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Theorem sqrtcval 43631
Description: Explicit formula for the complex square root in terms of the square root of nonnegative reals. The right-hand side is decomposed into real and imaginary parts in the format expected by crrei 15228 and crimi 15229. This formula can be found in section 3.7.27 of Handbook of Mathematical Functions, ed. M. Abramowitz and I. A. Stegun (1965, Dover Press). (Contributed by RP, 18-May-2024.)
Assertion
Ref Expression
sqrtcval (𝐴 ∈ ℂ → (√‘𝐴) = ((√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2)) + (i · (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2))))))

Proof of Theorem sqrtcval
StepHypRef Expression
1 sqrtcvallem5 43630 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2)) ∈ ℝ)
21recnd 11287 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → (√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2)) ∈ ℂ)
3 ax-icn 11212 . . . . . 6 i ∈ ℂ
43a1i 11 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → i ∈ ℂ)
5 neg1rr 12379 . . . . . . . . 9 -1 ∈ ℝ
6 1re 11259 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℝ
75, 6ifcli 4578 . . . . . . . 8 if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) ∈ ℝ
87a1i 11 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) ∈ ℝ)
9 sqrtcvallem3 43628 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2)) ∈ ℝ)
108, 9remulcld 11289 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2))) ∈ ℝ)
1110recnd 11287 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2))) ∈ ℂ)
124, 11mulcld 11279 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → (i · (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2)))) ∈ ℂ)
132, 12addcld 11278 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → ((√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2)) + (i · (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2))))) ∈ ℂ)
14 id 22 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → 𝐴 ∈ ℂ)
15 binom2 14253 . . . . 5 (((√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2)) ∈ ℂ ∧ (i · (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2)))) ∈ ℂ) → (((√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2)) + (i · (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2)))))↑2) = ((((√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2))↑2) + (2 · ((√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2)) · (i · (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2))))))) + ((i · (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2))))↑2)))
162, 12, 15syl2anc 584 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → (((√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2)) + (i · (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2)))))↑2) = ((((√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2))↑2) + (2 · ((√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2)) · (i · (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2))))))) + ((i · (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2))))↑2)))
17 abscl 15314 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
18 recl 15146 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ)
1917, 18readdcld 11288 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ ℂ → ((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) ∈ ℝ)
2019rehalfcld 12511 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℂ → (((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2) ∈ ℝ)
2120recnd 11287 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℂ → (((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2) ∈ ℂ)
2221sqsqrtd 15475 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℂ → ((√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2))↑2) = (((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2))
234, 11sqmuld 14195 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℂ → ((i · (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2))))↑2) = ((i↑2) · ((if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2)))↑2)))
24 i2 14238 . . . . . . . . . . 11 (i↑2) = -1
2524a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℂ → (i↑2) = -1)
268recnd 11287 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ ℂ → if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) ∈ ℂ)
279recnd 11287 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ ℂ → (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2)) ∈ ℂ)
2826, 27sqmuld 14195 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ ℂ → ((if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2)))↑2) = ((if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1)↑2) · ((√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2))↑2)))
29 ovif 7531 . . . . . . . . . . . . . 14 (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1)↑2) = if((ℑ‘𝐴) < 0, (-1↑2), (1↑2))
30 neg1sqe1 14232 . . . . . . . . . . . . . . 15 (-1↑2) = 1
31 sq1 14231 . . . . . . . . . . . . . . 15 (1↑2) = 1
32 ifeq12 4549 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((-1↑2) = 1 ∧ (1↑2) = 1) → if((ℑ‘𝐴) < 0, (-1↑2), (1↑2)) = if((ℑ‘𝐴) < 0, 1, 1))
3330, 31, 32mp2an 692 . . . . . . . . . . . . . 14 if((ℑ‘𝐴) < 0, (-1↑2), (1↑2)) = if((ℑ‘𝐴) < 0, 1, 1)
34 ifid 4571 . . . . . . . . . . . . . 14 if((ℑ‘𝐴) < 0, 1, 1) = 1
3529, 33, 343eqtri 2767 . . . . . . . . . . . . 13 (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1)↑2) = 1
3635a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ ℂ → (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1)↑2) = 1)
3717, 18resubcld 11689 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴 ∈ ℂ → ((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) ∈ ℝ)
