Users' Mathboxes Mathbox for Brendan Leahy < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  poimirlem1 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem poimirlem1 36477
Description: Lemma for poimir 36509- the vertices on either side of a skipped vertex differ in at least two dimensions. (Contributed by Brendan Leahy, 21-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
poimir.0 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•)
poimirlem2.1 (πœ‘ β†’ 𝐹 = (𝑦 ∈ (0...(𝑁 βˆ’ 1)) ↦ ⦋if(𝑦 < 𝑀, 𝑦, (𝑦 + 1)) / π‘—β¦Œ(𝑇 ∘f + (((π‘ˆ β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ ((π‘ˆ β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0})))))
poimirlem2.2 (πœ‘ β†’ 𝑇:(1...𝑁)βŸΆβ„€)
poimirlem2.3 (πœ‘ β†’ π‘ˆ:(1...𝑁)–1-1-ontoβ†’(1...𝑁))
poimirlem1.4 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ (1...(𝑁 βˆ’ 1)))
Assertion
Ref Expression
poimirlem1 (πœ‘ β†’ Β¬ βˆƒ*𝑛 ∈ (1...𝑁)((πΉβ€˜(𝑀 βˆ’ 1))β€˜π‘›) β‰  ((πΉβ€˜π‘€)β€˜π‘›))
Distinct variable groups:   𝑗,𝑛,𝑦,πœ‘   𝑗,𝐹,𝑛,𝑦   𝑗,𝑀,𝑛,𝑦   𝑗,𝑁,𝑛,𝑦   𝑇,𝑗,𝑛,𝑦   π‘ˆ,𝑗,𝑛,𝑦
Proof of Theorem poimirlem1
Dummy variable π‘š is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 poimirlem2.3 . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘ˆ:(1...𝑁)–1-1-ontoβ†’(1...𝑁))
2 f1of 6830 . . . . 5 (π‘ˆ:(1...𝑁)–1-1-ontoβ†’(1...𝑁) β†’ π‘ˆ:(1...𝑁)⟢(1...𝑁))
31, 2syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘ˆ:(1...𝑁)⟢(1...𝑁))
4 poimir.0 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•)
54nncnd 12224 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„‚)
6 npcan1 11635 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ β„‚ β†’ ((𝑁 βˆ’ 1) + 1) = 𝑁)
75, 6syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((𝑁 βˆ’ 1) + 1) = 𝑁)
84nnzd 12581 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„€)
9 peano2zm 12601 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ β„€ β†’ (𝑁 βˆ’ 1) ∈ β„€)
10 uzid 12833 . . . . . . . 8 ((𝑁 βˆ’ 1) ∈ β„€ β†’ (𝑁 βˆ’ 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 βˆ’ 1)))
11 peano2uz 12881 . . . . . . . 8 ((𝑁 βˆ’ 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 βˆ’ 1)) β†’ ((𝑁 βˆ’ 1) + 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 βˆ’ 1)))
128, 9, 10, 114syl 19 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((𝑁 βˆ’ 1) + 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 βˆ’ 1)))
137, 12eqeltrrd 2834 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 βˆ’ 1)))
14 fzss2 13537 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 βˆ’ 1)) β†’ (1...(𝑁 βˆ’ 1)) βŠ† (1...𝑁))
1513, 14syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (1...(𝑁 βˆ’ 1)) βŠ† (1...𝑁))
16 poimirlem1.4 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ (1...(𝑁 βˆ’ 1)))
1715, 16sseldd 3982 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ (1...𝑁))
183, 17ffvelcdmd 7084 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘ˆβ€˜π‘€) ∈ (1...𝑁))
19 fzp1elp1 13550 . . . . . 6 (𝑀 ∈ (1...(𝑁 βˆ’ 1)) β†’ (𝑀 + 1) ∈ (1...((𝑁 βˆ’ 1) + 1)))
2016, 19syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑀 + 1) ∈ (1...((𝑁 βˆ’ 1) + 1)))
217oveq2d 7421 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (1...((𝑁 βˆ’ 1) + 1)) = (1...𝑁))
2220, 21eleqtrd 2835 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑀 + 1) ∈ (1...𝑁))
233, 22ffvelcdmd 7084 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘ˆβ€˜(𝑀 + 1)) ∈ (1...𝑁))
24 imassrn 6068 . . . . . . . . . 10 (π‘ˆ β€œ (𝑀...(𝑀 + 1))) βŠ† ran π‘ˆ
25 frn 6721 . . . . . . . . . . 11 (π‘ˆ:(1...𝑁)⟢(1...𝑁) β†’ ran π‘ˆ βŠ† (1...𝑁))
261, 2, 253syl 18 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ran π‘ˆ βŠ† (1...𝑁))
2724, 26sstrid 3992 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (π‘ˆ β€œ (𝑀...(𝑀 + 1))) βŠ† (1...𝑁))
2827sselda 3981 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (π‘ˆ β€œ (𝑀...(𝑀 + 1)))) β†’ 𝑛 ∈ (1...𝑁))
29 poimirlem2.2 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝑇:(1...𝑁)βŸΆβ„€)
3029ffvelcdmda 7083 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) β†’ (π‘‡β€˜π‘›) ∈ β„€)
3130zred 12662 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) β†’ (π‘‡β€˜π‘›) ∈ ℝ)
3231ltp1d 12140 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) β†’ (π‘‡β€˜π‘›) < ((π‘‡β€˜π‘›) + 1))
3331, 32ltned 11346 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) β†’ (π‘‡β€˜π‘›) β‰  ((π‘‡β€˜π‘›) + 1))
3428, 33syldan 591 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (π‘ˆ β€œ (𝑀...(𝑀 + 1)))) β†’ (π‘‡β€˜π‘›) β‰  ((π‘‡β€˜π‘›) + 1))
35 poimirlem2.1 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐹 = (𝑦 ∈ (0...(𝑁 βˆ’ 1)) ↦ ⦋if(𝑦 < 𝑀, 𝑦, (𝑦 + 1)) / π‘—β¦Œ(𝑇 ∘f + (((π‘ˆ β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ ((π‘ˆ β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0})))))
36 breq1 5150 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 = (𝑀 βˆ’ 1) β†’ (𝑦 < 𝑀 ↔ (𝑀 βˆ’ 1) < 𝑀))
37 id 22 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 = (𝑀 βˆ’ 1) β†’ 𝑦 = (𝑀 βˆ’ 1))
3836, 37ifbieq1d 4551 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = (𝑀 βˆ’ 1) β†’ if(𝑦 < 𝑀, 𝑦, (𝑦 + 1)) = if((𝑀 βˆ’ 1) < 𝑀, (𝑀 βˆ’ 1), (𝑦 + 1)))
39 elfzelz 13497 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑀 ∈ (1...(𝑁 βˆ’ 1)) β†’ 𝑀 ∈ β„€)
4016, 39syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
4140zred 12662 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ ℝ)
4241ltm1d 12142 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (𝑀 βˆ’ 1) < 𝑀)
4342iftrued 4535 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ if((𝑀 βˆ’ 1) < 𝑀, (𝑀 βˆ’ 1), (𝑦 + 1)) = (𝑀 βˆ’ 1))
4438, 43sylan9eqr 2794 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑦 = (𝑀 βˆ’ 1)) β†’ if(𝑦 < 𝑀, 𝑦, (𝑦 + 1)) = (𝑀 βˆ’ 1))
