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Theorem sqrtcval 40271
 Description: Explicit formula for the complex square root in terms of the square root of non-negative reals. The right-hand side is decomposed into real and imaginary parts in the format expected by crrei 14542 and crimi 14543. This formula can be found in section 3.7.27 of Handbook of Mathematical Functions, ed. M. Abramowitz and I. A. Stegun (1965, Dover Press). (Contributed by RP, 18-May-2024.)
Assertion
Ref Expression
sqrtcval (𝐴 ∈ ℂ → (√‘𝐴) = ((√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2)) + (i · (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2))))))

Proof of Theorem sqrtcval
StepHypRef Expression
1 sqrtcvallem5 40270 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2)) ∈ ℝ)
21recnd 10658 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → (√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2)) ∈ ℂ)
3 ax-icn 10585 . . . . . 6 i ∈ ℂ
43a1i 11 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → i ∈ ℂ)
5 neg1rr 11740 . . . . . . . . 9 -1 ∈ ℝ
6 1re 10630 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℝ
75, 6ifcli 4485 . . . . . . . 8 if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) ∈ ℝ
87a1i 11 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) ∈ ℝ)
9 sqrtcvallem3 40268 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2)) ∈ ℝ)
108, 9remulcld 10660 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2))) ∈ ℝ)
1110recnd 10658 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2))) ∈ ℂ)
124, 11mulcld 10650 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → (i · (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2)))) ∈ ℂ)
132, 12addcld 10649 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → ((√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2)) + (i · (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2))))) ∈ ℂ)
14 id 22 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → 𝐴 ∈ ℂ)
15 binom2 13575 . . . . 5 (((√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2)) ∈ ℂ ∧ (i · (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2)))) ∈ ℂ) → (((√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2)) + (i · (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2)))))↑2) = ((((√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2))↑2) + (2 · ((√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2)) · (i · (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2))))))) + ((i · (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2))))↑2)))
162, 12, 15syl2anc 587 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → (((√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2)) + (i · (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2)))))↑2) = ((((√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2))↑2) + (2 · ((√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2)) · (i · (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2))))))) + ((i · (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2))))↑2)))
17 abscl 14629 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
18 recl 14460 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ)
1917, 18readdcld 10659 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ ℂ → ((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) ∈ ℝ)
2019rehalfcld 11872 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℂ → (((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2) ∈ ℝ)
2120recnd 10658 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℂ → (((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2) ∈ ℂ)
2221sqsqrtd 14790 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℂ → ((√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2))↑2) = (((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2))
234, 11sqmuld 13518 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℂ → ((i · (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2))))↑2) = ((i↑2) · ((if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2)))↑2)))
24 i2 13561 . . . . . . . . . . 11 (i↑2) = -1
2524a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℂ → (i↑2) = -1)
268recnd 10658 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ ℂ → if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) ∈ ℂ)
279recnd 10658 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ ℂ → (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2)) ∈ ℂ)
2826, 27sqmuld 13518 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ ℂ → ((if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2)))↑2) = ((if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1)↑2) · ((√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2))↑2)))
29 ovif 7235 . . . . . . . . . . . . . 14 (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1)↑2) = if((ℑ‘𝐴) < 0, (-1↑2), (1↑2))
30 neg1sqe1 13555 . . . . . . . . . . . . . . 15 (-1↑2) = 1
31 sq1 13554 . . . . . . . . . . . . . . 15 (1↑2) = 1
32 ifeq12 4456 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((-1↑2) = 1 ∧ (1↑2) = 1) → if((ℑ‘𝐴) < 0, (-1↑2), (1↑2)) = if((ℑ‘𝐴) < 0, 1, 1))
3330, 31, 32mp2an 691 . . . . . . . . . . . . . 14 if((ℑ‘𝐴) < 0, (-1↑2), (1↑2)) = if((ℑ‘𝐴) < 0, 1, 1)
34 ifid 4478 . . . . . . . . . . . . . 14 if((ℑ‘𝐴) < 0, 1, 1) = 1
3529, 33, 343eqtri 2849 . . . . . . . . . . . . 13 (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1)↑2) = 1
3635a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ ℂ → (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1)↑2) = 1)
3717, 18resubcld 11057 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴 ∈ ℂ → ((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) ∈ ℝ)
3837rehalfcld 11872 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 ∈ ℂ → (((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2) ∈ ℝ)
