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Theorem zm1nn 47251
Description: An integer minus 1 is positive under certain circumstances. (Contributed by Alexander van der Vekens, 9-Jun-2018.)
Assertion
Ref Expression
zm1nn ((𝑁 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℤ) → ((𝐽 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐽𝐽 < ((𝐿𝑁) − 1)) → (𝐿 − 1) ∈ ℕ))

Proof of Theorem zm1nn
StepHypRef Expression
1 0red 11261 . . . . . . 7 ((𝐽 ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℤ)) → 0 ∈ ℝ)
2 simpl 482 . . . . . . 7 ((𝐽 ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℤ)) → 𝐽 ∈ ℝ)
3 zre 12614 . . . . . . . . . 10 (𝐿 ∈ ℤ → 𝐿 ∈ ℝ)
4 nn0re 12532 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℝ)
5 resubcl 11570 . . . . . . . . . 10 ((𝐿 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝐿𝑁) ∈ ℝ)
63, 4, 5syl2anr 597 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℤ) → (𝐿𝑁) ∈ ℝ)
76adantl 481 . . . . . . . 8 ((𝐽 ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℤ)) → (𝐿𝑁) ∈ ℝ)
8 peano2rem 11573 . . . . . . . 8 ((𝐿𝑁) ∈ ℝ → ((𝐿𝑁) − 1) ∈ ℝ)
97, 8syl 17 . . . . . . 7 ((𝐽 ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℤ)) → ((𝐿𝑁) − 1) ∈ ℝ)
10 lelttr 11348 . . . . . . 7 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐽 ∈ ℝ ∧ ((𝐿𝑁) − 1) ∈ ℝ) → ((0 ≤ 𝐽𝐽 < ((𝐿𝑁) − 1)) → 0 < ((𝐿𝑁) − 1)))
111, 2, 9, 10syl3anc 1370 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℤ)) → ((0 ≤ 𝐽𝐽 < ((𝐿𝑁) − 1)) → 0 < ((𝐿𝑁) − 1)))
12 1red 11259 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℤ) → 1 ∈ ℝ)
1312, 6posdifd 11847 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℤ) → (1 < (𝐿𝑁) ↔ 0 < ((𝐿𝑁) − 1)))
144adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℝ)
153adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℤ) → 𝐿 ∈ ℝ)
1612, 14, 15ltaddsubd 11860 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℤ) → ((1 + 𝑁) < 𝐿 ↔ 1 < (𝐿𝑁)))
17 elnn0z 12623 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑁))
18 0red 11261 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → 0 ∈ ℝ)
19 zre 12614 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
2019adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℝ)
21 1red 11259 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → 1 ∈ ℝ)
2218, 20, 21leadd2d 11855 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (0 ≤ 𝑁 ↔ (1 + 0) ≤ (1 + 𝑁)))
23 1re 11258 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1 ∈ ℝ
24 0re 11260 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 0 ∈ ℝ
2523, 24readdcli 11273 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (1 + 0) ∈ ℝ
2625a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (1 + 0) ∈ ℝ)
27 1red 11259 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑁 ∈ ℤ → 1 ∈ ℝ)
2827, 19readdcld 11287 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑁 ∈ ℤ → (1 + 𝑁) ∈ ℝ)
2928adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (1 + 𝑁) ∈ ℝ)
303adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → 𝐿 ∈ ℝ)
31 lelttr 11348 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((1 + 0) ∈ ℝ ∧ (1 + 𝑁) ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℝ) → (((1 + 0) ≤ (1 + 𝑁) ∧ (1 + 𝑁) < 𝐿) → (1 + 0) < 𝐿))
3226, 29, 30, 31syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (((1 + 0) ≤ (1 + 𝑁) ∧ (1 + 𝑁) < 𝐿) → (1 + 0) < 𝐿))
