Theorem sqrtcval 43653

Description: Explicit formula for the complex square root in terms of the square root of nonnegative reals. The right-hand side is decomposed into real and imaginary parts in the format expected by crrei 15091 and crimi 15092. This formula can be found in section 3.7.27 of Handbook of Mathematical Functions, ed. M. Abramowitz and I. A. Stegun (1965, Dover Press). (Contributed by RP, 18-May-2024.)

Assertion

Ref	Expression
sqrtcval	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (√‘𝐴) = ((√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2)) + (i · (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2))))))

Proof of Theorem sqrtcval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sqrtcvallem5 43652	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2)) ∈ ℝ)
2	1	recnd 11132	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2)) ∈ ℂ)
3		ax-icn 11057	. . . . . 6 ⊢ i ∈ ℂ
4	3	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → i ∈ ℂ)
5		neg1rr 12103	. . . . . . . . 9 ⊢ -1 ∈ ℝ
6		1re 11104	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℝ
7	5, 6	ifcli 4521	. . . . . . . 8 ⊢ if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) ∈ ℝ
8	7	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) ∈ ℝ)
9		sqrtcvallem3 43650	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2)) ∈ ℝ)
10	8, 9	remulcld 11134	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2))) ∈ ℝ)
11	10	recnd 11132	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2))) ∈ ℂ)
12	4, 11	mulcld 11124	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (i · (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2)))) ∈ ℂ)
13	2, 12	addcld 11123	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2)) + (i · (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2))))) ∈ ℂ)
14		id 22	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 𝐴 ∈ ℂ)
15		binom2 14116	. . . . 5 ⊢ (((√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2)) ∈ ℂ ∧ (i · (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2)))) ∈ ℂ) → (((√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2)) + (i · (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2)))))↑2) = ((((√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2))↑2) + (2 · ((√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2)) · (i · (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2))))))) + ((i · (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2))))↑2)))
16	2, 12, 15	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2)) + (i · (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2)))))↑2) = ((((√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2))↑2) + (2 · ((√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2)) · (i · (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2))))))) + ((i · (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2))))↑2)))
17		abscl 15177	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
18		recl 15009	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ)
19	17, 18	readdcld 11133	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) ∈ ℝ)
20	19	rehalfcld 12360	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2) ∈ ℝ)
21	20	recnd 11132	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2) ∈ ℂ)
22	21	sqsqrtd 15341	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2))↑2) = (((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2))
23	4, 11	sqmuld 14057	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((i · (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2))))↑2) = ((i↑2) · ((if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2)))↑2)))
24		i2 14101	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (i↑2) = -1
25	24	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (i↑2) = -1)
26	8	recnd 11132	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) ∈ ℂ)
27	9	recnd 11132	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2)) ∈ ℂ)
28	26, 27	sqmuld 14057	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2)))↑2) = ((if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1)↑2) · ((√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2))↑2)))
29		ovif 7439	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1)↑2) = if((ℑ‘𝐴) < 0, (-1↑2), (1↑2))
30		neg1sqe1 14095	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (-1↑2) = 1
31		sq1 14094	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (1↑2) = 1
32		ifeq12 4492	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((-1↑2) = 1 ∧ (1↑2) = 1) → if((ℑ‘𝐴) < 0, (-1↑2), (1↑2)) = if((ℑ‘𝐴) < 0, 1, 1))
33	30, 31, 32	mp2an 692	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ if((ℑ‘𝐴) < 0, (-1↑2), (1↑2)) = if((ℑ‘𝐴) < 0, 1, 1)
34		ifid 4514	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ if((ℑ‘𝐴) < 0, 1, 1) = 1
35	29, 33, 34	3eqtri 2757	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1)↑2) = 1
36	35	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1)↑2) = 1)
37	17, 18	resubcld 11537	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) ∈ ℝ)
38	37	rehalfcld 12360	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2) ∈ ℝ)
39	38	recnd 11132	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2) ∈ ℂ)
40	39	sqsqrtd 15341	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2))↑2) = (((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2))