4544csbeq1d 3896 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑦 = (𝑀 βˆ’ 1)) β†’ ⦋if(𝑦 < 𝑀, 𝑦, (𝑦 + 1)) / π‘—β¦Œ(𝑇 ∘f + (((π‘ˆ β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ ((π‘ˆ β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))) = ⦋(𝑀 βˆ’ 1) / π‘—β¦Œ(𝑇 ∘f + (((π‘ˆ β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ ((π‘ˆ β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))))
468, 9syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ (𝑁 βˆ’ 1) ∈ β„€)
47 elfzm1b 13575 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑀 ∈ β„€ ∧ (𝑁 βˆ’ 1) ∈ β„€) β†’ (𝑀 ∈ (1...(𝑁 βˆ’ 1)) ↔ (𝑀 βˆ’ 1) ∈ (0...((𝑁 βˆ’ 1) βˆ’ 1))))
4840, 46, 47syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (𝑀 ∈ (1...(𝑁 βˆ’ 1)) ↔ (𝑀 βˆ’ 1) ∈ (0...((𝑁 βˆ’ 1) βˆ’ 1))))
4916, 48mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (𝑀 βˆ’ 1) ∈ (0...((𝑁 βˆ’ 1) βˆ’ 1)))
50 oveq2 7413 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑗 = (𝑀 βˆ’ 1) β†’ (1...𝑗) = (1...(𝑀 βˆ’ 1)))
5150imaeq2d 6057 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑗 = (𝑀 βˆ’ 1) β†’ (π‘ˆ β€œ (1...𝑗)) = (π‘ˆ β€œ (1...(𝑀 βˆ’ 1))))
5251xpeq1d 5704 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑗 = (𝑀 βˆ’ 1) β†’ ((π‘ˆ β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) = ((π‘ˆ β€œ (1...(𝑀 βˆ’ 1))) Γ— {1}))
5352adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑗 = (𝑀 βˆ’ 1)) β†’ ((π‘ˆ β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) = ((π‘ˆ β€œ (1...(𝑀 βˆ’ 1))) Γ— {1}))
54 oveq1 7412 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑗 = (𝑀 βˆ’ 1) β†’ (𝑗 + 1) = ((𝑀 βˆ’ 1) + 1))
5540zcnd 12663 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„‚)
56 npcan1 11635 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑀 ∈ β„‚ β†’ ((𝑀 βˆ’ 1) + 1) = 𝑀)
5755, 56syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (πœ‘ β†’ ((𝑀 βˆ’ 1) + 1) = 𝑀)
5854, 57sylan9eqr 2794 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ 𝑗 = (𝑀 βˆ’ 1)) β†’ (𝑗 + 1) = 𝑀)
5958oveq1d 7420 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ 𝑗 = (𝑀 βˆ’ 1)) β†’ ((𝑗 + 1)...𝑁) = (𝑀...𝑁))
6059imaeq2d 6057 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ 𝑗 = (𝑀 βˆ’ 1)) β†’ (π‘ˆ β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) = (π‘ˆ β€œ (𝑀...𝑁)))
6160xpeq1d 5704 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑗 = (𝑀 βˆ’ 1)) β†’ ((π‘ˆ β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}) = ((π‘ˆ β€œ (𝑀...𝑁)) Γ— {0}))
6253, 61uneq12d 4163 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑗 = (𝑀 βˆ’ 1)) β†’ (((π‘ˆ β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ ((π‘ˆ β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0})) = (((π‘ˆ β€œ (1...(𝑀 βˆ’ 1))) Γ— {1}) βˆͺ ((π‘ˆ β€œ (𝑀...𝑁)) Γ— {0})))
6362oveq2d 7421 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑗 = (𝑀 βˆ’ 1)) β†’ (𝑇 ∘f + (((π‘ˆ β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ ((π‘ˆ β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))) = (𝑇 ∘f + (((π‘ˆ β€œ (1...(𝑀 βˆ’ 1))) Γ— {1}) βˆͺ ((π‘ˆ β€œ (𝑀...𝑁)) Γ— {0}))))
6449, 63csbied 3930 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ ⦋(𝑀 βˆ’ 1) / π‘—β¦Œ(𝑇 ∘f + (((π‘ˆ β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ ((π‘ˆ β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))) = (𝑇 ∘f + (((π‘ˆ β€œ (1...(𝑀 βˆ’ 1))) Γ— {1}) βˆͺ ((π‘ˆ β€œ (𝑀...𝑁)) Γ— {0}))))
6564adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑦 = (𝑀 βˆ’ 1)) β†’ ⦋(𝑀 βˆ’ 1) / π‘—β¦Œ(𝑇 ∘f + (((π‘ˆ β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ ((π‘ˆ β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))) = (𝑇 ∘f + (((π‘ˆ β€œ (1...(𝑀 βˆ’ 1))) Γ— {1}) βˆͺ ((π‘ˆ β€œ (𝑀...𝑁)) Γ— {0}))))
6645, 65eqtrd 2772 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑦 = (𝑀 βˆ’ 1)) β†’ ⦋if(𝑦 < 𝑀, 𝑦, (𝑦 + 1)) / π‘—β¦Œ(𝑇 ∘f + (((π‘ˆ β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ ((π‘ˆ β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))) = (𝑇 ∘f + (((π‘ˆ β€œ (1...(𝑀 βˆ’ 1))) Γ— {1}) βˆͺ ((π‘ˆ β€œ (𝑀...𝑁)) Γ— {0}))))
6746zcnd 12663 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (𝑁 βˆ’ 1) ∈ β„‚)
68 npcan1 11635 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 βˆ’ 1) ∈ β„‚ β†’ (((𝑁 βˆ’ 1) βˆ’ 1) + 1) = (𝑁 βˆ’ 1))
6967, 68syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (((𝑁 βˆ’ 1) βˆ’ 1) + 1) = (𝑁 βˆ’ 1))
70 peano2zm 12601 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 βˆ’ 1) ∈ β„€ β†’ ((𝑁 βˆ’ 1) βˆ’ 1) ∈ β„€)
71 uzid 12833 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑁 βˆ’ 1) βˆ’ 1) ∈ β„€ β†’ ((𝑁 βˆ’ 1) βˆ’ 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜((𝑁 βˆ’ 1) βˆ’ 1)))
72 peano2uz 12881 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑁 βˆ’ 1) βˆ’ 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜((𝑁 βˆ’ 1) βˆ’ 1)) β†’ (((𝑁 βˆ’ 1) βˆ’ 1) + 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜((𝑁 βˆ’ 1) βˆ’ 1)))
7346, 70, 71, 724syl 19 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (((𝑁 βˆ’ 1) βˆ’ 1) + 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜((𝑁 βˆ’ 1) βˆ’ 1)))
7469, 73eqeltrrd 2834 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (𝑁 βˆ’ 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜((𝑁 βˆ’ 1) βˆ’ 1)))
75 fzss2 13537 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 βˆ’ 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜((𝑁 βˆ’ 1) βˆ’ 1)) β†’ (0...((𝑁 βˆ’ 1) βˆ’ 1)) βŠ† (0...(𝑁 βˆ’ 1)))
7674, 75syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (0...((𝑁 βˆ’ 1) βˆ’ 1)) βŠ† (0...(𝑁 βˆ’ 1)))
7776, 49sseldd 3982 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝑀 βˆ’ 1) ∈ (0...(𝑁 βˆ’ 1)))
