Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lplni2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lplni2 38000
Description: The join of 3 different atoms is a lattice plane. (Contributed by NM, 4-Jul-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
lplni2.l = (le‘𝐾)
lplni2.j = (join‘𝐾)
lplni2.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
lplni2.p 𝑃 = (LPlanes‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
lplni2 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑄𝐴𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑄𝑅 ∧ ¬ 𝑆 (𝑄 𝑅))) → ((𝑄 𝑅) 𝑆) ∈ 𝑃)

Proof of Theorem lplni2
Dummy variables 𝑟 𝑞 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp2 1137 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑄𝐴𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑄𝑅 ∧ ¬ 𝑆 (𝑄 𝑅))) → (𝑄𝐴𝑅𝐴𝑆𝐴))
2 simp3l 1201 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑄𝐴𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑄𝑅 ∧ ¬ 𝑆 (𝑄 𝑅))) → 𝑄𝑅)
3 simp3r 1202 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑄𝐴𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑄𝑅 ∧ ¬ 𝑆 (𝑄 𝑅))) → ¬ 𝑆 (𝑄 𝑅))
4 eqidd 2737 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑄𝐴𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑄𝑅 ∧ ¬ 𝑆 (𝑄 𝑅))) → ((𝑄 𝑅) 𝑆) = ((𝑄 𝑅) 𝑆))
5 neeq1 3006 . . . . 5 (𝑞 = 𝑄 → (𝑞𝑟𝑄𝑟))
6 oveq1 7364 . . . . . . 7 (𝑞 = 𝑄 → (𝑞 𝑟) = (𝑄 𝑟))
76breq2d 5117 . . . . . 6 (𝑞 = 𝑄 → (𝑠 (𝑞 𝑟) ↔ 𝑠 (𝑄 𝑟)))
87notbid 317 . . . . 5 (𝑞 = 𝑄 → (¬ 𝑠 (𝑞 𝑟) ↔ ¬ 𝑠 (𝑄 𝑟)))
96oveq1d 7372 . . . . . 6 (𝑞 = 𝑄 → ((𝑞 𝑟) 𝑠) = ((𝑄 𝑟) 𝑠))
109eqeq2d 2747 . . . . 5 (𝑞 = 𝑄 → (((𝑄 𝑅) 𝑆) = ((𝑞 𝑟) 𝑠) ↔ ((𝑄 𝑅) 𝑆) = ((𝑄 𝑟) 𝑠)))
115, 8, 103anbi123d 1436 . . . 4 (𝑞 = 𝑄 → ((𝑞𝑟 ∧ ¬ 𝑠 (𝑞 𝑟) ∧ ((𝑄 𝑅) 𝑆) = ((𝑞 𝑟) 𝑠)) ↔ (𝑄𝑟 ∧ ¬ 𝑠 (𝑄 𝑟) ∧ ((𝑄 𝑅) 𝑆) = ((𝑄 𝑟) 𝑠))))
12 neeq2 3007 . . . . 5 (𝑟 = 𝑅 → (𝑄𝑟𝑄𝑅))
13 oveq2 7365 . . . . . . 7 (𝑟 = 𝑅 → (𝑄 𝑟) = (𝑄 𝑅))
1413breq2d 5117 . . . . . 6 (𝑟 = 𝑅 → (𝑠 (𝑄 𝑟) ↔ 𝑠 (𝑄 𝑅)))
1514notbid 317 . . . . 5 (𝑟 = 𝑅 → (¬ 𝑠 (𝑄 𝑟) ↔ ¬ 𝑠 (𝑄 𝑅)))
1613oveq1d 7372 . . . . . 6 (𝑟 = 𝑅 → ((𝑄 𝑟) 𝑠) = ((𝑄 𝑅) 𝑠))
1716eqeq2d 2747 . . . . 5 (𝑟 = 𝑅 → (((𝑄 𝑅) 𝑆) = ((𝑄 𝑟) 𝑠) ↔ ((𝑄 𝑅) 𝑆) = ((𝑄 𝑅) 𝑠)))
1812, 15, 173anbi123d 1436 . . . 4 (𝑟 = 𝑅 → ((𝑄𝑟 ∧ ¬ 𝑠 (𝑄 𝑟) ∧ ((𝑄 𝑅) 𝑆) = ((𝑄 𝑟) 𝑠)) ↔ (𝑄𝑅 ∧ ¬ 𝑠 (𝑄 𝑅) ∧ ((𝑄 𝑅) 𝑆) = ((𝑄 𝑅) 𝑠))))
19 breq1 5108 . . . . . 6 (𝑠 = 𝑆 → (𝑠 (𝑄 𝑅) ↔ 𝑆 (𝑄 𝑅)))
2019notbid 317 . . . . 5 (𝑠 = 𝑆 → (¬ 𝑠 (𝑄 𝑅) ↔ ¬ 𝑆 (𝑄 𝑅)))
21 oveq2 7365 . . . . . 6 (𝑠 = 𝑆 → ((𝑄 𝑅) 𝑠) = ((𝑄 𝑅) 𝑆))
2221eqeq2d 2747 . . . . 5 (𝑠 = 𝑆 → (((𝑄 𝑅) 𝑆) = ((𝑄 𝑅) 𝑠) ↔ ((𝑄 𝑅) 𝑆) = ((𝑄 𝑅) 𝑆)))
2320, 223anbi23d 1439 . . . 4 (𝑠 = 𝑆 → ((𝑄𝑅 ∧ ¬ 𝑠 (𝑄 𝑅) ∧ ((𝑄 𝑅) 𝑆) = ((𝑄 𝑅) 𝑠)) ↔ (𝑄𝑅 ∧ ¬ 𝑆 (𝑄 𝑅) ∧ ((𝑄 𝑅) 𝑆) = ((𝑄 𝑅) 𝑆))))
2411, 18, 23rspc3ev 3594 . . 3 (((𝑄𝐴𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑄𝑅 ∧ ¬ 𝑆 (𝑄 𝑅) ∧ ((𝑄 𝑅) 𝑆) = ((𝑄 𝑅) 𝑆))) → ∃𝑞𝐴𝑟𝐴𝑠𝐴 (𝑞𝑟 ∧ ¬ 𝑠 (𝑞 𝑟) ∧ ((𝑄 𝑅) 𝑆) = ((𝑞 𝑟) 𝑠)))
251, 2, 3, 4, 24syl13anc 1372 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑄𝐴𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑄𝑅 ∧ ¬ 𝑆 (𝑄 𝑅))) → ∃𝑞𝐴𝑟𝐴𝑠𝐴 (𝑞𝑟 ∧ ¬ 𝑠 (𝑞 𝑟) ∧ ((𝑄 𝑅) 𝑆) = ((𝑞 𝑟) 𝑠)))
26 simp1 1136 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑄𝐴𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑄𝑅 ∧ ¬ 𝑆 (𝑄 𝑅))) → 𝐾 ∈ HL)
27 hllat 37825 . . . . 5 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
