Theorem resubcl 11486

Description: Closure law for subtraction of reals. (Contributed by NM, 20-Jan-1997.)

Assertion

Ref	Expression
resubcl	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℝ)

Proof of Theorem resubcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		recn 11158	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
2		recn 11158	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℂ)
3		negsub 11470	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + -𝐵) = (𝐴 − 𝐵))
4	1, 2, 3	syl2an 596	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 + -𝐵) = (𝐴 − 𝐵))
5		renegcl 11485	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → -𝐵 ∈ ℝ)
6		readdcl 11151	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ -𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 + -𝐵) ∈ ℝ)
7	5, 6	sylan2 593	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 + -𝐵) ∈ ℝ)
8	4, 7	eqeltrrd 2829	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  (class class class)co 7387  ℂcc 11066  ℝcr 11067   + caddc 11071   − cmin 11405  -cneg 11406

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-id 5533  df-po 5546  df-so 5547  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-ltxr 11213  df-sub 11407  df-neg 11408

This theorem is referenced by:  peano2rem  11489  resubcld  11606  ltaddsub  11652  leaddsub  11654  posdif  11671  lt2sub  11676  le2sub  11677  mulsuble0b  12055  cju  12182  elz2  12547  rpnnen1lem5  12940  difrp  12991  qbtwnre  13159  iooshf  13387  iccshftl  13449  lincmb01cmp  13456  uzsubsubfz  13507  difelfzle  13602  fzonmapblen  13669  eluzgtdifelfzo  13688  subfzo0  13750  fracle1  13765  fldiv  13822  modcl  13835  2submod  13897  modsubdir  13905  modfzo0difsn  13908  expubnd  14143  absdiflt  15284  absdifle  15285  elicc4abs  15286  abssubge0  15294  abs2difabs  15301  rddif  15307  absrdbnd  15308  climsup  15636  flo1  15820  supcvg  15822  refallfaccl  15984  resin4p  16106  recos4p  16107  cos01bnd  16154  cos01gt0  16159  pythagtriplem12  16797  pythagtriplem14  16799  pythagtriplem16  16801  fldivp1  16868  prmreclem6  16892  cshwshashlem2  17067  bl2ioo  24680  ioo2bl  24681  ioo2blex  24682  blssioo  24683  blcvx  24686  reconnlem2  24716  opnreen  24720  iirev  24823  iihalf2  24828  iccpnfhmeo  24843  iccvolcl  25468  ioovolcl  25471  ismbf3d  25555  itgrecl  25699  cmvth  25895  cmvthOLD  25896  dvle  25912  dvcvx  25925  dvfsumge  25928  aalioulem3  26242  aaliou  26246  aaliou3lem9  26258  abelthlem2  26342  abelthlem7  26348  abelth2  26352  sincosq1sgn  26407  sincosq2sgn  26408  sincosq3sgn  26409  sincosq4sgn  26410  tangtx  26414  sinq12gt0  26416  cosq14gt0  26419  cosq14ge0  26420  cosne0  26438  sinord  26443  resinf1o  26445  tanregt0  26448  efif1olem2  26452  relogdiv  26502  logneg2  26524  logdivlti  26529  logcnlem4  26554  logccv  26572  cxpaddlelem  26661  loglesqrt  26671  ang180lem2  26720  acoscos  26803  acosbnd  26810  acosrecl  26813  atanlogaddlem  26823  atans2  26841  leibpi  26852  divsqrtsumo1  26894  cvxcl  26895  scvxcvx  26896  jensenlem2  26898  amgmlem  26900  harmonicbnd4  26921  zetacvg  26925  ftalem5  26987  basellem9  26999  mumullem2  27090  ppiub  27115  chtub  27123  bposlem1  27195  bposlem6  27200  bposlem9  27203  gausslemma2dlem1a  27276  chtppilim  27386  chto1ub  27387  rplogsumlem2  27396  rpvmasumlem  27398  dchrisum0flblem1  27419  dchrisum0re  27424  log2sumbnd  27455  selberglem2  27457  pntrmax  27475  pntpbnd2  27498  pntlem3  27520  brbtwn2  28832  colinearalglem4  28836  eleesub  28838  eleesubd  28839  axsegconlem2  28845  ax5seglem2  28856  ax5seglem3  28858  axpaschlem  28867  axpasch  28868  axcontlem2  28892  crctcshwlkn0lem3  29742  crctcshwlkn0lem7  29746  eucrctshift  30172  xlt2addrd  32682  signshf  34579  resconn  35233  sinccvglem  35659  fz0n  35718  dnibndlem4  36469  dnibndlem6  36471  dnibndlem7  36472  dnibndlem9  36474  dnibndlem10  36475  knoppndvlem15  36514  sin2h  37604  tan2h  37606  poimir  37647  mblfinlem3  37653  mblfinlem4  37654  itg2addnclem  37665  itg2addnclem3  37667  ftc1anclem5  37691  ftc1anclem6  37692  ftc1anclem7  37693  dvasin  37698  geomcau  37753  bfp  37818  ismrer1  37832  iccbnd  37834  jm2.17a  42949  acongeq  42972  jm3.1lem2  43007  areaquad  43205  lptre2pt  45638  dvnmul  45941  stoweidlem59  46057  fourierdlem42  46147  hoidmvlelem2  46594  smfmullem1  46789  ltsubsubaddltsub  47302  zm1nn  47303  nn0resubcl  47309  subsubelfzo0  47327  bgoldbtbndlem2  47807  ply1mulgsumlem2  48376  ltsubaddb  48503  ltsubsubb  48504  ltsubadd2b  48505  line2  48741