Users' Mathboxes Mathbox for Brendan Leahy < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  poimirlem1 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem poimirlem1 37150
Description: Lemma for poimir 37182- the vertices on either side of a skipped vertex differ in at least two dimensions. (Contributed by Brendan Leahy, 21-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
poimir.0 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•)
poimirlem2.1 (πœ‘ β†’ 𝐹 = (𝑦 ∈ (0...(𝑁 βˆ’ 1)) ↦ ⦋if(𝑦 < 𝑀, 𝑦, (𝑦 + 1)) / π‘—β¦Œ(𝑇 ∘f + (((π‘ˆ β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ ((π‘ˆ β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0})))))
poimirlem2.2 (πœ‘ β†’ 𝑇:(1...𝑁)βŸΆβ„€)
poimirlem2.3 (πœ‘ β†’ π‘ˆ:(1...𝑁)–1-1-ontoβ†’(1...𝑁))
poimirlem1.4 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ (1...(𝑁 βˆ’ 1)))
Assertion
Ref Expression
poimirlem1 (πœ‘ β†’ Β¬ βˆƒ*𝑛 ∈ (1...𝑁)((πΉβ€˜(𝑀 βˆ’ 1))β€˜π‘›) β‰  ((πΉβ€˜π‘€)β€˜π‘›))
Distinct variable groups:   𝑗,𝑛,𝑦,πœ‘   𝑗,𝐹,𝑛,𝑦   𝑗,𝑀,𝑛,𝑦   𝑗,𝑁,𝑛,𝑦   𝑇,𝑗,𝑛,𝑦   π‘ˆ,𝑗,𝑛,𝑦
Proof of Theorem poimirlem1
Dummy variable π‘š is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 poimirlem2.3 . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘ˆ:(1...𝑁)–1-1-ontoβ†’(1...𝑁))
2 f1of 6833 . . . . 5 (π‘ˆ:(1...𝑁)–1-1-ontoβ†’(1...𝑁) β†’ π‘ˆ:(1...𝑁)⟢(1...𝑁))
31, 2syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘ˆ:(1...𝑁)⟢(1...𝑁))
4 poimir.0 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•)
54nncnd 12256 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„‚)
6 npcan1 11667 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ β„‚ β†’ ((𝑁 βˆ’ 1) + 1) = 𝑁)
75, 6syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((𝑁 βˆ’ 1) + 1) = 𝑁)
84nnzd 12613 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„€)
9 peano2zm 12633 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ β„€ β†’ (𝑁 βˆ’ 1) ∈ β„€)
10 uzid 12865 . . . . . . . 8 ((𝑁 βˆ’ 1) ∈ β„€ β†’ (𝑁 βˆ’ 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 βˆ’ 1)))
11 peano2uz 12913 . . . . . . . 8 ((𝑁 βˆ’ 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 βˆ’ 1)) β†’ ((𝑁 βˆ’ 1) + 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 βˆ’ 1)))
128, 9, 10, 114syl 19 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((𝑁 βˆ’ 1) + 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 βˆ’ 1)))
137, 12eqeltrrd 2826 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 βˆ’ 1)))
14 fzss2 13571 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 βˆ’ 1)) β†’ (1...(𝑁 βˆ’ 1)) βŠ† (1...𝑁))
1513, 14syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (1...(𝑁 βˆ’ 1)) βŠ† (1...𝑁))
16 poimirlem1.4 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ (1...(𝑁 βˆ’ 1)))
1715, 16sseldd 3973 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ (1...𝑁))
183, 17ffvelcdmd 7089 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘ˆβ€˜π‘€) ∈ (1...𝑁))
19 fzp1elp1 13584 . . . . . 6 (𝑀 ∈ (1...(𝑁 βˆ’ 1)) β†’ (𝑀 + 1) ∈ (1...((𝑁 βˆ’ 1) + 1)))
2016, 19syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑀 + 1) ∈ (1...((𝑁 βˆ’ 1) + 1)))
217oveq2d 7431 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (1...((𝑁 βˆ’ 1) + 1)) = (1...𝑁))
2220, 21eleqtrd 2827 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑀 + 1) ∈ (1...𝑁))
233, 22ffvelcdmd 7089 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘ˆβ€˜(𝑀 + 1)) ∈ (1...𝑁))
24 imassrn 6069 . . . . . . . . . 10 (π‘ˆ β€œ (𝑀...(𝑀 + 1))) βŠ† ran π‘ˆ
25 frn 6723 . . . . . . . . . . 11 (π‘ˆ:(1...𝑁)⟢(1...𝑁) β†’ ran π‘ˆ βŠ† (1...𝑁))
261, 2, 253syl 18 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ran π‘ˆ βŠ† (1...𝑁))
2724, 26sstrid 3984 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (π‘ˆ β€œ (𝑀...(𝑀 + 1))) βŠ† (1...𝑁))
2827sselda 3972 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (π‘ˆ β€œ (𝑀...(𝑀 + 1)))) β†’ 𝑛 ∈ (1...𝑁))
29 poimirlem2.2 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝑇:(1...𝑁)βŸΆβ„€)
3029ffvelcdmda 7088 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) β†’ (π‘‡β€˜π‘›) ∈ β„€)
3130zred 12694 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) β†’ (π‘‡β€˜π‘›) ∈ ℝ)
3231ltp1d 12172 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) β†’ (π‘‡β€˜π‘›) < ((π‘‡β€˜π‘›) + 1))
3331, 32ltned 11378 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) β†’ (π‘‡β€˜π‘›) β‰  ((π‘‡β€˜π‘›) + 1))
3428, 33syldan 589 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (π‘ˆ β€œ (𝑀...(𝑀 + 1)))) β†’ (π‘‡β€˜π‘›) β‰  ((π‘‡β€˜π‘›) + 1))
35 poimirlem2.1 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐹 = (𝑦 ∈ (0...(𝑁 βˆ’ 1)) ↦ ⦋if(𝑦 < 𝑀, 𝑦, (𝑦 + 1)) / π‘—β¦Œ(𝑇 ∘f + (((π‘ˆ β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ ((π‘ˆ β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0})))))
36 breq1 5146 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 = (𝑀 βˆ’ 1) β†’ (𝑦 < 𝑀 ↔ (𝑀 βˆ’ 1) < 𝑀))
37 id 22 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 = (𝑀 βˆ’ 1) β†’ 𝑦 = (𝑀 βˆ’ 1))
3836, 37ifbieq1d 4548 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = (𝑀 βˆ’ 1) β†’ if(𝑦 < 𝑀, 𝑦, (𝑦 + 1)) = if((𝑀 βˆ’ 1) < 𝑀, (𝑀 βˆ’ 1), (𝑦 + 1)))
39 elfzelz 13531 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑀 ∈ (1...(𝑁 βˆ’ 1)) β†’ 𝑀 ∈ β„€)
4016, 39syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
4140zred 12694 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ ℝ)
4241ltm1d 12174 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (𝑀 βˆ’ 1) < 𝑀)
4342iftrued 4532 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ if((𝑀 βˆ’ 1) < 𝑀, (𝑀 βˆ’ 1), (𝑦 + 1)) = (𝑀 βˆ’ 1))
4438, 43sylan9eqr 2787 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑦 = (𝑀 βˆ’ 1)) β†’ if(𝑦 < 𝑀, 𝑦, (𝑦 + 1)) = (𝑀 βˆ’ 1))
