Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lplni2 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem lplni2 38919
Description: The join of 3 different atoms is a lattice plane. (Contributed by NM, 4-Jul-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
lplni2.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
lplni2.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
lplni2.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
lplni2.p 𝑃 = (LPlanesβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
lplni2 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑄 β‰  𝑅 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅))) β†’ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) ∈ 𝑃)
Proof of Theorem lplni2
Dummy variables π‘Ÿ π‘ž 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp2 1134 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑄 β‰  𝑅 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅))) β†’ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴))
2 simp3l 1198 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑄 β‰  𝑅 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅))) β†’ 𝑄 β‰  𝑅)
3 simp3r 1199 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑄 β‰  𝑅 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅))) β†’ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅))
4 eqidd 2727 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑄 β‰  𝑅 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅))) β†’ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) = ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑆))
5 neeq1 2997 . . . . 5 (π‘ž = 𝑄 β†’ (π‘ž β‰  π‘Ÿ ↔ 𝑄 β‰  π‘Ÿ))
6 oveq1 7411 . . . . . . 7 (π‘ž = 𝑄 β†’ (π‘ž ∨ π‘Ÿ) = (𝑄 ∨ π‘Ÿ))
76breq2d 5153 . . . . . 6 (π‘ž = 𝑄 β†’ (𝑠 ≀ (π‘ž ∨ π‘Ÿ) ↔ 𝑠 ≀ (𝑄 ∨ π‘Ÿ)))
87notbid 318 . . . . 5 (π‘ž = 𝑄 β†’ (Β¬ 𝑠 ≀ (π‘ž ∨ π‘Ÿ) ↔ Β¬ 𝑠 ≀ (𝑄 ∨ π‘Ÿ)))
96oveq1d 7419 . . . . . 6 (π‘ž = 𝑄 β†’ ((π‘ž ∨ π‘Ÿ) ∨ 𝑠) = ((𝑄 ∨ π‘Ÿ) ∨ 𝑠))
109eqeq2d 2737 . . . . 5 (π‘ž = 𝑄 β†’ (((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) = ((π‘ž ∨ π‘Ÿ) ∨ 𝑠) ↔ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) = ((𝑄 ∨ π‘Ÿ) ∨ 𝑠)))
115, 8, 103anbi123d 1432 . . . 4 (π‘ž = 𝑄 β†’ ((π‘ž β‰  π‘Ÿ ∧ Β¬ 𝑠 ≀ (π‘ž ∨ π‘Ÿ) ∧ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) = ((π‘ž ∨ π‘Ÿ) ∨ 𝑠)) ↔ (𝑄 β‰  π‘Ÿ ∧ Β¬ 𝑠 ≀ (𝑄 ∨ π‘Ÿ) ∧ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) = ((𝑄 ∨ π‘Ÿ) ∨ 𝑠))))
12 neeq2 2998 . . . . 5 (π‘Ÿ = 𝑅 β†’ (𝑄 β‰  π‘Ÿ ↔ 𝑄 β‰  𝑅))
13 oveq2 7412 . . . . . . 7 (π‘Ÿ = 𝑅 β†’ (𝑄 ∨ π‘Ÿ) = (𝑄 ∨ 𝑅))
1413breq2d 5153 . . . . . 6 (π‘Ÿ = 𝑅 β†’ (𝑠 ≀ (𝑄 ∨ π‘Ÿ) ↔ 𝑠 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅)))
1514notbid 318 . . . . 5 (π‘Ÿ = 𝑅 β†’ (Β¬ 𝑠 ≀ (𝑄 ∨ π‘Ÿ) ↔ Β¬ 𝑠 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅)))
1613oveq1d 7419 . . . . . 6 (π‘Ÿ = 𝑅 β†’ ((𝑄 ∨ π‘Ÿ) ∨ 𝑠) = ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑠))
1716eqeq2d 2737 . . . . 5 (π‘Ÿ = 𝑅 β†’ (((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) = ((𝑄 ∨ π‘Ÿ) ∨ 𝑠) ↔ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) = ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑠)))
1812, 15, 173anbi123d 1432 . . . 4 (π‘Ÿ = 𝑅 β†’ ((𝑄 β‰  π‘Ÿ ∧ Β¬ 𝑠 ≀ (𝑄 ∨ π‘Ÿ) ∧ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) = ((𝑄 ∨ π‘Ÿ) ∨ 𝑠)) ↔ (𝑄 β‰  𝑅 ∧ Β¬ 𝑠 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) = ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑠))))
19 breq1 5144 . . . . . 6 (𝑠 = 𝑆 β†’ (𝑠 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ↔ 𝑆 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅)))
2019notbid 318 . . . . 5 (𝑠 = 𝑆 β†’ (Β¬ 𝑠 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ↔ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅)))
21 oveq2 7412 . . . . . 6 (𝑠 = 𝑆 β†’ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑠) = ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑆))
2221eqeq2d 2737 . . . . 5 (𝑠 = 𝑆 β†’ (((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) = ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑠) ↔ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) = ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑆)))
2320, 223anbi23d 1435 . . . 4 (𝑠 = 𝑆 β†’ ((𝑄 β‰  𝑅 ∧ Β¬ 𝑠 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) = ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑠)) ↔ (𝑄 β‰  𝑅 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) = ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑆))))