28273ad2ant1 1133 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑄𝐴𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑄𝑅 ∧ ¬ 𝑆 (𝑄 𝑅))) → 𝐾 ∈ Lat)
29 simp21 1206 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑄𝐴𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑄𝑅 ∧ ¬ 𝑆 (𝑄 𝑅))) → 𝑄𝐴)
30 simp22 1207 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑄𝐴𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑄𝑅 ∧ ¬ 𝑆 (𝑄 𝑅))) → 𝑅𝐴)
31 eqid 2736 . . . . . 6 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
32 lplni2.j . . . . . 6 = (join‘𝐾)
33 lplni2.a . . . . . 6 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
3431, 32, 33hlatjcl 37829 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄𝐴𝑅𝐴) → (𝑄 𝑅) ∈ (Base‘𝐾))
3526, 29, 30, 34syl3anc 1371 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑄𝐴𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑄𝑅 ∧ ¬ 𝑆 (𝑄 𝑅))) → (𝑄 𝑅) ∈ (Base‘𝐾))
36 simp23 1208 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑄𝐴𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑄𝑅 ∧ ¬ 𝑆 (𝑄 𝑅))) → 𝑆𝐴)
3731, 33atbase 37751 . . . . 5 (𝑆𝐴𝑆 ∈ (Base‘𝐾))
3836, 37syl 17 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑄𝐴𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑄𝑅 ∧ ¬ 𝑆 (𝑄 𝑅))) → 𝑆 ∈ (Base‘𝐾))
3931, 32latjcl 18328 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑄 𝑅) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑆 ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑄 𝑅) 𝑆) ∈ (Base‘𝐾))
4028, 35, 38, 39syl3anc 1371 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑄𝐴𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑄𝑅 ∧ ¬ 𝑆 (𝑄 𝑅))) → ((𝑄 𝑅) 𝑆) ∈ (Base‘𝐾))
41 lplni2.l . . . 4 = (le‘𝐾)
42 lplni2.p . . . 4 𝑃 = (LPlanes‘𝐾)
4331, 41, 32, 33, 42islpln5 37998 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑄 𝑅) 𝑆) ∈ (Base‘𝐾)) → (((𝑄 𝑅) 𝑆) ∈ 𝑃 ↔ ∃𝑞𝐴𝑟𝐴𝑠𝐴 (𝑞𝑟 ∧ ¬ 𝑠 (𝑞 𝑟) ∧ ((𝑄 𝑅) 𝑆) = ((𝑞 𝑟) 𝑠))))
4426, 40, 43syl2anc 584 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑄𝐴𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑄𝑅 ∧ ¬ 𝑆 (𝑄 𝑅))) → (((𝑄 𝑅) 𝑆) ∈ 𝑃 ↔ ∃𝑞𝐴𝑟𝐴𝑠𝐴 (𝑞𝑟 ∧ ¬ 𝑠 (𝑞 𝑟) ∧ ((𝑄 𝑅) 𝑆) = ((𝑞 𝑟) 𝑠))))
4525, 44mpbird 256 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑄𝐴𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑄𝑅 ∧ ¬ 𝑆 (𝑄 𝑅))) → ((𝑄 𝑅) 𝑆) ∈ 𝑃)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2943  wrex 3073   class class class wbr 5105  cfv 6496  (class class class)co 7357  Basecbs 17083  lecple 17140  joincjn 18200  Latclat 18320  Atomscatm 37725  HLchlt 37812  LPlanesclpl 37955
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3065  df-rex 3074  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-id 5531  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-proset 18184  df-poset 18202  df-plt 18219  df-lub 18235  df-glb 18236  df-join 18237  df-meet 18238  df-p0 18314  df-lat 18321  df-clat 18388  df-oposet 37638  df-ol 37640  df-oml 37641  df-covers 37728  df-ats 37729  df-atl 37760  df-cvlat 37784  df-hlat 37813  df-llines 37961  df-lplanes 37962
This theorem is referenced by:  islpln2a  38011  2llnjaN  38029  lvolnle3at  38045  dalem42  38177  cdleme16aN  38722
  Copyright terms: Public domain W3C validator