Theorem resubcl 11458

Description: Closure law for subtraction of reals. (Contributed by NM, 20-Jan-1997.)

Assertion

Ref	Expression
resubcl	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℝ)

Proof of Theorem resubcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		recn 11128	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
2		recn 11128	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℂ)
3		negsub 11442	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + -𝐵) = (𝐴 − 𝐵))
4	1, 2, 3	syl2an 597	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 + -𝐵) = (𝐴 − 𝐵))
5		renegcl 11457	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → -𝐵 ∈ ℝ)
6		readdcl 11121	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ -𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 + -𝐵) ∈ ℝ)
7	5, 6	sylan2 594	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 + -𝐵) ∈ ℝ)
8	4, 7	eqeltrrd 2837	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7367  ℂcc 11036  ℝcr 11037   + caddc 11041   − cmin 11377  -cneg 11378

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-id 5526  df-po 5539  df-so 5540  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-ltxr 11184  df-sub 11379  df-neg 11380

This theorem is referenced by:  peano2rem  11461  resubcld  11578  ltaddsub  11624  leaddsub  11626  posdif  11643  lt2sub  11648  le2sub  11649  mulsuble0b  12028  cju  12155  elz2  12542  rpnnen1lem5  12931  difrp  12982  qbtwnre  13151  iooshf  13379  iccshftl  13441  lincmb01cmp  13448  uzsubsubfz  13500  difelfzle  13595  fzonmapblen  13663  eluzgtdifelfzo  13682  subfzo0  13747  fracle1  13762  fldiv  13819  modcl  13832  2submod  13894  modsubdir  13902  modfzo0difsn  13905  expubnd  14140  absdiflt  15280  absdifle  15281  elicc4abs  15282  abssubge0  15290  abs2difabs  15297  rddif  15303  absrdbnd  15304  climsup  15632  flo1  15819  supcvg  15821  refallfaccl  15983  resin4p  16105  recos4p  16106  cos01bnd  16153  cos01gt0  16158  pythagtriplem12  16797  pythagtriplem14  16799  pythagtriplem16  16801  fldivp1  16868  prmreclem6  16892  cshwshashlem2  17067  bl2ioo  24757  ioo2bl  24758  ioo2blex  24759  blssioo  24760  blcvx  24763  reconnlem2  24793  opnreen  24797  iirev  24896  iihalf2  24900  iccpnfhmeo  24912  iccvolcl  25534  ioovolcl  25537  ismbf3d  25621  itgrecl  25765  cmvth  25958  dvle  25974  dvcvx  25987  dvfsumge  25989  aalioulem3  26300  aaliou  26304  aaliou3lem9  26316  abelthlem2  26397  abelthlem7  26403  abelth2  26407  sincosq1sgn  26462  sincosq2sgn  26463  sincosq3sgn  26464  sincosq4sgn  26465  tangtx  26469  sinq12gt0  26471  cosq14gt0  26474  cosq14ge0  26475  cosne0  26493  sinord  26498  resinf1o  26500  tanregt0  26503  efif1olem2  26507  relogdiv  26557  logneg2  26579  logdivlti  26584  logcnlem4  26609  logccv  26627  cxpaddlelem  26715  loglesqrt  26725  ang180lem2  26774  acoscos  26857  acosbnd  26864  acosrecl  26867  atanlogaddlem  26877  atans2  26895  leibpi  26906  divsqrtsumo1  26947  cvxcl  26948  scvxcvx  26949  jensenlem2  26951  amgmlem  26953  harmonicbnd4  26974  zetacvg  26978  ftalem5  27040  basellem9  27052  mumullem2  27143  ppiub  27167  chtub  27175  bposlem1  27247  bposlem6  27252  bposlem9  27255  gausslemma2dlem1a  27328  chtppilim  27438  chto1ub  27439  rplogsumlem2  27448  rpvmasumlem  27450  dchrisum0flblem1  27471  dchrisum0re  27476  log2sumbnd  27507  selberglem2  27509  pntrmax  27527  pntpbnd2  27550  pntlem3  27572  brbtwn2  28974  colinearalglem4  28978  eleesub  28980  eleesubd  28981  axsegconlem2  28987  ax5seglem2  28998  ax5seglem3  29000  axpaschlem  29009  axpasch  29010  axcontlem2  29034  crctcshwlkn0lem3  29880  crctcshwlkn0lem7  29884  eucrctshift  30313  xlt2addrd  32832  signshf  34732  resconn  35428  sinccvglem  35854  fz0n  35913  dnibndlem4  36741  dnibndlem6  36743  dnibndlem7  36744  dnibndlem9  36746  dnibndlem10  36747  knoppndvlem15  36786  sin2h  37931  tan2h  37933  poimir  37974  mblfinlem3  37980  mblfinlem4  37981  itg2addnclem  37992  itg2addnclem3  37994  ftc1anclem5  38018  ftc1anclem6  38019  ftc1anclem7  38020  dvasin  38025  geomcau  38080  bfp  38145  ismrer1  38159  iccbnd  38161  jm2.17a  43388  acongeq  43411  jm3.1lem2  43446  areaquad  43644  lptre2pt  46068  dvnmul  46371  stoweidlem59  46487  fourierdlem42  46577  hoidmvlelem2  47024  smfmullem1  47219  ltsubsubaddltsub  47749  zm1nn  47750  nn0resubcl  47756  subsubelfzo0  47775  bgoldbtbndlem2  48282  ply1mulgsumlem2  48863  ltsubaddb  48990  ltsubsubb  48991  ltsubadd2b  48992  line2  49228