Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | eqid 2737 |
. . . 4
β’
(BaseβπΎ) =
(BaseβπΎ) |
2 | | lvolex3.l |
. . . 4
β’ β€ =
(leβπΎ) |
3 | | eqid 2737 |
. . . 4
β’
(joinβπΎ) =
(joinβπΎ) |
4 | | lvolex3.a |
. . . 4
β’ π΄ = (AtomsβπΎ) |
5 | | lvolex3.p |
. . . 4
β’ π = (LPlanesβπΎ) |
6 | 1, 2, 3, 4, 5 | islpln2 38028 |
. . 3
β’ (πΎ β HL β (π β π β (π β (BaseβπΎ) β§ βπ β π΄ βπ β π΄ βπ‘ β π΄ (π β π β§ Β¬ π‘ β€ (π(joinβπΎ)π ) β§ π = ((π(joinβπΎ)π )(joinβπΎ)π‘))))) |
7 | | simp1l 1198 |
. . . . . . . 8
β’ (((πΎ β HL β§ (π β π΄ β§ π β π΄)) β§ π‘ β π΄ β§ (π β π β§ Β¬ π‘ β€ (π(joinβπΎ)π ) β§ π = ((π(joinβπΎ)π )(joinβπΎ)π‘))) β πΎ β HL) |
8 | | simp1rl 1239 |
. . . . . . . 8
β’ (((πΎ β HL β§ (π β π΄ β§ π β π΄)) β§ π‘ β π΄ β§ (π β π β§ Β¬ π‘ β€ (π(joinβπΎ)π ) β§ π = ((π(joinβπΎ)π )(joinβπΎ)π‘))) β π β π΄) |
9 | | simp1rr 1240 |
. . . . . . . 8
β’ (((πΎ β HL β§ (π β π΄ β§ π β π΄)) β§ π‘ β π΄ β§ (π β π β§ Β¬ π‘ β€ (π(joinβπΎ)π ) β§ π = ((π(joinβπΎ)π )(joinβπΎ)π‘))) β π β π΄) |
10 | | simp2 1138 |
. . . . . . . 8
β’ (((πΎ β HL β§ (π β π΄ β§ π β π΄)) β§ π‘ β π΄ β§ (π β π β§ Β¬ π‘ β€ (π(joinβπΎ)π ) β§ π = ((π(joinβπΎ)π )(joinβπΎ)π‘))) β π‘ β π΄) |
11 | 3, 2, 4 | 3dim3 37961 |
. . . . . . . 8
β’ ((πΎ β HL β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π‘ β π΄)) β βπ β π΄ Β¬ π β€ ((π(joinβπΎ)π )(joinβπΎ)π‘)) |
12 | 7, 8, 9, 10, 11 | syl13anc 1373 |
. . . . . . 7
β’ (((πΎ β HL β§ (π β π΄ β§ π β π΄)) β§ π‘ β π΄ β§ (π β π β§ Β¬ π‘ β€ (π(joinβπΎ)π ) β§ π = ((π(joinβπΎ)π )(joinβπΎ)π‘))) β βπ β π΄ Β¬ π β€ ((π(joinβπΎ)π )(joinβπΎ)π‘)) |
13 | | simp33 1212 |
. . . . . . . 8
β’ (((πΎ β HL β§ (π β π΄ β§ π β π΄)) β§ π‘ β π΄ β§ (π β π β§ Β¬ π‘ β€ (π(joinβπΎ)π ) β§ π = ((π(joinβπΎ)π )(joinβπΎ)π‘))) β π = ((π(joinβπΎ)π )(joinβπΎ)π‘)) |
14 | | breq2 5114 |
. . . . . . . . . 10
β’ (π = ((π(joinβπΎ)π )(joinβπΎ)π‘) β (π β€ π β π β€ ((π(joinβπΎ)π )(joinβπΎ)π‘))) |
15 | 14 | notbid 318 |
. . . . . . . . 9
β’ (π = ((π(joinβπΎ)π )(joinβπΎ)π‘) β (Β¬ π β€ π β Β¬ π β€ ((π(joinβπΎ)π )(joinβπΎ)π‘))) |
16 | 15 | rexbidv 3176 |
. . . . . . . 8
β’ (π = ((π(joinβπΎ)π )(joinβπΎ)π‘) β (βπ β π΄ Β¬ π β€ π β βπ β π΄ Β¬ π β€ ((π(joinβπΎ)π )(joinβπΎ)π‘))) |
17 | 13, 16 | syl 17 |
. . . . . . 7
β’ (((πΎ β HL β§ (π β π΄ β§ π β π΄)) β§ π‘ β π΄ β§ (π β π β§ Β¬ π‘ β€ (π(joinβπΎ)π ) β§ π = ((π(joinβπΎ)π )(joinβπΎ)π‘))) β (βπ β π΄ Β¬ π β€ π β βπ β π΄ Β¬ π β€ ((π(joinβπΎ)π )(joinβπΎ)π‘))) |
18 | 12, 17 | mpbird 257 |
. . . . . 6
β’ (((πΎ β HL β§ (π β π΄ β§ π β π΄)) β§ π‘ β π΄ β§ (π β π β§ Β¬ π‘ β€ (π(joinβπΎ)π ) β§ π = ((π(joinβπΎ)π )(joinβπΎ)π‘))) β βπ β π΄ Β¬ π β€ π) |
19 | 18 | rexlimdv3a 3157 |
. . . . 5
β’ ((πΎ β HL β§ (π β π΄ β§ π β π΄)) β (βπ‘ β π΄ (π β π β§ Β¬ π‘ β€ (π(joinβπΎ)π ) β§ π = ((π(joinβπΎ)π )(joinβπΎ)π‘)) β βπ β π΄ Β¬ π β€ π)) |
20 | 19 | rexlimdvva 3206 |
. . . 4
β’ (πΎ β HL β (βπ β π΄ βπ β π΄ βπ‘ β π΄ (π β π β§ Β¬ π‘ β€ (π(joinβπΎ)π ) β§ π = ((π(joinβπΎ)π )(joinβπΎ)π‘)) β βπ β π΄ Β¬ π β€ π)) |
21 | 20 | adantld 492 |
. . 3
β’ (πΎ β HL β ((π β (BaseβπΎ) β§ βπ β π΄ βπ β π΄ βπ‘ β π΄ (π β π β§ Β¬ π‘ β€ (π(joinβπΎ)π ) β§ π = ((π(joinβπΎ)π )(joinβπΎ)π‘))) β βπ β π΄ Β¬ π β€ π)) |
22 | 6, 21 | sylbid 239 |
. 2
β’ (πΎ β HL β (π β π β βπ β π΄ Β¬ π β€ π)) |
23 | 22 | imp 408 |
1
β’ ((πΎ β HL β§ π β π) β βπ β π΄ Β¬ π β€ π) |