Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lplni2 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem lplni2 38396
Description: The join of 3 different atoms is a lattice plane. (Contributed by NM, 4-Jul-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
lplni2.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
lplni2.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
lplni2.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
lplni2.p 𝑃 = (LPlanesβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
lplni2 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑄 β‰  𝑅 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅))) β†’ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) ∈ 𝑃)
Proof of Theorem lplni2
Dummy variables π‘Ÿ π‘ž 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp2 1137 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑄 β‰  𝑅 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅))) β†’ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴))
2 simp3l 1201 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑄 β‰  𝑅 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅))) β†’ 𝑄 β‰  𝑅)
3 simp3r 1202 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑄 β‰  𝑅 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅))) β†’ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅))
4 eqidd 2733 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑄 β‰  𝑅 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅))) β†’ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) = ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑆))
5 neeq1 3003 . . . . 5 (π‘ž = 𝑄 β†’ (π‘ž β‰  π‘Ÿ ↔ 𝑄 β‰  π‘Ÿ))
6 oveq1 7412 . . . . . . 7 (π‘ž = 𝑄 β†’ (π‘ž ∨ π‘Ÿ) = (𝑄 ∨ π‘Ÿ))
76breq2d 5159 . . . . . 6 (π‘ž = 𝑄 β†’ (𝑠 ≀ (π‘ž ∨ π‘Ÿ) ↔ 𝑠 ≀ (𝑄 ∨ π‘Ÿ)))
87notbid 317 . . . . 5 (π‘ž = 𝑄 β†’ (Β¬ 𝑠 ≀ (π‘ž ∨ π‘Ÿ) ↔ Β¬ 𝑠 ≀ (𝑄 ∨ π‘Ÿ)))
96oveq1d 7420 . . . . . 6 (π‘ž = 𝑄 β†’ ((π‘ž ∨ π‘Ÿ) ∨ 𝑠) = ((𝑄 ∨ π‘Ÿ) ∨ 𝑠))
109eqeq2d 2743 . . . . 5 (π‘ž = 𝑄 β†’ (((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) = ((π‘ž ∨ π‘Ÿ) ∨ 𝑠) ↔ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) = ((𝑄 ∨ π‘Ÿ) ∨ 𝑠)))
115, 8, 103anbi123d 1436 . . . 4 (π‘ž = 𝑄 β†’ ((π‘ž β‰  π‘Ÿ ∧ Β¬ 𝑠 ≀ (π‘ž ∨ π‘Ÿ) ∧ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) = ((π‘ž ∨ π‘Ÿ) ∨ 𝑠)) ↔ (𝑄 β‰  π‘Ÿ ∧ Β¬ 𝑠 ≀ (𝑄 ∨ π‘Ÿ) ∧ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) = ((𝑄 ∨ π‘Ÿ) ∨ 𝑠))))
12 neeq2 3004 . . . . 5 (π‘Ÿ = 𝑅 β†’ (𝑄 β‰  π‘Ÿ ↔ 𝑄 β‰  𝑅))
13 oveq2 7413 . . . . . . 7 (π‘Ÿ = 𝑅 β†’ (𝑄 ∨ π‘Ÿ) = (𝑄 ∨ 𝑅))
1413breq2d 5159 . . . . . 6 (π‘Ÿ = 𝑅 β†’ (𝑠 ≀ (𝑄 ∨ π‘Ÿ) ↔ 𝑠 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅)))
1514notbid 317 . . . . 5 (π‘Ÿ = 𝑅 β†’ (Β¬ 𝑠 ≀ (𝑄 ∨ π‘Ÿ) ↔ Β¬ 𝑠 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅)))
1613oveq1d 7420 . . . . . 6 (π‘Ÿ = 𝑅 β†’ ((𝑄 ∨ π‘Ÿ) ∨ 𝑠) = ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑠))
1716eqeq2d 2743 . . . . 5 (π‘Ÿ = 𝑅 β†’ (((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) = ((𝑄 ∨ π‘Ÿ) ∨ 𝑠) ↔ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) = ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑠)))
1812, 15, 173anbi123d 1436 . . . 4 (π‘Ÿ = 𝑅 β†’ ((𝑄 β‰  π‘Ÿ ∧ Β¬ 𝑠 ≀ (𝑄 ∨ π‘Ÿ) ∧ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) = ((𝑄 ∨ π‘Ÿ) ∨ 𝑠)) ↔ (𝑄 β‰  𝑅 ∧ Β¬ 𝑠 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) = ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑠))))
19 breq1 5150 . . . . . 6 (𝑠 = 𝑆 β†’ (𝑠 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ↔ 𝑆 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅)))
2019notbid 317 . . . . 5 (𝑠 = 𝑆 β†’ (Β¬ 𝑠 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ↔ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅)))
21 oveq2 7413 . . . . . 6 (𝑠 = 𝑆 β†’ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑠) = ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑆))
2221eqeq2d 2743 . . . . 5 (𝑠 = 𝑆 β†’ (((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) = ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑠) ↔ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) = ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑆)))
2320, 223anbi23d 1439 . . . 4 (𝑠 = 𝑆 β†’ ((𝑄 β‰  𝑅 ∧ Β¬ 𝑠 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) = ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑠)) ↔ (𝑄 β‰  𝑅 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) = ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑆))))
