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Theorem zm1nn 43856
Description: An integer minus 1 is positive under certain circumstances. (Contributed by Alexander van der Vekens, 9-Jun-2018.)
Assertion
Ref Expression
zm1nn ((𝑁 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℤ) → ((𝐽 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐽𝐽 < ((𝐿𝑁) − 1)) → (𝐿 − 1) ∈ ℕ))

Proof of Theorem zm1nn
StepHypRef Expression
1 0red 10637 . . . . . . 7 ((𝐽 ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℤ)) → 0 ∈ ℝ)
2 simpl 486 . . . . . . 7 ((𝐽 ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℤ)) → 𝐽 ∈ ℝ)
3 zre 11977 . . . . . . . . . 10 (𝐿 ∈ ℤ → 𝐿 ∈ ℝ)
4 nn0re 11898 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℝ)
5 resubcl 10943 . . . . . . . . . 10 ((𝐿 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝐿𝑁) ∈ ℝ)
63, 4, 5syl2anr 599 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℤ) → (𝐿𝑁) ∈ ℝ)
76adantl 485 . . . . . . . 8 ((𝐽 ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℤ)) → (𝐿𝑁) ∈ ℝ)
8 peano2rem 10946 . . . . . . . 8 ((𝐿𝑁) ∈ ℝ → ((𝐿𝑁) − 1) ∈ ℝ)
97, 8syl 17 . . . . . . 7 ((𝐽 ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℤ)) → ((𝐿𝑁) − 1) ∈ ℝ)
10 lelttr 10724 . . . . . . 7 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐽 ∈ ℝ ∧ ((𝐿𝑁) − 1) ∈ ℝ) → ((0 ≤ 𝐽𝐽 < ((𝐿𝑁) − 1)) → 0 < ((𝐿𝑁) − 1)))
111, 2, 9, 10syl3anc 1368 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℤ)) → ((0 ≤ 𝐽𝐽 < ((𝐿𝑁) − 1)) → 0 < ((𝐿𝑁) − 1)))
12 1red 10635 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℤ) → 1 ∈ ℝ)
1312, 6posdifd 11220 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℤ) → (1 < (𝐿𝑁) ↔ 0 < ((𝐿𝑁) − 1)))
144adantr 484 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℝ)
153adantl 485 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℤ) → 𝐿 ∈ ℝ)
1612, 14, 15ltaddsubd 11233 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℤ) → ((1 + 𝑁) < 𝐿 ↔ 1 < (𝐿𝑁)))
17 elnn0z 11986 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑁))
18 0red 10637 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → 0 ∈ ℝ)
19 zre 11977 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
2019adantr 484 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℝ)
21 1red 10635 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → 1 ∈ ℝ)
2218, 20, 21leadd2d 11228 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (0 ≤ 𝑁 ↔ (1 + 0) ≤ (1 + 𝑁)))
23 1re 10634 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1 ∈ ℝ
24 0re 10636 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 0 ∈ ℝ
2523, 24readdcli 10649 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (1 + 0) ∈ ℝ
2625a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (1 + 0) ∈ ℝ)
27 1red 10635 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑁 ∈ ℤ → 1 ∈ ℝ)
2827, 19readdcld 10663 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑁 ∈ ℤ → (1 + 𝑁) ∈ ℝ)
2928adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (1 + 𝑁) ∈ ℝ)
303adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → 𝐿 ∈ ℝ)
31 lelttr 10724 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((1 + 0) ∈ ℝ ∧ (1 + 𝑁) ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℝ) → (((1 + 0) ≤ (1 + 𝑁) ∧ (1 + 𝑁) < 𝐿) → (1 + 0) < 𝐿))
3226, 29, 30, 31syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (((1 + 0) ≤ (1 + 𝑁) ∧ (1 + 𝑁) < 𝐿) → (1 + 0) < 𝐿))
