Theorem resubcl 11570

Description: Closure law for subtraction of reals. (Contributed by NM, 20-Jan-1997.)

Assertion

Ref	Expression
resubcl	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℝ)

Proof of Theorem resubcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		recn 11242	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
2		recn 11242	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℂ)
3		negsub 11554	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + -𝐵) = (𝐴 − 𝐵))
4	1, 2, 3	syl2an 596	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 + -𝐵) = (𝐴 − 𝐵))
5		renegcl 11569	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → -𝐵 ∈ ℝ)
6		readdcl 11235	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ -𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 + -𝐵) ∈ ℝ)
7	5, 6	sylan2 593	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 + -𝐵) ∈ ℝ)
8	4, 7	eqeltrrd 2839	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1536   ∈ wcel 2105  (class class class)co 7430  ℂcc 11150  ℝcr 11151   + caddc 11155   − cmin 11489  -cneg 11490

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5582  df-po 5596  df-so 5597  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-er 8743  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-ltxr 11297  df-sub 11491  df-neg 11492

This theorem is referenced by:  peano2rem  11573  resubcld  11688  ltaddsub  11734  leaddsub  11736  posdif  11753  lt2sub  11758  le2sub  11759  mulsuble0b  12137  cju  12259  elz2  12628  rpnnen1lem5  13020  difrp  13070  qbtwnre  13237  iooshf  13462  iccshftl  13524  lincmb01cmp  13531  uzsubsubfz  13582  difelfzle  13677  fzonmapblen  13744  eluzgtdifelfzo  13762  subfzo0  13824  fracle1  13839  fldiv  13896  modcl  13909  2submod  13969  modsubdir  13977  modfzo0difsn  13980  expubnd  14213  absdiflt  15352  absdifle  15353  elicc4abs  15354  abssubge0  15362  abs2difabs  15369  rddif  15375  absrdbnd  15376  climsup  15702  flo1  15886  supcvg  15888  refallfaccl  16050  resin4p  16170  recos4p  16171  cos01bnd  16218  cos01gt0  16223  pythagtriplem12  16859  pythagtriplem14  16861  pythagtriplem16  16863  fldivp1  16930  prmreclem6  16954  cshwshashlem2  17130  bl2ioo  24827  ioo2bl  24828  ioo2blex  24829  blssioo  24830  blcvx  24833  reconnlem2  24862  opnreen  24866  iirev  24969  iihalf2  24974  iccpnfhmeo  24989  iccvolcl  25615  ioovolcl  25618  ismbf3d  25702  itgrecl  25847  cmvth  26043  cmvthOLD  26044  dvle  26060  dvcvx  26073  dvfsumge  26076  aalioulem3  26390  aaliou  26394  aaliou3lem9  26406  abelthlem2  26490  abelthlem7  26496  abelth2  26500  sincosq1sgn  26554  sincosq2sgn  26555  sincosq3sgn  26556  sincosq4sgn  26557  tangtx  26561  sinq12gt0  26563  cosq14gt0  26566  cosq14ge0  26567  cosne0  26585  sinord  26590  resinf1o  26592  tanregt0  26595  efif1olem2  26599  relogdiv  26649  logneg2  26671  logdivlti  26676  logcnlem4  26701  logccv  26719  cxpaddlelem  26808  loglesqrt  26818  ang180lem2  26867  acoscos  26950  acosbnd  26957  acosrecl  26960  atanlogaddlem  26970  atans2  26988  leibpi  26999  divsqrtsumo1  27041  cvxcl  27042  scvxcvx  27043  jensenlem2  27045  amgmlem  27047  harmonicbnd4  27068  zetacvg  27072  ftalem5  27134  basellem9  27146  mumullem2  27237  ppiub  27262  chtub  27270  bposlem1  27342  bposlem6  27347  bposlem9  27350  gausslemma2dlem1a  27423  chtppilim  27533  chto1ub  27534  rplogsumlem2  27543  rpvmasumlem  27545  dchrisum0flblem1  27566  dchrisum0re  27571  log2sumbnd  27602  selberglem2  27604  pntrmax  27622  pntpbnd2  27645  pntlem3  27667  brbtwn2  28934  colinearalglem4  28938  eleesub  28940  eleesubd  28941  axsegconlem2  28947  ax5seglem2  28958  ax5seglem3  28960  axpaschlem  28969  axpasch  28970  axcontlem2  28994  crctcshwlkn0lem3  29841  crctcshwlkn0lem7  29845  eucrctshift  30271  xlt2addrd  32768  signshf  34581  resconn  35230  sinccvglem  35656  fz0n  35710  dnibndlem4  36463  dnibndlem6  36465  dnibndlem7  36466  dnibndlem9  36468  dnibndlem10  36469  knoppndvlem15  36508  sin2h  37596  tan2h  37598  poimir  37639  mblfinlem3  37645  mblfinlem4  37646  itg2addnclem  37657  itg2addnclem3  37659  ftc1anclem5  37683  ftc1anclem6  37684  ftc1anclem7  37685  dvasin  37690  geomcau  37745  bfp  37810  ismrer1  37824  iccbnd  37826  jm2.17a  42948  acongeq  42971  jm3.1lem2  43006  areaquad  43204  lptre2pt  45595  dvnmul  45898  stoweidlem59  46014  fourierdlem42  46104  hoidmvlelem2  46551  smfmullem1  46746  ltsubsubaddltsub  47250  zm1nn  47251  nn0resubcl  47257  subsubelfzo0  47275  bgoldbtbndlem2  47730  ply1mulgsumlem2  48232  ltsubaddb  48359  ltsubsubb  48360  ltsubadd2b  48361  line2  48601