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Theorem prmreclem6 16793
Description: Lemma for prmrec 16794. If the series 𝐹 was convergent, there would be some 𝑘 such that the sum starting from 𝑘 + 1 sums to less than 1 / 2; this is a sufficient hypothesis for prmreclem5 16792 to produce the contradictory bound 𝑁 / 2 < (2↑𝑘)√𝑁, which is false for 𝑁 = 2↑(2𝑘 + 2). (Contributed by Mario Carneiro, 6-Aug-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
prmrec.1 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, (1 / 𝑛), 0))
Assertion
Ref Expression
prmreclem6 ¬ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝
Distinct variable group:   𝑛,𝐹

Proof of Theorem prmreclem6
Dummy variables 𝑗 𝑘 𝑚 𝑝 𝑟 𝑤 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnuz 12806 . . . . . . . . 9 ℕ = (ℤ‘1)
2 1zzd 12534 . . . . . . . . 9 (⊤ → 1 ∈ ℤ)
3 nnrecre 12195 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ ℕ → (1 / 𝑛) ∈ ℝ)
43adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 ((⊤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (1 / 𝑛) ∈ ℝ)
5 0re 11157 . . . . . . . . . . . 12 0 ∈ ℝ
6 ifcl 4531 . . . . . . . . . . . 12 (((1 / 𝑛) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → if(𝑛 ∈ ℙ, (1 / 𝑛), 0) ∈ ℝ)
74, 5, 6sylancl 586 . . . . . . . . . . 11 ((⊤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → if(𝑛 ∈ ℙ, (1 / 𝑛), 0) ∈ ℝ)
8 prmrec.1 . . . . . . . . . . 11 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ ℙ, (1 / 𝑛), 0))
97, 8fmptd 7062 . . . . . . . . . 10 (⊤ → 𝐹:ℕ⟶ℝ)
109ffvelcdmda 7035 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (𝐹𝑗) ∈ ℝ)
111, 2, 10serfre 13937 . . . . . . . 8 (⊤ → seq1( + , 𝐹):ℕ⟶ℝ)
1211mptru 1548 . . . . . . 7 seq1( + , 𝐹):ℕ⟶ℝ
13 frn 6675 . . . . . . 7 (seq1( + , 𝐹):ℕ⟶ℝ → ran seq1( + , 𝐹) ⊆ ℝ)
1412, 13mp1i 13 . . . . . 6 (seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ → ran seq1( + , 𝐹) ⊆ ℝ)
15 1nn 12164 . . . . . . . 8 1 ∈ ℕ
1612fdmi 6680 . . . . . . . 8 dom seq1( + , 𝐹) = ℕ
1715, 16eleqtrri 2837 . . . . . . 7 1 ∈ dom seq1( + , 𝐹)
18 ne0i 4294 . . . . . . . 8 (1 ∈ dom seq1( + , 𝐹) → dom seq1( + , 𝐹) ≠ ∅)
19 dm0rn0 5880 . . . . . . . . 9 (dom seq1( + , 𝐹) = ∅ ↔ ran seq1( + , 𝐹) = ∅)
2019necon3bii 2996 . . . . . . . 8 (dom seq1( + , 𝐹) ≠ ∅ ↔ ran seq1( + , 𝐹) ≠ ∅)
2118, 20sylib 217 . . . . . . 7 (1 ∈ dom seq1( + , 𝐹) → ran seq1( + , 𝐹) ≠ ∅)
2217, 21mp1i 13 . . . . . 6 (seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ → ran seq1( + , 𝐹) ≠ ∅)
23 1zzd 12534 . . . . . . . . 9 (seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ → 1 ∈ ℤ)
24 climdm 15436 . . . . . . . . . 10 (seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ↔ seq1( + , 𝐹) ⇝ ( ⇝ ‘seq1( + , 𝐹)))
2524biimpi 215 . . . . . . . . 9 (seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ → seq1( + , 𝐹) ⇝ ( ⇝ ‘seq1( + , 𝐹)))
2612a1i 11 . . . . . . . . . 10 (seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ → seq1( + , 𝐹):ℕ⟶ℝ)
2726ffvelcdmda 7035 . . . . . . . . 9 ((seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (seq1( + , 𝐹)‘𝑘) ∈ ℝ)
281, 23, 25, 27climrecl 15465 . . . . . . . 8 (seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ → ( ⇝ ‘seq1( + , 𝐹)) ∈ ℝ)
29 simpr 485 . . . . . . . . . 10 ((seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℕ)
3025adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → seq1( + , 𝐹) ⇝ ( ⇝ ‘seq1( + , 𝐹)))
