Theorem zm1nn 48190

Description: An integer minus 1 is positive under certain circumstances. (Contributed by Alexander van der Vekens, 9-Jun-2018.)

Assertion

Ref	Expression
zm1nn	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → ((𝐽 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐽 ∧ 𝐽 < ((𝐿 − 𝑁) − 1)) → (𝐿 − 1) ∈ ℕ))

Proof of Theorem zm1nn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0red 11235	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐽 ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → 0 ∈ ℝ)
2		simpl 488	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐽 ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → 𝐽 ∈ ℝ)
3		zre 12619	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐿 ∈ ℤ → 𝐿 ∈ ℝ)
4		nn0re 12537	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℝ)
5		resubcl 11546	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐿 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝐿 − 𝑁) ∈ ℝ)
6	3, 4, 5	syl2anr 609	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (𝐿 − 𝑁) ∈ ℝ)
7	6	adantl 487	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐽 ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → (𝐿 − 𝑁) ∈ ℝ)
8		peano2rem 11549	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐿 − 𝑁) ∈ ℝ → ((𝐿 − 𝑁) − 1) ∈ ℝ)
9	7, 8	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐽 ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → ((𝐿 − 𝑁) − 1) ∈ ℝ)
10		lelttr 11324	. . . . . . 7 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐽 ∈ ℝ ∧ ((𝐿 − 𝑁) − 1) ∈ ℝ) → ((0 ≤ 𝐽 ∧ 𝐽 < ((𝐿 − 𝑁) − 1)) → 0 < ((𝐿 − 𝑁) − 1)))
11	1, 2, 9, 10	syl3anc 1398	. . . . . 6 ⊢ ((𝐽 ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → ((0 ≤ 𝐽 ∧ 𝐽 < ((𝐿 − 𝑁) − 1)) → 0 < ((𝐿 − 𝑁) − 1)))
12		1red 11233	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → 1 ∈ ℝ)
13	12, 6	posdifd 11825	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (1 < (𝐿 − 𝑁) ↔ 0 < ((𝐿 − 𝑁) − 1)))
14	4	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℝ)
15	3	adantl 487	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → 𝐿 ∈ ℝ)
16	12, 14, 15	ltaddsubd 11838	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → ((1 + 𝑁) < 𝐿 ↔ 1 < (𝐿 − 𝑁)))
17		elnn0z 12628	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑁))
18		0red 11235	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → 0 ∈ ℝ)
19		zre 12619	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
20	19	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℝ)
21		1red 11233	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → 1 ∈ ℝ)
22	18, 20, 21	leadd2d 11833	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (0 ≤ 𝑁 ↔ (1 + 0) ≤ (1 + 𝑁)))
23		1re 11232	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 1 ∈ ℝ
24		0re 11234	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 0 ∈ ℝ
25	23, 24	readdcli 11248	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (1 + 0) ∈ ℝ
26	25	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (1 + 0) ∈ ℝ)
27		1red 11233	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 1 ∈ ℝ)
28	27, 19	readdcld 11262	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (1 + 𝑁) ∈ ℝ)
29	28	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (1 + 𝑁) ∈ ℝ)
30	3	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → 𝐿 ∈ ℝ)
31		lelttr 11324	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((1 + 0) ∈ ℝ ∧ (1 + 𝑁) ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℝ) → (((1 + 0) ≤ (1 + 𝑁) ∧ (1 + 𝑁) < 𝐿) → (1 + 0) < 𝐿))
