Theorem zm1nn 47314

Description: An integer minus 1 is positive under certain circumstances. (Contributed by Alexander van der Vekens, 9-Jun-2018.)

Assertion

Ref	Expression
zm1nn	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → ((𝐽 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐽 ∧ 𝐽 < ((𝐿 − 𝑁) − 1)) → (𝐿 − 1) ∈ ℕ))

Proof of Theorem zm1nn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0red 11264	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐽 ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → 0 ∈ ℝ)
2		simpl 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐽 ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → 𝐽 ∈ ℝ)
3		zre 12617	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐿 ∈ ℤ → 𝐿 ∈ ℝ)
4		nn0re 12535	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℝ)
5		resubcl 11573	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐿 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝐿 − 𝑁) ∈ ℝ)
6	3, 4, 5	syl2anr 597	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (𝐿 − 𝑁) ∈ ℝ)
7	6	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐽 ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → (𝐿 − 𝑁) ∈ ℝ)
8		peano2rem 11576	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐿 − 𝑁) ∈ ℝ → ((𝐿 − 𝑁) − 1) ∈ ℝ)
9	7, 8	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐽 ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → ((𝐿 − 𝑁) − 1) ∈ ℝ)
10		lelttr 11351	. . . . . . 7 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐽 ∈ ℝ ∧ ((𝐿 − 𝑁) − 1) ∈ ℝ) → ((0 ≤ 𝐽 ∧ 𝐽 < ((𝐿 − 𝑁) − 1)) → 0 < ((𝐿 − 𝑁) − 1)))
11	1, 2, 9, 10	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ ((𝐽 ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → ((0 ≤ 𝐽 ∧ 𝐽 < ((𝐿 − 𝑁) − 1)) → 0 < ((𝐿 − 𝑁) − 1)))
12		1red 11262	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → 1 ∈ ℝ)
13	12, 6	posdifd 11850	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (1 < (𝐿 − 𝑁) ↔ 0 < ((𝐿 − 𝑁) − 1)))
14	4	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℝ)
15	3	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → 𝐿 ∈ ℝ)
16	12, 14, 15	ltaddsubd 11863	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → ((1 + 𝑁) < 𝐿 ↔ 1 < (𝐿 − 𝑁)))
17		elnn0z 12626	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑁))
18		0red 11264	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → 0 ∈ ℝ)
19		zre 12617	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
20	19	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℝ)
21		1red 11262	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → 1 ∈ ℝ)
22	18, 20, 21	leadd2d 11858	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (0 ≤ 𝑁 ↔ (1 + 0) ≤ (1 + 𝑁)))
23		1re 11261	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 1 ∈ ℝ
24		0re 11263	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 0 ∈ ℝ
25	23, 24	readdcli 11276	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (1 + 0) ∈ ℝ
26	25	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (1 + 0) ∈ ℝ)
27		1red 11262	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 1 ∈ ℝ)
28	27, 19	readdcld 11290	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (1 + 𝑁) ∈ ℝ)
29	28	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (1 + 𝑁) ∈ ℝ)
30	3	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → 𝐿 ∈ ℝ)
31		lelttr 11351	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((1 + 0) ∈ ℝ ∧ (1 + 𝑁) ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℝ) → (((1 + 0) ≤ (1 + 𝑁) ∧ (1 + 𝑁) < 𝐿) → (1 + 0) < 𝐿))