31 eleq1w 2820 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 = 𝑗 → (𝑛 ∈ ℙ ↔ 𝑗 ∈ ℙ))
32 oveq2 7365 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 = 𝑗 → (1 / 𝑛) = (1 / 𝑗))
3331, 32ifbieq1d 4510 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 = 𝑗 → if(𝑛 ∈ ℙ, (1 / 𝑛), 0) = if(𝑗 ∈ ℙ, (1 / 𝑗), 0))
34 prmnn 16550 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑗 ∈ ℙ → 𝑗 ∈ ℕ)
3534adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((⊤ ∧ 𝑗 ∈ ℙ) → 𝑗 ∈ ℕ)
3635nnrecred 12204 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((⊤ ∧ 𝑗 ∈ ℙ) → (1 / 𝑗) ∈ ℝ)
375a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((⊤ ∧ ¬ 𝑗 ∈ ℙ) → 0 ∈ ℝ)
3836, 37ifclda 4521 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (⊤ → if(𝑗 ∈ ℙ, (1 / 𝑗), 0) ∈ ℝ)
3938mptru 1548 . . . . . . . . . . . . . . 15 if(𝑗 ∈ ℙ, (1 / 𝑗), 0) ∈ ℝ
4039elexi 3464 . . . . . . . . . . . . . 14 if(𝑗 ∈ ℙ, (1 / 𝑗), 0) ∈ V
4133, 8, 40fvmpt 6948 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 ∈ ℕ → (𝐹𝑗) = if(𝑗 ∈ ℙ, (1 / 𝑗), 0))
4241adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 ((seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (𝐹𝑗) = if(𝑗 ∈ ℙ, (1 / 𝑗), 0))
4339a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → if(𝑗 ∈ ℙ, (1 / 𝑗), 0) ∈ ℝ)
4442, 43eqeltrd 2838 . . . . . . . . . . 11 ((seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (𝐹𝑗) ∈ ℝ)
4544adantlr 713 . . . . . . . . . 10 (((seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (𝐹𝑗) ∈ ℝ)
46 nnrp 12926 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑗 ∈ ℕ → 𝑗 ∈ ℝ+)
4746adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 𝑗 ∈ ℝ+)
4847rpreccld 12967 . . . . . . . . . . . . . 14 ((seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (1 / 𝑗) ∈ ℝ+)
4948rpge0d 12961 . . . . . . . . . . . . 13 ((seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 0 ≤ (1 / 𝑗))
50 0le0 12254 . . . . . . . . . . . . 13 0 ≤ 0
51 breq2 5109 . . . . . . . . . . . . . 14 ((1 / 𝑗) = if(𝑗 ∈ ℙ, (1 / 𝑗), 0) → (0 ≤ (1 / 𝑗) ↔ 0 ≤ if(𝑗 ∈ ℙ, (1 / 𝑗), 0)))
52 breq2 5109 . . . . . . . . . . . . . 14 (0 = if(𝑗 ∈ ℙ, (1 / 𝑗), 0) → (0 ≤ 0 ↔ 0 ≤ if(𝑗 ∈ ℙ, (1 / 𝑗), 0)))
5351, 52ifboth 4525 . . . . . . . . . . . . 13 ((0 ≤ (1 / 𝑗) ∧ 0 ≤ 0) → 0 ≤ if(𝑗 ∈ ℙ, (1 / 𝑗), 0))
5449, 50, 53sylancl 586 . . . . . . . . . . . 12 ((seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 0 ≤ if(𝑗 ∈ ℙ, (1 / 𝑗), 0))
5554, 42breqtrrd 5133 . . . . . . . . . . 11 ((seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 0 ≤ (𝐹𝑗))
5655adantlr 713 . . . . . . . . . 10 (((seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 0 ≤ (𝐹𝑗))
571, 29, 30, 45, 56climserle 15547 . . . . . . . . 9 ((seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (seq1( + , 𝐹)‘𝑘) ≤ ( ⇝ ‘seq1( + , 𝐹)))
5857ralrimiva 3143 . . . . . . . 8 (seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ → ∀𝑘 ∈ ℕ (seq1( + , 𝐹)‘𝑘) ≤ ( ⇝ ‘seq1( + , 𝐹)))
59 brralrspcev 5165 . . . . . . . 8 ((( ⇝ ‘seq1( + , 𝐹)) ∈ ℝ ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ (seq1( + , 𝐹)‘𝑘) ≤ ( ⇝ ‘seq1( + , 𝐹))) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ ℕ (seq1( + , 𝐹)‘𝑘) ≤ 𝑥)
6028, 58, 59syl2anc 584 . . . . . . 7 (seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ ℕ (seq1( + , 𝐹)‘𝑘) ≤ 𝑥)
61 ffn 6668 . . . . . . . . 9 (seq1( + , 𝐹):ℕ⟶ℝ → seq1( + , 𝐹) Fn ℕ)
62 breq1 5108 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = (seq1( + , 𝐹)‘𝑘) → (𝑧𝑥 ↔ (seq1( + , 𝐹)‘𝑘) ≤ 𝑥))