3938recnd 10658 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ ℂ → (((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2) ∈ ℂ)
4039sqsqrtd 14790 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ ℂ → ((√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2))↑2) = (((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2))
4136, 40oveq12d 7158 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ ℂ → ((if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1)↑2) · ((√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2))↑2)) = (1 · (((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2)))
4239mulid2d 10648 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ ℂ → (1 · (((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2)) = (((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2))
4328, 41, 423eqtrd 2861 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℂ → ((if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2)))↑2) = (((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2))
4425, 43oveq12d 7158 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℂ → ((i↑2) · ((if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2)))↑2)) = (-1 · (((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2)))
4539mulm1d 11081 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℂ → (-1 · (((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2)) = -(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2))
4623, 44, 453eqtrd 2861 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℂ → ((i · (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2))))↑2) = -(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2))
4722, 46oveq12d 7158 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → (((√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2))↑2) + ((i · (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2))))↑2)) = ((((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2) + -(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2)))
4821, 39negsubd 10992 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → ((((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2) + -(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2)) = ((((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2) − (((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2)))
4917recnd 10658 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘𝐴) ∈ ℂ)
5018recnd 10658 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘𝐴) ∈ ℂ)
5149, 50, 50pnncand 11025 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℂ → (((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) − ((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴))) = ((ℜ‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)))
52502timesd 11868 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℂ → (2 · (ℜ‘𝐴)) = ((ℜ‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)))
5351, 52eqtr4d 2860 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℂ → (((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) − ((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴))) = (2 · (ℜ‘𝐴)))
5453oveq1d 7155 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℂ → ((((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) − ((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴))) / 2) = ((2 · (ℜ‘𝐴)) / 2))
5519recnd 10658 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℂ → ((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) ∈ ℂ)
5637recnd 10658 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℂ → ((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) ∈ ℂ)
57 2cnd 11703 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℂ → 2 ∈ ℂ)
58 2ne0 11729 . . . . . . . . . 10 2 ≠ 0
5958a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℂ → 2 ≠ 0)
6055, 56, 57, 59divsubdird 11444 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℂ → ((((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) − ((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴))) / 2) = ((((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2) − (((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2)))
6150, 57, 59divcan3d 11410 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℂ → ((2 · (ℜ‘𝐴)) / 2) = (ℜ‘𝐴))
6254, 60, 613eqtr3d 2865 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → ((((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2) − (((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2)) = (ℜ‘𝐴))
6347, 48, 623eqtrd 2861 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (((√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2))↑2) + ((i · (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2))))↑2)) = (ℜ‘𝐴))
6457, 2mulcld 10650 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℂ → (2 · (√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2))) ∈ ℂ)
6564, 4, 11mul12d 10838 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → ((2 · (√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2))) · (i · (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2))))) = (i · ((2 · (√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2))) · (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2))))))
6657, 2, 12mulassd 10653 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → ((2 · (√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2))) · (i · (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2))))) = (2 · ((√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2)) · (i · (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2)))))))
