MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  join0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem join0 17742
Description: Lemma for odumeet 17744. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Jan-2015.)
Assertion
Ref Expression
join0 (join‘∅) = ∅

Proof of Theorem join0
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0ex 5203 . . 3 ∅ ∈ V
2 eqid 2821 . . . 4 (lub‘∅) = (lub‘∅)
3 eqid 2821 . . . 4 (join‘∅) = (join‘∅)
42, 3joinfval 17605 . . 3 (∅ ∈ V → (join‘∅) = {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ {𝑥, 𝑦} (lub‘∅)𝑧})
51, 4ax-mp 5 . 2 (join‘∅) = {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ {𝑥, 𝑦} (lub‘∅)𝑧}
6 df-oprab 7154 . . 3 {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ {𝑥, 𝑦} (lub‘∅)𝑧} = {𝑤 ∣ ∃𝑥𝑦𝑧(𝑤 = ⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∧ {𝑥, 𝑦} (lub‘∅)𝑧)}
7 br0 5107 . . . . . . . . 9 ¬ {𝑥, 𝑦}∅𝑧
8 base0 16530 . . . . . . . . . . . . 13 ∅ = (Base‘∅)
9 eqid 2821 . . . . . . . . . . . . 13 (le‘∅) = (le‘∅)
10 biid 263 . . . . . . . . . . . . 13 ((∀𝑥𝑤 𝑥(le‘∅)𝑧 ∧ ∀𝑦 ∈ ∅ (∀𝑥𝑤 𝑥(le‘∅)𝑦𝑧(le‘∅)𝑦)) ↔ (∀𝑥𝑤 𝑥(le‘∅)𝑧 ∧ ∀𝑦 ∈ ∅ (∀𝑥𝑤 𝑥(le‘∅)𝑦𝑧(le‘∅)𝑦)))
11 id 22 . . . . . . . . . . . . 13 (∅ ∈ V → ∅ ∈ V)
128, 9, 2, 10, 11lubfval 17582 . . . . . . . . . . . 12 (∅ ∈ V → (lub‘∅) = ((𝑤 ∈ 𝒫 ∅ ↦ (𝑧 ∈ ∅ (∀𝑥𝑤 𝑥(le‘∅)𝑧 ∧ ∀𝑦 ∈ ∅ (∀𝑥𝑤 𝑥(le‘∅)𝑦𝑧(le‘∅)𝑦)))) ↾ {𝑤 ∣ ∃!𝑧 ∈ ∅ (∀𝑥𝑤 𝑥(le‘∅)𝑧 ∧ ∀𝑦 ∈ ∅ (∀𝑥𝑤 𝑥(le‘∅)𝑦𝑧(le‘∅)𝑦))}))
131, 12ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 (lub‘∅) = ((𝑤 ∈ 𝒫 ∅ ↦ (𝑧 ∈ ∅ (∀𝑥𝑤 𝑥(le‘∅)𝑧 ∧ ∀𝑦 ∈ ∅ (∀𝑥𝑤 𝑥(le‘∅)𝑦𝑧(le‘∅)𝑦)))) ↾ {𝑤 ∣ ∃!𝑧 ∈ ∅ (∀𝑥𝑤 𝑥(le‘∅)𝑧 ∧ ∀𝑦 ∈ ∅ (∀𝑥𝑤 𝑥(le‘∅)𝑦𝑧(le‘∅)𝑦))})
14 reu0 4317 . . . . . . . . . . . . . 14 ¬ ∃!𝑧 ∈ ∅ (∀𝑥𝑤 𝑥(le‘∅)𝑧 ∧ ∀𝑦 ∈ ∅ (∀𝑥𝑤 𝑥(le‘∅)𝑦𝑧(le‘∅)𝑦))
1514abf 4355 . . . . . . . . . . . . 13 {𝑤 ∣ ∃!𝑧 ∈ ∅ (∀𝑥𝑤 𝑥(le‘∅)𝑧 ∧ ∀𝑦 ∈ ∅ (∀𝑥𝑤 𝑥(le‘∅)𝑦𝑧(le‘∅)𝑦))} = ∅
1615reseq2i 5844 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑤 ∈ 𝒫 ∅ ↦ (𝑧 ∈ ∅ (∀𝑥𝑤 𝑥(le‘∅)𝑧 ∧ ∀𝑦 ∈ ∅ (∀𝑥𝑤 𝑥(le‘∅)𝑦𝑧(le‘∅)𝑦)))) ↾ {𝑤 ∣ ∃!𝑧 ∈ ∅ (∀𝑥𝑤 𝑥(le‘∅)𝑧 ∧ ∀𝑦 ∈ ∅ (∀𝑥𝑤 𝑥(le‘∅)𝑦𝑧(le‘∅)𝑦))}) = ((𝑤 ∈ 𝒫 ∅ ↦ (𝑧 ∈ ∅ (∀𝑥𝑤 𝑥(le‘∅)𝑧 ∧ ∀𝑦 ∈ ∅ (∀𝑥𝑤 𝑥(le‘∅)𝑦𝑧(le‘∅)𝑦)))) ↾ ∅)