6362ralrn 7038 . . . . . . . . 9 (seq1( + , 𝐹) Fn ℕ → (∀𝑧 ∈ ran seq1( + , 𝐹)𝑧𝑥 ↔ ∀𝑘 ∈ ℕ (seq1( + , 𝐹)‘𝑘) ≤ 𝑥))
6412, 61, 63mp2b 10 . . . . . . . 8 (∀𝑧 ∈ ran seq1( + , 𝐹)𝑧𝑥 ↔ ∀𝑘 ∈ ℕ (seq1( + , 𝐹)‘𝑘) ≤ 𝑥)
6564rexbii 3097 . . . . . . 7 (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ ran seq1( + , 𝐹)𝑧𝑥 ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ ℕ (seq1( + , 𝐹)‘𝑘) ≤ 𝑥)
6660, 65sylibr 233 . . . . . 6 (seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ ran seq1( + , 𝐹)𝑧𝑥)
6714, 22, 66suprcld 12118 . . . . 5 (seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ → sup(ran seq1( + , 𝐹), ℝ, < ) ∈ ℝ)
68 2rp 12920 . . . . . 6 2 ∈ ℝ+
69 rpreccl 12941 . . . . . 6 (2 ∈ ℝ+ → (1 / 2) ∈ ℝ+)
7068, 69ax-mp 5 . . . . 5 (1 / 2) ∈ ℝ+
71 ltsubrp 12951 . . . . 5 ((sup(ran seq1( + , 𝐹), ℝ, < ) ∈ ℝ ∧ (1 / 2) ∈ ℝ+) → (sup(ran seq1( + , 𝐹), ℝ, < ) − (1 / 2)) < sup(ran seq1( + , 𝐹), ℝ, < ))
7267, 70, 71sylancl 586 . . . 4 (seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ → (sup(ran seq1( + , 𝐹), ℝ, < ) − (1 / 2)) < sup(ran seq1( + , 𝐹), ℝ, < ))
73 halfre 12367 . . . . . 6 (1 / 2) ∈ ℝ
74 resubcl 11465 . . . . . 6 ((sup(ran seq1( + , 𝐹), ℝ, < ) ∈ ℝ ∧ (1 / 2) ∈ ℝ) → (sup(ran seq1( + , 𝐹), ℝ, < ) − (1 / 2)) ∈ ℝ)
7567, 73, 74sylancl 586 . . . . 5 (seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ → (sup(ran seq1( + , 𝐹), ℝ, < ) − (1 / 2)) ∈ ℝ)
76 suprlub 12119 . . . . 5 (((ran seq1( + , 𝐹) ⊆ ℝ ∧ ran seq1( + , 𝐹) ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ ran seq1( + , 𝐹)𝑧𝑥) ∧ (sup(ran seq1( + , 𝐹), ℝ, < ) − (1 / 2)) ∈ ℝ) → ((sup(ran seq1( + , 𝐹), ℝ, < ) − (1 / 2)) < sup(ran seq1( + , 𝐹), ℝ, < ) ↔ ∃𝑦 ∈ ran seq1( + , 𝐹)(sup(ran seq1( + , 𝐹), ℝ, < ) − (1 / 2)) < 𝑦))
7714, 22, 66, 75, 76syl31anc 1373 . . . 4 (seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ → ((sup(ran seq1( + , 𝐹), ℝ, < ) − (1 / 2)) < sup(ran seq1( + , 𝐹), ℝ, < ) ↔ ∃𝑦 ∈ ran seq1( + , 𝐹)(sup(ran seq1( + , 𝐹), ℝ, < ) − (1 / 2)) < 𝑦))
7872, 77mpbid 231 . . 3 (seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ → ∃𝑦 ∈ ran seq1( + , 𝐹)(sup(ran seq1( + , 𝐹), ℝ, < ) − (1 / 2)) < 𝑦)
79 breq2 5109 . . . . 5 (𝑦 = (seq1( + , 𝐹)‘𝑘) → ((sup(ran seq1( + , 𝐹), ℝ, < ) − (1 / 2)) < 𝑦 ↔ (sup(ran seq1( + , 𝐹), ℝ, < ) − (1 / 2)) < (seq1( + , 𝐹)‘𝑘)))
8079rexrn 7037 . . . 4 (seq1( + , 𝐹) Fn ℕ → (∃𝑦 ∈ ran seq1( + , 𝐹)(sup(ran seq1( + , 𝐹), ℝ, < ) − (1 / 2)) < 𝑦 ↔ ∃𝑘 ∈ ℕ (sup(ran seq1( + , 𝐹), ℝ, < ) − (1 / 2)) < (seq1( + , 𝐹)‘𝑘)))
8112, 61, 80mp2b 10 . . 3 (∃𝑦 ∈ ran seq1( + , 𝐹)(sup(ran seq1( + , 𝐹), ℝ, < ) − (1 / 2)) < 𝑦 ↔ ∃𝑘 ∈ ℕ (sup(ran seq1( + , 𝐹), ℝ, < ) − (1 / 2)) < (seq1( + , 𝐹)‘𝑘))
8278, 81sylib 217 . 2 (seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ → ∃𝑘 ∈ ℕ (sup(ran seq1( + , 𝐹), ℝ, < ) − (1 / 2)) < (seq1( + , 𝐹)‘𝑘))
83 2re 12227 . . . . . 6 2 ∈ ℝ
84 2nn 12226 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℕ
85 nnmulcl 12177 . . . . . . . . 9 ((2 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (2 · 𝑘) ∈ ℕ)
8684, 29, 85sylancr 587 . . . . . . . 8 ((seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (2 · 𝑘) ∈ ℕ)
8786peano2nnd 12170 . . . . . . 7 ((seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((2 · 𝑘) + 1) ∈ ℕ)
8887nnnn0d 12473 . . . . . 6 ((seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((2 · 𝑘) + 1) ∈ ℕ0)
89 reexpcl 13984 . . . . . 6 ((2 ∈ ℝ ∧ ((2 · 𝑘) + 1) ∈ ℕ0) → (2↑((2 · 𝑘) + 1)) ∈ ℝ)
