Theorem msq0d 11001

Description: A number is zero iff its square is zero (where square is represented using multiplication). (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
msq0d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
msq0d	⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐴) = 0 ↔ 𝐴 = 0))

Proof of Theorem msq0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		msq0d.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		mul0or 10992	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((𝐴 · 𝐴) = 0 ↔ (𝐴 = 0 ∨ 𝐴 = 0)))
3	1, 1, 2	syl2anc 581	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐴) = 0 ↔ (𝐴 = 0 ∨ 𝐴 = 0)))
4		oridm 935	. 2 ⊢ ((𝐴 = 0 ∨ 𝐴 = 0) ↔ 𝐴 = 0)
5	3, 4	syl6bb 279	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐴) = 0 ↔ 𝐴 = 0))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 198   ∨ wo 880   = wceq 1658   ∈ wcel 2166  (class class class)co 6905  ℂcc 10250  0cc0 10252   · cmul 10257

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2391  ax-ext 2803  ax-sep 5005  ax-nul 5013  ax-pow 5065  ax-pr 5127  ax-un 7209  ax-resscn 10309  ax-1cn 10310  ax-icn 10311  ax-addcl 10312  ax-addrcl 10313  ax-mulcl 10314  ax-mulrcl 10315  ax-mulcom 10316  ax-addass 10317  ax-mulass 10318  ax-distr 10319  ax-i2m1 10320  ax-1ne0 10321  ax-1rid 10322  ax-rnegex 10323  ax-rrecex 10324  ax-cnre 10325  ax-pre-lttri 10326  ax-pre-lttrn 10327  ax-pre-ltadd 10328  ax-pre-mulgt0 10329

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-nul 4145  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-op 4404  df-uni 4659  df-br 4874  df-opab 4936  df-mpt 4953  df-id 5250  df-po 5263  df-so 5264  df-xp 5348  df-rel 5349  df-cnv 5350  df-co 5351  df-dm 5352  df-rn 5353  df-res 5354  df-ima 5355  df-iota 6086  df-fun 6125  df-fn 6126  df-f 6127  df-f1 6128  df-fo 6129  df-f1o 6130  df-fv 6131  df-riota 6866  df-ov 6908  df-oprab 6909  df-mpt2 6910  df-er 8009  df-en 8223  df-dom 8224  df-sdom 8225  df-pnf 10393  df-mnf 10394  df-xr 10395  df-ltxr 10396  df-le 10397  df-sub 10587  df-neg 10588

This theorem is referenced by: (None)