6757, 2, 11mulassd 10653 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℂ → ((2 · (√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2))) · (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2)))) = (2 · ((√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2)) · (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2))))))
682, 26, 27mul12d 10838 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ ℂ → ((√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2)) · (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2)))) = (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · ((√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2)) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2)))))
69 sqrtcvallem4 40269 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐴 ∈ ℂ → 0 ≤ (((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2))
70 halfnneg2 11856 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) ∈ ℝ → (0 ≤ ((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) ↔ 0 ≤ (((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2)))
7119, 70syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐴 ∈ ℂ → (0 ≤ ((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) ↔ 0 ≤ (((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2)))
7269, 71mpbird 260 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴 ∈ ℂ → 0 ≤ ((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)))
73 2rp 12382 . . . . . . . . . . . . . . . 16 2 ∈ ℝ+
7473a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴 ∈ ℂ → 2 ∈ ℝ+)
7519, 72, 74sqrtdivd 14774 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 ∈ ℂ → (√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2)) = ((√‘((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴))) / (√‘2)))
76 sqrtcvallem2 40267 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐴 ∈ ℂ → 0 ≤ (((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2))
77 halfnneg2 11856 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) ∈ ℝ → (0 ≤ ((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) ↔ 0 ≤ (((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2)))
7837, 77syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐴 ∈ ℂ → (0 ≤ ((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) ↔ 0 ≤ (((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2)))
7976, 78mpbird 260 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴 ∈ ℂ → 0 ≤ ((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)))
8037, 79, 74sqrtdivd 14774 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 ∈ ℂ → (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2)) = ((√‘((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴))) / (√‘2)))
8175, 80oveq12d 7158 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ ℂ → ((√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2)) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2))) = (((√‘((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴))) / (√‘2)) · ((√‘((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴))) / (√‘2))))
8219, 72resqrtcld 14768 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴 ∈ ℂ → (√‘((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴))) ∈ ℝ)
8382recnd 10658 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 ∈ ℂ → (√‘((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴))) ∈ ℂ)
84 2re 11699 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2 ∈ ℝ
8584a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐴 ∈ ℂ → 2 ∈ ℝ)
86 0le2 11727 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 0 ≤ 2
8786a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐴 ∈ ℂ → 0 ≤ 2)
8885, 87resqrtcld 14768 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴 ∈ ℂ → (√‘2) ∈ ℝ)
8988recnd 10658 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 ∈ ℂ → (√‘2) ∈ ℂ)
9037, 79resqrtcld 14768 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴 ∈ ℂ → (√‘((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴))) ∈ ℝ)
9190recnd 10658 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 ∈ ℂ → (√‘((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴))) ∈ ℂ)
92 sqrt00 14614 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((2 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 2) → ((√‘2) = 0 ↔ 2 = 0))
9384, 86, 92mp2an 691 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((√‘2) = 0 ↔ 2 = 0)
9493necon3bii 3063 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((√‘2) ≠ 0 ↔ 2 ≠ 0)
9558, 94mpbir 234 . . . . . . . . . . . . . . 15 (√‘2) ≠ 0
9695a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 ∈ ℂ → (√‘2) ≠ 0)
9783, 89, 91, 89, 96, 96divmuldivd 11446 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ ℂ → (((√‘((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴))) / (√‘2)) · ((√‘((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴))) / (√‘2))) = (((√‘((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴))) · (√‘((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)))) / ((√‘2) · (√‘2))))
9818resqcld 13607 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐴 ∈ ℂ → ((ℜ‘𝐴)↑2) ∈ ℝ)
9998recnd 10658 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐴 ∈ ℂ → ((ℜ‘𝐴)↑2) ∈ ℂ)
100 imcl 14461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐴 ∈ ℂ → (ℑ‘𝐴) ∈ ℝ)
101100resqcld 13607 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐴 ∈ ℂ → ((ℑ‘𝐴)↑2) ∈ ℝ)
102101recnd 10658 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐴 ∈ ℂ → ((ℑ‘𝐴)↑2) ∈ ℂ)
103 absvalsq2 14632 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐴 ∈ ℂ → ((abs‘𝐴)↑2) = (((ℜ‘𝐴)↑2) + ((ℑ‘𝐴)↑2)))
10499, 102, 103mvrladdd 11042 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐴 ∈ ℂ → (((abs‘𝐴)↑2) − ((ℜ‘𝐴)↑2)) = ((ℑ‘𝐴)↑2))
