Theorem join0 18309

Description: Lemma for odumeet 18314. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
join0	⊢ (join‘∅) = ∅

Proof of Theorem join0

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ex 5246	. . 3 ⊢ ∅ ∈ V
2		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (lub‘∅) = (lub‘∅)
3		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (join‘∅) = (join‘∅)
4	2, 3	joinfval 18277	. . 3 ⊢ (∅ ∈ V → (join‘∅) = {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ {𝑥, 𝑦} (lub‘∅)𝑧})
5	1, 4	ax-mp 5	. 2 ⊢ (join‘∅) = {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ {𝑥, 𝑦} (lub‘∅)𝑧}
6		df-oprab 7353	. . 3 ⊢ {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ {𝑥, 𝑦} (lub‘∅)𝑧} = {𝑤 ∣ ∃𝑥∃𝑦∃𝑧(𝑤 = ⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∧ {𝑥, 𝑦} (lub‘∅)𝑧)}
7		br0 5141	. . . . . . . . 9 ⊢ ¬ {𝑥, 𝑦}∅𝑧
8		base0 17125	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ∅ = (Base‘∅)
9		eqid 2729	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (le‘∅) = (le‘∅)
10		biid 261	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((∀𝑥 ∈ 𝑤 𝑥(le‘∅)𝑧 ∧ ∀𝑦 ∈ ∅ (∀𝑥 ∈ 𝑤 𝑥(le‘∅)𝑦 → 𝑧(le‘∅)𝑦)) ↔ (∀𝑥 ∈ 𝑤 𝑥(le‘∅)𝑧 ∧ ∀𝑦 ∈ ∅ (∀𝑥 ∈ 𝑤 𝑥(le‘∅)𝑦 → 𝑧(le‘∅)𝑦)))
11		id 22	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∅ ∈ V → ∅ ∈ V)
12	8, 9, 2, 10, 11	lubfval 18254	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∅ ∈ V → (lub‘∅) = ((𝑤 ∈ 𝒫 ∅ ↦ (℩𝑧 ∈ ∅ (∀𝑥 ∈ 𝑤 𝑥(le‘∅)𝑧 ∧ ∀𝑦 ∈ ∅ (∀𝑥 ∈ 𝑤 𝑥(le‘∅)𝑦 → 𝑧(le‘∅)𝑦)))) ↾ {𝑤 ∣ ∃!𝑧 ∈ ∅ (∀𝑥 ∈ 𝑤 𝑥(le‘∅)𝑧 ∧ ∀𝑦 ∈ ∅ (∀𝑥 ∈ 𝑤 𝑥(le‘∅)𝑦 → 𝑧(le‘∅)𝑦))}))
13	1, 12	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (lub‘∅) = ((𝑤 ∈ 𝒫 ∅ ↦ (℩𝑧 ∈ ∅ (∀𝑥 ∈ 𝑤 𝑥(le‘∅)𝑧 ∧ ∀𝑦 ∈ ∅ (∀𝑥 ∈ 𝑤 𝑥(le‘∅)𝑦 → 𝑧(le‘∅)𝑦)))) ↾ {𝑤 ∣ ∃!𝑧 ∈ ∅ (∀𝑥 ∈ 𝑤 𝑥(le‘∅)𝑧 ∧ ∀𝑦 ∈ ∅ (∀𝑥 ∈ 𝑤 𝑥(le‘∅)𝑦 → 𝑧(le‘∅)𝑦))})
14		reu0 4312	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ¬ ∃!𝑧 ∈ ∅ (∀𝑥 ∈ 𝑤 𝑥(le‘∅)𝑧 ∧ ∀𝑦 ∈ ∅ (∀𝑥 ∈ 𝑤 𝑥(le‘∅)𝑦 → 𝑧(le‘∅)𝑦))
15	14	abf 4357	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ {𝑤 ∣ ∃!𝑧 ∈ ∅ (∀𝑥 ∈ 𝑤 𝑥(le‘∅)𝑧 ∧ ∀𝑦 ∈ ∅ (∀𝑥 ∈ 𝑤 𝑥(le‘∅)𝑦 → 𝑧(le‘∅)𝑦))} = ∅