41	36, 40	oveq12d 7359	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1)↑2) · ((√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2))↑2)) = (1 · (((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2)))
42	39	mullidd 11122	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (1 · (((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2)) = (((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2))
43	28, 41, 42	3eqtrd 2769	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2)))↑2) = (((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2))
44	25, 43	oveq12d 7359	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((i↑2) · ((if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2)))↑2)) = (-1 · (((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2)))
45	39	mulm1d 11561	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (-1 · (((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2)) = -(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2))
46	23, 44, 45	3eqtrd 2769	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((i · (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2))))↑2) = -(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2))
47	22, 46	oveq12d 7359	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2))↑2) + ((i · (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2))))↑2)) = ((((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2) + -(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2)))
48	21, 39	negsubd 11470	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2) + -(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2)) = ((((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2) − (((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2)))
49	17	recnd 11132	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘𝐴) ∈ ℂ)
50	18	recnd 11132	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘𝐴) ∈ ℂ)
51	49, 50, 50	pnncand 11503	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) − ((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴))) = ((ℜ‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)))
52	50	2timesd 12356	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (2 · (ℜ‘𝐴)) = ((ℜ‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)))
53	51, 52	eqtr4d 2768	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) − ((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴))) = (2 · (ℜ‘𝐴)))
54	53	oveq1d 7356	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) − ((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴))) / 2) = ((2 · (ℜ‘𝐴)) / 2))
55	19	recnd 11132	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) ∈ ℂ)
56	37	recnd 11132	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) ∈ ℂ)
57		2cnd 12195	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 2 ∈ ℂ)
58		2ne0 12221	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ≠ 0
59	58	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 2 ≠ 0)
60	55, 56, 57, 59	divsubdird 11928	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) − ((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴))) / 2) = ((((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2) − (((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2)))
61	50, 57, 59	divcan3d 11894	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((2 · (ℜ‘𝐴)) / 2) = (ℜ‘𝐴))
62	54, 60, 61	3eqtr3d 2773	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2) − (((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2)) = (ℜ‘𝐴))
63	47, 48, 62	3eqtrd 2769	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2))↑2) + ((i · (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2))))↑2)) = (ℜ‘𝐴))
64	57, 2	mulcld 11124	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (2 · (√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2))) ∈ ℂ)
65	64, 4, 11	mul12d 11314	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((2 · (√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2))) · (i · (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2))))) = (i · ((2 · (√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2))) · (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2))))))
66	57, 2, 12	mulassd 11127	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((2 · (√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2))) · (i · (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2))))) = (2 · ((√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2)) · (i · (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2)))))))
67	57, 2, 11	mulassd 11127	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((2 · (√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2))) · (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2)))) = (2 · ((√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2)) · (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2))))))
68	2, 26, 27	mul12d 11314	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2)) · (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2)))) = (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · ((√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2)) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2)))))
69		sqrtcvallem4 43651	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 0 ≤ (((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2))