9083, 88, 89sylancr 587 . . . . 5 ((seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (2↑((2 · 𝑘) + 1)) ∈ ℝ)
9190ltnrd 11289 . . . 4 ((seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ¬ (2↑((2 · 𝑘) + 1)) < (2↑((2 · 𝑘) + 1)))
9229adantr 481 . . . . . . 7 (((seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ Σ𝑗 ∈ (ℤ‘(𝑘 + 1))if(𝑗 ∈ ℙ, (1 / 𝑗), 0) < (1 / 2)) → 𝑘 ∈ ℕ)
93 peano2nn 12165 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ ℕ → (𝑘 + 1) ∈ ℕ)
9493adantl 482 . . . . . . . . . . 11 ((seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘 + 1) ∈ ℕ)
9594nnnn0d 12473 . . . . . . . . . 10 ((seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘 + 1) ∈ ℕ0)
96 nnexpcl 13980 . . . . . . . . . 10 ((2 ∈ ℕ ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℕ0) → (2↑(𝑘 + 1)) ∈ ℕ)
9784, 95, 96sylancr 587 . . . . . . . . 9 ((seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (2↑(𝑘 + 1)) ∈ ℕ)
9897nnsqcld 14147 . . . . . . . 8 ((seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((2↑(𝑘 + 1))↑2) ∈ ℕ)
9998adantr 481 . . . . . . 7 (((seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ Σ𝑗 ∈ (ℤ‘(𝑘 + 1))if(𝑗 ∈ ℙ, (1 / 𝑗), 0) < (1 / 2)) → ((2↑(𝑘 + 1))↑2) ∈ ℕ)
100 breq1 5108 . . . . . . . . . . 11 (𝑝 = 𝑤 → (𝑝𝑟𝑤𝑟))
101100notbid 317 . . . . . . . . . 10 (𝑝 = 𝑤 → (¬ 𝑝𝑟 ↔ ¬ 𝑤𝑟))
102101cbvralvw 3225 . . . . . . . . 9 (∀𝑝 ∈ (ℙ ∖ (1...𝑘)) ¬ 𝑝𝑟 ↔ ∀𝑤 ∈ (ℙ ∖ (1...𝑘)) ¬ 𝑤𝑟)
103 breq2 5109 . . . . . . . . . . 11 (𝑟 = 𝑛 → (𝑤𝑟𝑤𝑛))
104103notbid 317 . . . . . . . . . 10 (𝑟 = 𝑛 → (¬ 𝑤𝑟 ↔ ¬ 𝑤𝑛))
105104ralbidv 3174 . . . . . . . . 9 (𝑟 = 𝑛 → (∀𝑤 ∈ (ℙ ∖ (1...𝑘)) ¬ 𝑤𝑟 ↔ ∀𝑤 ∈ (ℙ ∖ (1...𝑘)) ¬ 𝑤𝑛))
106102, 105bitrid 282 . . . . . . . 8 (𝑟 = 𝑛 → (∀𝑝 ∈ (ℙ ∖ (1...𝑘)) ¬ 𝑝𝑟 ↔ ∀𝑤 ∈ (ℙ ∖ (1...𝑘)) ¬ 𝑤𝑛))
107106cbvrabv 3417 . . . . . . 7 {𝑟 ∈ (1...((2↑(𝑘 + 1))↑2)) ∣ ∀𝑝 ∈ (ℙ ∖ (1...𝑘)) ¬ 𝑝𝑟} = {𝑛 ∈ (1...((2↑(𝑘 + 1))↑2)) ∣ ∀𝑤 ∈ (ℙ ∖ (1...𝑘)) ¬ 𝑤𝑛}
108 simpll 765 . . . . . . 7 (((seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ Σ𝑗 ∈ (ℤ‘(𝑘 + 1))if(𝑗 ∈ ℙ, (1 / 𝑗), 0) < (1 / 2)) → seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
109 eleq1w 2820 . . . . . . . . . 10 (𝑚 = 𝑗 → (𝑚 ∈ ℙ ↔ 𝑗 ∈ ℙ))
110 oveq2 7365 . . . . . . . . . 10 (𝑚 = 𝑗 → (1 / 𝑚) = (1 / 𝑗))
111109, 110ifbieq1d 4510 . . . . . . . . 9 (𝑚 = 𝑗 → if(𝑚 ∈ ℙ, (1 / 𝑚), 0) = if(𝑗 ∈ ℙ, (1 / 𝑗), 0))
112111cbvsumv 15581 . . . . . . . 8 Σ𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑘 + 1))if(𝑚 ∈ ℙ, (1 / 𝑚), 0) = Σ𝑗 ∈ (ℤ‘(𝑘 + 1))if(𝑗 ∈ ℙ, (1 / 𝑗), 0)
113 simpr 485 . . . . . . . 8 (((seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ Σ𝑗 ∈ (ℤ‘(𝑘 + 1))if(𝑗 ∈ ℙ, (1 / 𝑗), 0) < (1 / 2)) → Σ𝑗 ∈ (ℤ‘(𝑘 + 1))if(𝑗 ∈ ℙ, (1 / 𝑗), 0) < (1 / 2))
114112, 113eqbrtrid 5140 . . . . . . 7 (((seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ Σ𝑗 ∈ (ℤ‘(𝑘 + 1))if(𝑗 ∈ ℙ, (1 / 𝑗), 0) < (1 / 2)) → Σ𝑚 ∈ (ℤ‘(𝑘 + 1))if(𝑚 ∈ ℙ, (1 / 𝑚), 0) < (1 / 2))
115 eqid 2736 . . . . . . 7 (𝑤 ∈ ℕ ↦ {𝑛 ∈ (1...((2↑(𝑘 + 1))↑2)) ∣ (𝑤 ∈ ℙ ∧ 𝑤𝑛)}) = (𝑤 ∈ ℕ ↦ {𝑛 ∈ (1...((2↑(𝑘 + 1))↑2)) ∣ (𝑤 ∈ ℙ ∧ 𝑤𝑛)})
1168, 92, 99, 107, 108, 114, 115prmreclem5 16792 . . . . . 6 (((seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ Σ𝑗 ∈ (ℤ‘(𝑘 + 1))if(𝑗 ∈ ℙ, (1 / 𝑗), 0) < (1 / 2)) → (((2↑(𝑘 + 1))↑2) / 2) < ((2↑𝑘) · (√‘((2↑(𝑘 + 1))↑2))))
117116ex 413 . . . . 5 ((seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (Σ𝑗 ∈ (ℤ‘(𝑘 + 1))if(𝑗 ∈ ℙ, (1 / 𝑗), 0) < (1 / 2) → (((2↑(𝑘 + 1))↑2) / 2) < ((2↑𝑘) · (√‘((2↑(𝑘 + 1))↑2)))))
118 eqid 2736 . . . . . . . . 9 (ℤ‘(𝑘 + 1)) = (ℤ‘(𝑘 + 1))