4544csbeq1d 3889 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑦 = (𝑀 βˆ’ 1)) β†’ ⦋if(𝑦 < 𝑀, 𝑦, (𝑦 + 1)) / π‘—β¦Œ(𝑇 ∘f + (((π‘ˆ β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ ((π‘ˆ β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))) = ⦋(𝑀 βˆ’ 1) / π‘—β¦Œ(𝑇 ∘f + (((π‘ˆ β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ ((π‘ˆ β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))))
468, 9syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ (𝑁 βˆ’ 1) ∈ β„€)
47 elfzm1b 13609 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑀 ∈ β„€ ∧ (𝑁 βˆ’ 1) ∈ β„€) β†’ (𝑀 ∈ (1...(𝑁 βˆ’ 1)) ↔ (𝑀 βˆ’ 1) ∈ (0...((𝑁 βˆ’ 1) βˆ’ 1))))
4840, 46, 47syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (𝑀 ∈ (1...(𝑁 βˆ’ 1)) ↔ (𝑀 βˆ’ 1) ∈ (0...((𝑁 βˆ’ 1) βˆ’ 1))))
4916, 48mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (𝑀 βˆ’ 1) ∈ (0...((𝑁 βˆ’ 1) βˆ’ 1)))
50 oveq2 7423 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑗 = (𝑀 βˆ’ 1) β†’ (1...𝑗) = (1...(𝑀 βˆ’ 1)))
5150imaeq2d 6058 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑗 = (𝑀 βˆ’ 1) β†’ (π‘ˆ β€œ (1...𝑗)) = (π‘ˆ β€œ (1...(𝑀 βˆ’ 1))))
5251xpeq1d 5701 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑗 = (𝑀 βˆ’ 1) β†’ ((π‘ˆ β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) = ((π‘ˆ β€œ (1...(𝑀 βˆ’ 1))) Γ— {1}))
5352adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑗 = (𝑀 βˆ’ 1)) β†’ ((π‘ˆ β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) = ((π‘ˆ β€œ (1...(𝑀 βˆ’ 1))) Γ— {1}))
54 oveq1 7422 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑗 = (𝑀 βˆ’ 1) β†’ (𝑗 + 1) = ((𝑀 βˆ’ 1) + 1))
5540zcnd 12695 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„‚)
56 npcan1 11667 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑀 ∈ β„‚ β†’ ((𝑀 βˆ’ 1) + 1) = 𝑀)
5755, 56syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (πœ‘ β†’ ((𝑀 βˆ’ 1) + 1) = 𝑀)
5854, 57sylan9eqr 2787 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ 𝑗 = (𝑀 βˆ’ 1)) β†’ (𝑗 + 1) = 𝑀)
5958oveq1d 7430 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ 𝑗 = (𝑀 βˆ’ 1)) β†’ ((𝑗 + 1)...𝑁) = (𝑀...𝑁))
6059imaeq2d 6058 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ 𝑗 = (𝑀 βˆ’ 1)) β†’ (π‘ˆ β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) = (π‘ˆ β€œ (𝑀...𝑁)))
6160xpeq1d 5701 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑗 = (𝑀 βˆ’ 1)) β†’ ((π‘ˆ β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}) = ((π‘ˆ β€œ (𝑀...𝑁)) Γ— {0}))
6253, 61uneq12d 4157 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑗 = (𝑀 βˆ’ 1)) β†’ (((π‘ˆ β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ ((π‘ˆ β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0})) = (((π‘ˆ β€œ (1...(𝑀 βˆ’ 1))) Γ— {1}) βˆͺ ((π‘ˆ β€œ (𝑀...𝑁)) Γ— {0})))
6362oveq2d 7431 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑗 = (𝑀 βˆ’ 1)) β†’ (𝑇 ∘f + (((π‘ˆ β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ ((π‘ˆ β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))) = (𝑇 ∘f + (((π‘ˆ β€œ (1...(𝑀 βˆ’ 1))) Γ— {1}) βˆͺ ((π‘ˆ β€œ (𝑀...𝑁)) Γ— {0}))))
6449, 63csbied 3923 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ ⦋(𝑀 βˆ’ 1) / π‘—β¦Œ(𝑇 ∘f + (((π‘ˆ β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ ((π‘ˆ β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))) = (𝑇 ∘f + (((π‘ˆ β€œ (1...(𝑀 βˆ’ 1))) Γ— {1}) βˆͺ ((π‘ˆ β€œ (𝑀...𝑁)) Γ— {0}))))
6564adantr 479 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑦 = (𝑀 βˆ’ 1)) β†’ ⦋(𝑀 βˆ’ 1) / π‘—β¦Œ(𝑇 ∘f + (((π‘ˆ β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ ((π‘ˆ β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))) = (𝑇 ∘f + (((π‘ˆ β€œ (1...(𝑀 βˆ’ 1))) Γ— {1}) βˆͺ ((π‘ˆ β€œ (𝑀...𝑁)) Γ— {0}))))
6645, 65eqtrd 2765 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑦 = (𝑀 βˆ’ 1)) β†’ ⦋if(𝑦 < 𝑀, 𝑦, (𝑦 + 1)) / π‘—β¦Œ(𝑇 ∘f + (((π‘ˆ β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ ((π‘ˆ β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))) = (𝑇 ∘f + (((π‘ˆ β€œ (1...(𝑀 βˆ’ 1))) Γ— {1}) βˆͺ ((π‘ˆ β€œ (𝑀...𝑁)) Γ— {0}))))
6746zcnd 12695 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (𝑁 βˆ’ 1) ∈ β„‚)
68 npcan1 11667 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 βˆ’ 1) ∈ β„‚ β†’ (((𝑁 βˆ’ 1) βˆ’ 1) + 1) = (𝑁 βˆ’ 1))
6967, 68syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (((𝑁 βˆ’ 1) βˆ’ 1) + 1) = (𝑁 βˆ’ 1))
70 peano2zm 12633 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 βˆ’ 1) ∈ β„€ β†’ ((𝑁 βˆ’ 1) βˆ’ 1) ∈ β„€)
71 uzid 12865 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑁 βˆ’ 1) βˆ’ 1) ∈ β„€ β†’ ((𝑁 βˆ’ 1) βˆ’ 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜((𝑁 βˆ’ 1) βˆ’ 1)))
72 peano2uz 12913 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑁 βˆ’ 1) βˆ’ 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜((𝑁 βˆ’ 1) βˆ’ 1)) β†’ (((𝑁 βˆ’ 1) βˆ’ 1) + 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜((𝑁 βˆ’ 1) βˆ’ 1)))
7346, 70, 71, 724syl 19 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (((𝑁 βˆ’ 1) βˆ’ 1) + 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜((𝑁 βˆ’ 1) βˆ’ 1)))
7469, 73eqeltrrd 2826 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (𝑁 βˆ’ 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜((𝑁 βˆ’ 1) βˆ’ 1)))
75 fzss2 13571 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 βˆ’ 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜((𝑁 βˆ’ 1) βˆ’ 1)) β†’ (0...((𝑁 βˆ’ 1) βˆ’ 1)) βŠ† (0...(𝑁 βˆ’ 1)))
7674, 75syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (0...((𝑁 βˆ’ 1) βˆ’ 1)) βŠ† (0...(𝑁 βˆ’ 1)))
7776, 49sseldd 3973 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝑀 βˆ’ 1) ∈ (0...(𝑁 βˆ’ 1)))
78 ovexd 7450 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝑇 ∘f + (((π‘ˆ β€œ (1...(𝑀 βˆ’ 1))) Γ— {1}) βˆͺ ((π‘ˆ β€œ (𝑀...𝑁)) Γ— {0}))) ∈ V)