70		halfnneg2 12344	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) ∈ ℝ → (0 ≤ ((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) ↔ 0 ≤ (((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2)))
71	19, 70	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (0 ≤ ((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) ↔ 0 ≤ (((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2)))
72	69, 71	mpbird 257	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 0 ≤ ((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)))
73		2rp 12887	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 2 ∈ ℝ+
74	73	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 2 ∈ ℝ+)
75	19, 72, 74	sqrtdivd 15323	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2)) = ((√‘((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴))) / (√‘2)))
76		sqrtcvallem2 43649	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 0 ≤ (((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2))
77		halfnneg2 12344	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) ∈ ℝ → (0 ≤ ((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) ↔ 0 ≤ (((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2)))
78	37, 77	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (0 ≤ ((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) ↔ 0 ≤ (((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2)))
79	76, 78	mpbird 257	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 0 ≤ ((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)))
80	37, 79, 74	sqrtdivd 15323	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2)) = ((√‘((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴))) / (√‘2)))
81	75, 80	oveq12d 7359	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2)) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2))) = (((√‘((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴))) / (√‘2)) · ((√‘((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴))) / (√‘2))))
82	19, 72	resqrtcld 15317	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (√‘((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴))) ∈ ℝ)
83	82	recnd 11132	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (√‘((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴))) ∈ ℂ)
84		2re 12191	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 2 ∈ ℝ
85	84	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 2 ∈ ℝ)
86		0le2 12219	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 0 ≤ 2
87	86	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 0 ≤ 2)
88	85, 87	resqrtcld 15317	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (√‘2) ∈ ℝ)
89	88	recnd 11132	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (√‘2) ∈ ℂ)
90	37, 79	resqrtcld 15317	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (√‘((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴))) ∈ ℝ)
91	90	recnd 11132	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (√‘((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴))) ∈ ℂ)
92		sqrt00 15162	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 2) → ((√‘2) = 0 ↔ 2 = 0))
93	84, 86, 92	mp2an 692	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((√‘2) = 0 ↔ 2 = 0)
94	93	necon3bii 2978	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((√‘2) ≠ 0 ↔ 2 ≠ 0)
95	58, 94	mpbir 231	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (√‘2) ≠ 0
96	95	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (√‘2) ≠ 0)
97	83, 89, 91, 89, 96, 96	divmuldivd 11930	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((√‘((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴))) / (√‘2)) · ((√‘((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴))) / (√‘2))) = (((√‘((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴))) · (√‘((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)))) / ((√‘2) · (√‘2))))
98	18	resqcld 14024	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((ℜ‘𝐴)↑2) ∈ ℝ)
99	98	recnd 11132	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((ℜ‘𝐴)↑2) ∈ ℂ)
100		imcl 15010	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℑ‘𝐴) ∈ ℝ)
101	100	resqcld 14024	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((ℑ‘𝐴)↑2) ∈ ℝ)
102	101	recnd 11132	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((ℑ‘𝐴)↑2) ∈ ℂ)
103		absvalsq2 15180	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((abs‘𝐴)↑2) = (((ℜ‘𝐴)↑2) + ((ℑ‘𝐴)↑2)))
104	99, 102, 103	mvrladdd 11522	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((abs‘𝐴)↑2) − ((ℜ‘𝐴)↑2)) = ((ℑ‘𝐴)↑2))
105		subsq 14109	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((abs‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ ℂ) → (((abs‘𝐴)↑2) − ((ℜ‘𝐴)↑2)) = (((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) · ((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴))))
106	49, 50, 105	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((abs‘𝐴)↑2) − ((ℜ‘𝐴)↑2)) = (((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) · ((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴))))
107	104, 106	eqtr3d 2767	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((ℑ‘𝐴)↑2) = (((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) · ((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴))))
108	107	fveq2d 6821	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (√‘((ℑ‘𝐴)↑2)) = (√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) · ((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)))))