105 subsq 13568 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((abs‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ ℂ) → (((abs‘𝐴)↑2) − ((ℜ‘𝐴)↑2)) = (((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) · ((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴))))
10649, 50, 105syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐴 ∈ ℂ → (((abs‘𝐴)↑2) − ((ℜ‘𝐴)↑2)) = (((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) · ((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴))))
107104, 106eqtr3d 2859 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐴 ∈ ℂ → ((ℑ‘𝐴)↑2) = (((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) · ((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴))))
108107fveq2d 6656 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴 ∈ ℂ → (√‘((ℑ‘𝐴)↑2)) = (√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) · ((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)))))
109100absred 14767 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘(ℑ‘𝐴)) = (√‘((ℑ‘𝐴)↑2)))
110 reabsifneg 40262 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((ℑ‘𝐴) ∈ ℝ → (abs‘(ℑ‘𝐴)) = if((ℑ‘𝐴) < 0, -(ℑ‘𝐴), (ℑ‘𝐴)))
111100, 110syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘(ℑ‘𝐴)) = if((ℑ‘𝐴) < 0, -(ℑ‘𝐴), (ℑ‘𝐴)))
112109, 111eqtr3d 2859 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴 ∈ ℂ → (√‘((ℑ‘𝐴)↑2)) = if((ℑ‘𝐴) < 0, -(ℑ‘𝐴), (ℑ‘𝐴)))
11319, 72, 37, 79sqrtmuld 14775 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴 ∈ ℂ → (√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) · ((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)))) = ((√‘((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴))) · (√‘((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)))))
114108, 112, 1133eqtr3rd 2866 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 ∈ ℂ → ((√‘((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴))) · (√‘((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)))) = if((ℑ‘𝐴) < 0, -(ℑ‘𝐴), (ℑ‘𝐴)))
115 remsqsqrt 14607 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((2 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 2) → ((√‘2) · (√‘2)) = 2)
11684, 86, 115mp2an 691 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((√‘2) · (√‘2)) = 2
117116a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 ∈ ℂ → ((√‘2) · (√‘2)) = 2)
118114, 117oveq12d 7158 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ ℂ → (((√‘((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴))) · (√‘((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)))) / ((√‘2) · (√‘2))) = (if((ℑ‘𝐴) < 0, -(ℑ‘𝐴), (ℑ‘𝐴)) / 2))
11981, 97, 1183eqtrd 2861 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ ℂ → ((√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2)) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2))) = (if((ℑ‘𝐴) < 0, -(ℑ‘𝐴), (ℑ‘𝐴)) / 2))
120119oveq2d 7156 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ ℂ → (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · ((√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2)) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2)))) = (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (if((ℑ‘𝐴) < 0, -(ℑ‘𝐴), (ℑ‘𝐴)) / 2)))
12168, 120eqtrd 2857 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℂ → ((√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2)) · (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2)))) = (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (if((ℑ‘𝐴) < 0, -(ℑ‘𝐴), (ℑ‘𝐴)) / 2)))
122121oveq2d 7156 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℂ → (2 · ((√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2)) · (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2))))) = (2 · (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (if((ℑ‘𝐴) < 0, -(ℑ‘𝐴), (ℑ‘𝐴)) / 2))))
123100renegcld 11056 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴 ∈ ℂ → -(ℑ‘𝐴) ∈ ℝ)
124123, 100ifcld 4484 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 ∈ ℂ → if((ℑ‘𝐴) < 0, -(ℑ‘𝐴), (ℑ‘𝐴)) ∈ ℝ)
125124recnd 10658 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ ℂ → if((ℑ‘𝐴) < 0, -(ℑ‘𝐴), (ℑ‘𝐴)) ∈ ℂ)
12626, 125, 57, 59divassd 11440 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ ℂ → ((if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · if((ℑ‘𝐴) < 0, -(ℑ‘𝐴), (ℑ‘𝐴))) / 2) = (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (if((ℑ‘𝐴) < 0, -(ℑ‘𝐴), (ℑ‘𝐴)) / 2)))
127 ovif12 7237 . . . . . . . . . . . . . 14 (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · if((ℑ‘𝐴) < 0, -(ℑ‘𝐴), (ℑ‘𝐴))) = if((ℑ‘𝐴) < 0, (-1 · -(ℑ‘𝐴)), (1 · (ℑ‘𝐴)))
1285a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐴 ∈ ℂ → -1 ∈ ℝ)
129128recnd 10658 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐴 ∈ ℂ → -1 ∈ ℂ)
130100recnd 10658 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐴 ∈ ℂ → (ℑ‘𝐴) ∈ ℂ)
131129, 129, 130mulassd 10653 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐴 ∈ ℂ → ((-1 · -1) · (ℑ‘𝐴)) = (-1 · (-1 · (ℑ‘𝐴))))
132 neg1mulneg1e1 11838 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (-1 · -1) = 1
133132a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐴 ∈ ℂ → (-1 · -1) = 1)
134133oveq1d 7155 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐴 ∈ ℂ → ((-1 · -1) · (ℑ‘𝐴)) = (1 · (ℑ‘𝐴)))
135130mulid2d 10648 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐴 ∈ ℂ → (1 · (ℑ‘𝐴)) = (ℑ‘𝐴))
136134, 135eqtrd 2857 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐴 ∈ ℂ → ((-1 · -1) · (ℑ‘𝐴)) = (ℑ‘𝐴))
137130mulm1d 11081 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐴 ∈ ℂ → (-1 · (ℑ‘𝐴)) = -(ℑ‘𝐴))
138137oveq2d 7156 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐴 ∈ ℂ → (-1 · (-1 · (ℑ‘𝐴))) = (-1 · -(ℑ‘𝐴)))
139131, 136, 1383eqtr3rd 2866 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐴 ∈ ℂ → (-1 · -(ℑ‘𝐴)) = (ℑ‘𝐴))
140139adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) < 0) → (-1 · -(ℑ‘𝐴)) = (ℑ‘𝐴))
