Theorem sqrtcval 40699

Description: Explicit formula for the complex square root in terms of the square root of non-negative reals. The right-hand side is decomposed into real and imaginary parts in the format expected by crrei 14584 and crimi 14585. This formula can be found in section 3.7.27 of Handbook of Mathematical Functions, ed. M. Abramowitz and I. A. Stegun (1965, Dover Press). (Contributed by RP, 18-May-2024.)

Assertion

Ref	Expression
sqrtcval	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (√‘𝐴) = ((√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2)) + (i · (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2))))))

Proof of Theorem sqrtcval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sqrtcvallem5 40698	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2)) ∈ ℝ)
2	1	recnd 10692	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2)) ∈ ℂ)
3		ax-icn 10619	. . . . . 6 ⊢ i ∈ ℂ
4	3	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → i ∈ ℂ)
5		neg1rr 11774	. . . . . . . . 9 ⊢ -1 ∈ ℝ
6		1re 10664	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℝ
7	5, 6	ifcli 4460	. . . . . . . 8 ⊢ if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) ∈ ℝ
8	7	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) ∈ ℝ)
9		sqrtcvallem3 40696	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2)) ∈ ℝ)
10	8, 9	remulcld 10694	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2))) ∈ ℝ)
11	10	recnd 10692	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2))) ∈ ℂ)
12	4, 11	mulcld 10684	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (i · (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2)))) ∈ ℂ)
13	2, 12	addcld 10683	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2)) + (i · (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2))))) ∈ ℂ)
14		id 22	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 𝐴 ∈ ℂ)
15		binom2 13614	. . . . 5 ⊢ (((√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2)) ∈ ℂ ∧ (i · (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2)))) ∈ ℂ) → (((√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2)) + (i · (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2)))))↑2) = ((((√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2))↑2) + (2 · ((√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2)) · (i · (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2))))))) + ((i · (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2))))↑2)))
16	2, 12, 15	syl2anc 588	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2)) + (i · (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2)))))↑2) = ((((√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2))↑2) + (2 · ((√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2)) · (i · (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2))))))) + ((i · (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2))))↑2)))
17		abscl 14671	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
18		recl 14502	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ)
19	17, 18	readdcld 10693	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) ∈ ℝ)
20	19	rehalfcld 11906	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2) ∈ ℝ)
21	20	recnd 10692	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2) ∈ ℂ)
22	21	sqsqrtd 14832	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2))↑2) = (((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2))
23	4, 11	sqmuld 13557	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((i · (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2))))↑2) = ((i↑2) · ((if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2)))↑2)))
24		i2 13600	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (i↑2) = -1
25	24	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (i↑2) = -1)
26	8	recnd 10692	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) ∈ ℂ)
27	9	recnd 10692	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2)) ∈ ℂ)
28	26, 27	sqmuld 13557	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2)))↑2) = ((if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1)↑2) · ((√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2))↑2)))
29		ovif 7238	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1)↑2) = if((ℑ‘𝐴) < 0, (-1↑2), (1↑2))
30		neg1sqe1 13594	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (-1↑2) = 1
31		sq1 13593	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (1↑2) = 1
32		ifeq12 4431	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((-1↑2) = 1 ∧ (1↑2) = 1) → if((ℑ‘𝐴) < 0, (-1↑2), (1↑2)) = if((ℑ‘𝐴) < 0, 1, 1))
33	30, 31, 32	mp2an 692	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ if((ℑ‘𝐴) < 0, (-1↑2), (1↑2)) = if((ℑ‘𝐴) < 0, 1, 1)
34		ifid 4453	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ if((ℑ‘𝐴) < 0, 1, 1) = 1
35	29, 33, 34	3eqtri 2786	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1)↑2) = 1
36	35	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1)↑2) = 1)
37	17, 18	resubcld 11091	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) ∈ ℝ)
38	37	rehalfcld 11906	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2) ∈ ℝ)
39	38	recnd 10692	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2) ∈ ℂ)
40	39	sqsqrtd 14832	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2))↑2) = (((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2))