109	100	absred 15316	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘(ℑ‘𝐴)) = (√‘((ℑ‘𝐴)↑2)))
110		reabsifneg 43644	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((ℑ‘𝐴) ∈ ℝ → (abs‘(ℑ‘𝐴)) = if((ℑ‘𝐴) < 0, -(ℑ‘𝐴), (ℑ‘𝐴)))
111	100, 110	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘(ℑ‘𝐴)) = if((ℑ‘𝐴) < 0, -(ℑ‘𝐴), (ℑ‘𝐴)))
112	109, 111	eqtr3d 2767	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (√‘((ℑ‘𝐴)↑2)) = if((ℑ‘𝐴) < 0, -(ℑ‘𝐴), (ℑ‘𝐴)))
113	19, 72, 37, 79	sqrtmuld 15324	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) · ((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)))) = ((√‘((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴))) · (√‘((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)))))
114	108, 112, 113	3eqtr3rd 2774	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((√‘((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴))) · (√‘((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)))) = if((ℑ‘𝐴) < 0, -(ℑ‘𝐴), (ℑ‘𝐴)))
115		remsqsqrt 15155	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 2) → ((√‘2) · (√‘2)) = 2)
116	84, 86, 115	mp2an 692	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((√‘2) · (√‘2)) = 2
117	116	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((√‘2) · (√‘2)) = 2)
118	114, 117	oveq12d 7359	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((√‘((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴))) · (√‘((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)))) / ((√‘2) · (√‘2))) = (if((ℑ‘𝐴) < 0, -(ℑ‘𝐴), (ℑ‘𝐴)) / 2))
119	81, 97, 118	3eqtrd 2769	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2)) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2))) = (if((ℑ‘𝐴) < 0, -(ℑ‘𝐴), (ℑ‘𝐴)) / 2))
120	119	oveq2d 7357	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · ((√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2)) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2)))) = (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (if((ℑ‘𝐴) < 0, -(ℑ‘𝐴), (ℑ‘𝐴)) / 2)))
121	68, 120	eqtrd 2765	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2)) · (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2)))) = (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (if((ℑ‘𝐴) < 0, -(ℑ‘𝐴), (ℑ‘𝐴)) / 2)))
122	121	oveq2d 7357	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (2 · ((√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2)) · (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2))))) = (2 · (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (if((ℑ‘𝐴) < 0, -(ℑ‘𝐴), (ℑ‘𝐴)) / 2))))
123	100	renegcld 11536	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -(ℑ‘𝐴) ∈ ℝ)
124	123, 100	ifcld 4520	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → if((ℑ‘𝐴) < 0, -(ℑ‘𝐴), (ℑ‘𝐴)) ∈ ℝ)
125	124	recnd 11132	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → if((ℑ‘𝐴) < 0, -(ℑ‘𝐴), (ℑ‘𝐴)) ∈ ℂ)
126	26, 125, 57, 59	divassd 11924	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · if((ℑ‘𝐴) < 0, -(ℑ‘𝐴), (ℑ‘𝐴))) / 2) = (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (if((ℑ‘𝐴) < 0, -(ℑ‘𝐴), (ℑ‘𝐴)) / 2)))
127		ovif12 7441	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · if((ℑ‘𝐴) < 0, -(ℑ‘𝐴), (ℑ‘𝐴))) = if((ℑ‘𝐴) < 0, (-1 · -(ℑ‘𝐴)), (1 · (ℑ‘𝐴)))
128	5	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -1 ∈ ℝ)
129	128	recnd 11132	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -1 ∈ ℂ)
130	100	recnd 11132	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℑ‘𝐴) ∈ ℂ)
131	129, 129, 130	mulassd 11127	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((-1 · -1) · (ℑ‘𝐴)) = (-1 · (-1 · (ℑ‘𝐴))))
132		neg1mulneg1e1 12325	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (-1 · -1) = 1
133	132	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (-1 · -1) = 1)
134	133	oveq1d 7356	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((-1 · -1) · (ℑ‘𝐴)) = (1 · (ℑ‘𝐴)))
135	130	mullidd 11122	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (1 · (ℑ‘𝐴)) = (ℑ‘𝐴))
136	134, 135	eqtrd 2765	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((-1 · -1) · (ℑ‘𝐴)) = (ℑ‘𝐴))
137	130	mulm1d 11561	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (-1 · (ℑ‘𝐴)) = -(ℑ‘𝐴))
138	137	oveq2d 7357	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (-1 · (-1 · (ℑ‘𝐴))) = (-1 · -(ℑ‘𝐴)))
139	131, 136, 138	3eqtr3rd 2774	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (-1 · -(ℑ‘𝐴)) = (ℑ‘𝐴))
140	139	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) < 0) → (-1 · -(ℑ‘𝐴)) = (ℑ‘𝐴))
141	135	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ (ℑ‘𝐴) < 0) → (1 · (ℑ‘𝐴)) = (ℑ‘𝐴))
142	140, 141	ifeqda 4510	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → if((ℑ‘𝐴) < 0, (-1 · -(ℑ‘𝐴)), (1 · (ℑ‘𝐴))) = (ℑ‘𝐴))
143	127, 142	eqtrid 2777	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · if((ℑ‘𝐴) < 0, -(ℑ‘𝐴), (ℑ‘𝐴))) = (ℑ‘𝐴))
144	143	oveq1d 7356	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · if((ℑ‘𝐴) < 0, -(ℑ‘𝐴), (ℑ‘𝐴))) / 2) = ((ℑ‘𝐴) / 2))
145	126, 144	eqtr3d 2767	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (if((ℑ‘𝐴) < 0, -(ℑ‘𝐴), (ℑ‘𝐴)) / 2)) = ((ℑ‘𝐴) / 2))
146	145	oveq2d 7357	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (2 · (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (if((ℑ‘𝐴) < 0, -(ℑ‘𝐴), (ℑ‘𝐴)) / 2))) = (2 · ((ℑ‘𝐴) / 2)))