141135adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ (ℑ‘𝐴) < 0) → (1 · (ℑ‘𝐴)) = (ℑ‘𝐴))
142140, 141ifeqda 4474 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 ∈ ℂ → if((ℑ‘𝐴) < 0, (-1 · -(ℑ‘𝐴)), (1 · (ℑ‘𝐴))) = (ℑ‘𝐴))
143127, 142syl5eq 2869 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ ℂ → (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · if((ℑ‘𝐴) < 0, -(ℑ‘𝐴), (ℑ‘𝐴))) = (ℑ‘𝐴))
144143oveq1d 7155 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ ℂ → ((if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · if((ℑ‘𝐴) < 0, -(ℑ‘𝐴), (ℑ‘𝐴))) / 2) = ((ℑ‘𝐴) / 2))
145126, 144eqtr3d 2859 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ ℂ → (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (if((ℑ‘𝐴) < 0, -(ℑ‘𝐴), (ℑ‘𝐴)) / 2)) = ((ℑ‘𝐴) / 2))
146145oveq2d 7156 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℂ → (2 · (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (if((ℑ‘𝐴) < 0, -(ℑ‘𝐴), (ℑ‘𝐴)) / 2))) = (2 · ((ℑ‘𝐴) / 2)))
147130, 57, 59divcan2d 11407 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℂ → (2 · ((ℑ‘𝐴) / 2)) = (ℑ‘𝐴))
148146, 147eqtrd 2857 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℂ → (2 · (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (if((ℑ‘𝐴) < 0, -(ℑ‘𝐴), (ℑ‘𝐴)) / 2))) = (ℑ‘𝐴))
14967, 122, 1483eqtrd 2861 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℂ → ((2 · (√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2))) · (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2)))) = (ℑ‘𝐴))
150149oveq2d 7156 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → (i · ((2 · (√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2))) · (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2))))) = (i · (ℑ‘𝐴)))
15165, 66, 1503eqtr3d 2865 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (2 · ((√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2)) · (i · (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2)))))) = (i · (ℑ‘𝐴)))
15263, 151oveq12d 7158 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → ((((√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2))↑2) + ((i · (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2))))↑2)) + (2 · ((√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2)) · (i · (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2))))))) = ((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴))))
1531resqcld 13607 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → ((√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2))↑2) ∈ ℝ)
154153recnd 10658 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → ((√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2))↑2) ∈ ℂ)
1552, 12mulcld 10650 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → ((√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2)) · (i · (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2))))) ∈ ℂ)
15657, 155mulcld 10650 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (2 · ((√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2)) · (i · (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2)))))) ∈ ℂ)
15712sqcld 13504 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → ((i · (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2))))↑2) ∈ ℂ)
158154, 156, 157add32d 10856 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → ((((√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2))↑2) + (2 · ((√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2)) · (i · (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2))))))) + ((i · (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2))))↑2)) = ((((√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2))↑2) + ((i · (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2))))↑2)) + (2 · ((√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2)) · (i · (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2))))))))
159 replim 14466 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → 𝐴 = ((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴))))
160152, 158, 1593eqtr4d 2867 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → ((((√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2))↑2) + (2 · ((√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2)) · (i · (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2))))))) + ((i · (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2))))↑2)) = 𝐴)
16116, 160eqtrd 2857 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → (((√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2)) + (i · (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2)))))↑2) = 𝐴)
16220, 69sqrtge0d 14771 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → 0 ≤ (√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2)))
1631, 10crred 14581 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘((√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2)) + (i · (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2)))))) = (√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2)))
164162, 163breqtrrd 5070 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → 0 ≤ (ℜ‘((√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2)) + (i · (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2)))))))
165 reim 14459 . . . . . . . . . 10 (((√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2)) + (i · (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2))))) ∈ ℂ → (ℜ‘((√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2)) + (i · (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2)))))) = (ℑ‘(i · ((√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2)) + (i · (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2))))))))