41	36, 40	oveq12d 7161	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1)↑2) · ((√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2))↑2)) = (1 · (((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2)))
42	39	mulid2d 10682	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (1 · (((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2)) = (((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2))
43	28, 41, 42	3eqtrd 2798	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2)))↑2) = (((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2))
44	25, 43	oveq12d 7161	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((i↑2) · ((if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2)))↑2)) = (-1 · (((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2)))
45	39	mulm1d 11115	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (-1 · (((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2)) = -(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2))
46	23, 44, 45	3eqtrd 2798	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((i · (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2))))↑2) = -(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2))
47	22, 46	oveq12d 7161	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2))↑2) + ((i · (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2))))↑2)) = ((((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2) + -(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2)))
48	21, 39	negsubd 11026	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2) + -(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2)) = ((((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2) − (((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2)))
49	17	recnd 10692	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘𝐴) ∈ ℂ)
50	18	recnd 10692	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘𝐴) ∈ ℂ)
51	49, 50, 50	pnncand 11059	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) − ((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴))) = ((ℜ‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)))
52	50	2timesd 11902	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (2 · (ℜ‘𝐴)) = ((ℜ‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)))
53	51, 52	eqtr4d 2797	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) − ((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴))) = (2 · (ℜ‘𝐴)))
54	53	oveq1d 7158	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) − ((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴))) / 2) = ((2 · (ℜ‘𝐴)) / 2))
55	19	recnd 10692	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) ∈ ℂ)
56	37	recnd 10692	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) ∈ ℂ)
57		2cnd 11737	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 2 ∈ ℂ)
58		2ne0 11763	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ≠ 0
59	58	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 2 ≠ 0)
60	55, 56, 57, 59	divsubdird 11478	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) − ((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴))) / 2) = ((((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2) − (((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2)))
61	50, 57, 59	divcan3d 11444	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((2 · (ℜ‘𝐴)) / 2) = (ℜ‘𝐴))
62	54, 60, 61	3eqtr3d 2802	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2) − (((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2)) = (ℜ‘𝐴))
63	47, 48, 62	3eqtrd 2798	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2))↑2) + ((i · (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2))))↑2)) = (ℜ‘𝐴))
64	57, 2	mulcld 10684	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (2 · (√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2))) ∈ ℂ)
65	64, 4, 11	mul12d 10872	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((2 · (√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2))) · (i · (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2))))) = (i · ((2 · (√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2))) · (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2))))))
66	57, 2, 12	mulassd 10687	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((2 · (√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2))) · (i · (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2))))) = (2 · ((√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2)) · (i · (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2)))))))
67	57, 2, 11	mulassd 10687	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((2 · (√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2))) · (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2)))) = (2 · ((√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2)) · (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2))))))
68	2, 26, 27	mul12d 10872	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2)) · (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2)))) = (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · ((√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2)) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2)))))
69		sqrtcvallem4 40697	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 0 ≤ (((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2))
70		halfnneg2 11890	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) ∈ ℝ → (0 ≤ ((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) ↔ 0 ≤ (((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2)))
