2ant1 1130	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) = -(abs‘𝐴) ∧ (ℑ‘𝐴) = 0) → (1 · (√‘(abs‘𝐴))) = (√‘(abs‘𝐴)))
228	222, 227	eqtrd 2765	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) = -(abs‘𝐴) ∧ (ℑ‘𝐴) = 0) → (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2))) = (√‘(abs‘𝐴)))
229	228	oveq2d 7433	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) = -(abs‘𝐴) ∧ (ℑ‘𝐴) = 0) → (i · (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2)))) = (i · (√‘(abs‘𝐴))))
230	205, 229	oveq12d 7435	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) = -(abs‘𝐴) ∧ (ℑ‘𝐴) = 0) → ((√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2)) + (i · (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2))))) = (0 + (i · (√‘(abs‘𝐴)))))
231	4, 225	mulcld 11264	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (i · (√‘(abs‘𝐴))) ∈ ℂ)
232	231	3ad2ant1 1130	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) = -(abs‘𝐴) ∧ (ℑ‘𝐴) = 0) → (i · (√‘(abs‘𝐴))) ∈ ℂ)
233	232	addlidd 11445	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) = -(abs‘𝐴) ∧ (ℑ‘𝐴) = 0) → (0 + (i · (√‘(abs‘𝐴)))) = (i · (√‘(abs‘𝐴))))
234	230, 233	eqtrd 2765	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) = -(abs‘𝐴) ∧ (ℑ‘𝐴) = 0) → ((√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2)) + (i · (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2))))) = (i · (√‘(abs‘𝐴))))
235	234	oveq2d 7433	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) = -(abs‘𝐴) ∧ (ℑ‘𝐴) = 0) → (i · ((√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2)) + (i · (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2)))))) = (i · (i · (√‘(abs‘𝐴)))))
236		ixi 11873	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (i · i) = -1
237	236	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (i · i) = -1)
238	237	oveq1d 7432	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((i · i) · (√‘(abs‘𝐴))) = (-1 · (√‘(abs‘𝐴))))
239	4, 4, 225	mulassd 11267	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((i · i) · (√‘(abs‘𝐴))) = (i · (i · (√‘(abs‘𝐴)))))
240	225	mulm1d 11696	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (-1 · (√‘(abs‘𝐴))) = -(√‘(abs‘𝐴)))
241	238, 239, 240	3eqtr3d 2773	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (i · (i · (√‘(abs‘𝐴)))) = -(√‘(abs‘𝐴)))
242	241	3ad2ant1 1130	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) = -(abs‘𝐴) ∧ (ℑ‘𝐴) = 0) → (i · (i · (√‘(abs‘𝐴)))) = -(√‘(abs‘𝐴)))
243	235, 242	eqtrd 2765	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) = -(abs‘𝐴) ∧ (ℑ‘𝐴) = 0) → (i · ((√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2)) + (i · (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2)))))) = -(√‘(abs‘𝐴)))
244	243	fveq2d 6898	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) = -(abs‘𝐴) ∧ (ℑ‘𝐴) = 0) → (ℜ‘(i · ((√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2)) + (i · (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2))))))) = (ℜ‘-(√‘(abs‘𝐴))))
245	224	renegcld 11671	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -(√‘(abs‘𝐴)) ∈ ℝ)
246	245	rered 15203	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘-(√‘(abs‘𝐴))) = -(√‘(abs‘𝐴)))
247	246	3ad2ant1 1130	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) = -(abs‘𝐴) ∧ (ℑ‘𝐴) = 0) → (ℜ‘-(√‘(abs‘𝐴))) = -(√‘(abs‘𝐴)))
248	244, 247	eqtrd 2765	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) = -(abs‘𝐴) ∧ (ℑ‘𝐴) = 0) → (ℜ‘(i · ((√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2)) + (i · (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2))))))) = -(√‘(abs‘𝐴)))
249	17, 223	sqrtge0d 15399	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 0 ≤ (√‘(abs‘𝐴)))
250	224	le0neg2d 11816	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (0 ≤ (√‘(abs‘𝐴)) ↔ -(√‘(abs‘𝐴)) ≤ 0))
251	249, 250	mpbid 231	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -(√‘(abs‘𝐴)) ≤ 0)
252	251	3ad2ant1 1130	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) = -(abs‘𝐴) ∧ (ℑ‘𝐴) = 0) → -(√‘(abs‘𝐴)) ≤ 0)
253	248, 252	eqbrtrd 5170	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) = -(abs‘𝐴) ∧ (ℑ‘𝐴) = 0) → (ℜ‘(i · ((√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2)) + (i · (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2))))))) ≤ 0)
254	253	3expib 1119	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((ℜ‘𝐴) = -(abs‘𝐴) ∧ (ℑ‘𝐴) = 0) → (ℜ‘(i · ((√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2)) + (i · (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2))))))) ≤ 0))
255	193, 254	syld 47	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((ℑ‘(i · ((√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2)) + (i · (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2))))))) = 0 → (ℜ‘(i · ((√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2)) + (i · (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2))))))) ≤ 0))
256	4, 13	mulcld 11264	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (i · ((√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2)) + (i · (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2)))))) ∈ ℂ)
257	256	sqrtcvallem1 43126	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((ℑ‘(i · ((√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2)) + (i · (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2))))))) = 0 → (ℜ‘(i · ((√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2)) + (i · (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2))))))) ≤ 0) ↔ ¬ (i · ((√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2)) + (i · (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2)))))) ∈ ℝ+))
258	255, 257	mpbid 231	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ¬ (i · ((√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2)) + (i · (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2)))))) ∈ ℝ+)
259	13, 14, 161, 164, 258	eqsqrtd 15346	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2)) + (i · (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2))))) = (√‘𝐴))
260	259	eqcomd 2731	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (√‘𝐴) = ((√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2)) + (i · (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2))))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∨ wo 845   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2930  ifcif 4529   class class class wbr 5148  ‘cfv 6547  (class class class)co 7417  ℂcc 11136  ℝcr 11137  0cc0 11138  1c1 11139  ici 11140   + caddc 11141   · cmul 11143   < clt 11278   ≤ cle 11279   − cmin 11474  -cneg 11475   / cdiv 11901  2c2 12297  ℝ⁺crp 13006  ↑cexp 14058  ℜcre 15076  ℑcim 15077  √csqrt 15212  abscabs 15213

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7739  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215  ax-pre-sup 11216

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3775  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3965  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6499  df-fun 6549  df-fn 6550  df-f 6551  df-f1 6552  df-fo 6553  df-f1o 6554  df-fv 6555  df-riota 7373  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-om 7870  df-2nd 7993  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-er 8723  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-sup 9465  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-div 11902  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-n0 12503  df-z 12589  df-uz 12853  df-rp 13007  df-seq 13999  df-exp 14059  df-cj 15078  df-re 15079  df-im 15080  df-sqrt 15214  df-abs 15215

This theorem is referenced by:  sqrtcval2  43137  resqrtval  43138  imsqrtval  43139