Theorem zm1nn 45996

Description: An integer minus 1 is positive under certain circumstances. (Contributed by Alexander van der Vekens, 9-Jun-2018.)

Assertion

Ref	Expression
zm1nn	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → ((𝐽 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐽 ∧ 𝐽 < ((𝐿 − 𝑁) − 1)) → (𝐿 − 1) ∈ ℕ))

Proof of Theorem zm1nn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0red 11213	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐽 ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → 0 ∈ ℝ)
2		simpl 483	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐽 ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → 𝐽 ∈ ℝ)
3		zre 12558	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐿 ∈ ℤ → 𝐿 ∈ ℝ)
4		nn0re 12477	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℝ)
5		resubcl 11520	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐿 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝐿 − 𝑁) ∈ ℝ)
6	3, 4, 5	syl2anr 597	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (𝐿 − 𝑁) ∈ ℝ)
7	6	adantl 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐽 ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → (𝐿 − 𝑁) ∈ ℝ)
8		peano2rem 11523	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐿 − 𝑁) ∈ ℝ → ((𝐿 − 𝑁) − 1) ∈ ℝ)
9	7, 8	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐽 ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → ((𝐿 − 𝑁) − 1) ∈ ℝ)
10		lelttr 11300	. . . . . . 7 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐽 ∈ ℝ ∧ ((𝐿 − 𝑁) − 1) ∈ ℝ) → ((0 ≤ 𝐽 ∧ 𝐽 < ((𝐿 − 𝑁) − 1)) → 0 < ((𝐿 − 𝑁) − 1)))
11	1, 2, 9, 10	syl3anc 1371	. . . . . 6 ⊢ ((𝐽 ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → ((0 ≤ 𝐽 ∧ 𝐽 < ((𝐿 − 𝑁) − 1)) → 0 < ((𝐿 − 𝑁) − 1)))
12		1red 11211	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → 1 ∈ ℝ)
13	12, 6	posdifd 11797	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (1 < (𝐿 − 𝑁) ↔ 0 < ((𝐿 − 𝑁) − 1)))
14	4	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℝ)
15	3	adantl 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → 𝐿 ∈ ℝ)
16	12, 14, 15	ltaddsubd 11810	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → ((1 + 𝑁) < 𝐿 ↔ 1 < (𝐿 − 𝑁)))
17		elnn0z 12567	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑁))
18		0red 11213	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → 0 ∈ ℝ)
19		zre 12558	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
20	19	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℝ)
21		1red 11211	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → 1 ∈ ℝ)
22	18, 20, 21	leadd2d 11805	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (0 ≤ 𝑁 ↔ (1 + 0) ≤ (1 + 𝑁)))
23		1re 11210	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 1 ∈ ℝ
24		0re 11212	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 0 ∈ ℝ
25	23, 24	readdcli 11225	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (1 + 0) ∈ ℝ
26	25	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (1 + 0) ∈ ℝ)
27		1red 11211	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 1 ∈ ℝ)
28	27, 19	readdcld 11239	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (1 + 𝑁) ∈ ℝ)
29	28	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (1 + 𝑁) ∈ ℝ)
30	3	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → 𝐿 ∈ ℝ)
31		lelttr 11300	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((1 + 0) ∈ ℝ ∧ (1 + 𝑁) ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℝ) → (((1 + 0) ≤ (1 + 𝑁) ∧ (1 + 𝑁) < 𝐿) → (1 + 0) < 𝐿))