2411, 18, 23rspc3ev 3623 . . 3 (((𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑄 β‰  𝑅 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) = ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑆))) β†’ βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘  ∈ 𝐴 (π‘ž β‰  π‘Ÿ ∧ Β¬ 𝑠 ≀ (π‘ž ∨ π‘Ÿ) ∧ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) = ((π‘ž ∨ π‘Ÿ) ∨ 𝑠)))
251, 2, 3, 4, 24syl13anc 1369 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑄 β‰  𝑅 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅))) β†’ βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘  ∈ 𝐴 (π‘ž β‰  π‘Ÿ ∧ Β¬ 𝑠 ≀ (π‘ž ∨ π‘Ÿ) ∧ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) = ((π‘ž ∨ π‘Ÿ) ∨ 𝑠)))
26 simp1 1133 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑄 β‰  𝑅 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅))) β†’ 𝐾 ∈ HL)
27 hllat 38744 . . . . 5 (𝐾 ∈ HL β†’ 𝐾 ∈ Lat)
28273ad2ant1 1130 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑄 β‰  𝑅 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅))) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
29 simp21 1203 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑄 β‰  𝑅 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅))) β†’ 𝑄 ∈ 𝐴)
30 simp22 1204 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑄 β‰  𝑅 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅))) β†’ 𝑅 ∈ 𝐴)
31 eqid 2726 . . . . . 6 (Baseβ€˜πΎ) = (Baseβ€˜πΎ)
32 lplni2.j . . . . . 6 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
33 lplni2.a . . . . . 6 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
3431, 32, 33hlatjcl 38748 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) β†’ (𝑄 ∨ 𝑅) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
3526, 29, 30, 34syl3anc 1368 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑄 β‰  𝑅 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅))) β†’ (𝑄 ∨ 𝑅) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
36 simp23 1205 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑄 β‰  𝑅 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅))) β†’ 𝑆 ∈ 𝐴)
3731, 33atbase 38670 . . . . 5 (𝑆 ∈ 𝐴 β†’ 𝑆 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
3836, 37syl 17 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑄 β‰  𝑅 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅))) β†’ 𝑆 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
3931, 32latjcl 18402 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑄 ∨ 𝑅) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ 𝑆 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
4028, 35, 38, 39syl3anc 1368 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑄 β‰  𝑅 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅))) β†’ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
41 lplni2.l . . . 4 ≀ = (leβ€˜πΎ)
42 lplni2.p . . . 4 𝑃 = (LPlanesβ€˜πΎ)
4331, 41, 32, 33, 42islpln5 38917 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ (((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) ∈ 𝑃 ↔ βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘  ∈ 𝐴 (π‘ž β‰  π‘Ÿ ∧ Β¬ 𝑠 ≀ (π‘ž ∨ π‘Ÿ) ∧ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) = ((π‘ž ∨ π‘Ÿ) ∨ 𝑠))))
4426, 40, 43syl2anc 583 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑄 β‰  𝑅 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅))) β†’ (((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) ∈ 𝑃 ↔ βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘  ∈ 𝐴 (π‘ž β‰  π‘Ÿ ∧ Β¬ 𝑠 ≀ (π‘ž ∨ π‘Ÿ) ∧ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) = ((π‘ž ∨ π‘Ÿ) ∨ 𝑠))))
4525, 44mpbird 257 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑄 β‰  𝑅 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅))) β†’ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) ∈ 𝑃)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2934  βˆƒwrex 3064   class class class wbr 5141  β€˜cfv 6536  (class class class)co 7404  Basecbs 17151  lecple 17211  joincjn 18274  Latclat 18394  Atomscatm 38644  HLchlt 38731  LPlanesclpl 38874
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-proset 18258  df-poset 18276  df-plt 18293  df-lub 18309  df-glb 18310  df-join 18311  df-meet 18312  df-p0 18388  df-lat 18395  df-clat 18462  df-oposet 38557  df-ol 38559  df-oml 38560  df-covers 38647  df-ats 38648  df-atl 38679  df-cvlat 38703  df-hlat 38732  df-llines 38880  df-lplanes 38881
This theorem is referenced by:  islpln2a  38930  2llnjaN  38948  lvolnle3at  38964  dalem42  39096  cdleme16aN  39641
  Copyright terms: Public domain W3C validator