71	19, 70	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (0 ≤ ((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) ↔ 0 ≤ (((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2)))
72	69, 71	mpbird 260	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 0 ≤ ((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)))
73		2rp 12420	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 2 ∈ ℝ+
74	73	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 2 ∈ ℝ+)
75	19, 72, 74	sqrtdivd 14816	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2)) = ((√‘((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴))) / (√‘2)))
76		sqrtcvallem2 40695	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 0 ≤ (((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2))
77		halfnneg2 11890	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) ∈ ℝ → (0 ≤ ((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) ↔ 0 ≤ (((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2)))
78	37, 77	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (0 ≤ ((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) ↔ 0 ≤ (((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2)))
79	76, 78	mpbird 260	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 0 ≤ ((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)))
80	37, 79, 74	sqrtdivd 14816	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2)) = ((√‘((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴))) / (√‘2)))
81	75, 80	oveq12d 7161	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2)) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2))) = (((√‘((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴))) / (√‘2)) · ((√‘((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴))) / (√‘2))))
82	19, 72	resqrtcld 14810	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (√‘((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴))) ∈ ℝ)
83	82	recnd 10692	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (√‘((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴))) ∈ ℂ)
84		2re 11733	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 2 ∈ ℝ
85	84	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 2 ∈ ℝ)
86		0le2 11761	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 0 ≤ 2
87	86	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 0 ≤ 2)
88	85, 87	resqrtcld 14810	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (√‘2) ∈ ℝ)
89	88	recnd 10692	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (√‘2) ∈ ℂ)
90	37, 79	resqrtcld 14810	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (√‘((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴))) ∈ ℝ)
91	90	recnd 10692	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (√‘((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴))) ∈ ℂ)
92		sqrt00 14656	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 2) → ((√‘2) = 0 ↔ 2 = 0))
93	84, 86, 92	mp2an 692	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((√‘2) = 0 ↔ 2 = 0)
94	93	necon3bii 3001	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((√‘2) ≠ 0 ↔ 2 ≠ 0)
95	58, 94	mpbir 234	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (√‘2) ≠ 0
96	95	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (√‘2) ≠ 0)
97	83, 89, 91, 89, 96, 96	divmuldivd 11480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((√‘((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴))) / (√‘2)) · ((√‘((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴))) / (√‘2))) = (((√‘((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴))) · (√‘((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)))) / ((√‘2) · (√‘2))))
98	18	resqcld 13646	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((ℜ‘𝐴)↑2) ∈ ℝ)
99	98	recnd 10692	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((ℜ‘𝐴)↑2) ∈ ℂ)
100		imcl 14503	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℑ‘𝐴) ∈ ℝ)
101	100	resqcld 13646	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((ℑ‘𝐴)↑2) ∈ ℝ)
102	101	recnd 10692	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((ℑ‘𝐴)↑2) ∈ ℂ)
103		absvalsq2 14674	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((abs‘𝐴)↑2) = (((ℜ‘𝐴)↑2) + ((ℑ‘𝐴)↑2)))
104	99, 102, 103	mvrladdd 11076	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((abs‘𝐴)↑2) − ((ℜ‘𝐴)↑2)) = ((ℑ‘𝐴)↑2))
105		subsq 13607	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((abs‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ ℂ) → (((abs‘𝐴)↑2) − ((ℜ‘𝐴)↑2)) = (((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) · ((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴))))
106	49, 50, 105	syl2anc 588	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((abs‘𝐴)↑2) − ((ℜ‘𝐴)↑2)) = (((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) · ((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴))))
107	104, 106	eqtr3d 2796	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((ℑ‘𝐴)↑2) = (((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) · ((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴))))
108	107	fveq2d 6655	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (√‘((ℑ‘𝐴)↑2)) = (√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) · ((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)))))
109	100	absred 14809	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘(ℑ‘𝐴)) = (√‘((ℑ‘𝐴)↑2)))
