Theorem resubcld 11412

Description: Closure law for subtraction of reals. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
renegcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
resubcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
resubcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℝ)

Proof of Theorem resubcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		renegcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		resubcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3		resubcl 11294	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℝ)
4	1, 2, 3	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2107  (class class class)co 7284  ℝcr 10879   − cmin 11214

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2710  ax-sep 5224  ax-nul 5231  ax-pow 5289  ax-pr 5353  ax-un 7597  ax-resscn 10937  ax-1cn 10938  ax-icn 10939  ax-addcl 10940  ax-addrcl 10941  ax-mulcl 10942  ax-mulrcl 10943  ax-mulcom 10944  ax-addass 10945  ax-mulass 10946  ax-distr 10947  ax-i2m1 10948  ax-1ne0 10949  ax-1rid 10950  ax-rnegex 10951  ax-rrecex 10952  ax-cnre 10953  ax-pre-lttri 10954  ax-pre-lttrn 10955  ax-pre-ltadd 10956

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2817  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3070  df-rex 3071  df-reu 3073  df-rab 3074  df-v 3435  df-sbc 3718  df-csb 3834  df-dif 3891  df-un 3893  df-in 3895  df-ss 3905  df-nul 4258  df-if 4461  df-pw 4536  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4841  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5159  df-id 5490  df-po 5504  df-so 5505  df-xp 5596  df-rel 5597  df-cnv 5598  df-co 5599  df-dm 5600  df-rn 5601  df-res 5602  df-ima 5603  df-iota 6395  df-fun 6439  df-fn 6440  df-f 6441  df-f1 6442  df-fo 6443  df-f1o 6444  df-fv 6445  df-riota 7241  df-ov 7287  df-oprab 7288  df-mpo 7289  df-er 8507  df-en 8743  df-dom 8744  df-sdom 8745  df-pnf 11020  df-mnf 11021  df-ltxr 11023  df-sub 11216  df-neg 11217

This theorem is referenced by:  ltsubadd  11454  lesubadd  11456  lesub1  11478  lesub2  11479  ltsub1  11480  ltsub2  11481  lt2sub  11482  le2sub  11483  ltmul1a  11833  supaddc  11951  cru  11974  qbtwnre  12942  lincmb01cmp  13236  iccf1o  13237  xov1plusxeqvd  13239  intfracq  13588  fldiv  13589  modlt  13609  modsubdir  13669  modsumfzodifsn  13673  serle  13787  expmulnbnd  13959  discr  13964  fzsdom2  14152  cshwidxmod  14525  crre  14834  remullem  14848  sqrlem7  14969  absrdbnd  15062  fzomaxdiflem  15063  caubnd2  15078  amgm2  15090  icodiamlt  15156  bhmafibid1  15186  mulcn2  15314  reccn2  15315  rlimo1  15335  climle  15358  climsqz  15359  climsqz2  15360  rlimle  15368  isercolllem1  15385  climsup  15390  caucvgrlem  15393  caucvgrlem2  15395  iseraltlem2  15403  iseraltlem3  15404  iseralt  15405  fsumle  15520  cvgcmp  15537  cvgcmpce  15539  bpoly4  15778  eflt  15835  resinhcl  15874  tanhlt1  15878  sin01bnd  15903  sin01gt0  15908  moddvds  15983  bitscmp  16154  bitsinv1lem  16157  smueqlem  16206  modprm0  16515  pcbc  16610  4sqlem15  16669  blss2ps  23565  blss2  23566  