Theorem resubcl 10939

Description: Closure law for subtraction of reals. (Contributed by NM, 20-Jan-1997.)

Assertion

Ref	Expression
resubcl	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℝ)

Proof of Theorem resubcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		recn 10616	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
2		recn 10616	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℂ)
3		negsub 10923	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + -𝐵) = (𝐴 − 𝐵))
4	1, 2, 3	syl2an 598	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 + -𝐵) = (𝐴 − 𝐵))
5		renegcl 10938	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → -𝐵 ∈ ℝ)
6		readdcl 10609	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ -𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 + -𝐵) ∈ ℝ)
7	5, 6	sylan2 595	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 + -𝐵) ∈ ℝ)
8	4, 7	eqeltrrd 2891	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  (class class class)co 7135  ℂcc 10524  ℝcr 10525   + caddc 10529   − cmin 10859  -cneg 10860

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-uni 4801  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-id 5425  df-po 5438  df-so 5439  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-ltxr 10669  df-sub 10861  df-neg 10862

This theorem is referenced by:  peano2rem  10942  resubcld  11057  ltaddsub  11103  leaddsub  11105  posdif  11122  lt2sub  11127  le2sub  11128  mulsuble0b  11501  cju  11621  elz2  11987  rpnnen1lem5  12368  difrp  12415  qbtwnre  12580  iooshf  12804  iccshftl  12866  lincmb01cmp  12873  uzsubsubfz  12924  difelfzle  13015  fzonmapblen  13078  eluzgtdifelfzo  13094  subfzo0  13154  fracle1  13168  fldiv  13223  modcl  13236  2submod  13295  modsubdir  13303  modfzo0difsn  13306  expubnd  13537  absdiflt  14669  absdifle  14670  elicc4abs  14671  abssubge0  14679  abs2difabs  14686  rddif  14692  absrdbnd  14693  climsup  15018  flo1  15201  supcvg  15203  refallfaccl  15364  resin4p  15483  recos4p  15484  cos01bnd  15531  cos01gt0  15536  pythagtriplem12  16153  pythagtriplem14  16155  pythagtriplem16  16157  fldivp1  16223  prmreclem6  16247  cshwshashlem2  16422  bl2ioo  23397  ioo2bl  23398  ioo2blex  23399  blssioo  23400  blcvx  23403  reconnlem2  23432  opnreen  23436  iirev  23534  iihalf2  23538  iccpnfhmeo  23550  iccvolcl  24171  ioovolcl  24174  ismbf3d  24258  itgrecl  24401  cmvth  24594  dvle  24610  dvcvx  24623  dvfsumge  24625  aalioulem3  24930  aaliou  24934  aaliou3lem9  24946  abelthlem2  25027  abelthlem7  25033  abelth2  25037  sincosq1sgn  25091  sincosq2sgn  25092  sincosq3sgn  25093  sincosq4sgn  25094  tangtx  25098  sinq12gt0  25100  cosq14gt0  25103  cosq14ge0  25104  cosne0  25121  sinord  25126  resinf1o  25128  tanregt0  25131  efif1olem2  25135  relogdiv  25184  logneg2  25206  logdivlti  25211  logcnlem4  25236  logccv  25254  cxpaddlelem  25340  loglesqrt  25347  ang180lem2  25396  acoscos  25479  acosbnd  25486  acosrecl  25489  atanlogaddlem  25499  atans2  25517  leibpi  25528  divsqrtsumo1  25569  cvxcl  25570  scvxcvx  25571  jensenlem2  25573  amgmlem  25575  harmonicbnd4  25596  zetacvg  25600  ftalem5  25662  basellem9  25674  mumullem2  25765  ppiub  25788  chtub  25796  bposlem1  25868  bposlem6  25873  bposlem9  25876  gausslemma2dlem1a  25949  chtppilim  26059  chto1ub  26060  rplogsumlem2  26069  rpvmasumlem  26071  dchrisum0flblem1  26092  dchrisum0re  26097  log2sumbnd  26128  selberglem2  26130  pntrmax  26148  pntpbnd2  26171  pntlem3  26193  brbtwn2  26699  colinearalglem4  26703  eleesub  26705  eleesubd  26706  axsegconlem2  26712  ax5seglem2  26723  ax5seglem3  26725  axpaschlem  26734  axpasch  26735  axcontlem2  26759  crctcshwlkn0lem3  27598  crctcshwlkn0lem7  27602  eucrctshift  28028  xlt2addrd  30508  signshf  31968  resconn  32606  sinccvglem  33028  fz0n  33075  dnibndlem4  33933  dnibndlem6  33935  dnibndlem7  33936  dnibndlem9  33938  dnibndlem10  33939  knoppndvlem15  33978  sin2h  35047  tan2h  35049  poimir  35090  mblfinlem3  35096  mblfinlem4  35097  itg2addnclem  35108  itg2addnclem3  35110  ftc1anclem5  35134  ftc1anclem6  35135  ftc1anclem7  35136  dvasin  35141  geomcau  35197  bfp  35262  ismrer1  35276  iccbnd  35278  jm2.17a  39901  acongeq  39924  jm3.1lem2  39959  areaquad  40166  lptre2pt  42282  dvnmul  42585  stoweidlem59  42701  fourierdlem42  42791  hoidmvlelem2  43235  smfmullem1  43423  ltsubsubaddltsub  43858  zm1nn  43859  nn0resubcl  43865  subsubelfzo0  43883  bgoldbtbndlem2  44324  ply1mulgsumlem2  44795  ltsubaddb  44923  ltsubsubb  44924  ltsubadd2b  44925  line2  45166