147	130, 57, 59	divcan2d 11891	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (2 · ((ℑ‘𝐴) / 2)) = (ℑ‘𝐴))
148	146, 147	eqtrd 2765	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (2 · (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (if((ℑ‘𝐴) < 0, -(ℑ‘𝐴), (ℑ‘𝐴)) / 2))) = (ℑ‘𝐴))
149	67, 122, 148	3eqtrd 2769	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((2 · (√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2))) · (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2)))) = (ℑ‘𝐴))
150	149	oveq2d 7357	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (i · ((2 · (√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2))) · (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2))))) = (i · (ℑ‘𝐴)))
151	65, 66, 150	3eqtr3d 2773	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (2 · ((√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2)) · (i · (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2)))))) = (i · (ℑ‘𝐴)))
152	63, 151	oveq12d 7359	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((((√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2))↑2) + ((i · (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2))))↑2)) + (2 · ((√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2)) · (i · (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2))))))) = ((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴))))
153	1	resqcld 14024	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2))↑2) ∈ ℝ)
154	153	recnd 11132	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2))↑2) ∈ ℂ)
155	2, 12	mulcld 11124	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2)) · (i · (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2))))) ∈ ℂ)
156	57, 155	mulcld 11124	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (2 · ((√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2)) · (i · (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2)))))) ∈ ℂ)
157	12	sqcld 14043	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((i · (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2))))↑2) ∈ ℂ)
158	154, 156, 157	add32d 11333	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((((√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2))↑2) + (2 · ((√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2)) · (i · (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2))))))) + ((i · (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2))))↑2)) = ((((√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2))↑2) + ((i · (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2))))↑2)) + (2 · ((√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2)) · (i · (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2))))))))
159		replim 15015	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 𝐴 = ((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴))))
160	152, 158, 159	3eqtr4d 2775	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((((√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2))↑2) + (2 · ((√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2)) · (i · (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2))))))) + ((i · (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2))))↑2)) = 𝐴)
161	16, 160	eqtrd 2765	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2)) + (i · (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2)))))↑2) = 𝐴)
162	20, 69	sqrtge0d 15320	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 0 ≤ (√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2)))
163	1, 10	crred 15130	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘((√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2)) + (i · (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2)))))) = (√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2)))
164	162, 163	breqtrrd 5117	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 0 ≤ (ℜ‘((√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2)) + (i · (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2)))))))
165		reim 15008	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2)) + (i · (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2))))) ∈ ℂ → (ℜ‘((√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2)) + (i · (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2)))))) = (ℑ‘(i · ((√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2)) + (i · (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2))))))))
166	13, 165	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘((√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2)) + (i · (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2)))))) = (ℑ‘(i · ((√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2)) + (i · (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2))))))))
167	166, 163	eqtr3d 2767	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℑ‘(i · ((√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2)) + (i · (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2))))))) = (√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2)))
168	167	eqeq1d 2732	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((ℑ‘(i · ((√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2)) + (i · (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2))))))) = 0 ↔ (√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2)) = 0))