78 ovexd 7440 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝑇 ∘f + (((π‘ˆ β€œ (1...(𝑀 βˆ’ 1))) Γ— {1}) βˆͺ ((π‘ˆ β€œ (𝑀...𝑁)) Γ— {0}))) ∈ V)
7935, 66, 77, 78fvmptd 7002 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜(𝑀 βˆ’ 1)) = (𝑇 ∘f + (((π‘ˆ β€œ (1...(𝑀 βˆ’ 1))) Γ— {1}) βˆͺ ((π‘ˆ β€œ (𝑀...𝑁)) Γ— {0}))))
8079fveq1d 6890 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((πΉβ€˜(𝑀 βˆ’ 1))β€˜π‘›) = ((𝑇 ∘f + (((π‘ˆ β€œ (1...(𝑀 βˆ’ 1))) Γ— {1}) βˆͺ ((π‘ˆ β€œ (𝑀...𝑁)) Γ— {0})))β€˜π‘›))
8180adantr 481 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (π‘ˆ β€œ (𝑀...(𝑀 + 1)))) β†’ ((πΉβ€˜(𝑀 βˆ’ 1))β€˜π‘›) = ((𝑇 ∘f + (((π‘ˆ β€œ (1...(𝑀 βˆ’ 1))) Γ— {1}) βˆͺ ((π‘ˆ β€œ (𝑀...𝑁)) Γ— {0})))β€˜π‘›))
8229ffnd 6715 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝑇 Fn (1...𝑁))
8382adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (π‘ˆ β€œ (𝑀...(𝑀 + 1)))) β†’ 𝑇 Fn (1...𝑁))
84 1ex 11206 . . . . . . . . . . . . . . 15 1 ∈ V
85 fnconstg 6776 . . . . . . . . . . . . . . 15 (1 ∈ V β†’ ((π‘ˆ β€œ (1...(𝑀 βˆ’ 1))) Γ— {1}) Fn (π‘ˆ β€œ (1...(𝑀 βˆ’ 1))))
8684, 85ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘ˆ β€œ (1...(𝑀 βˆ’ 1))) Γ— {1}) Fn (π‘ˆ β€œ (1...(𝑀 βˆ’ 1)))
87 c0ex 11204 . . . . . . . . . . . . . . 15 0 ∈ V
88 fnconstg 6776 . . . . . . . . . . . . . . 15 (0 ∈ V β†’ ((π‘ˆ β€œ (𝑀...𝑁)) Γ— {0}) Fn (π‘ˆ β€œ (𝑀...𝑁)))
8987, 88ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘ˆ β€œ (𝑀...𝑁)) Γ— {0}) Fn (π‘ˆ β€œ (𝑀...𝑁))
9086, 89pm3.2i 471 . . . . . . . . . . . . 13 (((π‘ˆ β€œ (1...(𝑀 βˆ’ 1))) Γ— {1}) Fn (π‘ˆ β€œ (1...(𝑀 βˆ’ 1))) ∧ ((π‘ˆ β€œ (𝑀...𝑁)) Γ— {0}) Fn (π‘ˆ β€œ (𝑀...𝑁)))
91 dff1o3 6836 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘ˆ:(1...𝑁)–1-1-ontoβ†’(1...𝑁) ↔ (π‘ˆ:(1...𝑁)–ontoβ†’(1...𝑁) ∧ Fun β—‘π‘ˆ))
9291simprbi 497 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘ˆ:(1...𝑁)–1-1-ontoβ†’(1...𝑁) β†’ Fun β—‘π‘ˆ)
93 imain 6630 . . . . . . . . . . . . . . 15 (Fun β—‘π‘ˆ β†’ (π‘ˆ β€œ ((1...(𝑀 βˆ’ 1)) ∩ (𝑀...𝑁))) = ((π‘ˆ β€œ (1...(𝑀 βˆ’ 1))) ∩ (π‘ˆ β€œ (𝑀...𝑁))))
941, 92, 933syl 18 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (π‘ˆ β€œ ((1...(𝑀 βˆ’ 1)) ∩ (𝑀...𝑁))) = ((π‘ˆ β€œ (1...(𝑀 βˆ’ 1))) ∩ (π‘ˆ β€œ (𝑀...𝑁))))
95 fzdisj 13524 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑀 βˆ’ 1) < 𝑀 β†’ ((1...(𝑀 βˆ’ 1)) ∩ (𝑀...𝑁)) = βˆ…)
9642, 95syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ ((1...(𝑀 βˆ’ 1)) ∩ (𝑀...𝑁)) = βˆ…)
9796imaeq2d 6057 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (π‘ˆ β€œ ((1...(𝑀 βˆ’ 1)) ∩ (𝑀...𝑁))) = (π‘ˆ β€œ βˆ…))
98 ima0 6073 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘ˆ β€œ βˆ…) = βˆ…
9997, 98eqtrdi 2788 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (π‘ˆ β€œ ((1...(𝑀 βˆ’ 1)) ∩ (𝑀...𝑁))) = βˆ…)
10094, 99eqtr3d 2774 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ ((π‘ˆ β€œ (1...(𝑀 βˆ’ 1))) ∩ (π‘ˆ β€œ (𝑀...𝑁))) = βˆ…)
101 fnun 6660 . . . . . . . . . . . . 13 (((((π‘ˆ β€œ (1...(𝑀 βˆ’ 1))) Γ— {1}) Fn (π‘ˆ β€œ (1...(𝑀 βˆ’ 1))) ∧ ((π‘ˆ β€œ (𝑀...𝑁)) Γ— {0}) Fn (π‘ˆ β€œ (𝑀...𝑁))) ∧ ((π‘ˆ β€œ (1...(𝑀 βˆ’ 1))) ∩ (π‘ˆ β€œ (𝑀...𝑁))) = βˆ…) β†’ (((π‘ˆ β€œ (1...(𝑀 βˆ’ 1))) Γ— {1}) βˆͺ ((π‘ˆ β€œ (𝑀...𝑁)) Γ— {0})) Fn ((π‘ˆ β€œ (1...(𝑀 βˆ’ 1))) βˆͺ (π‘ˆ β€œ (𝑀...𝑁))))
10290, 100, 101sylancr 587 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (((π‘ˆ β€œ (1...(𝑀 βˆ’ 1))) Γ— {1}) βˆͺ ((π‘ˆ β€œ (𝑀...𝑁)) Γ— {0})) Fn ((π‘ˆ β€œ (1...(𝑀 βˆ’ 1))) βˆͺ (π‘ˆ β€œ (𝑀...𝑁))))
103 elfzuz 13493 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑀 ∈ (1...(𝑁 βˆ’ 1)) β†’ 𝑀 ∈ (β„€β‰₯β€˜1))
10416, 103syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ (β„€β‰₯β€˜1))
10557, 104eqeltrd 2833 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ ((𝑀 βˆ’ 1) + 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜1))
106 peano2zm 12601 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑀 ∈ β„€ β†’ (𝑀 βˆ’ 1) ∈ β„€)
107 uzid 12833 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑀 βˆ’ 1) ∈ β„€ β†’ (𝑀 βˆ’ 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 βˆ’ 1)))
108 peano2uz 12881 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑀 βˆ’ 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 βˆ’ 1)) β†’ ((𝑀 βˆ’ 1) + 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 βˆ’ 1)))
10940, 106, 107, 1084syl 19 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (πœ‘ β†’ ((𝑀 βˆ’ 1) + 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 βˆ’ 1)))
11057, 109eqeltrrd 2834 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 βˆ’ 1)))
111 peano2uz 12881 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑀 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 βˆ’ 1)) β†’ (𝑀 + 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 βˆ’ 1)))
112 uzss 12841 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑀 + 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 βˆ’ 1)) β†’ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1)) βŠ† (β„€β‰₯β€˜(𝑀 βˆ’ 1)))
113110, 111, 1123syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (πœ‘ β†’ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1)) βŠ† (β„€β‰₯β€˜(𝑀 βˆ’ 1)))
114 elfzuz3 13494 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑀 ∈ (1...(𝑁 βˆ’ 1)) β†’ (𝑁 βˆ’ 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€))
115 eluzp1p1 12846 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑁 βˆ’ 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) β†’ ((𝑁 βˆ’ 1) + 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1)))
11616, 114, 1153syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (πœ‘ β†’ ((𝑁 βˆ’ 1) + 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1)))
1177, 116eqeltrrd 2834 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1)))