2411, 18, 23rspc3ev 3627 . . 3 (((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑄 β‰  𝑅 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) = ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑆))) β†’ βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘  ∈ 𝐴 (π‘ž β‰  π‘Ÿ ∧ Β¬ 𝑠 ≀ (π‘ž ∨ π‘Ÿ) ∧ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) = ((π‘ž ∨ π‘Ÿ) ∨ 𝑠)))
251, 2, 3, 4, 24syl13anc 1372 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑄 β‰  𝑅 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅))) β†’ βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘  ∈ 𝐴 (π‘ž β‰  π‘Ÿ ∧ Β¬ 𝑠 ≀ (π‘ž ∨ π‘Ÿ) ∧ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) = ((π‘ž ∨ π‘Ÿ) ∨ 𝑠)))
26 simp1 1136 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑄 β‰  𝑅 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅))) β†’ 𝐾 ∈ HL)
27 hllat 38221 . . . . 5 (𝐾 ∈ HL β†’ 𝐾 ∈ Lat)
28273ad2ant1 1133 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑄 β‰  𝑅 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅))) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
29 simp21 1206 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑄 β‰  𝑅 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅))) β†’ 𝑄 ∈ 𝐴)
30 simp22 1207 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑄 β‰  𝑅 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅))) β†’ 𝑅 ∈ 𝐴)
31 eqid 2732 . . . . . 6 (Baseβ€˜πΎ) = (Baseβ€˜πΎ)
32 lplni2.j . . . . . 6 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
33 lplni2.a . . . . . 6 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
3431, 32, 33hlatjcl 38225 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) β†’ (𝑄 ∨ 𝑅) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
3526, 29, 30, 34syl3anc 1371 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑄 β‰  𝑅 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅))) β†’ (𝑄 ∨ 𝑅) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
36 simp23 1208 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑄 β‰  𝑅 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅))) β†’ 𝑆 ∈ 𝐴)
3731, 33atbase 38147 . . . . 5 (𝑆 ∈ 𝐴 β†’ 𝑆 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
3836, 37syl 17 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑄 β‰  𝑅 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅))) β†’ 𝑆 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
3931, 32latjcl 18388 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑄 ∨ 𝑅) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ 𝑆 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
4028, 35, 38, 39syl3anc 1371 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑄 β‰  𝑅 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅))) β†’ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
41 lplni2.l . . . 4 ≀ = (leβ€˜πΎ)
42 lplni2.p . . . 4 𝑃 = (LPlanesβ€˜πΎ)
4331, 41, 32, 33, 42islpln5 38394 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ (((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) ∈ 𝑃 ↔ βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘  ∈ 𝐴 (π‘ž β‰  π‘Ÿ ∧ Β¬ 𝑠 ≀ (π‘ž ∨ π‘Ÿ) ∧ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) = ((π‘ž ∨ π‘Ÿ) ∨ 𝑠))))
4426, 40, 43syl2anc 584 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑄 β‰  𝑅 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅))) β†’ (((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) ∈ 𝑃 ↔ βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘  ∈ 𝐴 (π‘ž β‰  π‘Ÿ ∧ Β¬ 𝑠 ≀ (π‘ž ∨ π‘Ÿ) ∧ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) = ((π‘ž ∨ π‘Ÿ) ∨ 𝑠))))
4525, 44mpbird 256 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑄 β‰  𝑅 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅))) β†’ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) ∈ 𝑃)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940  βˆƒwrex 3070   class class class wbr 5147  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405  Basecbs 17140  lecple 17200  joincjn 18260  Latclat 18380  Atomscatm 38121  HLchlt 38208  LPlanesclpl 38351
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-proset 18244  df-poset 18262  df-plt 18279  df-lub 18295  df-glb 18296  df-join 18297  df-meet 18298  df-p0 18374  df-lat 18381  df-clat 18448  df-oposet 38034  df-ol 38036  df-oml 38037  df-covers 38124  df-ats 38125  df-atl 38156  df-cvlat 38180  df-hlat 38209  df-llines 38357  df-lplanes 38358
This theorem is referenced by:  islpln2a  38407  2llnjaN  38425  lvolnle3at  38441  dalem42  38573  cdleme16aN  39118
  Copyright terms: Public domain W3C validator