Theorem msq0d 11903

Description: A number is zero iff its square is zero (where square is represented using multiplication). (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
msq0d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
msq0d	⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐴) = 0 ↔ 𝐴 = 0))

Proof of Theorem msq0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		msq0d.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		mul0or 11894	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((𝐴 · 𝐴) = 0 ↔ (𝐴 = 0 ∨ 𝐴 = 0)))
3	1, 1, 2	syl2anc 582	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐴) = 0 ↔ (𝐴 = 0 ∨ 𝐴 = 0)))
4		oridm 902	. 2 ⊢ ((𝐴 = 0 ∨ 𝐴 = 0) ↔ 𝐴 = 0)
5	3, 4	bitrdi 286	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐴) = 0 ↔ 𝐴 = 0))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∨ wo 845   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  (class class class)co 7415  ℂcc 11146  0cc0 11148   · cmul 11153

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-sep 5296  ax-nul 5303  ax-pow 5361  ax-pr 5425  ax-un 7737  ax-resscn 11205  ax-1cn 11206  ax-icn 11207  ax-addcl 11208  ax-addrcl 11209  ax-mulcl 11210  ax-mulrcl 11211  ax-mulcom 11212  ax-addass 11213  ax-mulass 11214  ax-distr 11215  ax-i2m1 11216  ax-1ne0 11217  ax-1rid 11218  ax-rnegex 11219  ax-rrecex 11220  ax-cnre 11221  ax-pre-lttri 11222  ax-pre-lttrn 11223  ax-pre-ltadd 11224  ax-pre-mulgt0 11225

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3366  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4325  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4908  df-br 5146  df-opab 5208  df-mpt 5229  df-id 5572  df-po 5586  df-so 5587  df-xp 5680  df-rel 5681  df-cnv 5682  df-co 5683  df-dm 5684  df-rn 5685  df-res 5686  df-ima 5687  df-iota 6497  df-fun 6547  df-fn 6548  df-f 6549  df-f1 6550  df-fo 6551  df-f1o 6552  df-fv 6553  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-er 8725  df-en 8966  df-dom 8967  df-sdom 8968  df-pnf 11290  df-mnf 11291  df-xr 11292  df-ltxr 11293  df-le 11294  df-sub 11486  df-neg 11487

This theorem is referenced by: (None)