Theorem lplni2 39540

Description: The join of 3 different atoms is a lattice plane. (Contributed by NM, 4-Jul-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
lplni2.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
lplni2.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
lplni2.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
lplni2.p	⊢ 𝑃 = (LPlanes‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
lplni2	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑄 ≠ 𝑅 ∧ ¬ 𝑆 ≤ (𝑄 ∨ 𝑅))) → ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) ∈ 𝑃)

Proof of Theorem lplni2

Dummy variables 𝑟 𝑞 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp2 1137	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑄 ≠ 𝑅 ∧ ¬ 𝑆 ≤ (𝑄 ∨ 𝑅))) → (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴))
2		simp3l 1201	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑄 ≠ 𝑅 ∧ ¬ 𝑆 ≤ (𝑄 ∨ 𝑅))) → 𝑄 ≠ 𝑅)
3		simp3r 1202	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑄 ≠ 𝑅 ∧ ¬ 𝑆 ≤ (𝑄 ∨ 𝑅))) → ¬ 𝑆 ≤ (𝑄 ∨ 𝑅))
4		eqidd 2737	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑄 ≠ 𝑅 ∧ ¬ 𝑆 ≤ (𝑄 ∨ 𝑅))) → ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) = ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑆))
5		neeq1 3002	. . . . 5 ⊢ (𝑞 = 𝑄 → (𝑞 ≠ 𝑟 ↔ 𝑄 ≠ 𝑟))
6		oveq1 7439	. . . . . . 7 ⊢ (𝑞 = 𝑄 → (𝑞 ∨ 𝑟) = (𝑄 ∨ 𝑟))
7	6	breq2d 5154	. . . . . 6 ⊢ (𝑞 = 𝑄 → (𝑠 ≤ (𝑞 ∨ 𝑟) ↔ 𝑠 ≤ (𝑄 ∨ 𝑟)))
8	7	notbid 318	. . . . 5 ⊢ (𝑞 = 𝑄 → (¬ 𝑠 ≤ (𝑞 ∨ 𝑟) ↔ ¬ 𝑠 ≤ (𝑄 ∨ 𝑟)))
9	6	oveq1d 7447	. . . . . 6 ⊢ (𝑞 = 𝑄 → ((𝑞 ∨ 𝑟) ∨ 𝑠) = ((𝑄 ∨ 𝑟) ∨ 𝑠))
10	9	eqeq2d 2747	. . . . 5 ⊢ (𝑞 = 𝑄 → (((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) = ((𝑞 ∨ 𝑟) ∨ 𝑠) ↔ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) = ((𝑄 ∨ 𝑟) ∨ 𝑠)))
11	5, 8, 10	3anbi123d 1437	. . . 4 ⊢ (𝑞 = 𝑄 → ((𝑞 ≠ 𝑟 ∧ ¬ 𝑠 ≤ (𝑞 ∨ 𝑟) ∧ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) = ((𝑞 ∨ 𝑟) ∨ 𝑠)) ↔ (𝑄 ≠ 𝑟 ∧ ¬ 𝑠 ≤ (𝑄 ∨ 𝑟) ∧ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) = ((𝑄 ∨ 𝑟) ∨ 𝑠))))
12		neeq2 3003	. . . . 5 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → (𝑄 ≠ 𝑟 ↔ 𝑄 ≠ 𝑅))
13		oveq2 7440	. . . . . . 7 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → (𝑄 ∨ 𝑟) = (𝑄 ∨ 𝑅))
14	13	breq2d 5154	. . . . . 6 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → (𝑠 ≤ (𝑄 ∨ 𝑟) ↔ 𝑠 ≤ (𝑄 ∨ 𝑅)))
15	14	notbid 318	. . . . 5 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → (¬ 𝑠 ≤ (𝑄 ∨ 𝑟) ↔ ¬ 𝑠 ≤ (𝑄 ∨ 𝑅)))
16	13	oveq1d 7447	. . . . . 6 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → ((𝑄 ∨ 𝑟) ∨ 𝑠) = ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑠))
17	16	eqeq2d 2747	. . . . 5 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → (((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) = ((𝑄 ∨ 𝑟) ∨ 𝑠) ↔ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) = ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑠)))
18	12, 15, 17	3anbi123d 1437	. . . 4 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → ((𝑄 ≠ 𝑟 ∧ ¬ 𝑠 ≤ (𝑄 ∨ 𝑟) ∧ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) = ((𝑄 ∨ 𝑟) ∨ 𝑠)) ↔ (𝑄 ≠ 𝑅 ∧ ¬ 𝑠 ≤ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) = ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑠))))
19		breq1 5145	. . . . . 6 ⊢ (𝑠 = 𝑆 → (𝑠 ≤ (𝑄 ∨ 𝑅) ↔ 𝑆 ≤ (𝑄 ∨ 𝑅)))
20	19	notbid 318	. . . . 5 ⊢ (𝑠 = 𝑆 → (¬ 𝑠 ≤ (𝑄 ∨ 𝑅) ↔ ¬ 𝑆 ≤ (𝑄 ∨ 𝑅)))
21		oveq2 7440	. . . . . 6 ⊢ (𝑠 = 𝑆 → ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑠) = ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑆))
22	21	eqeq2d 2747	. . . . 5 ⊢ (𝑠 = 𝑆 → (((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) = ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑠) ↔ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) = ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑆)))
23	20, 22	3anbi23d 1440	. . . 4 ⊢ (𝑠 = 𝑆 → ((𝑄 ≠ 𝑅 ∧ ¬ 𝑠 ≤ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) = ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑠)) ↔ (𝑄 ≠ 𝑅 ∧ ¬ 𝑆 ≤ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) = ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑆))))
