Theorem resubcl 11574

Description: Closure law for subtraction of reals. (Contributed by NM, 20-Jan-1997.)

Assertion

Ref	Expression
resubcl	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℝ)

Proof of Theorem resubcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		recn 11246	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
2		recn 11246	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℂ)
3		negsub 11558	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + -𝐵) = (𝐴 − 𝐵))
4	1, 2, 3	syl2an 596	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 + -𝐵) = (𝐴 − 𝐵))
5		renegcl 11573	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → -𝐵 ∈ ℝ)
6		readdcl 11239	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ -𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 + -𝐵) ∈ ℝ)
7	5, 6	sylan2 593	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 + -𝐵) ∈ ℝ)
8	4, 7	eqeltrrd 2841	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2107  (class class class)co 7432  ℂcc 11154  ℝcr 11155   + caddc 11159   − cmin 11493  -cneg 11494

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-id 5577  df-po 5591  df-so 5592  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-er 8746  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-ltxr 11301  df-sub 11495  df-neg 11496

This theorem is referenced by:  peano2rem  11577  resubcld  11692  ltaddsub  11738  leaddsub  11740  posdif  11757  lt2sub  11762  le2sub  11763  mulsuble0b  12141  cju  12263  elz2  12633  rpnnen1lem5  13024  difrp  13074  qbtwnre  13242  iooshf  13467  iccshftl  13529  lincmb01cmp  13536  uzsubsubfz  13587  difelfzle  13682  fzonmapblen  13749  eluzgtdifelfzo  13767  subfzo0  13829  fracle1  13844  fldiv  13901  modcl  13914  2submod  13974  modsubdir  13982  modfzo0difsn  13985  expubnd  14218  absdiflt  15357  absdifle  15358  elicc4abs  15359  abssubge0  15367  abs2difabs  15374  rddif  15380  absrdbnd  15381  climsup  15707  flo1  15891  supcvg  15893  refallfaccl  16055  resin4p  16175  recos4p  16176  cos01bnd  16223  cos01gt0  16228  pythagtriplem12  16865  pythagtriplem14  16867  pythagtriplem16  16869  fldivp1  16936  prmreclem6  16960  cshwshashlem2  17135  bl2ioo  24814  ioo2bl  24815  ioo2blex  24816  blssioo  24817  blcvx  24820  reconnlem2  24850  opnreen  24854  iirev  24957  iihalf2  24962  iccpnfhmeo  24977  iccvolcl  25603  ioovolcl  25606  ismbf3d  25690  itgrecl  25834  cmvth  26030  cmvthOLD  26031  dvle  26047  dvcvx  26060  dvfsumge  26063  aalioulem3  26377  aaliou  26381  aaliou3lem9  26393  abelthlem2  26477  abelthlem7  26483  abelth2  26487  sincosq1sgn  26541  sincosq2sgn  26542  sincosq3sgn  26543  sincosq4sgn  26544  tangtx  26548  sinq12gt0  26550  cosq14gt0  26553  cosq14ge0  26554  cosne0  26572  sinord  26577  resinf1o  26579  tanregt0  26582  efif1olem2  26586  relogdiv  26636  logneg2  26658  logdivlti  26663  logcnlem4  26688  logccv  26706  cxpaddlelem  26795  loglesqrt  26805  ang180lem2  26854  acoscos  26937  acosbnd  26944  acosrecl  26947  atanlogaddlem  26957  atans2  26975  leibpi  26986  divsqrtsumo1  27028  cvxcl  27029  scvxcvx  27030  jensenlem2  27032  amgmlem  27034  harmonicbnd4  27055  zetacvg  27059  ftalem5  27121  basellem9  27133  mumullem2  27224  ppiub  27249  chtub  27257  bposlem1  27329  bposlem6  27334  bposlem9  27337  gausslemma2dlem1a  27410  chtppilim  27520  chto1ub  27521  rplogsumlem2  27530  rpvmasumlem  27532  dchrisum0flblem1  27553  dchrisum0re  27558  log2sumbnd  27589  selberglem2  27591  pntrmax  27609  pntpbnd2  27632  pntlem3  27654  brbtwn2  28921  colinearalglem4  28925  eleesub  28927  eleesubd  28928  axsegconlem2  28934  ax5seglem2  28945  ax5seglem3  28947  axpaschlem  28956  axpasch  28957  axcontlem2  28981  crctcshwlkn0lem3  29833  crctcshwlkn0lem7  29837  eucrctshift  30263  xlt2addrd  32763  signshf  34604  resconn  35252  sinccvglem  35678  fz0n  35732  dnibndlem4  36483  dnibndlem6  36485  dnibndlem7  36486  dnibndlem9  36488  dnibndlem10  36489  knoppndvlem15  36528  sin2h  37618  tan2h  37620  poimir  37661  mblfinlem3  37667  mblfinlem4  37668  itg2addnclem  37679  itg2addnclem3  37681  ftc1anclem5  37705  ftc1anclem6  37706  ftc1anclem7  37707  dvasin  37712  geomcau  37767  bfp  37832  ismrer1  37846  iccbnd  37848  jm2.17a  42977  acongeq  43000  jm3.1lem2  43035  areaquad  43233  lptre2pt  45660  dvnmul  45963  stoweidlem59  46079  fourierdlem42  46169  hoidmvlelem2  46616  smfmullem1  46811  ltsubsubaddltsub  47318  zm1nn  47319  nn0resubcl  47325  subsubelfzo0  47343  bgoldbtbndlem2  47798  ply1mulgsumlem2  48309  ltsubaddb  48436  ltsubsubb  48437  ltsubadd2b  48438  line2  48678