Theorem resubcl 11661

Description: Closure law for subtraction of reals. (Contributed by NM, 20-Jan-1997.)

Assertion

Ref	Expression
resubcl	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℝ)

Proof of Theorem resubcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		recn 11329	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
2		recn 11329	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℂ)
3		negsub 11645	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + -𝐵) = (𝐴 − 𝐵))
4	1, 2, 3	syl2an 608	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 + -𝐵) = (𝐴 − 𝐵))
5		renegcl 11660	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → -𝐵 ∈ ℝ)
6		readdcl 11322	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ -𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 + -𝐵) ∈ ℝ)
7	5, 6	sylan2 605	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 + -𝐵) ∈ ℝ)
8	4, 7	eqeltrrd 2865	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℝ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  (class class class)co 7451  ℂcc 11237  ℝcr 11238   + caddc 11242   − cmin 11580   -cneg 11581

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-id 5553  df-po 5566  df-so 5567  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-er 8755  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-ltxr 11387  df-sub 11582  df-neg 11583

This theorem is used by:  peano2rem  11664  resubcld  11783  ltaddsub  11830  leaddsub  11832  posdif  11849  lt2sub  11854  le2sub  11855  mulsuble0b  12229  cju  12356  elz2  12751  rpnnen1lem5  13149  difrp  13200  qbtwnre  13369  iooshf  13597  iccshftl  13659  lincmb01cmp  13666  uzsubsubfz  13720  difelfzle  13815  fzonmapblen  13883  eluzgtdifelfzo  13902  subfzo0  13968  fracle1  13983  fldiv  14040  modcl  14053  2submod  14115  modsubdir  14123  modfzo0difsn  14126  expubnd  14361  absdiflt  15528  absdifle  15529  elicc4abs  15530  abssubge0  15538  abs2difabs  15545  rddif  15552  absrdbnd  15553  climsup  15881  flo1  16067  supcvg  16069  refallfaccl  16229  resin4p  16350  recos4p  16351  cos01bnd  16398  cos01gt0  16403  pythagtriplem12  17048  pythagtriplem14  17050  pythagtriplem16  17052  fldivp1  17119  prmreclem6  17143  cshwshashlem2  17318  bl2ioo  25166  ioo2bl  25167  ioo2blex  25168  blssioo  25169  blcvx  25172  reconnlem2  25202  opnreen  25206  iirev  25305  iihalf2  25309  iccpnfhmeo  25321  iccvolcl  25943  ioovolcl  25946  ismbf3d  26030  itgrecl  26173  cmvth  26366  dvle  26382  dvcvx  26395  dvfsumge  26397  aalioulem3  26718  aaliou  26722  aaliou3lem9  26734  abelthlem2  26816  abelthlem7  26822  abelth2  26826  sincosq1sgn  26884  sincosq2sgn  26885  sincosq3sgn  26886  sincosq4sgn  26887  tangtx  26891  sinq12gt0  26893  cosq14gt0  26896  cosq14ge0  26897  cosne0  26914  sinord  26919  resinf1o  26921  tanregt0  26924  efif1olem2  26928  relogdiv  26978  logneg2  27000  logdivlti  27005  logcnlem4  27030  logccv  27048  cxpaddlelem  27136  loglesqrt  27146  ang180lem2  27195  acoscos  27278  acosbnd  27285  acosrecl  27288  atanlogaddlem  27298  atans2  27316  leibpi  27327  divsqrtsumo1  27368  cvxcl  27369  scvxcvx  27370  jensenlem2  27372  amgmlem  27374  harmonicbnd4  27395  zetacvg  27399  ftalem5  27461  basellem9  27473  mumullem2  27564  ppiub  27588  chtub  27596  bposlem1  27668  bposlem6  27673  bposlem9  27676  gausslemma2dlem1a  27749  chtppilim  27859  chto1ub  27860  rplogsumlem2  27869  rpvmasumlem  27871  dchrisum0flblem1  27892  dchrisum0re  27897  log2sumbnd  27928  selberglem2  27930  pntrmax  27948  pntpbnd2  27971  pntlem3  27993  brbtwn2  29540  colinearalglem4  29544  eleesub  29546  eleesubd  29547  axsegconlem2  29553  ax5seglem2  29564  ax5seglem3  29566  axpaschlem  29575  axpasch  29576  axcontlem2  29600  crctcshwlkn0lem3  30458  crctcshwlkn0lem7  30462  eucrctshift  30901  xlt2addrd  33447  signshf  35328  resconn  36219  sinccvglem  36645  fz0n  36711  dnibndlem4  37562  dnibndlem6  37564  dnibndlem7  37565  dnibndlem9  37567  dnibndlem10  37568  knoppndvlem15  37607  sin2h  38801  tan2h  38803  poimir  38839  mblfinlem3  38845  mblfinlem4  38846  itg2addnclem  38857  itg2addnclem3  38859  ftc1anclem5  38883  ftc1anclem6  38884  ftc1anclem7  38885  dvasin  38890  geomcau  38959  bfp  39024  ismrer1  39038  iccbnd  39040  jm2.17a  44233  acongeq  44256  jm3.1lem2  44291  areaquad  44479  lptre2pt  46923  dvnmul  47226  stoweidlem59  47342  fourierdlem42  47432  hoidmvlelem2  47879  smfmullem1  48074  ltsubsubaddltsub  48644  zm1nn  48645  nn0resubcl  48651  subsubelfzo0  48670  bgoldbtbndlem2  49177  ply1mulgsumlem2  49830  ltsubaddb  49957  ltsubsubb  49958  ltsubadd2b  49959  line2  50195