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Theorem zm1nn 45524
Description: An integer minus 1 is positive under certain circumstances. (Contributed by Alexander van der Vekens, 9-Jun-2018.)
Assertion
Ref Expression
zm1nn ((𝑁 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℤ) → ((𝐽 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐽𝐽 < ((𝐿𝑁) − 1)) → (𝐿 − 1) ∈ ℕ))

Proof of Theorem zm1nn
StepHypRef Expression
1 0red 11158 . . . . . . 7 ((𝐽 ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℤ)) → 0 ∈ ℝ)
2 simpl 483 . . . . . . 7 ((𝐽 ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℤ)) → 𝐽 ∈ ℝ)
3 zre 12503 . . . . . . . . . 10 (𝐿 ∈ ℤ → 𝐿 ∈ ℝ)
4 nn0re 12422 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℝ)
5 resubcl 11465 . . . . . . . . . 10 ((𝐿 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝐿𝑁) ∈ ℝ)
63, 4, 5syl2anr 597 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℤ) → (𝐿𝑁) ∈ ℝ)
76adantl 482 . . . . . . . 8 ((𝐽 ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℤ)) → (𝐿𝑁) ∈ ℝ)
8 peano2rem 11468 . . . . . . . 8 ((𝐿𝑁) ∈ ℝ → ((𝐿𝑁) − 1) ∈ ℝ)
97, 8syl 17 . . . . . . 7 ((𝐽 ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℤ)) → ((𝐿𝑁) − 1) ∈ ℝ)
10 lelttr 11245 . . . . . . 7 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐽 ∈ ℝ ∧ ((𝐿𝑁) − 1) ∈ ℝ) → ((0 ≤ 𝐽𝐽 < ((𝐿𝑁) − 1)) → 0 < ((𝐿𝑁) − 1)))
111, 2, 9, 10syl3anc 1371 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℤ)) → ((0 ≤ 𝐽𝐽 < ((𝐿𝑁) − 1)) → 0 < ((𝐿𝑁) − 1)))
12 1red 11156 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℤ) → 1 ∈ ℝ)
1312, 6posdifd 11742 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℤ) → (1 < (𝐿𝑁) ↔ 0 < ((𝐿𝑁) − 1)))
144adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℝ)
153adantl 482 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℤ) → 𝐿 ∈ ℝ)
1612, 14, 15ltaddsubd 11755 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℤ) → ((1 + 𝑁) < 𝐿 ↔ 1 < (𝐿𝑁)))
17 elnn0z 12512 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑁))
18 0red 11158 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → 0 ∈ ℝ)
19 zre 12503 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
2019adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℝ)
21 1red 11156 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → 1 ∈ ℝ)
2218, 20, 21leadd2d 11750 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (0 ≤ 𝑁 ↔ (1 + 0) ≤ (1 + 𝑁)))
23 1re 11155 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1 ∈ ℝ
24 0re 11157 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 0 ∈ ℝ
2523, 24readdcli 11170 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (1 + 0) ∈ ℝ
2625a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (1 + 0) ∈ ℝ)
27 1red 11156 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑁 ∈ ℤ → 1 ∈ ℝ)
2827, 19readdcld 11184 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑁 ∈ ℤ → (1 + 𝑁) ∈ ℝ)
2928adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (1 + 𝑁) ∈ ℝ)
303adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → 𝐿 ∈ ℝ)
31 lelttr 11245 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((1 + 0) ∈ ℝ ∧ (1 + 𝑁) ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℝ) → (((1 + 0) ≤ (1 + 𝑁) ∧ (1 + 𝑁) < 𝐿) → (1 + 0) < 𝐿))
3226, 29, 30, 31syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (((1 + 0) ≤ (1 + 𝑁) ∧ (1 + 𝑁) < 𝐿) → (1 + 0) < 𝐿))