118113, 117sseldd 3982 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 βˆ’ 1)))
119 fzsplit2 13522 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑀 βˆ’ 1) + 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜1) ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 βˆ’ 1))) β†’ (1...𝑁) = ((1...(𝑀 βˆ’ 1)) βˆͺ (((𝑀 βˆ’ 1) + 1)...𝑁)))
120105, 118, 119syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ (1...𝑁) = ((1...(𝑀 βˆ’ 1)) βˆͺ (((𝑀 βˆ’ 1) + 1)...𝑁)))
12157oveq1d 7420 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ (((𝑀 βˆ’ 1) + 1)...𝑁) = (𝑀...𝑁))
122121uneq2d 4162 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ ((1...(𝑀 βˆ’ 1)) βˆͺ (((𝑀 βˆ’ 1) + 1)...𝑁)) = ((1...(𝑀 βˆ’ 1)) βˆͺ (𝑀...𝑁)))
123120, 122eqtrd 2772 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ (1...𝑁) = ((1...(𝑀 βˆ’ 1)) βˆͺ (𝑀...𝑁)))
124123imaeq2d 6057 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (π‘ˆ β€œ (1...𝑁)) = (π‘ˆ β€œ ((1...(𝑀 βˆ’ 1)) βˆͺ (𝑀...𝑁))))
125 imaundi 6146 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘ˆ β€œ ((1...(𝑀 βˆ’ 1)) βˆͺ (𝑀...𝑁))) = ((π‘ˆ β€œ (1...(𝑀 βˆ’ 1))) βˆͺ (π‘ˆ β€œ (𝑀...𝑁)))
126124, 125eqtrdi 2788 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (π‘ˆ β€œ (1...𝑁)) = ((π‘ˆ β€œ (1...(𝑀 βˆ’ 1))) βˆͺ (π‘ˆ β€œ (𝑀...𝑁))))
127 f1ofo 6837 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘ˆ:(1...𝑁)–1-1-ontoβ†’(1...𝑁) β†’ π‘ˆ:(1...𝑁)–ontoβ†’(1...𝑁))
128 foima 6807 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘ˆ:(1...𝑁)–ontoβ†’(1...𝑁) β†’ (π‘ˆ β€œ (1...𝑁)) = (1...𝑁))
1291, 127, 1283syl 18 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (π‘ˆ β€œ (1...𝑁)) = (1...𝑁))
130126, 129eqtr3d 2774 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ ((π‘ˆ β€œ (1...(𝑀 βˆ’ 1))) βˆͺ (π‘ˆ β€œ (𝑀...𝑁))) = (1...𝑁))
131130fneq2d 6640 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ ((((π‘ˆ β€œ (1...(𝑀 βˆ’ 1))) Γ— {1}) βˆͺ ((π‘ˆ β€œ (𝑀...𝑁)) Γ— {0})) Fn ((π‘ˆ β€œ (1...(𝑀 βˆ’ 1))) βˆͺ (π‘ˆ β€œ (𝑀...𝑁))) ↔ (((π‘ˆ β€œ (1...(𝑀 βˆ’ 1))) Γ— {1}) βˆͺ ((π‘ˆ β€œ (𝑀...𝑁)) Γ— {0})) Fn (1...𝑁)))
132102, 131mpbid 231 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (((π‘ˆ β€œ (1...(𝑀 βˆ’ 1))) Γ— {1}) βˆͺ ((π‘ˆ β€œ (𝑀...𝑁)) Γ— {0})) Fn (1...𝑁))
133132adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (π‘ˆ β€œ (𝑀...(𝑀 + 1)))) β†’ (((π‘ˆ β€œ (1...(𝑀 βˆ’ 1))) Γ— {1}) βˆͺ ((π‘ˆ β€œ (𝑀...𝑁)) Γ— {0})) Fn (1...𝑁))
134 ovexd 7440 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (π‘ˆ β€œ (𝑀...(𝑀 + 1)))) β†’ (1...𝑁) ∈ V)
135 inidm 4217 . . . . . . . . . 10 ((1...𝑁) ∩ (1...𝑁)) = (1...𝑁)
136 eqidd 2733 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (π‘ˆ β€œ (𝑀...(𝑀 + 1)))) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) β†’ (π‘‡β€˜π‘›) = (π‘‡β€˜π‘›))
137100adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (π‘ˆ β€œ (𝑀...(𝑀 + 1)))) β†’ ((π‘ˆ β€œ (1...(𝑀 βˆ’ 1))) ∩ (π‘ˆ β€œ (𝑀...𝑁))) = βˆ…)
138 fzss2 13537 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑀 + 1)) β†’ (𝑀...(𝑀 + 1)) βŠ† (𝑀...𝑁))
139 imass2 6098 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑀...(𝑀 + 1)) βŠ† (𝑀...𝑁) β†’ (π‘ˆ β€œ (𝑀...(𝑀 + 1))) βŠ† (π‘ˆ β€œ (𝑀...𝑁)))
140117, 138, 1393syl 18 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (π‘ˆ β€œ (𝑀...(𝑀 + 1))) βŠ† (π‘ˆ β€œ (𝑀...𝑁)))
141140sselda 3981 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (π‘ˆ β€œ (𝑀...(𝑀 + 1)))) β†’ 𝑛 ∈ (π‘ˆ β€œ (𝑀...𝑁)))
142 fvun2 6980 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((π‘ˆ β€œ (1...(𝑀 βˆ’ 1))) Γ— {1}) Fn (π‘ˆ β€œ (1...(𝑀 βˆ’ 1))) ∧ ((π‘ˆ β€œ (𝑀...𝑁)) Γ— {0}) Fn (π‘ˆ β€œ (𝑀...𝑁)) ∧ (((π‘ˆ β€œ (1...(𝑀 βˆ’ 1))) ∩ (π‘ˆ β€œ (𝑀...𝑁))) = βˆ… ∧ 𝑛 ∈ (π‘ˆ β€œ (𝑀...𝑁)))) β†’ ((((π‘ˆ β€œ (1...(𝑀 βˆ’ 1))) Γ— {1}) βˆͺ ((π‘ˆ β€œ (𝑀...𝑁)) Γ— {0}))β€˜π‘›) = (((π‘ˆ β€œ (𝑀...𝑁)) Γ— {0})β€˜π‘›))
14386, 89, 142mp3an12 1451 . . . . . . . . . . . . 13 ((((π‘ˆ β€œ (1...(𝑀 βˆ’ 1))) ∩ (π‘ˆ β€œ (𝑀...𝑁))) = βˆ… ∧ 𝑛 ∈ (π‘ˆ β€œ (𝑀...𝑁))) β†’ ((((π‘ˆ β€œ (1...(𝑀 βˆ’ 1))) Γ— {1}) βˆͺ ((π‘ˆ β€œ (𝑀...𝑁)) Γ— {0}))β€˜π‘›) = (((π‘ˆ β€œ (𝑀...𝑁)) Γ— {0})β€˜π‘›))
144137, 141, 143syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (π‘ˆ β€œ (𝑀...(𝑀 + 1)))) β†’ ((((π‘ˆ β€œ (1...(𝑀 βˆ’ 1))) Γ— {1}) βˆͺ ((π‘ˆ β€œ (𝑀...𝑁)) Γ— {0}))β€˜π‘›) = (((π‘ˆ β€œ (𝑀...𝑁)) Γ— {0})β€˜π‘›))
14587fvconst2 7201 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ (π‘ˆ β€œ (𝑀...𝑁)) β†’ (((π‘ˆ β€œ (𝑀...𝑁)) Γ— {0})β€˜π‘›) = 0)
146141, 145syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (π‘ˆ β€œ (𝑀...(𝑀 + 1)))) β†’ (((π‘ˆ β€œ (𝑀...𝑁)) Γ— {0})β€˜π‘›) = 0)
147144, 146eqtrd 2772 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (π‘ˆ β€œ (𝑀...(𝑀 + 1)))) β†’ ((((π‘ˆ β€œ (1...(𝑀 βˆ’ 1))) Γ— {1}) βˆͺ ((π‘ˆ β€œ (𝑀...𝑁)) Γ— {0}))β€˜π‘›) = 0)
148147adantr 481 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (π‘ˆ β€œ (𝑀...(𝑀 + 1)))) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) β†’ ((((π‘ˆ β€œ (1...(𝑀 βˆ’ 1))) Γ— {1}) βˆͺ ((π‘ˆ β€œ (𝑀...𝑁)) Γ— {0}))β€˜π‘›) = 0)
14983, 133, 134, 134, 135, 136, 148ofval 7677 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (π‘ˆ β€œ (𝑀...(𝑀 + 1)))) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) β†’ ((𝑇 ∘f + (((π‘ˆ β€œ (1...(𝑀 βˆ’ 1))) Γ— {1}) βˆͺ ((π‘ˆ β€œ (𝑀...𝑁)) Γ— {0})))β€˜π‘›) = ((π‘‡β€˜π‘›) + 0))
15028, 149mpdan 685 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (π‘ˆ β€œ (𝑀...(𝑀 + 1)))) β†’ ((𝑇 ∘f + (((π‘ˆ β€œ (1...(𝑀 βˆ’ 1))) Γ— {1}) βˆͺ ((π‘ˆ β€œ (𝑀...𝑁)) Γ— {0})))β€˜π‘›) = ((π‘‡β€˜π‘›) + 0))
15130zcnd 12663 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) β†’ (π‘‡β€˜π‘›) ∈ β„‚)
152151addridd 11410 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) β†’ ((π‘‡β€˜π‘›) + 0) = (π‘‡β€˜π‘›))