11994nnzd 12526 . . . . . . . . 9 ((seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘 + 1) ∈ ℤ)
120 eluznn 12843 . . . . . . . . . . 11 (((𝑘 + 1) ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (ℤ‘(𝑘 + 1))) → 𝑗 ∈ ℕ)
12194, 120sylan 580 . . . . . . . . . 10 (((seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ‘(𝑘 + 1))) → 𝑗 ∈ ℕ)
122121, 41syl 17 . . . . . . . . 9 (((seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ‘(𝑘 + 1))) → (𝐹𝑗) = if(𝑗 ∈ ℙ, (1 / 𝑗), 0))
12339a1i 11 . . . . . . . . 9 (((seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ‘(𝑘 + 1))) → if(𝑗 ∈ ℙ, (1 / 𝑗), 0) ∈ ℝ)
124 simpl 483 . . . . . . . . . 10 ((seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
12541adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 (((seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (𝐹𝑗) = if(𝑗 ∈ ℙ, (1 / 𝑗), 0))
12639recni 11169 . . . . . . . . . . . . 13 if(𝑗 ∈ ℙ, (1 / 𝑗), 0) ∈ ℂ
127126a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (((seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → if(𝑗 ∈ ℙ, (1 / 𝑗), 0) ∈ ℂ)
128125, 127eqeltrd 2838 . . . . . . . . . . 11 (((seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (𝐹𝑗) ∈ ℂ)
1291, 94, 128iserex 15541 . . . . . . . . . 10 ((seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ↔ seq(𝑘 + 1)( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ))
130124, 129mpbid 231 . . . . . . . . 9 ((seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → seq(𝑘 + 1)( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
131118, 119, 122, 123, 130isumrecl 15650 . . . . . . . 8 ((seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → Σ𝑗 ∈ (ℤ‘(𝑘 + 1))if(𝑗 ∈ ℙ, (1 / 𝑗), 0) ∈ ℝ)
13273a1i 11 . . . . . . . 8 ((seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (1 / 2) ∈ ℝ)
133 elfznn 13470 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 ∈ (1...𝑘) → 𝑗 ∈ ℕ)
134133adantl 482 . . . . . . . . . . 11 (((seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑘)) → 𝑗 ∈ ℕ)
135134, 41syl 17 . . . . . . . . . 10 (((seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑘)) → (𝐹𝑗) = if(𝑗 ∈ ℙ, (1 / 𝑗), 0))
13629, 1eleqtrdi 2848 . . . . . . . . . 10 ((seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ (ℤ‘1))
137126a1i 11 . . . . . . . . . 10 (((seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑘)) → if(𝑗 ∈ ℙ, (1 / 𝑗), 0) ∈ ℂ)
138135, 136, 137fsumser 15615 . . . . . . . . 9 ((seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → Σ𝑗 ∈ (1...𝑘)if(𝑗 ∈ ℙ, (1 / 𝑗), 0) = (seq1( + , 𝐹)‘𝑘))
139138, 27eqeltrd 2838 . . . . . . . 8 ((seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → Σ𝑗 ∈ (1...𝑘)if(𝑗 ∈ ℙ, (1 / 𝑗), 0) ∈ ℝ)
140131, 132, 139ltadd2d 11311 . . . . . . 7 ((seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (Σ𝑗 ∈ (ℤ‘(𝑘 + 1))if(𝑗 ∈ ℙ, (1 / 𝑗), 0) < (1 / 2) ↔ (Σ𝑗 ∈ (1...𝑘)if(𝑗 ∈ ℙ, (1 / 𝑗), 0) + Σ𝑗 ∈ (ℤ‘(𝑘 + 1))if(𝑗 ∈ ℙ, (1 / 𝑗), 0)) < (Σ𝑗 ∈ (1...𝑘)if(𝑗 ∈ ℙ, (1 / 𝑗), 0) + (1 / 2))))
1411, 118, 94, 125, 127, 124isumsplit 15725 . . . . . . . . 9 ((seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → Σ𝑗 ∈ ℕ if(𝑗 ∈ ℙ, (1 / 𝑗), 0) = (Σ𝑗 ∈ (1...((𝑘 + 1) − 1))if(𝑗 ∈ ℙ, (1 / 𝑗), 0) + Σ𝑗 ∈ (ℤ‘(𝑘 + 1))if(𝑗 ∈ ℙ, (1 / 𝑗), 0)))
142 nncn 12161 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℂ)
143142adantl 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℂ)
144 ax-1cn 11109 . . . . . . . . . . . . 13 1 ∈ ℂ