3837rehalfcld 12511 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 ∈ ℂ → (((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2) ∈ ℝ)
3938recnd 11287 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ ℂ → (((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2) ∈ ℂ)
4039sqsqrtd 15475 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ ℂ → ((√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2))↑2) = (((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2))
4136, 40oveq12d 7449 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ ℂ → ((if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1)↑2) · ((√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2))↑2)) = (1 · (((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2)))
4239mullidd 11277 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ ℂ → (1 · (((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2)) = (((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2))
4328, 41, 423eqtrd 2779 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℂ → ((if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2)))↑2) = (((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2))
4425, 43oveq12d 7449 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℂ → ((i↑2) · ((if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2)))↑2)) = (-1 · (((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2)))
4539mulm1d 11713 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℂ → (-1 · (((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2)) = -(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2))
4623, 44, 453eqtrd 2779 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℂ → ((i · (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2))))↑2) = -(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2))
4722, 46oveq12d 7449 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → (((√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2))↑2) + ((i · (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2))))↑2)) = ((((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2) + -(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2)))
4821, 39negsubd 11624 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → ((((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2) + -(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2)) = ((((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2) − (((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2)))
4917recnd 11287 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘𝐴) ∈ ℂ)
5018recnd 11287 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘𝐴) ∈ ℂ)
5149, 50, 50pnncand 11657 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℂ → (((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) − ((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴))) = ((ℜ‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)))
52502timesd 12507 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℂ → (2 · (ℜ‘𝐴)) = ((ℜ‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)))
5351, 52eqtr4d 2778 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℂ → (((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) − ((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴))) = (2 · (ℜ‘𝐴)))
5453oveq1d 7446 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℂ → ((((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) − ((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴))) / 2) = ((2 · (ℜ‘𝐴)) / 2))
5519recnd 11287 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℂ → ((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) ∈ ℂ)
5637recnd 11287 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℂ → ((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) ∈ ℂ)
57 2cnd 12342 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℂ → 2 ∈ ℂ)
58 2ne0 12368 . . . . . . . . . 10 2 ≠ 0
5958a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℂ → 2 ≠ 0)
6055, 56, 57, 59divsubdird 12080 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℂ → ((((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) − ((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴))) / 2) = ((((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2) − (((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2)))
6150, 57, 59divcan3d 12046 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℂ → ((2 · (ℜ‘𝐴)) / 2) = (ℜ‘𝐴))
6254, 60, 613eqtr3d 2783 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → ((((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2) − (((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2)) = (ℜ‘𝐴))
6347, 48, 623eqtrd 2779 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (((√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2))↑2) + ((i · (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2))))↑2)) = (ℜ‘𝐴))
6457, 2mulcld 11279 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℂ → (2 · (√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2))) ∈ ℂ)
6564, 4, 11mul12d 11468 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → ((2 · (√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2))) · (i · (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2))))) = (i · ((2 · (√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2))) · (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2))))))
6657, 2, 12mulassd 11282 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → ((2 · (√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2))) · (i · (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2))))) = (2 · ((√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2)) · (i · (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2)))))))
