Theorem resubcld 11333

Description: Closure law for subtraction of reals. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
renegcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
resubcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
resubcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℝ)

Proof of Theorem resubcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		renegcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		resubcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3		resubcl 11215	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℝ)
4	1, 2, 3	syl2anc 583	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2108  (class class class)co 7255  ℝcr 10801   − cmin 11135

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-id 5480  df-po 5494  df-so 5495  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-ltxr 10945  df-sub 11137  df-neg 11138

This theorem is referenced by:  ltsubadd  11375  lesubadd  11377  lesub1  11399  lesub2  11400  ltsub1  11401  ltsub2  11402  lt2sub  11403  le2sub  11404  ltmul1a  11754  supaddc  11872  cru  11895  qbtwnre  12862  lincmb01cmp  13156  iccf1o  13157  xov1plusxeqvd  13159  intfracq  13507  fldiv  13508  modlt  13528  modsubdir  13588  modsumfzodifsn  13592  serle  13706  expmulnbnd  13878  discr  13883  fzsdom2  14071  cshwidxmod  14444  crre  14753  remullem  14767  sqrlem7  14888  absrdbnd  14981  fzomaxdiflem  14982  caubnd2  14997  amgm2  15009  icodiamlt  15075  bhmafibid1  15105  mulcn2  15233  reccn2  15234  rlimo1  15254  climle  15277  climsqz  15278  climsqz2  15279  rlimle  15287  isercolllem1  15304  climsup  15309  caucvgrlem  15312  caucvgrlem2  15314  iseraltlem2  15322  iseraltlem3  15323  iseralt  15324  fsumle  15439  cvgcmp  15456  cvgcmpce  15458  bpoly4  15697  eflt  15754  resinhcl  15793  tanhlt1  15797  sin01bnd  15822  sin01gt0  15827  moddvds  15902  bitscmp  16073  bitsinv1lem  16076  smueqlem  16125  modprm0  16434  pcbc  16529  4sqlem15  16588  blss2ps  23464  blss2  23465  blssps  23485  blss  23486  nm2dif  23687  nlmvscnlem2  23755  nrginvrcnlem  23761  iccntr  23890  icccmplem2  23892  metdstri  23920  cnllycmp  24025  evth  24028  lebnumii  24035  ipcnlem2  24313  cncmet  24391  rrxds  24462  rrxmval  24474  rrxmet  24477  rrxdstprj1  24478  rrxdsfi  24480  ehl1eudis  24489  ehl2eudis  24491  minveclem3b  24497  minveclem4  24501  ivthlem2  24521  ivthlem3  24522  ovollb2lem  24557  ovoliunlem1  24571  ovolscalem1  24582  ovolicc1  24585  ovolicc2lem4  24589  ovolicc2  24591  ovolicc  24592  voliunlem2  24620  ovolioo  24637  ioorcl2  24641  uniioovol  24648  uniioombllem2  24652  uniioombllem3a  24653  uniioombllem3  24654  uniioombllem4  24655  uniioombllem6  24657  opnmbllem  24670  volcn  24675  vitalilem2  24678  ismbf3d  24723  mbfaddlem  24729  i1fadd  24764  itg1addlem4  24768  itg1addlem4OLD  24769  mbfi1fseqlem6  24790  itg2seq  24812  itg2split  24819  itg2cnlem2  24832  itg2cn  24833  itgrevallem1  24864  dvcjbr  25018  dvferm1lem  25053  dvferm2lem  25055  cmvth  25060  mvth  25061  dvlip  25062  dvlip2  25064  c1liplem1  25065  dvgt0  25073  dvlt0  25074  dvge0  25075  dvle  25076  dvivthlem1  25077  lhop1lem  25082  lhop  25085  dvcnvrelem1  25086  dvcnvrelem2  25087  dvcnvre  25088  dvcvx  25089  dvfsumle  25090  dvfsumge  25091  dvfsumrlimf  25094  dvfsumlem2  25096  dvfsumlem3  25097  dvfsumlem4  25098  dvfsum2  25103  ftc1a  25106  ftc1lem4  25108  coe1mul3  25169  ply1divex  25206  plydivex  25362  aalioulem2  25398  aalioulem3  25399  aalioulem4  25400  aalioulem5  25401  aalioulem6  25402  aaliou3lem7  25414  taylthlem2  25438  mtest  25468  pilem2  25516  tangtx  25567  cosordlem  25591  efif1olem2  25604  logcnlem3  25704  logcnlem4  25705  isosctrlem2  25874  