7935, 66, 77, 78fvmptd 7006 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜(𝑀 βˆ’ 1)) = (𝑇 ∘f + (((π‘ˆ β€œ (1...(𝑀 βˆ’ 1))) Γ— {1}) βˆͺ ((π‘ˆ β€œ (𝑀...𝑁)) Γ— {0}))))
8079fveq1d 6893 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((πΉβ€˜(𝑀 βˆ’ 1))β€˜π‘›) = ((𝑇 ∘f + (((π‘ˆ β€œ (1...(𝑀 βˆ’ 1))) Γ— {1}) βˆͺ ((π‘ˆ β€œ (𝑀...𝑁)) Γ— {0})))β€˜π‘›))
8180adantr 479 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (π‘ˆ β€œ (𝑀...(𝑀 + 1)))) β†’ ((πΉβ€˜(𝑀 βˆ’ 1))β€˜π‘›) = ((𝑇 ∘f + (((π‘ˆ β€œ (1...(𝑀 βˆ’ 1))) Γ— {1}) βˆͺ ((π‘ˆ β€œ (𝑀...𝑁)) Γ— {0})))β€˜π‘›))
8229ffnd 6717 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝑇 Fn (1...𝑁))
8382adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (π‘ˆ β€œ (𝑀...(𝑀 + 1)))) β†’ 𝑇 Fn (1...𝑁))
84 1ex 11238 . . . . . . . . . . . . . . 15 1 ∈ V
85 fnconstg 6779 . . . . . . . . . . . . . . 15 (1 ∈ V β†’ ((π‘ˆ β€œ (1...(𝑀 βˆ’ 1))) Γ— {1}) Fn (π‘ˆ β€œ (1...(𝑀 βˆ’ 1))))
8684, 85ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘ˆ β€œ (1...(𝑀 βˆ’ 1))) Γ— {1}) Fn (π‘ˆ β€œ (1...(𝑀 βˆ’ 1)))
87 c0ex 11236 . . . . . . . . . . . . . . 15 0 ∈ V
88 fnconstg 6779 . . . . . . . . . . . . . . 15 (0 ∈ V β†’ ((π‘ˆ β€œ (𝑀...𝑁)) Γ— {0}) Fn (π‘ˆ β€œ (𝑀...𝑁)))
8987, 88ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘ˆ β€œ (𝑀...𝑁)) Γ— {0}) Fn (π‘ˆ β€œ (𝑀...𝑁))
9086, 89pm3.2i 469 . . . . . . . . . . . . 13 (((π‘ˆ β€œ (1...(𝑀 βˆ’ 1))) Γ— {1}) Fn (π‘ˆ β€œ (1...(𝑀 βˆ’ 1))) ∧ ((π‘ˆ β€œ (𝑀...𝑁)) Γ— {0}) Fn (π‘ˆ β€œ (𝑀...𝑁)))
91 dff1o3 6839 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘ˆ:(1...𝑁)–1-1-ontoβ†’(1...𝑁) ↔ (π‘ˆ:(1...𝑁)–ontoβ†’(1...𝑁) ∧ Fun β—‘π‘ˆ))
9291simprbi 495 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘ˆ:(1...𝑁)–1-1-ontoβ†’(1...𝑁) β†’ Fun β—‘π‘ˆ)
93 imain 6632 . . . . . . . . . . . . . . 15 (Fun β—‘π‘ˆ β†’ (π‘ˆ β€œ ((1...(𝑀 βˆ’ 1)) ∩ (𝑀...𝑁))) = ((π‘ˆ β€œ (1...(𝑀 βˆ’ 1))) ∩ (π‘ˆ β€œ (𝑀...𝑁))))
941, 92, 933syl 18 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (π‘ˆ β€œ ((1...(𝑀 βˆ’ 1)) ∩ (𝑀...𝑁))) = ((π‘ˆ β€œ (1...(𝑀 βˆ’ 1))) ∩ (π‘ˆ β€œ (𝑀...𝑁))))
95 fzdisj 13558 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑀 βˆ’ 1) < 𝑀 β†’ ((1...(𝑀 βˆ’ 1)) ∩ (𝑀...𝑁)) = βˆ…)
9642, 95syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ ((1...(𝑀 βˆ’ 1)) ∩ (𝑀...𝑁)) = βˆ…)
9796imaeq2d 6058 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (π‘ˆ β€œ ((1...(𝑀 βˆ’ 1)) ∩ (𝑀...𝑁))) = (π‘ˆ β€œ βˆ…))
98 ima0 6075 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘ˆ β€œ βˆ…) = βˆ…
9997, 98eqtrdi 2781 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (π‘ˆ β€œ ((1...(𝑀 βˆ’ 1)) ∩ (𝑀...𝑁))) = βˆ…)
10094, 99eqtr3d 2767 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ ((π‘ˆ β€œ (1...(𝑀 βˆ’ 1))) ∩ (π‘ˆ β€œ (𝑀...𝑁))) = βˆ…)
101 fnun 6662 . . . . . . . . . . . . 13 (((((π‘ˆ β€œ (1...(𝑀 βˆ’ 1))) Γ— {1}) Fn (π‘ˆ β€œ (1...(𝑀 βˆ’ 1))) ∧ ((π‘ˆ β€œ (𝑀...𝑁)) Γ— {0}) Fn (π‘ˆ β€œ (𝑀...𝑁))) ∧ ((π‘ˆ β€œ (1...(𝑀 βˆ’ 1))) ∩ (π‘ˆ β€œ (𝑀...𝑁))) = βˆ…) β†’ (((π‘ˆ β€œ (1...(𝑀 βˆ’ 1))) Γ— {1}) βˆͺ ((π‘ˆ β€œ (𝑀...𝑁)) Γ— {0})) Fn ((π‘ˆ β€œ (1...(𝑀 βˆ’ 1))) βˆͺ (π‘ˆ β€œ (𝑀...𝑁))))
10290, 100, 101sylancr 585 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (((π‘ˆ β€œ (1...(𝑀 βˆ’ 1))) Γ— {1}) βˆͺ ((π‘ˆ β€œ (𝑀...𝑁)) Γ— {0})) Fn ((π‘ˆ β€œ (1...(𝑀 βˆ’ 1))) βˆͺ (π‘ˆ β€œ (𝑀...𝑁))))
103 elfzuz 13527 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑀 ∈ (1...(𝑁 βˆ’ 1)) β†’ 𝑀 ∈ (β„€β‰₯β€˜1))
10416, 103syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ (β„€β‰₯β€˜1))
10557, 104eqeltrd 2825 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ ((𝑀 βˆ’ 1) + 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜1))
106 peano2zm 12633 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑀 ∈ β„€ β†’ (𝑀 βˆ’ 1) ∈ β„€)
107 uzid 12865 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑀 βˆ’ 1) ∈ β„€ β†’ (𝑀 βˆ’ 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 βˆ’ 1)))
108 peano2uz 12913 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑀 βˆ’ 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 βˆ’ 1)) β†’ ((𝑀 βˆ’ 1) + 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 βˆ’ 1)))
10940, 106, 107, 1084syl 19 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (πœ‘ β†’ ((𝑀 βˆ’ 1) + 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 βˆ’ 1)))
11057, 109eqeltrrd 2826 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 βˆ’ 1)))
111 peano2uz 12913 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑀 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 βˆ’ 1)) β†’ (𝑀 + 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 βˆ’ 1)))
112 uzss 12873 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑀 + 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 βˆ’ 1)) β†’ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1)) βŠ† (β„€β‰₯β€˜(𝑀 βˆ’ 1)))
113110, 111, 1123syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (πœ‘ β†’ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1)) βŠ† (β„€β‰₯β€˜(𝑀 βˆ’ 1)))
114 elfzuz3 13528 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑀 ∈ (1...(𝑁 βˆ’ 1)) β†’ (𝑁 βˆ’ 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€))
115 eluzp1p1 12878 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑁 βˆ’ 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) β†’ ((𝑁 βˆ’ 1) + 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1)))
11616, 114, 1153syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (πœ‘ β†’ ((𝑁 βˆ’ 1) + 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1)))
1177, 116eqeltrrd 2826 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1)))
118113, 117sseldd 3973 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 βˆ’ 1)))
119 fzsplit2 13556 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑀 βˆ’ 1) + 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜1) ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 βˆ’ 1))) β†’ (1...𝑁) = ((1...(𝑀 βˆ’ 1)) βˆͺ (((𝑀 βˆ’ 1) + 1)...𝑁)))