145 pncan 11407 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑘 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑘 + 1) − 1) = 𝑘)
146143, 144, 145sylancl 586 . . . . . . . . . . . 12 ((seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑘 + 1) − 1) = 𝑘)
147146oveq2d 7373 . . . . . . . . . . 11 ((seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (1...((𝑘 + 1) − 1)) = (1...𝑘))
148147sumeq1d 15586 . . . . . . . . . 10 ((seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → Σ𝑗 ∈ (1...((𝑘 + 1) − 1))if(𝑗 ∈ ℙ, (1 / 𝑗), 0) = Σ𝑗 ∈ (1...𝑘)if(𝑗 ∈ ℙ, (1 / 𝑗), 0))
149148oveq1d 7372 . . . . . . . . 9 ((seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (Σ𝑗 ∈ (1...((𝑘 + 1) − 1))if(𝑗 ∈ ℙ, (1 / 𝑗), 0) + Σ𝑗 ∈ (ℤ‘(𝑘 + 1))if(𝑗 ∈ ℙ, (1 / 𝑗), 0)) = (Σ𝑗 ∈ (1...𝑘)if(𝑗 ∈ ℙ, (1 / 𝑗), 0) + Σ𝑗 ∈ (ℤ‘(𝑘 + 1))if(𝑗 ∈ ℙ, (1 / 𝑗), 0)))
150141, 149eqtrd 2776 . . . . . . . 8 ((seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → Σ𝑗 ∈ ℕ if(𝑗 ∈ ℙ, (1 / 𝑗), 0) = (Σ𝑗 ∈ (1...𝑘)if(𝑗 ∈ ℙ, (1 / 𝑗), 0) + Σ𝑗 ∈ (ℤ‘(𝑘 + 1))if(𝑗 ∈ ℙ, (1 / 𝑗), 0)))
151150breq1d 5115 . . . . . . 7 ((seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (Σ𝑗 ∈ ℕ if(𝑗 ∈ ℙ, (1 / 𝑗), 0) < (Σ𝑗 ∈ (1...𝑘)if(𝑗 ∈ ℙ, (1 / 𝑗), 0) + (1 / 2)) ↔ (Σ𝑗 ∈ (1...𝑘)if(𝑗 ∈ ℙ, (1 / 𝑗), 0) + Σ𝑗 ∈ (ℤ‘(𝑘 + 1))if(𝑗 ∈ ℙ, (1 / 𝑗), 0)) < (Σ𝑗 ∈ (1...𝑘)if(𝑗 ∈ ℙ, (1 / 𝑗), 0) + (1 / 2))))
152140, 151bitr4d 281 . . . . . 6 ((seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (Σ𝑗 ∈ (ℤ‘(𝑘 + 1))if(𝑗 ∈ ℙ, (1 / 𝑗), 0) < (1 / 2) ↔ Σ𝑗 ∈ ℕ if(𝑗 ∈ ℙ, (1 / 𝑗), 0) < (Σ𝑗 ∈ (1...𝑘)if(𝑗 ∈ ℙ, (1 / 𝑗), 0) + (1 / 2))))
153 eqid 2736 . . . . . . . . . 10 seq1( + , 𝐹) = seq1( + , 𝐹)
1541, 153, 23, 42, 43, 54, 60isumsup 15732 . . . . . . . . 9 (seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ → Σ𝑗 ∈ ℕ if(𝑗 ∈ ℙ, (1 / 𝑗), 0) = sup(ran seq1( + , 𝐹), ℝ, < ))
155154, 67eqeltrd 2838 . . . . . . . 8 (seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ → Σ𝑗 ∈ ℕ if(𝑗 ∈ ℙ, (1 / 𝑗), 0) ∈ ℝ)
156155adantr 481 . . . . . . 7 ((seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → Σ𝑗 ∈ ℕ if(𝑗 ∈ ℙ, (1 / 𝑗), 0) ∈ ℝ)
157156, 132, 139ltsubaddd 11751 . . . . . 6 ((seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((Σ𝑗 ∈ ℕ if(𝑗 ∈ ℙ, (1 / 𝑗), 0) − (1 / 2)) < Σ𝑗 ∈ (1...𝑘)if(𝑗 ∈ ℙ, (1 / 𝑗), 0) ↔ Σ𝑗 ∈ ℕ if(𝑗 ∈ ℙ, (1 / 𝑗), 0) < (Σ𝑗 ∈ (1...𝑘)if(𝑗 ∈ ℙ, (1 / 𝑗), 0) + (1 / 2))))
158154adantr 481 . . . . . . . 8 ((seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → Σ𝑗 ∈ ℕ if(𝑗 ∈ ℙ, (1 / 𝑗), 0) = sup(ran seq1( + , 𝐹), ℝ, < ))
159158oveq1d 7372 . . . . . . 7 ((seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (Σ𝑗 ∈ ℕ if(𝑗 ∈ ℙ, (1 / 𝑗), 0) − (1 / 2)) = (sup(ran seq1( + , 𝐹), ℝ, < ) − (1 / 2)))
160159, 138breq12d 5118 . . . . . 6 ((seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((Σ𝑗 ∈ ℕ if(𝑗 ∈ ℙ, (1 / 𝑗), 0) − (1 / 2)) < Σ𝑗 ∈ (1...𝑘)if(𝑗 ∈ ℙ, (1 / 𝑗), 0) ↔ (sup(ran seq1( + , 𝐹), ℝ, < ) − (1 / 2)) < (seq1( + , 𝐹)‘𝑘)))
161152, 157, 1603bitr2d 306 . . . . 5 ((seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (Σ𝑗 ∈ (ℤ‘(𝑘 + 1))if(𝑗 ∈ ℙ, (1 / 𝑗), 0) < (1 / 2) ↔ (sup(ran seq1( + , 𝐹), ℝ, < ) − (1 / 2)) < (seq1( + , 𝐹)‘𝑘)))
162 2cn 12228 . . . . . . . . . . . . 13 2 ∈ ℂ
163162a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 2 ∈ ℂ)
164144a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℂ)
165163, 143, 164adddid 11179 . . . . . . . . . . 11 ((seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (2 · (𝑘 + 1)) = ((2 · 𝑘) + (2 · 1)))
