MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  join0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem join0 18358
Description: Lemma for odumeet 18363. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Jan-2015.)
Assertion
Ref Expression
join0 (joinβ€˜βˆ…) = βˆ…

Proof of Theorem join0
Dummy variables π‘₯ 𝑦 𝑧 𝑀 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0ex 5308 . . 3 βˆ… ∈ V
2 eqid 2733 . . . 4 (lubβ€˜βˆ…) = (lubβ€˜βˆ…)
3 eqid 2733 . . . 4 (joinβ€˜βˆ…) = (joinβ€˜βˆ…)
42, 3joinfval 18326 . . 3 (βˆ… ∈ V β†’ (joinβ€˜βˆ…) = {⟨⟨π‘₯, π‘¦βŸ©, π‘§βŸ© ∣ {π‘₯, 𝑦} (lubβ€˜βˆ…)𝑧})
51, 4ax-mp 5 . 2 (joinβ€˜βˆ…) = {⟨⟨π‘₯, π‘¦βŸ©, π‘§βŸ© ∣ {π‘₯, 𝑦} (lubβ€˜βˆ…)𝑧}
6 df-oprab 7413 . . 3 {⟨⟨π‘₯, π‘¦βŸ©, π‘§βŸ© ∣ {π‘₯, 𝑦} (lubβ€˜βˆ…)𝑧} = {𝑀 ∣ βˆƒπ‘₯βˆƒπ‘¦βˆƒπ‘§(𝑀 = ⟨⟨π‘₯, π‘¦βŸ©, π‘§βŸ© ∧ {π‘₯, 𝑦} (lubβ€˜βˆ…)𝑧)}
7 br0 5198 . . . . . . . . 9 Β¬ {π‘₯, 𝑦}βˆ…π‘§
8 base0 17149 . . . . . . . . . . . . 13 βˆ… = (Baseβ€˜βˆ…)
9 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . 13 (leβ€˜βˆ…) = (leβ€˜βˆ…)
10 biid 261 . . . . . . . . . . . . 13 ((βˆ€π‘₯ ∈ 𝑀 π‘₯(leβ€˜βˆ…)𝑧 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ βˆ… (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑀 π‘₯(leβ€˜βˆ…)𝑦 β†’ 𝑧(leβ€˜βˆ…)𝑦)) ↔ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑀 π‘₯(leβ€˜βˆ…)𝑧 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ βˆ… (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑀 π‘₯(leβ€˜βˆ…)𝑦 β†’ 𝑧(leβ€˜βˆ…)𝑦)))
11 id 22 . . . . . . . . . . . . 13 (βˆ… ∈ V β†’ βˆ… ∈ V)
128, 9, 2, 10, 11lubfval 18303 . . . . . . . . . . . 12 (βˆ… ∈ V β†’ (lubβ€˜βˆ…) = ((𝑀 ∈ 𝒫 βˆ… ↦ (℩𝑧 ∈ βˆ… (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑀 π‘₯(leβ€˜βˆ…)𝑧 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ βˆ… (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑀 π‘₯(leβ€˜βˆ…)𝑦 β†’ 𝑧(leβ€˜βˆ…)𝑦)))) β†Ύ {𝑀 ∣ βˆƒ!𝑧 ∈ βˆ… (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑀 π‘₯(leβ€˜βˆ…)𝑧 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ βˆ… (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑀 π‘₯(leβ€˜βˆ…)𝑦 β†’ 𝑧(leβ€˜βˆ…)𝑦))}))
131, 12ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 (lubβ€˜βˆ…) = ((𝑀 ∈ 𝒫 βˆ… ↦ (℩𝑧 ∈ βˆ… (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑀 π‘₯(leβ€˜βˆ…)𝑧 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ βˆ… (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑀 π‘₯(leβ€˜βˆ…)𝑦 β†’ 𝑧(leβ€˜βˆ…)𝑦)))) β†Ύ {𝑀 ∣ βˆƒ!𝑧 ∈ βˆ… (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑀 π‘₯(leβ€˜βˆ…)𝑧 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ βˆ… (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑀 π‘₯(leβ€˜βˆ…)𝑦 β†’ 𝑧(leβ€˜βˆ…)𝑦))})
14 reu0 4359 . . . . . . . . . . . . . 14 Β¬ βˆƒ!𝑧 ∈ βˆ… (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑀 π‘₯(leβ€˜βˆ…)𝑧 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ βˆ… (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑀 π‘₯(leβ€˜βˆ…)𝑦 β†’ 𝑧(leβ€˜βˆ…)𝑦))
1514abf 4403 . . . . . . . . . . . . 13 {𝑀 ∣ βˆƒ!𝑧 ∈ βˆ… (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑀 π‘₯(leβ€˜βˆ…)𝑧 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ βˆ… (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑀 π‘₯(leβ€˜βˆ…)𝑦 β†’ 𝑧(leβ€˜βˆ…)𝑦))} = βˆ…