6757, 2, 11mulassd 11282 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℂ → ((2 · (√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2))) · (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2)))) = (2 · ((√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2)) · (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2))))))
682, 26, 27mul12d 11468 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ ℂ → ((√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2)) · (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2)))) = (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · ((√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2)) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2)))))
69 sqrtcvallem4 43629 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐴 ∈ ℂ → 0 ≤ (((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2))
70 halfnneg2 12495 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) ∈ ℝ → (0 ≤ ((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) ↔ 0 ≤ (((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2)))
7119, 70syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐴 ∈ ℂ → (0 ≤ ((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) ↔ 0 ≤ (((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2)))
7269, 71mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴 ∈ ℂ → 0 ≤ ((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)))
73 2rp 13037 . . . . . . . . . . . . . . . 16 2 ∈ ℝ+
7473a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴 ∈ ℂ → 2 ∈ ℝ+)
7519, 72, 74sqrtdivd 15459 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 ∈ ℂ → (√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2)) = ((√‘((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴))) / (√‘2)))
76 sqrtcvallem2 43627 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐴 ∈ ℂ → 0 ≤ (((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2))
77 halfnneg2 12495 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) ∈ ℝ → (0 ≤ ((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) ↔ 0 ≤ (((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2)))
7837, 77syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐴 ∈ ℂ → (0 ≤ ((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) ↔ 0 ≤ (((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2)))
7976, 78mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴 ∈ ℂ → 0 ≤ ((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)))
8037, 79, 74sqrtdivd 15459 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 ∈ ℂ → (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2)) = ((√‘((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴))) / (√‘2)))
8175, 80oveq12d 7449 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ ℂ → ((√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2)) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2))) = (((√‘((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴))) / (√‘2)) · ((√‘((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴))) / (√‘2))))
8219, 72resqrtcld 15453 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴 ∈ ℂ → (√‘((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴))) ∈ ℝ)
8382recnd 11287 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 ∈ ℂ → (√‘((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴))) ∈ ℂ)
84 2re 12338 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2 ∈ ℝ
8584a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐴 ∈ ℂ → 2 ∈ ℝ)
86 0le2 12366 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 0 ≤ 2
8786a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐴 ∈ ℂ → 0 ≤ 2)
8885, 87resqrtcld 15453 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴 ∈ ℂ → (√‘2) ∈ ℝ)
8988recnd 11287 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 ∈ ℂ → (√‘2) ∈ ℂ)
9037, 79resqrtcld 15453 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴 ∈ ℂ → (√‘((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴))) ∈ ℝ)
9190recnd 11287 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 ∈ ℂ → (√‘((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴))) ∈ ℂ)
92 sqrt00 15299 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((2 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 2) → ((√‘2) = 0 ↔ 2 = 0))
9384, 86, 92mp2an 692 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((√‘2) = 0 ↔ 2 = 0)
9493necon3bii 2991 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((√‘2) ≠ 0 ↔ 2 ≠ 0)
9558, 94mpbir 231 . . . . . . . . . . . . . . 15 (√‘2) ≠ 0
9695a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 ∈ ℂ → (√‘2) ≠ 0)
9783, 89, 91, 89, 96, 96divmuldivd 12082 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ ℂ → (((√‘((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴))) / (√‘2)) · ((√‘((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴))) / (√‘2))) = (((√‘((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴))) · (√‘((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)))) / ((√‘2) · (√‘2))))
9818resqcld 14162 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐴 ∈ ℂ → ((ℜ‘𝐴)↑2) ∈ ℝ)
9998recnd 11287 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐴 ∈ ℂ → ((ℜ‘𝐴)↑2) ∈ ℂ)
100 imcl 15147 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐴 ∈ ℂ → (ℑ‘𝐴) ∈ ℝ)
101100resqcld 14162 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐴 ∈ ℂ → ((ℑ‘𝐴)↑2) ∈ ℝ)