33 peano2zm 12017 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐿 ∈ ℤ → (𝐿 − 1) ∈ ℤ)
3433adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (𝐿 − 1) ∈ ℤ)
3534adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (1 + 0) < 𝐿) → (𝐿 − 1) ∈ ℤ)
36 1red 10635 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝐿 ∈ ℤ → 1 ∈ ℝ)
37 0red 10637 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝐿 ∈ ℤ → 0 ∈ ℝ)
3836, 37, 3ltaddsub2d 11234 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐿 ∈ ℤ → ((1 + 0) < 𝐿 ↔ 0 < (𝐿 − 1)))
3938biimpd 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐿 ∈ ℤ → ((1 + 0) < 𝐿 → 0 < (𝐿 − 1)))
4039adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → ((1 + 0) < 𝐿 → 0 < (𝐿 − 1)))
4140imp 410 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (1 + 0) < 𝐿) → 0 < (𝐿 − 1))
42 elnnz 11983 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐿 − 1) ∈ ℕ ↔ ((𝐿 − 1) ∈ ℤ ∧ 0 < (𝐿 − 1)))
4335, 41, 42sylanbrc 586 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (1 + 0) < 𝐿) → (𝐿 − 1) ∈ ℕ)
4443ex 416 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → ((1 + 0) < 𝐿 → (𝐿 − 1) ∈ ℕ))
4532, 44syld 47 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (((1 + 0) ≤ (1 + 𝑁) ∧ (1 + 𝑁) < 𝐿) → (𝐿 − 1) ∈ ℕ))
4645expd 419 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → ((1 + 0) ≤ (1 + 𝑁) → ((1 + 𝑁) < 𝐿 → (𝐿 − 1) ∈ ℕ)))
4722, 46sylbid 243 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (0 ≤ 𝑁 → ((1 + 𝑁) < 𝐿 → (𝐿 − 1) ∈ ℕ)))
4847impancom 455 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑁) → (𝐿 ∈ ℤ → ((1 + 𝑁) < 𝐿 → (𝐿 − 1) ∈ ℕ)))
4917, 48sylbi 220 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐿 ∈ ℤ → ((1 + 𝑁) < 𝐿 → (𝐿 − 1) ∈ ℕ)))
5049imp 410 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℤ) → ((1 + 𝑁) < 𝐿 → (𝐿 − 1) ∈ ℕ))
5116, 50sylbird 263 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℤ) → (1 < (𝐿𝑁) → (𝐿 − 1) ∈ ℕ))
5213, 51sylbird 263 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℤ) → (0 < ((𝐿𝑁) − 1) → (𝐿 − 1) ∈ ℕ))
5352adantl 485 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℤ)) → (0 < ((𝐿𝑁) − 1) → (𝐿 − 1) ∈ ℕ))
5411, 53syld 47 . . . . 5 ((𝐽 ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℤ)) → ((0 ≤ 𝐽𝐽 < ((𝐿𝑁) − 1)) → (𝐿 − 1) ∈ ℕ))
5554ex 416 . . . 4 (𝐽 ∈ ℝ → ((𝑁 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℤ) → ((0 ≤ 𝐽𝐽 < ((𝐿𝑁) − 1)) → (𝐿 − 1) ∈ ℕ)))
5655com23 86 . . 3 (𝐽 ∈ ℝ → ((0 ≤ 𝐽𝐽 < ((𝐿𝑁) − 1)) → ((𝑁 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℤ) → (𝐿 − 1) ∈ ℕ)))
57563impib 1113 . 2 ((𝐽 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐽𝐽 < ((𝐿𝑁) − 1)) → ((𝑁 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℤ) → (𝐿 − 1) ∈ ℕ))
5857com12 32 1 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℤ) → ((𝐽 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐽𝐽 < ((𝐿𝑁) − 1)) → (𝐿 − 1) ∈ ℕ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399  w3a 1084  wcel 2112   class class class wbr 5033  (class class class)co 7139  cr 10529  0cc0 10530  1c1 10531   + caddc 10533   < clt 10668  cle 10669  cmin 10863  cn 11629  0cn0 11889  cz 11973
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-om 7565  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-er 8276  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-nn 11630  df-n0 11890  df-z 11974
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