120105, 118, 119syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ (1...𝑁) = ((1...(𝑀 βˆ’ 1)) βˆͺ (((𝑀 βˆ’ 1) + 1)...𝑁)))
12157oveq1d 7430 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ (((𝑀 βˆ’ 1) + 1)...𝑁) = (𝑀...𝑁))
122121uneq2d 4156 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ ((1...(𝑀 βˆ’ 1)) βˆͺ (((𝑀 βˆ’ 1) + 1)...𝑁)) = ((1...(𝑀 βˆ’ 1)) βˆͺ (𝑀...𝑁)))
123120, 122eqtrd 2765 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ (1...𝑁) = ((1...(𝑀 βˆ’ 1)) βˆͺ (𝑀...𝑁)))
124123imaeq2d 6058 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (π‘ˆ β€œ (1...𝑁)) = (π‘ˆ β€œ ((1...(𝑀 βˆ’ 1)) βˆͺ (𝑀...𝑁))))
125 imaundi 6149 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘ˆ β€œ ((1...(𝑀 βˆ’ 1)) βˆͺ (𝑀...𝑁))) = ((π‘ˆ β€œ (1...(𝑀 βˆ’ 1))) βˆͺ (π‘ˆ β€œ (𝑀...𝑁)))
126124, 125eqtrdi 2781 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (π‘ˆ β€œ (1...𝑁)) = ((π‘ˆ β€œ (1...(𝑀 βˆ’ 1))) βˆͺ (π‘ˆ β€œ (𝑀...𝑁))))
127 f1ofo 6840 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘ˆ:(1...𝑁)–1-1-ontoβ†’(1...𝑁) β†’ π‘ˆ:(1...𝑁)–ontoβ†’(1...𝑁))
128 foima 6810 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘ˆ:(1...𝑁)–ontoβ†’(1...𝑁) β†’ (π‘ˆ β€œ (1...𝑁)) = (1...𝑁))
1291, 127, 1283syl 18 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (π‘ˆ β€œ (1...𝑁)) = (1...𝑁))
130126, 129eqtr3d 2767 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ ((π‘ˆ β€œ (1...(𝑀 βˆ’ 1))) βˆͺ (π‘ˆ β€œ (𝑀...𝑁))) = (1...𝑁))
131130fneq2d 6642 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ ((((π‘ˆ β€œ (1...(𝑀 βˆ’ 1))) Γ— {1}) βˆͺ ((π‘ˆ β€œ (𝑀...𝑁)) Γ— {0})) Fn ((π‘ˆ β€œ (1...(𝑀 βˆ’ 1))) βˆͺ (π‘ˆ β€œ (𝑀...𝑁))) ↔ (((π‘ˆ β€œ (1...(𝑀 βˆ’ 1))) Γ— {1}) βˆͺ ((π‘ˆ β€œ (𝑀...𝑁)) Γ— {0})) Fn (1...𝑁)))
132102, 131mpbid 231 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (((π‘ˆ β€œ (1...(𝑀 βˆ’ 1))) Γ— {1}) βˆͺ ((π‘ˆ β€œ (𝑀...𝑁)) Γ— {0})) Fn (1...𝑁))
133132adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (π‘ˆ β€œ (𝑀...(𝑀 + 1)))) β†’ (((π‘ˆ β€œ (1...(𝑀 βˆ’ 1))) Γ— {1}) βˆͺ ((π‘ˆ β€œ (𝑀...𝑁)) Γ— {0})) Fn (1...𝑁))
134 ovexd 7450 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (π‘ˆ β€œ (𝑀...(𝑀 + 1)))) β†’ (1...𝑁) ∈ V)
135 inidm 4213 . . . . . . . . . 10 ((1...𝑁) ∩ (1...𝑁)) = (1...𝑁)
136 eqidd 2726 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (π‘ˆ β€œ (𝑀...(𝑀 + 1)))) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) β†’ (π‘‡β€˜π‘›) = (π‘‡β€˜π‘›))
137100adantr 479 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (π‘ˆ β€œ (𝑀...(𝑀 + 1)))) β†’ ((π‘ˆ β€œ (1...(𝑀 βˆ’ 1))) ∩ (π‘ˆ β€œ (𝑀...𝑁))) = βˆ…)
138 fzss2 13571 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1)) β†’ (𝑀...(𝑀 + 1)) βŠ† (𝑀...𝑁))
139 imass2 6101 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑀...(𝑀 + 1)) βŠ† (𝑀...𝑁) β†’ (π‘ˆ β€œ (𝑀...(𝑀 + 1))) βŠ† (π‘ˆ β€œ (𝑀...𝑁)))
140117, 138, 1393syl 18 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (π‘ˆ β€œ (𝑀...(𝑀 + 1))) βŠ† (π‘ˆ β€œ (𝑀...𝑁)))
141140sselda 3972 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (π‘ˆ β€œ (𝑀...(𝑀 + 1)))) β†’ 𝑛 ∈ (π‘ˆ β€œ (𝑀...𝑁)))
142 fvun2 6984 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((π‘ˆ β€œ (1...(𝑀 βˆ’ 1))) Γ— {1}) Fn (π‘ˆ β€œ (1...(𝑀 βˆ’ 1))) ∧ ((π‘ˆ β€œ (𝑀...𝑁)) Γ— {0}) Fn (π‘ˆ β€œ (𝑀...𝑁)) ∧ (((π‘ˆ β€œ (1...(𝑀 βˆ’ 1))) ∩ (π‘ˆ β€œ (𝑀...𝑁))) = βˆ… ∧ 𝑛 ∈ (π‘ˆ β€œ (𝑀...𝑁)))) β†’ ((((π‘ˆ β€œ (1...(𝑀 βˆ’ 1))) Γ— {1}) βˆͺ ((π‘ˆ β€œ (𝑀...𝑁)) Γ— {0}))β€˜π‘›) = (((π‘ˆ β€œ (𝑀...𝑁)) Γ— {0})β€˜π‘›))
14386, 89, 142mp3an12 1447 . . . . . . . . . . . . 13 ((((π‘ˆ β€œ (1...(𝑀 βˆ’ 1))) ∩ (π‘ˆ β€œ (𝑀...𝑁))) = βˆ… ∧ 𝑛 ∈ (π‘ˆ β€œ (𝑀...𝑁))) β†’ ((((π‘ˆ β€œ (1...(𝑀 βˆ’ 1))) Γ— {1}) βˆͺ ((π‘ˆ β€œ (𝑀...𝑁)) Γ— {0}))β€˜π‘›) = (((π‘ˆ β€œ (𝑀...𝑁)) Γ— {0})β€˜π‘›))
144137, 141, 143syl2anc 582 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (π‘ˆ β€œ (𝑀...(𝑀 + 1)))) β†’ ((((π‘ˆ β€œ (1...(𝑀 βˆ’ 1))) Γ— {1}) βˆͺ ((π‘ˆ β€œ (𝑀...𝑁)) Γ— {0}))β€˜π‘›) = (((π‘ˆ β€œ (𝑀...𝑁)) Γ— {0})β€˜π‘›))
14587fvconst2 7211 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ (π‘ˆ β€œ (𝑀...𝑁)) β†’ (((π‘ˆ β€œ (𝑀...𝑁)) Γ— {0})β€˜π‘›) = 0)
146141, 145syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (π‘ˆ β€œ (𝑀...(𝑀 + 1)))) β†’ (((π‘ˆ β€œ (𝑀...𝑁)) Γ— {0})β€˜π‘›) = 0)
147144, 146eqtrd 2765 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (π‘ˆ β€œ (𝑀...(𝑀 + 1)))) β†’ ((((π‘ˆ β€œ (1...(𝑀 βˆ’ 1))) Γ— {1}) βˆͺ ((π‘ˆ β€œ (𝑀...𝑁)) Γ— {0}))β€˜π‘›) = 0)
148147adantr 479 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (π‘ˆ β€œ (𝑀...(𝑀 + 1)))) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) β†’ ((((π‘ˆ β€œ (1...(𝑀 βˆ’ 1))) Γ— {1}) βˆͺ ((π‘ˆ β€œ (𝑀...𝑁)) Γ— {0}))β€˜π‘›) = 0)
14983, 133, 134, 134, 135, 136, 148ofval 7692 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (π‘ˆ β€œ (𝑀...(𝑀 + 1)))) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) β†’ ((𝑇 ∘f + (((π‘ˆ β€œ (1...(𝑀 βˆ’ 1))) Γ— {1}) βˆͺ ((π‘ˆ β€œ (𝑀...𝑁)) Γ— {0})))β€˜π‘›) = ((π‘‡β€˜π‘›) + 0))
15028, 149mpdan 685 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (π‘ˆ β€œ (𝑀...(𝑀 + 1)))) β†’ ((𝑇 ∘f + (((π‘ˆ β€œ (1...(𝑀 βˆ’ 1))) Γ— {1}) βˆͺ ((π‘ˆ β€œ (𝑀...𝑁)) Γ— {0})))β€˜π‘›) = ((π‘‡β€˜π‘›) + 0))
15130zcnd 12695 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) β†’ (π‘‡β€˜π‘›) ∈ β„‚)
152151addridd 11442 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) β†’ ((π‘‡β€˜π‘›) + 0) = (π‘‡β€˜π‘›))
15328, 152syldan 589 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (π‘ˆ β€œ (𝑀...(𝑀 + 1)))) β†’ ((π‘‡β€˜π‘›) + 0) = (π‘‡β€˜π‘›))
15481, 150, 1533eqtrd 2769 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (π‘ˆ β€œ (𝑀...(𝑀 + 1)))) β†’ ((πΉβ€˜(𝑀 βˆ’ 1))β€˜π‘›) = (π‘‡β€˜π‘›))
155 breq1 5146 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 = 𝑀 β†’ (𝑦 < 𝑀 ↔ 𝑀 < 𝑀))
156 oveq1 7422 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 = 𝑀 β†’ (𝑦 + 1) = (𝑀 + 1))