blssps  23586  blss  23587  nm2dif  23790  nlmvscnlem2  23858  nrginvrcnlem  23864  iccntr  23993  icccmplem2  23995  metdstri  24023  cnllycmp  24128  evth  24131  lebnumii  24138  ipcnlem2  24417  cncmet  24495  rrxds  24566  rrxmval  24578  rrxmet  24581  rrxdstprj1  24582  rrxdsfi  24584  ehl1eudis  24593  ehl2eudis  24595  minveclem3b  24601  minveclem4  24605  ivthlem2  24625  ivthlem3  24626  ovollb2lem  24661  ovoliunlem1  24675  ovolscalem1  24686  ovolicc1  24689  ovolicc2lem4  24693  ovolicc2  24695  ovolicc  24696  voliunlem2  24724  ovolioo  24741  ioorcl2  24745  uniioovol  24752  uniioombllem2  24756  uniioombllem3a  24757  uniioombllem3  24758  uniioombllem4  24759  uniioombllem6  24761  opnmbllem  24774  volcn  24779  vitalilem2  24782  ismbf3d  24827  mbfaddlem  24833  i1fadd  24868  itg1addlem4  24872  itg1addlem4OLD  24873  mbfi1fseqlem6  24894  itg2seq  24916  itg2split  24923  itg2cnlem2  24936  itg2cn  24937  itgrevallem1  24968  dvcjbr  25122  dvferm1lem  25157  dvferm2lem  25159  cmvth  25164  mvth  25165  dvlip  25166  dvlip2  25168  c1liplem1  25169  dvgt0  25177  dvlt0  25178  dvge0  25179  dvle  25180  dvivthlem1  25181  lhop1lem  25186  lhop  25189  dvcnvrelem1  25190  dvcnvrelem2  25191  dvcnvre  25192  dvcvx  25193  dvfsumle  25194  dvfsumge  25195  dvfsumrlimf  25198  dvfsumlem2  25200  dvfsumlem3  25201  dvfsumlem4  25202  dvfsum2  25207  ftc1a  25210  ftc1lem4  25212  coe1mul3  25273  ply1divex  25310  plydivex  25466  aalioulem2  25502  aalioulem3  25503  aalioulem4  25504  aalioulem5  25505  aalioulem6  25506  aaliou3lem7  25518  taylthlem2  25542  mtest  25572  pilem2  25620  tangtx  25671  cosordlem  25695  efif1olem2  25708  logcnlem3  25808  logcnlem4  25809  isosctrlem2  25978  chordthmlem2  25992  chordthmlem4  25994  heron  25997  atanlogsublem  26074  atantan  26082  birthdaylem3  26112  logdifbnd  26152  emcllem1  26154  emcllem2  26155  emcllem5  26158  emcllem6  26159  harmonicbnd4  26169  fsumharmonic  26170  lgamgulmlem2  26188  lgamgulmlem3  26189  lgamucov  26196  relgamcl  26220  ftalem2  26232  ftalem5  26235  chpub  26377  logfaclbnd  26379  logfacbnd3  26380  logexprlim  26382  bposlem1  26441  bposlem9  26449  gausslemma2dlem1a  26522  lgseisenlem1  26532  lgsquadlem1  26537  2sqmod  26593  chtppilimlem1  26630  vmadivsum  26639  vmadivsumb  26640  rplogsumlem1  26641  rplogsumlem2  26642  rpvmasumlem  26644  dchrisumlem2  26647  dchrisum0re  26670  rplogsum  26684  mulogsumlem  26688  mulog2sumlem1  26691  vmalogdivsum2  26695  vmalogdivsum  26696  2vmadivsumlem  26697  log2sumbnd  26701  selbergb  26706  selberg2lem  26707  selberg2b  26709  chpdifbndlem1  26710  selberg3lem1  26714  selberg3lem2  26715  selberg3  26716  selberg4lem1  26717  selberg4  26718  pntrf  26720  pntrmax  26721  pntrsumo1  26722  selberg3r  26726  selberg4r  26727  selberg34r  26728  pntrlog2bndlem1  26734  pntrlog2bndlem2  26735  pntrlog2bndlem3  26736  pntrlog2bndlem4  26737  pntrlog2bndlem5  26738  pntrlog2bndlem6  26740  pntrlog2bnd  26741  pntpbnd1a  26742  pntpbnd2  26744  pntibndlem2  26748  pntlemg  