17 res0 5851 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑤 ∈ 𝒫 ∅ ↦ (𝑧 ∈ ∅ (∀𝑥𝑤 𝑥(le‘∅)𝑧 ∧ ∀𝑦 ∈ ∅ (∀𝑥𝑤 𝑥(le‘∅)𝑦𝑧(le‘∅)𝑦)))) ↾ ∅) = ∅
1816, 17eqtri 2844 . . . . . . . . . . 11 ((𝑤 ∈ 𝒫 ∅ ↦ (𝑧 ∈ ∅ (∀𝑥𝑤 𝑥(le‘∅)𝑧 ∧ ∀𝑦 ∈ ∅ (∀𝑥𝑤 𝑥(le‘∅)𝑦𝑧(le‘∅)𝑦)))) ↾ {𝑤 ∣ ∃!𝑧 ∈ ∅ (∀𝑥𝑤 𝑥(le‘∅)𝑧 ∧ ∀𝑦 ∈ ∅ (∀𝑥𝑤 𝑥(le‘∅)𝑦𝑧(le‘∅)𝑦))}) = ∅
1913, 18eqtri 2844 . . . . . . . . . 10 (lub‘∅) = ∅
2019breqi 5064 . . . . . . . . 9 ({𝑥, 𝑦} (lub‘∅)𝑧 ↔ {𝑥, 𝑦}∅𝑧)
217, 20mtbir 325 . . . . . . . 8 ¬ {𝑥, 𝑦} (lub‘∅)𝑧
2221intnan 489 . . . . . . 7 ¬ (𝑤 = ⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∧ {𝑥, 𝑦} (lub‘∅)𝑧)
2322nex 1797 . . . . . 6 ¬ ∃𝑧(𝑤 = ⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∧ {𝑥, 𝑦} (lub‘∅)𝑧)
2423nex 1797 . . . . 5 ¬ ∃𝑦𝑧(𝑤 = ⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∧ {𝑥, 𝑦} (lub‘∅)𝑧)
2524nex 1797 . . . 4 ¬ ∃𝑥𝑦𝑧(𝑤 = ⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∧ {𝑥, 𝑦} (lub‘∅)𝑧)
2625abf 4355 . . 3 {𝑤 ∣ ∃𝑥𝑦𝑧(𝑤 = ⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∧ {𝑥, 𝑦} (lub‘∅)𝑧)} = ∅
276, 26eqtri 2844 . 2 {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ {𝑥, 𝑦} (lub‘∅)𝑧} = ∅
285, 27eqtri 2844 1 (join‘∅) = ∅
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 398   = wceq 1533  wex 1776  wcel 2110  {cab 2799  wral 3138  ∃!wreu 3140  Vcvv 3494  c0 4290  𝒫 cpw 4538  {cpr 4562  cop 4566   class class class wbr 5058  cmpt 5138  cres 5551  cfv 6349  crio 7107  {coprab 7151  lecple 16566  lubclub 17546  joincjn 17548
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-rep 5182  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7455
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4561  df-pr 4563  df-op 4567  df-uni 4832  df-iun 4913  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-id 5454  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-riota 7108  df-oprab 7154  df-slot 16481  df-base 16483  df-lub 17578  df-join 17580
This theorem is referenced by:  odujoin  17746
  Copyright terms: Public domain W3C validator