Theorem join0 18451

Description: Lemma for odumeet 18456. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
join0	⊢ (join‘∅) = ∅

Proof of Theorem join0

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ex 5306	. . 3 ⊢ ∅ ∈ V
2		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (lub‘∅) = (lub‘∅)
3		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (join‘∅) = (join‘∅)
4	2, 3	joinfval 18419	. . 3 ⊢ (∅ ∈ V → (join‘∅) = {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ {𝑥, 𝑦} (lub‘∅)𝑧})
5	1, 4	ax-mp 5	. 2 ⊢ (join‘∅) = {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ {𝑥, 𝑦} (lub‘∅)𝑧}
6		df-oprab 7436	. . 3 ⊢ {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ {𝑥, 𝑦} (lub‘∅)𝑧} = {𝑤 ∣ ∃𝑥∃𝑦∃𝑧(𝑤 = ⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∧ {𝑥, 𝑦} (lub‘∅)𝑧)}
7		br0 5191	. . . . . . . . 9 ⊢ ¬ {𝑥, 𝑦}∅𝑧
8		base0 17253	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ∅ = (Base‘∅)
9		eqid 2736	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (le‘∅) = (le‘∅)
10		biid 261	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((∀𝑥 ∈ 𝑤 𝑥(le‘∅)𝑧 ∧ ∀𝑦 ∈ ∅ (∀𝑥 ∈ 𝑤 𝑥(le‘∅)𝑦 → 𝑧(le‘∅)𝑦)) ↔ (∀𝑥 ∈ 𝑤 𝑥(le‘∅)𝑧 ∧ ∀𝑦 ∈ ∅ (∀𝑥 ∈ 𝑤 𝑥(le‘∅)𝑦 → 𝑧(le‘∅)𝑦)))
11		id 22	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∅ ∈ V → ∅ ∈ V)
12	8, 9, 2, 10, 11	lubfval 18396	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∅ ∈ V → (lub‘∅) = ((𝑤 ∈ 𝒫 ∅ ↦ (℩𝑧 ∈ ∅ (∀𝑥 ∈ 𝑤 𝑥(le‘∅)𝑧 ∧ ∀𝑦 ∈ ∅ (∀𝑥 ∈ 𝑤 𝑥(le‘∅)𝑦 → 𝑧(le‘∅)𝑦)))) ↾ {𝑤 ∣ ∃!𝑧 ∈ ∅ (∀𝑥 ∈ 𝑤 𝑥(le‘∅)𝑧 ∧ ∀𝑦 ∈ ∅ (∀𝑥 ∈ 𝑤 𝑥(le‘∅)𝑦 → 𝑧(le‘∅)𝑦))}))
13	1, 12	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (lub‘∅) = ((𝑤 ∈ 𝒫 ∅ ↦ (℩𝑧 ∈ ∅ (∀𝑥 ∈ 𝑤 𝑥(le‘∅)𝑧 ∧ ∀𝑦 ∈ ∅ (∀𝑥 ∈ 𝑤 𝑥(le‘∅)𝑦 → 𝑧(le‘∅)𝑦)))) ↾ {𝑤 ∣ ∃!𝑧 ∈ ∅ (∀𝑥 ∈ 𝑤 𝑥(le‘∅)𝑧 ∧ ∀𝑦 ∈ ∅ (∀𝑥 ∈ 𝑤 𝑥(le‘∅)𝑦 → 𝑧(le‘∅)𝑦))})
14		reu0 4360	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ¬ ∃!𝑧 ∈ ∅ (∀𝑥 ∈ 𝑤 𝑥(le‘∅)𝑧 ∧ ∀𝑦 ∈ ∅ (∀𝑥 ∈ 𝑤 𝑥(le‘∅)𝑦 → 𝑧(le‘∅)𝑦))
15	14	abf 4405	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ {𝑤 ∣ ∃!𝑧 ∈ ∅ (∀𝑥 ∈ 𝑤 𝑥(le‘∅)𝑧 ∧ ∀𝑦 ∈ ∅ (∀𝑥 ∈ 𝑤 𝑥(le‘∅)𝑦 → 𝑧(le‘∅)𝑦))} = ∅
