Theorem resubcl 11215

Description: Closure law for subtraction of reals. (Contributed by NM, 20-Jan-1997.)

Assertion

Ref	Expression
resubcl	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℝ)

Proof of Theorem resubcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		recn 10892	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
2		recn 10892	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℂ)
3		negsub 11199	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + -𝐵) = (𝐴 − 𝐵))
4	1, 2, 3	syl2an 595	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 + -𝐵) = (𝐴 − 𝐵))
5		renegcl 11214	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → -𝐵 ∈ ℝ)
6		readdcl 10885	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ -𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 + -𝐵) ∈ ℝ)
7	5, 6	sylan2 592	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 + -𝐵) ∈ ℝ)
8	4, 7	eqeltrrd 2840	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  (class class class)co 7255  ℂcc 10800  ℝcr 10801   + caddc 10805   − cmin 11135  -cneg 11136

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-id 5480  df-po 5494  df-so 5495  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-ltxr 10945  df-sub 11137  df-neg 11138

This theorem is referenced by:  peano2rem  11218  resubcld  11333  ltaddsub  11379  leaddsub  11381  posdif  11398  lt2sub  11403  le2sub  11404  mulsuble0b  11777  cju  11899  elz2  12267  rpnnen1lem5  12650  difrp  12697  qbtwnre  12862  iooshf  13087  iccshftl  13149  lincmb01cmp  13156  uzsubsubfz  13207  difelfzle  13298  fzonmapblen  13361  eluzgtdifelfzo  13377  subfzo0  13437  fracle1  13451  fldiv  13508  modcl  13521  2submod  13580  modsubdir  13588  modfzo0difsn  13591  expubnd  13823  absdiflt  14957  absdifle  14958  elicc4abs  14959  abssubge0  14967  abs2difabs  14974  rddif  14980  absrdbnd  14981  climsup  15309  flo1  15494  supcvg  15496  refallfaccl  15656  resin4p  15775  recos4p  15776  cos01bnd  15823  cos01gt0  15828  pythagtriplem12  16455  pythagtriplem14  16457  pythagtriplem16  16459  fldivp1  16526  prmreclem6  16550  cshwshashlem2  16726  bl2ioo  23861  ioo2bl  23862  ioo2blex  23863  blssioo  23864  blcvx  23867  reconnlem2  23896  opnreen  23900  iirev  23998  iihalf2  24002  iccpnfhmeo  24014  iccvolcl  24636  ioovolcl  24639  ismbf3d  24723  itgrecl  24867  cmvth  25060  dvle  25076  dvcvx  25089  dvfsumge  25091  aalioulem3  25399  aaliou  25403  aaliou3lem9  25415  abelthlem2  25496  abelthlem7  25502  abelth2  25506  sincosq1sgn  25560  sincosq2sgn  25561  sincosq3sgn  25562  sincosq4sgn  25563  tangtx  25567  sinq12gt0  25569  cosq14gt0  25572  cosq14ge0  25573  cosne0  25590  sinord  25595  resinf1o  25597  tanregt0  25600  efif1olem2  25604  relogdiv  25653  logneg2  25675  logdivlti  25680  logcnlem4  25705  logccv  25723  cxpaddlelem  25809  loglesqrt  25816  ang180lem2  25865  acoscos  25948  acosbnd  25955  acosrecl  25958  atanlogaddlem  25968  atans2  25986  leibpi  25997  divsqrtsumo1  26038  cvxcl  26039  scvxcvx  26040  jensenlem2  26042  amgmlem  26044  harmonicbnd4  26065  zetacvg  26069  ftalem5  26131  basellem9  26143  mumullem2  26234  ppiub  26257  chtub  26265  bposlem1  26337  bposlem6  26342  bposlem9  26345  gausslemma2dlem1a  26418  chtppilim  26528  chto1ub  26529  rplogsumlem2  26538  rpvmasumlem  26540  dchrisum0flblem1  26561  dchrisum0re  26566  log2sumbnd  26597  selberglem2  26599  pntrmax  26617  pntpbnd2  26640  pntlem3  26662  brbtwn2  27176  colinearalglem4  27180  eleesub  27182  eleesubd  27183  axsegconlem2  27189  ax5seglem2  27200  ax5seglem3  27202  axpaschlem  27211  axpasch  27212  axcontlem2  27236  crctcshwlkn0lem3  28078  crctcshwlkn0lem7  28082  eucrctshift  28508  xlt2addrd  30983  signshf  32467  resconn  33108  sinccvglem  33530  fz0n  33602  dnibndlem4  34588  dnibndlem6  34590  dnibndlem7  34591  dnibndlem9  34593  dnibndlem10  34594  knoppndvlem15  34633  sin2h  35694  tan2h  35696  poimir  35737  mblfinlem3  35743  mblfinlem4  35744  itg2addnclem  35755  itg2addnclem3  35757  ftc1anclem5  35781  ftc1anclem6  35782  ftc1anclem7  35783  dvasin  35788  geomcau  35844  bfp  35909  ismrer1  35923  iccbnd  35925  jm2.17a  40698  acongeq  40721  jm3.1lem2  40756  areaquad  40963  lptre2pt  43071  dvnmul  43374  stoweidlem59  43490  fourierdlem42  43580  hoidmvlelem2  44024  smfmullem1  44212  ltsubsubaddltsub  44681  zm1nn  44682  nn0resubcl  44688  subsubelfzo0  44706  bgoldbtbndlem2  45146  ply1mulgsumlem2  45616  ltsubaddb  45743  ltsubsubb  45744  ltsubadd2b  45745  line2  45986