110		reabsifneg 40690	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((ℑ‘𝐴) ∈ ℝ → (abs‘(ℑ‘𝐴)) = if((ℑ‘𝐴) < 0, -(ℑ‘𝐴), (ℑ‘𝐴)))
111	100, 110	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘(ℑ‘𝐴)) = if((ℑ‘𝐴) < 0, -(ℑ‘𝐴), (ℑ‘𝐴)))
112	109, 111	eqtr3d 2796	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (√‘((ℑ‘𝐴)↑2)) = if((ℑ‘𝐴) < 0, -(ℑ‘𝐴), (ℑ‘𝐴)))
113	19, 72, 37, 79	sqrtmuld 14817	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) · ((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)))) = ((√‘((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴))) · (√‘((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)))))
114	108, 112, 113	3eqtr3rd 2803	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((√‘((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴))) · (√‘((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)))) = if((ℑ‘𝐴) < 0, -(ℑ‘𝐴), (ℑ‘𝐴)))
115		remsqsqrt 14649	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 2) → ((√‘2) · (√‘2)) = 2)
116	84, 86, 115	mp2an 692	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((√‘2) · (√‘2)) = 2
117	116	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((√‘2) · (√‘2)) = 2)
118	114, 117	oveq12d 7161	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((√‘((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴))) · (√‘((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)))) / ((√‘2) · (√‘2))) = (if((ℑ‘𝐴) < 0, -(ℑ‘𝐴), (ℑ‘𝐴)) / 2))
119	81, 97, 118	3eqtrd 2798	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2)) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2))) = (if((ℑ‘𝐴) < 0, -(ℑ‘𝐴), (ℑ‘𝐴)) / 2))
120	119	oveq2d 7159	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · ((√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2)) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2)))) = (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (if((ℑ‘𝐴) < 0, -(ℑ‘𝐴), (ℑ‘𝐴)) / 2)))
121	68, 120	eqtrd 2794	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2)) · (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2)))) = (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (if((ℑ‘𝐴) < 0, -(ℑ‘𝐴), (ℑ‘𝐴)) / 2)))
122	121	oveq2d 7159	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (2 · ((√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2)) · (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2))))) = (2 · (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (if((ℑ‘𝐴) < 0, -(ℑ‘𝐴), (ℑ‘𝐴)) / 2))))
123	100	renegcld 11090	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -(ℑ‘𝐴) ∈ ℝ)
124	123, 100	ifcld 4459	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → if((ℑ‘𝐴) < 0, -(ℑ‘𝐴), (ℑ‘𝐴)) ∈ ℝ)
125	124	recnd 10692	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → if((ℑ‘𝐴) < 0, -(ℑ‘𝐴), (ℑ‘𝐴)) ∈ ℂ)
126	26, 125, 57, 59	divassd 11474	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · if((ℑ‘𝐴) < 0, -(ℑ‘𝐴), (ℑ‘𝐴))) / 2) = (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (if((ℑ‘𝐴) < 0, -(ℑ‘𝐴), (ℑ‘𝐴)) / 2)))
127		ovif12 7240	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · if((ℑ‘𝐴) < 0, -(ℑ‘𝐴), (ℑ‘𝐴))) = if((ℑ‘𝐴) < 0, (-1 · -(ℑ‘𝐴)), (1 · (ℑ‘𝐴)))
128	5	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -1 ∈ ℝ)
129	128	recnd 10692	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -1 ∈ ℂ)
130	100	recnd 10692	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℑ‘𝐴) ∈ ℂ)
131	129, 129, 130	mulassd 10687	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((-1 · -1) · (ℑ‘𝐴)) = (-1 · (-1 · (ℑ‘𝐴))))
132		neg1mulneg1e1 11872	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (-1 · -1) = 1
133	132	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (-1 · -1) = 1)
134	133	oveq1d 7158	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((-1 · -1) · (ℑ‘𝐴)) = (1 · (ℑ‘𝐴)))
135	130	mulid2d 10682	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (1 · (ℑ‘𝐴)) = (ℑ‘𝐴))
136	134, 135	eqtrd 2794	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((-1 · -1) · (ℑ‘𝐴)) = (ℑ‘𝐴))
137	130	mulm1d 11115	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (-1 · (ℑ‘𝐴)) = -(ℑ‘𝐴))
138	137	oveq2d 7159	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (-1 · (-1 · (ℑ‘𝐴))) = (-1 · -(ℑ‘𝐴)))
139	131, 136, 138	3eqtr3rd 2803	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (-1 · -(ℑ‘𝐴)) = (ℑ‘𝐴))
140	139	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) < 0) → (-1 · -(ℑ‘𝐴)) = (ℑ‘𝐴))
141	135	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ (ℑ‘𝐴) < 0) → (1 · (ℑ‘𝐴)) = (ℑ‘𝐴))
142	140, 141	ifeqda 4449	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → if((ℑ‘𝐴) < 0, (-1 · -(ℑ‘𝐴)), (1 · (ℑ‘𝐴))) = (ℑ‘𝐴))
143	127, 142	syl5eq 2806	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · if((ℑ‘𝐴) < 0, -(ℑ‘𝐴), (ℑ‘𝐴))) = (ℑ‘𝐴))
144	143	oveq1d 7158	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · if((ℑ‘𝐴) < 0, -(ℑ‘𝐴), (ℑ‘𝐴))) / 2) = ((ℑ‘𝐴) / 2))
145	126, 144	eqtr3d 2796	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (if((ℑ‘𝐴) < 0, -(ℑ‘𝐴), (ℑ‘𝐴)) / 2)) = ((ℑ‘𝐴) / 2))
146	145	oveq2d 7159	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (2 · (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (if((ℑ‘𝐴) < 0, -(ℑ‘𝐴), (ℑ‘𝐴)) / 2))) = (2 · ((ℑ‘𝐴) / 2)))
147	130, 57, 59	divcan2d 11441	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (2 · ((ℑ‘𝐴) / 2)) = (ℑ‘𝐴))
148	146, 147	eqtrd 2794	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (2 · (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (if((ℑ‘𝐴) < 0, -(ℑ‘𝐴), (ℑ‘𝐴)) / 2))) = (ℑ‘𝐴))
