Theorem resubcl 11432

Description: Closure law for subtraction of reals. (Contributed by NM, 20-Jan-1997.)

Assertion

Ref	Expression
resubcl	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℝ)

Proof of Theorem resubcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		recn 11103	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
2		recn 11103	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℂ)
3		negsub 11416	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + -𝐵) = (𝐴 − 𝐵))
4	1, 2, 3	syl2an 596	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 + -𝐵) = (𝐴 − 𝐵))
5		renegcl 11431	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → -𝐵 ∈ ℝ)
6		readdcl 11096	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ -𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 + -𝐵) ∈ ℝ)
7	5, 6	sylan2 593	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 + -𝐵) ∈ ℝ)
8	4, 7	eqeltrrd 2834	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  (class class class)co 7352  ℂcc 11011  ℝcr 11012   + caddc 11016   − cmin 11351  -cneg 11352

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674  ax-resscn 11070  ax-1cn 11071  ax-icn 11072  ax-addcl 11073  ax-addrcl 11074  ax-mulcl 11075  ax-mulrcl 11076  ax-mulcom 11077  ax-addass 11078  ax-mulass 11079  ax-distr 11080  ax-i2m1 11081  ax-1ne0 11082  ax-1rid 11083  ax-rnegex 11084  ax-rrecex 11085  ax-cnre 11086  ax-pre-lttri 11087  ax-pre-lttrn 11088  ax-pre-ltadd 11089

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-op 4582  df-uni 4859  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-id 5514  df-po 5527  df-so 5528  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7309  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-er 8628  df-en 8876  df-dom 8877  df-sdom 8878  df-pnf 11155  df-mnf 11156  df-ltxr 11158  df-sub 11353  df-neg 11354

This theorem is referenced by:  peano2rem  11435  resubcld  11552  ltaddsub  11598  leaddsub  11600  posdif  11617  lt2sub  11622  le2sub  11623  mulsuble0b  12001  cju  12128  elz2  12493  rpnnen1lem5  12881  difrp  12932  qbtwnre  13100  iooshf  13328  iccshftl  13390  lincmb01cmp  13397  uzsubsubfz  13448  difelfzle  13543  fzonmapblen  13610  eluzgtdifelfzo  13629  subfzo0  13694  fracle1  13709  fldiv  13766  modcl  13779  2submod  13841  modsubdir  13849  modfzo0difsn  13852  expubnd  14087  absdiflt  15227  absdifle  15228  elicc4abs  15229  abssubge0  15237  abs2difabs  15244  rddif  15250  absrdbnd  15251  climsup  15579  flo1  15763  supcvg  15765  refallfaccl  15927  resin4p  16049  recos4p  16050  cos01bnd  16097  cos01gt0  16102  pythagtriplem12  16740  pythagtriplem14  16742  pythagtriplem16  16744  fldivp1  16811  prmreclem6  16835  cshwshashlem2  17010  bl2ioo  24708  ioo2bl  24709  ioo2blex  24710  blssioo  24711  blcvx  24714  reconnlem2  24744  opnreen  24748  iirev  24851  iihalf2  24856  iccpnfhmeo  24871  iccvolcl  25496  ioovolcl  25499  ismbf3d  25583  itgrecl  25727  cmvth  25923  cmvthOLD  25924  dvle  25940  dvcvx  25953  dvfsumge  25956  aalioulem3  26270  aaliou  26274  aaliou3lem9  26286  abelthlem2  26370  abelthlem7  26376  abelth2  26380  sincosq1sgn  26435  sincosq2sgn  26436  sincosq3sgn  26437  sincosq4sgn  26438  tangtx  26442  sinq12gt0  26444  cosq14gt0  26447  cosq14ge0  26448  cosne0  26466  sinord  26471  resinf1o  26473  tanregt0  26476  efif1olem2  26480  relogdiv  26530  logneg2  26552  logdivlti  26557  logcnlem4  26582  logccv  26600  cxpaddlelem  26689  loglesqrt  26699  ang180lem2  26748  acoscos  26831  acosbnd  26838  acosrecl  26841  atanlogaddlem  26851  atans2  26869  leibpi  26880  divsqrtsumo1  26922  cvxcl  26923  scvxcvx  26924  jensenlem2  26926  amgmlem  26928  harmonicbnd4  26949  zetacvg  26953  ftalem5  27015  basellem9  27027  mumullem2  27118  ppiub  27143  chtub  27151  bposlem1  27223  bposlem6  27228  bposlem9  27231  gausslemma2dlem1a  27304  chtppilim  27414  chto1ub  27415  rplogsumlem2  27424  rpvmasumlem  27426  dchrisum0flblem1  27447  dchrisum0re  27452  log2sumbnd  27483  selberglem2  27485  pntrmax  27503  pntpbnd2  27526  pntlem3  27548  brbtwn2  28885  colinearalglem4  28889  eleesub  28891  eleesubd  28892  axsegconlem2  28898  ax5seglem2  28909  ax5seglem3  28911  axpaschlem  28920  axpasch  28921  axcontlem2  28945  crctcshwlkn0lem3  29792  crctcshwlkn0lem7  29796  eucrctshift  30225  xlt2addrd  32746  signshf  34622  resconn  35311  sinccvglem  35737  fz0n  35796  dnibndlem4  36546  dnibndlem6  36548  dnibndlem7  36549  dnibndlem9  36551  dnibndlem10  36552  knoppndvlem15  36591  sin2h  37670  tan2h  37672  poimir  37713  mblfinlem3  37719  mblfinlem4  37720  itg2addnclem  37731  itg2addnclem3  37733  ftc1anclem5  37757  ftc1anclem6  37758  ftc1anclem7  37759  dvasin  37764  geomcau  37819  bfp  37884  ismrer1  37898  iccbnd  37900  jm2.17a  43077  acongeq  43100  jm3.1lem2  43135  areaquad  43333  lptre2pt  45762  dvnmul  46065  stoweidlem59  46181  fourierdlem42  46271  hoidmvlelem2  46718  smfmullem1  46913  ltsubsubaddltsub  47425  zm1nn  47426  nn0resubcl  47432  subsubelfzo0  47450  bgoldbtbndlem2  47930  ply1mulgsumlem2  48512  ltsubaddb  48639  ltsubsubb  48640  ltsubadd2b  48641  line2  48877