102101recnd 11287 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐴 ∈ ℂ → ((ℑ‘𝐴)↑2) ∈ ℂ)
103 absvalsq2 15317 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐴 ∈ ℂ → ((abs‘𝐴)↑2) = (((ℜ‘𝐴)↑2) + ((ℑ‘𝐴)↑2)))
10499, 102, 103mvrladdd 11674 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐴 ∈ ℂ → (((abs‘𝐴)↑2) − ((ℜ‘𝐴)↑2)) = ((ℑ‘𝐴)↑2))
105 subsq 14246 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((abs‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ ℂ) → (((abs‘𝐴)↑2) − ((ℜ‘𝐴)↑2)) = (((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) · ((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴))))
10649, 50, 105syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐴 ∈ ℂ → (((abs‘𝐴)↑2) − ((ℜ‘𝐴)↑2)) = (((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) · ((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴))))
107104, 106eqtr3d 2777 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐴 ∈ ℂ → ((ℑ‘𝐴)↑2) = (((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) · ((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴))))
108107fveq2d 6911 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴 ∈ ℂ → (√‘((ℑ‘𝐴)↑2)) = (√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) · ((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)))))
109100absred 15452 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘(ℑ‘𝐴)) = (√‘((ℑ‘𝐴)↑2)))
110 reabsifneg 43622 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((ℑ‘𝐴) ∈ ℝ → (abs‘(ℑ‘𝐴)) = if((ℑ‘𝐴) < 0, -(ℑ‘𝐴), (ℑ‘𝐴)))
111100, 110syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘(ℑ‘𝐴)) = if((ℑ‘𝐴) < 0, -(ℑ‘𝐴), (ℑ‘𝐴)))
112109, 111eqtr3d 2777 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴 ∈ ℂ → (√‘((ℑ‘𝐴)↑2)) = if((ℑ‘𝐴) < 0, -(ℑ‘𝐴), (ℑ‘𝐴)))
11319, 72, 37, 79sqrtmuld 15460 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴 ∈ ℂ → (√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) · ((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)))) = ((√‘((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴))) · (√‘((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)))))
114108, 112, 1133eqtr3rd 2784 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 ∈ ℂ → ((√‘((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴))) · (√‘((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)))) = if((ℑ‘𝐴) < 0, -(ℑ‘𝐴), (ℑ‘𝐴)))
115 remsqsqrt 15292 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((2 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 2) → ((√‘2) · (√‘2)) = 2)
11684, 86, 115mp2an 692 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((√‘2) · (√‘2)) = 2
117116a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 ∈ ℂ → ((√‘2) · (√‘2)) = 2)
118114, 117oveq12d 7449 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ ℂ → (((√‘((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴))) · (√‘((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)))) / ((√‘2) · (√‘2))) = (if((ℑ‘𝐴) < 0, -(ℑ‘𝐴), (ℑ‘𝐴)) / 2))
11981, 97, 1183eqtrd 2779 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ ℂ → ((√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2)) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2))) = (if((ℑ‘𝐴) < 0, -(ℑ‘𝐴), (ℑ‘𝐴)) / 2))
120119oveq2d 7447 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ ℂ → (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · ((√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2)) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2)))) = (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (if((ℑ‘𝐴) < 0, -(ℑ‘𝐴), (ℑ‘𝐴)) / 2)))
12168, 120eqtrd 2775 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℂ → ((√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2)) · (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2)))) = (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (if((ℑ‘𝐴) < 0, -(ℑ‘𝐴), (ℑ‘𝐴)) / 2)))
122121oveq2d 7447 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℂ → (2 · ((√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2)) · (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2))))) = (2 · (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (if((ℑ‘𝐴) < 0, -(ℑ‘𝐴), (ℑ‘𝐴)) / 2))))
123100renegcld 11688 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴 ∈ ℂ → -(ℑ‘𝐴) ∈ ℝ)
124123, 100ifcld 4577 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 ∈ ℂ → if((ℑ‘𝐴) < 0, -(ℑ‘𝐴), (ℑ‘𝐴)) ∈ ℝ)
125124recnd 11287 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ ℂ → if((ℑ‘𝐴) < 0, -(ℑ‘𝐴), (ℑ‘𝐴)) ∈ ℂ)
12626, 125, 57, 59divassd 12076 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ ℂ → ((if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · if((ℑ‘𝐴) < 0, -(ℑ‘𝐴), (ℑ‘𝐴))) / 2) = (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (if((ℑ‘𝐴) < 0, -(ℑ‘𝐴), (ℑ‘𝐴)) / 2)))
127 ovif12 7533 . . . . . . . . . . . . . 14 (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · if((ℑ‘𝐴) < 0, -(ℑ‘𝐴), (ℑ‘𝐴))) = if((ℑ‘𝐴) < 0, (-1 · -(ℑ‘𝐴)), (1 · (ℑ‘𝐴)))
1285a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐴 ∈ ℂ → -1 ∈ ℝ)
129128recnd 11287 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐴 ∈ ℂ → -1 ∈ ℂ)
130100recnd 11287 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐴 ∈ ℂ → (ℑ‘𝐴) ∈ ℂ)
131129, 129, 130mulassd 11282 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐴 ∈ ℂ → ((-1 · -1) · (ℑ‘𝐴)) = (-1 · (-1 · (ℑ‘𝐴))))
132 neg1mulneg1e1 12477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (-1 · -1) = 1
133132a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐴 ∈ ℂ → (-1 · -1) = 1)
134133oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐴 ∈ ℂ → ((-1 · -1) · (ℑ‘𝐴)) = (1 · (ℑ‘𝐴)))