16	15	reseq2i 5927	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑤 ∈ 𝒫 ∅ ↦ (℩𝑧 ∈ ∅ (∀𝑥 ∈ 𝑤 𝑥(le‘∅)𝑧 ∧ ∀𝑦 ∈ ∅ (∀𝑥 ∈ 𝑤 𝑥(le‘∅)𝑦 → 𝑧(le‘∅)𝑦)))) ↾ {𝑤 ∣ ∃!𝑧 ∈ ∅ (∀𝑥 ∈ 𝑤 𝑥(le‘∅)𝑧 ∧ ∀𝑦 ∈ ∅ (∀𝑥 ∈ 𝑤 𝑥(le‘∅)𝑦 → 𝑧(le‘∅)𝑦))}) = ((𝑤 ∈ 𝒫 ∅ ↦ (℩𝑧 ∈ ∅ (∀𝑥 ∈ 𝑤 𝑥(le‘∅)𝑧 ∧ ∀𝑦 ∈ ∅ (∀𝑥 ∈ 𝑤 𝑥(le‘∅)𝑦 → 𝑧(le‘∅)𝑦)))) ↾ ∅)
17		res0 5934	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑤 ∈ 𝒫 ∅ ↦ (℩𝑧 ∈ ∅ (∀𝑥 ∈ 𝑤 𝑥(le‘∅)𝑧 ∧ ∀𝑦 ∈ ∅ (∀𝑥 ∈ 𝑤 𝑥(le‘∅)𝑦 → 𝑧(le‘∅)𝑦)))) ↾ ∅) = ∅
18	16, 17	eqtri 2752	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑤 ∈ 𝒫 ∅ ↦ (℩𝑧 ∈ ∅ (∀𝑥 ∈ 𝑤 𝑥(le‘∅)𝑧 ∧ ∀𝑦 ∈ ∅ (∀𝑥 ∈ 𝑤 𝑥(le‘∅)𝑦 → 𝑧(le‘∅)𝑦)))) ↾ {𝑤 ∣ ∃!𝑧 ∈ ∅ (∀𝑥 ∈ 𝑤 𝑥(le‘∅)𝑧 ∧ ∀𝑦 ∈ ∅ (∀𝑥 ∈ 𝑤 𝑥(le‘∅)𝑦 → 𝑧(le‘∅)𝑦))}) = ∅
19	13, 18	eqtri 2752	. . . . . . . . . 10 ⊢ (lub‘∅) = ∅
20	19	breqi 5098	. . . . . . . . 9 ⊢ ({𝑥, 𝑦} (lub‘∅)𝑧 ↔ {𝑥, 𝑦}∅𝑧)
21	7, 20	mtbir 323	. . . . . . . 8 ⊢ ¬ {𝑥, 𝑦} (lub‘∅)𝑧
22	21	intnan 486	. . . . . . 7 ⊢ ¬ (𝑤 = ⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∧ {𝑥, 𝑦} (lub‘∅)𝑧)
23	22	nex 1800	. . . . . 6 ⊢ ¬ ∃𝑧(𝑤 = ⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∧ {𝑥, 𝑦} (lub‘∅)𝑧)
24	23	nex 1800	. . . . 5 ⊢ ¬ ∃𝑦∃𝑧(𝑤 = ⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∧ {𝑥, 𝑦} (lub‘∅)𝑧)
25	24	nex 1800	. . . 4 ⊢ ¬ ∃𝑥∃𝑦∃𝑧(𝑤 = ⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∧ {𝑥, 𝑦} (lub‘∅)𝑧)
26	25	abf 4357	. . 3 ⊢ {𝑤 ∣ ∃𝑥∃𝑦∃𝑧(𝑤 = ⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∧ {𝑥, 𝑦} (lub‘∅)𝑧)} = ∅
27	6, 26	eqtri 2752	. 2 ⊢ {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ {𝑥, 𝑦} (lub‘∅)𝑧} = ∅
28	5, 27	eqtri 2752	1 ⊢ (join‘∅) = ∅

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540  ∃wex 1779   ∈ wcel 2109  {cab 2707  ∀wral 3044  ∃!wreu 3341  Vcvv 3436  ∅c0 4284  𝒫 cpw 4551  {cpr 4579  ⟨cop 4583   class class class wbr 5092   ↦ cmpt 5173   ↾ cres 5621  ‘cfv 6482  ℩crio 7305  {coprab 7350  lecple 17168  lubclub 18215  joincjn 18217

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5218  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-cnex 11065  ax-1cn 11067  ax-addcl 11069

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-om 7800  df-2nd 7925  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-nn 12129  df-slot 17093  df-ndx 17105  df-base 17121  df-lub 18250  df-join 18252

This theorem is referenced by:  odujoin  18312