16613, 165syl 17 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘((√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2)) + (i · (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2)))))) = (ℑ‘(i · ((√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2)) + (i · (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2))))))))
167166, 163eqtr3d 2859 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℂ → (ℑ‘(i · ((√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2)) + (i · (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2))))))) = (√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2)))
168167eqeq1d 2824 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → ((ℑ‘(i · ((√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2)) + (i · (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2))))))) = 0 ↔ (√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2)) = 0))
169 cnsqrt00 14743 . . . . . . . 8 ((((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2) ∈ ℂ → ((√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2)) = 0 ↔ (((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2) = 0))
17021, 169syl 17 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → ((√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2)) = 0 ↔ (((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2) = 0))
171 half0 11852 . . . . . . . . 9 (((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) ∈ ℂ → ((((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2) = 0 ↔ ((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) = 0))
17255, 171syl 17 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℂ → ((((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2) = 0 ↔ ((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) = 0))
17349, 50addcomd 10831 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℂ → ((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) = ((ℜ‘𝐴) + (abs‘𝐴)))
174173eqeq1d 2824 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℂ → (((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) = 0 ↔ ((ℜ‘𝐴) + (abs‘𝐴)) = 0))
175 addeq0 11052 . . . . . . . . 9 (((ℜ‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) ∈ ℂ) → (((ℜ‘𝐴) + (abs‘𝐴)) = 0 ↔ (ℜ‘𝐴) = -(abs‘𝐴)))
17650, 49, 175syl2anc 587 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℂ → (((ℜ‘𝐴) + (abs‘𝐴)) = 0 ↔ (ℜ‘𝐴) = -(abs‘𝐴)))
177172, 174, 1763bitrd 308 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → ((((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2) = 0 ↔ (ℜ‘𝐴) = -(abs‘𝐴)))
178168, 170, 1773bitrd 308 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → ((ℑ‘(i · ((√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2)) + (i · (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2))))))) = 0 ↔ (ℜ‘𝐴) = -(abs‘𝐴)))
179 olc 865 . . . . . . . 8 ((ℜ‘𝐴) = -(abs‘𝐴) → ((ℜ‘𝐴) = (abs‘𝐴) ∨ (ℜ‘𝐴) = -(abs‘𝐴)))
180 eqcom 2829 . . . . . . . . . 10 (((ℜ‘𝐴)↑2) = ((abs‘𝐴)↑2) ↔ ((abs‘𝐴)↑2) = ((ℜ‘𝐴)↑2))
181180a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℂ → (((ℜ‘𝐴)↑2) = ((abs‘𝐴)↑2) ↔ ((abs‘𝐴)↑2) = ((ℜ‘𝐴)↑2)))
182 sqeqor 13574 . . . . . . . . . 10 (((ℜ‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) ∈ ℂ) → (((ℜ‘𝐴)↑2) = ((abs‘𝐴)↑2) ↔ ((ℜ‘𝐴) = (abs‘𝐴) ∨ (ℜ‘𝐴) = -(abs‘𝐴))))
18350, 49, 182syl2anc 587 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℂ → (((ℜ‘𝐴)↑2) = ((abs‘𝐴)↑2) ↔ ((ℜ‘𝐴) = (abs‘𝐴) ∨ (ℜ‘𝐴) = -(abs‘𝐴))))
184103eqeq1d 2824 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℂ → (((abs‘𝐴)↑2) = ((ℜ‘𝐴)↑2) ↔ (((ℜ‘𝐴)↑2) + ((ℑ‘𝐴)↑2)) = ((ℜ‘𝐴)↑2)))
185 addid0 11048 . . . . . . . . . . 11 ((((ℜ‘𝐴)↑2) ∈ ℂ ∧ ((ℑ‘𝐴)↑2) ∈ ℂ) → ((((ℜ‘𝐴)↑2) + ((ℑ‘𝐴)↑2)) = ((ℜ‘𝐴)↑2) ↔ ((ℑ‘𝐴)↑2) = 0))
18699, 102, 185syl2anc 587 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℂ → ((((ℜ‘𝐴)↑2) + ((ℑ‘𝐴)↑2)) = ((ℜ‘𝐴)↑2) ↔ ((ℑ‘𝐴)↑2) = 0))
187 sqeq0 13482 . . . . . . . . . . 11 ((ℑ‘𝐴) ∈ ℂ → (((ℑ‘𝐴)↑2) = 0 ↔ (ℑ‘𝐴) = 0))
188130, 187syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℂ → (((ℑ‘𝐴)↑2) = 0 ↔ (ℑ‘𝐴) = 0))
189184, 186, 1883bitrd 308 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℂ → (((abs‘𝐴)↑2) = ((ℜ‘𝐴)↑2) ↔ (ℑ‘𝐴) = 0))
190181, 183, 1893bitr3d 312 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℂ → (((ℜ‘𝐴) = (abs‘𝐴) ∨ (ℜ‘𝐴) = -(abs‘𝐴)) ↔ (ℑ‘𝐴) = 0))
191179, 190syl5ib 247 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → ((ℜ‘𝐴) = -(abs‘𝐴) → (ℑ‘𝐴) = 0))
192191ancld 554 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → ((ℜ‘𝐴) = -(abs‘𝐴) → ((ℜ‘𝐴) = -(abs‘𝐴) ∧ (ℑ‘𝐴) = 0)))
193178, 192sylbid 243 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → ((ℑ‘(i · ((√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2)) + (i · (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2))))))) = 0 → ((ℜ‘𝐴) = -(abs‘𝐴) ∧ (ℑ‘𝐴) = 0)))
194 simp2 1134 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) = -(abs‘𝐴) ∧ (ℑ‘𝐴) = 0) → (ℜ‘𝐴) = -(abs‘𝐴))
195194oveq2d 7156 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) = -(abs‘𝐴) ∧ (ℑ‘𝐴) = 0) → ((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) = ((abs‘𝐴) + -(abs‘𝐴)))
196 simp1 1133 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) = -(abs‘𝐴) ∧ (ℑ‘𝐴) = 0) → 𝐴 ∈ ℂ)
197196, 49syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) = -(abs‘𝐴) ∧ (ℑ‘𝐴) = 0) → (abs‘𝐴) ∈ ℂ)
198197negidd 10976 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) = -(abs‘𝐴) ∧ (ℑ‘𝐴) = 0) → ((abs‘𝐴) + -(abs‘𝐴)) = 0)
199195, 198eqtrd 2857 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) = -(abs‘𝐴) ∧ (ℑ‘𝐴) = 0) → ((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) = 0)
200199oveq1d 7155 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) = -(abs‘𝐴) ∧ (ℑ‘𝐴) = 0) → (((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2) = (0 / 2))
201 2cn 11700 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2 ∈ ℂ