33 peano2zm 12546 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐿 ∈ ℤ → (𝐿 − 1) ∈ ℤ)
3433adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (𝐿 − 1) ∈ ℤ)
3534adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (1 + 0) < 𝐿) → (𝐿 − 1) ∈ ℤ)
36 1red 11156 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝐿 ∈ ℤ → 1 ∈ ℝ)
37 0red 11158 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝐿 ∈ ℤ → 0 ∈ ℝ)
3836, 37, 3ltaddsub2d 11756 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐿 ∈ ℤ → ((1 + 0) < 𝐿 ↔ 0 < (𝐿 − 1)))
3938biimpd 228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐿 ∈ ℤ → ((1 + 0) < 𝐿 → 0 < (𝐿 − 1)))
4039adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → ((1 + 0) < 𝐿 → 0 < (𝐿 − 1)))
4140imp 407 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (1 + 0) < 𝐿) → 0 < (𝐿 − 1))
42 elnnz 12509 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐿 − 1) ∈ ℕ ↔ ((𝐿 − 1) ∈ ℤ ∧ 0 < (𝐿 − 1)))
4335, 41, 42sylanbrc 583 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (1 + 0) < 𝐿) → (𝐿 − 1) ∈ ℕ)
4443ex 413 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → ((1 + 0) < 𝐿 → (𝐿 − 1) ∈ ℕ))
4532, 44syld 47 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (((1 + 0) ≤ (1 + 𝑁) ∧ (1 + 𝑁) < 𝐿) → (𝐿 − 1) ∈ ℕ))
4645expd 416 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → ((1 + 0) ≤ (1 + 𝑁) → ((1 + 𝑁) < 𝐿 → (𝐿 − 1) ∈ ℕ)))
4722, 46sylbid 239 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (0 ≤ 𝑁 → ((1 + 𝑁) < 𝐿 → (𝐿 − 1) ∈ ℕ)))
4847impancom 452 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑁) → (𝐿 ∈ ℤ → ((1 + 𝑁) < 𝐿 → (𝐿 − 1) ∈ ℕ)))
4917, 48sylbi 216 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐿 ∈ ℤ → ((1 + 𝑁) < 𝐿 → (𝐿 − 1) ∈ ℕ)))
5049imp 407 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℤ) → ((1 + 𝑁) < 𝐿 → (𝐿 − 1) ∈ ℕ))
5116, 50sylbird 259 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℤ) → (1 < (𝐿𝑁) → (𝐿 − 1) ∈ ℕ))
5213, 51sylbird 259 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℤ) → (0 < ((𝐿𝑁) − 1) → (𝐿 − 1) ∈ ℕ))
5352adantl 482 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℤ)) → (0 < ((𝐿𝑁) − 1) → (𝐿 − 1) ∈ ℕ))
5411, 53syld 47 . . . . 5 ((𝐽 ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℤ)) → ((0 ≤ 𝐽𝐽 < ((𝐿𝑁) − 1)) → (𝐿 − 1) ∈ ℕ))
5554ex 413 . . . 4 (𝐽 ∈ ℝ → ((𝑁 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℤ) → ((0 ≤ 𝐽𝐽 < ((𝐿𝑁) − 1)) → (𝐿 − 1) ∈ ℕ)))
5655com23 86 . . 3 (𝐽 ∈ ℝ → ((0 ≤ 𝐽𝐽 < ((𝐿𝑁) − 1)) → ((𝑁 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℤ) → (𝐿 − 1) ∈ ℕ)))
57563impib 1116 . 2 ((𝐽 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐽𝐽 < ((𝐿𝑁) − 1)) → ((𝑁 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℤ) → (𝐿 − 1) ∈ ℕ))
5857com12 32 1 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℤ) → ((𝐽 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐽𝐽 < ((𝐿𝑁) − 1)) → (𝐿 − 1) ∈ ℕ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  w3a 1087  wcel 2106   class class class wbr 5105  (class class class)co 7357  cr 11050  0cc0 11051  1c1 11052   + caddc 11054   < clt 11189  cle 11190  cmin 11385  cn 12153  0cn0 12413  cz 12499
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-nn 12154  df-n0 12414  df-z 12500
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