Theorem join0 18038

Description: Lemma for odumeet 18043. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
join0	⊢ (join‘∅) = ∅

Proof of Theorem join0

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ex 5226	. . 3 ⊢ ∅ ∈ V
2		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (lub‘∅) = (lub‘∅)
3		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (join‘∅) = (join‘∅)
4	2, 3	joinfval 18006	. . 3 ⊢ (∅ ∈ V → (join‘∅) = {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ {𝑥, 𝑦} (lub‘∅)𝑧})
5	1, 4	ax-mp 5	. 2 ⊢ (join‘∅) = {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ {𝑥, 𝑦} (lub‘∅)𝑧}
6		df-oprab 7259	. . 3 ⊢ {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ {𝑥, 𝑦} (lub‘∅)𝑧} = {𝑤 ∣ ∃𝑥∃𝑦∃𝑧(𝑤 = ⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∧ {𝑥, 𝑦} (lub‘∅)𝑧)}
7		br0 5119	. . . . . . . . 9 ⊢ ¬ {𝑥, 𝑦}∅𝑧
8		base0 16845	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ∅ = (Base‘∅)
9		eqid 2738	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (le‘∅) = (le‘∅)
10		biid 260	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((∀𝑥 ∈ 𝑤 𝑥(le‘∅)𝑧 ∧ ∀𝑦 ∈ ∅ (∀𝑥 ∈ 𝑤 𝑥(le‘∅)𝑦 → 𝑧(le‘∅)𝑦)) ↔ (∀𝑥 ∈ 𝑤 𝑥(le‘∅)𝑧 ∧ ∀𝑦 ∈ ∅ (∀𝑥 ∈ 𝑤 𝑥(le‘∅)𝑦 → 𝑧(le‘∅)𝑦)))
11		id 22	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∅ ∈ V → ∅ ∈ V)
12	8, 9, 2, 10, 11	lubfval 17983	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∅ ∈ V → (lub‘∅) = ((𝑤 ∈ 𝒫 ∅ ↦ (℩𝑧 ∈ ∅ (∀𝑥 ∈ 𝑤 𝑥(le‘∅)𝑧 ∧ ∀𝑦 ∈ ∅ (∀𝑥 ∈ 𝑤 𝑥(le‘∅)𝑦 → 𝑧(le‘∅)𝑦)))) ↾ {𝑤 ∣ ∃!𝑧 ∈ ∅ (∀𝑥 ∈ 𝑤 𝑥(le‘∅)𝑧 ∧ ∀𝑦 ∈ ∅ (∀𝑥 ∈ 𝑤 𝑥(le‘∅)𝑦 → 𝑧(le‘∅)𝑦))}))
13	1, 12	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (lub‘∅) = ((𝑤 ∈ 𝒫 ∅ ↦ (℩𝑧 ∈ ∅ (∀𝑥 ∈ 𝑤 𝑥(le‘∅)𝑧 ∧ ∀𝑦 ∈ ∅ (∀𝑥 ∈ 𝑤 𝑥(le‘∅)𝑦 → 𝑧(le‘∅)𝑦)))) ↾ {𝑤 ∣ ∃!𝑧 ∈ ∅ (∀𝑥 ∈ 𝑤 𝑥(le‘∅)𝑧 ∧ ∀𝑦 ∈ ∅ (∀𝑥 ∈ 𝑤 𝑥(le‘∅)𝑦 → 𝑧(le‘∅)𝑦))})
14		reu0 4289	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ¬ ∃!𝑧 ∈ ∅ (∀𝑥 ∈ 𝑤 𝑥(le‘∅)𝑧 ∧ ∀𝑦 ∈ ∅ (∀𝑥 ∈ 𝑤 𝑥(le‘∅)𝑦 → 𝑧(le‘∅)𝑦))
15	14	abf 4333	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ {𝑤 ∣ ∃!𝑧 ∈ ∅ (∀𝑥 ∈ 𝑤 𝑥(le‘∅)𝑧 ∧ ∀𝑦 ∈ ∅ (∀𝑥 ∈ 𝑤 𝑥(le‘∅)𝑦 → 𝑧(le‘∅)𝑦))} = ∅
