Theorem fzonel 13698

Description: A half-open range does not contain its right endpoint. (Contributed by Stefan O'Rear, 25-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fzonel	⊢ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴..^𝐵)

Proof of Theorem fzonel

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzolt2 13693	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ (𝐴..^𝐵) → 𝐵 < 𝐵)
2		elfzoel2 13682	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ (𝐴..^𝐵) → 𝐵 ∈ ℤ)
3	2	zred 12695	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ (𝐴..^𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ)
4	3	ltnrd 11339	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ (𝐴..^𝐵) → ¬ 𝐵 < 𝐵)
5	1, 4	pm2.65i 196	1 ⊢ ¬ 𝐵 ∈ (𝐴..^𝐵)

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∈ wcel 2143   class class class wbr 5109  (class class class)co 7410   < clt 11238  ..^cfzo 13678

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11151  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171  ax-pre-mulgt0 11172

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244  df-sub 11438  df-neg 11439  df-nn 12229  df-n0 12500  df-z 12587  df-uz 12858  df-fz 13531  df-fzo 13679

This theorem is referenced by:  fzo0  13708  prinfzo0  13723  uzindi  14014  wrdlndm  14563  cats1un  14754  bitsinv1  16495  bitsinvp1  16502  chnccat  18677  smndex1n0mnd  18969  psgnunilem3  19561  pgpfaclem1  20148  wlkp1lem2  30022  wlkp1lem3  30023  wlkp1lem6  30026  dfpth2  30078  eupth2eucrct  30568  trlsegvdeg  30578  fzodif2  33136  ccatws1f1o  33271  gsummulsubdishift1  33388  reprsuc  35002  breprexplema  35017  breprexplemc  35019  nnsum4primeseven  48565  nnsum4primesevenALTV  48566