157155, 156ifbieq2d 4550 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = 𝑀 β†’ if(𝑦 < 𝑀, 𝑦, (𝑦 + 1)) = if(𝑀 < 𝑀, 𝑦, (𝑀 + 1)))
15841ltnrd 11376 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ Β¬ 𝑀 < 𝑀)
159158iffalsed 4535 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ if(𝑀 < 𝑀, 𝑦, (𝑀 + 1)) = (𝑀 + 1))
160157, 159sylan9eqr 2787 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑦 = 𝑀) β†’ if(𝑦 < 𝑀, 𝑦, (𝑦 + 1)) = (𝑀 + 1))
161160csbeq1d 3889 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑦 = 𝑀) β†’ ⦋if(𝑦 < 𝑀, 𝑦, (𝑦 + 1)) / π‘—β¦Œ(𝑇 ∘f + (((π‘ˆ β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ ((π‘ˆ β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))) = ⦋(𝑀 + 1) / π‘—β¦Œ(𝑇 ∘f + (((π‘ˆ β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ ((π‘ˆ β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))))
162 ovex 7448 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 + 1) ∈ V
163 oveq2 7423 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑗 = (𝑀 + 1) β†’ (1...𝑗) = (1...(𝑀 + 1)))
164163imaeq2d 6058 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑗 = (𝑀 + 1) β†’ (π‘ˆ β€œ (1...𝑗)) = (π‘ˆ β€œ (1...(𝑀 + 1))))
165164xpeq1d 5701 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑗 = (𝑀 + 1) β†’ ((π‘ˆ β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) = ((π‘ˆ β€œ (1...(𝑀 + 1))) Γ— {1}))
166 oveq1 7422 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑗 = (𝑀 + 1) β†’ (𝑗 + 1) = ((𝑀 + 1) + 1))
167166oveq1d 7430 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑗 = (𝑀 + 1) β†’ ((𝑗 + 1)...𝑁) = (((𝑀 + 1) + 1)...𝑁))
168167imaeq2d 6058 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑗 = (𝑀 + 1) β†’ (π‘ˆ β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) = (π‘ˆ β€œ (((𝑀 + 1) + 1)...𝑁)))
169168xpeq1d 5701 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑗 = (𝑀 + 1) β†’ ((π‘ˆ β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}) = ((π‘ˆ β€œ (((𝑀 + 1) + 1)...𝑁)) Γ— {0}))
170165, 169uneq12d 4157 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 = (𝑀 + 1) β†’ (((π‘ˆ β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ ((π‘ˆ β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0})) = (((π‘ˆ β€œ (1...(𝑀 + 1))) Γ— {1}) βˆͺ ((π‘ˆ β€œ (((𝑀 + 1) + 1)...𝑁)) Γ— {0})))
171170oveq2d 7431 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 = (𝑀 + 1) β†’ (𝑇 ∘f + (((π‘ˆ β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ ((π‘ˆ β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))) = (𝑇 ∘f + (((π‘ˆ β€œ (1...(𝑀 + 1))) Γ— {1}) βˆͺ ((π‘ˆ β€œ (((𝑀 + 1) + 1)...𝑁)) Γ— {0}))))
172162, 171csbie 3921 . . . . . . . . . . . 12 ⦋(𝑀 + 1) / π‘—β¦Œ(𝑇 ∘f + (((π‘ˆ β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ ((π‘ˆ β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))) = (𝑇 ∘f + (((π‘ˆ β€œ (1...(𝑀 + 1))) Γ— {1}) βˆͺ ((π‘ˆ β€œ (((𝑀 + 1) + 1)...𝑁)) Γ— {0})))
173161, 172eqtrdi 2781 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑦 = 𝑀) β†’ ⦋if(𝑦 < 𝑀, 𝑦, (𝑦 + 1)) / π‘—β¦Œ(𝑇 ∘f + (((π‘ˆ β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ ((π‘ˆ β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))) = (𝑇 ∘f + (((π‘ˆ β€œ (1...(𝑀 + 1))) Γ— {1}) βˆͺ ((π‘ˆ β€œ (((𝑀 + 1) + 1)...𝑁)) Γ— {0}))))
174 fz1ssfz0 13627 . . . . . . . . . . . 12 (1...(𝑁 βˆ’ 1)) βŠ† (0...(𝑁 βˆ’ 1))
175174, 16sselid 3970 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ (0...(𝑁 βˆ’ 1)))
176 ovexd 7450 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝑇 ∘f + (((π‘ˆ β€œ (1...(𝑀 + 1))) Γ— {1}) βˆͺ ((π‘ˆ β€œ (((𝑀 + 1) + 1)...𝑁)) Γ— {0}))) ∈ V)
17735, 173, 175, 176fvmptd 7006 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π‘€) = (𝑇 ∘f + (((π‘ˆ β€œ (1...(𝑀 + 1))) Γ— {1}) βˆͺ ((π‘ˆ β€œ (((𝑀 + 1) + 1)...𝑁)) Γ— {0}))))
178177fveq1d 6893 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((πΉβ€˜π‘€)β€˜π‘›) = ((𝑇 ∘f + (((π‘ˆ β€œ (1...(𝑀 + 1))) Γ— {1}) βˆͺ ((π‘ˆ β€œ (((𝑀 + 1) + 1)...𝑁)) Γ— {0})))β€˜π‘›))
179178adantr 479 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (π‘ˆ β€œ (𝑀...(𝑀 + 1)))) β†’ ((πΉβ€˜π‘€)β€˜π‘›) = ((𝑇 ∘f + (((π‘ˆ β€œ (1...(𝑀 + 1))) Γ— {1}) βˆͺ ((π‘ˆ β€œ (((𝑀 + 1) + 1)...𝑁)) Γ— {0})))β€˜π‘›))
180 fnconstg 6779 . . . . . . . . . . . . . . 15 (1 ∈ V β†’ ((π‘ˆ β€œ (1...(𝑀 + 1))) Γ— {1}) Fn (π‘ˆ β€œ (1...(𝑀 + 1))))
18184, 180ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘ˆ β€œ (1...(𝑀 + 1))) Γ— {1}) Fn (π‘ˆ β€œ (1...(𝑀 + 1)))
182 fnconstg 6779 . . . . . . . . . . . . . . 15 (0 ∈ V β†’ ((π‘ˆ β€œ (((𝑀 + 1) + 1)...𝑁)) Γ— {0}) Fn (π‘ˆ β€œ (((𝑀 + 1) + 1)...𝑁)))
18387, 182ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘ˆ β€œ (((𝑀 + 1) + 1)...𝑁)) Γ— {0}) Fn (π‘ˆ β€œ (((𝑀 + 1) + 1)...𝑁))
184181, 183pm3.2i 469 . . . . . . . . . . . . 13 (((π‘ˆ β€œ (1...(𝑀 + 1))) Γ— {1}) Fn (π‘ˆ β€œ (1...(𝑀 + 1))) ∧ ((π‘ˆ β€œ (((𝑀 + 1) + 1)...𝑁)) Γ— {0}) Fn (π‘ˆ β€œ (((𝑀 + 1) + 1)...𝑁)))
185 imain 6632 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (Fun β—‘π‘ˆ β†’ (π‘ˆ β€œ ((1...(𝑀 + 1)) ∩ (((𝑀 + 1) + 1)...𝑁))) = ((π‘ˆ β€œ (1...(𝑀 + 1))) ∩ (π‘ˆ β€œ (((𝑀 + 1) + 1)...𝑁))))
1861, 92, 1853syl 18 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (π‘ˆ β€œ ((1...(𝑀 + 1)) ∩ (((𝑀 + 1) + 1)...𝑁))) = ((π‘ˆ β€œ (1...(𝑀 + 1))) ∩ (π‘ˆ β€œ (((𝑀 + 1) + 1)...𝑁))))
187 peano2re 11415 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑀 ∈ ℝ β†’ (𝑀 + 1) ∈ ℝ)
18841, 187syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ (𝑀 + 1) ∈ ℝ)
189188ltp1d 12172 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ (𝑀 + 1) < ((𝑀 + 1) + 1))
190 fzdisj 13558 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑀 + 1) < ((𝑀 + 1) + 1) β†’ ((1...(𝑀 + 1)) ∩ (((𝑀 + 1) + 1)...𝑁)) = βˆ…)
191189, 190syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ ((1...(𝑀 + 1)) ∩ (((𝑀 + 1) + 1)...𝑁)) = βˆ…)