32	26, 29, 30, 31	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (((1 + 0) ≤ (1 + 𝑁) ∧ (1 + 𝑁) < 𝐿) → (1 + 0) < 𝐿))
33		peano2zm 12660	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝐿 ∈ ℤ → (𝐿 − 1) ∈ ℤ)
34	33	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (𝐿 − 1) ∈ ℤ)
35	34	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (1 + 0) < 𝐿) → (𝐿 − 1) ∈ ℤ)
36		1red 11262	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝐿 ∈ ℤ → 1 ∈ ℝ)
37		0red 11264	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝐿 ∈ ℤ → 0 ∈ ℝ)
38	36, 37, 3	ltaddsub2d 11864	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝐿 ∈ ℤ → ((1 + 0) < 𝐿 ↔ 0 < (𝐿 − 1)))
39	38	biimpd 229	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝐿 ∈ ℤ → ((1 + 0) < 𝐿 → 0 < (𝐿 − 1)))
40	39	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → ((1 + 0) < 𝐿 → 0 < (𝐿 − 1)))
41	40	imp 406	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (1 + 0) < 𝐿) → 0 < (𝐿 − 1))
42		elnnz 12623	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐿 − 1) ∈ ℕ ↔ ((𝐿 − 1) ∈ ℤ ∧ 0 < (𝐿 − 1)))
43	35, 41, 42	sylanbrc 583	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (1 + 0) < 𝐿) → (𝐿 − 1) ∈ ℕ)
44	43	ex 412	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → ((1 + 0) < 𝐿 → (𝐿 − 1) ∈ ℕ))
45	32, 44	syld 47	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (((1 + 0) ≤ (1 + 𝑁) ∧ (1 + 𝑁) < 𝐿) → (𝐿 − 1) ∈ ℕ))
46	45	expd 415	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → ((1 + 0) ≤ (1 + 𝑁) → ((1 + 𝑁) < 𝐿 → (𝐿 − 1) ∈ ℕ)))
47	22, 46	sylbid 240	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (0 ≤ 𝑁 → ((1 + 𝑁) < 𝐿 → (𝐿 − 1) ∈ ℕ)))
48	47	impancom 451	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑁) → (𝐿 ∈ ℤ → ((1 + 𝑁) < 𝐿 → (𝐿 − 1) ∈ ℕ)))
49	17, 48	sylbi 217	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐿 ∈ ℤ → ((1 + 𝑁) < 𝐿 → (𝐿 − 1) ∈ ℕ)))
50	49	imp 406	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → ((1 + 𝑁) < 𝐿 → (𝐿 − 1) ∈ ℕ))
51	16, 50	sylbird 260	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (1 < (𝐿 − 𝑁) → (𝐿 − 1) ∈ ℕ))
52	13, 51	sylbird 260	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (0 < ((𝐿 − 𝑁) − 1) → (𝐿 − 1) ∈ ℕ))
53	52	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝐽 ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → (0 < ((𝐿 − 𝑁) − 1) → (𝐿 − 1) ∈ ℕ))
54	11, 53	syld 47	. . . . 5 ⊢ ((𝐽 ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → ((0 ≤ 𝐽 ∧ 𝐽 < ((𝐿 − 𝑁) − 1)) → (𝐿 − 1) ∈ ℕ))
55	54	ex 412	. . . 4 ⊢ (𝐽 ∈ ℝ → ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → ((0 ≤ 𝐽 ∧ 𝐽 < ((𝐿 − 𝑁) − 1)) → (𝐿 − 1) ∈ ℕ)))
56	55	com23 86	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ ℝ → ((0 ≤ 𝐽 ∧ 𝐽 < ((𝐿 − 𝑁) − 1)) → ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (𝐿 − 1) ∈ ℕ)))
57	56	3impib 1117	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐽 ∧ 𝐽 < ((𝐿 − 𝑁) − 1)) → ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (𝐿 − 1) ∈ ℕ))
58	57	com12 32	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → ((𝐽 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐽 ∧ 𝐽 < ((𝐿 − 𝑁) − 1)) → (𝐿 − 1) ∈ ℕ))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5143  (class class class)co 7431  ℝcr 11154  0cc0 11155  1c1 11156   + caddc 11158   < clt 11295   ≤ cle 11296   − cmin 11492  ℕcn 12266  ℕ₀cn0 12526  ℤcz 12613

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-n0 12527  df-z 12614

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