33 peano2zm 12657 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐿 ∈ ℤ → (𝐿 − 1) ∈ ℤ)
3433adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (𝐿 − 1) ∈ ℤ)
3534adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (1 + 0) < 𝐿) → (𝐿 − 1) ∈ ℤ)
36 1red 11259 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝐿 ∈ ℤ → 1 ∈ ℝ)
37 0red 11261 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝐿 ∈ ℤ → 0 ∈ ℝ)
3836, 37, 3ltaddsub2d 11861 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐿 ∈ ℤ → ((1 + 0) < 𝐿 ↔ 0 < (𝐿 − 1)))
3938biimpd 229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐿 ∈ ℤ → ((1 + 0) < 𝐿 → 0 < (𝐿 − 1)))
4039adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → ((1 + 0) < 𝐿 → 0 < (𝐿 − 1)))
4140imp 406 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (1 + 0) < 𝐿) → 0 < (𝐿 − 1))
42 elnnz 12620 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐿 − 1) ∈ ℕ ↔ ((𝐿 − 1) ∈ ℤ ∧ 0 < (𝐿 − 1)))
4335, 41, 42sylanbrc 583 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (1 + 0) < 𝐿) → (𝐿 − 1) ∈ ℕ)
4443ex 412 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → ((1 + 0) < 𝐿 → (𝐿 − 1) ∈ ℕ))
4532, 44syld 47 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (((1 + 0) ≤ (1 + 𝑁) ∧ (1 + 𝑁) < 𝐿) → (𝐿 − 1) ∈ ℕ))
4645expd 415 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → ((1 + 0) ≤ (1 + 𝑁) → ((1 + 𝑁) < 𝐿 → (𝐿 − 1) ∈ ℕ)))
4722, 46sylbid 240 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (0 ≤ 𝑁 → ((1 + 𝑁) < 𝐿 → (𝐿 − 1) ∈ ℕ)))
4847impancom 451 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑁) → (𝐿 ∈ ℤ → ((1 + 𝑁) < 𝐿 → (𝐿 − 1) ∈ ℕ)))
4917, 48sylbi 217 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐿 ∈ ℤ → ((1 + 𝑁) < 𝐿 → (𝐿 − 1) ∈ ℕ)))
5049imp 406 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℤ) → ((1 + 𝑁) < 𝐿 → (𝐿 − 1) ∈ ℕ))
5116, 50sylbird 260 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℤ) → (1 < (𝐿𝑁) → (𝐿 − 1) ∈ ℕ))
5213, 51sylbird 260 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℤ) → (0 < ((𝐿𝑁) − 1) → (𝐿 − 1) ∈ ℕ))
5352adantl 481 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℤ)) → (0 < ((𝐿𝑁) − 1) → (𝐿 − 1) ∈ ℕ))
5411, 53syld 47 . . . . 5 ((𝐽 ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℤ)) → ((0 ≤ 𝐽𝐽 < ((𝐿𝑁) − 1)) → (𝐿 − 1) ∈ ℕ))
5554ex 412 . . . 4 (𝐽 ∈ ℝ → ((𝑁 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℤ) → ((0 ≤ 𝐽𝐽 < ((𝐿𝑁) − 1)) → (𝐿 − 1) ∈ ℕ)))
5655com23 86 . . 3 (𝐽 ∈ ℝ → ((0 ≤ 𝐽𝐽 < ((𝐿𝑁) − 1)) → ((𝑁 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℤ) → (𝐿 − 1) ∈ ℕ)))
57563impib 1115 . 2 ((𝐽 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐽𝐽 < ((𝐿𝑁) − 1)) → ((𝑁 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℤ) → (𝐿 − 1) ∈ ℕ))
5857com12 32 1 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℤ) → ((𝐽 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐽𝐽 < ((𝐿𝑁) − 1)) → (𝐿 − 1) ∈ ℕ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1086  wcel 2105   class class class wbr 5147  (class class class)co 7430  cr 11151  0cc0 11152  1c1 11153   + caddc 11155   < clt 11292  cle 11293  cmin 11489  cn 12263  0cn0 12523  cz 12610
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-er 8743  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-nn 12264  df-n0 12524  df-z 12611
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