Theorem zm1nn 47923

Description: An integer minus 1 is positive under certain circumstances. (Contributed by Alexander van der Vekens, 9-Jun-2018.)

Assertion

Ref	Expression
zm1nn	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → ((𝐽 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐽 ∧ 𝐽 < ((𝐿 − 𝑁) − 1)) → (𝐿 − 1) ∈ ℕ))

Proof of Theorem zm1nn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0red 11207	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐽 ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → 0 ∈ ℝ)
2		simpl 487	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐽 ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → 𝐽 ∈ ℝ)
3		zre 12591	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐿 ∈ ℤ → 𝐿 ∈ ℝ)
4		nn0re 12509	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℝ)
5		resubcl 11518	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐿 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝐿 − 𝑁) ∈ ℝ)
6	3, 4, 5	syl2anr 608	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (𝐿 − 𝑁) ∈ ℝ)
7	6	adantl 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐽 ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → (𝐿 − 𝑁) ∈ ℝ)
8		peano2rem 11521	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐿 − 𝑁) ∈ ℝ → ((𝐿 − 𝑁) − 1) ∈ ℝ)
9	7, 8	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐽 ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → ((𝐿 − 𝑁) − 1) ∈ ℝ)
10		lelttr 11296	. . . . . . 7 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐽 ∈ ℝ ∧ ((𝐿 − 𝑁) − 1) ∈ ℝ) → ((0 ≤ 𝐽 ∧ 𝐽 < ((𝐿 − 𝑁) − 1)) → 0 < ((𝐿 − 𝑁) − 1)))
11	1, 2, 9, 10	syl3anc 1396	. . . . . 6 ⊢ ((𝐽 ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → ((0 ≤ 𝐽 ∧ 𝐽 < ((𝐿 − 𝑁) − 1)) → 0 < ((𝐿 − 𝑁) − 1)))
12		1red 11205	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → 1 ∈ ℝ)
13	12, 6	posdifd 11797	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (1 < (𝐿 − 𝑁) ↔ 0 < ((𝐿 − 𝑁) − 1)))
14	4	adantr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℝ)
15	3	adantl 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → 𝐿 ∈ ℝ)
16	12, 14, 15	ltaddsubd 11810	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → ((1 + 𝑁) < 𝐿 ↔ 1 < (𝐿 − 𝑁)))
17		elnn0z 12600	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑁))
18		0red 11207	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → 0 ∈ ℝ)
19		zre 12591	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
20	19	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℝ)
21		1red 11205	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → 1 ∈ ℝ)
22	18, 20, 21	leadd2d 11805	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (0 ≤ 𝑁 ↔ (1 + 0) ≤ (1 + 𝑁)))
23		1re 11204	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 1 ∈ ℝ
24		0re 11206	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 0 ∈ ℝ
25	23, 24	readdcli 11220	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (1 + 0) ∈ ℝ
26	25	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (1 + 0) ∈ ℝ)
27		1red 11205	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 1 ∈ ℝ)
28	27, 19	readdcld 11234	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (1 + 𝑁) ∈ ℝ)
29	28	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (1 + 𝑁) ∈ ℝ)
30	3	adantl 486	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → 𝐿 ∈ ℝ)
31		lelttr 11296	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((1 + 0) ∈ ℝ ∧ (1 + 𝑁) ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℝ) → (((1 + 0) ≤ (1 + 𝑁) ∧ (1 + 𝑁) < 𝐿) → (1 + 0) < 𝐿))
32	26, 29, 30, 31	syl3anc 1396	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (((1 + 0) ≤ (1 + 𝑁) ∧ (1 + 𝑁) < 𝐿) → (1 + 0) < 𝐿))
33		peano2zm 12633	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝐿 ∈ ℤ → (𝐿 − 1) ∈ ℤ)
34	33	adantl 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (𝐿 − 1) ∈ ℤ)
35	34	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (1 + 0) < 𝐿) → (𝐿 − 1) ∈ ℤ)