32	26, 29, 30, 31	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (((1 + 0) ≤ (1 + 𝑁) ∧ (1 + 𝑁) < 𝐿) → (1 + 0) < 𝐿))
33		peano2zm 12661	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝐿 ∈ ℤ → (𝐿 − 1) ∈ ℤ)
34	33	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (𝐿 − 1) ∈ ℤ)
35	34	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (1 + 0) < 𝐿) → (𝐿 − 1) ∈ ℤ)
36		1red 11233	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝐿 ∈ ℤ → 1 ∈ ℝ)
37		0red 11235	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝐿 ∈ ℤ → 0 ∈ ℝ)
38	36, 37, 3	ltaddsub2d 11839	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝐿 ∈ ℤ → ((1 + 0) < 𝐿 ↔ 0 < (𝐿 − 1)))
39	38	biimpd 232	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝐿 ∈ ℤ → ((1 + 0) < 𝐿 → 0 < (𝐿 − 1)))
40	39	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → ((1 + 0) < 𝐿 → 0 < (𝐿 − 1)))
41	40	imp 412	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (1 + 0) < 𝐿) → 0 < (𝐿 − 1))
42		elnnz 12625	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐿 − 1) ∈ ℕ ↔ ((𝐿 − 1) ∈ ℤ ∧ 0 < (𝐿 − 1)))
43	35, 41, 42	sylanbrc 595	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (1 + 0) < 𝐿) → (𝐿 − 1) ∈ ℕ)
44	43	ex 418	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → ((1 + 0) < 𝐿 → (𝐿 − 1) ∈ ℕ))
45	32, 44	syld 48	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (((1 + 0) ≤ (1 + 𝑁) ∧ (1 + 𝑁) < 𝐿) → (𝐿 − 1) ∈ ℕ))
46	45	expd 421	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → ((1 + 0) ≤ (1 + 𝑁) → ((1 + 𝑁) < 𝐿 → (𝐿 − 1) ∈ ℕ)))
47	22, 46	sylbid 243	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (0 ≤ 𝑁 → ((1 + 𝑁) < 𝐿 → (𝐿 − 1) ∈ ℕ)))
48	47	impancom 457	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑁) → (𝐿 ∈ ℤ → ((1 + 𝑁) < 𝐿 → (𝐿 − 1) ∈ ℕ)))
49	17, 48	sylbi 220	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐿 ∈ ℤ → ((1 + 𝑁) < 𝐿 → (𝐿 − 1) ∈ ℕ)))
50	49	imp 412	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → ((1 + 𝑁) < 𝐿 → (𝐿 − 1) ∈ ℕ))
51	16, 50	sylbird 263	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (1 < (𝐿 − 𝑁) → (𝐿 − 1) ∈ ℕ))
52	13, 51	sylbird 263	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (0 < ((𝐿 − 𝑁) − 1) → (𝐿 − 1) ∈ ℕ))
53	52	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ ((𝐽 ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → (0 < ((𝐿 − 𝑁) − 1) → (𝐿 − 1) ∈ ℕ))
54	11, 53	syld 48	. . . . 5 ⊢ ((𝐽 ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → ((0 ≤ 𝐽 ∧ 𝐽 < ((𝐿 − 𝑁) − 1)) → (𝐿 − 1) ∈ ℕ))
55	54	ex 418	. . . 4 ⊢ (𝐽 ∈ ℝ → ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → ((0 ≤ 𝐽 ∧ 𝐽 < ((𝐿 − 𝑁) − 1)) → (𝐿 − 1) ∈ ℕ)))
56	55	com23 87	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ ℝ → ((0 ≤ 𝐽 ∧ 𝐽 < ((𝐿 − 𝑁) − 1)) → ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (𝐿 − 1) ∈ ℕ)))
57	56	3impib 1134	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐽 ∧ 𝐽 < ((𝐿 − 𝑁) − 1)) → ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (𝐿 − 1) ∈ ℕ))
58	57	com12 33	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → ((𝐽 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐽 ∧ 𝐽 < ((𝐿 − 𝑁) − 1)) → (𝐿 − 1) ∈ ℕ))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5103  (class class class)co 7413  ℝcr 11123  0cc0 11124  1c1 11125   + caddc 11127   < clt 11267   ≤ cle 11268   − cmin 11465  ℕcn 12257  ℕ₀cn0 12528  ℤcz 12615

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7863  df-2nd 7987  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-er 8696  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11467  df-neg 11468  df-nn 12258  df-n0 12529  df-z 12616

This theorem is used by: (None)