Theorem resubcl 10950

Description: Closure law for subtraction of reals. (Contributed by NM, 20-Jan-1997.)

Assertion

Ref	Expression
resubcl	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℝ)

Proof of Theorem resubcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		recn 10627	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
2		recn 10627	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℂ)
3		negsub 10934	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + -𝐵) = (𝐴 − 𝐵))
4	1, 2, 3	syl2an 597	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 + -𝐵) = (𝐴 − 𝐵))
5		renegcl 10949	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → -𝐵 ∈ ℝ)
6		readdcl 10620	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ -𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 + -𝐵) ∈ ℝ)
7	5, 6	sylan2 594	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 + -𝐵) ∈ ℝ)
8	4, 7	eqeltrrd 2914	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7156  ℂcc 10535  ℝcr 10536   + caddc 10540   − cmin 10870  -cneg 10871

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461  ax-resscn 10594  ax-1cn 10595  ax-icn 10596  ax-addcl 10597  ax-addrcl 10598  ax-mulcl 10599  ax-mulrcl 10600  ax-mulcom 10601  ax-addass 10602  ax-mulass 10603  ax-distr 10604  ax-i2m1 10605  ax-1ne0 10606  ax-1rid 10607  ax-rnegex 10608  ax-rrecex 10609  ax-cnre 10610  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612  ax-pre-ltadd 10613

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4839  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-id 5460  df-po 5474  df-so 5475  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-er 8289  df-en 8510  df-dom 8511  df-sdom 8512  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-ltxr 10680  df-sub 10872  df-neg 10873

This theorem is referenced by:  peano2rem  10953  resubcld  11068  ltaddsub  11114  leaddsub  11116  posdif  11133  lt2sub  11138  le2sub  11139  mulsuble0b  11512  cju  11634  elz2  12000  rpnnen1lem5  12381  difrp  12428  qbtwnre  12593  iooshf  12816  iccshftl  12875  lincmb01cmp  12882  uzsubsubfz  12930  difelfzle  13021  fzonmapblen  13084  eluzgtdifelfzo  13100  subfzo0  13160  fracle1  13174  fldiv  13229  modcl  13242  2submod  13301  modsubdir  13309  modfzo0difsn  13312  expubnd  13542  absdiflt  14677  absdifle  14678  elicc4abs  14679  abssubge0  14687  abs2difabs  14694  rddif  14700  absrdbnd  14701  climsup  15026  flo1  15209  supcvg  15211  refallfaccl  15372  resin4p  15491  recos4p  15492  cos01bnd  15539  cos01gt0  15544  pythagtriplem12  16163  pythagtriplem14  16165  pythagtriplem16  16167  fldivp1  16233  prmreclem6  16257  cshwshashlem2  16430  bl2ioo  23400  ioo2bl  23401  ioo2blex  23402  blssioo  23403  blcvx  23406  reconnlem2  23435  opnreen  23439  iirev  23533  iihalf2  23537  iccpnfhmeo  23549  iccvolcl  24168  ioovolcl  24171  ismbf3d  24255  itgrecl  24398  cmvth  24588  dvle  24604  dvcvx  24617  dvfsumge  24619  aalioulem3  24923  aaliou  24927  aaliou3lem9  24939  abelthlem2  25020  abelthlem7  25026  abelth2  25030  sincosq1sgn  25084  sincosq2sgn  25085  sincosq3sgn  25086  sincosq4sgn  25087  tangtx  25091  sinq12gt0  25093  cosq14gt0  25096  cosq14ge0  25097  cosne0  25114  sinord  25118  resinf1o  25120  tanregt0  25123  efif1olem2  25127  relogdiv  25176  logneg2  25198  logdivlti  25203  logcnlem4  25228  logccv  25246  cxpaddlelem  25332  loglesqrt  25339  ang180lem2  25388  acoscos  25471  acosbnd  25478  acosrecl  25481  atanlogaddlem  25491  atans2  25509  leibpi  25520  divsqrtsumo1  25561  cvxcl  25562  scvxcvx  25563  jensenlem2  25565  amgmlem  25567  harmonicbnd4  25588  zetacvg  25592  ftalem5  25654  basellem9  25666  mumullem2  25757  ppiub  25780  chtub  25788  bposlem1  25860  bposlem6  25865  bposlem9  25868  gausslemma2dlem1a  25941  chtppilim  26051  chto1ub  26052  rplogsumlem2  26061  rpvmasumlem  26063  dchrisum0flblem1  26084  dchrisum0re  26089  log2sumbnd  26120  selberglem2  26122  pntrmax  26140  pntpbnd2  26163  pntlem3  26185  brbtwn2  26691  colinearalglem4  26695  eleesub  26697  eleesubd  26698  axsegconlem2  26704  ax5seglem2  26715  ax5seglem3  26717  axpaschlem  26726  axpasch  26727  axcontlem2  26751  crctcshwlkn0lem3  27590  crctcshwlkn0lem7  27594  eucrctshift  28022  xlt2addrd  30482  signshf  31858  resconn  32493  sinccvglem  32915  fz0n  32962  dnibndlem4  33820  dnibndlem6  33822  dnibndlem7  33823  dnibndlem9  33825  dnibndlem10  33826  knoppndvlem15  33865  sin2h  34897  tan2h  34899  poimir  34940  mblfinlem3  34946  mblfinlem4  34947  itg2addnclem  34958  itg2addnclem3  34960  ftc1anclem5  34986  ftc1anclem6  34987  ftc1anclem7  34988  dvasin  34993  geomcau  35049  bfp  35117  ismrer1  35131  iccbnd  35133  jm2.17a  39577  acongeq  39600  jm3.1lem2  39635  areaquad  39843  lptre2pt  41941  dvnmul  42248  stoweidlem59  42364  fourierdlem42  42454  hoidmvlelem2  42898  smfmullem1  43086  ltsubsubaddltsub  43521  zm1nn  43522  nn0resubcl  43528  subsubelfzo0  43546  bgoldbtbndlem2  43991  ply1mulgsumlem2  44461  ltsubaddb  44589  ltsubsubb  44590  ltsubadd2b  44591  line2  44759