149	67, 122, 148	3eqtrd 2798	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((2 · (√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2))) · (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2)))) = (ℑ‘𝐴))
150	149	oveq2d 7159	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (i · ((2 · (√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2))) · (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2))))) = (i · (ℑ‘𝐴)))
151	65, 66, 150	3eqtr3d 2802	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (2 · ((√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2)) · (i · (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2)))))) = (i · (ℑ‘𝐴)))
152	63, 151	oveq12d 7161	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((((√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2))↑2) + ((i · (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2))))↑2)) + (2 · ((√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2)) · (i · (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2))))))) = ((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴))))
153	1	resqcld 13646	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2))↑2) ∈ ℝ)
154	153	recnd 10692	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2))↑2) ∈ ℂ)
155	2, 12	mulcld 10684	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2)) · (i · (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2))))) ∈ ℂ)
156	57, 155	mulcld 10684	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (2 · ((√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2)) · (i · (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2)))))) ∈ ℂ)
157	12	sqcld 13543	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((i · (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2))))↑2) ∈ ℂ)
158	154, 156, 157	add32d 10890	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((((√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2))↑2) + (2 · ((√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2)) · (i · (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2))))))) + ((i · (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2))))↑2)) = ((((√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2))↑2) + ((i · (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2))))↑2)) + (2 · ((√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2)) · (i · (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2))))))))
159		replim 14508	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 𝐴 = ((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴))))
160	152, 158, 159	3eqtr4d 2804	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((((√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2))↑2) + (2 · ((√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2)) · (i · (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2))))))) + ((i · (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2))))↑2)) = 𝐴)
161	16, 160	eqtrd 2794	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2)) + (i · (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2)))))↑2) = 𝐴)
162	20, 69	sqrtge0d 14813	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 0 ≤ (√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2)))
163	1, 10	crred 14623	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘((√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2)) + (i · (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2)))))) = (√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2)))
164	162, 163	breqtrrd 5053	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 0 ≤ (ℜ‘((√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2)) + (i · (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2)))))))
165		reim 14501	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2)) + (i · (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2))))) ∈ ℂ → (ℜ‘((√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2)) + (i · (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2)))))) = (ℑ‘(i · ((√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2)) + (i · (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2))))))))
166	13, 165	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘((√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2)) + (i · (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2)))))) = (ℑ‘(i · ((√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2)) + (i · (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2))))))))
167	166, 163	eqtr3d 2796	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℑ‘(i · ((√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2)) + (i · (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2))))))) = (√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2)))
168	167	eqeq1d 2761	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((ℑ‘(i · ((√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2)) + (i · (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2))))))) = 0 ↔ (√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2)) = 0))
169		cnsqrt00 14785	. . . . . . . 8 ⊢ ((((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2) ∈ ℂ → ((√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2)) = 0 ↔ (((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2) = 0))
170	21, 169	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2)) = 0 ↔ (((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2) = 0))