16694nncnd 12169 . . . . . . . . . . . 12 ((seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘 + 1) ∈ ℂ)
167 mulcom 11137 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑘 + 1) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ) → ((𝑘 + 1) · 2) = (2 · (𝑘 + 1)))
168166, 162, 167sylancl 586 . . . . . . . . . . 11 ((seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑘 + 1) · 2) = (2 · (𝑘 + 1)))
16986nncnd 12169 . . . . . . . . . . . . 13 ((seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (2 · 𝑘) ∈ ℂ)
170169, 164, 164addassd 11177 . . . . . . . . . . . 12 ((seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((2 · 𝑘) + 1) + 1) = ((2 · 𝑘) + (1 + 1)))
1711442timesi 12291 . . . . . . . . . . . . 13 (2 · 1) = (1 + 1)
172171oveq2i 7368 . . . . . . . . . . . 12 ((2 · 𝑘) + (2 · 1)) = ((2 · 𝑘) + (1 + 1))
173170, 172eqtr4di 2794 . . . . . . . . . . 11 ((seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((2 · 𝑘) + 1) + 1) = ((2 · 𝑘) + (2 · 1)))
174165, 168, 1733eqtr4d 2786 . . . . . . . . . 10 ((seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑘 + 1) · 2) = (((2 · 𝑘) + 1) + 1))
175174oveq2d 7373 . . . . . . . . 9 ((seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (2↑((𝑘 + 1) · 2)) = (2↑(((2 · 𝑘) + 1) + 1)))
176 2nn0 12430 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℕ0
177176a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 2 ∈ ℕ0)
178163, 177, 95expmuld 14054 . . . . . . . . 9 ((seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (2↑((𝑘 + 1) · 2)) = ((2↑(𝑘 + 1))↑2))
179 expp1 13974 . . . . . . . . . 10 ((2 ∈ ℂ ∧ ((2 · 𝑘) + 1) ∈ ℕ0) → (2↑(((2 · 𝑘) + 1) + 1)) = ((2↑((2 · 𝑘) + 1)) · 2))
180162, 88, 179sylancr 587 . . . . . . . . 9 ((seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (2↑(((2 · 𝑘) + 1) + 1)) = ((2↑((2 · 𝑘) + 1)) · 2))
181175, 178, 1803eqtr3d 2784 . . . . . . . 8 ((seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((2↑(𝑘 + 1))↑2) = ((2↑((2 · 𝑘) + 1)) · 2))
182181oveq1d 7372 . . . . . . 7 ((seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((2↑(𝑘 + 1))↑2) / 2) = (((2↑((2 · 𝑘) + 1)) · 2) / 2))
183 expcl 13985 . . . . . . . . 9 ((2 ∈ ℂ ∧ ((2 · 𝑘) + 1) ∈ ℕ0) → (2↑((2 · 𝑘) + 1)) ∈ ℂ)
184162, 88, 183sylancr 587 . . . . . . . 8 ((seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (2↑((2 · 𝑘) + 1)) ∈ ℂ)
185 2ne0 12257 . . . . . . . . 9 2 ≠ 0
186 divcan4 11840 . . . . . . . . 9 (((2↑((2 · 𝑘) + 1)) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) → (((2↑((2 · 𝑘) + 1)) · 2) / 2) = (2↑((2 · 𝑘) + 1)))
187162, 185, 186mp3an23 1453 . . . . . . . 8 ((2↑((2 · 𝑘) + 1)) ∈ ℂ → (((2↑((2 · 𝑘) + 1)) · 2) / 2) = (2↑((2 · 𝑘) + 1)))
188184, 187syl 17 . . . . . . 7 ((seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((2↑((2 · 𝑘) + 1)) · 2) / 2) = (2↑((2 · 𝑘) + 1)))
189182, 188eqtrd 2776 . . . . . 6 ((seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((2↑(𝑘 + 1))↑2) / 2) = (2↑((2 · 𝑘) + 1)))
190 nnnn0 12420 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℕ0)
191190adantl 482 . . . . . . . 8 ((seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℕ0)
192163, 95, 191expaddd 14053 . . . . . . 7 ((seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (2↑(𝑘 + (𝑘 + 1))) = ((2↑𝑘) · (2↑(𝑘 + 1))))
1931432timesd 12396 . . . . . . . . . 10 ((seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (2 · 𝑘) = (𝑘 + 𝑘))