26755  pntlemn  26757  pntlemj  26760  pntlemf  26762  pntlemo  26764  pntlem3  26766  pntleml  26768  ttgcontlem1  27261  eqeelen  27281  brbtwn2  27282  colinearalg  27287  axcgrid  27293  axsegconlem1  27294  axsegconlem3  27296  axsegconlem8  27301  axsegconlem9  27302  axsegconlem10  27303  ax5seglem3a  27307  ax5seg  27315  axpaschlem  27317  axcontlem8  27348  nbusgrvtxm1  27755  crctcshwlkn0lem3  28186  crctcshwlkn0lem5  28188  crctcsh  28198  clwlkclwwlklem2fv2  28369  clwlkclwwlklem2a4  28370  clwlkclwwlklem2a  28371  nvabs  29043  dipcj  29085  minvecolem4  29251  lt2addrd  31083  xlt2addrd  31090  fzsplit3  31124  bcm1n  31125  submateqlem1  31766  cnre2csqlem  31869  tpr2rico  31871  dya2ub  32246  dya2icoseg  32253  ballotlemfcc  32469  ballotlemfrcn0  32505  sgnsub  32520  signslema  32550  ftc2re  32587  subfacval3  33160  dnibndlem8  34674  dnibndlem10  34676  dnibndlem11  34677  dnibndlem12  34678  dnicn  34681  knoppcnlem4  34685  unblimceq0  34696  unbdqndv2lem2  34699  knoppndvlem11  34711  knoppndvlem14  34714  knoppndvlem15  34715  knoppndvlem17  34717  knoppndvlem20  34720  irrdifflemf  35505  poimirlem29  35815  broucube  35820  opnmbllem0  35822  mblfinlem3  35825  mblfinlem4  35826  itg2addnclem  35837  itg2addnclem3  35839  itg2gt0cn  35841  ftc1cnnclem  35857  areacirclem1  35874  areacirclem2  35875  areacirclem4  35877  areacirclem5  35878  areacirc  35879  cntotbnd  35963  rrnmet  35996  rrndstprj1  35997  rrndstprj2  35998  lcmineqlem23  40066  intlewftc  40076  aks4d1p1p2  40085  aks4d1p1p4  40086  dvle2  40087  aks4d1p1  40091  sticksstones10  40118  sticksstones12a  40120  sticksstones12  40121  metakunt1  40132  metakunt7  40138  metakunt16  40147  metakunt18  40149  metakunt28  40159  metakunt29  40160  metakunt30  40161  frlmvscadiccat  40244  fltnlta  40507  3cubeslem2  40514  3cubeslem4  40518  irrapxlem2  40652  irrapxlem3  40653  irrapxlem4  40654  irrapxlem5  40655  pellexlem2  40659  pellexlem6  40663  pell1qrgaplem  40702  rmspecsqrtnq  40735  rmspecfund  40738  rmspecpos  40745  jm2.24nn  40788  jm2.17c  40791  fzmaxdif  40810  acongeq  40812  modabsdifz  40815  jm3.1lem2  40847  areaquad  41054  sqrtcvallem2  41252  sqrtcvallem3  41253  sqrtcval  41256  imo72b2lem0  41783  cvgdvgrat  41938  hashnzfzclim  41947  binomcxplemdvbinom  41978  oddfl  42823  lefldiveq  42838  fperiodmul  42850  fzdifsuc2  42856  suprltrp  42874  supxrgere  42879  supxrgelem  42883  suplesup  42885  infleinflem2  42917  infleinf  42918  xrralrecnnge  42937  iccshift  43063  iooshift  43067  iooiinicc  43087  fmul01lt1lem2  43133  climinf  43154  sumnnodd  43178  ltmod  43186  lptre2pt  43188  climleltrp  43224  limsupgtlem  43325  liminflimsupclim  43355  fperdvper  43467  dvbdfbdioolem1  43476  dvbdfbdioolem2  43477  dvbdfbdioo  43478  ioodvbdlimc1lem1  43479  ioodvbdlimc1lem2  43480  ioodvbdlimc2lem  43482  dvnmul  43491  iblspltprt  43521  itgspltprt  43527  itgiccshift  43528  itgperiod  43529  itgsbtaddcnst  43530  sublevolico  43532  stoweidlem1  43549  stoweidlem11  43559  stoweidlem12  43560  stoweidlem13  