169		cnsqrt00 15292	. . . . . . . 8 ⊢ ((((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2) ∈ ℂ → ((√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2)) = 0 ↔ (((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2) = 0))
170	21, 169	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2)) = 0 ↔ (((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2) = 0))
171		half0 12341	. . . . . . . . 9 ⊢ (((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) ∈ ℂ → ((((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2) = 0 ↔ ((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) = 0))
172	55, 171	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2) = 0 ↔ ((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) = 0))
173	49, 50	addcomd 11307	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) = ((ℜ‘𝐴) + (abs‘𝐴)))
174	173	eqeq1d 2732	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) = 0 ↔ ((ℜ‘𝐴) + (abs‘𝐴)) = 0))
175		addeq0 11532	. . . . . . . . 9 ⊢ (((ℜ‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) ∈ ℂ) → (((ℜ‘𝐴) + (abs‘𝐴)) = 0 ↔ (ℜ‘𝐴) = -(abs‘𝐴)))
176	50, 49, 175	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((ℜ‘𝐴) + (abs‘𝐴)) = 0 ↔ (ℜ‘𝐴) = -(abs‘𝐴)))
177	172, 174, 176	3bitrd 305	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2) = 0 ↔ (ℜ‘𝐴) = -(abs‘𝐴)))
178	168, 170, 177	3bitrd 305	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((ℑ‘(i · ((√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2)) + (i · (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2))))))) = 0 ↔ (ℜ‘𝐴) = -(abs‘𝐴)))
179		olc 868	. . . . . . . 8 ⊢ ((ℜ‘𝐴) = -(abs‘𝐴) → ((ℜ‘𝐴) = (abs‘𝐴) ∨ (ℜ‘𝐴) = -(abs‘𝐴)))
180		eqcom 2737	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((ℜ‘𝐴)↑2) = ((abs‘𝐴)↑2) ↔ ((abs‘𝐴)↑2) = ((ℜ‘𝐴)↑2))
181	180	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((ℜ‘𝐴)↑2) = ((abs‘𝐴)↑2) ↔ ((abs‘𝐴)↑2) = ((ℜ‘𝐴)↑2)))
182		sqeqor 14115	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((ℜ‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) ∈ ℂ) → (((ℜ‘𝐴)↑2) = ((abs‘𝐴)↑2) ↔ ((ℜ‘𝐴) = (abs‘𝐴) ∨ (ℜ‘𝐴) = -(abs‘𝐴))))
183	50, 49, 182	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((ℜ‘𝐴)↑2) = ((abs‘𝐴)↑2) ↔ ((ℜ‘𝐴) = (abs‘𝐴) ∨ (ℜ‘𝐴) = -(abs‘𝐴))))
184	103	eqeq1d 2732	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((abs‘𝐴)↑2) = ((ℜ‘𝐴)↑2) ↔ (((ℜ‘𝐴)↑2) + ((ℑ‘𝐴)↑2)) = ((ℜ‘𝐴)↑2)))
185		addid0 11528	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((ℜ‘𝐴)↑2) ∈ ℂ ∧ ((ℑ‘𝐴)↑2) ∈ ℂ) → ((((ℜ‘𝐴)↑2) + ((ℑ‘𝐴)↑2)) = ((ℜ‘𝐴)↑2) ↔ ((ℑ‘𝐴)↑2) = 0))
186	99, 102, 185	syl2anc 584	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((((ℜ‘𝐴)↑2) + ((ℑ‘𝐴)↑2)) = ((ℜ‘𝐴)↑2) ↔ ((ℑ‘𝐴)↑2) = 0))
187		sqeq0 14019	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((ℑ‘𝐴) ∈ ℂ → (((ℑ‘𝐴)↑2) = 0 ↔ (ℑ‘𝐴) = 0))
188	130, 187	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((ℑ‘𝐴)↑2) = 0 ↔ (ℑ‘𝐴) = 0))
189	184, 186, 188	3bitrd 305	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((abs‘𝐴)↑2) = ((ℜ‘𝐴)↑2) ↔ (ℑ‘𝐴) = 0))
190	181, 183, 189	3bitr3d 309	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((ℜ‘𝐴) = (abs‘𝐴) ∨ (ℜ‘𝐴) = -(abs‘𝐴)) ↔ (ℑ‘𝐴) = 0))
191	179, 190	imbitrid 244	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((ℜ‘𝐴) = -(abs‘𝐴) → (ℑ‘𝐴) = 0))
192	191	ancld 550	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((ℜ‘𝐴) = -(abs‘𝐴) → ((ℜ‘𝐴) = -(abs‘𝐴) ∧ (ℑ‘𝐴) = 0)))
193	178, 192	sylbid 240	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((ℑ‘(i · ((√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2)) + (i · (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2))))))) = 0 → ((ℜ‘𝐴) = -(abs‘𝐴) ∧ (ℑ‘𝐴) = 0)))
194		simp2 1137	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) = -(abs‘𝐴) ∧ (ℑ‘𝐴) = 0) → (ℜ‘𝐴) = -(abs‘𝐴))
195	194	oveq2d 7357	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) = -(abs‘𝐴) ∧ (ℑ‘𝐴) = 0) → ((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) = ((abs‘𝐴) + -(abs‘𝐴)))
196	49	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) = -(abs‘𝐴) ∧ (ℑ‘𝐴) = 0) → (abs‘𝐴) ∈ ℂ)
197	196	negidd 11454	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) = -(abs‘𝐴) ∧ (ℑ‘𝐴) = 0) → ((abs‘𝐴) + -(abs‘𝐴)) = 0)
198	195, 197	eqtrd 2765	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) = -(abs‘𝐴) ∧ (ℑ‘𝐴) = 0) → ((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) = 0)
199	198	oveq1d 7356	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) = -(abs‘𝐴) ∧ (ℑ‘𝐴) = 0) → (((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2) = (0 / 2))
200		2cn 12192	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 2 ∈ ℂ
201	200, 58	div0i 11847	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (0 / 2) = 0
202	199, 201	eqtrdi 2781	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) = -(abs‘𝐴) ∧ (ℑ‘𝐴) = 0) → (((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2) = 0)
203	202	fveq2d 6821	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) = -(abs‘𝐴) ∧ (ℑ‘𝐴) = 0) → (√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2)) = (√‘0))
204		sqrt0 15140	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (√‘0) = 0
205	203, 204	eqtrdi 2781	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) = -(abs‘𝐴) ∧ (ℑ‘𝐴) = 0) → (√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2)) = 0)
206		simp3 1138	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) = -(abs‘𝐴) ∧ (ℑ‘𝐴) = 0) → (ℑ‘𝐴) = 0)
207		0red 11107	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) = -(abs‘𝐴) ∧ (ℑ‘𝐴) = 0) → 0 ∈ ℝ)
