Theorem resubcl 11294

Description: Closure law for subtraction of reals. (Contributed by NM, 20-Jan-1997.)

Assertion

Ref	Expression
resubcl	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℝ)

Proof of Theorem resubcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		recn 10970	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
2		recn 10970	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℂ)
3		negsub 11278	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + -𝐵) = (𝐴 − 𝐵))
4	1, 2, 3	syl2an 596	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 + -𝐵) = (𝐴 − 𝐵))
5		renegcl 11293	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → -𝐵 ∈ ℝ)
6		readdcl 10963	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ -𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 + -𝐵) ∈ ℝ)
7	5, 6	sylan2 593	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 + -𝐵) ∈ ℝ)
8	4, 7	eqeltrrd 2841	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2107  (class class class)co 7284  ℂcc 10878  ℝcr 10879   + caddc 10883   − cmin 11214  -cneg 11215

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2710  ax-sep 5224  ax-nul 5231  ax-pow 5289  ax-pr 5353  ax-un 7597  ax-resscn 10937  ax-1cn 10938  ax-icn 10939  ax-addcl 10940  ax-addrcl 10941  ax-mulcl 10942  ax-mulrcl 10943  ax-mulcom 10944  ax-addass 10945  ax-mulass 10946  ax-distr 10947  ax-i2m1 10948  ax-1ne0 10949  ax-1rid 10950  ax-rnegex 10951  ax-rrecex 10952  ax-cnre 10953  ax-pre-lttri 10954  ax-pre-lttrn 10955  ax-pre-ltadd 10956

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2817  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3070  df-rex 3071  df-reu 3073  df-rab 3074  df-v 3435  df-sbc 3718  df-csb 3834  df-dif 3891  df-un 3893  df-in 3895  df-ss 3905  df-nul 4258  df-if 4461  df-pw 4536  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4841  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5159  df-id 5490  df-po 5504  df-so 5505  df-xp 5596  df-rel 5597  df-cnv 5598  df-co 5599  df-dm 5600  df-rn 5601  df-res 5602  df-ima 5603  df-iota 6395  df-fun 6439  df-fn 6440  df-f 6441  df-f1 6442  df-fo 6443  df-f1o 6444  df-fv 6445  df-riota 7241  df-ov 7287  df-oprab 7288  df-mpo 7289  df-er 8507  df-en 8743  df-dom 8744  df-sdom 8745  df-pnf 11020  df-mnf 11021  df-ltxr 11023  df-sub 11216  df-neg 11217

This theorem is referenced by:  peano2rem  11297  resubcld  11412  ltaddsub  11458  leaddsub  11460  posdif  11477  lt2sub  11482  le2sub  11483  mulsuble0b  11856  cju  11978  elz2  12346  rpnnen1lem5  12730  difrp  12777  qbtwnre  12942  iooshf  13167  iccshftl  13229  lincmb01cmp  13236  uzsubsubfz  13287  difelfzle  13378  fzonmapblen  13442  eluzgtdifelfzo  13458  subfzo0  13518  fracle1  13532  fldiv  13589  modcl  13602  2submod  13661  modsubdir  13669  modfzo0difsn  13672  expubnd  13904  absdiflt  15038  absdifle  15039  elicc4abs  15040  abssubge0  15048  abs2difabs  15055  rddif  15061  absrdbnd  15062  climsup  15390  flo1  15575  supcvg  15577  refallfaccl  15737  resin4p  15856  recos4p  15857  cos01bnd  15904  cos01gt0  15909  pythagtriplem12  16536  pythagtriplem14  16538  pythagtriplem16  16540  fldivp1  16607  prmreclem6  16631  cshwshashlem2  16807  bl2ioo  23964  ioo2bl  23965  ioo2blex  23966  blssioo  23967  blcvx  23970  reconnlem2  23999  opnreen  24003  iirev  24101  iihalf2  24105  iccpnfhmeo  24117  iccvolcl  24740  ioovolcl  24743  ismbf3d  24827  itgrecl  24971  cmvth  25164  dvle  25180  dvcvx  25193  dvfsumge  25195  aalioulem3  25503  aaliou  25507  aaliou3lem9  25519  abelthlem2  25600  abelthlem7  25606  abelth2  25610  sincosq1sgn  25664  sincosq2sgn  25665  sincosq3sgn  25666  sincosq4sgn  25667  tangtx  25671  sinq12gt0  25673  cosq14gt0  25676  cosq14ge0  25677  cosne0  25694  sinord  25699  resinf1o  25701  tanregt0  25704  efif1olem2  25708  relogdiv  25757  logneg2  25779  logdivlti  25784  logcnlem4  25809  logccv  25827  cxpaddlelem  25913  loglesqrt  25920  ang180lem2  25969  acoscos  26052  acosbnd  26059  acosrecl  26062  atanlogaddlem  26072  atans2  26090  leibpi  26101  divsqrtsumo1  26142  cvxcl  26143  scvxcvx  26144  jensenlem2  26146  amgmlem  26148  harmonicbnd4  26169  zetacvg  26173  ftalem5  26235  basellem9  26247  mumullem2  26338  ppiub  26361  chtub  26369  bposlem1  26441  bposlem6  26446  bposlem9  26449  gausslemma2dlem1a  26522  chtppilim  26632  chto1ub  26633  rplogsumlem2  26642  rpvmasumlem  26644  dchrisum0flblem1  26665  dchrisum0re  26670  log2sumbnd  26701  selberglem2  26703  pntrmax  26721  pntpbnd2  26744  pntlem3  26766  brbtwn2  27282  colinearalglem4  27286  eleesub  27288  eleesubd  27289  axsegconlem2  27295  ax5seglem2  27306  ax5seglem3  27308  axpaschlem  27317  axpasch  27318  axcontlem2  27342  crctcshwlkn0lem3  28186  crctcshwlkn0lem7  28190  eucrctshift  28616  xlt2addrd  31090  signshf  32576  resconn  33217  sinccvglem  33639  fz0n  33705  dnibndlem4  34670  dnibndlem6  34672  dnibndlem7  34673  dnibndlem9  34675  dnibndlem10  34676  knoppndvlem15  34715  sin2h  35776  tan2h  35778  poimir  35819  mblfinlem3  35825  mblfinlem4  35826  itg2addnclem  35837  itg2addnclem3  35839  ftc1anclem5  35863  ftc1anclem6  35864  ftc1anclem7  35865  dvasin  35870  geomcau  35926  bfp  35991  ismrer1  36005  iccbnd  36007  jm2.17a  40789  acongeq  40812  jm3.1lem2  40847  areaquad  41054  lptre2pt  43188  dvnmul  43491  stoweidlem59  43607  fourierdlem42  43697  hoidmvlelem2  44141  smfmullem1  44336  ltsubsubaddltsub  44804  zm1nn  44805  nn0resubcl  44811  subsubelfzo0  44829  bgoldbtbndlem2  45269  ply1mulgsumlem2  45739  ltsubaddb  45866  ltsubsubb  45867  ltsubadd2b  45868  line2  46109