24	11, 18, 23	rspc3ev 3638	. . 3 ⊢ (((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑄 ≠ 𝑅 ∧ ¬ 𝑆 ≤ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) = ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑆))) → ∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 ∃𝑠 ∈ 𝐴 (𝑞 ≠ 𝑟 ∧ ¬ 𝑠 ≤ (𝑞 ∨ 𝑟) ∧ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) = ((𝑞 ∨ 𝑟) ∨ 𝑠)))
25	1, 2, 3, 4, 24	syl13anc 1373	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑄 ≠ 𝑅 ∧ ¬ 𝑆 ≤ (𝑄 ∨ 𝑅))) → ∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 ∃𝑠 ∈ 𝐴 (𝑞 ≠ 𝑟 ∧ ¬ 𝑠 ≤ (𝑞 ∨ 𝑟) ∧ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) = ((𝑞 ∨ 𝑟) ∨ 𝑠)))
26		simp1 1136	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑄 ≠ 𝑅 ∧ ¬ 𝑆 ≤ (𝑄 ∨ 𝑅))) → 𝐾 ∈ HL)
27		hllat 39365	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
28	27	3ad2ant1 1133	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑄 ≠ 𝑅 ∧ ¬ 𝑆 ≤ (𝑄 ∨ 𝑅))) → 𝐾 ∈ Lat)
29		simp21 1206	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑄 ≠ 𝑅 ∧ ¬ 𝑆 ≤ (𝑄 ∨ 𝑅))) → 𝑄 ∈ 𝐴)
30		simp22 1207	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑄 ≠ 𝑅 ∧ ¬ 𝑆 ≤ (𝑄 ∨ 𝑅))) → 𝑅 ∈ 𝐴)
31		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
32		lplni2.j	. . . . . 6 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
33		lplni2.a	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
34	31, 32, 33	hlatjcl 39369	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) → (𝑄 ∨ 𝑅) ∈ (Base‘𝐾))
35	26, 29, 30, 34	syl3anc 1372	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑄 ≠ 𝑅 ∧ ¬ 𝑆 ≤ (𝑄 ∨ 𝑅))) → (𝑄 ∨ 𝑅) ∈ (Base‘𝐾))
36		simp23 1208	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑄 ≠ 𝑅 ∧ ¬ 𝑆 ≤ (𝑄 ∨ 𝑅))) → 𝑆 ∈ 𝐴)
37	31, 33	atbase 39291	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ 𝐴 → 𝑆 ∈ (Base‘𝐾))
38	36, 37	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑄 ≠ 𝑅 ∧ ¬ 𝑆 ≤ (𝑄 ∨ 𝑅))) → 𝑆 ∈ (Base‘𝐾))
39	31, 32	latjcl 18485	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑄 ∨ 𝑅) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑆 ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) ∈ (Base‘𝐾))
40	28, 35, 38, 39	syl3anc 1372	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑄 ≠ 𝑅 ∧ ¬ 𝑆 ≤ (𝑄 ∨ 𝑅))) → ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) ∈ (Base‘𝐾))
41		lplni2.l	. . . 4 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
42		lplni2.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (LPlanes‘𝐾)
43	31, 41, 32, 33, 42	islpln5 39538	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) ∈ (Base‘𝐾)) → (((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) ∈ 𝑃 ↔ ∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 ∃𝑠 ∈ 𝐴 (𝑞 ≠ 𝑟 ∧ ¬ 𝑠 ≤ (𝑞 ∨ 𝑟) ∧ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) = ((𝑞 ∨ 𝑟) ∨ 𝑠))))
44	26, 40, 43	syl2anc 584	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑄 ≠ 𝑅 ∧ ¬ 𝑆 ≤ (𝑄 ∨ 𝑅))) → (((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) ∈ 𝑃 ↔ ∃𝑞 ∈ 𝐴 ∃𝑟 ∈ 𝐴 ∃𝑠 ∈ 𝐴 (𝑞 ≠ 𝑟 ∧ ¬ 𝑠 ≤ (𝑞 ∨ 𝑟) ∧ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) = ((𝑞 ∨ 𝑟) ∨ 𝑠))))
45	25, 44	mpbird 257	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑄 ≠ 𝑅 ∧ ¬ 𝑆 ≤ (𝑄 ∨ 𝑅))) → ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) ∈ 𝑃)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2939  ∃wrex 3069   class class class wbr 5142  ‘cfv 6560  (class class class)co 7432  Basecbs 17248  lecple 17305  joincjn 18358  Latclat 18477  Atomscatm 39265  HLchlt 39352  LPlanesclpl 39495

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-id 5577  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-proset 18341  df-poset 18360  df-plt 18376  df-lub 18392  df-glb 18393  df-join 18394  df-meet 18395  df-p0 18471  df-lat 18478  df-clat 18545  df-oposet 39178  df-ol 39180  df-oml 39181  df-covers 39268  df-ats 39269  df-atl 39300  df-cvlat 39324  df-hlat 39353  df-llines 39501  df-lplanes 39502

This theorem is referenced by:  islpln2a  39551  2llnjaN  39569  lvolnle3at  39585  dalem42  39717  cdleme16aN  40262