192191imaeq2d 6058 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (π‘ˆ β€œ ((1...(𝑀 + 1)) ∩ (((𝑀 + 1) + 1)...𝑁))) = (π‘ˆ β€œ βˆ…))
193186, 192eqtr3d 2767 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ ((π‘ˆ β€œ (1...(𝑀 + 1))) ∩ (π‘ˆ β€œ (((𝑀 + 1) + 1)...𝑁))) = (π‘ˆ β€œ βˆ…))
194193, 98eqtrdi 2781 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ ((π‘ˆ β€œ (1...(𝑀 + 1))) ∩ (π‘ˆ β€œ (((𝑀 + 1) + 1)...𝑁))) = βˆ…)
195 fnun 6662 . . . . . . . . . . . . 13 (((((π‘ˆ β€œ (1...(𝑀 + 1))) Γ— {1}) Fn (π‘ˆ β€œ (1...(𝑀 + 1))) ∧ ((π‘ˆ β€œ (((𝑀 + 1) + 1)...𝑁)) Γ— {0}) Fn (π‘ˆ β€œ (((𝑀 + 1) + 1)...𝑁))) ∧ ((π‘ˆ β€œ (1...(𝑀 + 1))) ∩ (π‘ˆ β€œ (((𝑀 + 1) + 1)...𝑁))) = βˆ…) β†’ (((π‘ˆ β€œ (1...(𝑀 + 1))) Γ— {1}) βˆͺ ((π‘ˆ β€œ (((𝑀 + 1) + 1)...𝑁)) Γ— {0})) Fn ((π‘ˆ β€œ (1...(𝑀 + 1))) βˆͺ (π‘ˆ β€œ (((𝑀 + 1) + 1)...𝑁))))
196184, 194, 195sylancr 585 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (((π‘ˆ β€œ (1...(𝑀 + 1))) Γ— {1}) βˆͺ ((π‘ˆ β€œ (((𝑀 + 1) + 1)...𝑁)) Γ— {0})) Fn ((π‘ˆ β€œ (1...(𝑀 + 1))) βˆͺ (π‘ˆ β€œ (((𝑀 + 1) + 1)...𝑁))))
197 fzsplit 13557 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑀 + 1) ∈ (1...𝑁) β†’ (1...𝑁) = ((1...(𝑀 + 1)) βˆͺ (((𝑀 + 1) + 1)...𝑁)))
19822, 197syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ (1...𝑁) = ((1...(𝑀 + 1)) βˆͺ (((𝑀 + 1) + 1)...𝑁)))
199198imaeq2d 6058 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (π‘ˆ β€œ (1...𝑁)) = (π‘ˆ β€œ ((1...(𝑀 + 1)) βˆͺ (((𝑀 + 1) + 1)...𝑁))))
200 imaundi 6149 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘ˆ β€œ ((1...(𝑀 + 1)) βˆͺ (((𝑀 + 1) + 1)...𝑁))) = ((π‘ˆ β€œ (1...(𝑀 + 1))) βˆͺ (π‘ˆ β€œ (((𝑀 + 1) + 1)...𝑁)))
201199, 200eqtrdi 2781 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (π‘ˆ β€œ (1...𝑁)) = ((π‘ˆ β€œ (1...(𝑀 + 1))) βˆͺ (π‘ˆ β€œ (((𝑀 + 1) + 1)...𝑁))))
202201, 129eqtr3d 2767 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ ((π‘ˆ β€œ (1...(𝑀 + 1))) βˆͺ (π‘ˆ β€œ (((𝑀 + 1) + 1)...𝑁))) = (1...𝑁))
203202fneq2d 6642 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ ((((π‘ˆ β€œ (1...(𝑀 + 1))) Γ— {1}) βˆͺ ((π‘ˆ β€œ (((𝑀 + 1) + 1)...𝑁)) Γ— {0})) Fn ((π‘ˆ β€œ (1...(𝑀 + 1))) βˆͺ (π‘ˆ β€œ (((𝑀 + 1) + 1)...𝑁))) ↔ (((π‘ˆ β€œ (1...(𝑀 + 1))) Γ— {1}) βˆͺ ((π‘ˆ β€œ (((𝑀 + 1) + 1)...𝑁)) Γ— {0})) Fn (1...𝑁)))
204196, 203mpbid 231 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (((π‘ˆ β€œ (1...(𝑀 + 1))) Γ— {1}) βˆͺ ((π‘ˆ β€œ (((𝑀 + 1) + 1)...𝑁)) Γ— {0})) Fn (1...𝑁))
205204adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (π‘ˆ β€œ (𝑀...(𝑀 + 1)))) β†’ (((π‘ˆ β€œ (1...(𝑀 + 1))) Γ— {1}) βˆͺ ((π‘ˆ β€œ (((𝑀 + 1) + 1)...𝑁)) Γ— {0})) Fn (1...𝑁))
206194adantr 479 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (π‘ˆ β€œ (𝑀...(𝑀 + 1)))) β†’ ((π‘ˆ β€œ (1...(𝑀 + 1))) ∩ (π‘ˆ β€œ (((𝑀 + 1) + 1)...𝑁))) = βˆ…)
207 fzss1 13570 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑀 ∈ (β„€β‰₯β€˜1) β†’ (𝑀...(𝑀 + 1)) βŠ† (1...(𝑀 + 1)))
208 imass2 6101 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑀...(𝑀 + 1)) βŠ† (1...(𝑀 + 1)) β†’ (π‘ˆ β€œ (𝑀...(𝑀 + 1))) βŠ† (π‘ˆ β€œ (1...(𝑀 + 1))))
209104, 207, 2083syl 18 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (π‘ˆ β€œ (𝑀...(𝑀 + 1))) βŠ† (π‘ˆ β€œ (1...(𝑀 + 1))))
210209sselda 3972 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (π‘ˆ β€œ (𝑀...(𝑀 + 1)))) β†’ 𝑛 ∈ (π‘ˆ β€œ (1...(𝑀 + 1))))
211 fvun1 6983 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((π‘ˆ β€œ (1...(𝑀 + 1))) Γ— {1}) Fn (π‘ˆ β€œ (1...(𝑀 + 1))) ∧ ((π‘ˆ β€œ (((𝑀 + 1) + 1)...𝑁)) Γ— {0}) Fn (π‘ˆ β€œ (((𝑀 + 1) + 1)...𝑁)) ∧ (((π‘ˆ β€œ (1...(𝑀 + 1))) ∩ (π‘ˆ β€œ (((𝑀 + 1) + 1)...𝑁))) = βˆ… ∧ 𝑛 ∈ (π‘ˆ β€œ (1...(𝑀 + 1))))) β†’ ((((π‘ˆ β€œ (1...(𝑀 + 1))) Γ— {1}) βˆͺ ((π‘ˆ β€œ (((𝑀 + 1) + 1)...𝑁)) Γ— {0}))β€˜π‘›) = (((π‘ˆ β€œ (1...(𝑀 + 1))) Γ— {1})β€˜π‘›))
212181, 183, 211mp3an12 1447 . . . . . . . . . . . . 13 ((((π‘ˆ β€œ (1...(𝑀 + 1))) ∩ (π‘ˆ β€œ (((𝑀 + 1) + 1)...𝑁))) = βˆ… ∧ 𝑛 ∈ (π‘ˆ β€œ (1...(𝑀 + 1)))) β†’ ((((π‘ˆ β€œ (1...(𝑀 + 1))) Γ— {1}) βˆͺ ((π‘ˆ β€œ (((𝑀 + 1) + 1)...𝑁)) Γ— {0}))β€˜π‘›) = (((π‘ˆ β€œ (1...(𝑀 + 1))) Γ— {1})β€˜π‘›))
213206, 210, 212syl2anc 582 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (π‘ˆ β€œ (𝑀...(𝑀 + 1)))) β†’ ((((π‘ˆ β€œ (1...(𝑀 + 1))) Γ— {1}) βˆͺ ((π‘ˆ β€œ (((𝑀 + 1) + 1)...𝑁)) Γ— {0}))β€˜π‘›) = (((π‘ˆ β€œ (1...(𝑀 + 1))) Γ— {1})β€˜π‘›))
21484fvconst2 7211 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ (π‘ˆ β€œ (1...(𝑀 + 1))) β†’ (((π‘ˆ β€œ (1...(𝑀 + 1))) Γ— {1})β€˜π‘›) = 1)
215210, 214syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (π‘ˆ β€œ (𝑀...(𝑀 + 1)))) β†’ (((π‘ˆ β€œ (1...(𝑀 + 1))) Γ— {1})β€˜π‘›) = 1)
216213, 215eqtrd 2765 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (π‘ˆ β€œ (𝑀...(𝑀 + 1)))) β†’ ((((π‘ˆ β€œ (1...(𝑀 + 1))) Γ— {1}) βˆͺ ((π‘ˆ β€œ (((𝑀 + 1) + 1)...𝑁)) Γ— {0}))β€˜π‘›) = 1)
217216adantr 479 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (π‘ˆ β€œ (𝑀...(𝑀 + 1)))) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) β†’ ((((π‘ˆ β€œ (1...(𝑀 + 1))) Γ— {1}) βˆͺ ((π‘ˆ β€œ (((𝑀 + 1) + 1)...𝑁)) Γ— {0}))β€˜π‘›) = 1)
21883, 205, 134, 134, 135, 136, 217ofval 7692 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (π‘ˆ β€œ (𝑀...(𝑀 + 1)))) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) β†’ ((𝑇 ∘f + (((π‘ˆ β€œ (1...(𝑀 + 1))) Γ— {1}) βˆͺ ((π‘ˆ β€œ (((𝑀 + 1) + 1)...𝑁)) Γ— {0})))β€˜π‘›) = ((π‘‡β€˜π‘›) + 1))
21928, 218mpdan 685 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (π‘ˆ β€œ (𝑀...(𝑀 + 1)))) β†’ ((𝑇 ∘f + (((π‘ˆ β€œ (1...(𝑀 + 1))) Γ— {1}) βˆͺ ((π‘ˆ β€œ (((𝑀 + 1) + 1)...𝑁)) Γ— {0})))β€˜π‘›) = ((π‘‡β€˜π‘›) + 1))
220179, 219eqtrd 2765 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (π‘ˆ β€œ (𝑀...(𝑀 + 1)))) β†’ ((πΉβ€˜π‘€)β€˜π‘›) = ((π‘‡β€˜π‘›) + 1))
22134, 154, 2203netr4d 3008 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (π‘ˆ β€œ (𝑀...(𝑀 + 1)))) β†’ ((πΉβ€˜(𝑀 βˆ’ 1))β€˜π‘›) β‰  ((πΉβ€˜π‘€)β€˜π‘›))