208	207	ltnrd 11239	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) = -(abs‘𝐴) ∧ (ℑ‘𝐴) = 0) → ¬ 0 < 0)
209	206, 208	eqnbrtrd 5107	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) = -(abs‘𝐴) ∧ (ℑ‘𝐴) = 0) → ¬ (ℑ‘𝐴) < 0)
210	209	iffalsed 4484	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) = -(abs‘𝐴) ∧ (ℑ‘𝐴) = 0) → if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) = 1)
211	194	oveq2d 7357	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) = -(abs‘𝐴) ∧ (ℑ‘𝐴) = 0) → ((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) = ((abs‘𝐴) − -(abs‘𝐴)))
212	49, 49	subnegd 11471	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((abs‘𝐴) − -(abs‘𝐴)) = ((abs‘𝐴) + (abs‘𝐴)))
213	49	2timesd 12356	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (2 · (abs‘𝐴)) = ((abs‘𝐴) + (abs‘𝐴)))
214	212, 213	eqtr4d 2768	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((abs‘𝐴) − -(abs‘𝐴)) = (2 · (abs‘𝐴)))
215	214	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) = -(abs‘𝐴) ∧ (ℑ‘𝐴) = 0) → ((abs‘𝐴) − -(abs‘𝐴)) = (2 · (abs‘𝐴)))
216	211, 215	eqtrd 2765	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) = -(abs‘𝐴) ∧ (ℑ‘𝐴) = 0) → ((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) = (2 · (abs‘𝐴)))
217	216	oveq1d 7356	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) = -(abs‘𝐴) ∧ (ℑ‘𝐴) = 0) → (((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2) = ((2 · (abs‘𝐴)) / 2))
218	49, 57, 59	divcan3d 11894	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((2 · (abs‘𝐴)) / 2) = (abs‘𝐴))
219	218	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) = -(abs‘𝐴) ∧ (ℑ‘𝐴) = 0) → ((2 · (abs‘𝐴)) / 2) = (abs‘𝐴))
220	217, 219	eqtrd 2765	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) = -(abs‘𝐴) ∧ (ℑ‘𝐴) = 0) → (((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2) = (abs‘𝐴))
221	220	fveq2d 6821	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) = -(abs‘𝐴) ∧ (ℑ‘𝐴) = 0) → (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2)) = (√‘(abs‘𝐴)))
222	210, 221	oveq12d 7359	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) = -(abs‘𝐴) ∧ (ℑ‘𝐴) = 0) → (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2))) = (1 · (√‘(abs‘𝐴))))
223		absge0 15186	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 0 ≤ (abs‘𝐴))
224	17, 223	resqrtcld 15317	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (√‘(abs‘𝐴)) ∈ ℝ)
225	224	recnd 11132	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (√‘(abs‘𝐴)) ∈ ℂ)
226	225	mullidd 11122	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (1 · (√‘(abs‘𝐴))) = (√‘(abs‘𝐴)))
227	226	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) = -(abs‘𝐴) ∧ (ℑ‘𝐴) = 0) → (1 · (√‘(abs‘𝐴))) = (√‘(abs‘𝐴)))
228	222, 227	eqtrd 2765	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) = -(abs‘𝐴) ∧ (ℑ‘𝐴) = 0) → (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2))) = (√‘(abs‘𝐴)))
229	228	oveq2d 7357	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) = -(abs‘𝐴) ∧ (ℑ‘𝐴) = 0) → (i · (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2)))) = (i · (√‘(abs‘𝐴))))
230	205, 229	oveq12d 7359	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) = -(abs‘𝐴) ∧ (ℑ‘𝐴) = 0) → ((√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2)) + (i · (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2))))) = (0 + (i · (√‘(abs‘𝐴)))))
231	4, 225	mulcld 11124	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (i · (√‘(abs‘𝐴))) ∈ ℂ)
232	231	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) = -(abs‘𝐴) ∧ (ℑ‘𝐴) = 0) → (i · (√‘(abs‘𝐴))) ∈ ℂ)
233	232	addlidd 11306	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) = -(abs‘𝐴) ∧ (ℑ‘𝐴) = 0) → (0 + (i · (√‘(abs‘𝐴)))) = (i · (√‘(abs‘𝐴))))
234	230, 233	eqtrd 2765	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) = -(abs‘𝐴) ∧ (ℑ‘𝐴) = 0) → ((√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2)) + (i · (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2))))) = (i · (√‘(abs‘𝐴))))
235	234	oveq2d 7357	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) = -(abs‘𝐴) ∧ (ℑ‘𝐴) = 0) → (i · ((√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2)) + (i · (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2)))))) = (i · (i · (√‘(abs‘𝐴)))))
236		ixi 11738	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (i · i) = -1
237	236	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (i · i) = -1)
238	237	oveq1d 7356	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((i · i) · (√‘(abs‘𝐴))) = (-1 · (√‘(abs‘𝐴))))
239	4, 4, 225	mulassd 11127	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((i · i) · (√‘(abs‘𝐴))) = (i · (i · (√‘(abs‘𝐴)))))
240	225	mulm1d 11561	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (-1 · (√‘(abs‘𝐴))) = -(√‘(abs‘𝐴)))
241	238, 239, 240	3eqtr3d 2773	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (i · (i · (√‘(abs‘𝐴)))) = -(√‘(abs‘𝐴)))
242	241	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) = -(abs‘𝐴) ∧ (ℑ‘𝐴) = 0) → (i · (i · (√‘(abs‘𝐴)))) = -(√‘(abs‘𝐴)))
243	235, 242	eqtrd 2765	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) = -(abs‘𝐴) ∧ (ℑ‘𝐴) = 0) → (i · ((√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2)) + (i · (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2)))))) = -(√‘(abs‘𝐴)))
