MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  resubcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem resubcl 10948
Description: Closure law for subtraction of reals. (Contributed by NM, 20-Jan-1997.)
Assertion
Ref Expression
resubcl ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴𝐵) ∈ ℝ)

Proof of Theorem resubcl
StepHypRef Expression
1 recn 10625 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
2 recn 10625 . . 3 (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℂ)
3 negsub 10932 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + -𝐵) = (𝐴𝐵))
41, 2, 3syl2an 598 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 + -𝐵) = (𝐴𝐵))
5 renegcl 10947 . . 3 (𝐵 ∈ ℝ → -𝐵 ∈ ℝ)
6 readdcl 10618 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ -𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 + -𝐵) ∈ ℝ)
75, 6sylan2 595 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 + -𝐵) ∈ ℝ)
84, 7eqeltrrd 2917 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴𝐵) ∈ ℝ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399   = wceq 1538  wcel 2115  (class class class)co 7149  cc 10533  cr 10534   + caddc 10538  cmin 10868  -cneg 10869
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7455  ax-resscn 10592  ax-1cn 10593  ax-icn 10594  ax-addcl 10595  ax-addrcl 10596  ax-mulcl 10597  ax-mulrcl 10598  ax-mulcom 10599  ax-addass 10600  ax-mulass 10601  ax-distr 10602  ax-i2m1 10603  ax-1ne0 10604  ax-1rid 10605  ax-rnegex 10606  ax-rrecex 10607  ax-cnre 10608  ax-pre-lttri 10609  ax-pre-lttrn 10610  ax-pre-ltadd 10611
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-op 4557  df-uni 4825  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-id 5447  df-po 5461  df-so 5462  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-riota 7107  df-ov 7152  df-oprab 7153  df-mpo 7154  df-er 8285  df-en 8506  df-dom 8507  df-sdom 8508  df-pnf 10675  df-mnf 10676  df-ltxr 10678  df-sub 10870  df-neg 10871
This theorem is referenced by:  peano2rem  10951  resubcld  11066  ltaddsub  11112  leaddsub  11114  posdif  11131  lt2sub  11136  le2sub  11137  mulsuble0b  11510  cju  11630  elz2  11996  rpnnen1lem5  12377  difrp  12424  qbtwnre  12589  iooshf  12813  iccshftl  12875  lincmb01cmp  12882  uzsubsubfz  12933  difelfzle  13024  fzonmapblen  13087  eluzgtdifelfzo  13103  subfzo0  13163  fracle1  13177  fldiv  13232  modcl  13245  2submod  13304  modsubdir  13312  modfzo0difsn  13315  expubnd  13546  absdiflt  14677  absdifle  14678  elicc4abs  14679  abssubge0  14687  abs2difabs  14694  rddif  14700  absrdbnd  14701  climsup  15026  flo1  15209  supcvg  15211  refallfaccl  15372  resin4p  15491  recos4p  15492  cos01bnd  15539  cos01gt0  15544  pythagtriplem12  16161  pythagtriplem14  16163  pythagtriplem16  16165  fldivp1  16231  prmreclem6  16255  cshwshashlem2  16430  bl2ioo  23400  ioo2bl  23401  ioo2blex  23402  blssioo  23403  blcvx  23406  reconnlem2  23435  opnreen  23439  iirev  23537  iihalf2  23541  iccpnfhmeo  23553  iccvolcl  24174  ioovolcl  24177  ismbf3d  24261  itgrecl  24404  cmvth  24597  dvle  24613  dvcvx  24626  dvfsumge  24628  aalioulem3  24933  aaliou  24937  aaliou3lem9  24949  abelthlem2  25030  abelthlem7  25036  abelth2  25040  sincosq1sgn  25094  sincosq2sgn  25095  sincosq3sgn  25096  sincosq4sgn  25097  tangtx  25101  sinq12gt0  25103  cosq14gt0  25106  cosq14ge0  25107  cosne0  25124  sinord  25129  resinf1o  25131  tanregt0  25134  efif1olem2  25138  relogdiv  25187  logneg2  25209  logdivlti  25214  logcnlem4  25239  logccv  25257  cxpaddlelem  25343  loglesqrt  25350  ang180lem2  25399  acoscos  25482  acosbnd  25489  acosrecl  25492  atanlogaddlem  25502  atans2  25520  leibpi  25531  divsqrtsumo1  25572  cvxcl  25573  scvxcvx  25574  jensenlem2  25576  amgmlem  25578  harmonicbnd4  25599  zetacvg  25603  ftalem5  25665  basellem9  25677  mumullem2  25768  ppiub  25791  chtub  25799  bposlem1  25871  bposlem6  25876  bposlem9  25879  gausslemma2dlem1a  25952  chtppilim  26062  chto1ub  26063  rplogsumlem2  26072  rpvmasumlem  26074  dchrisum0flblem1  26095  dchrisum0re  26100  log2sumbnd  26131  selberglem2  26133  pntrmax  26151  pntpbnd2  26174  pntlem3  26196  brbtwn2  26702  colinearalglem4  26706  eleesub  26708  eleesubd  26709  axsegconlem2  26715  ax5seglem2  26726  ax5seglem3  26728  axpaschlem  26737  axpasch  26738  axcontlem2  26762  crctcshwlkn0lem3  27601  crctcshwlkn0lem7  27605  eucrctshift  28031  xlt2addrd  30493  signshf  31915  resconn  32550  sinccvglem  32972  fz0n  33019  dnibndlem4  33877  dnibndlem6  33879  dnibndlem7  33880  dnibndlem9  33882  dnibndlem10  33883  knoppndvlem15  33922  sin2h  34992  tan2h  34994  poimir  35035  mblfinlem3  35041  mblfinlem4  35042  itg2addnclem  35053  itg2addnclem3  35055  ftc1anclem5  35079  ftc1anclem6  35080  ftc1anclem7  35081  dvasin  35086  geomcau  35142  bfp  35207  ismrer1  35221  iccbnd  35223  jm2.17a  39817  acongeq  39840  jm3.1lem2  39875  areaquad  40082  lptre2pt  42208  dvnmul  42511  stoweidlem59  42627  fourierdlem42  42717  hoidmvlelem2  43161  smfmullem1  43349  ltsubsubaddltsub  43784  zm1nn  43785  nn0resubcl  43791  subsubelfzo0  43809  bgoldbtbndlem2  44250  ply1mulgsumlem2  44721  ltsubaddb  44849  ltsubsubb  44850  ltsubadd2b  44851  line2  45092
  Copyright terms: Public domain W3C validator