15328, 152syldan 591 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (π‘ˆ β€œ (𝑀...(𝑀 + 1)))) β†’ ((π‘‡β€˜π‘›) + 0) = (π‘‡β€˜π‘›))
15481, 150, 1533eqtrd 2776 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (π‘ˆ β€œ (𝑀...(𝑀 + 1)))) β†’ ((πΉβ€˜(𝑀 βˆ’ 1))β€˜π‘›) = (π‘‡β€˜π‘›))
155 breq1 5150 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 = 𝑀 β†’ (𝑦 < 𝑀 ↔ 𝑀 < 𝑀))
156 oveq1 7412 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 = 𝑀 β†’ (𝑦 + 1) = (𝑀 + 1))
157155, 156ifbieq2d 4553 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = 𝑀 β†’ if(𝑦 < 𝑀, 𝑦, (𝑦 + 1)) = if(𝑀 < 𝑀, 𝑦, (𝑀 + 1)))
15841ltnrd 11344 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ Β¬ 𝑀 < 𝑀)
159158iffalsed 4538 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ if(𝑀 < 𝑀, 𝑦, (𝑀 + 1)) = (𝑀 + 1))
160157, 159sylan9eqr 2794 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑦 = 𝑀) β†’ if(𝑦 < 𝑀, 𝑦, (𝑦 + 1)) = (𝑀 + 1))
161160csbeq1d 3896 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑦 = 𝑀) β†’ ⦋if(𝑦 < 𝑀, 𝑦, (𝑦 + 1)) / π‘—β¦Œ(𝑇 ∘f + (((π‘ˆ β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ ((π‘ˆ β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))) = ⦋(𝑀 + 1) / π‘—β¦Œ(𝑇 ∘f + (((π‘ˆ β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ ((π‘ˆ β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))))
162 ovex 7438 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 + 1) ∈ V
163 oveq2 7413 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑗 = (𝑀 + 1) β†’ (1...𝑗) = (1...(𝑀 + 1)))
164163imaeq2d 6057 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑗 = (𝑀 + 1) β†’ (π‘ˆ β€œ (1...𝑗)) = (π‘ˆ β€œ (1...(𝑀 + 1))))
165164xpeq1d 5704 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑗 = (𝑀 + 1) β†’ ((π‘ˆ β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) = ((π‘ˆ β€œ (1...(𝑀 + 1))) Γ— {1}))
166 oveq1 7412 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑗 = (𝑀 + 1) β†’ (𝑗 + 1) = ((𝑀 + 1) + 1))
167166oveq1d 7420 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑗 = (𝑀 + 1) β†’ ((𝑗 + 1)...𝑁) = (((𝑀 + 1) + 1)...𝑁))
168167imaeq2d 6057 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑗 = (𝑀 + 1) β†’ (π‘ˆ β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) = (π‘ˆ β€œ (((𝑀 + 1) + 1)...𝑁)))
169168xpeq1d 5704 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑗 = (𝑀 + 1) β†’ ((π‘ˆ β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}) = ((π‘ˆ β€œ (((𝑀 + 1) + 1)...𝑁)) Γ— {0}))
170165, 169uneq12d 4163 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 = (𝑀 + 1) β†’ (((π‘ˆ β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ ((π‘ˆ β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0})) = (((π‘ˆ β€œ (1...(𝑀 + 1))) Γ— {1}) βˆͺ ((π‘ˆ β€œ (((𝑀 + 1) + 1)...𝑁)) Γ— {0})))
171170oveq2d 7421 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 = (𝑀 + 1) β†’ (𝑇 ∘f + (((π‘ˆ β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ ((π‘ˆ β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))) = (𝑇 ∘f + (((π‘ˆ β€œ (1...(𝑀 + 1))) Γ— {1}) βˆͺ ((π‘ˆ β€œ (((𝑀 + 1) + 1)...𝑁)) Γ— {0}))))
172162, 171csbie 3928 . . . . . . . . . . . 12 ⦋(𝑀 + 1) / π‘—β¦Œ(𝑇 ∘f + (((π‘ˆ β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ ((π‘ˆ β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))) = (𝑇 ∘f + (((π‘ˆ β€œ (1...(𝑀 + 1))) Γ— {1}) βˆͺ ((π‘ˆ β€œ (((𝑀 + 1) + 1)...𝑁)) Γ— {0})))
173161, 172eqtrdi 2788 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑦 = 𝑀) β†’ ⦋if(𝑦 < 𝑀, 𝑦, (𝑦 + 1)) / π‘—β¦Œ(𝑇 ∘f + (((π‘ˆ β€œ (1...𝑗)) Γ— {1}) βˆͺ ((π‘ˆ β€œ ((𝑗 + 1)...𝑁)) Γ— {0}))) = (𝑇 ∘f + (((π‘ˆ β€œ (1...(𝑀 + 1))) Γ— {1}) βˆͺ ((π‘ˆ β€œ (((𝑀 + 1) + 1)...𝑁)) Γ— {0}))))
174 fz1ssfz0 13593 . . . . . . . . . . . 12 (1...(𝑁 βˆ’ 1)) βŠ† (0...(𝑁 βˆ’ 1))
175174, 16sselid 3979 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ (0...(𝑁 βˆ’ 1)))
176 ovexd 7440 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝑇 ∘f + (((π‘ˆ β€œ (1...(𝑀 + 1))) Γ— {1}) βˆͺ ((π‘ˆ β€œ (((𝑀 + 1) + 1)...𝑁)) Γ— {0}))) ∈ V)
17735, 173, 175, 176fvmptd 7002 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π‘€) = (𝑇 ∘f + (((π‘ˆ β€œ (1...(𝑀 + 1))) Γ— {1}) βˆͺ ((π‘ˆ β€œ (((𝑀 + 1) + 1)...𝑁)) Γ— {0}))))
178177fveq1d 6890 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((πΉβ€˜π‘€)β€˜π‘›) = ((𝑇 ∘f + (((π‘ˆ β€œ (1...(𝑀 + 1))) Γ— {1}) βˆͺ ((π‘ˆ β€œ (((𝑀 + 1) + 1)...𝑁)) Γ— {0})))β€˜π‘›))
179178adantr 481 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (π‘ˆ β€œ (𝑀...(𝑀 + 1)))) β†’ ((πΉβ€˜π‘€)β€˜π‘›) = ((𝑇 ∘f + (((π‘ˆ β€œ (1...(𝑀 + 1))) Γ— {1}) βˆͺ ((π‘ˆ β€œ (((𝑀 + 1) + 1)...𝑁)) Γ— {0})))β€˜π‘›))
180 fnconstg 6776 . . . . . . . . . . . . . . 15 (1 ∈ V β†’ ((π‘ˆ β€œ (1...(𝑀 + 1))) Γ— {1}) Fn (π‘ˆ β€œ (1...(𝑀 + 1))))
18184, 180ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘ˆ β€œ (1...(𝑀 + 1))) Γ— {1}) Fn (π‘ˆ β€œ (1...(𝑀 + 1)))
182 fnconstg 6776 . . . . . . . . . . . . . . 15 (0 ∈ V β†’ ((π‘ˆ β€œ (((𝑀 + 1) + 1)...𝑁)) Γ— {0}) Fn (π‘ˆ β€œ (((𝑀 + 1) + 1)...𝑁)))
18387, 182ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘ˆ β€œ (((𝑀 + 1) + 1)...𝑁)) Γ— {0}) Fn (π‘ˆ β€œ (((𝑀 + 1) + 1)...𝑁))
184181, 183pm3.2i 471 . . . . . . . . . . . . 13 (((π‘ˆ β€œ (1...(𝑀 + 1))) Γ— {1}) Fn (π‘ˆ β€œ (1...(𝑀 + 1))) ∧ ((π‘ˆ β€œ (((𝑀 + 1) + 1)...𝑁)) Γ— {0}) Fn (π‘ˆ β€œ (((𝑀 + 1) + 1)...𝑁)))
185 imain 6630 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (Fun β—‘π‘ˆ β†’ (π‘ˆ β€œ ((1...(𝑀 + 1)) ∩ (((𝑀 + 1) + 1)...𝑁))) = ((π‘ˆ β€œ (1...(𝑀 + 1))) ∩ (π‘ˆ β€œ (((𝑀 + 1) + 1)...𝑁))))
1861, 92, 1853syl 18 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (π‘ˆ β€œ ((1...(𝑀 + 1)) ∩ (((𝑀 + 1) + 1)...𝑁))) = ((π‘ˆ β€œ (1...(𝑀 + 1))) ∩ (π‘ˆ β€œ (((𝑀 + 1) + 1)...𝑁))))
187 peano2re 11383 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑀 ∈ ℝ β†’ (𝑀 + 1) ∈ ℝ)