244	243	fveq2d 6821	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) = -(abs‘𝐴) ∧ (ℑ‘𝐴) = 0) → (ℜ‘(i · ((√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2)) + (i · (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2))))))) = (ℜ‘-(√‘(abs‘𝐴))))
245	224	renegcld 11536	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -(√‘(abs‘𝐴)) ∈ ℝ)
246	245	rered 15123	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘-(√‘(abs‘𝐴))) = -(√‘(abs‘𝐴)))
247	246	3ad2ant1 1133	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) = -(abs‘𝐴) ∧ (ℑ‘𝐴) = 0) → (ℜ‘-(√‘(abs‘𝐴))) = -(√‘(abs‘𝐴)))
248	244, 247	eqtrd 2765	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) = -(abs‘𝐴) ∧ (ℑ‘𝐴) = 0) → (ℜ‘(i · ((√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2)) + (i · (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2))))))) = -(√‘(abs‘𝐴)))
249	17, 223	sqrtge0d 15320	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 0 ≤ (√‘(abs‘𝐴)))
250	224	le0neg2d 11681	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (0 ≤ (√‘(abs‘𝐴)) ↔ -(√‘(abs‘𝐴)) ≤ 0))
251	249, 250	mpbid 232	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -(√‘(abs‘𝐴)) ≤ 0)
252	251	3ad2ant1 1133	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) = -(abs‘𝐴) ∧ (ℑ‘𝐴) = 0) → -(√‘(abs‘𝐴)) ≤ 0)
253	248, 252	eqbrtrd 5111	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) = -(abs‘𝐴) ∧ (ℑ‘𝐴) = 0) → (ℜ‘(i · ((√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2)) + (i · (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2))))))) ≤ 0)
254	253	3expib 1122	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((ℜ‘𝐴) = -(abs‘𝐴) ∧ (ℑ‘𝐴) = 0) → (ℜ‘(i · ((√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2)) + (i · (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2))))))) ≤ 0))
255	193, 254	syld 47	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((ℑ‘(i · ((√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2)) + (i · (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2))))))) = 0 → (ℜ‘(i · ((√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2)) + (i · (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2))))))) ≤ 0))
256	4, 13	mulcld 11124	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (i · ((√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2)) + (i · (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2)))))) ∈ ℂ)
257	256	sqrtcvallem1 43643	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((ℑ‘(i · ((√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2)) + (i · (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2))))))) = 0 → (ℜ‘(i · ((√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2)) + (i · (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2))))))) ≤ 0) ↔ ¬ (i · ((√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2)) + (i · (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2)))))) ∈ ℝ+))
258	255, 257	mpbid 232	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ¬ (i · ((√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2)) + (i · (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2)))))) ∈ ℝ+)
259	13, 14, 161, 164, 258	eqsqrtd 15267	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2)) + (i · (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2))))) = (√‘𝐴))
260	259	eqcomd 2736	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (√‘𝐴) = ((√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2)) + (i · (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2))))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2110   ≠ wne 2926  ifcif 4473   class class class wbr 5089  ‘cfv 6477  (class class class)co 7341  ℂcc 10996  ℝcr 10997  0cc0 10998  1c1 10999  ici 11000   + caddc 11001   · cmul 11003   < clt 11138   ≤ cle 11139   − cmin 11336  -cneg 11337   / cdiv 11766  2c2 12172  ℝ⁺crp 12882  ↑cexp 13960  ℜcre 14996  ℑcim 14997  √csqrt 15132  abscabs 15133

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2179  ax-ext 2702  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7663  ax-cnex 11054  ax-resscn 11055  ax-1cn 11056  ax-icn 11057  ax-addcl 11058  ax-addrcl 11059  ax-mulcl 11060  ax-mulrcl 11061  ax-mulcom 11062  ax-addass 11063  ax-mulass 11064  ax-distr 11065  ax-i2m1 11066  ax-1ne0 11067  ax-1rid 11068  ax-rnegex 11069  ax-rrecex 11070  ax-cnre 11071  ax-pre-lttri 11072  ax-pre-lttrn 11073  ax-pre-ltadd 11074  ax-pre-mulgt0 11075  ax-pre-sup 11076

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3394  df-v 3436  df-sbc 3740  df-csb 3849  df-dif 3903  df-un 3905  df-in 3907  df-ss 3917  df-pss 3920  df-nul 4282  df-if 4474  df-pw 4550  df-sn 4575  df-pr 4577  df-op 4581  df-uni 4858  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6244  df-ord 6305  df-on 6306  df-lim 6307  df-suc 6308  df-iota 6433  df-fun 6479  df-fn 6480  df-f 6481  df-f1 6482  df-fo 6483  df-f1o 6484  df-fv 6485  df-riota 7298  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-om 7792  df-2nd 7917  df-frecs 8206  df-wrecs 8237  df-recs 8286  df-rdg 8324  df-er 8617  df-en 8865  df-dom 8866  df-sdom 8867  df-sup 9321  df-pnf 11140  df-mnf 11141  df-xr 11142  df-ltxr 11143  df-le 11144  df-sub 11338  df-neg 11339  df-div 11767  df-nn 12118  df-2 12180  df-3 12181  df-n0 12374  df-z 12461  df-uz 12725  df-rp 12883  df-seq 13901  df-exp 13961  df-cj 14998  df-re 14999  df-im 15000  df-sqrt 15134  df-abs 15135

This theorem is referenced by:  sqrtcval2  43654  resqrtval  43655  imsqrtval  43656