Theorem join0 18475

Description: Lemma for odumeet 18480. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
join0	⊢ (join‘∅) = ∅

Proof of Theorem join0

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ex 5325	. . 3 ⊢ ∅ ∈ V
2		eqid 2740	. . . 4 ⊢ (lub‘∅) = (lub‘∅)
3		eqid 2740	. . . 4 ⊢ (join‘∅) = (join‘∅)
4	2, 3	joinfval 18443	. . 3 ⊢ (∅ ∈ V → (join‘∅) = {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ {𝑥, 𝑦} (lub‘∅)𝑧})
5	1, 4	ax-mp 5	. 2 ⊢ (join‘∅) = {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ {𝑥, 𝑦} (lub‘∅)𝑧}
6		df-oprab 7452	. . 3 ⊢ {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ {𝑥, 𝑦} (lub‘∅)𝑧} = {𝑤 ∣ ∃𝑥∃𝑦∃𝑧(𝑤 = ⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∧ {𝑥, 𝑦} (lub‘∅)𝑧)}
7		br0 5215	. . . . . . . . 9 ⊢ ¬ {𝑥, 𝑦}∅𝑧
8		base0 17263	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ∅ = (Base‘∅)
9		eqid 2740	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (le‘∅) = (le‘∅)
10		biid 261	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((∀𝑥 ∈ 𝑤 𝑥(le‘∅)𝑧 ∧ ∀𝑦 ∈ ∅ (∀𝑥 ∈ 𝑤 𝑥(le‘∅)𝑦 → 𝑧(le‘∅)𝑦)) ↔ (∀𝑥 ∈ 𝑤 𝑥(le‘∅)𝑧 ∧ ∀𝑦 ∈ ∅ (∀𝑥 ∈ 𝑤 𝑥(le‘∅)𝑦 → 𝑧(le‘∅)𝑦)))
11		id 22	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∅ ∈ V → ∅ ∈ V)
12	8, 9, 2, 10, 11	lubfval 18420	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∅ ∈ V → (lub‘∅) = ((𝑤 ∈ 𝒫 ∅ ↦ (℩𝑧 ∈ ∅ (∀𝑥 ∈ 𝑤 𝑥(le‘∅)𝑧 ∧ ∀𝑦 ∈ ∅ (∀𝑥 ∈ 𝑤 𝑥(le‘∅)𝑦 → 𝑧(le‘∅)𝑦)))) ↾ {𝑤 ∣ ∃!𝑧 ∈ ∅ (∀𝑥 ∈ 𝑤 𝑥(le‘∅)𝑧 ∧ ∀𝑦 ∈ ∅ (∀𝑥 ∈ 𝑤 𝑥(le‘∅)𝑦 → 𝑧(le‘∅)𝑦))}))
13	1, 12	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (lub‘∅) = ((𝑤 ∈ 𝒫 ∅ ↦ (℩𝑧 ∈ ∅ (∀𝑥 ∈ 𝑤 𝑥(le‘∅)𝑧 ∧ ∀𝑦 ∈ ∅ (∀𝑥 ∈ 𝑤 𝑥(le‘∅)𝑦 → 𝑧(le‘∅)𝑦)))) ↾ {𝑤 ∣ ∃!𝑧 ∈ ∅ (∀𝑥 ∈ 𝑤 𝑥(le‘∅)𝑧 ∧ ∀𝑦 ∈ ∅ (∀𝑥 ∈ 𝑤 𝑥(le‘∅)𝑦 → 𝑧(le‘∅)𝑦))})
14		reu0 4384	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ¬ ∃!𝑧 ∈ ∅ (∀𝑥 ∈ 𝑤 𝑥(le‘∅)𝑧 ∧ ∀𝑦 ∈ ∅ (∀𝑥 ∈ 𝑤 𝑥(le‘∅)𝑦 → 𝑧(le‘∅)𝑦))
15	14	abf 4429	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ {𝑤 ∣ ∃!𝑧 ∈ ∅ (∀𝑥 ∈ 𝑤 𝑥(le‘∅)𝑧 ∧ ∀𝑦 ∈ ∅ (∀𝑥 ∈ 𝑤 𝑥(le‘∅)𝑦 → 𝑧(le‘∅)𝑦))} = ∅
