Theorem resubcl 11524

Description: Closure law for subtraction of reals. (Contributed by NM, 20-Jan-1997.)

Assertion

Ref	Expression
resubcl	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℝ)

Proof of Theorem resubcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		recn 11200	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
2		recn 11200	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℂ)
3		negsub 11508	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + -𝐵) = (𝐴 − 𝐵))
4	1, 2, 3	syl2an 597	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 + -𝐵) = (𝐴 − 𝐵))
5		renegcl 11523	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → -𝐵 ∈ ℝ)
6		readdcl 11193	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ -𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 + -𝐵) ∈ ℝ)
7	5, 6	sylan2 594	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 + -𝐵) ∈ ℝ)
8	4, 7	eqeltrrd 2835	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  (class class class)co 7409  ℂcc 11108  ℝcr 11109   + caddc 11113   − cmin 11444  -cneg 11445

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-po 5589  df-so 5590  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-ltxr 11253  df-sub 11446  df-neg 11447

This theorem is referenced by:  peano2rem  11527  resubcld  11642  ltaddsub  11688  leaddsub  11690  posdif  11707  lt2sub  11712  le2sub  11713  mulsuble0b  12086  cju  12208  elz2  12576  rpnnen1lem5  12965  difrp  13012  qbtwnre  13178  iooshf  13403  iccshftl  13465  lincmb01cmp  13472  uzsubsubfz  13523  difelfzle  13614  fzonmapblen  13678  eluzgtdifelfzo  13694  subfzo0  13754  fracle1  13768  fldiv  13825  modcl  13838  2submod  13897  modsubdir  13905  modfzo0difsn  13908  expubnd  14142  absdiflt  15264  absdifle  15265  elicc4abs  15266  abssubge0  15274  abs2difabs  15281  rddif  15287  absrdbnd  15288  climsup  15616  flo1  15800  supcvg  15802  refallfaccl  15962  resin4p  16081  recos4p  16082  cos01bnd  16129  cos01gt0  16134  pythagtriplem12  16759  pythagtriplem14  16761  pythagtriplem16  16763  fldivp1  16830  prmreclem6  16854  cshwshashlem2  17030  bl2ioo  24308  ioo2bl  24309  ioo2blex  24310  blssioo  24311  blcvx  24314  reconnlem2  24343  opnreen  24347  iirev  24445  iihalf2  24449  iccpnfhmeo  24461  iccvolcl  25084  ioovolcl  25087  ismbf3d  25171  itgrecl  25315  cmvth  25508  dvle  25524  dvcvx  25537  dvfsumge  25539  aalioulem3  25847  aaliou  25851  aaliou3lem9  25863  abelthlem2  25944  abelthlem7  25950  abelth2  25954  sincosq1sgn  26008  sincosq2sgn  26009  sincosq3sgn  26010  sincosq4sgn  26011  tangtx  26015  sinq12gt0  26017  cosq14gt0  26020  cosq14ge0  26021  cosne0  26038  sinord  26043  resinf1o  26045  tanregt0  26048  efif1olem2  26052  relogdiv  26101  logneg2  26123  logdivlti  26128  logcnlem4  26153  logccv  26171  cxpaddlelem  26259  loglesqrt  26266  ang180lem2  26315  acoscos  26398  acosbnd  26405  acosrecl  26408  atanlogaddlem  26418  atans2  26436  leibpi  26447  divsqrtsumo1  26488  cvxcl  26489  scvxcvx  26490  jensenlem2  26492  amgmlem  26494  harmonicbnd4  26515  zetacvg  26519  ftalem5  26581  basellem9  26593  mumullem2  26684  ppiub  26707  chtub  26715  bposlem1  26787  bposlem6  26792  bposlem9  26795  gausslemma2dlem1a  26868  chtppilim  26978  chto1ub  26979  rplogsumlem2  26988  rpvmasumlem  26990  dchrisum0flblem1  27011  dchrisum0re  27016  log2sumbnd  27047  selberglem2  27049  pntrmax  27067  pntpbnd2  27090  pntlem3  27112  brbtwn2  28163  colinearalglem4  28167  eleesub  28169  eleesubd  28170  axsegconlem2  28176  ax5seglem2  28187  ax5seglem3  28189  axpaschlem  28198  axpasch  28199  axcontlem2  28223  crctcshwlkn0lem3  29066  crctcshwlkn0lem7  29070  eucrctshift  29496  xlt2addrd  31971  signshf  33599  resconn  34237  sinccvglem  34657  fz0n  34700  gg-cmvth  35181  dnibndlem4  35357  dnibndlem6  35359  dnibndlem7  35360  dnibndlem9  35362  dnibndlem10  35363  knoppndvlem15  35402  sin2h  36478  tan2h  36480  poimir  36521  mblfinlem3  36527  mblfinlem4  36528  itg2addnclem  36539  itg2addnclem3  36541  ftc1anclem5  36565  ftc1anclem6  36566  ftc1anclem7  36567  dvasin  36572  geomcau  36627  bfp  36692  ismrer1  36706  iccbnd  36708  jm2.17a  41699  acongeq  41722  jm3.1lem2  41757  areaquad  41965  lptre2pt  44356  dvnmul  44659  stoweidlem59  44775  fourierdlem42  44865  hoidmvlelem2  45312  smfmullem1  45507  ltsubsubaddltsub  46009  zm1nn  46010  nn0resubcl  46016  subsubelfzo0  46034  bgoldbtbndlem2  46474  ply1mulgsumlem2  47068  ltsubaddb  47195  ltsubsubb  47196  ltsubadd2b  47197  line2  47438