18841, 187syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ (𝑀 + 1) ∈ ℝ)
189188ltp1d 12140 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ (𝑀 + 1) < ((𝑀 + 1) + 1))
190 fzdisj 13524 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑀 + 1) < ((𝑀 + 1) + 1) β†’ ((1...(𝑀 + 1)) ∩ (((𝑀 + 1) + 1)...𝑁)) = βˆ…)
191189, 190syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ ((1...(𝑀 + 1)) ∩ (((𝑀 + 1) + 1)...𝑁)) = βˆ…)
192191imaeq2d 6057 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (π‘ˆ β€œ ((1...(𝑀 + 1)) ∩ (((𝑀 + 1) + 1)...𝑁))) = (π‘ˆ β€œ βˆ…))
193186, 192eqtr3d 2774 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ ((π‘ˆ β€œ (1...(𝑀 + 1))) ∩ (π‘ˆ β€œ (((𝑀 + 1) + 1)...𝑁))) = (π‘ˆ β€œ βˆ…))
194193, 98eqtrdi 2788 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ ((π‘ˆ β€œ (1...(𝑀 + 1))) ∩ (π‘ˆ β€œ (((𝑀 + 1) + 1)...𝑁))) = βˆ…)
195 fnun 6660 . . . . . . . . . . . . 13 (((((π‘ˆ β€œ (1...(𝑀 + 1))) Γ— {1}) Fn (π‘ˆ β€œ (1...(𝑀 + 1))) ∧ ((π‘ˆ β€œ (((𝑀 + 1) + 1)...𝑁)) Γ— {0}) Fn (π‘ˆ β€œ (((𝑀 + 1) + 1)...𝑁))) ∧ ((π‘ˆ β€œ (1...(𝑀 + 1))) ∩ (π‘ˆ β€œ (((𝑀 + 1) + 1)...𝑁))) = βˆ…) β†’ (((π‘ˆ β€œ (1...(𝑀 + 1))) Γ— {1}) βˆͺ ((π‘ˆ β€œ (((𝑀 + 1) + 1)...𝑁)) Γ— {0})) Fn ((π‘ˆ β€œ (1...(𝑀 + 1))) βˆͺ (π‘ˆ β€œ (((𝑀 + 1) + 1)...𝑁))))
196184, 194, 195sylancr 587 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (((π‘ˆ β€œ (1...(𝑀 + 1))) Γ— {1}) βˆͺ ((π‘ˆ β€œ (((𝑀 + 1) + 1)...𝑁)) Γ— {0})) Fn ((π‘ˆ β€œ (1...(𝑀 + 1))) βˆͺ (π‘ˆ β€œ (((𝑀 + 1) + 1)...𝑁))))
197 fzsplit 13523 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑀 + 1) ∈ (1...𝑁) β†’ (1...𝑁) = ((1...(𝑀 + 1)) βˆͺ (((𝑀 + 1) + 1)...𝑁)))
19822, 197syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ (1...𝑁) = ((1...(𝑀 + 1)) βˆͺ (((𝑀 + 1) + 1)...𝑁)))
199198imaeq2d 6057 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (π‘ˆ β€œ (1...𝑁)) = (π‘ˆ β€œ ((1...(𝑀 + 1)) βˆͺ (((𝑀 + 1) + 1)...𝑁))))
200 imaundi 6146 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘ˆ β€œ ((1...(𝑀 + 1)) βˆͺ (((𝑀 + 1) + 1)...𝑁))) = ((π‘ˆ β€œ (1...(𝑀 + 1))) βˆͺ (π‘ˆ β€œ (((𝑀 + 1) + 1)...𝑁)))
201199, 200eqtrdi 2788 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (π‘ˆ β€œ (1...𝑁)) = ((π‘ˆ β€œ (1...(𝑀 + 1))) βˆͺ (π‘ˆ β€œ (((𝑀 + 1) + 1)...𝑁))))
202201, 129eqtr3d 2774 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ ((π‘ˆ β€œ (1...(𝑀 + 1))) βˆͺ (π‘ˆ β€œ (((𝑀 + 1) + 1)...𝑁))) = (1...𝑁))
203202fneq2d 6640 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ ((((π‘ˆ β€œ (1...(𝑀 + 1))) Γ— {1}) βˆͺ ((π‘ˆ β€œ (((𝑀 + 1) + 1)...𝑁)) Γ— {0})) Fn ((π‘ˆ β€œ (1...(𝑀 + 1))) βˆͺ (π‘ˆ β€œ (((𝑀 + 1) + 1)...𝑁))) ↔ (((π‘ˆ β€œ (1...(𝑀 + 1))) Γ— {1}) βˆͺ ((π‘ˆ β€œ (((𝑀 + 1) + 1)...𝑁)) Γ— {0})) Fn (1...𝑁)))
204196, 203mpbid 231 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (((π‘ˆ β€œ (1...(𝑀 + 1))) Γ— {1}) βˆͺ ((π‘ˆ β€œ (((𝑀 + 1) + 1)...𝑁)) Γ— {0})) Fn (1...𝑁))
205204adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (π‘ˆ β€œ (𝑀...(𝑀 + 1)))) β†’ (((π‘ˆ β€œ (1...(𝑀 + 1))) Γ— {1}) βˆͺ ((π‘ˆ β€œ (((𝑀 + 1) + 1)...𝑁)) Γ— {0})) Fn (1...𝑁))
206194adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (π‘ˆ β€œ (𝑀...(𝑀 + 1)))) β†’ ((π‘ˆ β€œ (1...(𝑀 + 1))) ∩ (π‘ˆ β€œ (((𝑀 + 1) + 1)...𝑁))) = βˆ…)
207 fzss1 13536 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑀 ∈ (β„€β‰₯β€˜1) β†’ (𝑀...(𝑀 + 1)) βŠ† (1...(𝑀 + 1)))
208 imass2 6098 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑀...(𝑀 + 1)) βŠ† (1...(𝑀 + 1)) β†’ (π‘ˆ β€œ (𝑀...(𝑀 + 1))) βŠ† (π‘ˆ β€œ (1...(𝑀 + 1))))
209104, 207, 2083syl 18 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (π‘ˆ β€œ (𝑀...(𝑀 + 1))) βŠ† (π‘ˆ β€œ (1...(𝑀 + 1))))
210209sselda 3981 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (π‘ˆ β€œ (𝑀...(𝑀 + 1)))) β†’ 𝑛 ∈ (π‘ˆ β€œ (1...(𝑀 + 1))))
211 fvun1 6979 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((π‘ˆ β€œ (1...(𝑀 + 1))) Γ— {1}) Fn (π‘ˆ β€œ (1...(𝑀 + 1))) ∧ ((π‘ˆ β€œ (((𝑀 + 1) + 1)...𝑁)) Γ— {0}) Fn (π‘ˆ β€œ (((𝑀 + 1) + 1)...𝑁)) ∧ (((π‘ˆ β€œ (1...(𝑀 + 1))) ∩ (π‘ˆ β€œ (((𝑀 + 1) + 1)...𝑁))) = βˆ… ∧ 𝑛 ∈ (π‘ˆ β€œ (1...(𝑀 + 1))))) β†’ ((((π‘ˆ β€œ (1...(𝑀 + 1))) Γ— {1}) βˆͺ ((π‘ˆ β€œ (((𝑀 + 1) + 1)...𝑁)) Γ— {0}))β€˜π‘›) = (((π‘ˆ β€œ (1...(𝑀 + 1))) Γ— {1})β€˜π‘›))
212181, 183, 211mp3an12 1451 . . . . . . . . . . . . 13 ((((π‘ˆ β€œ (1...(𝑀 + 1))) ∩ (π‘ˆ β€œ (((𝑀 + 1) + 1)...𝑁))) = βˆ… ∧ 𝑛 ∈ (π‘ˆ β€œ (1...(𝑀 + 1)))) β†’ ((((π‘ˆ β€œ (1...(𝑀 + 1))) Γ— {1}) βˆͺ ((π‘ˆ β€œ (((𝑀 + 1) + 1)...𝑁)) Γ— {0}))β€˜π‘›) = (((π‘ˆ β€œ (1...(𝑀 + 1))) Γ— {1})β€˜π‘›))
213206, 210, 212syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (π‘ˆ β€œ (𝑀...(𝑀 + 1)))) β†’ ((((π‘ˆ β€œ (1...(𝑀 + 1))) Γ— {1}) βˆͺ ((π‘ˆ β€œ (((𝑀 + 1) + 1)...𝑁)) Γ— {0}))β€˜π‘›) = (((π‘ˆ β€œ (1...(𝑀 + 1))) Γ— {1})β€˜π‘›))
21484fvconst2 7201 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ (π‘ˆ β€œ (1...(𝑀 + 1))) β†’ (((π‘ˆ β€œ (1...(𝑀 + 1))) Γ— {1})β€˜π‘›) = 1)
215210, 214syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (π‘ˆ β€œ (𝑀...(𝑀 + 1)))) β†’ (((π‘ˆ β€œ (1...(𝑀 + 1))) Γ— {1})β€˜π‘›) = 1)
216213, 215eqtrd 2772 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (π‘ˆ β€œ (𝑀...(𝑀 + 1)))) β†’ ((((π‘ˆ β€œ (1...(𝑀 + 1))) Γ— {1}) βˆͺ ((π‘ˆ β€œ (((𝑀 + 1) + 1)...𝑁)) Γ— {0}))β€˜π‘›) = 1)
217216adantr 481 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (π‘ˆ β€œ (𝑀...(𝑀 + 1)))) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) β†’ ((((π‘ˆ β€œ (1...(𝑀 + 1))) Γ— {1}) βˆͺ ((π‘ˆ β€œ (((𝑀 + 1) + 1)...𝑁)) Γ— {0}))β€˜π‘›) = 1)
21883, 205, 134, 134, 135, 136, 217ofval 7677 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (π‘ˆ β€œ (𝑀...(𝑀 + 1)))) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) β†’ ((𝑇 ∘f + (((π‘ˆ β€œ (1...(𝑀 + 1))) Γ— {1}) βˆͺ ((π‘ˆ β€œ (((𝑀 + 1) + 1)...𝑁)) Γ— {0})))β€˜π‘›) = ((π‘‡β€˜π‘›) + 1))
