Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  join0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem join0 17814
 Description: Lemma for odumeet 17816. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Jan-2015.)
Assertion
Ref Expression
join0 (join‘∅) = ∅

Proof of Theorem join0
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0ex 5177 . . 3 ∅ ∈ V
2 eqid 2758 . . . 4 (lub‘∅) = (lub‘∅)
3 eqid 2758 . . . 4 (join‘∅) = (join‘∅)
42, 3joinfval 17677 . . 3 (∅ ∈ V → (join‘∅) = {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ {𝑥, 𝑦} (lub‘∅)𝑧})
51, 4ax-mp 5 . 2 (join‘∅) = {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ {𝑥, 𝑦} (lub‘∅)𝑧}
6 df-oprab 7154 . . 3 {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ {𝑥, 𝑦} (lub‘∅)𝑧} = {𝑤 ∣ ∃𝑥𝑦𝑧(𝑤 = ⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∧ {𝑥, 𝑦} (lub‘∅)𝑧)}
7 br0 5081 . . . . . . . . 9 ¬ {𝑥, 𝑦}∅𝑧
8 base0 16594 . . . . . . . . . . . . 13 ∅ = (Base‘∅)
9 eqid 2758 . . . . . . . . . . . . 13 (le‘∅) = (le‘∅)
10 biid 264 . . . . . . . . . . . . 13 ((∀𝑥𝑤 𝑥(le‘∅)𝑧 ∧ ∀𝑦 ∈ ∅ (∀𝑥𝑤 𝑥(le‘∅)𝑦𝑧(le‘∅)𝑦)) ↔ (∀𝑥𝑤 𝑥(le‘∅)𝑧 ∧ ∀𝑦 ∈ ∅ (∀𝑥𝑤 𝑥(le‘∅)𝑦𝑧(le‘∅)𝑦)))
11 id 22 . . . . . . . . . . . . 13 (∅ ∈ V → ∅ ∈ V)
128, 9, 2, 10, 11lubfval 17654 . . . . . . . . . . . 12 (∅ ∈ V → (lub‘∅) = ((𝑤 ∈ 𝒫 ∅ ↦ (𝑧 ∈ ∅ (∀𝑥𝑤 𝑥(le‘∅)𝑧 ∧ ∀𝑦 ∈ ∅ (∀𝑥𝑤 𝑥(le‘∅)𝑦𝑧(le‘∅)𝑦)))) ↾ {𝑤 ∣ ∃!𝑧 ∈ ∅ (∀𝑥𝑤 𝑥(le‘∅)𝑧 ∧ ∀𝑦 ∈ ∅ (∀𝑥𝑤 𝑥(le‘∅)𝑦𝑧(le‘∅)𝑦))}))
131, 12ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 (lub‘∅) = ((𝑤 ∈ 𝒫 ∅ ↦ (𝑧 ∈ ∅ (∀𝑥𝑤 𝑥(le‘∅)𝑧 ∧ ∀𝑦 ∈ ∅ (∀𝑥𝑤 𝑥(le‘∅)𝑦𝑧(le‘∅)𝑦)))) ↾ {𝑤 ∣ ∃!𝑧 ∈ ∅ (∀𝑥𝑤 𝑥(le‘∅)𝑧 ∧ ∀𝑦 ∈ ∅ (∀𝑥𝑤 𝑥(le‘∅)𝑦𝑧(le‘∅)𝑦))})
14 reu0 4257 . . . . . . . . . . . . . 14 ¬ ∃!𝑧 ∈ ∅ (∀𝑥𝑤 𝑥(le‘∅)𝑧 ∧ ∀𝑦 ∈ ∅ (∀𝑥𝑤 𝑥(le‘∅)𝑦𝑧(le‘∅)𝑦))
1514abf 4298 . . . . . . . . . . . . 13 {𝑤 ∣ ∃!𝑧 ∈ ∅ (∀𝑥𝑤 𝑥(le‘∅)𝑧 ∧ ∀𝑦 ∈ ∅ (∀𝑥𝑤 𝑥(le‘∅)𝑦𝑧(le‘∅)𝑦))} = ∅
1615reseq2i 5820 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑤 ∈ 𝒫 ∅ ↦ (𝑧 ∈ ∅ (∀𝑥𝑤 𝑥(le‘∅)𝑧 ∧ ∀𝑦 ∈ ∅ (∀𝑥𝑤 𝑥(le‘∅)𝑦𝑧(le‘∅)𝑦)))) ↾ {𝑤 ∣ ∃!𝑧 ∈ ∅ (∀𝑥𝑤 𝑥(le‘∅)𝑧 ∧ ∀𝑦 ∈ ∅ (∀𝑥𝑤 𝑥(le‘∅)𝑦𝑧(le‘∅)𝑦))}) = ((𝑤 ∈ 𝒫 ∅ ↦ (𝑧 ∈ ∅ (∀𝑥𝑤 𝑥(le‘∅)𝑧 ∧ ∀𝑦 ∈ ∅ (∀𝑥𝑤 𝑥(le‘∅)𝑦𝑧(le‘∅)𝑦)))) ↾ ∅)
17 res0 5827 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑤 ∈ 𝒫 ∅ ↦ (𝑧 ∈ ∅ (∀𝑥𝑤 𝑥(le‘∅)𝑧 ∧ ∀𝑦 ∈ ∅ (∀𝑥𝑤 𝑥(le‘∅)𝑦𝑧(le‘∅)𝑦)))) ↾ ∅) = ∅