135130mullidd 11277 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐴 ∈ ℂ → (1 · (ℑ‘𝐴)) = (ℑ‘𝐴))
136134, 135eqtrd 2775 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐴 ∈ ℂ → ((-1 · -1) · (ℑ‘𝐴)) = (ℑ‘𝐴))
137130mulm1d 11713 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐴 ∈ ℂ → (-1 · (ℑ‘𝐴)) = -(ℑ‘𝐴))
138137oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐴 ∈ ℂ → (-1 · (-1 · (ℑ‘𝐴))) = (-1 · -(ℑ‘𝐴)))
139131, 136, 1383eqtr3rd 2784 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐴 ∈ ℂ → (-1 · -(ℑ‘𝐴)) = (ℑ‘𝐴))
140139adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) < 0) → (-1 · -(ℑ‘𝐴)) = (ℑ‘𝐴))
141135adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ (ℑ‘𝐴) < 0) → (1 · (ℑ‘𝐴)) = (ℑ‘𝐴))
142140, 141ifeqda 4567 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 ∈ ℂ → if((ℑ‘𝐴) < 0, (-1 · -(ℑ‘𝐴)), (1 · (ℑ‘𝐴))) = (ℑ‘𝐴))
143127, 142eqtrid 2787 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ ℂ → (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · if((ℑ‘𝐴) < 0, -(ℑ‘𝐴), (ℑ‘𝐴))) = (ℑ‘𝐴))
144143oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ ℂ → ((if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · if((ℑ‘𝐴) < 0, -(ℑ‘𝐴), (ℑ‘𝐴))) / 2) = ((ℑ‘𝐴) / 2))
145126, 144eqtr3d 2777 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ ℂ → (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (if((ℑ‘𝐴) < 0, -(ℑ‘𝐴), (ℑ‘𝐴)) / 2)) = ((ℑ‘𝐴) / 2))
146145oveq2d 7447 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℂ → (2 · (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (if((ℑ‘𝐴) < 0, -(ℑ‘𝐴), (ℑ‘𝐴)) / 2))) = (2 · ((ℑ‘𝐴) / 2)))
147130, 57, 59divcan2d 12043 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℂ → (2 · ((ℑ‘𝐴) / 2)) = (ℑ‘𝐴))
148146, 147eqtrd 2775 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℂ → (2 · (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (if((ℑ‘𝐴) < 0, -(ℑ‘𝐴), (ℑ‘𝐴)) / 2))) = (ℑ‘𝐴))
14967, 122, 1483eqtrd 2779 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℂ → ((2 · (√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2))) · (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2)))) = (ℑ‘𝐴))
150149oveq2d 7447 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → (i · ((2 · (√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2))) · (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2))))) = (i · (ℑ‘𝐴)))
15165, 66, 1503eqtr3d 2783 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (2 · ((√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2)) · (i · (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2)))))) = (i · (ℑ‘𝐴)))
15263, 151oveq12d 7449 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → ((((√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2))↑2) + ((i · (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2))))↑2)) + (2 · ((√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2)) · (i · (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2))))))) = ((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴))))
1531resqcld 14162 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → ((√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2))↑2) ∈ ℝ)
154153recnd 11287 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → ((√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2))↑2) ∈ ℂ)
1552, 12mulcld 11279 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → ((√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2)) · (i · (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2))))) ∈ ℂ)
15657, 155mulcld 11279 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (2 · ((√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2)) · (i · (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2)))))) ∈ ℂ)
15712sqcld 14181 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → ((i · (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2))))↑2) ∈ ℂ)
158154, 156, 157add32d 11487 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → ((((√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2))↑2) + (2 · ((√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2)) · (i · (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2))))))) + ((i · (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2))))↑2)) = ((((√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2))↑2) + ((i · (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2))))↑2)) + (2 · ((√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2)) · (i · (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2))))))))
159 replim 15152 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → 𝐴 = ((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴))))
160152, 158, 1593eqtr4d 2785 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → ((((√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2))↑2) + (2 · ((√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2)) · (i · (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2))))))) + ((i · (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2))))↑2)) = 𝐴)
16116, 160eqtrd 2775 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → (((√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2)) + (i · (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2)))))↑2) = 𝐴)
16220, 69sqrtge0d 15456 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → 0 ≤ (√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2)))
1631, 10crred 15267 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘((√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2)) + (i · (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2)))))) = (√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2)))