194193oveq1d 7372 . . . . . . . . 9 ((seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((2 · 𝑘) + 1) = ((𝑘 + 𝑘) + 1))
195143, 143, 164addassd 11177 . . . . . . . . 9 ((seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑘 + 𝑘) + 1) = (𝑘 + (𝑘 + 1)))
196194, 195eqtrd 2776 . . . . . . . 8 ((seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((2 · 𝑘) + 1) = (𝑘 + (𝑘 + 1)))
197196oveq2d 7373 . . . . . . 7 ((seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (2↑((2 · 𝑘) + 1)) = (2↑(𝑘 + (𝑘 + 1))))
19897nnrpd 12955 . . . . . . . . . 10 ((seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (2↑(𝑘 + 1)) ∈ ℝ+)
199198rprege0d 12964 . . . . . . . . 9 ((seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((2↑(𝑘 + 1)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (2↑(𝑘 + 1))))
200 sqrtsq 15154 . . . . . . . . 9 (((2↑(𝑘 + 1)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (2↑(𝑘 + 1))) → (√‘((2↑(𝑘 + 1))↑2)) = (2↑(𝑘 + 1)))
201199, 200syl 17 . . . . . . . 8 ((seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (√‘((2↑(𝑘 + 1))↑2)) = (2↑(𝑘 + 1)))
202201oveq2d 7373 . . . . . . 7 ((seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((2↑𝑘) · (√‘((2↑(𝑘 + 1))↑2))) = ((2↑𝑘) · (2↑(𝑘 + 1))))
203192, 197, 2023eqtr4rd 2787 . . . . . 6 ((seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((2↑𝑘) · (√‘((2↑(𝑘 + 1))↑2))) = (2↑((2 · 𝑘) + 1)))
204189, 203breq12d 5118 . . . . 5 ((seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((((2↑(𝑘 + 1))↑2) / 2) < ((2↑𝑘) · (√‘((2↑(𝑘 + 1))↑2))) ↔ (2↑((2 · 𝑘) + 1)) < (2↑((2 · 𝑘) + 1))))
205117, 161, 2043imtr3d 292 . . . 4 ((seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((sup(ran seq1( + , 𝐹), ℝ, < ) − (1 / 2)) < (seq1( + , 𝐹)‘𝑘) → (2↑((2 · 𝑘) + 1)) < (2↑((2 · 𝑘) + 1))))
20691, 205mtod 197 . . 3 ((seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ¬ (sup(ran seq1( + , 𝐹), ℝ, < ) − (1 / 2)) < (seq1( + , 𝐹)‘𝑘))
207206nrexdv 3146 . 2 (seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ → ¬ ∃𝑘 ∈ ℕ (sup(ran seq1( + , 𝐹), ℝ, < ) − (1 / 2)) < (seq1( + , 𝐹)‘𝑘))
20882, 207pm2.65i 193 1 ¬ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wb 205  wa 396   = wceq 1541  wtru 1542  wcel 2106  wne 2943  wral 3064  wrex 3073  {crab 3407  cdif 3907  wss 3910  c0 4282  ifcif 4486   class class class wbr 5105  cmpt 5188  dom cdm 5633  ran crn 5634   Fn wfn 6491  wf 6492  cfv 6496  (class class class)co 7357  supcsup 9376  cc 11049  cr 11050  0cc0 11051  1c1 11052   + caddc 11054   · cmul 11056   < clt 11189  cle 11190  cmin 11385   / cdiv 11812  cn 12153  2c2 12208  0cn0 12413  cuz 12763  +crp 12915  ...cfz 13424  seqcseq 13906  cexp 13967  csqrt 15118  cli 15366  Σcsu 15570  cdvds 16136  cprime 16547
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-inf2 9577  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-2o 8413  df-oadd 8416  df-er 8648  df-map 8767  df-pm 8768  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-sup 9378  df-inf 9379  df-oi 9446  df-dju 9837  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-n0 12414  df-xnn0 12486  df-z 12500  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12916  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-fl 13697  df-mod 13775  df-seq 13907  df-exp 13968  df-hash 14231  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-clim 15370  df-rlim 15371  df-sum 15571  df-dvds 16137  df-gcd 16375  df-prm 16548  df-pc 16709
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