171		half0 11886	. . . . . . . . 9 ⊢ (((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) ∈ ℂ → ((((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2) = 0 ↔ ((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) = 0))
172	55, 171	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2) = 0 ↔ ((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) = 0))
173	49, 50	addcomd 10865	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) = ((ℜ‘𝐴) + (abs‘𝐴)))
174	173	eqeq1d 2761	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) = 0 ↔ ((ℜ‘𝐴) + (abs‘𝐴)) = 0))
175		addeq0 11086	. . . . . . . . 9 ⊢ (((ℜ‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) ∈ ℂ) → (((ℜ‘𝐴) + (abs‘𝐴)) = 0 ↔ (ℜ‘𝐴) = -(abs‘𝐴)))
176	50, 49, 175	syl2anc 588	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((ℜ‘𝐴) + (abs‘𝐴)) = 0 ↔ (ℜ‘𝐴) = -(abs‘𝐴)))
177	172, 174, 176	3bitrd 309	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2) = 0 ↔ (ℜ‘𝐴) = -(abs‘𝐴)))
178	168, 170, 177	3bitrd 309	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((ℑ‘(i · ((√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2)) + (i · (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2))))))) = 0 ↔ (ℜ‘𝐴) = -(abs‘𝐴)))
179		olc 866	. . . . . . . 8 ⊢ ((ℜ‘𝐴) = -(abs‘𝐴) → ((ℜ‘𝐴) = (abs‘𝐴) ∨ (ℜ‘𝐴) = -(abs‘𝐴)))
180		eqcom 2766	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((ℜ‘𝐴)↑2) = ((abs‘𝐴)↑2) ↔ ((abs‘𝐴)↑2) = ((ℜ‘𝐴)↑2))
181	180	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((ℜ‘𝐴)↑2) = ((abs‘𝐴)↑2) ↔ ((abs‘𝐴)↑2) = ((ℜ‘𝐴)↑2)))
182		sqeqor 13613	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((ℜ‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) ∈ ℂ) → (((ℜ‘𝐴)↑2) = ((abs‘𝐴)↑2) ↔ ((ℜ‘𝐴) = (abs‘𝐴) ∨ (ℜ‘𝐴) = -(abs‘𝐴))))
183	50, 49, 182	syl2anc 588	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((ℜ‘𝐴)↑2) = ((abs‘𝐴)↑2) ↔ ((ℜ‘𝐴) = (abs‘𝐴) ∨ (ℜ‘𝐴) = -(abs‘𝐴))))
184	103	eqeq1d 2761	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((abs‘𝐴)↑2) = ((ℜ‘𝐴)↑2) ↔ (((ℜ‘𝐴)↑2) + ((ℑ‘𝐴)↑2)) = ((ℜ‘𝐴)↑2)))
185		addid0 11082	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((ℜ‘𝐴)↑2) ∈ ℂ ∧ ((ℑ‘𝐴)↑2) ∈ ℂ) → ((((ℜ‘𝐴)↑2) + ((ℑ‘𝐴)↑2)) = ((ℜ‘𝐴)↑2) ↔ ((ℑ‘𝐴)↑2) = 0))
186	99, 102, 185	syl2anc 588	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((((ℜ‘𝐴)↑2) + ((ℑ‘𝐴)↑2)) = ((ℜ‘𝐴)↑2) ↔ ((ℑ‘𝐴)↑2) = 0))
187		sqeq0 13521	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((ℑ‘𝐴) ∈ ℂ → (((ℑ‘𝐴)↑2) = 0 ↔ (ℑ‘𝐴) = 0))
188	130, 187	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((ℑ‘𝐴)↑2) = 0 ↔ (ℑ‘𝐴) = 0))
189	184, 186, 188	3bitrd 309	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((abs‘𝐴)↑2) = ((ℜ‘𝐴)↑2) ↔ (ℑ‘𝐴) = 0))
190	181, 183, 189	3bitr3d 313	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((ℜ‘𝐴) = (abs‘𝐴) ∨ (ℜ‘𝐴) = -(abs‘𝐴)) ↔ (ℑ‘𝐴) = 0))
191	179, 190	syl5ib 247	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((ℜ‘𝐴) = -(abs‘𝐴) → (ℑ‘𝐴) = 0))
192	191	ancld 555	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((ℜ‘𝐴) = -(abs‘𝐴) → ((ℜ‘𝐴) = -(abs‘𝐴) ∧ (ℑ‘𝐴) = 0)))
193	178, 192	sylbid 243	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((ℑ‘(i · ((√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2)) + (i · (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2))))))) = 0 → ((ℜ‘𝐴) = -(abs‘𝐴) ∧ (ℑ‘𝐴) = 0)))
194		simp2 1135	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) = -(abs‘𝐴) ∧ (ℑ‘𝐴) = 0) → (ℜ‘𝐴) = -(abs‘𝐴))
195	194	oveq2d 7159	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) = -(abs‘𝐴) ∧ (ℑ‘𝐴) = 0) → ((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) = ((abs‘𝐴) + -(abs‘𝐴)))
196		simp1 1134	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) = -(abs‘𝐴) ∧ (ℑ‘𝐴) = 0) → 𝐴 ∈ ℂ)
197	196, 49	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) = -(abs‘𝐴) ∧ (ℑ‘𝐴) = 0) → (abs‘𝐴) ∈ ℂ)
198	197	negidd 11010	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) = -(abs‘𝐴) ∧ (ℑ‘𝐴) = 0) → ((abs‘𝐴) + -(abs‘𝐴)) = 0)
199	195, 198	eqtrd 2794	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) = -(abs‘𝐴) ∧ (ℑ‘𝐴) = 0) → ((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) = 0)
200	199	oveq1d 7158	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) = -(abs‘𝐴) ∧ (ℑ‘𝐴) = 0) → (((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2) = (0 / 2))
201		2cn 11734	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 2 ∈ ℂ
202	201, 58	div0i 11397	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (0 / 2) = 0
203	200, 202	eqtrdi 2810	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) = -(abs‘𝐴) ∧ (ℑ‘𝐴) = 0) → (((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2) = 0)
204	203	fveq2d 6655	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) = -(abs‘𝐴) ∧ (ℑ‘𝐴) = 0) → (√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2)) = (√‘0))
205		sqrt0 14634	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (√‘0) = 0
206	204, 205	eqtrdi 2810	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) = -(abs‘𝐴) ∧ (ℑ‘𝐴) = 0) → (√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2)) = 0)
207		simp3 1136	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) = -(abs‘𝐴) ∧ (ℑ‘𝐴) = 0) → (ℑ‘𝐴) = 0)
208		0red 10667	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) = -(abs‘𝐴) ∧ (ℑ‘𝐴) = 0) → 0 ∈ ℝ)
209	208	ltnrd 10797	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) = -(abs‘𝐴) ∧ (ℑ‘𝐴) = 0) → ¬ 0 < 0)
210	207, 209	eqnbrtrd 5043	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) = -(abs‘𝐴) ∧ (ℑ‘𝐴) = 0) → ¬ (ℑ‘𝐴) < 0)