164162, 163breqtrrd 5176 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → 0 ≤ (ℜ‘((√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2)) + (i · (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2)))))))
165 reim 15145 . . . . . . . . . 10 (((√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2)) + (i · (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2))))) ∈ ℂ → (ℜ‘((√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2)) + (i · (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2)))))) = (ℑ‘(i · ((√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2)) + (i · (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2))))))))
16613, 165syl 17 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘((√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2)) + (i · (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2)))))) = (ℑ‘(i · ((√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2)) + (i · (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2))))))))
167166, 163eqtr3d 2777 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℂ → (ℑ‘(i · ((√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2)) + (i · (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2))))))) = (√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2)))
168167eqeq1d 2737 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → ((ℑ‘(i · ((√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2)) + (i · (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2))))))) = 0 ↔ (√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2)) = 0))
169 cnsqrt00 15428 . . . . . . . 8 ((((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2) ∈ ℂ → ((√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2)) = 0 ↔ (((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2) = 0))
17021, 169syl 17 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → ((√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2)) = 0 ↔ (((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2) = 0))
171 half0 12491 . . . . . . . . 9 (((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) ∈ ℂ → ((((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2) = 0 ↔ ((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) = 0))
17255, 171syl 17 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℂ → ((((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2) = 0 ↔ ((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) = 0))
17349, 50addcomd 11461 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℂ → ((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) = ((ℜ‘𝐴) + (abs‘𝐴)))
174173eqeq1d 2737 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℂ → (((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) = 0 ↔ ((ℜ‘𝐴) + (abs‘𝐴)) = 0))
175 addeq0 11684 . . . . . . . . 9 (((ℜ‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) ∈ ℂ) → (((ℜ‘𝐴) + (abs‘𝐴)) = 0 ↔ (ℜ‘𝐴) = -(abs‘𝐴)))
17650, 49, 175syl2anc 584 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℂ → (((ℜ‘𝐴) + (abs‘𝐴)) = 0 ↔ (ℜ‘𝐴) = -(abs‘𝐴)))
177172, 174, 1763bitrd 305 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → ((((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2) = 0 ↔ (ℜ‘𝐴) = -(abs‘𝐴)))
178168, 170, 1773bitrd 305 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → ((ℑ‘(i · ((√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2)) + (i · (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2))))))) = 0 ↔ (ℜ‘𝐴) = -(abs‘𝐴)))
179 olc 868 . . . . . . . 8 ((ℜ‘𝐴) = -(abs‘𝐴) → ((ℜ‘𝐴) = (abs‘𝐴) ∨ (ℜ‘𝐴) = -(abs‘𝐴)))
180 eqcom 2742 . . . . . . . . . 10 (((ℜ‘𝐴)↑2) = ((abs‘𝐴)↑2) ↔ ((abs‘𝐴)↑2) = ((ℜ‘𝐴)↑2))
181180a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℂ → (((ℜ‘𝐴)↑2) = ((abs‘𝐴)↑2) ↔ ((abs‘𝐴)↑2) = ((ℜ‘𝐴)↑2)))
182 sqeqor 14252 . . . . . . . . . 10 (((ℜ‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) ∈ ℂ) → (((ℜ‘𝐴)↑2) = ((abs‘𝐴)↑2) ↔ ((ℜ‘𝐴) = (abs‘𝐴) ∨ (ℜ‘𝐴) = -(abs‘𝐴))))
18350, 49, 182syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℂ → (((ℜ‘𝐴)↑2) = ((abs‘𝐴)↑2) ↔ ((ℜ‘𝐴) = (abs‘𝐴) ∨ (ℜ‘𝐴) = -(abs‘𝐴))))
184103eqeq1d 2737 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℂ → (((abs‘𝐴)↑2) = ((ℜ‘𝐴)↑2) ↔ (((ℜ‘𝐴)↑2) + ((ℑ‘𝐴)↑2)) = ((ℜ‘𝐴)↑2)))
185 addid0 11680 . . . . . . . . . . 11 ((((ℜ‘𝐴)↑2) ∈ ℂ ∧ ((ℑ‘𝐴)↑2) ∈ ℂ) → ((((ℜ‘𝐴)↑2) + ((ℑ‘𝐴)↑2)) = ((ℜ‘𝐴)↑2) ↔ ((ℑ‘𝐴)↑2) = 0))
18699, 102, 185syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℂ → ((((ℜ‘𝐴)↑2) + ((ℑ‘𝐴)↑2)) = ((ℜ‘𝐴)↑2) ↔ ((ℑ‘𝐴)↑2) = 0))
187 sqeq0 14157 . . . . . . . . . . 11 ((ℑ‘𝐴) ∈ ℂ → (((ℑ‘𝐴)↑2) = 0 ↔ (ℑ‘𝐴) = 0))
188130, 187syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℂ → (((ℑ‘𝐴)↑2) = 0 ↔ (ℑ‘𝐴) = 0))
189184, 186, 1883bitrd 305 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℂ → (((abs‘𝐴)↑2) = ((ℜ‘𝐴)↑2) ↔ (ℑ‘𝐴) = 0))
190181, 183, 1893bitr3d 309 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℂ → (((ℜ‘𝐴) = (abs‘𝐴) ∨ (ℜ‘𝐴) = -(abs‘𝐴)) ↔ (ℑ‘𝐴) = 0))
191179, 190imbitrid 244 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → ((ℜ‘𝐴) = -(abs‘𝐴) → (ℑ‘𝐴) = 0))
192191ancld 550 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → ((ℜ‘𝐴) = -(abs‘𝐴) → ((ℜ‘𝐴) = -(abs‘𝐴) ∧ (ℑ‘𝐴) = 0)))
193178, 192sylbid 240 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → ((ℑ‘(i · ((√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2)) + (i · (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2))))))) = 0 → ((ℜ‘𝐴) = -(abs‘𝐴) ∧ (ℑ‘𝐴) = 0)))
194 simp2 1136 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) = -(abs‘𝐴) ∧ (ℑ‘𝐴) = 0) → (ℜ‘𝐴) = -(abs‘𝐴))