202201, 58div0i 11363 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (0 / 2) = 0
203200, 202syl6eq 2873 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) = -(abs‘𝐴) ∧ (ℑ‘𝐴) = 0) → (((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2) = 0)
204203fveq2d 6656 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) = -(abs‘𝐴) ∧ (ℑ‘𝐴) = 0) → (√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2)) = (√‘0))
205 sqrt0 14592 . . . . . . . . . . . . . 14 (√‘0) = 0
206204, 205syl6eq 2873 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) = -(abs‘𝐴) ∧ (ℑ‘𝐴) = 0) → (√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2)) = 0)
207 simp3 1135 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) = -(abs‘𝐴) ∧ (ℑ‘𝐴) = 0) → (ℑ‘𝐴) = 0)
208 0red 10633 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) = -(abs‘𝐴) ∧ (ℑ‘𝐴) = 0) → 0 ∈ ℝ)
209208ltnrd 10763 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) = -(abs‘𝐴) ∧ (ℑ‘𝐴) = 0) → ¬ 0 < 0)
210207, 209eqnbrtrd 5060 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) = -(abs‘𝐴) ∧ (ℑ‘𝐴) = 0) → ¬ (ℑ‘𝐴) < 0)
211210iffalsed 4450 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) = -(abs‘𝐴) ∧ (ℑ‘𝐴) = 0) → if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) = 1)
212194oveq2d 7156 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) = -(abs‘𝐴) ∧ (ℑ‘𝐴) = 0) → ((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) = ((abs‘𝐴) − -(abs‘𝐴)))
21349, 49subnegd 10993 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝐴 ∈ ℂ → ((abs‘𝐴) − -(abs‘𝐴)) = ((abs‘𝐴) + (abs‘𝐴)))
214492timesd 11868 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝐴 ∈ ℂ → (2 · (abs‘𝐴)) = ((abs‘𝐴) + (abs‘𝐴)))
215213, 214eqtr4d 2860 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝐴 ∈ ℂ → ((abs‘𝐴) − -(abs‘𝐴)) = (2 · (abs‘𝐴)))
216196, 215syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) = -(abs‘𝐴) ∧ (ℑ‘𝐴) = 0) → ((abs‘𝐴) − -(abs‘𝐴)) = (2 · (abs‘𝐴)))
217212, 216eqtrd 2857 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) = -(abs‘𝐴) ∧ (ℑ‘𝐴) = 0) → ((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) = (2 · (abs‘𝐴)))
218217oveq1d 7155 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) = -(abs‘𝐴) ∧ (ℑ‘𝐴) = 0) → (((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2) = ((2 · (abs‘𝐴)) / 2))
21949, 57, 59divcan3d 11410 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐴 ∈ ℂ → ((2 · (abs‘𝐴)) / 2) = (abs‘𝐴))
220196, 219syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) = -(abs‘𝐴) ∧ (ℑ‘𝐴) = 0) → ((2 · (abs‘𝐴)) / 2) = (abs‘𝐴))
221218, 220eqtrd 2857 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) = -(abs‘𝐴) ∧ (ℑ‘𝐴) = 0) → (((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2) = (abs‘𝐴))
222221fveq2d 6656 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) = -(abs‘𝐴) ∧ (ℑ‘𝐴) = 0) → (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2)) = (√‘(abs‘𝐴)))
223211, 222oveq12d 7158 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) = -(abs‘𝐴) ∧ (ℑ‘𝐴) = 0) → (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2))) = (1 · (√‘(abs‘𝐴))))
224 absge0 14638 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐴 ∈ ℂ → 0 ≤ (abs‘𝐴))
22517, 224resqrtcld 14768 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐴 ∈ ℂ → (√‘(abs‘𝐴)) ∈ ℝ)
226225recnd 10658 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐴 ∈ ℂ → (√‘(abs‘𝐴)) ∈ ℂ)
227226mulid2d 10648 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐴 ∈ ℂ → (1 · (√‘(abs‘𝐴))) = (√‘(abs‘𝐴)))
228196, 227syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) = -(abs‘𝐴) ∧ (ℑ‘𝐴) = 0) → (1 · (√‘(abs‘𝐴))) = (√‘(abs‘𝐴)))
229223, 228eqtrd 2857 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) = -(abs‘𝐴) ∧ (ℑ‘𝐴) = 0) → (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2))) = (√‘(abs‘𝐴)))
230229oveq2d 7156 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) = -(abs‘𝐴) ∧ (ℑ‘𝐴) = 0) → (i · (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2)))) = (i · (√‘(abs‘𝐴))))
231206, 230oveq12d 7158 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) = -(abs‘𝐴) ∧ (ℑ‘𝐴) = 0) → ((√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2)) + (i · (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2))))) = (0 + (i · (√‘(abs‘𝐴)))))
2324, 226mulcld 10650 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 ∈ ℂ → (i · (√‘(abs‘𝐴))) ∈ ℂ)
233196, 232syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) = -(abs‘𝐴) ∧ (ℑ‘𝐴) = 0) → (i · (√‘(abs‘𝐴))) ∈ ℂ)
234233addid2d 10830 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) = -(abs‘𝐴) ∧ (ℑ‘𝐴) = 0) → (0 + (i · (√‘(abs‘𝐴)))) = (i · (√‘(abs‘𝐴))))
235231, 234eqtrd 2857 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) = -(abs‘𝐴) ∧ (ℑ‘𝐴) = 0) → ((√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2)) + (i · (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2))))) = (i · (√‘(abs‘𝐴))))
236235oveq2d 7156 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) = -(abs‘𝐴) ∧ (ℑ‘𝐴) = 0) → (i · ((√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2)) + (i · (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2)))))) = (i · (i · (√‘(abs‘𝐴)))))
237 ixi 11258 . . . . . . . . . . . . . 14 (i · i) = -1
238237a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ ℂ → (i · i) = -1)
239238oveq1d 7155 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ ℂ → ((i · i) · (√‘(abs‘𝐴))) = (-1 · (√‘(abs‘𝐴))))
2404, 4, 226mulassd 10653 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ ℂ → ((i · i) · (√‘(abs‘𝐴))) = (i · (i · (√‘(abs‘𝐴)))))
241226mulm1d 11081 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ ℂ → (-1 · (√‘(abs‘𝐴))) = -(√‘(abs‘𝐴)))
242239, 240, 2413eqtr3d 2865 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ ℂ → (i · (i · (√‘(abs‘𝐴)))) = -(√‘(abs‘𝐴)))