32	26, 29, 30, 31	syl3anc 1371	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (((1 + 0) ≤ (1 + 𝑁) ∧ (1 + 𝑁) < 𝐿) → (1 + 0) < 𝐿))
33		peano2zm 12601	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝐿 ∈ ℤ → (𝐿 − 1) ∈ ℤ)
34	33	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (𝐿 − 1) ∈ ℤ)
35	34	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (1 + 0) < 𝐿) → (𝐿 − 1) ∈ ℤ)
36		1red 11211	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝐿 ∈ ℤ → 1 ∈ ℝ)
37		0red 11213	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝐿 ∈ ℤ → 0 ∈ ℝ)
38	36, 37, 3	ltaddsub2d 11811	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝐿 ∈ ℤ → ((1 + 0) < 𝐿 ↔ 0 < (𝐿 − 1)))
39	38	biimpd 228	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝐿 ∈ ℤ → ((1 + 0) < 𝐿 → 0 < (𝐿 − 1)))
40	39	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → ((1 + 0) < 𝐿 → 0 < (𝐿 − 1)))
41	40	imp 407	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (1 + 0) < 𝐿) → 0 < (𝐿 − 1))
42		elnnz 12564	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐿 − 1) ∈ ℕ ↔ ((𝐿 − 1) ∈ ℤ ∧ 0 < (𝐿 − 1)))
43	35, 41, 42	sylanbrc 583	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (1 + 0) < 𝐿) → (𝐿 − 1) ∈ ℕ)
44	43	ex 413	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → ((1 + 0) < 𝐿 → (𝐿 − 1) ∈ ℕ))
45	32, 44	syld 47	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (((1 + 0) ≤ (1 + 𝑁) ∧ (1 + 𝑁) < 𝐿) → (𝐿 − 1) ∈ ℕ))
46	45	expd 416	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → ((1 + 0) ≤ (1 + 𝑁) → ((1 + 𝑁) < 𝐿 → (𝐿 − 1) ∈ ℕ)))
47	22, 46	sylbid 239	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (0 ≤ 𝑁 → ((1 + 𝑁) < 𝐿 → (𝐿 − 1) ∈ ℕ)))
48	47	impancom 452	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑁) → (𝐿 ∈ ℤ → ((1 + 𝑁) < 𝐿 → (𝐿 − 1) ∈ ℕ)))
49	17, 48	sylbi 216	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐿 ∈ ℤ → ((1 + 𝑁) < 𝐿 → (𝐿 − 1) ∈ ℕ)))
50	49	imp 407	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → ((1 + 𝑁) < 𝐿 → (𝐿 − 1) ∈ ℕ))
51	16, 50	sylbird 259	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (1 < (𝐿 − 𝑁) → (𝐿 − 1) ∈ ℕ))
52	13, 51	sylbird 259	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (0 < ((𝐿 − 𝑁) − 1) → (𝐿 − 1) ∈ ℕ))
53	52	adantl 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝐽 ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → (0 < ((𝐿 − 𝑁) − 1) → (𝐿 − 1) ∈ ℕ))
54	11, 53	syld 47	. . . . 5 ⊢ ((𝐽 ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → ((0 ≤ 𝐽 ∧ 𝐽 < ((𝐿 − 𝑁) − 1)) → (𝐿 − 1) ∈ ℕ))
55	54	ex 413	. . . 4 ⊢ (𝐽 ∈ ℝ → ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → ((0 ≤ 𝐽 ∧ 𝐽 < ((𝐿 − 𝑁) − 1)) → (𝐿 − 1) ∈ ℕ)))
56	55	com23 86	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ ℝ → ((0 ≤ 𝐽 ∧ 𝐽 < ((𝐿 − 𝑁) − 1)) → ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (𝐿 − 1) ∈ ℕ)))
57	56	3impib 1116	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐽 ∧ 𝐽 < ((𝐿 − 𝑁) − 1)) → ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (𝐿 − 1) ∈ ℕ))
58	57	com12 32	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → ((𝐽 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐽 ∧ 𝐽 < ((𝐿 − 𝑁) − 1)) → (𝐿 − 1) ∈ ℕ))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5147  (class class class)co 7405  ℝcr 11105  0cc0 11106  1c1 11107   + caddc 11109   < clt 11244   ≤ cle 11245   − cmin 11440  ℕcn 12208  ℕ₀cn0 12468  ℤcz 12554

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-n0 12469  df-z 12555

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