43561  stoweidlem14  43562  stoweidlem23  43571  stoweidlem24  43572  stoweidlem25  43573  stoweidlem26  43574  stoweidlem34  43582  stoweidlem40  43588  stoweidlem41  43589  stoweidlem42  43590  stoweidlem45  43593  stoweidlem60  43608  stoweidlem62  43610  wallispilem3  43615  wallispilem4  43616  wallispi  43618  wallispi2lem1  43619  stirlinglem5  43626  stirlinglem11  43632  stirlinglem12  43633  dirkercncflem1  43651  fourierdlem4  43659  fourierdlem6  43661  fourierdlem7  43662  fourierdlem9  43664  fourierdlem13  43668  fourierdlem14  43669  fourierdlem15  43670  fourierdlem19  43674  fourierdlem26  43681  fourierdlem35  43690  fourierdlem39  43694  fourierdlem40  43695  fourierdlem41  43696  fourierdlem42  43697  fourierdlem48  43702  fourierdlem49  43703  fourierdlem50  43704  fourierdlem51  43705  fourierdlem56  43710  fourierdlem57  43711  fourierdlem59  43713  fourierdlem60  43714  fourierdlem61  43715  fourierdlem63  43717  fourierdlem64  43718  fourierdlem65  43719  fourierdlem66  43720  fourierdlem68  43722  fourierdlem71  43725  fourierdlem72  43726  fourierdlem73  43727  fourierdlem74  43728  fourierdlem75  43729  fourierdlem76  43730  fourierdlem78  43732  fourierdlem79  43733  fourierdlem81  43735  fourierdlem82  43736  fourierdlem83  43737  fourierdlem84  43738  fourierdlem88  43742  fourierdlem89  43743  fourierdlem90  43744  fourierdlem91  43745  fourierdlem92  43746  fourierdlem93  43747  fourierdlem95  43749  fourierdlem97  43751  fourierdlem101  43755  fourierdlem103  43757  fourierdlem104  43758  fourierdlem107  43761  fourierdlem109  43763  fourierdlem111  43765  fouriersw  43779  elaa2lem  43781  etransclem23  43805  rrxtopnfi  43835  rrndistlt  43838  ioorrnopnlem  43852  ioorrnopnxrlem  43854  sge0gtfsumgt  43988  iundjiun  44005  volicorecl  44091  hoiprodcl  44092  hoiprodcl3  44125  volicore  44126  hoidmvcl  44127  hoidmv1lelem2  44137  hoidmv1lelem3  44138  hoidmv1le  44139  hoidmvlelem1  44140  hoidmvlelem2  44141  hoiqssbllem1  44167  hoiqssbllem2  44168  hoiqssbllem3  44169  hspmbllem1  44171  ovolval5lem1  44197  ovolval5lem2  44198  iunhoiioolem  44220  iccvonmbllem  44223  vonicclem1  44228  preimageiingt  44265  salpreimagtge  44270  smfaddlem1  44308  smflimlem4  44319  smfmullem1  44336  smfmullem2  44337  smfmullem3  44338  ltsubsubaddltsub  44804  2elfz2melfz  44821  requad01  45084  requad1  45085  requad2  45086  bgoldbtbndlem2  45269  bgoldbtbndlem3  45270  bgoldbtbndlem4  45271  bgoldbtbnd  45272  ply1mulgsumlem2  45739  difmodm1lt  45879  nnpw2pmod  45940  dignn0flhalflem1  45972  affinecomb1  46059  rrxlinesc  46092  rrxlinec  46093  eenglngeehlnmlem1  46094  eenglngeehlnmlem2  46095  rrx2vlinest  46098  rrx2linest2  46101  2sphere  46106  line2  46109  itsclc0lem2  46114  itsclc0lem3  46115  itscnhlc0yqe  46116  itsclc0yqsollem2  46120  itsclc0yqsol  46121  itscnhlc0xyqsol  46122  itsclinecirc0  46130  itsclinecirc0b  46131  itsclinecirc0in  46132  itsclquadb  46133  2itscp  46138  itscnhlinecirc02plem1  46139  itscnhlinecirc02p  46142  inlinecirc02plem  46143  amgmwlem  46517