243196, 242syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) = -(abs‘𝐴) ∧ (ℑ‘𝐴) = 0) → (i · (i · (√‘(abs‘𝐴)))) = -(√‘(abs‘𝐴)))
244236, 243eqtrd 2857 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) = -(abs‘𝐴) ∧ (ℑ‘𝐴) = 0) → (i · ((√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2)) + (i · (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2)))))) = -(√‘(abs‘𝐴)))
245244fveq2d 6656 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) = -(abs‘𝐴) ∧ (ℑ‘𝐴) = 0) → (ℜ‘(i · ((√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2)) + (i · (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2))))))) = (ℜ‘-(√‘(abs‘𝐴))))
246225renegcld 11056 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℂ → -(√‘(abs‘𝐴)) ∈ ℝ)
247246rered 14574 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘-(√‘(abs‘𝐴))) = -(√‘(abs‘𝐴)))
248196, 247syl 17 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) = -(abs‘𝐴) ∧ (ℑ‘𝐴) = 0) → (ℜ‘-(√‘(abs‘𝐴))) = -(√‘(abs‘𝐴)))
249245, 248eqtrd 2857 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) = -(abs‘𝐴) ∧ (ℑ‘𝐴) = 0) → (ℜ‘(i · ((√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2)) + (i · (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2))))))) = -(√‘(abs‘𝐴)))
25017, 224sqrtge0d 14771 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℂ → 0 ≤ (√‘(abs‘𝐴)))
251225le0neg2d 11201 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℂ → (0 ≤ (√‘(abs‘𝐴)) ↔ -(√‘(abs‘𝐴)) ≤ 0))
252250, 251mpbid 235 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℂ → -(√‘(abs‘𝐴)) ≤ 0)
253196, 252syl 17 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) = -(abs‘𝐴) ∧ (ℑ‘𝐴) = 0) → -(√‘(abs‘𝐴)) ≤ 0)
254249, 253eqbrtrd 5064 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) = -(abs‘𝐴) ∧ (ℑ‘𝐴) = 0) → (ℜ‘(i · ((√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2)) + (i · (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2))))))) ≤ 0)
2552543expib 1119 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (((ℜ‘𝐴) = -(abs‘𝐴) ∧ (ℑ‘𝐴) = 0) → (ℜ‘(i · ((√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2)) + (i · (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2))))))) ≤ 0))
256193, 255syld 47 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → ((ℑ‘(i · ((√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2)) + (i · (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2))))))) = 0 → (ℜ‘(i · ((√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2)) + (i · (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2))))))) ≤ 0))
2574, 13mulcld 10650 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (i · ((√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2)) + (i · (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2)))))) ∈ ℂ)
258257sqrtcvallem1 40261 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → (((ℑ‘(i · ((√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2)) + (i · (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2))))))) = 0 → (ℜ‘(i · ((√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2)) + (i · (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2))))))) ≤ 0) ↔ ¬ (i · ((√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2)) + (i · (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2)))))) ∈ ℝ+))
259256, 258mpbid 235 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → ¬ (i · ((√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2)) + (i · (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2)))))) ∈ ℝ+)
26013, 14, 161, 164, 259eqsqrtd 14718 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → ((√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2)) + (i · (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2))))) = (√‘𝐴))
261260eqcomd 2828 1 (𝐴 ∈ ℂ → (√‘𝐴) = ((√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2)) + (i · (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2))))))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∨ wo 844   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2114   ≠ wne 3011  ifcif 4439   class class class wbr 5042  ‘cfv 6334  (class class class)co 7140  ℂcc 10524  ℝcr 10525  0cc0 10526  1c1 10527  ici 10528   + caddc 10529   · cmul 10531   < clt 10664   ≤ cle 10665   − cmin 10859  -cneg 10860   / cdiv 11286  2c2 11680  ℝ+crp 12377  ↑cexp 13425  ℜcre 14447  ℑcim 14448  √csqrt 14583  abscabs 14584 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2794  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7446  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2801  df-cleq 2815  df-clel 2894  df-nfc 2962  df-ne 3012  df-nel 3116  df-ral 3135  df-rex 3136  df-reu 3137  df-rmo 3138  df-rab 3139  df-v 3471  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4266  df-if 4440  df-pw 4513  df-sn 4540  df-pr 4542  df-tp 4544  df-op 4546  df-uni 4814  df-iun 4896  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-tr 5149  df-id 5437  df-eprel 5442  df-po 5451  df-so 5452  df-fr 5491  df-we 5493  df-xp 5538  df-rel 5539  df-cnv 5540  df-co 5541  df-dm 5542  df-rn 5543  df-res 5544  df-ima 5545  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6293  df-fun 6336  df-fn 6337  df-f 6338  df-f1 6339  df-fo 6340  df-f1o 6341  df-fv 6342  df-riota 7098  df-ov 7143  df-oprab 7144  df-mpo 7145  df-om 7566  df-2nd 7676  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-er 8276  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-sup 8894  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-rp 12378  df-seq 13365  df-exp 13426  df-cj 14449  df-re 14450  df-im 14451  df-sqrt 14585  df-abs 14586 This theorem is referenced by:  sqrtcval2  40272  resqrtval  40273  imsqrtval  40274
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