1816, 17eqtri 2781 . . . . . . . . . . 11 ((𝑤 ∈ 𝒫 ∅ ↦ (𝑧 ∈ ∅ (∀𝑥𝑤 𝑥(le‘∅)𝑧 ∧ ∀𝑦 ∈ ∅ (∀𝑥𝑤 𝑥(le‘∅)𝑦𝑧(le‘∅)𝑦)))) ↾ {𝑤 ∣ ∃!𝑧 ∈ ∅ (∀𝑥𝑤 𝑥(le‘∅)𝑧 ∧ ∀𝑦 ∈ ∅ (∀𝑥𝑤 𝑥(le‘∅)𝑦𝑧(le‘∅)𝑦))}) = ∅
1913, 18eqtri 2781 . . . . . . . . . 10 (lub‘∅) = ∅
2019breqi 5038 . . . . . . . . 9 ({𝑥, 𝑦} (lub‘∅)𝑧 ↔ {𝑥, 𝑦}∅𝑧)
217, 20mtbir 326 . . . . . . . 8 ¬ {𝑥, 𝑦} (lub‘∅)𝑧
2221intnan 490 . . . . . . 7 ¬ (𝑤 = ⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∧ {𝑥, 𝑦} (lub‘∅)𝑧)
2322nex 1802 . . . . . 6 ¬ ∃𝑧(𝑤 = ⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∧ {𝑥, 𝑦} (lub‘∅)𝑧)
2423nex 1802 . . . . 5 ¬ ∃𝑦𝑧(𝑤 = ⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∧ {𝑥, 𝑦} (lub‘∅)𝑧)
2524nex 1802 . . . 4 ¬ ∃𝑥𝑦𝑧(𝑤 = ⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∧ {𝑥, 𝑦} (lub‘∅)𝑧)
2625abf 4298 . . 3 {𝑤 ∣ ∃𝑥𝑦𝑧(𝑤 = ⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∧ {𝑥, 𝑦} (lub‘∅)𝑧)} = ∅
276, 26eqtri 2781 . 2 {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ {𝑥, 𝑦} (lub‘∅)𝑧} = ∅
285, 27eqtri 2781 1 (join‘∅) = ∅
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538  ∃wex 1781   ∈ wcel 2111  {cab 2735  ∀wral 3070  ∃!wreu 3072  Vcvv 3409  ∅c0 4225  𝒫 cpw 4494  {cpr 4524  ⟨cop 4528   class class class wbr 5032   ↦ cmpt 5112   ↾ cres 5526  ‘cfv 6335  ℩crio 7107  {coprab 7151  lecple 16630  lubclub 17618  joincjn 17620 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-rep 5156  ax-sep 5169  ax-nul 5176  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7459 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rmo 3078  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3697  df-csb 3806  df-dif 3861  df-un 3863  df-in 3865  df-ss 3875  df-nul 4226  df-if 4421  df-pw 4496  df-sn 4523  df-pr 4525  df-op 4529  df-uni 4799  df-iun 4885  df-br 5033  df-opab 5095  df-mpt 5113  df-id 5430  df-xp 5530  df-rel 5531  df-cnv 5532  df-co 5533  df-dm 5534  df-rn 5535  df-res 5536  df-ima 5537  df-iota 6294  df-fun 6337  df-fn 6338  df-f 6339  df-f1 6340  df-fo 6341  df-f1o 6342  df-fv 6343  df-riota 7108  df-oprab 7154  df-slot 16545  df-base 16547  df-lub 17650  df-join 17652 This theorem is referenced by:  odujoin  17818
 Copyright terms: Public domain W3C validator