195194oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) = -(abs‘𝐴) ∧ (ℑ‘𝐴) = 0) → ((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) = ((abs‘𝐴) + -(abs‘𝐴)))
196493ad2ant1 1132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) = -(abs‘𝐴) ∧ (ℑ‘𝐴) = 0) → (abs‘𝐴) ∈ ℂ)
197196negidd 11608 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) = -(abs‘𝐴) ∧ (ℑ‘𝐴) = 0) → ((abs‘𝐴) + -(abs‘𝐴)) = 0)
198195, 197eqtrd 2775 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) = -(abs‘𝐴) ∧ (ℑ‘𝐴) = 0) → ((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) = 0)
199198oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) = -(abs‘𝐴) ∧ (ℑ‘𝐴) = 0) → (((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2) = (0 / 2))
200 2cn 12339 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2 ∈ ℂ
201200, 58div0i 11999 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (0 / 2) = 0
202199, 201eqtrdi 2791 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) = -(abs‘𝐴) ∧ (ℑ‘𝐴) = 0) → (((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2) = 0)
203202fveq2d 6911 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) = -(abs‘𝐴) ∧ (ℑ‘𝐴) = 0) → (√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2)) = (√‘0))
204 sqrt0 15277 . . . . . . . . . . . . . 14 (√‘0) = 0
205203, 204eqtrdi 2791 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) = -(abs‘𝐴) ∧ (ℑ‘𝐴) = 0) → (√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2)) = 0)
206 simp3 1137 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) = -(abs‘𝐴) ∧ (ℑ‘𝐴) = 0) → (ℑ‘𝐴) = 0)
207 0red 11262 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) = -(abs‘𝐴) ∧ (ℑ‘𝐴) = 0) → 0 ∈ ℝ)
208207ltnrd 11393 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) = -(abs‘𝐴) ∧ (ℑ‘𝐴) = 0) → ¬ 0 < 0)
209206, 208eqnbrtrd 5166 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) = -(abs‘𝐴) ∧ (ℑ‘𝐴) = 0) → ¬ (ℑ‘𝐴) < 0)
210209iffalsed 4542 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) = -(abs‘𝐴) ∧ (ℑ‘𝐴) = 0) → if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) = 1)
211194oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) = -(abs‘𝐴) ∧ (ℑ‘𝐴) = 0) → ((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) = ((abs‘𝐴) − -(abs‘𝐴)))
21249, 49subnegd 11625 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝐴 ∈ ℂ → ((abs‘𝐴) − -(abs‘𝐴)) = ((abs‘𝐴) + (abs‘𝐴)))
213492timesd 12507 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝐴 ∈ ℂ → (2 · (abs‘𝐴)) = ((abs‘𝐴) + (abs‘𝐴)))
214212, 213eqtr4d 2778 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝐴 ∈ ℂ → ((abs‘𝐴) − -(abs‘𝐴)) = (2 · (abs‘𝐴)))
2152143ad2ant1 1132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) = -(abs‘𝐴) ∧ (ℑ‘𝐴) = 0) → ((abs‘𝐴) − -(abs‘𝐴)) = (2 · (abs‘𝐴)))
216211, 215eqtrd 2775 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) = -(abs‘𝐴) ∧ (ℑ‘𝐴) = 0) → ((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) = (2 · (abs‘𝐴)))
217216oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) = -(abs‘𝐴) ∧ (ℑ‘𝐴) = 0) → (((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2) = ((2 · (abs‘𝐴)) / 2))
21849, 57, 59divcan3d 12046 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐴 ∈ ℂ → ((2 · (abs‘𝐴)) / 2) = (abs‘𝐴))
2192183ad2ant1 1132 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) = -(abs‘𝐴) ∧ (ℑ‘𝐴) = 0) → ((2 · (abs‘𝐴)) / 2) = (abs‘𝐴))
220217, 219eqtrd 2775 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) = -(abs‘𝐴) ∧ (ℑ‘𝐴) = 0) → (((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2) = (abs‘𝐴))
221220fveq2d 6911 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) = -(abs‘𝐴) ∧ (ℑ‘𝐴) = 0) → (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2)) = (√‘(abs‘𝐴)))
222210, 221oveq12d 7449 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) = -(abs‘𝐴) ∧ (ℑ‘𝐴) = 0) → (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2))) = (1 · (√‘(abs‘𝐴))))
223 absge0 15323 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐴 ∈ ℂ → 0 ≤ (abs‘𝐴))
22417, 223resqrtcld 15453 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐴 ∈ ℂ → (√‘(abs‘𝐴)) ∈ ℝ)
225224recnd 11287 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐴 ∈ ℂ → (√‘(abs‘𝐴)) ∈ ℂ)
226225mullidd 11277 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐴 ∈ ℂ → (1 · (√‘(abs‘𝐴))) = (√‘(abs‘𝐴)))
2272263ad2ant1 1132 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) = -(abs‘𝐴) ∧ (ℑ‘𝐴) = 0) → (1 · (√‘(abs‘𝐴))) = (√‘(abs‘𝐴)))
228222, 227eqtrd 2775 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) = -(abs‘𝐴) ∧ (ℑ‘𝐴) = 0) → (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2))) = (√‘(abs‘𝐴)))
229228oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) = -(abs‘𝐴) ∧ (ℑ‘𝐴) = 0) → (i · (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2)))) = (i · (√‘(abs‘𝐴))))
230205, 229oveq12d 7449 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) = -(abs‘𝐴) ∧ (ℑ‘𝐴) = 0) → ((√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2)) + (i · (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2))))) = (0 + (i · (√‘(abs‘𝐴)))))
2314, 225mulcld 11279 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 ∈ ℂ → (i · (√‘(abs‘𝐴))) ∈ ℂ)
2322313ad2ant1 1132 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) = -(abs‘𝐴) ∧ (ℑ‘𝐴) = 0) → (i · (√‘(abs‘𝐴))) ∈ ℂ)
233232addlidd 11460 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) = -(abs‘𝐴) ∧ (ℑ‘𝐴) = 0) → (0 + (i · (√‘(abs‘𝐴)))) = (i · (√‘(abs‘𝐴))))
234230, 233eqtrd 2775 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) = -(abs‘𝐴) ∧ (ℑ‘𝐴) = 0) → ((√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2)) + (i · (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2))))) = (i · (√‘(abs‘𝐴))))