211	210	iffalsed 4424	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) = -(abs‘𝐴) ∧ (ℑ‘𝐴) = 0) → if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) = 1)
212	194	oveq2d 7159	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) = -(abs‘𝐴) ∧ (ℑ‘𝐴) = 0) → ((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) = ((abs‘𝐴) − -(abs‘𝐴)))
213	49, 49	subnegd 11027	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((abs‘𝐴) − -(abs‘𝐴)) = ((abs‘𝐴) + (abs‘𝐴)))
214	49	2timesd 11902	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (2 · (abs‘𝐴)) = ((abs‘𝐴) + (abs‘𝐴)))
215	213, 214	eqtr4d 2797	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((abs‘𝐴) − -(abs‘𝐴)) = (2 · (abs‘𝐴)))
216	196, 215	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) = -(abs‘𝐴) ∧ (ℑ‘𝐴) = 0) → ((abs‘𝐴) − -(abs‘𝐴)) = (2 · (abs‘𝐴)))
217	212, 216	eqtrd 2794	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) = -(abs‘𝐴) ∧ (ℑ‘𝐴) = 0) → ((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) = (2 · (abs‘𝐴)))
218	217	oveq1d 7158	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) = -(abs‘𝐴) ∧ (ℑ‘𝐴) = 0) → (((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2) = ((2 · (abs‘𝐴)) / 2))
219	49, 57, 59	divcan3d 11444	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((2 · (abs‘𝐴)) / 2) = (abs‘𝐴))
220	196, 219	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) = -(abs‘𝐴) ∧ (ℑ‘𝐴) = 0) → ((2 · (abs‘𝐴)) / 2) = (abs‘𝐴))
221	218, 220	eqtrd 2794	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) = -(abs‘𝐴) ∧ (ℑ‘𝐴) = 0) → (((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2) = (abs‘𝐴))
222	221	fveq2d 6655	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) = -(abs‘𝐴) ∧ (ℑ‘𝐴) = 0) → (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2)) = (√‘(abs‘𝐴)))
223	211, 222	oveq12d 7161	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) = -(abs‘𝐴) ∧ (ℑ‘𝐴) = 0) → (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2))) = (1 · (√‘(abs‘𝐴))))
224		absge0 14680	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 0 ≤ (abs‘𝐴))
225	17, 224	resqrtcld 14810	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (√‘(abs‘𝐴)) ∈ ℝ)
226	225	recnd 10692	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (√‘(abs‘𝐴)) ∈ ℂ)
227	226	mulid2d 10682	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (1 · (√‘(abs‘𝐴))) = (√‘(abs‘𝐴)))
228	196, 227	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) = -(abs‘𝐴) ∧ (ℑ‘𝐴) = 0) → (1 · (√‘(abs‘𝐴))) = (√‘(abs‘𝐴)))
229	223, 228	eqtrd 2794	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) = -(abs‘𝐴) ∧ (ℑ‘𝐴) = 0) → (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2))) = (√‘(abs‘𝐴)))
230	229	oveq2d 7159	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) = -(abs‘𝐴) ∧ (ℑ‘𝐴) = 0) → (i · (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2)))) = (i · (√‘(abs‘𝐴))))
231	206, 230	oveq12d 7161	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) = -(abs‘𝐴) ∧ (ℑ‘𝐴) = 0) → ((√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2)) + (i · (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2))))) = (0 + (i · (√‘(abs‘𝐴)))))
232	4, 226	mulcld 10684	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (i · (√‘(abs‘𝐴))) ∈ ℂ)
233	196, 232	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) = -(abs‘𝐴) ∧ (ℑ‘𝐴) = 0) → (i · (√‘(abs‘𝐴))) ∈ ℂ)
234	233	addid2d 10864	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) = -(abs‘𝐴) ∧ (ℑ‘𝐴) = 0) → (0 + (i · (√‘(abs‘𝐴)))) = (i · (√‘(abs‘𝐴))))
235	231, 234	eqtrd 2794	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) = -(abs‘𝐴) ∧ (ℑ‘𝐴) = 0) → ((√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2)) + (i · (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2))))) = (i · (√‘(abs‘𝐴))))
236	235	oveq2d 7159	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) = -(abs‘𝐴) ∧ (ℑ‘𝐴) = 0) → (i · ((√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2)) + (i · (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2)))))) = (i · (i · (√‘(abs‘𝐴)))))
237		ixi 11292	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (i · i) = -1
238	237	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (i · i) = -1)
239	238	oveq1d 7158	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((i · i) · (√‘(abs‘𝐴))) = (-1 · (√‘(abs‘𝐴))))
240	4, 4, 226	mulassd 10687	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((i · i) · (√‘(abs‘𝐴))) = (i · (i · (√‘(abs‘𝐴)))))
241	226	mulm1d 11115	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (-1 · (√‘(abs‘𝐴))) = -(√‘(abs‘𝐴)))
242	239, 240, 241	3eqtr3d 2802	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (i · (i · (√‘(abs‘𝐴)))) = -(√‘(abs‘𝐴)))
243	196, 242	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) = -(abs‘𝐴) ∧ (ℑ‘𝐴) = 0) → (i · (i · (√‘(abs‘𝐴)))) = -(√‘(abs‘𝐴)))
244	236, 243	eqtrd 2794	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) = -(abs‘𝐴) ∧ (ℑ‘𝐴) = 0) → (i · ((√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2)) + (i · (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2)))))) = -(√‘(abs‘𝐴)))
245	244	fveq2d 6655	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) = -(abs‘𝐴) ∧ (ℑ‘𝐴) = 0) → (ℜ‘(i · ((√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2)) + (i · (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2))))))) = (ℜ‘-(√‘(abs‘𝐴))))
246	225	renegcld 11090	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -(√‘(abs‘𝐴)) ∈ ℝ)
247	246	rered 14616	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘-(√‘(abs‘𝐴))) = -(√‘(abs‘𝐴)))