222221ralrimiva 3136 . . . . 5 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘› ∈ (π‘ˆ β€œ (𝑀...(𝑀 + 1)))((πΉβ€˜(𝑀 βˆ’ 1))β€˜π‘›) β‰  ((πΉβ€˜π‘€)β€˜π‘›))
223 fzpr 13586 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ β„€ β†’ (𝑀...(𝑀 + 1)) = {𝑀, (𝑀 + 1)})
22416, 39, 2233syl 18 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝑀...(𝑀 + 1)) = {𝑀, (𝑀 + 1)})
225224imaeq2d 6058 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘ˆ β€œ (𝑀...(𝑀 + 1))) = (π‘ˆ β€œ {𝑀, (𝑀 + 1)}))
226 f1ofn 6834 . . . . . . . . 9 (π‘ˆ:(1...𝑁)–1-1-ontoβ†’(1...𝑁) β†’ π‘ˆ Fn (1...𝑁))
2271, 226syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ π‘ˆ Fn (1...𝑁))
228 fnimapr 6976 . . . . . . . 8 ((π‘ˆ Fn (1...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝑀 + 1) ∈ (1...𝑁)) β†’ (π‘ˆ β€œ {𝑀, (𝑀 + 1)}) = {(π‘ˆβ€˜π‘€), (π‘ˆβ€˜(𝑀 + 1))})
229227, 17, 22, 228syl3anc 1368 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘ˆ β€œ {𝑀, (𝑀 + 1)}) = {(π‘ˆβ€˜π‘€), (π‘ˆβ€˜(𝑀 + 1))})
230225, 229eqtrd 2765 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘ˆ β€œ (𝑀...(𝑀 + 1))) = {(π‘ˆβ€˜π‘€), (π‘ˆβ€˜(𝑀 + 1))})
231230raleqdv 3315 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘› ∈ (π‘ˆ β€œ (𝑀...(𝑀 + 1)))((πΉβ€˜(𝑀 βˆ’ 1))β€˜π‘›) β‰  ((πΉβ€˜π‘€)β€˜π‘›) ↔ βˆ€π‘› ∈ {(π‘ˆβ€˜π‘€), (π‘ˆβ€˜(𝑀 + 1))} ((πΉβ€˜(𝑀 βˆ’ 1))β€˜π‘›) β‰  ((πΉβ€˜π‘€)β€˜π‘›)))
232222, 231mpbid 231 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘› ∈ {(π‘ˆβ€˜π‘€), (π‘ˆβ€˜(𝑀 + 1))} ((πΉβ€˜(𝑀 βˆ’ 1))β€˜π‘›) β‰  ((πΉβ€˜π‘€)β€˜π‘›))
233 fvex 6904 . . . . 5 (π‘ˆβ€˜π‘€) ∈ V
234 fvex 6904 . . . . 5 (π‘ˆβ€˜(𝑀 + 1)) ∈ V
235 fveq2 6891 . . . . . 6 (𝑛 = (π‘ˆβ€˜π‘€) β†’ ((πΉβ€˜(𝑀 βˆ’ 1))β€˜π‘›) = ((πΉβ€˜(𝑀 βˆ’ 1))β€˜(π‘ˆβ€˜π‘€)))
236 fveq2 6891 . . . . . 6 (𝑛 = (π‘ˆβ€˜π‘€) β†’ ((πΉβ€˜π‘€)β€˜π‘›) = ((πΉβ€˜π‘€)β€˜(π‘ˆβ€˜π‘€)))
237235, 236neeq12d 2992 . . . . 5 (𝑛 = (π‘ˆβ€˜π‘€) β†’ (((πΉβ€˜(𝑀 βˆ’ 1))β€˜π‘›) β‰  ((πΉβ€˜π‘€)β€˜π‘›) ↔ ((πΉβ€˜(𝑀 βˆ’ 1))β€˜(π‘ˆβ€˜π‘€)) β‰  ((πΉβ€˜π‘€)β€˜(π‘ˆβ€˜π‘€))))
238 fveq2 6891 . . . . . 6 (𝑛 = (π‘ˆβ€˜(𝑀 + 1)) β†’ ((πΉβ€˜(𝑀 βˆ’ 1))β€˜π‘›) = ((πΉβ€˜(𝑀 βˆ’ 1))β€˜(π‘ˆβ€˜(𝑀 + 1))))
239 fveq2 6891 . . . . . 6 (𝑛 = (π‘ˆβ€˜(𝑀 + 1)) β†’ ((πΉβ€˜π‘€)β€˜π‘›) = ((πΉβ€˜π‘€)β€˜(π‘ˆβ€˜(𝑀 + 1))))
240238, 239neeq12d 2992 . . . . 5 (𝑛 = (π‘ˆβ€˜(𝑀 + 1)) β†’ (((πΉβ€˜(𝑀 βˆ’ 1))β€˜π‘›) β‰  ((πΉβ€˜π‘€)β€˜π‘›) ↔ ((πΉβ€˜(𝑀 βˆ’ 1))β€˜(π‘ˆβ€˜(𝑀 + 1))) β‰  ((πΉβ€˜π‘€)β€˜(π‘ˆβ€˜(𝑀 + 1)))))
241233, 234, 237, 240ralpr 4700 . . . 4 (βˆ€π‘› ∈ {(π‘ˆβ€˜π‘€), (π‘ˆβ€˜(𝑀 + 1))} ((πΉβ€˜(𝑀 βˆ’ 1))β€˜π‘›) β‰  ((πΉβ€˜π‘€)β€˜π‘›) ↔ (((πΉβ€˜(𝑀 βˆ’ 1))β€˜(π‘ˆβ€˜π‘€)) β‰  ((πΉβ€˜π‘€)β€˜(π‘ˆβ€˜π‘€)) ∧ ((πΉβ€˜(𝑀 βˆ’ 1))β€˜(π‘ˆβ€˜(𝑀 + 1))) β‰  ((πΉβ€˜π‘€)β€˜(π‘ˆβ€˜(𝑀 + 1)))))
242232, 241sylib 217 . . 3 (πœ‘ β†’ (((πΉβ€˜(𝑀 βˆ’ 1))β€˜(π‘ˆβ€˜π‘€)) β‰  ((πΉβ€˜π‘€)β€˜(π‘ˆβ€˜π‘€)) ∧ ((πΉβ€˜(𝑀 βˆ’ 1))β€˜(π‘ˆβ€˜(𝑀 + 1))) β‰  ((πΉβ€˜π‘€)β€˜(π‘ˆβ€˜(𝑀 + 1)))))
24341ltp1d 12172 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑀 < (𝑀 + 1))
24441, 243ltned 11378 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑀 β‰  (𝑀 + 1))
245 f1of1 6832 . . . . . . 7 (π‘ˆ:(1...𝑁)–1-1-ontoβ†’(1...𝑁) β†’ π‘ˆ:(1...𝑁)–1-1β†’(1...𝑁))
2461, 245syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ π‘ˆ:(1...𝑁)–1-1β†’(1...𝑁))
247 f1veqaeq 7262 . . . . . 6 ((π‘ˆ:(1...𝑁)–1-1β†’(1...𝑁) ∧ (𝑀 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝑀 + 1) ∈ (1...𝑁))) β†’ ((π‘ˆβ€˜π‘€) = (π‘ˆβ€˜(𝑀 + 1)) β†’ 𝑀 = (𝑀 + 1)))
248246, 17, 22, 247syl12anc 835 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((π‘ˆβ€˜π‘€) = (π‘ˆβ€˜(𝑀 + 1)) β†’ 𝑀 = (𝑀 + 1)))
249248necon3d 2951 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑀 β‰  (𝑀 + 1) β†’ (π‘ˆβ€˜π‘€) β‰  (π‘ˆβ€˜(𝑀 + 1))))
250244, 249mpd 15 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘ˆβ€˜π‘€) β‰  (π‘ˆβ€˜(𝑀 + 1)))
251237anbi1d 629 . . . . 5 (𝑛 = (π‘ˆβ€˜π‘€) β†’ ((((πΉβ€˜(𝑀 βˆ’ 1))β€˜π‘›) β‰  ((πΉβ€˜π‘€)β€˜π‘›) ∧ ((πΉβ€˜(𝑀 βˆ’ 1))β€˜π‘š) β‰  ((πΉβ€˜π‘€)β€˜π‘š)) ↔ (((πΉβ€˜(𝑀 βˆ’ 1))β€˜(π‘ˆβ€˜π‘€)) β‰  ((πΉβ€˜π‘€)β€˜(π‘ˆβ€˜π‘€)) ∧ ((πΉβ€˜(𝑀 βˆ’ 1))β€˜π‘š) β‰  ((πΉβ€˜π‘€)β€˜π‘š))))
252 neeq1 2993 . . . . 5 (𝑛 = (π‘ˆβ€˜π‘€) β†’ (𝑛 β‰  π‘š ↔ (π‘ˆβ€˜π‘€) β‰  π‘š))
253251, 252anbi12d 630 . . . 4 (𝑛 = (π‘ˆβ€˜π‘€) β†’ (((((πΉβ€˜(𝑀 βˆ’ 1))β€˜π‘›) β‰  ((πΉβ€˜π‘€)β€˜π‘›) ∧ ((πΉβ€˜(𝑀 βˆ’ 1))β€˜π‘š) β‰  ((πΉβ€˜π‘€)β€˜π‘š)) ∧ 𝑛 β‰  π‘š) ↔ ((((πΉβ€˜(𝑀 βˆ’ 1))β€˜(π‘ˆβ€˜π‘€)) β‰  ((πΉβ€˜π‘€)β€˜(π‘ˆβ€˜π‘€)) ∧ ((πΉβ€˜(𝑀 βˆ’ 1))β€˜π‘š) β‰  ((πΉβ€˜π‘€)β€˜π‘š)) ∧ (π‘ˆβ€˜π‘€) β‰  π‘š)))
254 fveq2 6891 . . . . . . 7 (π‘š = (π‘ˆβ€˜(𝑀 + 1)) β†’ ((πΉβ€˜(𝑀 βˆ’ 1))β€˜π‘š) = ((πΉβ€˜(𝑀 βˆ’ 1))β€˜(π‘ˆβ€˜(𝑀 + 1))))
255 fveq2 6891 . . . . . . 7 (π‘š = (π‘ˆβ€˜(𝑀 + 1)) β†’ ((πΉβ€˜π‘€)β€˜π‘š) = ((πΉβ€˜π‘€)β€˜(π‘ˆβ€˜(𝑀 + 1))))
256254, 255neeq12d 2992 . . . . . 6 (π‘š = (π‘ˆβ€˜(𝑀 + 1)) β†’ (((πΉβ€˜(𝑀 βˆ’ 1))β€˜π‘š) β‰  ((πΉβ€˜π‘€)β€˜π‘š) ↔ ((πΉβ€˜(𝑀 βˆ’ 1))β€˜(π‘ˆβ€˜(𝑀 + 1))) β‰  ((πΉβ€˜π‘€)β€˜(π‘ˆβ€˜(𝑀 + 1)))))
257256anbi2d 628 . . . . 5 (π‘š = (π‘ˆβ€˜(𝑀 + 1)) β†’ ((((πΉβ€˜(𝑀 βˆ’ 1))β€˜(π‘ˆβ€˜π‘€)) β‰  ((πΉβ€˜π‘€)β€˜(π‘ˆβ€˜π‘€)) ∧ ((πΉβ€˜(𝑀 βˆ’ 1))β€˜π‘š) β‰  ((πΉβ€˜π‘€)β€˜π‘š)) ↔ (((πΉβ€˜(𝑀 βˆ’ 1))β€˜(π‘ˆβ€˜π‘€)) β‰  ((πΉβ€˜π‘€)β€˜(π‘ˆβ€˜π‘€)) ∧ ((πΉβ€˜(𝑀 βˆ’ 1))β€˜(π‘ˆβ€˜(𝑀 + 1))) β‰  ((πΉβ€˜π‘€)β€˜(π‘ˆβ€˜(𝑀 + 1))))))
258 neeq2 2994 . . . . 5 (π‘š = (π‘ˆβ€˜(𝑀 + 1)) β†’ ((π‘ˆβ€˜π‘€) β‰  π‘š ↔ (π‘ˆβ€˜π‘€) β‰  (π‘ˆβ€˜(𝑀 + 1))))
259257, 258anbi12d 630 . . . 4 (π‘š = (π‘ˆβ€˜(𝑀 + 1)) β†’ (((((πΉβ€˜(𝑀 βˆ’ 1))β€˜(π‘ˆβ€˜π‘€)) β‰  ((πΉβ€˜π‘€)β€˜(π‘ˆβ€˜π‘€)) ∧ ((πΉβ€˜(𝑀 βˆ’ 1))β€˜π‘š) β‰  ((πΉβ€˜π‘€)β€˜π‘š)) ∧ (π‘ˆβ€˜π‘€) β‰  π‘š) ↔ ((((πΉβ€˜(𝑀 βˆ’ 1))β€˜(π‘ˆβ€˜π‘€)) β‰  ((πΉβ€˜π‘€)β€˜(π‘ˆβ€˜π‘€)) ∧ ((πΉβ€˜(𝑀 βˆ’ 1))β€˜(π‘ˆβ€˜(𝑀 + 1))) β‰  ((πΉβ€˜π‘€)β€˜(π‘ˆβ€˜(𝑀 + 1)))) ∧ (π‘ˆβ€˜π‘€) β‰  (π‘ˆβ€˜(𝑀 + 1)))))