1615reseq2i 5979 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑀 ∈ 𝒫 βˆ… ↦ (℩𝑧 ∈ βˆ… (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑀 π‘₯(leβ€˜βˆ…)𝑧 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ βˆ… (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑀 π‘₯(leβ€˜βˆ…)𝑦 β†’ 𝑧(leβ€˜βˆ…)𝑦)))) β†Ύ {𝑀 ∣ βˆƒ!𝑧 ∈ βˆ… (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑀 π‘₯(leβ€˜βˆ…)𝑧 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ βˆ… (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑀 π‘₯(leβ€˜βˆ…)𝑦 β†’ 𝑧(leβ€˜βˆ…)𝑦))}) = ((𝑀 ∈ 𝒫 βˆ… ↦ (℩𝑧 ∈ βˆ… (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑀 π‘₯(leβ€˜βˆ…)𝑧 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ βˆ… (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑀 π‘₯(leβ€˜βˆ…)𝑦 β†’ 𝑧(leβ€˜βˆ…)𝑦)))) β†Ύ βˆ…)
17 res0 5986 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑀 ∈ 𝒫 βˆ… ↦ (℩𝑧 ∈ βˆ… (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑀 π‘₯(leβ€˜βˆ…)𝑧 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ βˆ… (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑀 π‘₯(leβ€˜βˆ…)𝑦 β†’ 𝑧(leβ€˜βˆ…)𝑦)))) β†Ύ βˆ…) = βˆ…
1816, 17eqtri 2761 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ 𝒫 βˆ… ↦ (℩𝑧 ∈ βˆ… (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑀 π‘₯(leβ€˜βˆ…)𝑧 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ βˆ… (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑀 π‘₯(leβ€˜βˆ…)𝑦 β†’ 𝑧(leβ€˜βˆ…)𝑦)))) β†Ύ {𝑀 ∣ βˆƒ!𝑧 ∈ βˆ… (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑀 π‘₯(leβ€˜βˆ…)𝑧 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ βˆ… (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑀 π‘₯(leβ€˜βˆ…)𝑦 β†’ 𝑧(leβ€˜βˆ…)𝑦))}) = βˆ…
1913, 18eqtri 2761 . . . . . . . . . 10 (lubβ€˜βˆ…) = βˆ…
2019breqi 5155 . . . . . . . . 9 ({π‘₯, 𝑦} (lubβ€˜βˆ…)𝑧 ↔ {π‘₯, 𝑦}βˆ…π‘§)
217, 20mtbir 323 . . . . . . . 8 Β¬ {π‘₯, 𝑦} (lubβ€˜βˆ…)𝑧
2221intnan 488 . . . . . . 7 Β¬ (𝑀 = ⟨⟨π‘₯, π‘¦βŸ©, π‘§βŸ© ∧ {π‘₯, 𝑦} (lubβ€˜βˆ…)𝑧)
2322nex 1803 . . . . . 6 Β¬ βˆƒπ‘§(𝑀 = ⟨⟨π‘₯, π‘¦βŸ©, π‘§βŸ© ∧ {π‘₯, 𝑦} (lubβ€˜βˆ…)𝑧)
2423nex 1803 . . . . 5 Β¬ βˆƒπ‘¦βˆƒπ‘§(𝑀 = ⟨⟨π‘₯, π‘¦βŸ©, π‘§βŸ© ∧ {π‘₯, 𝑦} (lubβ€˜βˆ…)𝑧)
2524nex 1803 . . . 4 Β¬ βˆƒπ‘₯βˆƒπ‘¦βˆƒπ‘§(𝑀 = ⟨⟨π‘₯, π‘¦βŸ©, π‘§βŸ© ∧ {π‘₯, 𝑦} (lubβ€˜βˆ…)𝑧)
2625abf 4403 . . 3 {𝑀 ∣ βˆƒπ‘₯βˆƒπ‘¦βˆƒπ‘§(𝑀 = ⟨⟨π‘₯, π‘¦βŸ©, π‘§βŸ© ∧ {π‘₯, 𝑦} (lubβ€˜βˆ…)𝑧)} = βˆ…
276, 26eqtri 2761 . 2 {⟨⟨π‘₯, π‘¦βŸ©, π‘§βŸ© ∣ {π‘₯, 𝑦} (lubβ€˜βˆ…)𝑧} = βˆ…
285, 27eqtri 2761 1 (joinβ€˜βˆ…) = βˆ…
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542  βˆƒwex 1782   ∈ wcel 2107  {cab 2710  βˆ€wral 3062  βˆƒ!wreu 3375  Vcvv 3475  βˆ…c0 4323  π’« cpw 4603  {cpr 4631  βŸ¨cop 4635   class class class wbr 5149   ↦ cmpt 5232   β†Ύ cres 5679  β€˜cfv 6544  β„©crio 7364  {coprab 7410  lecple 17204  lubclub 18262  joincjn 18264
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-1cn 11168  ax-addcl 11170
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-om 7856  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-nn 12213  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-lub 18299  df-join 18301
This theorem is referenced by:  odujoin  18361
  Copyright terms: Public domain W3C validator