16	15	reseq2i 5993	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑤 ∈ 𝒫 ∅ ↦ (℩𝑧 ∈ ∅ (∀𝑥 ∈ 𝑤 𝑥(le‘∅)𝑧 ∧ ∀𝑦 ∈ ∅ (∀𝑥 ∈ 𝑤 𝑥(le‘∅)𝑦 → 𝑧(le‘∅)𝑦)))) ↾ {𝑤 ∣ ∃!𝑧 ∈ ∅ (∀𝑥 ∈ 𝑤 𝑥(le‘∅)𝑧 ∧ ∀𝑦 ∈ ∅ (∀𝑥 ∈ 𝑤 𝑥(le‘∅)𝑦 → 𝑧(le‘∅)𝑦))}) = ((𝑤 ∈ 𝒫 ∅ ↦ (℩𝑧 ∈ ∅ (∀𝑥 ∈ 𝑤 𝑥(le‘∅)𝑧 ∧ ∀𝑦 ∈ ∅ (∀𝑥 ∈ 𝑤 𝑥(le‘∅)𝑦 → 𝑧(le‘∅)𝑦)))) ↾ ∅)
17		res0 6000	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑤 ∈ 𝒫 ∅ ↦ (℩𝑧 ∈ ∅ (∀𝑥 ∈ 𝑤 𝑥(le‘∅)𝑧 ∧ ∀𝑦 ∈ ∅ (∀𝑥 ∈ 𝑤 𝑥(le‘∅)𝑦 → 𝑧(le‘∅)𝑦)))) ↾ ∅) = ∅
18	16, 17	eqtri 2764	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑤 ∈ 𝒫 ∅ ↦ (℩𝑧 ∈ ∅ (∀𝑥 ∈ 𝑤 𝑥(le‘∅)𝑧 ∧ ∀𝑦 ∈ ∅ (∀𝑥 ∈ 𝑤 𝑥(le‘∅)𝑦 → 𝑧(le‘∅)𝑦)))) ↾ {𝑤 ∣ ∃!𝑧 ∈ ∅ (∀𝑥 ∈ 𝑤 𝑥(le‘∅)𝑧 ∧ ∀𝑦 ∈ ∅ (∀𝑥 ∈ 𝑤 𝑥(le‘∅)𝑦 → 𝑧(le‘∅)𝑦))}) = ∅
19	13, 18	eqtri 2764	. . . . . . . . . 10 ⊢ (lub‘∅) = ∅
20	19	breqi 5148	. . . . . . . . 9 ⊢ ({𝑥, 𝑦} (lub‘∅)𝑧 ↔ {𝑥, 𝑦}∅𝑧)
21	7, 20	mtbir 323	. . . . . . . 8 ⊢ ¬ {𝑥, 𝑦} (lub‘∅)𝑧
22	21	intnan 486	. . . . . . 7 ⊢ ¬ (𝑤 = ⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∧ {𝑥, 𝑦} (lub‘∅)𝑧)
23	22	nex 1799	. . . . . 6 ⊢ ¬ ∃𝑧(𝑤 = ⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∧ {𝑥, 𝑦} (lub‘∅)𝑧)
24	23	nex 1799	. . . . 5 ⊢ ¬ ∃𝑦∃𝑧(𝑤 = ⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∧ {𝑥, 𝑦} (lub‘∅)𝑧)
25	24	nex 1799	. . . 4 ⊢ ¬ ∃𝑥∃𝑦∃𝑧(𝑤 = ⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∧ {𝑥, 𝑦} (lub‘∅)𝑧)
26	25	abf 4405	. . 3 ⊢ {𝑤 ∣ ∃𝑥∃𝑦∃𝑧(𝑤 = ⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∧ {𝑥, 𝑦} (lub‘∅)𝑧)} = ∅
27	6, 26	eqtri 2764	. 2 ⊢ {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ {𝑥, 𝑦} (lub‘∅)𝑧} = ∅
28	5, 27	eqtri 2764	1 ⊢ (join‘∅) = ∅

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539  ∃wex 1778   ∈ wcel 2107  {cab 2713  ∀wral 3060  ∃!wreu 3377  Vcvv 3479  ∅c0 4332  𝒫 cpw 4599  {cpr 4627  ⟨cop 4631   class class class wbr 5142   ↦ cmpt 5224   ↾ cres 5686  ‘cfv 6560  ℩crio 7388  {coprab 7433  lecple 17305  lubclub 18356  joincjn 18358

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-cnex 11212  ax-1cn 11214  ax-addcl 11216

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-om 7889  df-2nd 8016  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-nn 12268  df-slot 17220  df-ndx 17232  df-base 17249  df-lub 18392  df-join 18394

This theorem is referenced by:  odujoin  18454