260253, 259rspc2ev 3615 . . 3 (((π‘ˆβ€˜π‘€) ∈ (1...𝑁) ∧ (π‘ˆβ€˜(𝑀 + 1)) ∈ (1...𝑁) ∧ ((((πΉβ€˜(𝑀 βˆ’ 1))β€˜(π‘ˆβ€˜π‘€)) β‰  ((πΉβ€˜π‘€)β€˜(π‘ˆβ€˜π‘€)) ∧ ((πΉβ€˜(𝑀 βˆ’ 1))β€˜(π‘ˆβ€˜(𝑀 + 1))) β‰  ((πΉβ€˜π‘€)β€˜(π‘ˆβ€˜(𝑀 + 1)))) ∧ (π‘ˆβ€˜π‘€) β‰  (π‘ˆβ€˜(𝑀 + 1)))) β†’ βˆƒπ‘› ∈ (1...𝑁)βˆƒπ‘š ∈ (1...𝑁)((((πΉβ€˜(𝑀 βˆ’ 1))β€˜π‘›) β‰  ((πΉβ€˜π‘€)β€˜π‘›) ∧ ((πΉβ€˜(𝑀 βˆ’ 1))β€˜π‘š) β‰  ((πΉβ€˜π‘€)β€˜π‘š)) ∧ 𝑛 β‰  π‘š))
26118, 23, 242, 250, 260syl112anc 1371 . 2 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘› ∈ (1...𝑁)βˆƒπ‘š ∈ (1...𝑁)((((πΉβ€˜(𝑀 βˆ’ 1))β€˜π‘›) β‰  ((πΉβ€˜π‘€)β€˜π‘›) ∧ ((πΉβ€˜(𝑀 βˆ’ 1))β€˜π‘š) β‰  ((πΉβ€˜π‘€)β€˜π‘š)) ∧ 𝑛 β‰  π‘š))
262 dfrex2 3063 . . 3 (βˆƒπ‘› ∈ (1...𝑁)βˆƒπ‘š ∈ (1...𝑁)((((πΉβ€˜(𝑀 βˆ’ 1))β€˜π‘›) β‰  ((πΉβ€˜π‘€)β€˜π‘›) ∧ ((πΉβ€˜(𝑀 βˆ’ 1))β€˜π‘š) β‰  ((πΉβ€˜π‘€)β€˜π‘š)) ∧ 𝑛 β‰  π‘š) ↔ Β¬ βˆ€π‘› ∈ (1...𝑁) Β¬ βˆƒπ‘š ∈ (1...𝑁)((((πΉβ€˜(𝑀 βˆ’ 1))β€˜π‘›) β‰  ((πΉβ€˜π‘€)β€˜π‘›) ∧ ((πΉβ€˜(𝑀 βˆ’ 1))β€˜π‘š) β‰  ((πΉβ€˜π‘€)β€˜π‘š)) ∧ 𝑛 β‰  π‘š))
263 fveq2 6891 . . . . . 6 (𝑛 = π‘š β†’ ((πΉβ€˜(𝑀 βˆ’ 1))β€˜π‘›) = ((πΉβ€˜(𝑀 βˆ’ 1))β€˜π‘š))
264 fveq2 6891 . . . . . 6 (𝑛 = π‘š β†’ ((πΉβ€˜π‘€)β€˜π‘›) = ((πΉβ€˜π‘€)β€˜π‘š))
265263, 264neeq12d 2992 . . . . 5 (𝑛 = π‘š β†’ (((πΉβ€˜(𝑀 βˆ’ 1))β€˜π‘›) β‰  ((πΉβ€˜π‘€)β€˜π‘›) ↔ ((πΉβ€˜(𝑀 βˆ’ 1))β€˜π‘š) β‰  ((πΉβ€˜π‘€)β€˜π‘š)))
266265rmo4 3718 . . . 4 (βˆƒ*𝑛 ∈ (1...𝑁)((πΉβ€˜(𝑀 βˆ’ 1))β€˜π‘›) β‰  ((πΉβ€˜π‘€)β€˜π‘›) ↔ βˆ€π‘› ∈ (1...𝑁)βˆ€π‘š ∈ (1...𝑁)((((πΉβ€˜(𝑀 βˆ’ 1))β€˜π‘›) β‰  ((πΉβ€˜π‘€)β€˜π‘›) ∧ ((πΉβ€˜(𝑀 βˆ’ 1))β€˜π‘š) β‰  ((πΉβ€˜π‘€)β€˜π‘š)) β†’ 𝑛 = π‘š))
267 dfral2 3089 . . . . . 6 (βˆ€π‘š ∈ (1...𝑁)((((πΉβ€˜(𝑀 βˆ’ 1))β€˜π‘›) β‰  ((πΉβ€˜π‘€)β€˜π‘›) ∧ ((πΉβ€˜(𝑀 βˆ’ 1))β€˜π‘š) β‰  ((πΉβ€˜π‘€)β€˜π‘š)) β†’ 𝑛 = π‘š) ↔ Β¬ βˆƒπ‘š ∈ (1...𝑁) Β¬ ((((πΉβ€˜(𝑀 βˆ’ 1))β€˜π‘›) β‰  ((πΉβ€˜π‘€)β€˜π‘›) ∧ ((πΉβ€˜(𝑀 βˆ’ 1))β€˜π‘š) β‰  ((πΉβ€˜π‘€)β€˜π‘š)) β†’ 𝑛 = π‘š))
268 df-ne 2931 . . . . . . . . 9 (𝑛 β‰  π‘š ↔ Β¬ 𝑛 = π‘š)
269268anbi2i 621 . . . . . . . 8 (((((πΉβ€˜(𝑀 βˆ’ 1))β€˜π‘›) β‰  ((πΉβ€˜π‘€)β€˜π‘›) ∧ ((πΉβ€˜(𝑀 βˆ’ 1))β€˜π‘š) β‰  ((πΉβ€˜π‘€)β€˜π‘š)) ∧ 𝑛 β‰  π‘š) ↔ ((((πΉβ€˜(𝑀 βˆ’ 1))β€˜π‘›) β‰  ((πΉβ€˜π‘€)β€˜π‘›) ∧ ((πΉβ€˜(𝑀 βˆ’ 1))β€˜π‘š) β‰  ((πΉβ€˜π‘€)β€˜π‘š)) ∧ Β¬ 𝑛 = π‘š))
270 annim 402 . . . . . . . 8 (((((πΉβ€˜(𝑀 βˆ’ 1))β€˜π‘›) β‰  ((πΉβ€˜π‘€)β€˜π‘›) ∧ ((πΉβ€˜(𝑀 βˆ’ 1))β€˜π‘š) β‰  ((πΉβ€˜π‘€)β€˜π‘š)) ∧ Β¬ 𝑛 = π‘š) ↔ Β¬ ((((πΉβ€˜(𝑀 βˆ’ 1))β€˜π‘›) β‰  ((πΉβ€˜π‘€)β€˜π‘›) ∧ ((πΉβ€˜(𝑀 βˆ’ 1))β€˜π‘š) β‰  ((πΉβ€˜π‘€)β€˜π‘š)) β†’ 𝑛 = π‘š))
271269, 270bitri 274 . . . . . . 7 (((((πΉβ€˜(𝑀 βˆ’ 1))β€˜π‘›) β‰  ((πΉβ€˜π‘€)β€˜π‘›) ∧ ((πΉβ€˜(𝑀 βˆ’ 1))β€˜π‘š) β‰  ((πΉβ€˜π‘€)β€˜π‘š)) ∧ 𝑛 β‰  π‘š) ↔ Β¬ ((((πΉβ€˜(𝑀 βˆ’ 1))β€˜π‘›) β‰  ((πΉβ€˜π‘€)β€˜π‘›) ∧ ((πΉβ€˜(𝑀 βˆ’ 1))β€˜π‘š) β‰  ((πΉβ€˜π‘€)β€˜π‘š)) β†’ 𝑛 = π‘š))
272271rexbii 3084 . . . . . 6 (βˆƒπ‘š ∈ (1...𝑁)((((πΉβ€˜(𝑀 βˆ’ 1))β€˜π‘›) β‰  ((πΉβ€˜π‘€)β€˜π‘›) ∧ ((πΉβ€˜(𝑀 βˆ’ 1))β€˜π‘š) β‰  ((πΉβ€˜π‘€)β€˜π‘š)) ∧ 𝑛 β‰  π‘š) ↔ βˆƒπ‘š ∈ (1...𝑁) Β¬ ((((πΉβ€˜(𝑀 βˆ’ 1))β€˜π‘›) β‰  ((πΉβ€˜π‘€)β€˜π‘›) ∧ ((πΉβ€˜(𝑀 βˆ’ 1))β€˜π‘š) β‰  ((πΉβ€˜π‘€)β€˜π‘š)) β†’ 𝑛 = π‘š))
273267, 272xchbinxr 334 . . . . 5 (βˆ€π‘š ∈ (1...𝑁)((((πΉβ€˜(𝑀 βˆ’ 1))β€˜π‘›) β‰  ((πΉβ€˜π‘€)β€˜π‘›) ∧ ((πΉβ€˜(𝑀 βˆ’ 1))β€˜π‘š) β‰  ((πΉβ€˜π‘€)β€˜π‘š)) β†’ 𝑛 = π‘š) ↔ Β¬ βˆƒπ‘š ∈ (1...𝑁)((((πΉβ€˜(𝑀 βˆ’ 1))β€˜π‘›) β‰  ((πΉβ€˜π‘€)β€˜π‘›) ∧ ((πΉβ€˜(𝑀 βˆ’ 1))β€˜π‘š) β‰  ((πΉβ€˜π‘€)β€˜π‘š)) ∧ 𝑛 β‰  π‘š))
274273ralbii 3083 . . . 4 (βˆ€π‘› ∈ (1...𝑁)βˆ€π‘š ∈ (1...𝑁)((((πΉβ€˜(𝑀 βˆ’ 1))β€˜π‘›) β‰  ((πΉβ€˜π‘€)β€˜π‘›) ∧ ((πΉβ€˜(𝑀 βˆ’ 1))β€˜π‘š) β‰  ((πΉβ€˜π‘€)β€˜π‘š)) β†’ 𝑛 = π‘š) ↔ βˆ€π‘› ∈ (1...𝑁) Β¬ βˆƒπ‘š ∈ (1...𝑁)((((πΉβ€˜(𝑀 βˆ’ 1))β€˜π‘›) β‰  ((πΉβ€˜π‘€)β€˜π‘›) ∧ ((πΉβ€˜(𝑀 βˆ’ 1))β€˜π‘š) β‰  ((πΉβ€˜π‘€)β€˜π‘š)) ∧ 𝑛 β‰  π‘š))
275266, 274bitri 274 . . 3 (βˆƒ*𝑛 ∈ (1...𝑁)((πΉβ€˜(𝑀 βˆ’ 1))β€˜π‘›) β‰  ((πΉβ€˜π‘€)β€˜π‘›) ↔ βˆ€π‘› ∈ (1...𝑁) Β¬ βˆƒπ‘š ∈ (1...𝑁)((((πΉβ€˜(𝑀 βˆ’ 1))β€˜π‘›) β‰  ((πΉβ€˜π‘€)β€˜π‘›) ∧ ((πΉβ€˜(𝑀 βˆ’ 1))β€˜π‘š) β‰  ((πΉβ€˜π‘€)β€˜π‘š)) ∧ 𝑛 β‰  π‘š))
276262, 275xchbinxr 334 . 2 (βˆƒπ‘› ∈ (1...𝑁)βˆƒπ‘š ∈ (1...𝑁)((((πΉβ€˜(𝑀 βˆ’ 1))β€˜π‘›) β‰  ((πΉβ€˜π‘€)β€˜π‘›) ∧ ((πΉβ€˜(𝑀 βˆ’ 1))β€˜π‘š) β‰  ((πΉβ€˜π‘€)β€˜π‘š)) ∧ 𝑛 β‰  π‘š) ↔ Β¬ βˆƒ*𝑛 ∈ (1...𝑁)((πΉβ€˜(𝑀 βˆ’ 1))β€˜π‘›) β‰  ((πΉβ€˜π‘€)β€˜π‘›))
277261, 276sylib 217 1 (πœ‘ β†’ Β¬ βˆƒ*𝑛 ∈ (1...𝑁)((πΉβ€˜(𝑀 βˆ’ 1))β€˜π‘›) β‰  ((πΉβ€˜π‘€)β€˜π‘›))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2930  βˆ€wral 3051  βˆƒwrex 3060  βˆƒ*wrmo 3363  Vcvv 3463  β¦‹csb 3885   βˆͺ cun 3938   ∩ cin 3939   βŠ† wss 3940  βˆ…c0 4318  ifcif 4524  {csn 4624  {cpr 4626   class class class wbr 5143   ↦ cmpt 5226   Γ— cxp 5670  β—‘ccnv 5671  ran crn 5673   β€œ cima 5675  Fun wfun 6536   Fn wfn 6537  βŸΆwf 6538  β€“1-1β†’wf1 6539  β€“ontoβ†’wfo 6540  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6541  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7415   ∘f cof 7679  β„‚cc 11134  β„cr 11135  0cc0 11136  1c1 11137   + caddc 11139   < clt 11276   βˆ’ cmin 11472  β„•cn 12240  β„€cz 12586  β„€β‰₯cuz 12850  ...cfz 13514
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7737  ax-cnex 11192  ax-resscn 11193  ax-1cn 11194  ax-icn 11195  ax-addcl 11196  ax-addrcl 11197  ax-mulcl 11198  ax-mulrcl 11199  ax-mulcom 11200  ax-addass 11201  ax-mulass 11202  ax-distr 11203  ax-i2m1 11204  ax-1ne0 11205  ax-1rid 11206  ax-rnegex 11207  ax-rrecex 11208  ax-cnre 11209  ax-pre-lttri 11210  ax-pre-lttrn 11211  ax-pre-ltadd 11212  ax-pre-mulgt0 11213
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3960  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-of 7681  df-om 7868  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8388  df-rdg 8427  df-er 8721  df-en 8961  df-dom 8962  df-sdom 8963  df-pnf 11278  df-mnf 11279  df-xr 11280  df-ltxr 11281  df-le 11282  df-sub 11474  df-neg 11475  df-nn 12241  df-n0 12501  df-z 12587  df-uz 12851  df-fz 13515
This theorem is referenced by:  poimirlem8  37157  poimirlem18  37167  poimirlem21  37170  poimirlem22  37171
  Copyright terms: Public domain W3C validator