16	15	reseq2i 6006	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑤 ∈ 𝒫 ∅ ↦ (℩𝑧 ∈ ∅ (∀𝑥 ∈ 𝑤 𝑥(le‘∅)𝑧 ∧ ∀𝑦 ∈ ∅ (∀𝑥 ∈ 𝑤 𝑥(le‘∅)𝑦 → 𝑧(le‘∅)𝑦)))) ↾ {𝑤 ∣ ∃!𝑧 ∈ ∅ (∀𝑥 ∈ 𝑤 𝑥(le‘∅)𝑧 ∧ ∀𝑦 ∈ ∅ (∀𝑥 ∈ 𝑤 𝑥(le‘∅)𝑦 → 𝑧(le‘∅)𝑦))}) = ((𝑤 ∈ 𝒫 ∅ ↦ (℩𝑧 ∈ ∅ (∀𝑥 ∈ 𝑤 𝑥(le‘∅)𝑧 ∧ ∀𝑦 ∈ ∅ (∀𝑥 ∈ 𝑤 𝑥(le‘∅)𝑦 → 𝑧(le‘∅)𝑦)))) ↾ ∅)
17		res0 6013	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑤 ∈ 𝒫 ∅ ↦ (℩𝑧 ∈ ∅ (∀𝑥 ∈ 𝑤 𝑥(le‘∅)𝑧 ∧ ∀𝑦 ∈ ∅ (∀𝑥 ∈ 𝑤 𝑥(le‘∅)𝑦 → 𝑧(le‘∅)𝑦)))) ↾ ∅) = ∅
18	16, 17	eqtri 2768	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑤 ∈ 𝒫 ∅ ↦ (℩𝑧 ∈ ∅ (∀𝑥 ∈ 𝑤 𝑥(le‘∅)𝑧 ∧ ∀𝑦 ∈ ∅ (∀𝑥 ∈ 𝑤 𝑥(le‘∅)𝑦 → 𝑧(le‘∅)𝑦)))) ↾ {𝑤 ∣ ∃!𝑧 ∈ ∅ (∀𝑥 ∈ 𝑤 𝑥(le‘∅)𝑧 ∧ ∀𝑦 ∈ ∅ (∀𝑥 ∈ 𝑤 𝑥(le‘∅)𝑦 → 𝑧(le‘∅)𝑦))}) = ∅
19	13, 18	eqtri 2768	. . . . . . . . . 10 ⊢ (lub‘∅) = ∅
20	19	breqi 5172	. . . . . . . . 9 ⊢ ({𝑥, 𝑦} (lub‘∅)𝑧 ↔ {𝑥, 𝑦}∅𝑧)
21	7, 20	mtbir 323	. . . . . . . 8 ⊢ ¬ {𝑥, 𝑦} (lub‘∅)𝑧
22	21	intnan 486	. . . . . . 7 ⊢ ¬ (𝑤 = ⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∧ {𝑥, 𝑦} (lub‘∅)𝑧)
23	22	nex 1798	. . . . . 6 ⊢ ¬ ∃𝑧(𝑤 = ⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∧ {𝑥, 𝑦} (lub‘∅)𝑧)
24	23	nex 1798	. . . . 5 ⊢ ¬ ∃𝑦∃𝑧(𝑤 = ⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∧ {𝑥, 𝑦} (lub‘∅)𝑧)
25	24	nex 1798	. . . 4 ⊢ ¬ ∃𝑥∃𝑦∃𝑧(𝑤 = ⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∧ {𝑥, 𝑦} (lub‘∅)𝑧)
26	25	abf 4429	. . 3 ⊢ {𝑤 ∣ ∃𝑥∃𝑦∃𝑧(𝑤 = ⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∧ {𝑥, 𝑦} (lub‘∅)𝑧)} = ∅
27	6, 26	eqtri 2768	. 2 ⊢ {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ {𝑥, 𝑦} (lub‘∅)𝑧} = ∅
28	5, 27	eqtri 2768	1 ⊢ (join‘∅) = ∅

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537  ∃wex 1777   ∈ wcel 2108  {cab 2717  ∀wral 3067  ∃!wreu 3386  Vcvv 3488  ∅c0 4352  𝒫 cpw 4622  {cpr 4650  ⟨cop 4654   class class class wbr 5166   ↦ cmpt 5249   ↾ cres 5702  ‘cfv 6573  ℩crio 7403  {coprab 7449  lecple 17318  lubclub 18379  joincjn 18381

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-1cn 11242  ax-addcl 11244

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-om 7904  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-nn 12294  df-slot 17229  df-ndx 17241  df-base 17259  df-lub 18416  df-join 18418

This theorem is referenced by:  odujoin  18478