Theorem ltsubsubaddltsub 48066

Description: If the result of subtracting two numbers is greater than a number, the result of adding one of these subtracted numbers to the number is less than the result of subtracting the other subtracted number only. (Contributed by Alexander van der Vekens, 9-Jun-2018.)

Assertion

Ref	Expression
ltsubsubaddltsub	⊢ ((𝐽 ∈ ℝ ∧ (𝐿 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ)) → (𝐽 < ((𝐿 − 𝑀) − 𝑁) ↔ (𝐽 + 𝑀) < (𝐿 − 𝑁)))

Proof of Theorem ltsubsubaddltsub

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 487	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ ℝ ∧ (𝐿 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ)) → 𝐽 ∈ ℝ)
2		resubcl 11528	. . . . . 6 ⊢ ((𝐿 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → (𝐿 − 𝑀) ∈ ℝ)
3	2	3adant3 1149	. . . . 5 ⊢ ((𝐿 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝐿 − 𝑀) ∈ ℝ)
4		simp3 1155	. . . . 5 ⊢ ((𝐿 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → 𝑁 ∈ ℝ)
5	3, 4	resubcld 11648	. . . 4 ⊢ ((𝐿 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((𝐿 − 𝑀) − 𝑁) ∈ ℝ)
6	5	adantl 486	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ ℝ ∧ (𝐿 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ)) → ((𝐿 − 𝑀) − 𝑁) ∈ ℝ)
7		simpr2 1213	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ ℝ ∧ (𝐿 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ)) → 𝑀 ∈ ℝ)
8	1, 6, 7	ltadd1d 11813	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ ℝ ∧ (𝐿 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ)) → (𝐽 < ((𝐿 − 𝑀) − 𝑁) ↔ (𝐽 + 𝑀) < (((𝐿 − 𝑀) − 𝑁) + 𝑀)))
9		recn 11196	. . . . 5 ⊢ (𝐿 ∈ ℝ → 𝐿 ∈ ℂ)
10		recn 11196	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℝ → 𝑀 ∈ ℂ)
11		recn 11196	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → 𝑁 ∈ ℂ)
12		nnpcan 11487	. . . . 5 ⊢ ((𝐿 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → (((𝐿 − 𝑀) − 𝑁) + 𝑀) = (𝐿 − 𝑁))
13	9, 10, 11, 12	syl3an 1177	. . . 4 ⊢ ((𝐿 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (((𝐿 − 𝑀) − 𝑁) + 𝑀) = (𝐿 − 𝑁))
14	13	adantl 486	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ ℝ ∧ (𝐿 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ)) → (((𝐿 − 𝑀) − 𝑁) + 𝑀) = (𝐿 − 𝑁))
15	14	breq2d 5120	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ ℝ ∧ (𝐿 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ)) → ((𝐽 + 𝑀) < (((𝐿 − 𝑀) − 𝑁) + 𝑀) ↔ (𝐽 + 𝑀) < (𝐿 − 𝑁)))
16	8, 15	bitrd 282	1 ⊢ ((𝐽 ∈ ℝ ∧ (𝐿 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ)) → (𝐽 < ((𝐿 − 𝑀) − 𝑁) ↔ (𝐽 + 𝑀) < (𝐿 − 𝑁)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∧ w3a 1102   = wceq 1569   ∈ wcel 2142   class class class wbr 5108  (class class class)co 7412  ℂcc 11104  ℝcr 11105   + caddc 11109   < clt 11249   − cmin 11447

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5335  ax-pr 5403  ax-un 7734  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1103  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5555  df-po 5568  df-so 5569  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-er 8692  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-ltxr 11254  df-sub 11449  df-neg 11450

This theorem is used by: (None)