248	196, 247	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) = -(abs‘𝐴) ∧ (ℑ‘𝐴) = 0) → (ℜ‘-(√‘(abs‘𝐴))) = -(√‘(abs‘𝐴)))
249	245, 248	eqtrd 2794	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) = -(abs‘𝐴) ∧ (ℑ‘𝐴) = 0) → (ℜ‘(i · ((√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2)) + (i · (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2))))))) = -(√‘(abs‘𝐴)))
250	17, 224	sqrtge0d 14813	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 0 ≤ (√‘(abs‘𝐴)))
251	225	le0neg2d 11235	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (0 ≤ (√‘(abs‘𝐴)) ↔ -(√‘(abs‘𝐴)) ≤ 0))
252	250, 251	mpbid 235	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -(√‘(abs‘𝐴)) ≤ 0)
253	196, 252	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) = -(abs‘𝐴) ∧ (ℑ‘𝐴) = 0) → -(√‘(abs‘𝐴)) ≤ 0)
254	249, 253	eqbrtrd 5047	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) = -(abs‘𝐴) ∧ (ℑ‘𝐴) = 0) → (ℜ‘(i · ((√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2)) + (i · (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2))))))) ≤ 0)
255	254	3expib 1120	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((ℜ‘𝐴) = -(abs‘𝐴) ∧ (ℑ‘𝐴) = 0) → (ℜ‘(i · ((√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2)) + (i · (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2))))))) ≤ 0))
256	193, 255	syld 47	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((ℑ‘(i · ((√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2)) + (i · (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2))))))) = 0 → (ℜ‘(i · ((√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2)) + (i · (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2))))))) ≤ 0))
257	4, 13	mulcld 10684	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (i · ((√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2)) + (i · (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2)))))) ∈ ℂ)
258	257	sqrtcvallem1 40689	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((ℑ‘(i · ((√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2)) + (i · (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2))))))) = 0 → (ℜ‘(i · ((√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2)) + (i · (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2))))))) ≤ 0) ↔ ¬ (i · ((√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2)) + (i · (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2)))))) ∈ ℝ+))
259	256, 258	mpbid 235	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ¬ (i · ((√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2)) + (i · (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2)))))) ∈ ℝ+)
260	13, 14, 161, 164, 259	eqsqrtd 14760	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2)) + (i · (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2))))) = (√‘𝐴))
261	260	eqcomd 2765	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (√‘𝐴) = ((√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2)) + (i · (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2))))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∨ wo 845   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2112   ≠ wne 2949  ifcif 4413   class class class wbr 5025  ‘cfv 6328  (class class class)co 7143  ℂcc 10558  ℝcr 10559  0cc0 10560  1c1 10561  ici 10562   + caddc 10563   · cmul 10565   < clt 10698   ≤ cle 10699   − cmin 10893  -cneg 10894   / cdiv 11320  2c2 11714  ℝ⁺crp 12415  ↑cexp 13464  ℜcre 14489  ℑcim 14490  √csqrt 14625  abscabs 14626

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2730  ax-sep 5162  ax-nul 5169  ax-pow 5227  ax-pr 5291  ax-un 7452  ax-cnex 10616  ax-resscn 10617  ax-1cn 10618  ax-icn 10619  ax-addcl 10620  ax-addrcl 10621  ax-mulcl 10622  ax-mulrcl 10623  ax-mulcom 10624  ax-addass 10625  ax-mulass 10626  ax-distr 10627  ax-i2m1 10628  ax-1ne0 10629  ax-1rid 10630  ax-rnegex 10631  ax-rrecex 10632  ax-cnre 10633  ax-pre-lttri 10634  ax-pre-lttrn 10635  ax-pre-ltadd 10636  ax-pre-mulgt0 10637  ax-pre-sup 10638

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 846  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2071  df-mo 2558  df-eu 2589  df-clab 2737  df-cleq 2751  df-clel 2831  df-nfc 2899  df-ne 2950  df-nel 3054  df-ral 3073  df-rex 3074  df-reu 3075  df-rmo 3076  df-rab 3077  df-v 3409  df-sbc 3694  df-csb 3802  df-dif 3857  df-un 3859  df-in 3861  df-ss 3871  df-pss 3873  df-nul 4222  df-if 4414  df-pw 4489  df-sn 4516  df-pr 4518  df-tp 4520  df-op 4522  df-uni 4792  df-iun 4878  df-br 5026  df-opab 5088  df-mpt 5106  df-tr 5132  df-id 5423  df-eprel 5428  df-po 5436  df-so 5437  df-fr 5476  df-we 5478  df-xp 5523  df-rel 5524  df-cnv 5525  df-co 5526  df-dm 5527  df-rn 5528  df-res 5529  df-ima 5530  df-pred 6119  df-ord 6165  df-on 6166  df-lim 6167  df-suc 6168  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7101  df-ov 7146  df-oprab 7147  df-mpo 7148  df-om 7573  df-2nd 7687  df-wrecs 7950  df-recs 8011  df-rdg 8049  df-er 8292  df-en 8521  df-dom 8522  df-sdom 8523  df-sup 8924  df-pnf 10700  df-mnf 10701  df-xr 10702  df-ltxr 10703  df-le 10704  df-sub 10895  df-neg 10896  df-div 11321  df-nn 11660  df-2 11722  df-3 11723  df-n0 11920  df-z 12006  df-uz 12268  df-rp 12416  df-seq 13404  df-exp 13465  df-cj 14491  df-re 14492  df-im 14493  df-sqrt 14627  df-abs 14628

This theorem is referenced by:  sqrtcval2  40700  resqrtval  40701  imsqrtval  40702