chordthmlem2  25888  chordthmlem4  25890  heron  25893  atanlogsublem  25970  atantan  25978  birthdaylem3  26008  logdifbnd  26048  emcllem1  26050  emcllem2  26051  emcllem5  26054  emcllem6  26055  harmonicbnd4  26065  fsumharmonic  26066  lgamgulmlem2  26084  lgamgulmlem3  26085  lgamucov  26092  relgamcl  26116  ftalem2  26128  ftalem5  26131  chpub  26273  logfaclbnd  26275  logfacbnd3  26276  logexprlim  26278  bposlem1  26337  bposlem9  26345  gausslemma2dlem1a  26418  lgseisenlem1  26428  lgsquadlem1  26433  2sqmod  26489  chtppilimlem1  26526  vmadivsum  26535  vmadivsumb  26536  rplogsumlem1  26537  rplogsumlem2  26538  rpvmasumlem  26540  dchrisumlem2  26543  dchrisum0re  26566  rplogsum  26580  mulogsumlem  26584  mulog2sumlem1  26587  vmalogdivsum2  26591  vmalogdivsum  26592  2vmadivsumlem  26593  log2sumbnd  26597  selbergb  26602  selberg2lem  26603  selberg2b  26605  chpdifbndlem1  26606  selberg3lem1  26610  selberg3lem2  26611  selberg3  26612  selberg4lem1  26613  selberg4  26614  pntrf  26616  pntrmax  26617  pntrsumo1  26618  selberg3r  26622  selberg4r  26623  selberg34r  26624  pntrlog2bndlem1  26630  pntrlog2bndlem2  26631  pntrlog2bndlem3  26632  pntrlog2bndlem4  26633  pntrlog2bndlem5  26634  pntrlog2bndlem6  26636  pntrlog2bnd  26637  pntpbnd1a  26638  pntpbnd2  26640  pntibndlem2  26644  pntlemg  26651  pntlemn  26653  pntlemj  26656  pntlemf  26658  pntlemo  26660  pntlem3  26662  pntleml  26664  ttgcontlem1  27155  eqeelen  27175  brbtwn2  27176  colinearalg  27181  axcgrid  27187  axsegconlem1  27188  axsegconlem3  27190  axsegconlem8  27195  axsegconlem9  27196  axsegconlem10  27197  ax5seglem3a  27201  ax5seg  27209  axpaschlem  27211  axcontlem8  27242  nbusgrvtxm1  27649  crctcshwlkn0lem3  28078  crctcshwlkn0lem5  28080  crctcsh  28090  clwlkclwwlklem2fv2  28261  clwlkclwwlklem2a4  28262  clwlkclwwlklem2a  28263  nvabs  28935  dipcj  28977  minvecolem4  29143  lt2addrd  30976  xlt2addrd  30983  fzsplit3  31017  bcm1n  31018  submateqlem1  31659  cnre2csqlem  31762  tpr2rico  31764  dya2ub  32137  dya2icoseg  32144  ballotlemfcc  32360  ballotlemfrcn0  32396  sgnsub  32411  signslema  32441  ftc2re  32478  subfacval3  33051  dnibndlem8  34592  dnibndlem10  34594  dnibndlem11  34595  dnibndlem12  34596  dnicn  34599  knoppcnlem4  34603  unblimceq0  34614  unbdqndv2lem2  34617  knoppndvlem11  34629  knoppndvlem14  34632  knoppndvlem15  34633  knoppndvlem17  34635  knoppndvlem20  34638  irrdifflemf  35423  poimirlem29  35733  broucube  35738  opnmbllem0  35740  mblfinlem3  35743  mblfinlem4  35744  itg2addnclem  35755  itg2addnclem3  35757  itg2gt0cn  35759  ftc1cnnclem  35775  areacirclem1  35792  areacirclem2  35793  areacirclem4  35795  areacirclem5  35796  areacirc  35797  cntotbnd  35881  rrnmet  35914  rrndstprj1  35915  rrndstprj2  35916  lcmineqlem23  39987  intlewftc  39997  aks4d1p1p2  40006  aks4d1p1p4  40007  dvle2  40008  aks4d1p1  40012  sticksstones10  40039  sticksstones12a  40041  sticksstones12  40042  metakunt1  40053  metakunt7  40059  metakunt16  40068  metakunt18  40070  metakunt28  40080  metakunt29  40081  metakunt30  40082  frlmvscadiccat  40163  fltnlta  40416  3cubeslem2  40423  3cubeslem4  40427  irrapxlem2  40561  irrapxlem3  40562  irrapxlem4  40563  irrapxlem5  40564  pellexlem2  40568  pellexlem6  40572  pell1qrgaplem  40611  rmspecsqrtnq  40644  rmspecfund  40647  rmspecpos  40654  jm2.24nn  40697  jm2.17c  40700  fzmaxdif  40719  acongeq  40721  modabsdifz  40724  jm3.1lem2  40756  areaquad  40963  sqrtcvallem2  41134  sqrtcvallem3  41135  sqrtcval  41138  imo72b2lem0  41665  cvgdvgrat  41820  hashnzfzclim  41829  binomcxplemdvbinom  41860  oddfl  42705  lefldiveq  42721  fperiodmul  42733  fzdifsuc2  42739  suprltrp  42757  