16	15	reseq2i 5877	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑤 ∈ 𝒫 ∅ ↦ (℩𝑧 ∈ ∅ (∀𝑥 ∈ 𝑤 𝑥(le‘∅)𝑧 ∧ ∀𝑦 ∈ ∅ (∀𝑥 ∈ 𝑤 𝑥(le‘∅)𝑦 → 𝑧(le‘∅)𝑦)))) ↾ {𝑤 ∣ ∃!𝑧 ∈ ∅ (∀𝑥 ∈ 𝑤 𝑥(le‘∅)𝑧 ∧ ∀𝑦 ∈ ∅ (∀𝑥 ∈ 𝑤 𝑥(le‘∅)𝑦 → 𝑧(le‘∅)𝑦))}) = ((𝑤 ∈ 𝒫 ∅ ↦ (℩𝑧 ∈ ∅ (∀𝑥 ∈ 𝑤 𝑥(le‘∅)𝑧 ∧ ∀𝑦 ∈ ∅ (∀𝑥 ∈ 𝑤 𝑥(le‘∅)𝑦 → 𝑧(le‘∅)𝑦)))) ↾ ∅)
17		res0 5884	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑤 ∈ 𝒫 ∅ ↦ (℩𝑧 ∈ ∅ (∀𝑥 ∈ 𝑤 𝑥(le‘∅)𝑧 ∧ ∀𝑦 ∈ ∅ (∀𝑥 ∈ 𝑤 𝑥(le‘∅)𝑦 → 𝑧(le‘∅)𝑦)))) ↾ ∅) = ∅
18	16, 17	eqtri 2766	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑤 ∈ 𝒫 ∅ ↦ (℩𝑧 ∈ ∅ (∀𝑥 ∈ 𝑤 𝑥(le‘∅)𝑧 ∧ ∀𝑦 ∈ ∅ (∀𝑥 ∈ 𝑤 𝑥(le‘∅)𝑦 → 𝑧(le‘∅)𝑦)))) ↾ {𝑤 ∣ ∃!𝑧 ∈ ∅ (∀𝑥 ∈ 𝑤 𝑥(le‘∅)𝑧 ∧ ∀𝑦 ∈ ∅ (∀𝑥 ∈ 𝑤 𝑥(le‘∅)𝑦 → 𝑧(le‘∅)𝑦))}) = ∅
19	13, 18	eqtri 2766	. . . . . . . . . 10 ⊢ (lub‘∅) = ∅
20	19	breqi 5076	. . . . . . . . 9 ⊢ ({𝑥, 𝑦} (lub‘∅)𝑧 ↔ {𝑥, 𝑦}∅𝑧)
21	7, 20	mtbir 322	. . . . . . . 8 ⊢ ¬ {𝑥, 𝑦} (lub‘∅)𝑧
22	21	intnan 486	. . . . . . 7 ⊢ ¬ (𝑤 = ⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∧ {𝑥, 𝑦} (lub‘∅)𝑧)
23	22	nex 1804	. . . . . 6 ⊢ ¬ ∃𝑧(𝑤 = ⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∧ {𝑥, 𝑦} (lub‘∅)𝑧)
24	23	nex 1804	. . . . 5 ⊢ ¬ ∃𝑦∃𝑧(𝑤 = ⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∧ {𝑥, 𝑦} (lub‘∅)𝑧)
25	24	nex 1804	. . . 4 ⊢ ¬ ∃𝑥∃𝑦∃𝑧(𝑤 = ⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∧ {𝑥, 𝑦} (lub‘∅)𝑧)
26	25	abf 4333	. . 3 ⊢ {𝑤 ∣ ∃𝑥∃𝑦∃𝑧(𝑤 = ⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∧ {𝑥, 𝑦} (lub‘∅)𝑧)} = ∅
27	6, 26	eqtri 2766	. 2 ⊢ {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ {𝑥, 𝑦} (lub‘∅)𝑧} = ∅
28	5, 27	eqtri 2766	1 ⊢ (join‘∅) = ∅

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539  ∃wex 1783   ∈ wcel 2108  {cab 2715  ∀wral 3063  ∃!wreu 3065  Vcvv 3422  ∅c0 4253  𝒫 cpw 4530  {cpr 4560  ⟨cop 4564   class class class wbr 5070   ↦ cmpt 5153   ↾ cres 5582  ‘cfv 6418  ℩crio 7211  {coprab 7256  lecple 16895  lubclub 17942  joincjn 17944

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-1cn 10860  ax-addcl 10862

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-om 7688  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-nn 11904  df-slot 16811  df-ndx 16823  df-base 16841  df-lub 17979  df-join 17981

This theorem is referenced by:  odujoin  18041