21928, 218mpdan 685 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (π‘ˆ β€œ (𝑀...(𝑀 + 1)))) β†’ ((𝑇 ∘f + (((π‘ˆ β€œ (1...(𝑀 + 1))) Γ— {1}) βˆͺ ((π‘ˆ β€œ (((𝑀 + 1) + 1)...𝑁)) Γ— {0})))β€˜π‘›) = ((π‘‡β€˜π‘›) + 1))
220179, 219eqtrd 2772 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (π‘ˆ β€œ (𝑀...(𝑀 + 1)))) β†’ ((πΉβ€˜π‘€)β€˜π‘›) = ((π‘‡β€˜π‘›) + 1))
22134, 154, 2203netr4d 3018 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (π‘ˆ β€œ (𝑀...(𝑀 + 1)))) β†’ ((πΉβ€˜(𝑀 βˆ’ 1))β€˜π‘›) β‰  ((πΉβ€˜π‘€)β€˜π‘›))
222221ralrimiva 3146 . . . . 5 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘› ∈ (π‘ˆ β€œ (𝑀...(𝑀 + 1)))((πΉβ€˜(𝑀 βˆ’ 1))β€˜π‘›) β‰  ((πΉβ€˜π‘€)β€˜π‘›))
223 fzpr 13552 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ β„€ β†’ (𝑀...(𝑀 + 1)) = {𝑀, (𝑀 + 1)})
22416, 39, 2233syl 18 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝑀...(𝑀 + 1)) = {𝑀, (𝑀 + 1)})
225224imaeq2d 6057 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘ˆ β€œ (𝑀...(𝑀 + 1))) = (π‘ˆ β€œ {𝑀, (𝑀 + 1)}))
226 f1ofn 6831 . . . . . . . . 9 (π‘ˆ:(1...𝑁)–1-1-ontoβ†’(1...𝑁) β†’ π‘ˆ Fn (1...𝑁))
2271, 226syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ π‘ˆ Fn (1...𝑁))
228 fnimapr 6972 . . . . . . . 8 ((π‘ˆ Fn (1...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝑀 + 1) ∈ (1...𝑁)) β†’ (π‘ˆ β€œ {𝑀, (𝑀 + 1)}) = {(π‘ˆβ€˜π‘€), (π‘ˆβ€˜(𝑀 + 1))})
229227, 17, 22, 228syl3anc 1371 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘ˆ β€œ {𝑀, (𝑀 + 1)}) = {(π‘ˆβ€˜π‘€), (π‘ˆβ€˜(𝑀 + 1))})
230225, 229eqtrd 2772 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘ˆ β€œ (𝑀...(𝑀 + 1))) = {(π‘ˆβ€˜π‘€), (π‘ˆβ€˜(𝑀 + 1))})
231230raleqdv 3325 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘› ∈ (π‘ˆ β€œ (𝑀...(𝑀 + 1)))((πΉβ€˜(𝑀 βˆ’ 1))β€˜π‘›) β‰  ((πΉβ€˜π‘€)β€˜π‘›) ↔ βˆ€π‘› ∈ {(π‘ˆβ€˜π‘€), (π‘ˆβ€˜(𝑀 + 1))} ((πΉβ€˜(𝑀 βˆ’ 1))β€˜π‘›) β‰  ((πΉβ€˜π‘€)β€˜π‘›)))
232222, 231mpbid 231 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘› ∈ {(π‘ˆβ€˜π‘€), (π‘ˆβ€˜(𝑀 + 1))} ((πΉβ€˜(𝑀 βˆ’ 1))β€˜π‘›) β‰  ((πΉβ€˜π‘€)β€˜π‘›))
233 fvex 6901 . . . . 5 (π‘ˆβ€˜π‘€) ∈ V
234 fvex 6901 . . . . 5 (π‘ˆβ€˜(𝑀 + 1)) ∈ V
235 fveq2 6888 . . . . . 6 (𝑛 = (π‘ˆβ€˜π‘€) β†’ ((πΉβ€˜(𝑀 βˆ’ 1))β€˜π‘›) = ((πΉβ€˜(𝑀 βˆ’ 1))β€˜(π‘ˆβ€˜π‘€)))
236 fveq2 6888 . . . . . 6 (𝑛 = (π‘ˆβ€˜π‘€) β†’ ((πΉβ€˜π‘€)β€˜π‘›) = ((πΉβ€˜π‘€)β€˜(π‘ˆβ€˜π‘€)))
237235, 236neeq12d 3002 . . . . 5 (𝑛 = (π‘ˆβ€˜π‘€) β†’ (((πΉβ€˜(𝑀 βˆ’ 1))β€˜π‘›) β‰  ((πΉβ€˜π‘€)β€˜π‘›) ↔ ((πΉβ€˜(𝑀 βˆ’ 1))β€˜(π‘ˆβ€˜π‘€)) β‰  ((πΉβ€˜π‘€)β€˜(π‘ˆβ€˜π‘€))))
238 fveq2 6888 . . . . . 6 (𝑛 = (π‘ˆβ€˜(𝑀 + 1)) β†’ ((πΉβ€˜(𝑀 βˆ’ 1))β€˜π‘›) = ((πΉβ€˜(𝑀 βˆ’ 1))β€˜(π‘ˆβ€˜(𝑀 + 1))))
239 fveq2 6888 . . . . . 6 (𝑛 = (π‘ˆβ€˜(𝑀 + 1)) β†’ ((πΉβ€˜π‘€)β€˜π‘›) = ((πΉβ€˜π‘€)β€˜(π‘ˆβ€˜(𝑀 + 1))))
240238, 239neeq12d 3002 . . . . 5 (𝑛 = (π‘ˆβ€˜(𝑀 + 1)) β†’ (((πΉβ€˜(𝑀 βˆ’ 1))β€˜π‘›) β‰  ((πΉβ€˜π‘€)β€˜π‘›) ↔ ((πΉβ€˜(𝑀 βˆ’ 1))β€˜(π‘ˆβ€˜(𝑀 + 1))) β‰  ((πΉβ€˜π‘€)β€˜(π‘ˆβ€˜(𝑀 + 1)))))
241233, 234, 237, 240ralpr 4703 . . . 4 (βˆ€π‘› ∈ {(π‘ˆβ€˜π‘€), (π‘ˆβ€˜(𝑀 + 1))} ((πΉβ€˜(𝑀 βˆ’ 1))β€˜π‘›) β‰  ((πΉβ€˜π‘€)β€˜π‘›) ↔ (((πΉβ€˜(𝑀 βˆ’ 1))β€˜(π‘ˆβ€˜π‘€)) β‰  ((πΉβ€˜π‘€)β€˜(π‘ˆβ€˜π‘€)) ∧ ((πΉβ€˜(𝑀 βˆ’ 1))β€˜(π‘ˆβ€˜(𝑀 + 1))) β‰  ((πΉβ€˜π‘€)β€˜(π‘ˆβ€˜(𝑀 + 1)))))
242232, 241sylib 217 . . 3 (πœ‘ β†’ (((πΉβ€˜(𝑀 βˆ’ 1))β€˜(π‘ˆβ€˜π‘€)) β‰  ((πΉβ€˜π‘€)β€˜(π‘ˆβ€˜π‘€)) ∧ ((πΉβ€˜(𝑀 βˆ’ 1))β€˜(π‘ˆβ€˜(𝑀 + 1))) β‰  ((πΉβ€˜π‘€)β€˜(π‘ˆβ€˜(𝑀 + 1)))))
24341ltp1d 12140 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑀 < (𝑀 + 1))
24441, 243ltned 11346 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑀 β‰  (𝑀 + 1))
245 f1of1 6829 . . . . . . 7 (π‘ˆ:(1...𝑁)–1-1-ontoβ†’(1...𝑁) β†’ π‘ˆ:(1...𝑁)–1-1β†’(1...𝑁))
2461, 245syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ π‘ˆ:(1...𝑁)–1-1β†’(1...𝑁))
247 f1veqaeq 7252 . . . . . 6 ((π‘ˆ:(1...𝑁)–1-1β†’(1...𝑁) ∧ (𝑀 ∈ (1...𝑁) ∧ (𝑀 + 1) ∈ (1...𝑁))) β†’ ((π‘ˆβ€˜π‘€) = (π‘ˆβ€˜(𝑀 + 1)) β†’ 𝑀 = (𝑀 + 1)))
248246, 17, 22, 247syl12anc 835 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((π‘ˆβ€˜π‘€) = (π‘ˆβ€˜(𝑀 + 1)) β†’ 𝑀 = (𝑀 + 1)))
249248necon3d 2961 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑀 β‰  (𝑀 + 1) β†’ (π‘ˆβ€˜π‘€) β‰  (π‘ˆβ€˜(𝑀 + 1))))
250244, 249mpd 15 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘ˆβ€˜π‘€) β‰  (π‘ˆβ€˜(𝑀 + 1)))
251237anbi1d 630 . . . . 5 (𝑛 = (π‘ˆβ€˜π‘€) β†’ ((((πΉβ€˜(𝑀 βˆ’ 1))β€˜π‘›) β‰  ((πΉβ€˜π‘€)β€˜π‘›) ∧ ((πΉβ€˜(𝑀 βˆ’ 1))β€˜π‘š) β‰  ((πΉβ€˜π‘€)β€˜π‘š)) ↔ (((πΉβ€˜(𝑀 βˆ’ 1))β€˜(π‘ˆβ€˜π‘€)) β‰  ((πΉβ€˜π‘€)β€˜(π‘ˆβ€˜π‘€)) ∧ ((πΉβ€˜(𝑀 βˆ’ 1))β€˜π‘š) β‰  ((πΉβ€˜π‘€)β€˜π‘š))))
252 neeq1 3003 . . . . 5 (𝑛 = (π‘ˆβ€˜π‘€) β†’ (𝑛 β‰  π‘š ↔ (π‘ˆβ€˜π‘€) β‰  π‘š))
253251, 252anbi12d 631 . . . 4 (𝑛 = (π‘ˆβ€˜π‘€) β†’ (((((πΉβ€˜(𝑀 βˆ’ 1))β€˜π‘›) β‰  ((πΉβ€˜π‘€)β€˜π‘›) ∧ ((πΉβ€˜(𝑀 βˆ’ 1))β€˜π‘š) β‰  ((πΉβ€˜π‘€)β€˜π‘š)) ∧ 𝑛 β‰  π‘š) ↔ ((((πΉβ€˜(𝑀 βˆ’ 1))β€˜(π‘ˆβ€˜π‘€)) β‰  ((πΉβ€˜π‘€)β€˜(π‘ˆβ€˜π‘€)) ∧ ((πΉβ€˜(𝑀 βˆ’ 1))β€˜π‘š) β‰  ((πΉβ€˜π‘€)β€˜π‘š)) ∧ (π‘ˆβ€˜π‘€) β‰  π‘š)))
254 fveq2 6888 . . . . . . 7 (π‘š = (π‘ˆβ€˜(𝑀 + 1)) β†’ ((πΉβ€˜(𝑀 βˆ’ 1))β€˜π‘š) = ((πΉβ€˜(𝑀 βˆ’ 1))β€˜(π‘ˆβ€˜(𝑀 + 1))))
255 fveq2 6888 . . . . . . 7 (π‘š = (π‘ˆβ€˜(𝑀 + 1)) β†’ ((πΉβ€˜π‘€)β€˜π‘š) = ((πΉβ€˜π‘€)β€˜(π‘ˆβ€˜(𝑀 + 1))))
256254, 255neeq12d 3002 . . . . . 6 (π‘š = (π‘ˆβ€˜(𝑀 + 1)) β†’ (((πΉβ€˜(𝑀 βˆ’ 1))β€˜π‘š) β‰  ((πΉβ€˜π‘€)β€˜π‘š) ↔ ((πΉβ€˜(𝑀 βˆ’ 1))β€˜(π‘ˆβ€˜(𝑀 + 1))) β‰  ((πΉβ€˜π‘€)β€˜(π‘ˆβ€˜(𝑀 + 1)))))
257256anbi2d 629 . . . . 5 (π‘š = (π‘ˆβ€˜(𝑀 + 1)) β†’ ((((πΉβ€˜(𝑀 βˆ’ 1))β€˜(π‘ˆβ€˜π‘€)) β‰  ((πΉβ€˜π‘€)β€˜(π‘ˆβ€˜π‘€)) ∧ ((πΉβ€˜(𝑀 βˆ’ 1))β€˜π‘š) β‰  ((πΉβ€˜π‘€)β€˜π‘š)) ↔ (((πΉβ€˜(𝑀 βˆ’ 1))β€˜(π‘ˆβ€˜π‘€)) β‰  ((πΉβ€˜π‘€)β€˜(π‘ˆβ€˜π‘€)) ∧ ((πΉβ€˜(𝑀 βˆ’ 1))β€˜(π‘ˆβ€˜(𝑀 + 1))) β‰  ((πΉβ€˜π‘€)β€˜(π‘ˆβ€˜(𝑀 + 1))))))