supxrgere  42762  supxrgelem  42766  suplesup  42768  infleinflem2  42800  infleinf  42801  xrralrecnnge  42820  iccshift  42946  iooshift  42950  iooiinicc  42970  fmul01lt1lem2  43016  climinf  43037  sumnnodd  43061  ltmod  43069  lptre2pt  43071  climleltrp  43107  limsupgtlem  43208  liminflimsupclim  43238  fperdvper  43350  dvbdfbdioolem1  43359  dvbdfbdioolem2  43360  dvbdfbdioo  43361  ioodvbdlimc1lem1  43362  ioodvbdlimc1lem2  43363  ioodvbdlimc2lem  43365  dvnmul  43374  iblspltprt  43404  itgspltprt  43410  itgiccshift  43411  itgperiod  43412  itgsbtaddcnst  43413  sublevolico  43415  stoweidlem1  43432  stoweidlem11  43442  stoweidlem12  43443  stoweidlem13  43444  stoweidlem14  43445  stoweidlem23  43454  stoweidlem24  43455  stoweidlem25  43456  stoweidlem26  43457  stoweidlem34  43465  stoweidlem40  43471  stoweidlem41  43472  stoweidlem42  43473  stoweidlem45  43476  stoweidlem60  43491  stoweidlem62  43493  wallispilem3  43498  wallispilem4  43499  wallispi  43501  wallispi2lem1  43502  stirlinglem5  43509  stirlinglem11  43515  stirlinglem12  43516  dirkercncflem1  43534  fourierdlem4  43542  fourierdlem6  43544  fourierdlem7  43545  fourierdlem9  43547  fourierdlem13  43551  fourierdlem14  43552  fourierdlem15  43553  fourierdlem19  43557  fourierdlem26  43564  fourierdlem35  43573  fourierdlem39  43577  fourierdlem40  43578  fourierdlem41  43579  fourierdlem42  43580  fourierdlem48  43585  fourierdlem49  43586  fourierdlem50  43587  fourierdlem51  43588  fourierdlem56  43593  fourierdlem57  43594  fourierdlem59  43596  fourierdlem60  43597  fourierdlem61  43598  fourierdlem63  43600  fourierdlem64  43601  fourierdlem65  43602  fourierdlem66  43603  fourierdlem68  43605  fourierdlem71  43608  fourierdlem72  43609  fourierdlem73  43610  fourierdlem74  43611  fourierdlem75  43612  fourierdlem76  43613  fourierdlem78  43615  fourierdlem79  43616  fourierdlem81  43618  fourierdlem82  43619  fourierdlem83  43620  fourierdlem84  43621  fourierdlem88  43625  fourierdlem89  43626  fourierdlem90  43627  fourierdlem91  43628  fourierdlem92  43629  fourierdlem93  43630  fourierdlem95  43632  fourierdlem97  43634  fourierdlem101  43638  fourierdlem103  43640  fourierdlem104  43641  fourierdlem107  43644  fourierdlem109  43646  fourierdlem111  43648  fouriersw  43662  elaa2lem  43664  etransclem23  43688  rrxtopnfi  43718  rrndistlt  43721  ioorrnopnlem  43735  ioorrnopnxrlem  43737  sge0gtfsumgt  43871  iundjiun  43888  volicorecl  43974  hoiprodcl  43975  hoiprodcl3  44008  volicore  44009  hoidmvcl  44010  hoidmv1lelem2  44020  hoidmv1lelem3  44021  hoidmv1le  44022  hoidmvlelem1  44023  hoidmvlelem2  44024  hoiqssbllem1  44050  hoiqssbllem2  44051  hoiqssbllem3  44052  hspmbllem1  44054  ovolval5lem1  44080  ovolval5lem2  44081  iunhoiioolem  44103  iccvonmbllem  44106  vonicclem1  44111  preimageiingt  44144  salpreimagtge  44148  smfaddlem1  44185  smflimlem4  44196  smfmullem1  44212  smfmullem2  44213  smfmullem3  44214  ltsubsubaddltsub  44681  2elfz2melfz  44698  requad01  44961  requad1  44962  requad2  44963  bgoldbtbndlem2  45146  bgoldbtbndlem3  45147  bgoldbtbndlem4  45148  bgoldbtbnd  45149  ply1mulgsumlem2  45616  difmodm1lt  45756  nnpw2pmod  45817  dignn0flhalflem1  45849  affinecomb1  45936  rrxlinesc  45969  rrxlinec  45970  eenglngeehlnmlem1  45971  eenglngeehlnmlem2  45972  rrx2vlinest  45975  rrx2linest2  45978  2sphere  45983  line2  45986  itsclc0lem2  45991  itsclc0lem3  45992  itscnhlc0yqe  45993  itsclc0yqsollem2  45997  itsclc0yqsol  45998  itscnhlc0xyqsol  45999  itsclinecirc0  46007  itsclinecirc0b  46008  itsclinecirc0in  46009  itsclquadb  46010  2itscp  46015  itscnhlinecirc02plem1  46016  itscnhlinecirc02p  46019  inlinecirc02plem  46020  amgmwlem  46392