Theorem ltsubsubaddltsub 48079

Description: If the result of subtracting two numbers is greater than a number, the result of adding one of these subtracted numbers to the number is less than the result of subtracting the other subtracted number only. (Contributed by Alexander van der Vekens, 9-Jun-2018.)

Assertion

Ref	Expression
ltsubsubaddltsub	⊢ ((𝐽 ∈ ℝ ∧ (𝐿 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ)) → (𝐽 < ((𝐿 − 𝑀) − 𝑁) ↔ (𝐽 + 𝑀) < (𝐿 − 𝑁)))

Proof of Theorem ltsubsubaddltsub

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 488	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ ℝ ∧ (𝐿 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ)) → 𝐽 ∈ ℝ)
2		resubcl 11540	. . . . . 6 ⊢ ((𝐿 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → (𝐿 − 𝑀) ∈ ℝ)
3	2	3adant3 1150	. . . . 5 ⊢ ((𝐿 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝐿 − 𝑀) ∈ ℝ)
4		simp3 1156	. . . . 5 ⊢ ((𝐿 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → 𝑁 ∈ ℝ)
5	3, 4	resubcld 11660	. . . 4 ⊢ ((𝐿 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((𝐿 − 𝑀) − 𝑁) ∈ ℝ)
6	5	adantl 487	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ ℝ ∧ (𝐿 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ)) → ((𝐿 − 𝑀) − 𝑁) ∈ ℝ)
7		simpr2 1214	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ ℝ ∧ (𝐿 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ)) → 𝑀 ∈ ℝ)
8	1, 6, 7	ltadd1d 11825	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ ℝ ∧ (𝐿 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ)) → (𝐽 < ((𝐿 − 𝑀) − 𝑁) ↔ (𝐽 + 𝑀) < (((𝐿 − 𝑀) − 𝑁) + 𝑀)))
9		recn 11208	. . . . 5 ⊢ (𝐿 ∈ ℝ → 𝐿 ∈ ℂ)
10		recn 11208	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℝ → 𝑀 ∈ ℂ)
11		recn 11208	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → 𝑁 ∈ ℂ)
12		nnpcan 11499	. . . . 5 ⊢ ((𝐿 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → (((𝐿 − 𝑀) − 𝑁) + 𝑀) = (𝐿 − 𝑁))
13	9, 10, 11, 12	syl3an 1178	. . . 4 ⊢ ((𝐿 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (((𝐿 − 𝑀) − 𝑁) + 𝑀) = (𝐿 − 𝑁))
14	13	adantl 487	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ ℝ ∧ (𝐿 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ)) → (((𝐿 − 𝑀) − 𝑁) + 𝑀) = (𝐿 − 𝑁))
15	14	breq2d 5126	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ ℝ ∧ (𝐿 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ)) → ((𝐽 + 𝑀) < (((𝐿 − 𝑀) − 𝑁) + 𝑀) ↔ (𝐽 + 𝑀) < (𝐿 − 𝑁)))
16	8, 15	bitrd 282	1 ⊢ ((𝐽 ∈ ℝ ∧ (𝐿 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ)) → (𝐽 < ((𝐿 − 𝑀) − 𝑁) ↔ (𝐽 + 𝑀) < (𝐿 − 𝑁)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   class class class wbr 5114  (class class class)co 7423  ℂcc 11116  ℝcr 11117   + caddc 11121   < clt 11261   − cmin 11459

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-resscn 11175  ax-1cn 11176  ax-icn 11177  ax-addcl 11178  ax-addrcl 11179  ax-mulcl 11180  ax-mulrcl 11181  ax-mulcom 11182  ax-addass 11183  ax-mulass 11184  ax-distr 11185  ax-i2m1 11186  ax-1ne0 11187  ax-1rid 11188  ax-rnegex 11189  ax-rrecex 11190  ax-cnre 11191  ax-pre-lttri 11192  ax-pre-lttrn 11193  ax-pre-ltadd 11194

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-id 5561  df-po 5574  df-so 5575  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7380  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-er 8703  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-ltxr 11266  df-sub 11461  df-neg 11462

This theorem is used by: (None)