Theorem join0 17814

Description: Lemma for odumeet 17816. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
join0	⊢ (join‘∅) = ∅

Proof of Theorem join0

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ex 5177	. . 3 ⊢ ∅ ∈ V
2		eqid 2758	. . . 4 ⊢ (lub‘∅) = (lub‘∅)
3		eqid 2758	. . . 4 ⊢ (join‘∅) = (join‘∅)
4	2, 3	joinfval 17677	. . 3 ⊢ (∅ ∈ V → (join‘∅) = {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ {𝑥, 𝑦} (lub‘∅)𝑧})
5	1, 4	ax-mp 5	. 2 ⊢ (join‘∅) = {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ {𝑥, 𝑦} (lub‘∅)𝑧}
6		df-oprab 7154	. . 3 ⊢ {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ {𝑥, 𝑦} (lub‘∅)𝑧} = {𝑤 ∣ ∃𝑥∃𝑦∃𝑧(𝑤 = ⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∧ {𝑥, 𝑦} (lub‘∅)𝑧)}
7		br0 5081	. . . . . . . . 9 ⊢ ¬ {𝑥, 𝑦}∅𝑧
8		base0 16594	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ∅ = (Base‘∅)
9		eqid 2758	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (le‘∅) = (le‘∅)
10		biid 264	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((∀𝑥 ∈ 𝑤 𝑥(le‘∅)𝑧 ∧ ∀𝑦 ∈ ∅ (∀𝑥 ∈ 𝑤 𝑥(le‘∅)𝑦 → 𝑧(le‘∅)𝑦)) ↔ (∀𝑥 ∈ 𝑤 𝑥(le‘∅)𝑧 ∧ ∀𝑦 ∈ ∅ (∀𝑥 ∈ 𝑤 𝑥(le‘∅)𝑦 → 𝑧(le‘∅)𝑦)))
11		id 22	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∅ ∈ V → ∅ ∈ V)
12	8, 9, 2, 10, 11	lubfval 17654	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∅ ∈ V → (lub‘∅) = ((𝑤 ∈ 𝒫 ∅ ↦ (℩𝑧 ∈ ∅ (∀𝑥 ∈ 𝑤 𝑥(le‘∅)𝑧 ∧ ∀𝑦 ∈ ∅ (∀𝑥 ∈ 𝑤 𝑥(le‘∅)𝑦 → 𝑧(le‘∅)𝑦)))) ↾ {𝑤 ∣ ∃!𝑧 ∈ ∅ (∀𝑥 ∈ 𝑤 𝑥(le‘∅)𝑧 ∧ ∀𝑦 ∈ ∅ (∀𝑥 ∈ 𝑤 𝑥(le‘∅)𝑦 → 𝑧(le‘∅)𝑦))}))
13	1, 12	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (lub‘∅) = ((𝑤 ∈ 𝒫 ∅ ↦ (℩𝑧 ∈ ∅ (∀𝑥 ∈ 𝑤 𝑥(le‘∅)𝑧 ∧ ∀𝑦 ∈ ∅ (∀𝑥 ∈ 𝑤 𝑥(le‘∅)𝑦 → 𝑧(le‘∅)𝑦)))) ↾ {𝑤 ∣ ∃!𝑧 ∈ ∅ (∀𝑥 ∈ 𝑤 𝑥(le‘∅)𝑧 ∧ ∀𝑦 ∈ ∅ (∀𝑥 ∈ 𝑤 𝑥(le‘∅)𝑦 → 𝑧(le‘∅)𝑦))})
14		reu0 4257	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ¬ ∃!𝑧 ∈ ∅ (∀𝑥 ∈ 𝑤 𝑥(le‘∅)𝑧 ∧ ∀𝑦 ∈ ∅ (∀𝑥 ∈ 𝑤 𝑥(le‘∅)𝑦 → 𝑧(le‘∅)𝑦))
15	14	abf 4298	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ {𝑤 ∣ ∃!𝑧 ∈ ∅ (∀𝑥 ∈ 𝑤 𝑥(le‘∅)𝑧 ∧ ∀𝑦 ∈ ∅ (∀𝑥 ∈ 𝑤 𝑥(le‘∅)𝑦 → 𝑧(le‘∅)𝑦))} = ∅
16	15	reseq2i 5820	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑤 ∈ 𝒫 ∅ ↦ (℩𝑧 ∈ ∅ (∀𝑥 ∈ 𝑤 𝑥(le‘∅)𝑧 ∧ ∀𝑦 ∈ ∅ (∀𝑥 ∈ 𝑤 𝑥(le‘∅)𝑦 → 𝑧(le‘∅)𝑦)))) ↾ {𝑤 ∣ ∃!𝑧 ∈ ∅ (∀𝑥 ∈ 𝑤 𝑥(le‘∅)𝑧 ∧ ∀𝑦 ∈ ∅ (∀𝑥 ∈ 𝑤 𝑥(le‘∅)𝑦 → 𝑧(le‘∅)𝑦))}) = ((𝑤 ∈ 𝒫 ∅ ↦ (℩𝑧 ∈ ∅ (∀𝑥 ∈ 𝑤 𝑥(le‘∅)𝑧 ∧ ∀𝑦 ∈ ∅ (∀𝑥 ∈ 𝑤 𝑥(le‘∅)𝑦 → 𝑧(le‘∅)𝑦)))) ↾ ∅)
17		res0 5827	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑤 ∈ 𝒫 ∅ ↦ (℩𝑧 ∈ ∅ (∀𝑥 ∈ 𝑤 𝑥(le‘∅)𝑧 ∧ ∀𝑦 ∈ ∅ (∀𝑥 ∈ 𝑤 𝑥(le‘∅)𝑦 → 𝑧(le‘∅)𝑦)))) ↾ ∅) = ∅
18	16, 17	eqtri 2781	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑤 ∈ 𝒫 ∅ ↦ (℩𝑧 ∈ ∅ (∀𝑥 ∈ 𝑤 𝑥(le‘∅)𝑧 ∧ ∀𝑦 ∈ ∅ (∀𝑥 ∈ 𝑤 𝑥(le‘∅)𝑦 → 𝑧(le‘∅)𝑦)))) ↾ {𝑤 ∣ ∃!𝑧 ∈ ∅ (∀𝑥 ∈ 𝑤 𝑥(le‘∅)𝑧 ∧ ∀𝑦 ∈ ∅ (∀𝑥 ∈ 𝑤 𝑥(le‘∅)𝑦 → 𝑧(le‘∅)𝑦))}) = ∅
19	13, 18	eqtri 2781	. . . . . . . . . 10 ⊢ (lub‘∅) = ∅
20	19	breqi 5038	. . . . . . . . 9 ⊢ ({𝑥, 𝑦} (lub‘∅)𝑧 ↔ {𝑥, 𝑦}∅𝑧)
21	7, 20	mtbir 326	. . . . . . . 8 ⊢ ¬ {𝑥, 𝑦} (lub‘∅)𝑧
22	21	intnan 490	. . . . . . 7 ⊢ ¬ (𝑤 = ⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∧ {𝑥, 𝑦} (lub‘∅)𝑧)
23	22	nex 1802	. . . . . 6 ⊢ ¬ ∃𝑧(𝑤 = ⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∧ {𝑥, 𝑦} (lub‘∅)𝑧)
24	23	nex 1802	. . . . 5 ⊢ ¬ ∃𝑦∃𝑧(𝑤 = ⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∧ {𝑥, 𝑦} (lub‘∅)𝑧)
25	24	nex 1802	. . . 4 ⊢ ¬ ∃𝑥∃𝑦∃𝑧(𝑤 = ⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∧ {𝑥, 𝑦} (lub‘∅)𝑧)
26	25	abf 4298	. . 3 ⊢ {𝑤 ∣ ∃𝑥∃𝑦∃𝑧(𝑤 = ⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∧ {𝑥, 𝑦} (lub‘∅)𝑧)} = ∅
27	6, 26	eqtri 2781	. 2 ⊢ {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ {𝑥, 𝑦} (lub‘∅)𝑧} = ∅
28	5, 27	eqtri 2781	1 ⊢ (join‘∅) = ∅