235234oveq2d 7447 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) = -(abs‘𝐴) ∧ (ℑ‘𝐴) = 0) → (i · ((√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2)) + (i · (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2)))))) = (i · (i · (√‘(abs‘𝐴)))))
236 ixi 11890 . . . . . . . . . . . . . 14 (i · i) = -1
237236a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ ℂ → (i · i) = -1)
238237oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ ℂ → ((i · i) · (√‘(abs‘𝐴))) = (-1 · (√‘(abs‘𝐴))))
2394, 4, 225mulassd 11282 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ ℂ → ((i · i) · (√‘(abs‘𝐴))) = (i · (i · (√‘(abs‘𝐴)))))
240225mulm1d 11713 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ ℂ → (-1 · (√‘(abs‘𝐴))) = -(√‘(abs‘𝐴)))
241238, 239, 2403eqtr3d 2783 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ ℂ → (i · (i · (√‘(abs‘𝐴)))) = -(√‘(abs‘𝐴)))
2422413ad2ant1 1132 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) = -(abs‘𝐴) ∧ (ℑ‘𝐴) = 0) → (i · (i · (√‘(abs‘𝐴)))) = -(√‘(abs‘𝐴)))
243235, 242eqtrd 2775 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) = -(abs‘𝐴) ∧ (ℑ‘𝐴) = 0) → (i · ((√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2)) + (i · (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2)))))) = -(√‘(abs‘𝐴)))
244243fveq2d 6911 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) = -(abs‘𝐴) ∧ (ℑ‘𝐴) = 0) → (ℜ‘(i · ((√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2)) + (i · (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2))))))) = (ℜ‘-(√‘(abs‘𝐴))))
245224renegcld 11688 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℂ → -(√‘(abs‘𝐴)) ∈ ℝ)
246245rered 15260 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘-(√‘(abs‘𝐴))) = -(√‘(abs‘𝐴)))
2472463ad2ant1 1132 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) = -(abs‘𝐴) ∧ (ℑ‘𝐴) = 0) → (ℜ‘-(√‘(abs‘𝐴))) = -(√‘(abs‘𝐴)))
248244, 247eqtrd 2775 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) = -(abs‘𝐴) ∧ (ℑ‘𝐴) = 0) → (ℜ‘(i · ((√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2)) + (i · (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2))))))) = -(√‘(abs‘𝐴)))
24917, 223sqrtge0d 15456 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℂ → 0 ≤ (√‘(abs‘𝐴)))
250224le0neg2d 11833 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℂ → (0 ≤ (√‘(abs‘𝐴)) ↔ -(√‘(abs‘𝐴)) ≤ 0))
251249, 250mpbid 232 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℂ → -(√‘(abs‘𝐴)) ≤ 0)
2522513ad2ant1 1132 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) = -(abs‘𝐴) ∧ (ℑ‘𝐴) = 0) → -(√‘(abs‘𝐴)) ≤ 0)
253248, 252eqbrtrd 5170 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) = -(abs‘𝐴) ∧ (ℑ‘𝐴) = 0) → (ℜ‘(i · ((√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2)) + (i · (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2))))))) ≤ 0)
2542533expib 1121 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (((ℜ‘𝐴) = -(abs‘𝐴) ∧ (ℑ‘𝐴) = 0) → (ℜ‘(i · ((√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2)) + (i · (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2))))))) ≤ 0))
255193, 254syld 47 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → ((ℑ‘(i · ((√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2)) + (i · (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2))))))) = 0 → (ℜ‘(i · ((√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2)) + (i · (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2))))))) ≤ 0))
2564, 13mulcld 11279 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (i · ((√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2)) + (i · (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2)))))) ∈ ℂ)
257256sqrtcvallem1 43621 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → (((ℑ‘(i · ((√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2)) + (i · (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2))))))) = 0 → (ℜ‘(i · ((√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2)) + (i · (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2))))))) ≤ 0) ↔ ¬ (i · ((√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2)) + (i · (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2)))))) ∈ ℝ+))
258255, 257mpbid 232 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → ¬ (i · ((√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2)) + (i · (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2)))))) ∈ ℝ+)
25913, 14, 161, 164, 258eqsqrtd 15403 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → ((√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2)) + (i · (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2))))) = (√‘𝐴))
260259eqcomd 2741 1 (𝐴 ∈ ℂ → (√‘𝐴) = ((√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2)) + (i · (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2))))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  wo 847  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106  wne 2938  ifcif 4531   class class class wbr 5148  cfv 6563  (class class class)co 7431  cc 11151  cr 11152  0cc0 11153  1c1 11154  ici 11155   + caddc 11156   · cmul 11158   < clt 11293  cle 11294  cmin 11490  -cneg 11491   / cdiv 11918  2c2 12319  +crp 13032  cexp 14099  cre 15133  cim 15134  csqrt 15269  abscabs 15270
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-sup 9480  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-rp 13033  df-seq 14040  df-exp 14100  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272
This theorem is referenced by:  sqrtcval2  43632  resqrtval  43633  imsqrtval  43634
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