36		1red 11205	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝐿 ∈ ℤ → 1 ∈ ℝ)
37		0red 11207	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝐿 ∈ ℤ → 0 ∈ ℝ)
38	36, 37, 3	ltaddsub2d 11811	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝐿 ∈ ℤ → ((1 + 0) < 𝐿 ↔ 0 < (𝐿 − 1)))
39	38	biimpd 232	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝐿 ∈ ℤ → ((1 + 0) < 𝐿 → 0 < (𝐿 − 1)))
40	39	adantl 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → ((1 + 0) < 𝐿 → 0 < (𝐿 − 1)))
41	40	imp 411	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (1 + 0) < 𝐿) → 0 < (𝐿 − 1))
42		elnnz 12597	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐿 − 1) ∈ ℕ ↔ ((𝐿 − 1) ∈ ℤ ∧ 0 < (𝐿 − 1)))
43	35, 41, 42	sylanbrc 594	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (1 + 0) < 𝐿) → (𝐿 − 1) ∈ ℕ)
44	43	ex 417	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → ((1 + 0) < 𝐿 → (𝐿 − 1) ∈ ℕ))
45	32, 44	syld 48	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (((1 + 0) ≤ (1 + 𝑁) ∧ (1 + 𝑁) < 𝐿) → (𝐿 − 1) ∈ ℕ))
46	45	expd 420	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → ((1 + 0) ≤ (1 + 𝑁) → ((1 + 𝑁) < 𝐿 → (𝐿 − 1) ∈ ℕ)))
47	22, 46	sylbid 243	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (0 ≤ 𝑁 → ((1 + 𝑁) < 𝐿 → (𝐿 − 1) ∈ ℕ)))
48	47	impancom 456	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑁) → (𝐿 ∈ ℤ → ((1 + 𝑁) < 𝐿 → (𝐿 − 1) ∈ ℕ)))
49	17, 48	sylbi 220	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐿 ∈ ℤ → ((1 + 𝑁) < 𝐿 → (𝐿 − 1) ∈ ℕ)))
50	49	imp 411	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → ((1 + 𝑁) < 𝐿 → (𝐿 − 1) ∈ ℕ))
51	16, 50	sylbird 263	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (1 < (𝐿 − 𝑁) → (𝐿 − 1) ∈ ℕ))
52	13, 51	sylbird 263	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (0 < ((𝐿 − 𝑁) − 1) → (𝐿 − 1) ∈ ℕ))
53	52	adantl 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝐽 ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → (0 < ((𝐿 − 𝑁) − 1) → (𝐿 − 1) ∈ ℕ))
54	11, 53	syld 48	. . . . 5 ⊢ ((𝐽 ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → ((0 ≤ 𝐽 ∧ 𝐽 < ((𝐿 − 𝑁) − 1)) → (𝐿 − 1) ∈ ℕ))
55	54	ex 417	. . . 4 ⊢ (𝐽 ∈ ℝ → ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → ((0 ≤ 𝐽 ∧ 𝐽 < ((𝐿 − 𝑁) − 1)) → (𝐿 − 1) ∈ ℕ)))
56	55	com23 87	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ ℝ → ((0 ≤ 𝐽 ∧ 𝐽 < ((𝐿 − 𝑁) − 1)) → ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (𝐿 − 1) ∈ ℕ)))
57	56	3impib 1132	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐽 ∧ 𝐽 < ((𝐿 − 𝑁) − 1)) → ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (𝐿 − 1) ∈ ℕ))
58	57	com12 33	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → ((𝐽 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐽 ∧ 𝐽 < ((𝐿 − 𝑁) − 1)) → (𝐿 − 1) ∈ ℕ))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∧ w3a 1101   ∈ wcel 2149   class class class wbr 5110  (class class class)co 7408  ℝcr 11095  0cc0 11096  1c1 11097   + caddc 11099   < clt 11239   ≤ cle 11240   − cmin 11437  ℕcn 12229  ℕ₀cn0 12500  ℤcz 12587

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5258  ax-nul 5268  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7730  ax-resscn 11153  ax-1cn 11154  ax-icn 11155  ax-addcl 11156  ax-addrcl 11157  ax-mulcl 11158  ax-mulrcl 11159  ax-mulcom 11160  ax-addass 11161  ax-mulass 11162  ax-distr 11163  ax-i2m1 11164  ax-1ne0 11165  ax-1rid 11166  ax-rnegex 11167  ax-rrecex 11168  ax-cnre 11169  ax-pre-lttri 11170  ax-pre-lttrn 11171  ax-pre-ltadd 11172  ax-pre-mulgt0 11173

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6300  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6490  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7859  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11241  df-mnf 11242  df-xr 11243  df-ltxr 11244  df-le 11245  df-sub 11439  df-neg 11440  df-nn 12230  df-n0 12501  df-z 12588

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