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538  ∃wex 1781   ∈ wcel 2111  {cab 2735  ∀wral 3070  ∃!wreu 3072  Vcvv 3409  ∅c0 4225  𝒫 cpw 4494  {cpr 4524  ⟨cop 4528   class class class wbr 5032   ↦ cmpt 5112   ↾ cres 5526  ‘cfv 6335  ℩crio 7107  {coprab 7151  lecple 16630  lubclub 17618  joincjn 17620

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-rep 5156  ax-sep 5169  ax-nul 5176  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7459

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rmo 3078  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3697  df-csb 3806  df-dif 3861  df-un 3863  df-in 3865  df-ss 3875  df-nul 4226  df-if 4421  df-pw 4496  df-sn 4523  df-pr 4525  df-op 4529  df-uni 4799  df-iun 4885  df-br 5033  df-opab 5095  df-mpt 5113  df-id 5430  df-xp 5530  df-rel 5531  df-cnv 5532  df-co 5533  df-dm 5534  df-rn 5535  df-res 5536  df-ima 5537  df-iota 6294  df-fun 6337  df-fn 6338  df-f 6339  df-f1 6340  df-fo 6341  df-f1o 6342  df-fv 6343  df-riota 7108  df-oprab 7154  df-slot 16545  df-base 16547  df-lub 17650  df-join 17652

This theorem is referenced by:  odujoin  17818