258 neeq2 3004 . . . . 5 (π‘š = (π‘ˆβ€˜(𝑀 + 1)) β†’ ((π‘ˆβ€˜π‘€) β‰  π‘š ↔ (π‘ˆβ€˜π‘€) β‰  (π‘ˆβ€˜(𝑀 + 1))))
259257, 258anbi12d 631 . . . 4 (π‘š = (π‘ˆβ€˜(𝑀 + 1)) β†’ (((((πΉβ€˜(𝑀 βˆ’ 1))β€˜(π‘ˆβ€˜π‘€)) β‰  ((πΉβ€˜π‘€)β€˜(π‘ˆβ€˜π‘€)) ∧ ((πΉβ€˜(𝑀 βˆ’ 1))β€˜π‘š) β‰  ((πΉβ€˜π‘€)β€˜π‘š)) ∧ (π‘ˆβ€˜π‘€) β‰  π‘š) ↔ ((((πΉβ€˜(𝑀 βˆ’ 1))β€˜(π‘ˆβ€˜π‘€)) β‰  ((πΉβ€˜π‘€)β€˜(π‘ˆβ€˜π‘€)) ∧ ((πΉβ€˜(𝑀 βˆ’ 1))β€˜(π‘ˆβ€˜(𝑀 + 1))) β‰  ((πΉβ€˜π‘€)β€˜(π‘ˆβ€˜(𝑀 + 1)))) ∧ (π‘ˆβ€˜π‘€) β‰  (π‘ˆβ€˜(𝑀 + 1)))))
260253, 259rspc2ev 3623 . . 3 (((π‘ˆβ€˜π‘€) ∈ (1...𝑁) ∧ (π‘ˆβ€˜(𝑀 + 1)) ∈ (1...𝑁) ∧ ((((πΉβ€˜(𝑀 βˆ’ 1))β€˜(π‘ˆβ€˜π‘€)) β‰  ((πΉβ€˜π‘€)β€˜(π‘ˆβ€˜π‘€)) ∧ ((πΉβ€˜(𝑀 βˆ’ 1))β€˜(π‘ˆβ€˜(𝑀 + 1))) β‰  ((πΉβ€˜π‘€)β€˜(π‘ˆβ€˜(𝑀 + 1)))) ∧ (π‘ˆβ€˜π‘€) β‰  (π‘ˆβ€˜(𝑀 + 1)))) β†’ βˆƒπ‘› ∈ (1...𝑁)βˆƒπ‘š ∈ (1...𝑁)((((πΉβ€˜(𝑀 βˆ’ 1))β€˜π‘›) β‰  ((πΉβ€˜π‘€)β€˜π‘›) ∧ ((πΉβ€˜(𝑀 βˆ’ 1))β€˜π‘š) β‰  ((πΉβ€˜π‘€)β€˜π‘š)) ∧ 𝑛 β‰  π‘š))
26118, 23, 242, 250, 260syl112anc 1374 . 2 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘› ∈ (1...𝑁)βˆƒπ‘š ∈ (1...𝑁)((((πΉβ€˜(𝑀 βˆ’ 1))β€˜π‘›) β‰  ((πΉβ€˜π‘€)β€˜π‘›) ∧ ((πΉβ€˜(𝑀 βˆ’ 1))β€˜π‘š) β‰  ((πΉβ€˜π‘€)β€˜π‘š)) ∧ 𝑛 β‰  π‘š))
262 dfrex2 3073 . . 3 (βˆƒπ‘› ∈ (1...𝑁)βˆƒπ‘š ∈ (1...𝑁)((((πΉβ€˜(𝑀 βˆ’ 1))β€˜π‘›) β‰  ((πΉβ€˜π‘€)β€˜π‘›) ∧ ((πΉβ€˜(𝑀 βˆ’ 1))β€˜π‘š) β‰  ((πΉβ€˜π‘€)β€˜π‘š)) ∧ 𝑛 β‰  π‘š) ↔ Β¬ βˆ€π‘› ∈ (1...𝑁) Β¬ βˆƒπ‘š ∈ (1...𝑁)((((πΉβ€˜(𝑀 βˆ’ 1))β€˜π‘›) β‰  ((πΉβ€˜π‘€)β€˜π‘›) ∧ ((πΉβ€˜(𝑀 βˆ’ 1))β€˜π‘š) β‰  ((πΉβ€˜π‘€)β€˜π‘š)) ∧ 𝑛 β‰  π‘š))
263 fveq2 6888 . . . . . 6 (𝑛 = π‘š β†’ ((πΉβ€˜(𝑀 βˆ’ 1))β€˜π‘›) = ((πΉβ€˜(𝑀 βˆ’ 1))β€˜π‘š))
264 fveq2 6888 . . . . . 6 (𝑛 = π‘š β†’ ((πΉβ€˜π‘€)β€˜π‘›) = ((πΉβ€˜π‘€)β€˜π‘š))
265263, 264neeq12d 3002 . . . . 5 (𝑛 = π‘š β†’ (((πΉβ€˜(𝑀 βˆ’ 1))β€˜π‘›) β‰  ((πΉβ€˜π‘€)β€˜π‘›) ↔ ((πΉβ€˜(𝑀 βˆ’ 1))β€˜π‘š) β‰  ((πΉβ€˜π‘€)β€˜π‘š)))
266265rmo4 3725 . . . 4 (βˆƒ*𝑛 ∈ (1...𝑁)((πΉβ€˜(𝑀 βˆ’ 1))β€˜π‘›) β‰  ((πΉβ€˜π‘€)β€˜π‘›) ↔ βˆ€π‘› ∈ (1...𝑁)βˆ€π‘š ∈ (1...𝑁)((((πΉβ€˜(𝑀 βˆ’ 1))β€˜π‘›) β‰  ((πΉβ€˜π‘€)β€˜π‘›) ∧ ((πΉβ€˜(𝑀 βˆ’ 1))β€˜π‘š) β‰  ((πΉβ€˜π‘€)β€˜π‘š)) β†’ 𝑛 = π‘š))
267 dfral2 3099 . . . . . 6 (βˆ€π‘š ∈ (1...𝑁)((((πΉβ€˜(𝑀 βˆ’ 1))β€˜π‘›) β‰  ((πΉβ€˜π‘€)β€˜π‘›) ∧ ((πΉβ€˜(𝑀 βˆ’ 1))β€˜π‘š) β‰  ((πΉβ€˜π‘€)β€˜π‘š)) β†’ 𝑛 = π‘š) ↔ Β¬ βˆƒπ‘š ∈ (1...𝑁) Β¬ ((((πΉβ€˜(𝑀 βˆ’ 1))β€˜π‘›) β‰  ((πΉβ€˜π‘€)β€˜π‘›) ∧ ((πΉβ€˜(𝑀 βˆ’ 1))β€˜π‘š) β‰  ((πΉβ€˜π‘€)β€˜π‘š)) β†’ 𝑛 = π‘š))
268 df-ne 2941 . . . . . . . . 9 (𝑛 β‰  π‘š ↔ Β¬ 𝑛 = π‘š)
269268anbi2i 623 . . . . . . . 8 (((((πΉβ€˜(𝑀 βˆ’ 1))β€˜π‘›) β‰  ((πΉβ€˜π‘€)β€˜π‘›) ∧ ((πΉβ€˜(𝑀 βˆ’ 1))β€˜π‘š) β‰  ((πΉβ€˜π‘€)β€˜π‘š)) ∧ 𝑛 β‰  π‘š) ↔ ((((πΉβ€˜(𝑀 βˆ’ 1))β€˜π‘›) β‰  ((πΉβ€˜π‘€)β€˜π‘›) ∧ ((πΉβ€˜(𝑀 βˆ’ 1))β€˜π‘š) β‰  ((πΉβ€˜π‘€)β€˜π‘š)) ∧ Β¬ 𝑛 = π‘š))
270 annim 404 . . . . . . . 8 (((((πΉβ€˜(𝑀 βˆ’ 1))β€˜π‘›) β‰  ((πΉβ€˜π‘€)β€˜π‘›) ∧ ((πΉβ€˜(𝑀 βˆ’ 1))β€˜π‘š) β‰  ((πΉβ€˜π‘€)β€˜π‘š)) ∧ Β¬ 𝑛 = π‘š) ↔ Β¬ ((((πΉβ€˜(𝑀 βˆ’ 1))β€˜π‘›) β‰  ((πΉβ€˜π‘€)β€˜π‘›) ∧ ((πΉβ€˜(𝑀 βˆ’ 1))β€˜π‘š) β‰  ((πΉβ€˜π‘€)β€˜π‘š)) β†’ 𝑛 = π‘š))
271269, 270bitri 274 . . . . . . 7 (((((πΉβ€˜(𝑀 βˆ’ 1))β€˜π‘›) β‰  ((πΉβ€˜π‘€)β€˜π‘›) ∧ ((πΉβ€˜(𝑀 βˆ’ 1))β€˜π‘š) β‰  ((πΉβ€˜π‘€)β€˜π‘š)) ∧ 𝑛 β‰  π‘š) ↔ Β¬ ((((πΉβ€˜(𝑀 βˆ’ 1))β€˜π‘›) β‰  ((πΉβ€˜π‘€)β€˜π‘›) ∧ ((πΉβ€˜(𝑀 βˆ’ 1))β€˜π‘š) β‰  ((πΉβ€˜π‘€)β€˜π‘š)) β†’ 𝑛 = π‘š))
272271rexbii 3094 . . . . . 6 (βˆƒπ‘š ∈ (1...𝑁)((((πΉβ€˜(𝑀 βˆ’ 1))β€˜π‘›) β‰  ((πΉβ€˜π‘€)β€˜π‘›) ∧ ((πΉβ€˜(𝑀 βˆ’ 1))β€˜π‘š) β‰  ((πΉβ€˜π‘€)β€˜π‘š)) ∧ 𝑛 β‰  π‘š) ↔ βˆƒπ‘š ∈ (1...𝑁) Β¬ ((((πΉβ€˜(𝑀 βˆ’ 1))β€˜π‘›) β‰  ((πΉβ€˜π‘€)β€˜π‘›) ∧ ((πΉβ€˜(𝑀 βˆ’ 1))β€˜π‘š) β‰  ((πΉβ€˜π‘€)β€˜π‘š)) β†’ 𝑛 = π‘š))
273267, 272xchbinxr 334 . . . . 5 (βˆ€π‘š ∈ (1...𝑁)((((πΉβ€˜(𝑀 βˆ’ 1))β€˜π‘›) β‰  ((πΉβ€˜π‘€)β€˜π‘›) ∧ ((πΉβ€˜(𝑀 βˆ’ 1))β€˜π‘š) β‰  ((πΉβ€˜π‘€)β€˜π‘š)) β†’ 𝑛 = π‘š) ↔ Β¬ βˆƒπ‘š ∈ (1...𝑁)((((πΉβ€˜(𝑀 βˆ’ 1))β€˜π‘›) β‰  ((πΉβ€˜π‘€)β€˜π‘›) ∧ ((πΉβ€˜(𝑀 βˆ’ 1))β€˜π‘š) β‰  ((πΉβ€˜π‘€)β€˜π‘š)) ∧ 𝑛 β‰  π‘š))
274273ralbii 3093 . . . 4 (βˆ€π‘› ∈ (1...𝑁)βˆ€π‘š ∈ (1...𝑁)((((πΉβ€˜(𝑀 βˆ’ 1))β€˜π‘›) β‰  ((πΉβ€˜π‘€)β€˜π‘›) ∧ ((πΉβ€˜(𝑀 βˆ’ 1))β€˜π‘š) β‰  ((πΉβ€˜π‘€)β€˜π‘š)) β†’ 𝑛 = π‘š) ↔ βˆ€π‘› ∈ (1...𝑁) Β¬ βˆƒπ‘š ∈ (1...𝑁)((((πΉβ€˜(𝑀 βˆ’ 1))β€˜π‘›) β‰  ((πΉβ€˜π‘€)β€˜π‘›) ∧ ((πΉβ€˜(𝑀 βˆ’ 1))β€˜π‘š) β‰  ((πΉβ€˜π‘€)β€˜π‘š)) ∧ 𝑛 β‰  π‘š))
275266, 274bitri 274 . . 3 (βˆƒ*𝑛 ∈ (1...𝑁)((πΉβ€˜(𝑀 βˆ’ 1))β€˜π‘›) β‰  ((πΉβ€˜π‘€)β€˜π‘›) ↔ βˆ€π‘› ∈ (1...𝑁) Β¬ βˆƒπ‘š ∈ (1...𝑁)((((πΉβ€˜(𝑀 βˆ’ 1))β€˜π‘›) β‰  ((πΉβ€˜π‘€)β€˜π‘›) ∧ ((πΉβ€˜(𝑀 βˆ’ 1))β€˜π‘š) β‰  ((πΉβ€˜π‘€)β€˜π‘š)) ∧ 𝑛 β‰  π‘š))
276262, 275xchbinxr 334 . 2 (βˆƒπ‘› ∈ (1...𝑁)βˆƒπ‘š ∈ (1...𝑁)((((πΉβ€˜(𝑀 βˆ’ 1))β€˜π‘›) β‰  ((πΉβ€˜π‘€)β€˜π‘›) ∧ ((πΉβ€˜(𝑀 βˆ’ 1))β€˜π‘š) β‰  ((πΉβ€˜π‘€)β€˜π‘š)) ∧ 𝑛 β‰  π‘š) ↔ Β¬ βˆƒ*𝑛 ∈ (1...𝑁)((πΉβ€˜(𝑀 βˆ’ 1))β€˜π‘›) β‰  ((πΉβ€˜π‘€)β€˜π‘›))
277261, 276sylib 217 1 (πœ‘ β†’ Β¬ βˆƒ*𝑛 ∈ (1...𝑁)((πΉβ€˜(𝑀 βˆ’ 1))β€˜π‘›) β‰  ((πΉβ€˜π‘€)β€˜π‘›))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070  βˆƒ*wrmo 3375  Vcvv 3474  β¦‹csb 3892   βˆͺ cun 3945   ∩ cin 3946   βŠ† wss 3947  βˆ…c0 4321  ifcif 4527  {csn 4627  {cpr 4629   class class class wbr 5147   ↦ cmpt 5230   Γ— cxp 5673  β—‘ccnv 5674  ran crn 5676   β€œ cima 5678  Fun wfun 6534   Fn wfn 6535  βŸΆwf 6536  β€“1-1β†’wf1 6537  β€“ontoβ†’wfo 6538  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6539  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405   ∘f cof 7664  β„‚cc 11104  β„cr 11105  0cc0 11106  1c1 11107   + caddc 11109   < clt 11244   βˆ’ cmin 11440  β„•cn 12208  β„€cz 12554  β„€β‰₯cuz 12818  ...cfz 13480
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7666  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-fz 13481
This theorem is referenced by:  poimirlem8  36484  poimirlem18  36494  poimirlem21  36497  poimirlem22  36498
  Copyright terms: Public domain W3C validator